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九年级数学上册 2.2.1 用直接开平方法解一元二次方程(第1课时)课件 (新版)湘教版

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华师大版九年级数学上册《用直接开平方法和因式分解法解较简单的一元二次方程》课件

华师大版九年级数学上册《用直接开平方法和因式分解法解较简单的一元二次方程》课件
22.2 一元二次方程的解法
22.2.1 直接开平方法和因式分解法 第1课时 用直接开平方法和因式分解法解较简单的一元二次方程
1．利用__平__方__根__的定义直接开平方求一元二次方程的解叫做直 接开平方法． 2．解一元二次方程，实质上是把一个一元二次方程“_降__次___” ，转化为两个__一__元__一__次___方程． 3．当p≥0时，x2＝p的解为____x_＝__±___p___． 4．当把一元二次方程的一边化为0，而另一边易分解成两个一 次因式的乘积时，可令每个因式分别等于0，得到两个 _____一__元__一__次__方__程______，从而实现降次求解的目的，这种解法 叫做因式分解法．
19．已知方程(x－1)2＝k2＋2的一个根是x＝3，求k的值和另一个 根．
解：将 x＝3 代入原方程得 k 的值为± 2，再把 k＝± 2代入 方程得另一个根为 x＝－1
20．关于x的一元二次方程(2m－4)x2＋3mx＋m2－4＝0有一根为0， 求m的值． 解：将x＝0代入原方程，得m2－4＝0，解得m＝±2，∵2m－4≠0 ，m≠2，∴m＝－2
不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二2022/4/122022/4/122022/4/12 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/122022/4/122022/4/124/12/2022 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/122022/4/12April 12, 2022 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
A．x＝4

2.2.1用配方法求解一元二次方程(第1课时)(课件)2024-2025学年九年数学上册(北师大版)

2.2.1用配方法求解一元二次方程(第1课时)(课件)2024-2025学年九年数学上册(北师大版)

问题：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完
10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长
吗？
解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积
为6x2dm2，可列出方程
10×6x2=1500，
由此可得 x2=25 开平方得
x=±5，
即x1=5，x2=－5.
因棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5dm．
为多少？
35 m
解: 设道路的宽为 x m．
35×26＝850＋(26＋35)x－x2．
x2－61x＋60＝0．
得 x1＝60(舍去)，x2＝1．
所以，道路的宽为 1 m．
(2)移项，得2(x－3)2=50.系数化为1，得(x－3)2=25.
开平方，得x－3=±5.
∴ x1=8，x2=－2.
探索&交流
议一议
你能解方程 x2 + 12x-15 = 0 吗？你遇到的困难是什么？
你能设法将这个方程转化成上面的形式吗？与同伴进行交流.
x2 + 12x -15 = 0
移项，得
+px+（
p 2
）
2
=（
p
2
）
2
p
2
p
=（ 2
）2 - q
）2 -q
探索&交流
2.用配方法解一元二次方程的一般步骤
(1)移项.
(2)二次项系数化为1.
(3)配方.
(4)开方.
例题欣赏
☞
例2.解方程：x2 + 8x–9 = 0.
解: 可以把常数项移到方程的右边，得
x2 + 8x = 9.

青岛版九年级数学上册_用直接开平方法法解一元二次方程课件_

青岛版九年级数学上册_用直接开平方法法解一元二次方程课件_
2
课堂小结
(1)直接开平方法
x a（a 0)
2
(x+a)2=b(b≥0)
（ax b) (cx d )
2
2
你发现它们的联系了吗？
独立作业
知识的升华
1.如图,在一块边长35m的正方形地面上,修建同样宽 的两条互相垂直的道路,剩余部分栽种花草,为使剩余部 分的面积为1089m2,道路的宽应是多少？ 解：设道路的宽为 x m，根据题意得
35m
(35-x)2 ＝1089.
解这个方程,得 x1 ＝ 2
35m
x2 ＝68 (不合题意,舍去)
答:道路的宽应为2m.
用直接开平方法解一元二次方 程
复习引入:
一元一次方程的解法(1) 复习提问： 1、什么样的方程叫做一元一次方程、一 元二次方程？ 2、一元二次方程的一般形式是什么？其 中a应具备什么条件？
1.什么叫做平方根? 如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫 做a的平方根。 用式子表示：
若x2=a，则x叫做a的平方根。记作x=
练习、用直接开平方法解下列方程：
口答
1x 0; 2x 349 y 2 121 0; 42 x 2 128;
2
2
16 0;
笔答
5x 17 2 6( x 3)
2
49; (2 x 5)
2 2
(7)4(x- 2) 9( x 3)
知识回顾
a
或x= a 2 4 ±3 如：9的平方根是______ 的平方根是 ______ 5 25 2.平方根有哪些性质？ (1)一个正数有两个平方根，这两个平方根是互 为相反数的； (2)零的平方根是零； (3)负数没有平方根。

新人教版九年级数学上册全册ppt课件

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10x - 4.9x2． 你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗 （精确到 0.01 s）？
1．探究因式分解法
你认为该如何解决这个问题？你想用哪种方法解这 个方程？
10x - 4.9x2 = 0
配方法 降 公式法 次
？
x
1
=
0，x
2
=
100 49
1．探究因式分解法
问题3 观察方程 10x - 4.9x2 = 0，它有什么特点？ 你能根据它的特点找到更简便的方法吗？
x2 + 6x = -4 x2 + 6x + 9 = -4 + 9 （x + 3）2 = 5
x3 5
移项
两边加 9，左边 配成完全平方式 左边写成完全 平方形式
降次
x 3 5 ，或 x 3 5
解一次方程
x1 3 5， x2 3 5
2．推导求根公式
想一想：以上解法中，为什么在方程③两边加 9？ 加其他数可以吗？如果不可以，说明理由．
• 学习重点： 一元二次方程的概念．
1．创设情境，导入新知
思考以下问题如何解决： 1．要设计一座高 2 m 的人体雕像，使它的上部 （腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全 部（全身）的高度比，求雕像的下部应设计为高多少米？
1．创设情境，导入新知
思考以下问题如何解决： 2．有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm，在它 的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分 折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒 的底面积为 3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方 形？
1．复习配方法，引入公式法
问题2 能否用公式法解决一元二次方程的求根问 题呢？

湘教版九年级数学上册课件：2.2 一元二次方程的解法 (共35张PPT)

湘教版九年级数学上册课件：2.2 一元二次方程的解法 (共35张PPT)

反过来，如果d和h是方程 x2 + bx + c = 0 的两 个根，则方程的左边可以分解成
x2 + bx + c = (x - d )(x – h)= 0.
我们已经学习了用配方法、公式法和因式分解法 解一元二次方程，在具体的问题中，我们要根据方 程的特点，选择合适的方法来求解.
如何选择合适的方法来解一元二次方程呢？
x b b2 4ac ( b2 - 4ac ≥0) 2a
我们通常把这个式子叫作一元二次方程的求根公式.
由求根公式可知， 一元二次方程的根由方程的系
数a，b，c 决定， 这也反映出了一元二次方程的根与 系数a，b，c之间的一个关系.
运用一元二次方程的求根公式直接求每一个一元二 次方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法.
第2章 一元二次方程
2.2 一元二次方程的解法
2.2 一元二次方程的解法 —配方法
教学重、难 点
教 学 重 点 ： 运 用 开 平 方 法 解 形 如 （ x+m ） 2=n(n≥0)
的方程；领会降次—转化的数学思想.
教学难点：通过根据平方根的意义解形如 x2=n 的方 程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2 = n(n≥0)的方程.
用配方法解一元二次方程的一般步骤:
移项:把常数项移到方程的右边； 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方； 开方:根据平方根意义，方程两边开平方； 求解:解一元一次方程； 定解:写出原方程的解.
例 市区内有一块边长为15米的正方形绿地，经城市规 划，需扩大绿化面积，预计规划后的正方形绿地面积将 达到289平方米，这块绿地的边长增加了多少米？
解：这里 a 1 b 7 c 18

人教版数学九年级上册解一元二次方程(直接开平方法)公开课PPT课件

人教版数学九年级上册解一元二次方程(直接开平方法)公开课PPT课件

左边为完全平方式 所以可以直接化 为平方形式．利用 直接开平方法来解
一元二次方程．
右边是大于0的数所以方 程有个不同的的实数解
直接开平方得： x 3 2 x3 2
x3 2
x1 3 2 x2 3 2
【例2】 市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m2
3．如果方程能化为x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式， 那么x＝____p_或mx＋n＝____p_．
１．方程x2－16=0的根为( C )．
Ａ.x=4
Ｂ. x=16
Ｃ. x=±4
Ｄ. x=±8
2．方程x2＋m＝0有实数根的条件是( Ｄ )．
Ａ.m＞0 B．m≥0 C．m＜0 D．m≤0 3．方程5y2－3=y2＋3的实数根的个数是( Ｃ )．
3．某企业 2011 年向全国上缴利税 400 万元，2013 年增加到
484 万元，则该企业两年上缴的利税平均每年增长的百分率为( B )
A．5% B．10% C．15% D．20%
4．用直接开平方法解下列方程： (1)1x 2－9＝0；
3
解：x1＝3，x2＝－3
(2)4(x －2)2－3＝0；
配方法
直接开平方法
1.理解一元二次方程“降次”的转化思想． 2.根据平方根的意义解形如x2=p（p≥0）的一元二次方 程，然后迁移到解（mx+n）2=p（p≥0）型的一元二次方 程3..通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发 学生的学习热情．
运用开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0）的方程；领会 降次──转化的数学思想．
提高到14.4 m2，求每年人均住房面积增长率． 解析：此题为

人教版九年级上册2解一元二次方程-配方法(直接开平方)(第1课时)课件


1. 2x2-32=0；
解： 2x2-32=0
移项 2x2=32
系数化为1
x2=16 x=±4
x1=4 或 x2=-4
你学到了什么？
2. (x+3)2=5 解： (x+3)2=5
x3 5
x 3 5 x 3 5 或 x 3 5
一元二次方程变成了一元一 次方程----降次
解方程 (mx+n)2=p，实质上是把一个一元二次方
用直接开平方法解一元二次方程
视察：x2=a 如果上式中a变为常数，将a移项
到等号左边，请问该式变成了什么？
一元二 次方程
x2 a 0
你可以用求平方根的方法求 该一元二次方程的解吗？
例题分析 例1 根据平方根的概念完成下列小题：
1. x2=9
2. x2=16
解：根据平方根的定义得 x= ±3
即 x1=3 或 x2=-3
方程的两根为
x1 =－3, x1 =－9.
解： x 12 2,
x 1 2,
x 1 2, x 1 2, 方程的两根为
x1 1 2 x2 1 2.
2.一桶油漆可刷的面积为1m2，李林用这桶油漆恰好 刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面， 求盒子的棱长？
设其中一个盒子的棱长位xdm，则这个盒子的表面 积位6x2dm2。根据题意得方程
10×6x2=1500 整理，得
x2=25 根据平方根意义，得
x=±5 经验证，5和-5是方程的两个根，因为棱长不能是 负值，所以盒子的棱长为5dm
当p>0时，方程x2=p有两个 的实数根
.
当p=0时，方程x2=p有两个相等的实数根 x1=x2=0. 当p<0时，方程x2=p无实数根.

2.2.1一元二次方程的解法配方法————直接开平方法


①
② 直接开平方得（ 2 2 x 1) 5( x 1)， x 7
上述解题过程，有无错误，如有，错在第 ？步， 原因是 ？
请写出正确的解答过程
能力提升：解方程： 2(2 x 1) 5( x 1) 解：2(2 x 1) 5( x 1)或2(2 x 1) 5( x 1)
2
2
2x 2
2
解：4 x 2 81
81 x 4 9 9 x1 , x2 2 2
x 1
2
x1 1, x2 1
③
解：
(1 x) 64
2
④
解：
(2 x 1) 9
2
1 x 64 1 x 8 x1 7, x2 9
2x 1 9 2 x 1 3 x1 2, x2 1
一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根
归纳：
利用平方根的定义直接开平方求一 元二次方程的方法叫做直接开平方法。
x a(a 0)
2
x a
通过“降次”，将一个一元二次方程转化为两 个一元一次方程
2、自主学习P30—31页，例1、例2，完成下列各题
①
解：
2x 2 0
2
②
4 x 81 0
4 x 2 5x 5
x 7
x1 7
4 x 2 5 x 5
9 x 3
1 x2 3
直接开平方法解一元二次方程也就是 利用平方根的意义解一元二次方程
x a(a 0)
2
b ax b( 0) a
2
动脑筋：用平方根的意义解一元二次方程 （ 4 2 x 1) 25( x 1) 0

湘教版九年级数学 2.2 一元二次方程的解法(学习、上课课件)

第二章 一元二次方程
2.2 一元二次方程的解法
第1课时 配方法学习Leabharlann 标1 课时讲解 2 课时流程
一元二次方程的解（根） 直接开平方法 配方法
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 一元二次方程的解（根）
知1－讲
概念
使一元二次方程左、右两边相等的未知数 的值叫作一元二次方程的解 . 一元二次方 程的解也叫作一元二次方程的根 .
知1－练
感悟新知
1-1.判断下列方程后面括号内的数是不是方程的解． 知1－练 (1) x2 － 5x － 6 ＝ 0(－ 1， 2， 6)； 解：当x＝－1时，x2－5x－6＝1＋5－6＝0，所以 x＝－1为方程x2－5x－6＝0的解； 当x＝2时，x2－5x－6＝4－10－6＝－12≠0，所以 x＝2不是方程x2－5x－6＝0的解； 当x＝6时，x2－5x－6＝36－30－6＝0，所以x＝6 为方程x2－5x－6＝0的解．
感悟新知
知2－讲
特别警示 直接开平方法利用的是平方根的意义，所以要注意两点： ◆不要只取正的平方根而遗漏负的平方根； ◆只有非负数才有平方根，所以直接开平方法的前提是
x2＝p中p ≥ 0.
感悟新知
例2 [月考·西安莲湖区]解方程： (1) 16x2 ＝ 25； (2) 3( x ＋ 1) 2 － 108 ＝ 0；
知2－讲
2. 方程x2＝p 的解(根)的情况： (1)当p>0时，方程有两个不等的实数根x1＝－ p，x2＝ p； (2)当p＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝0； (3)当p<0时，方程没有实数根.
感悟新知
知2－讲
3. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤： 步骤1：将方程变成左边是( ax+b) 2，右边是非负数的 形式(如果方程右边是负数，那么这个方程无 实数根). 步骤2：开平方，将方程转化为两个一元一次方程. 步骤3：解这两个一元一次方程，则得出的两个解即为 一元二次方程的两个根.

人教部初三九年级数学上册 直接开平方解一元二次方程 名师教学PPT课件


解：系数化为1得x2 25 9
由平方根的意义得：
解：由平方根的意义得： 2x 1 3
x5 3
x1
5 3
,
x2
5 3
2x 1 3，或2x 1 3
x1
-1 2
3 ，x2
1 2
3
利用直接开平方法解下列方程
(3)、3(x 1)2 6 0
解：移项得 3(x 1)2 6 系数化为1得(x 1)2 2
人教版数学九年级上册第二十一章
21.2.1 解一元二次方程（1） ——直接开平方法
1、用直接开平方法解形如 x²=p(p≥0)或 (x+m)²=p(p≥0)的方程；
2、理解一元二次方程的解法——直接开 平方法；
3、体会一元二次方程“降次”──转化 的数学思想。
1、如果x2=a,则x叫做a的__平_方_根__; 2、如果x2=a（a≥0），则x=____; 3、如果x2=64，则x=_____.
开方得x 1 2
(4)、x2 4x 4 25
解：原方程整理得 (x 2)2 25
开方得x 2 5
x1 1 2, x2 1- 2
x1 7, x2 3
利用直接开平方法解下列方程 (5)、9x2 5 1
解：移项得 9x2 4
由平方根的意义得 原方程无实数根
直接开平方法 解一元二次方程
由平方根的意义得：
由平方根的意义得：
x 10
x 5
x1 10, x2 10
x1 5, x2 5
例1：利用直接开平方法解下列方程
(3)、4x2 100
思考：
解：两边同时 4得 x2 0的解是什么？
x2 25
x2 4呢？
由平方根的意义得：
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K12课件
6
二 直接开平方法解一元二次方程
问题1：能化为(x+m)2=n(n≥0)的形式的方程需要具备什么特点？
左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负常数的 一元二次方程可化为(x+m)2=n(n≥0).
问题2：x2＝9，根据平方根的意义，直接开平方得x＝±3， 如果x换元为2t＋1，即(2t＋1)2＝9，能否也用直接开平方的 方法求解呢？一起看看下面的例题．
K12课件
7
典例精析
例2： 解方程：(1)x2＋4x＋4＝1 (2)x2＋6x＋9＝2
解：(1)由原方程得：(x+2)2=1 直接开平方得：x+2=±1 x1=-1 x2=-3 (2)由原方程得：(x+3)2=2
右边是大于0的数所以方 程有个不同的的实数解
直接开平方得：x1 3 2 x2 3 2
K12课件
8
方法归纳
用直接开平方法解方程时，要先将方程化成左边是含 未知数的完全平方式，右边是非负常数的形式，再根据平 方根的定义求解．注意开方后，等式的右边取“正、负两 种情况”．
K12课件
9
当堂练习
1．一元二次方程x2－4＝0的根为( C )
A．x＝2
B．x＝－2
C．x1＝2，x2＝－2
D．x＝4
K12课件
12
第2章 一元二次方程
2.2.1 配方法
第1课时 用直接开平方法解一元二次方程
导入新课
讲授新课
当堂练习
K12课件
课堂小结
1
学习目标
1.理解并掌握一元二次方程的根的概念; 2.会用直接开平方法解形如 (x m)2 n(n 0)的方程． （重点、难点）
K12课件
2
导入新课
问题：一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm2，小李用这 桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外 表面，你能算出盒子的棱长吗？
(2)(x＋6)(x－6)＝64.
解：2y2=100 y2=50
y 5 2
解：x2-36=64 x2=100 x=±10
K12课件
11
课堂小结
直接开平 方法解一 元二次方
程
一元二次方程的解：使方程 左右两边相等的未知数的值 就是一元二次方程的解，也 叫一元二次方程的根
直接开平方法解形如 (x m)2 n(n 0)
K12课件
3
解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为 6x2dm2，根据一桶油漆可刷的面积列出方程：
10×6x2＝1500， 由此可得x2＝25， 根据平方根的意义，得x＝±5， 即x1＝5，x2＝－5． 但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为5dm.
K12课件
4
讲授新课
一 一元二次方程的解(根）
2．方程5y2－3＝y2＋3的实数根的个数是( C )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
3．一元二次方程x2＝7的根是 x1 7, x2 7 ．
K6的值为21，则x的值是
．
解析：由题意可得方程：3x2－6＝21； 解这个方程得：x1=3，x2=-3.
5．解下列方程： (1)2y2－100＝0；
前面题解得的x1＝5，x2＝－5也叫作10×6x2＝1500的根．
一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根．
K12课件
5
典例精析
例1：已知x=1是一元二次方程x2-mx+2m=0的一个解，则
m的值是
(A)
A.-1
B.1
C.0
D.0或1
解析：把x=1代入一元二次方程x2-mx+2m=0 可得m=-1.