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对数函数的概念(15分钟30分)1.函数f(x)=(a2+a-5)log a x为对数函数，则f(1)等于( )A.3B.C.1D.0【解析】选D.因为函数f(x)=(a2+a-5)log a x为对数函数，所以解得a=2，所以f(x)=log2x，所以f(1)=log21=0.2.“每天进步一点点”可以用数学来诠释：假如你今天的数学水平是1，以后每天比前一天增加千分之五，则经过y天之后，你的数学水平x与y之间的函数关系式是( )A.y=log1.05xB.y=log1.005xC.y=log0.95xD.y=log0.995x【解析】选B.y天后，x=1.005y，即y=log1.005x.3.函数f(x)=log2(3+2x-x2)的定义域是_______.【解析】因为对数函数定义域是(0，+∞)，所以3+2x-x2>0，所以-1<x<3，因此函数的定义域为(-1，3).答案：(-1，3)4.若函数y=log(2a-1)x+(a2-5a+4)是对数函数，则a=_______.【解析】因为函数y=log(2a-1)x+(a2-5a+4)是对数函数，所以解得a=4.答案：45.设函数f(x)=ln(x2+ax+1)的定义域为A.(1)若-1∉A，-3∈A，求实数a的取值范围.(2)若函数y=f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围.【解析】(1)由题意，得解得2≤a<，故实数a的取值范围为.(2)由题意，得x2+ax+1>0的解集为R，得Δ=a2-4<0，解得-2<a<2，所以实数a的取值范围是(-2，2).(25分钟50分)一、单选题(每小题5分，共15分)1.(2020·河西高一检测)函数f(x)=ln(2x-4)的定义域是( )A.(0，2)B.(0，2]C.[2，+∞)D.(2，+∞)【解析】选D.要使f(x)有意义，则：2x-4>0，所以x>2.所以f(x)的定义域为(2，+∞).2.设f(x)是对数函数，且f()=-，那么f()= ( )A. B. C.- D.-【解析】选C.设对数函数f(x)=log a x(a>0，a≠1).由条件得log a=-，即log a=-，则a=.因此f(x)=x，所以f()==-.3.(2020·重庆高一检测)函数f(x)=log2(ax2+2x+a)的值域为R，则实数a的取值范围为( )A.[1，+∞)B.(0，1)C.[-1，1]D.[0，1]【解析】选D.令g(x)=ax2+2x+a，因为函数f(x)=log2(ax2+2x+a)的值域为R，所以g(x)的值域包含(0，+∞).①当a=0时，g(x)=2x，值域为R⊇(0，+∞)，成立.②当a≠0时，要使g(x)的值域包含(0，+∞)，则，解得0<a≤1.综上，a∈[0，1].【误区警示】本题容易忽视a=0的情况.二、多选题(共5分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)4.下列函数表达式中，是对数函数的有( )A.y=log e xB.y=lo xC.y=log4x2D.y=log2(x+1)【解析】选AB.A中y=log e x是对数函数；B中y=lo x是对数函数；C中y=log4x2不是对数函数；D中y=log2(x+1)不是对数函数.三、填空题(每小题5分，共10分)5.(2020·杭州高一检测)函数f(x)=+lg(3x+1)的定义域是_______.【解析】由，解得：-<x<1.所以函数f(x)=+lg(3x+1)的定义域是答案：6.已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，现给某病人静脉注射了该药物1个单位，设经过 y个小时后，药物在病人血液中的量为x个单位.(1)y与x的关系式为_______；(2)当该药物在病人血液中的量保持在个单位以上，才有疗效；而低于个单位，病人就有危险，要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过_______小时(精确到0.1).(参考数据：lg 5≈0.699，lg 4≈0.602)【解析】(1)由题意知，该种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，给某病人注射了该药物1个单位，经过y个小时后，药物在病人血液中的量为x=(1-20%)y×1=0.8y，即y与x的关系式为 y=log0.8x，0<x≤1.(2)当该药物在病人血液中的量保持在个单位以上，才有疗效；而低于个单位，病人就有危险，令x=，则y=log0.8=≈7.2，所以y≤7.2.所以要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过7.2小时.答案：(1)y=log0.8x，0<x≤1 (2)7.2四、解答题(每小题10分，共20分)7.已知f(x)=log a，(a>0，且a≠1).(1)证明f(x)为奇函数.(2)求使f(x)>0成立的x的取值范围.【解析】(1)f(x)=log a(a>0，且a≠1)的定义域为：，解得f(x)=log a(a>0，且a≠1)的定义域为{x|-1<x<1}.因为f(x)=log a，(a>0，且a≠1)，所以f(-x)=log a=-log a=-f(x)，所以f(x)为奇函数.(2)因为f(x)=log a(a>0，且a≠1)，所以由f(x)>0，得log a>log a1，当0<a<1时，有0<<1，解得-1<x<0；当a>1时，有>1，解得0<x<1；所以当a>1时，使f(x)>0成立的x的取值范围是(0，1)，当0<a<1时，使f(x)>0成立的x 的取值范围是(-1，0).8.求下列函数的定义域.(1)y=.(2)y=log|x-2|(25-5x).【解析】(1)要使函数有意义，需即即-3<x<-2或x≥2，故所求函数的定义域为(-3，-2)∪[2，+∞). (2)要使函数有意义，需即所以x<2，且x≠1，故所求函数的定义域为(-∞，1)∪(1，2).。
可编辑修改精选全文完整版《指数函数与对数函数》本章教材分析一、本章知能对标二、本章教学规划本章在研究指数幂和对数的基础上,以研究函数概念与性质的一般方法为指导,借鉴研究幂函数的过程与方法,学习指数函数和对数函数,帮助学生学会用函数图象和代数运算的方法研究它们的性质,理解这两类函数中蕴含的变化规律；运用函数思想和方法,探索用二分法求方程的近似解；通过建立指数函数、对数函数模型解决简单的实际问题,体会指数函数、对数函数在解决实际问题中的作用,从而进一步理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具,提升数学抽象、数学建模、数学运算、直观想象和逻辑推理等数学核心素养.三、本章教学目标1.指数函数:通过了解指数的拓展过程,让学生掌握指数幂的运算性质；了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.能借助描点法、信息技术画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点.2.对数函数:通过具体事例,让学生理解对数的概念和运算性质,掌握换底公式；了解对数函数的概念,能画对数函数的图象,了解对数函数的单调性与特殊点；知道对数函数y=log a x与指数函数y=a x互为反函数(a>0,且a≠1).3.二分法与求方程近似解:结合指数函数和对数函数的图象,让学生了解函数的零点与方程解的关系、函数零点存在定理,探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图,能借助计算工具用二分法求方程近似解,了解用二分法求方程近似解具有一般性.4.函数与数学模型:利用计算工具,比较对数函数、线性函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.四、本章教学重点难点重点:实数指数幂及其运算,对数及其运算,指数函数和对数函数的概念、图象、性质及其应用. 难点:抽象概括指数函数和对数函数的概念及性质.五、课时安排建议本章教学约需11课时,具体安排如下:六、本章教学建议1.注重引导学生按研究函数的基本思路展开研究本章教学要注重让学生再次经历研究函数的基本过程:背景—概念—图象和性质—应用.要注意引导学生通过计算分析具体实例的数据中蕴含的变化规律抽象形成相应的函数概念,利用教科书中的问题引导学生思考和总结.2.用函数的观点联系相关内容,培养学生的数学整体观本章的核心内容是指数函数和对数函数,全章都应该围绕核心内容展开教学,以更好地帮助学生形成函数观点和思想方法.指数幂的运算、对数的概念及其运算性质和公式、指数和对数的关系,是学习指数函数、对数函数必备的基础,运用这些运算性质,通过运算,解决具体的问题教学中要从整体上把握上述运算性质、函数概念、图象、性质以及应用的关系.3.加强“形”与“数”的融合,循序渐进地研究指数函数和对数函数为了能选择合适的函数类型构建数学模型,刻画现实问题的变化规律,教学时可以依据教科书,从两个方面帮助学生体会不同函数模型增长的差异:一是通过观察函数图象,利用图象直观比较指数函数与线性函数、对数函数与线性函数增长速度的差异；二是通过教科书中的实例,结合具体问题情境理解不同函数增长的差异,教学的关键是从局部到整体,从不同角度观察、比较不同函数图象增长变化的差异,从而直观体会直线的增长、指数爆炸、对数增长的含义4.加强背景和应用,发展学生数学建模素养数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养.教学中,应注意参考教科书,结合这些素材,引导学生从数学的视角发现问题、提出问题,构建指数函数和对数函数模型,确定模型中的参数,计算求解,检验结果,改进模型,最终解决问题,让学生体会数学的来源与应用,丰富学生对数学的认识,提升数学建模素养.5.注重借助信息技术工具研究指数函数和对数函数在不同函数增长差异的教学中,利用信息技术可以作出函数在两个不同范围的图象,帮助学生从不同角度观察到不同函数增长的差异.6.注意通过无理数指数幂的教学渗透极限思想教科书通过“用有理数指数幂逼近无理数指数幂”的思想方法引入无理数指数幂.教学中,可以类比初中用有理数逼近无理数,让学生充分经历从“过剩近似值”和“不足近似值”两个方向,用有理数指数幂逼近无理数指数幂的过程；通过在数轴上表示这些“过剩近似值”和“不足近似值”的对应点,发现这些点逼近一个确定的点,其对应的数就是这个无理数指数幂.这样从“数”与“形”的两个角度,加强了逼近和极限思想的渗透,有助于学生从中初步体会这一重要思想.。
第四章 指数函数与对数函数4.4.1对数函数的概念本节课是新版教材人教A 版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第四章第4.4.1节《对数函数的概念》。
对数函数是高中数学在指数函数之后的重要初等函数之一。
对数函数与指数函数联系密切，无论是研究的思想方法方法还是图像及性质,都有其共通之处。
相较于指数函数,对数函数的图象亦有其独特的美感。
学习中让学生体会在类比推理,感受图像的变化，认识变化的规律，这是提高学生直观想象能力的一个重要的过程。
为之后学习数学提供了更多角度的分析方法。
培养学生逻辑推理、数学直观、数学抽象、和数学建模的核心素养。
教学重点：对数函数的概念、求对数函数的定义域教学难点：对数函数与指数函数的关系。
多媒体，数，故选D.(2)因为函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数,所以错误!解得a＝4.（3）设对数函数为f（x)＝log a x(a>0且a≠1),由f（16）＝4可知log a16＝4，∴a＝2,∴f（x）＝log2x,∴f错误!＝log2错误!＝－1.][规律方法］判断一个函数是对数函数的方法跟踪训练1．若函数f(x)＝（a2＋a－5）log a x是对数函数，则a＝________.答案：2［由a2＋a－5＝1得a＝－3或a＝2。
又a〉0且a≠1，所以a＝2。
］题型2 对数函数的定义域例2 求下列函数的定义域．心素养；通过对应用问题的解决，发展学生数学建模的核心素养；（1）f(x）＝错误!；（2）f(x)＝错误!＋ln（x ＋1)；(3)f(x)＝log（2x－1)（－4x＋8)。
［解]（1）要使函数f（x)有意义，则log错误!x＋1〉0，即log错误!x>－1，解得0<x<2,即函数f（x）的定义域为(0,2)．（2)函数式若有意义,需满足错误!即错误!解得－1<x〈2，故函数的定义域为(－1，2)．(3）由题意得错误!解得错误!故函数y＝log(2x－1)（－4x＋8)的定义域为错误!。
第1课时 对数函数的概念、图象及性质
[A 基础达标]
1．下列函数中与函数y ＝x 是同一个函数的是( ) A ．y ＝x 2
B ．y ＝(x )2
C ．y ＝log 22x
D ．y ＝2
log 2
x
解析：选C.y ＝x 2
＝|x |，y ＝(x )2
的定义域为{x |x ≥0}，y ＝log 22x
＝x (x ∈R )，y ＝2log 2
x ＝x (x >0)，故与函数y ＝x 是同一个函数的是y ＝log 22x
.故选C.
2．y ＝2x
与y ＝log 2x 的图象关于( ) A ．x 轴对称 B ．直线y ＝x 对称 C ．原点对称
D ．y 轴对称
解析：选B.函数y ＝2x
与y ＝log 2x 互为反函数，故函数图象关于直线y ＝x 对称． 3．函数f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122
＋1x ＋2的定义域为( )
A.⎝
⎛⎭⎪⎫－2，12
B ．(－2，＋∞)
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞ D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞
解析：选C.对于函数f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋1x ＋2，有⎩⎪⎨⎪⎧x －12≠0，x ＋2>0.
解得x >－2且x ≠1
2
.
故定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 4．函数y ＝lg(x ＋1)的图象大致是( )
解析：选C.由底数大于1可排除A 、B ，y ＝lg(x ＋1)可看作是y ＝lg x 的图象向左平移1个单位．(或令x ＝0得y ＝0，而且函数为增函数)
5．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x
(a ＞0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( ) A ．log 2x
B.1
2
x
C ．log 12
x
D ．2
x －2
解析：选A.函数y ＝a x
(a ＞0，且a ≠1)的反函数是f (x )＝log a x ，又f (2)＝1，即log a 2＝1，所以a ＝2.故f (x )＝log 2x .
6．若f (x )＝log a x ＋(a 2
－4a －5)是对数函数，则a ＝________．
解析：由对数函数的定义可知，⎩⎪⎨⎪
⎧a 2
－4a －5＝0，a ＞0，a ≠1，
解得a ＝5.
答案：5
7．函数y ＝log a (x ＋1)－2(a >0且a ≠1)的图象恒过点________．
解析：依题意，当x ＝0时，y ＝log a (0＋1)－2＝0－2＝－2，故图象恒过定点(0，－2)． 答案：(0，－2)
8．如果函数f (x )＝(3－a )x
，g (x )＝log a x 的增减性相同，则a 的取值范围是________． 解析：若f (x )，g (x )均为增函数，
则⎩
⎪⎨⎪⎧3－a ＞1，
a ＞1，即1＜a ＜2， 若f (x )，g (x )均为减函数，则
⎩⎪⎨⎪⎧0＜3－a ＜1，0＜a ＜1
无解． 综上，a 的取值范围是(1，2)． 答案：(1，2)
9．已知函数f (x )＝log 3x . (1)作出函数f (x )的图象；
(2)由图象观察当x >1时，函数的值域． 解：(1)函数f (x )的图象如图：
(2)当x >1时，f (x )>0.故当x >1时，函数值域为(0，＋∞)．
10．已知函数f (x )＝log a (3＋2x )，g (x )＝log a (3－2x )(a ＞0，且a ≠1)． (1)求函数y ＝f (x )－g (x )的定义域；
(2)判断函数y ＝f (x )－g (x )的奇偶性，并予以证明． 解：(1)要使函数y ＝f (x )－g (x )有意义，
必须有⎩
⎪⎨⎪⎧3＋2x ＞0，3－2x ＞0，解得－32＜x ＜32.
所以函数y ＝f (x )－g (x )的定义域是
⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－32
＜x ＜32.
(2)由(1)知函数y ＝f (x )－g (x )的定义域关于原点对称， 所以，f (－x )－g (－x ) ＝log a (3－2x )－log a (3＋2x ) ＝－[log a (3＋2x )－log a (3－2x )] ＝－[f (x )－g (x )]．
所以函数y ＝f (x )－g (x )是奇函数．
[B 能力提升]
11．函数f (x )＝a －lg x 的定义域为(0，10]，则实数a 的值为( ) A ．0 B ．10 C ．1
D.1
10
解析：选C.由已知，得a －lg x ≥0的解集为(0，10]，由a －lg x ≥0，得lg x ≤a ，又当0<x ≤10时，lg x ≤1，所以a ＝1，故选C.
12．若函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg(x ＋1)，求f (x )的表达式，并画出f (x )的大致图象．
解：因为f (x )为R 上的奇函数，所以f (0)＝0. 又当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)， 所以f (－x )＝lg(1－x )． 又f (－x )＝－f (x )， 所以f (x )＝－lg(1－x )， 所以f (x )的解析式为 f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧lg （x ＋1），x >0，0，x ＝0，－lg （1－x ），x <0，
所以f (x )的大致图象如图所示：
13．求函数y ＝(log 12x )2
－12log 12
x ＋5在区间[2，4]上的最大值和最小值．
解：因为2≤x ≤4，所以log 122≥log 12x ≥log 124，即－1≥log 12x ≥－2.
设t ＝log 12x ，
则－2≤t ≤－1，
所以y ＝t 2
－12t ＋5，其图象的对称轴为直线t ＝14，
所以当t ＝－2时，y max ＝10；当t ＝－1时，y min ＝13
2
.
[C 拓展探究]
14．已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1，9]，g (x )＝(f (x ))2
＋f (x 2
)． (1)求g (x )的定义域；
(2)求g (x )的最大值以及g (x )取得最大值时x 的值． 解：(1)因为f (x )的定义域为[1，9]，
所以要使函数g (x )＝(f (x ))2＋f (x 2
)有意义，必须满足⎩
⎪⎨⎪⎧1≤x 2
≤9，1≤x ≤9，所以1≤x ≤3，所以g (x )
的定义域为[1，3]．
(2)因为f (x )＝2＋log 3x ，
所以g (x )＝(f (x ))2
＋f (x 2
)＝(2＋log 3x )2
＋2＋log 3x 2
＝(log 3x )2
＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2
－3.
因为g (x )的定义域为[1，3]， 所以0≤log 3x ≤1.
所以当log 3x ＝1，即x ＝3时，函数g (x )取得最大值． 所以g (x )max ＝g (3)＝13.。
