2012年北京市朝阳区高三一模数学(理)试题Word版带答案

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷（理工类） 2012.3三、解答题：（15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为π()cos()410f αα=-=，所以(cos sin )210αα+=， 所以 7cos sin 5αα+=. 平方得，22sin 2sin cos cos αααα++=4925， 所以 24sin 225α=. ……………6分 （II ）因为()π()2g x f x f x ⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭=ππcos()cos()44x x -⋅+=(cos sin )(cos sin )22x x x x +⋅- =221(cos sin )2x x - =1cos 22x . ……………10分当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2π2,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 所以，当0x =时，()g x 的最大值为12； 当π3x =时，()g x 的最小值为14-. ……………13分（16）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）依题意，0.0451000200,0.025*******a b =⨯⨯==⨯⨯=. ……………4分 （Ⅱ）设其中成绩为优秀的学生人数为x ，则350300100401000x ++=，解得：x =30， 即其中成绩为优秀的学生人数为30名. ……………7分（Ⅲ）依题意，X 的取值为0，1，2，2102403(0)52C P X C ===，1110302405(1)13C C P X C ===，23024029(2)52C P X C ===， 所以X 的分布列为350125213522EX =⨯+⨯+⨯=，所以X 的数学期望为2. ……………13分（17）（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）取AD 的中点N ，连接MN,NF .在△DAB 中，M 是BD 的中点，N 是AD 的中点，所以1=2MN//AB,MN AB ， 又因为1=2EF//AB,EF AB ，所以MN//EF 且MN =EF .所以四边形MNFE 为平行四边形， 所以EM//FN .又因为FN ⊂平面ADF ，⊄EM 平面ADF ，故EM//平面ADF . …………… 4分 解法二：因为EB ⊥平面ABD ，AB BD ⊥，故以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系-B xyz . ……………1分 由已知可得 (0,0,0),(0,2,0),(3,0,0),B A D3(3,-2,0),(,0,0)2C E F M （Ⅰ）3=((3,-2,0)2EM ,AD=u u u r u u u r， 设平面ADF 的一个法向量是()x,y,z n =.由0,0,AD AF n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u r 得32x -y =0,=0.⎧⎪⎨⎪⎩ 令y=3，则n =. 又因为3(=3+0-3=02EM n ⋅=⋅u u u r，所以EM n ⊥u u u r，又EM ⊄平面ADF ，所以//EM 平面ADF . ……………4分NCA F EBMD（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面ADF的一个法向量是n =. 因为EB ⊥平面ABD ，所以EB BD ⊥.又因为AB BD ⊥，所以BD ⊥平面EBAF .故(3,0,0)BD =u u u r是平面EBAF 的一个法向量.所以1cos <=2BD BD,BD n n n ⋅>=⋅u u u ru u u r u u u r，又二面角D-AF -B 为锐角， 故二面角D-AF -B 的大小为60︒. ……………10分 （Ⅲ）假设在线段EB 上存在一点P ，使得CP 与AF 所成的角为30︒.不妨设(0,0,t)P（0t ≤≤，则=(3,-2,-),=PC AF t u u u r u u u r.所以cos <PC AF PC,AF PC AF ⋅>==⋅u u u r u u u ru u u r u u u ru u u r u u u r ，2=，化简得35-=，解得0t =<.所以在线段EB 上不存在点P ，使得CP 与AF 所成的角为30︒.…………14分 （18）（本小题满分13分）解：因为2e (),1ax f x x =+所以222e (2)()(1)ax ax x a f x x -+'=+.（Ⅰ）当1a =时, 2e ()1xf x x =+,222e (21)()(1)x x xf x x -+'=+, 所以(0)1,f = (0)1f '=.所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为10x y -+=. ……………4分（Ⅱ）因为222222e (2)e ()(2)(1)(1)ax ax ax x a f x ax x a x x -+'==-+++， ……………5分 （1）当0a =时,由()0f x '>得0x <；由()0f x '<得0x >.所以函数()f x 在区间(,0)-∞单调递增, 在区间(0,)+∞单调递减. ……………6分 （2）当0a ≠时, 设2()2g x ax x a =-+，方程2()20g x ax x a =-+=的判别式2444(1)(1),a a a ∆=-=-+ ……………7分①当01a <<时，此时0∆>.由()0f x '>得x <,或x >；由()0f x '<得11x a a-+<<.所以函数()f x 单调递增区间是1(,a -∞和1()a ++∞,单调递减区间11(,a a +. ……………9分②当1a ≥时，此时0∆≤.所以()0f x '≥，所以函数()f x 单调递增区间是(,)-∞+∞. ……………10分 ③当10a -<<时，此时0∆>.由()0f x '>x <<；由()0f x '<得x <,或x >.所以当10a -<<时,函数()f x 单调递减区间是1(,a +-∞和1()a +∞,单调递增区间11(a a +-. ……………12分④当1a ≤-时, 此时0∆≤，()0f x '≤，所以函数()f x 单调递减区间是(,)-∞+∞. …………13分（19）（本小题满分14分）解: （Ⅰ）依题意，c =1b =，所以a == 故椭圆C 的方程为2213x y +=. ……………4分（Ⅱ）①当直线l 的斜率不存在时，由221,13x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1,3x y ==±.不妨设A，(1,B ，因为132233222k k +=+=，又1322k k k +=，所以21k =，所以,m n 的关系式为213n m -=-，即10m n --=. ………7分 ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-.将(1)y k x =-代入2213x y +=整理化简得，2222(31)6330k x k x k +-+-=. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122631k x x k +=+,21223331k x x k -=+. ………9分 又11(1)y k x =-，22(1)y k x =-. 所以12122113121222(2)(3)(2)(3)33(3)(3)y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=---- 12211212[2(1)](3)[2(1)](3)3()9k x x k x x x x x x ---+---=-++121212122(42)()6123()9kx x k x x k x x x x -++++=-++222222223362(42)6123131336393131k k k k k k k k k k k -⨯-+⨯++++=--⨯+++ 222(126)2.126k k +==+………12分所以222k =，所以2213n k m -==-，所以,m n 的关系式为10m n --=.………13分 综上所述，,m n 的关系式为10m n --=. ………14分 （20）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）若0:0,1,1,3,0,0A ，则1:1,0,1,3,0,0A ；2:2,1,2,0,0,0A ； 3:3,0,2,0,0,0A ； 4:4,1,0,0,0,0A ； 5:5,0,0,0,0,0A ．若4:4,0,0,0,0A ，则 3:3,1,0,0,0A ； 2:2,0,2,0,0A ； 1:1,1,2,0,0A ；0:0,0,1,3,0A ． ………4分（Ⅱ）先证存在性，若数列001:,,,n A a a a L 满足0k a =及0(01)i a i k >≤≤-，则定义变换1T -，变换1T -将数列0A 变为数列10()T A -：01111,1,,1,,,,k k n a a a k a a -+---L L ．易知1T -和T 是互逆变换． ………5分 对于数列,0,0,,0n L 连续实施变换1T -（一直不能再作1T -变换为止）得,0,0,,0n L 1T -−−→1,1,0,,0n -L 1T -−−→2,0,2,0,,0n -L 1T-−−→3,1,2,0,,0n -L 1T -−−→L 1T-−−→01,,,n a a a L ，则必有00a =（若00a ≠，则还可作变换1T -）．反过来对01,,,n a a a L 作有限次变换T ，即可还原为数列,0,0,,0n L ，因此存在数列0A 满足条件．下用数学归纳法证唯一性：当1,2n =是显然的，假设唯一性对1n -成立，考虑n 的情形． 假设存在两个数列01,,,n a a a L 及01,,,n b b b L 均可经过有限次T 变换，变为,0,,0n L ，这里000a b ==，1212n n a a a b b b n +++=+++=L L 若0n a n <<，则由变换T 的定义，不能变为,0,,0n L ；若n a n =，则120n a a a ====L ，经过一次T 变换，有0,0,,0,n L T−−→1,1,,1,0L 由于3n ≥，可知1,1,,1,0L （至少3个1）不可能变为,0,,0n L ．所以0n a =，同理0n b =令01,,,n a a a L T−−→121,,,,n a a a '''L ，01,,,n b b b L T−−→121,,,,n b b b '''L ，则0nn a b ''==，所以1211n a a a n -'''+++=-L ，1211n b b b n -'''+++=-L ． 因为110,,,n a a -''L T−−−−→有限次-1,0,,0n L ，110,,,n b b -''L T−−−−→有限次-1,0,,0n L ，故由归纳假设，有i i a b ''=，1,2,,1i n =-L ． 再由T 与1T -互逆，有01,,,n a a a L T−−→111,,,,0n a a -''L ，01,,,n b b b L T−−→111,,,,0nb b -''L ，所以i i a b =，1,2,,i n =L ，从而唯一性得证． ………9分 （Ⅲ）显然i a i ≤(1,2,,)i n =L ，这是由于若对某个0i ，00i a i >，则由变换的定义可知，0i a通过变换，不能变为0．由变换T 的定义可知数列0A 每经过一次变换，k S 的值或者不变，或者减少k ，由于数列0A 经有限次变换T ，变为数列,0,,0n L 时，有0m S =，1,2,,m n =L ，所以m m S mt =(m t 为整数)，于是1m m m S a S +=+1(1)m m a m t +=++，0m a m ≤≤， 所以m a 为m S 除以1m +后所得的余数，即[](1)1mm m S a S m m =-++．………13分。

《第8课 清兵卫与葫芦》讲学稿 学习目标与要求： 1.熟读课文，读准音，借助课下注释和工具书，扫除字词障碍。

2. 把握课文以简练传神的描写来表现人物复杂的心理活动的写作特点。

模块一：温故知新（ 预时10分钟） 1、下列词语中加点字的读音全都正确的一项是（? ） A、捻（niǎn）碎? ?噙（qín）着坷垃（kē?lā）瘫痪（huàn?）B、谩（màn）骂?谄（xiàn）媚?霹雳（pī?lì）舐（shì）C、冷峻（jùn?）噎（yē）住?忌讳（huì）哽咽（yē?）D、喃（nán）喃?蹿（cuàn）出?擤（xǐng）鼻涕?喷嚏（tì） 2.下列词语书写完全正确的一项是（? ）A、麦秸膨胀绰号漫骂 B、噙着忌讳谄媚糟蹋C、抱怨分泌饱嗝战栗 D、颤抖瘫痪冷竣济事 模块二：自主学习（独立进行）（ 预时20分钟） 学习内容摘 记看：讲学稿的知识链接以及每个环节的学习目标。

知识链接：志贺直哉（1883——1971），日本“白桦”派代表作家之一。

1904年发表处女作《菜花与少女》。

1910年与有岛武郎等共同创办《白桦》杂志，对当时主张纯客观主义的自然主义文艺思潮不满，要求肯定积极的人性，形成“白桦”一派。

代表作：生平唯一的长篇小说：《暗夜行路》。

? 读：小组长带领成员自由读课文，可齐读，可分组读。

小组内自由朗读课文。

记：通过做题，熟悉文学常识和识记文言字词。

完成下边的题。

2、给加点字注音或根据拼音写汉字。

茶卤（ ） 葫芦籽（ ） 呵斥（ ） 战战( )兢兢( ) 薪水( ) 隐瞒( ) 嘀咕( ) 干涉( ) 3、解释词语，选其中一个词语造句。

呵斥： 热衷： 战战兢兢： 熠熠： 4、了解文章的结构层次 开端： ? 发展： ? 高潮： 尾声： ? 结局： 5.课文围绕葫芦展开情节。

文中塑造了哪些人物?其中主人公是谁？ 对：小组长检查完成情况并负责核对答案模块三：交流研讨（小组合作、展示、精讲）（ 预时30分钟） 研讨内容摘 记各小组长组织组员开始讨论下边的问题，并及时在讲学稿上记录讨论的结果，展示前请认真阅读展示建议。

初三数学试卷第 1 页（共6页）2012北京朝阳一模数学试题一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．1.21的相反数是A.21B ．21C ．2 D ．－22．据报道，2011年北京市户籍人口中，60岁以上的老人有2460000人，预计未来五年北京人口“老龄化”还将提速．将2460000用科学记数法表示为A ．0.25×106B ．24.6×105C ．2.46×105D ．2.46×1063．在ABC △中，280A B，则C 等于A. 40°B. 60°C. 80°D. 120°4．若分式392xx的值为零，则x 的取值为A.3x B.3x C.3x D.3x 5．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是A.角B.等边三角形C. 平行四边形D. 圆6．在一个不透明的袋子中装有2个红球、1个黄球和1个黑球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，若随机从袋子里摸出1个球，则摸出黄球的概率是A.41 B.31 C.21 D.437．在某次体育测试中，九年级一班女同学的一分钟仰卧起坐成绩（单位:个）如下表：成绩45 46 47 48 49 50 人数124251这此测试成绩的中位数和众数分别为A. 47, 49 B. 47.5, 49C. 48, 49D. 48, 508．已知关于x 的一元二次方程02n mx x的两个实数根分别为a x 1，b x 2（b a ），则二次函数n mxxy 2中，当0y时，x 的取值范围是A ．a x B ．bxC ．bx aD ．a x 或bx 二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．函数4x y中，自变量x 的取值范围是___．10．分解因式：2255ma mb =___．。

北京市朝阳区2012届高三上学期期末考试试题数学（理） 2012.1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知平面向量(3,1)=a ，(,3)x =b ，且a ⊥b ，则实数x 的值为 （ ） A ．9 B ．1 C ．1- D ． 9-2.设集合{}U =1,2,3,4，{}25M =x U x x+p =0∈-，若{}2,3U C M =，则实数p 的值 为 ( ) A ．4- B ． 4 C ．6- D ．63. 设数列{}n a 是公差不为0的等差数列，11a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S 等于 （ ）A ． 2788n n +B ．2744n n+ C ．2324n n + D ．2n n +4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） A ．1 B ．1- C ． 2- D ．05.已知函数()sin f x x x =+，设()7a f π=，()6b f π=，()3c f π=，则,,a b c 的大小关系是 （ ）A. a b c <<B.c a b <<C.b a c <<D.b c a << 6.函数2()2xf x a x=--的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(1,3) B ．(1,2) C ．(0,3) D ． (0,2)7. 已知正方形ABCD的边长为，将ABC ∆沿对角线AC 折起，使平面ABC ⊥平面ACD ，得到如图所示的三棱锥B ACD -．若O 为AC 边的中点，M ，N 分别为线段DC ，BO 上的动点（不包括端点），且BN CM =.设BN x =，则三棱锥N AMC -的体积()y f x =的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8.已知集合{(,)|,,}A x y x n y na b n ===+∈Z ,{(,)|,B x y x m ==2312,y m =+m ∈Z }.若存在实数,a b 使得A B ≠∅成立,称点(,)a b 为“￡”点，则“￡”点在平面区域22{(,)|108}C x y x y =+≤内的个数是 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数个第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡上.9.已知有若干辆汽车通过某一段公路，从中抽取200辆汽车进行测速分析，其时速的频率分布直方图如图所示，则时速在区间[60,70)上的汽车大约有 辆.ADB NMOC时速（km/h ）01002 003 00440 50 60 70 8010．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是 .11. 在平面直角坐标系中,不等式组0,40,x y x y x a +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩所表示的平面区域的面积是9,则实数a 的值为 .12. 设直线10x my --=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A ，B 两点，且弦AB的长为m 的值是 .13. 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y （万元）与机器运转时间x （年数，x *∈N ）的关系为21825y x x =-+-.则当每台机器运转年时，年平均利润最大，最大值是 万元.14. 已知两个正数,a b ,可按规则c ab a b =++扩充为一个新数c ,在,,a b c 三个数中取两个较大的数,按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作.（1）若1,3a b ==,按上述规则操作三次,扩充所得的数是__________；（2）若0p q >>，经过6次操作后扩充所得的数为(1)(1)1mnq p ++-（,m n 为正整数），则,m n 的值分别为______________.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本题满分13分）在锐角ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足2sin 0b A -=．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若5a c +=，且a c >，b =AB AC 的值．16. （本题满分13分）如图，一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域．用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头A 所指区域的数字就是每次游戏所得的分数（箭头指向两个区域的边界时重新转动），且箭头A 指向每个区域的可能性都是相等的．在一次家庭抽奖的活动中，要求每个家庭派一位儿童和一位成人先后分别转动一次游戏转盘，得分情况记为(,)a b （假设儿童和成人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动）． （Ⅰ）求某个家庭得分为(5,3)的概率？（Ⅱ）若游戏规定：一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和，且得分大于等于8的家庭可以获得一份奖品．请问某个家庭获奖的概率为多少？（Ⅲ）若共有5个家庭参加家庭抽奖活动．在（Ⅱ）的条件下，记获奖的家庭数为X ，求X的分布列及数学期望．17. （本题满分13分）如图，在四棱锥S ABCD -中，平面S AD ⊥平面ABCD ．底面ABCD 为矩形，,AD AB ==，SA SD a ==．（Ⅰ）求证：CD SA ⊥； （Ⅱ）求二面角C SA D --的大小.18. （本题满分13分）已知函数1()ln(1)1xf x ax x-=+++（0x ≥，a 为正实数）. （Ⅰ）若1a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若函数()f x 的最小值为1，求a 的取值范围.19. （本题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，直线l 过点(4,0)A ，(0,2)B ，且与椭圆C 相切于点P .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在过点(4,0)A 的直线m 与椭圆C 相交于不同的两点M 、N ，使得23635AP AM AN =⋅?若存在，试求出直线m 的方程；若不存在,请说明理由.20. （本题满分14分） 数列{}n a ，{}n b （1,2,3,n =）由下列条件确定：①110,0a b <>；②当2k ≥时，k a 与k b 满足：当011≥+--k k b a 时，1-=k k a a ,211--+=k k k b a b ；当011<+--k k b a 时，211--+=k k k b a a ，1-=k k b b . （Ⅰ）若11a =-，11b =，写出234,,a a a ，并求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）在数列}{n b 中，若s b b b >>> 21(3s ≥,且*s ∈N )，试用11,b a 表示k b },,2,1{s k ∈；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设数列}{n c (*)n ∈N 满足211=c ，0n c ≠， 2212m n n n mc c c ma -+=-+(其中m 为给定的不小于2的整数)，求证：当m n ≤时，恒有1<n c .参考答案 2012.1一、选择题：二、填空题：三、解答题：（15）（本小题满分13分）解：2sin 0b A -=，2sin sin 0A B A -=， ……………………………………………… 2分因为sin 0A ≠，所以23sin =B . …………………………………………………3分 又B 为锐角， 则3B π=. …………………………………………… 5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，3B π=．因为b =根据余弦定理，得 2272cos3a c ac π=+-，………………………………………7分整理，得2()37a c ac +-=．由已知 5a c +=，则6ac =．又a c >，可得 3a =，2c =． ……………………………………… 9分于是222cos214b c a A bc +-===， ………………………… 11分所以cos cos 2114AB AC AB AC A cb A ====． …………… 13分 （16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）记事件A ：某个家庭得分情况为(5,3)．111()339P A =⨯=．所以某个家庭得分情况为(5,3)的概率为19．……………………………… 4分（Ⅱ）记事件B ：某个家庭在游戏中获奖，则符合获奖条件的得分包括(5,3),(5,5),(3,5)共3类情况．所以1111111()3333333P B =⨯+⨯+⨯=．所以某个家庭获奖的概率为13． ………………………………………… 8分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，每个家庭获奖的概率都是13，所以1~(5,)3X B ．00551232(0)()()33243P X C ==⋅=，11451280(1)()()33243P X C ==⋅=，22351280(2)()()33243P X C ==⋅=，33251240(3)()()33243P X C ==⋅=，44151210(4)()()33243P X C ==⋅=，5505121(5)()()33243P X C ==⋅=. ………………………………… 11分 所以X 分布列为：所以533EX np ==⨯=． 所以X 的数学期望为53． ……………………………………………… 13分（17）（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）因为平面SAD ⊥平面ABCD ，CD AD ⊥，且面SAD 面ABCD AD =， 所以CD ⊥平面SAD . 又因为SA ⊂平面SAD所以CD SA ⊥． …………………………………………… 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，CD SA ⊥.在SAD ∆中，SA SD a ==，AD ，所以SA SD ⊥， 所以SA ⊥平面SDC .即SA SD ⊥，SA SC ⊥,所以CSD ∠为二面角C SA D --的平面角． 在Rt CDS ∆中，tan CD CSD SD ∠===所以二面角C SA D --的大小3π． …………………………………… 13分 法二：取BC 的中点E , AD 的中点P ．在SAD ∆中，SA SD a ==，P 为AD 的中点，所以，SP AD ⊥． 又因为平面SAD ⊥平面ABCD ，且平面SAD 平面ABCD AD =所以，SP ⊥平面ABCD ．显然，有PE AD ⊥． ……………………………… 1分 如图，以P 为坐标原点，PA 为x 轴，PE 为y 轴，PS为z 轴建立空间直角坐标系，则)S，,0,0)A ，,0)B，(,0)C ，(,0,0)D ． ………………………………………………………………3分（Ⅰ）易知2(0,3,0),(,0,)CD a SA a =-= 因为0CD SA ⋅=，所以CD SA ⊥． …………………………………………………………… 6分 （Ⅱ）设(,,)x y z =n 为平面CSA 的一个法向量，则有00SA CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即0=⎪-=⎩，所以=n ． ……………………………… 7分显然，EP ⊥平面SAD ，所以PE 为平面SAD 的一个法向量，所以(0,1,0)=m 为平面SAD 的一个法向量．……………………………………… 9分所以 1cos ,2<>==n m ，所以二面角C SA D --的大小为3π． ………………………………………… 13分（18）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当1a =时，1()ln(1)1xf x x x-=+++， 则212()1(1)f x x x -'=+++. ………………………………………………… 2分 所以(1)0f '=.又(1)ln 2f =，因此所求的切线方程为ln 2y =. ………… 4分（Ⅱ）22222()1(1)(1)(1)a ax a f x ax x ax x -+-'=+=++++. ………………………… 5分 （1）当20a -≥，即2a ≥时，因为0x ≥，所以()0f x '>，所以函数()f x 在[)0,+∞上单调递增. ………………………………………………………………… 6分 （2）当20a -<，即02a <<时，令()0f x '=，则220ax a +-=（0x ≥），所以x =.因此，当x ∈时，()0f x '<，当)x ∈+∞时，()0f x '>.所以函数()f x 的单调递增区间为)+∞，函数()f x 的单调递减区间为. ………………………………………………………………… 10分 （Ⅲ）当2a ≥时，函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，则()f x 的最小值为(0)1f =，满足题意. ………………………………………………………………… 11分当02a <<时，由（Ⅱ）知函数()f x的单调递增区间为)+∞，函数()f x的单调递减区间为，则()f x的最小值为f ，而(0)1f =，不合题意.所以a 的取值范围是[)2,+∞. ………………………………………………… 13分（19）（本小题满分14分）解: （Ⅰ）由题得过两点(4,0)A ，(0,2)B 直线l 的方程为240x y +-=.………… 1分 因为12c a =，所以2a c =，b =. 设椭圆方程为2222143x y c c+=,由2222240,1,43x y x y c c+-=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得，224121230y y c -+-=. 又因为直线l 与椭圆C 相切,所以221244(123)0c ∆=-⨯-=,解得21c =.所以椭圆方程为22143x y +=. ……………………………………………… 5分 （Ⅱ）易知直线m 的斜率存在,设直线m 的方程为(4)y k x =-，…………………… 6分由22(4),1,43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得2222(34)3264120k x k x k +-+-=. ………… 7分由题意知2222(32)4(34)(6412)0k k k ∆=-+->，解得1122k -<<. ……………………………………………………………… 8分 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则21223234k x x k+=+，2122641234k x x k -=+. …… 9分又直线:240l x y +-=与椭圆22:143x y C +=相切， 由22240,1,43x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得31,2x y ==，所以3(1,)2P . ……………………………10分则2454AP =. 所以3645813547AM AN ⋅=⨯=.又AM AN ⋅==212(1)(4)(4)k x x =+--21212(1)(4()16)k x x x x =+-++22222641232(1)(416)3434k k k k k -=+-⨯+++ 2236(1).34k k=++ 所以223681(1)347k k +=+，解得4k =±.经检验成立. …………………… 13分 所以直线m的方程为4)y x =-. …………………………………… 14分 （20）（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为011=+b a ，所以112-==a a ,02112=+=b a b . 因为0122<-=+b a ,所以212223-=+=b a a ,023==b b . 因为33102a b +=-<,所以334124a b a +==-,430b b ==.所以1234111,1,,24a a a a =-=-=-=-. …………………………………… 2分由此猜想，当2≥k 时,011<+--k k b a ，则22111---=+=k k k k a b a a ，10k k b b -==.… 3分 下面用数学归纳法证明：①当2k =时，已证成立. ②假设当k l =（l *∈N ，且2l ≥）猜想成立， 即110l l a b --+<，10l l b b -==，102l l a a -=<. 当1k l =+时，由102l l a a -=<， 10l l b b -==得0l l a b +<，则10l l b b +==，1022l l ll a b a a ++==<. 综上所述，猜想成立.所以22221111(2)222n n n n a a n ---⎛⎫⎛⎫=⨯=-⋅=-≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.故211,12.2n n n a n --=⎧⎪=⎨-≥⎪⎩. ……………………………………………… 6分（Ⅱ）解：当s k ≤≤2时，假设110k k a b --+<，根据已知条件则有1-=k k b b ，与s b b b >>> 21矛盾，因此110k k a b --+<不成立， …………… 7分 所以有110k k a b --+≥，从而有1k k a a -=，所以1a a k =. 当011≥+--k k b a 时，1-=k k a a ，211--+=k k k b a b , 所以111111()22k k k k k k k a b b a a b a -----+-=-=-; …………………… 8分 当s k ≤≤2时，总有111()2k k k k b a b a ---=-成立.又110b a -≠，所以数列}{k k a b -(s k ,,2,1 =)是首项为11b a -，公比为12的等比数列,11121)(-⎪⎭⎫⎝⎛-=-k k k a b a b ，1,2,,k s =,又因为1a a k =，所以111121)(a a b b k k +⎪⎭⎫⎝⎛-=-. …………………………… 10分（Ⅲ）证明：由题意得2212m n n n mc c c ma -+=-+n n c c m+=21. 因为211n n n c c c m +=+，所以2110n n n c c c m+-=>. 所以数列{}n c 是单调递增数列. …………………………………… 11分 因此要证)(1m n c n ≤<,只须证1<m c . 由2≥m ，则n n n c c m c +=+211<n n n c c c m++11，即1111n n c c m +->-.…… 12分 因此1122111)11()11()11(1c c c c c c c c m m m m m +-++-+-=--- m m m m 121+=+-->. 所以11m mc m <<+.故当m n ≤,恒有1<n c . …………………………………………………14分。

2012北京市高三一模数学理分类汇编5：立体几何【2012北京市丰台区一模理】5．若正四棱锥的正视图和侧视图如右图所示，则该几何体的表面积是（ ）A ．4B ．4410+C ．8D ．4411+【答案】B【2012北京市房山区一模理】10. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 .【答案】32 【2012北京市海淀区一模理】（8）在正方体''''ABCDA B C D 中，若点P （异于点B ）是棱上一点，则满足BP 与'AC 所成的角为45的点P 的个数为A'B'C'D'A BCD（A ）0 （B ）3（C ）4 （D ）6 【答案】B【2012北京市海淀区一模理】(16)（本小题满分14分）在四棱锥P ABCD 中，AB //CD ，AB AD ，4,22,2AB AD CD ，PA平面ABCD ，4PA.（Ⅰ）设平面PAB 平面PCD m =，求证：CD //m ；PDCBA（Ⅱ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅲ）设点Q 为线段PB 上一点，且直线QC 与平面PAC，求PQ PB 的值．【答案】（Ⅰ）证明： 因为AB //CD ，CD ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以CD //平面PAB . ………………………………………2分 因为CD ⊂平面PCD ，平面PAB平面PCD m =，所以CD //m . ………………………………………4分 （Ⅱ）证明：因为AP平面ABCD ，ABAD ，所以以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则(4,0,0)B ，(0,0,4)P ，D ，C .………………………………………5分所以 (BD =-，AC =，(0,0,4)AP =，所以(4)2000BD AC ⋅=-⨯+⨯=，(4)00040BD AP ⋅=-⨯++⨯=.所以 BD AC ⊥，BD AP ⊥.因为 AP AC A =，AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，所以 BD ⊥平面PAC .………………………………………9分（Ⅲ）解：设PQ PBλ（其中01λ），(,,)Q x y z ，直线QC 与平面PAC 所成角为θ.所以 PQ PB λ.所以 (,,4)(4,0,4)x y z λ.所以4,0,44,xy zλλ即(4,0,44)Q λλ.所以 (42,22,44)CQ λλ. ………………………………………11分由（Ⅱ）知平面PAC 的一个法向量为(4,22,0)BD =-.………………………………………12分因为 sin cos ,CQ BD CQ BDCQ BDθ，所以2234(42)8326(42)8(44)λλλ---=⋅-++-+.解得 7[0,1]12λ=∈. 所以 712PQ PB . ………………………………………14分【2012年北京市西城区高三一模理】4．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为3123cm ．其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（ ）（A ）243cm （B ）223cm （C ）28cm （D ）24cm 【答案】A【解析】正六棱柱的左视图是一个以AB 长为宽，高为2的矩形，32=AB所以左视图的面积为34232=⨯，选A.【2012北京市门头沟区一模理】3．己知某几何体的三视图如右图所示，则其体积为(A)8 (B) 4 (C)43(D)23【答案】B【2012北京市门头沟区一模理】8．正四棱柱1111ABCD A BC D -的底面边长为22，12AA =，点M 是BC 的中点，P 是平面11A BCD 内的一个动点，且满足2PM ≤，P 到11A D 和AD 的距离相等，则点P 的轨迹的长度为 (A)π(B)23π(C)22(D)2【答案】D【2012北京市朝阳区一模理】4. 已知平面α，直线,,a b l ，且,a b αα⊂⊂，则“l a ⊥且l b ⊥”是“l α⊥”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【2012北京市朝阳区一模理】10. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .【答案】324【2012北京市石景山区一模理】设n m ,是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ）A ．αα//,//,//n m n m 则若B ．βαγβγα//,,则若⊥⊥C ．n m n m //,//,//则若ααD ．n m n m ⊥⊥则若,//,αα【答案】D【解析】根据线面垂直的性质可知选项D 正确。

北京市朝阳区2012-2013学年度高三年级第一学期期中统一考试数学试卷（理工类） 2012.11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知全集{}1,2,3,4,5,6U =, 集合{}1,3,5A =, {}1,2B =, 则A(U ðB )等于（ ）A ．∅B ．{}5C ．{}3D ．{}3,52. 已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，若2342,216a a a =+=，则n a 等于（ ）A ．22-nB ．32n -C ．12-n D ．n23.已知平面向量a ，b 满足||1=a ，||2=b ，且()+⊥a b a ，则a 与b 的夹角为（ ）A ．56π B ．23π C ． 3π D ．6π4.曲线e ()1xf x x =-在0x =处的切线方程为（ ）A ．10x y --=B ．10x y ++=C ．210x y --=D ．210x y ++=5.在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3AM =，点P 在AM 上，且满足2AP PM =，则()PA PB PC ⋅+的值为（ ）A ．4-B ．2-C ．2D ．4 6.函数33,0,(),0x x f x x x --<⎧=⎨≥⎩的图象与函数()ln(1)g x x =+的图象的交点个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47.函数()f x 是定义域为R 的可导函数，且对任意实数x 都有()(2)f x f x =-成立．若当1x ≠时，不等式(1)()0x f x '-⋅<成立，设(0.5)a f =，4()3b f =，(3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b a c >>B ．c b a >>C ．a b c >>D ．b c a >>8.已知数列{}n a 是各项均为正数且公比不等于1的等比数列.对于函数()y f x =，若数列{}ln ()n f a 为等差数列，则称函数()f x 为“保比差数列函数”.现有定义在(0,)+∞上的如下函数：①1()f x x=， ②2()f x x =， ③()e x f x =，④()f x = 则为“保比差数列函数”的所有序号为（ ）A ．①②B ．③④C ．①②④D ．②③④第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9.设集合{|2}A x x =∈≤R ，B ={x ∈R ∣}1262x <<,则A B = . 10.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和．若569108,24a a a a +=+=，则公差d = ，10S = .11.已知角α的终边经过点(3,4)(0)a a a <，则sin α= ，tan(2απ-)= . 12. 在ABC ∆中，若4BA BC ⋅=，ABC ∆的面积为2，则角B = .13. 已知函数()y f x =满足：(1)=f a （01a <≤），且()1,()1,()(1)2(),()1,f x f x f x f x f x f x -⎧>⎪+=⎨⎪≤⎩则(2)=f （用a 表示），若1(3)=(2)f f ，则a = . 14.已知函数()f x x x =.当[,1]x a a ∈+时，不等式(2)4()f x a f x +>恒成立，则实数a 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）设△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知12,3,cos 3a b C ===． （Ⅰ）求△ABC 的面积； （Ⅱ）求sin()C A -的值． 16.（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =，131n n a S +=+，n *∈N . （Ⅰ）写出23,a a 的值，并求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记n T 为数列{}n na 的前n 项和，求n T ；（Ⅲ）若数列{}n b 满足10b =，12log (2)n n n b b a n --=≥，求数列{}n b 的通项公式.17.（本小题满分13分）函数()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕπ=+>><部分图象如图所示． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式，并写出其单调递增区间；（Ⅱ）设函数()()2cos 2g x f x x =+，求函数()g x 在区间[,]64ππ-上的最大值和最小值． 18.（本小题满分13分）已知函数2()243f x ax x a =+--，a ∈R . （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 在[]1,1-上的最大值；（Ⅱ）如果函数()f x 在区间[]1,1-上存在零点，求a 的取值范围. 19.（本小题满分14分）设函数()ln f x a x x1=+，a ∈R ． （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）当0a >时，若对任意0x >，不等式()2f x a ≥成立，求a 的取值范围； （Ⅲ）当0a <时，设10x >，20x >，试比较)2(21x x f +与2)()(21x f x f +的大小并说明理由．20.（本小题满分13分）给定一个n 项的实数列12,,,(N )n a a a n *∈，任意选取一个实数c ，变换()T c 将数列12,,,n a a a 变换为数列12||,||,,||n a c a c a c ---，再将得到的数列继续实施这样的变换，这样的变换可以连续进行多次，并且每次所选择的实数c 可以不相同，第(N )k k *∈次变换记为()k k T c ，其中k c 为第k 次变换时选择的实数.如果通过k 次变换后，数列中的各项均为0，则称11()T c ， 22()T c ，…，()k k T c 为 “k 次归零变换”.（Ⅰ）对数列：1,3,5,7，给出一个 “k 次归零变换”，其中4k ≤； （Ⅱ）证明：对任意n 项数列，都存在“n 次归零变换”； （Ⅲ）对于数列231,2,3,,n n ，是否存在“1n -次归零变换”？请说明理由.北京市朝阳区2012-2013学年度第一学期高三年级期中练习数学试卷答案（理工类）2012.11（注：两空的填空，第一空3分，第一空2分）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在△ABC中，因为1cos3C=，所以sin3C===．………………………2分所以，11sin23223ABCS ab C==⨯⨯⨯=………………………5分（Ⅱ）由余弦定理可得，2222cosc a b abC=+-1492233=+-⨯⨯⨯9=所以，3c=．…………………………………………7分又由正弦定理得，sin sinc aC A=，所以，2sin3sin3a CAc⨯===．……………………9分因为a b<，所以A为锐角,所以，7cos9A===．……………………11分所以，sin()sin cos cos sinC A C A C A-=-71393927=-⨯=．…………………………………13分16. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得，24a =，316a =. ……………………………………………2分由题意，131n n a S +=+，则当2n ≥时，131n n a S -=+.两式相减，得14n n a a +=（2n ≥）. ……………………………………………3分 又因为11a =，24a =，214a a =， 所以数列{}n a 是以首项为1，公比为4的等比数列，所以数列{}n a 的通项公式是14n n a -=（n *∈N ）. ………………………………5分（Ⅱ）因为2112323124344n n n T a a a na n -=++++=+⨯+⨯++⋅，所以2314412434(1)44n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅， ……………………6分两式相减得，2114314444414nn nn n T n n ---=++++-⋅=-⋅-， ………8分整理得，311499n n n T -=⋅+ (n *∈N ). ………………………………9分 （Ⅲ） 当2n ≥时，依题意得2122log b b a -=,3223log b b a -=,… , 12log n n n b b a --=.相加得，122232log log log n n b b a a a -=+++. ……………………………12分依题意122log log 42(1)n n a n -==-.因为10b =，所以[]212(1)(1)n b n n n =+++-=-（2n ≥）.显然当10b =时，符合.所以(1)n b n n =-(n *∈N ). ……………………………………14分17. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由图可得2A =，22362T πππ=-=， 所以T =π，所以2ω=． …………………………………………………………2分 当6x π=时，()2f x =，可得 2sin(2)26ϕπ⋅+=， 因为||2ϕπ<，所以6ϕπ=． ………………………………………………………4分所以函数()f x 的解析式为()2sin(2)6f x x π=+．………………………………5分 函数()f x 的单调递增区间为[,]()36k k k πππ-π+∈Z ．…………………………7分 （Ⅱ）因为()()2cos 22sin(2)2cos 26g x f x x x x π=+=++2sin 2cos 2cos 2sin 2cos 266x x x ππ=++ …………………………8分23cos 2x x =+)3x π=+. ………………………10分因为[,]64x ππ∈-，所以50236x ππ≤+≤．当232x ππ+=，即12x π=时，函数()g x 有最大值为 ……………12分 当203x π+=，即6x π=-时，函数()g x 有最小值0． ………………13分 18. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）当1a =时，则2()244f x x x =+-222(2)42(1)6x x x =+-=+-．因为[]1,1x ∈-，所以1x =时，()f x 的最大值(1)2f =．………………………3分 （Ⅱ）当0a =时，()43f x x =- ,显然在[]1,1-上有零点, 所以0a =时成立.……4分当0a ≠时，令168(3)8(1)(2)0a a a a ∆=++=++=,解得1,a =-2a =-． ………………………………………5分 （1） 当1a =-时, 22()2422(1)f x x x x =-+-=-- 由()0f x =，得1[1,1]x =∈-；当 2a =-时,221()4414()2f x x x x =-+-=--．由()0f x =，得1[1,1]2x =∈-， 所以当 0,1,2a =--时, ()y f x =均恰有一个零点在[]1,1-上.………………7分（2）当(1)(1)(7)(1)0f f a a -=-+≤，即17a -≤≤时，()y f x =在[]1,1-上必有零点. ………………………………………8分（3）若()y f x =在[]1,1-上有两个零点, 则0,8(1)(2)0,111,(1)0,(1)0a a a a f f >⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪-≥⎪⎪≥⎩或0,8(1)(2)0,111,(1)0,(1)0.a a a a f f <⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪-≤⎪⎪≤⎩ …………………12分 解得7a ≥或2a <-．综上所述，函数()f x 在区间[]1,1-上存在极值点，实数a 的取值范围是1a ≥-或2a ≤-. ………………………………………13分19. （本小题满分14分）解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞. ………………………………………1分 （Ⅰ）由题意21)(,0xx a x f x -='>， ………………………………………2分 （1）当0a >时，由0)(<'x f 得012<-x x a ，解得a x 1<，函数)(x f 的单调递减区间是)1,0(a ； 由0)(>'x f 得012>-xx a ，解得a x 1>，函数)(x f 的单调递增区间是),1(∞+a． …………………………………………4分（2）当0a ≤时， 由于0x >，所以21()0a f x x x '=-<恒成立，函数)(x f 的在区间(0),+∞上单调递减． ……………………………………………………………………………………5分 （Ⅱ）因为对于任意正实数x ，不等式()2f x a ≥成立，即xx a a 1ln 2+≤恒成立． 因为0>a ，由（Ⅰ）可知 当a x 1=时，函数()ln f x a x x1=+有最小值a a a a a a a f ln 1ln )1(-=+=．…7分 所以a a a x f a ln )(2min -=≤，解得10ea <≤．故所求实数a 的取值范围是1(0,]e． ………………………………………9分（Ⅲ）因为121212()ln 22x x x x f a x x ++2=++， 121212()()1(ln ln )22f x f x a x a x x x +11=+++．12121212121[ln(]22x x x x a x x a x x x x ++=)+=. ……………………………10分所以121212121212()()()ln 2222x x f x f x x x x x f a a x x x x ++++2-=+-+121212()2()x x a x x x x 2-=-+．（1）显然，当12x x =时，1212()()()22x x f x f x f ++=． ……………………11分 （2）当12x x ≠时，因为0,021>>x x 且0a <，所以221>+x x 21x x ，所以02ln ,1221212121<+>+x x x x a x x x x ．………………12分又121212()02()x x x x x x 2--<+，所以121212()02()x x a x x x x 2--<+ 所以02)()()2(2121<+-+x f x f x x f ， 即2)()()2(2121x f x f x x f +<+． 综上所述，当12x x =时，1212()()()22x x f x f x f ++=；当12x x ≠时，2)()()2(2121x f x f x x f +<+ ．……………………………………………………14分 20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）方法1：1(4)T ：3,1,1,3;2(2)T ：1,1,1,1;3(1)T ：0,0,0,0．方法2：1(2)T ：1,1,3,5;2(2)T ：1,1,1,3;3(2)T ：1,1,1,1；4(1)T ：0,0,0,0．．……4分（Ⅱ）经过k 次变换后，数列记为()()()12,,,k k k n a a a ，1,2,k =．取1121)2c a a =(+,则(1)(1)12121||2a a a a ==-，即经11()T c 后，前两项相等；取(1)(1)2231()2c a a =+，则(2)(2)(2)(1)(1)123321||2a a a a a ===-，即经22()T c 后，前3项相等； … …设进行变换()k k T c 时，其中(1)(1)11()2k k k k k c a a --+=+，变换后数列变为 ()()()()()()12312,,,,,,,k k k k k k k k n a a a a a a ++，则()()()()1231k k k k k a a a a +====；那么，进行第1k +次变换时，取()()1121()2k k k k k c a a +++=+， 则变换后数列变为(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)123123,,,,,,,,k k k k k k k k k k n a a a a a a a ++++++++++，显然有(1)(1)(1)(1)(1)12312k k k k k k k a a a a a +++++++=====；… …经过1n -次变换后，显然有(1)(1)(1)(1)(1)1231n n n n n n na a a a a ------=====； 最后，取(1)n n n c a -=，经过变换()n n T c 后，数列各项均为0.所以对任意数列，都存在 “n 次归零变换”． ……………………………………9分 （Ⅲ）不存在“1n -次归零变换”. ………………………………………………10分 证明：首先，“归零变换”过程中，若在其中进行某一次变换()j j T c 时，12min{,,,}j n c a a a <，那么此变换次数便不是最少.这是因为，这次变换并不是最后的一次变换（因它并未使数列化为全零），设先进行()j j T c 后，再进行11()j j T c ++，由11|||||()|i j j i j j a c c a c c ++--=-+，即等价于一次变换1()j j j T c c ++，同理，进行某一步()j j T c 时，12max{,,,}j n c a a a >；此变换步数也不是最小．由以上分析可知，如果某一数列经最少的次数的“归零变换”，每一步所取的i c 满足1212min{,,,}max{,,,}n i n a a a c a a a ≤≤．以下用数学归纳法来证明，对已给数列，不存在“1n -次归零变换”． （1）当2n =时，对于1,4，显然不存在 “一次归零变换” ，结论成立．（由（Ⅱ）可知，存在 “两次归零变换”变换：1253(),()22T T ） （2）假设n k =时成立，即231,2,3,,k k 不存在“1k -次归零变换”． 当1n k =+时，假设2311,2,3,,,(1)k k k k ++存在“k 次归零变换”．此时，对231,2,3,,k k 也显然是“k 次归零变换”，由归纳假设以及前面的讨论不难知231,2,3,,k k 不存在“1k -次归零变换”，则k 是最少的变换次数，每一次变换i c 一定满足1ki c k ≤≤，1,2,,i k =．因为111212|||(1)|||(1)()k k k k k c c c k c c c +++----=+-+++1(1)0k k k k k +≥+->所以，1(1)k k ++绝不可能变换为0，与归纳假设矛盾．所以，当1n k =+时不存在“k 次归零变换”．由（1）（2）命题得证． ………………………………………13分。

俯视图正视图十八、空间几何体 第一部分 三视图4.（2012年西城一模理4）已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为3． 其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（ A ） A ．2 B ．2 C ．28cm D ．24cm5．（2012年丰台一模理5）若正四棱锥的正视图和俯视图如右图所示，则该几何体的表面积是（ B ）A.4B.4+4+10.（2012年朝阳一模理10） 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 . 答案：32正视图侧视图6.（2012年东城11校联考理6）一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（ B ） A ．112 B.80 C.72 D.647.（2012年石景山一模理7）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ A ）A.83+B.83+C.83+D.323俯视图 侧视图10.（2012年房山一模10）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 . 答案：32。

11．（2012年密云一模理11）已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积 为 . 答案：32。

第第11题图 第12题图C3．（2012年门头沟一模理3）己知某几何体的三视图如右图所示，则其体积为（ B ） A.8 B.4 C.主视图 左视图俯视图第二部分 立体几何4.（2012年朝阳一模理4）已知平面α，直线,,a b l ，且,a b αα⊂⊂，则“l a ⊥且l b ⊥”是“l α⊥”的（ B ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3.（2012年东城11校联考理3）已知直线m ，n 与平面α，β，下列命题正确的是 （ D ）A ．βα//,//n m 且βα//，则n m //B ．βα//,n m ⊥且β⊥α，则n m ⊥C ．,βm n m =⊥α且βα⊥，则α⊥n D ．βα⊥⊥n m ,且βα⊥，则n m ⊥4.（2012年石景山一模理4）设n m ,是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，下列命题正确的是（ D ）A.αα//,//,//n m n m 则若B.βαγβγα//,,则若⊥⊥C.n m n m //,//,//则若ααD.n m n m ⊥⊥则若,//,αα4.（2012年东城11校联考理4）甲从正四面体的四个顶点中任意选择两个顶点连成直线， 乙从该正四面体四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是（ A ） A.61 B. 92 C. 185 D. 318.（2012年海淀一模理8）在正方体''''ABCD A B C D -中，若点P （异于点B ）是棱上一点，则满足BP 与'AC 所成的角为45°的点P 的个数为（ B ）A ．0B ．3C ．4D ．616.（2012年海淀一模理16）在四棱锥P ABCD -中，AB //CD ，AB AD ^，4,2AB AD CD ===，PA ^平面ABCD ，4PA =. （Ⅰ）设平面PAB平面PCD m =，求证：CD //m ； （Ⅱ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅲ）设点Q 为线段PB 上一点，且直线QC 与平面PAC所成角的正弦值为3，求PQPB的值．A'B'C'D'ABCDPDCBA证明：（Ⅰ） 因为AB //CD ，CD ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以CD //平面PAB . 因为CD ⊂平面PCD ，平面PAB平面PCD m =，所以CD //m .（Ⅱ）：因为AP ^平面ABCD ，AB AD ^，所以以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则(4,0,0)B ，(0,0,4)P，(0,D，(2,C . 所以(4,BD =-，(2,AC =，(0,0,4)AP =，所以(4)2000BD AC ⋅=-⨯+⨯=，(4)00040BD AP ⋅=-⨯++⨯=.所以 BD AC ⊥，BD AP ⊥.因为 AP AC A =，AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，所以 BD ⊥平面PAC .（Ⅲ）解：设PQPBλ=（其中01λ＃），(,,)Qxyz ，直线QC 与平面PAC 所成角为θ. 所以 PQ PB λ=.所以 (,,4)(4,0,4)x y z λ-=-.所以 4,0,44,x y z λλì=ïïï=íïï=-+ïïî即(4,0,44)Q λλ-+.所以(42,44)CQ λλ=---+.由（Ⅱ）知平面PAC的一个法向量为(4,BD =-.因为 sin cos ,CQ BD CQ BD CQ BDθ×=<>=×，所以3=. 解得 7[0,1]12λ=∈. 所以 712PQ PB =.17.（2012年西城一模理17）如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形， ︒=∠=∠60DBF DAB ，且F A F C =．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDEF ；（Ⅱ）求证：FC ∥平面EAD ；（Ⅲ）求二面角B FC A --的余弦值．证明：（Ⅰ）设AC 与BD 相交于点O ，连结FO ．因为 四边形ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥， 且O 为AC 中点．又 FC FA =，所以 AC FO ⊥． 因为 O BD FO = ，所以 ⊥AC 平面BDEF ． （Ⅱ）因为四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，所以AD //BC ，DE //BF ，所以 平面FBC //平面EAD ． 又⊂FC 平面FBC ，所以FC // 平面EAD ． 解：（Ⅲ）因为四边形BDEF 为菱形，且︒=∠60DBF ，所以△DBF 为等边三角形．因为O 为BD 中点，所以BD FO ⊥，故FO ⊥平面ABCD ．由OF OB OA ,,两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -． 设2=AB ．因为四边形ABCD 为菱形，︒=∠60DAB ，则2=BD ，所以1OB =，OA OF ==所以 )3,0,0(),0,0,3(),0,1,0(),0,0,3(),0,0,0(F C B A O-． 所以 (3,0,CF =，(3,1,0)CB =．设平面BFC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.CF CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以 ⎩⎨⎧=+=+．03,033y x z x 取1=x ，得)1,3,1(--=n ．易知平面AFC 的法向量为(0,1,0)=v ．由二面角B FC A --是锐角，得cos ,⋅〈〉==n v n v n v． 所以二面角B FC A --的余弦值为515． 17．（2012年东城一模理17）如图1，在边长为3的正三角形ABC 中，E ，F ，P 分别为AB ，AC ，BC 上的点，且满足1AE FC CP ===.将△AEF 沿EF 折起到△1A EF 的位置，使二面角1A EF B --成直二面角，连结1A B ，1A P .（如图2） （Ⅰ）求证：E A 1⊥平面BEP ；（Ⅱ）求直线E A 1与平面BP A 1所成角的大小.图1 图2证明：（Ⅰ）取BE 中点D ，连结DF .因为1AE CF ==，1DE =，所以2AF AD ==，而60A ∠=，即△ADF 是正三角形. 又因为1AE ED ==, 所以EF AD ⊥. 所以在图2中有1A E EF ⊥，BE EF ⊥. 所以1A EB ∠为二面角1A EF B --的平面角. 又二面角1A EF B --为直二面角， 所以1A E BE ⊥. 又因为BEEF E =,所以1A E ⊥平面BEF ,即1A E ⊥平面BEP .解：（Ⅱ）由（Ⅰ）可知1A E ⊥平面BEP ，BE EF ⊥，如图，以E 为原点，建立空间直角坐标系E xyz -，则(0,0,0)E ，1(0,0,1)A ，(2,0,0)B ，,0)F 在图１中，连结DP . 因为12CF CP FA PB ==，所以PF∥BE，且12PF BE DE==.所以四边形EFPD为平行四边形.所以EF∥DP，且EF DP=.故点P的坐标为（10）. 图2所以1(2,0,1)A B=-，(BP=-，1(0,0,1)EA=.不妨设平面1A BP的法向量(,,)x y z=n，则10,0.A BBP⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩nn即20,0.x zx-=⎧⎪⎨-=⎪⎩令y=(3,6)=n.所以111cos,||||14EAEAEA⋅<>===⨯nnn故直线1A E与平面1A BP所成角的大小为3π.16. （2012年丰台一模理16）四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，侧面PAD⊥底面ABCD，∠B CD=60º，，E是BC中点，点Q在侧棱PC上．（Ⅰ）求证：AD⊥PB；（Ⅱ）若Q是PC中点，求二面角E-DQ-C的余弦值；（Ⅲ）若PQPCλ=，当PA // 平面DEQ时，求λ的值．证明：（Ⅰ）取AD中点O，连结OP，OB，BD．因为 PA=PD，所以 PO⊥AD．…………1分ED CBAQPPQ因为 菱形ABCD 中，∠B CD =60º， 所以 AB=BD ，所以 BO ⊥AD ． …………2分 因为 BO ∩PO=O ， …………3分 所以 AD ⊥平面POB ．………4分 所以 AD ⊥PB ． …………5分 解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知BO ⊥AD ，PO ⊥AD ．因为 侧面PAD ⊥底面ABCD ， 且平面PAD ∩底面ABCD=AD ，所以PO ⊥底面ABCD ． ………6分以O 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系O-……7分则(1,0,0)D -，(E -，(0,0,1)P ， (C -，因为Q 为PC 中点， 所以1()2Q -． ……8分 所以 DE =，1(0,)2DQ =， 所以平面DEQ 的法向量为1(1,0,0)n =． 因为 (DC =-，1(0,)2DQ =， 设平面DQC 的法向量为2(,,)n x y z =， 则220,DC n DQ n ⎧⋅=⎪⇔⎨⋅=⎪⎩0,10.22x y z ⎧-=+=⎪⎩ 令x =1y =，z =2(3,1,n =． …9分12121221cos ,7||||n n n n n n ⋅<>==．由图可知，二面角E-DQ-C 为锐角，所以余弦值为7． …10分 （Ⅲ）因为PQPCλ=，所以 PQ PC λ=， 由（Ⅱ）知(1)PC =--，(1,0,1)PA =-，C若设(,,)Q x y z ，则(,,1)PQ x y z =-，由 PQ PC λ=，得21x y z λλ=-⎧⎪=⎨⎪=-+⎩，在平面DEQ中，DE =，(1,,)(12,1)DQ x y z λλ=+=--，所以平面DEQ 法向量为1(1,0,21)n λλ=--， …12分 又因为 PA // 平面DEQ ， 所以 10PA n ⋅=， ……13分 即(1)(1)(21)0λλ-+--=，得23λ=． 所以，当23λ=时，PA // 平面DEQ ． …14分17.（2012年朝阳一模理17）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，=90ABD ∠︒，EB ⊥平面ABCD ，EF//AB ，=2AB，==1EB EF，=BC M 是BD 的中点.（Ⅰ）求证：EM//平面ADF ；（Ⅱ）求二面角D-AF-B 的大小；（Ⅲ）在线段EB 上是否存在一点P ，使得CP 与AF 所成的角为30︒？若存在，求出BP 的长度；若不存在，请说明理由.证明：（Ⅰ）取AD 的中点N ，连接MN,NF .在△DAB 中，M 是BD 的中点，N 是AD 的中点，所以1=2MN//AB,MN AB ， 又因为1=2EF//AB,EF AB ，所以MN//EF 且MN =EF .所以四边形MNFE 为平行四边形， 所以EM//FN .又因为FN ⊂平面ADF ，⊄EM 平面ADF ，CA F EBMD NCA F EBMD故EM//平面ADF. … 4分解法二：因为EB⊥平面ABD，AB BD⊥，故以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系-B xyz. ……1分由已知可得(0,0,0),(0,2,0),(3,0,0),B A D3(3,-2,0),(,0,0)2C E F M（Ⅰ）3=(,0,-3)(3,-2,0)2EM,AD=，设平面ADF的一个法向量是()x,y,zn=.由0,0,ADAFnn⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得32x-y=0,=0.⎧⎪⎨⎪⎩令y=3，则n=. …3分又因为3(=3+0-3=02EM n⋅=⋅，所以EM n⊥，又EM⊄平面ADF，所以//EM平面ADF. ……4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面ADF的一个法向量是n=.因为EB⊥平面ABD，所以EB BD⊥.又因为AB BD⊥，所以BD⊥平面EBAF.故(3,0,0)BD=是平面EBAF的一个法向量.所以1cos<=2BDBD,BDnnn⋅>=⋅，又二面角D-AF-B为锐角，故二面角D-AF-B的大小为60︒. …10分（Ⅲ）假设在线段EB上存在一点P，使得CP与AF所成的角为30︒.不妨设(0,0,t)P（0t≤≤，则=(3,-2,-),=PC AFt.所以2cos<2PC AFPC,AFPC AF⋅>==⋅，=，化简得35-=，解得0t=<.所以在线段EB上不存在点P，使得CP与AF所成的角为30︒.……14分17.（2012年东城11校联考理17）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，90DAB ∠=，//AD BC ，AD ⊥侧面PAB ，△PAB 是等边三角形，2==AB DA ，12BC AD =，E 是线段AB 的中点．（1）求证：CD PE ⊥；（2）求四棱锥P ABCD -的体积；（3）试问线段PB 上是否存在点F ，使二面角C DE F --的余弦值为41?若存在，确定点F 的位置；若不存在，说明理由.证明：（1）因为AD ⊥侧面PAB ，PE ⊂平面PAB ， 所以AD PE ⊥．又因为△PAB 是等边三角形，E 是线段AB 的中点，所以PE AB ⊥． 因为ADAB A =，所以PE ⊥平面ABCD ．而CD ⊂平面ABCD ，所以PE CD ⊥． ……4分解：（2）由（1）知PE ⊥平面ABCD ，所以PE 是四棱锥P ABCD -的高．由2==AB DA ，12BC AD =，可得1=BC ． 因为△PAB 是等边三角形，可求得3=PE ．所以332)21(213131=⨯⨯+⨯=⋅=-PE S V ABCD ABCD P ．……8分（3）以E 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -．(0,1,0),(0,0,0)(01,0),(11,0),(2,1,0),(0,0A E B C D P --则有，，，设000(,,),F x y z PF PB=λ,则)3,1,0()3,,(--=-λzyx(0,)F-λ所以.设(,,x y z=）n为平面DEF的法向量,(2,1,0),(0,),ED EF==-λ0,0,EDEF⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩nn200.x yy z+=⎧⎪⎨-λ+=⎪⎩，即）x1y2z⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩，所以，(1,=-所以n.设平面CDE的法向量为(0,0,1=）m．1cos,4m n==所以.化简得01232=-+λλ.解得311=-=λλ（舍）或.所以存在点F，且PBPF31= .………13分17.（2012年石景山一模理17）如图，三棱柱111CBAABC-中，1AA⊥面ABC，2,==⊥ACBCACBC，13AA=，D为AC的中点.（Ⅰ）求证：11//BDCAB面；（Ⅱ）求二面角CBDC--1的余弦值；（Ⅲ）在侧棱1AA上是否存在点P，使得1BDCCP面⊥？请证明你的结论.B1 B证明：（I ）连接B 1C ，与BC 1相交于O ，连接OD ． …1分 ∵BCC 1B 1是矩形，∴O 是B 1C 的中点． 又D 是AC 的中点，∴OD//AB 1．∵AB 1⊄面BDC 1，OD ⊂面BDC 1，∴AB 1//面BDC 1． 解：（II ）如图，建立空间直角坐标系， 则C 1（0，0，0），B （0，3，2）， C （0，3，0），A （2，3，0）， D （1，3，0），1(0,3,2)C B =，1(1,3,0)C D =，……5分设111(,,)n x y z =是面BDC 1的一个法向量，则110,0n C B n C D ⎧=⎪⎨=⎪⎩即1111320,30y z x y +=⎧⎨+=⎩，取11(1,,)32n =-.…7分 易知1(0,3,0)C C =是面ABC 的一个法向量. ……8分1112cos ,7n C C n C C n C C==-⨯.∴二面角C 1—BD —C 的余弦值为27. ……9分 （III ）假设侧棱AA 1上存在一点P 使得CP ⊥面BDC 1.设P （2，y ，0）（0≤y ≤3），则 (2,3,0)CP y =-， …10分则110,0CP C B CP C D ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即3(3)0,23(3)0y y -=⎧⎨+-=⎩. …12分解之3,73y y =⎧⎪⎨=⎪⎩∴方程组无解. ……13分∴侧棱AA 1上不存在点P ，使CP ⊥面BDC 1. …14分17.（2012年房山一模17）在直三棱柱111ABC A B C -中，1BC CC AB ===2 ,BC AB ⊥.点N M ,分别是1CC ,C B 1的中点，G 是棱AB 上的动点.（I ）求证：⊥C B 1平面BNG ；(II)若CG //平面M AB 1，试确定G 点的位置，并给出证明；(III)求二面角1M AB B --的余弦值.证明：(I)∵在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC BC =，点N 是C B 1的中点，∴C B BN 1⊥ …………1分BC AB ⊥,1BB AB ⊥,B BC BB = 1∴AB ⊥平面11BCC B …………2分⊂C B 1平面11BCC B∴AB C B ⊥1，即GB C B ⊥1 ……………3分 又B BG BN =∴⊥C B 1平面BNG …………4分（II ）当G 是棱AB 的中点时，CG //平面M AB 1.……………5分 证明如下:连结1AB ,取1AB 的中点H ，连接GC HM HG ,,, 则HG 为B AB 1∆的中位线 ∴GH ∥1BB ，121BB GH =………6分 ∵由已知条件，11BCC B 为正方形 ∴1CC ∥1BB ，11BB CC = ∵M 为1CC 的中点，∴121CC CM =……7分 ∴MC ∥GH ，且GH MC = ∴四边形HGCM 为平行四边形 ∴GC ∥HM又 ∵M AB HM M AB GC 11,平面平面⊄⊂ ……8分 ∴CG //平面M AB 1 ………9分 解：(III) ∵ 直三棱柱111ABC A B C -且BC AB ⊥依题意，如图：以1B 为原点建立空间直角坐标系1B xyz -，…10分∴1(0,0,0)B ,(0,2,0)B ,)0,1,2(M ,(0,2,2)A ,1(2,0,0)C则1(0,2,2)B A =，)0,1,2(1=B 设平面1B AM 的法向量(,,)n x y z =，则1100n B A n B M ⋅=⋅⎧⎪=⎨⎪⎩,即00222x y z y ⎧⎨+=+=⎩，令1=x ，有)2,2,1(-=n ………12分 又平面1B AB 的法向量为11(2,0,0)BC =，∴11cos ,BC n <>=1111B C n B C n⋅⋅=31， ……13分设二面角1M AB B --的平面角为θ，且θ为锐角∴111cos cos ,3B C n θ=-=． ……14分16．（2012年密云一模理16）如图，已知E ，F 分别是正方形ABCD 边BC 、CD 的中点，EF 与AC 交于点O ，PA 、NC 都垂直于平面ABCD ，且4PA AB ==，2NC =，M 是线段PA 上一动点．（Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面NEF ；（Ⅱ）若//PC 平面MEF ，试求:PM MA 的值；（Ⅲ）当M 是PA 中点时，求二面角M EF N --的余弦值．证明：（Ⅰ）连结BD ，∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴PA BD ⊥， 又∵BD AC ⊥，AC PA A =，∴BD ⊥平面PAC ，又∵E ，F 分别是BC 、CD 的中点，∴//EF BD ， ∴EF ⊥平面PAC ，又EF ⊂平面NEF ， ∴平面PAC ⊥平面NEF ； ……4分 解：（Ⅱ）建立如图所示的直角坐标系，则(0,0,4)P ，(4,4,0)C ，(4,2,0)E ，(2,4,0)F ，∴(4,4,4)PC =-，(2,2,0)EF =-，设点M 的坐标为(0,0,)m ，平面MEF 的法向量为(,,)n x y z =，则(4,2,)ME m =-，所以00n ME n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即420220x y mz x y +-=⎧⎨-+=⎩，令1x =，则1y =，6z m =，故6(1,1,)n m=，第16题图第16题图用心 爱心 专心∵//PC 平面MEF ，∴0PC n ⋅=，即24440m+-=，解得3m =， 故3AM =，即点M 为线段PA 上靠近P 的四等分点；故:1:3PM MA = ----8分（Ⅲ）(4,4,2)N ，则(0,2,2)EN =，设平面NEF 的法向量为(,,)m x y z =，则00m EN m EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即220220y z x y +=⎧⎨-+=⎩，令1x =，则1y =，1z =-，即(1,1,1)m =-， 当M 是PA 中点时，2m =，则(1,1,3)n =，∴cos ,m n <>== ∴二面角M EF N --的余弦值为．----14分16．（2012年门头沟一模理16）如图，在多面体ABCD EF -中，四边形ABCD 为正方形，//EF AB ，EF EA ⊥，2AB EF =，090AED ∠=，AE ED =，H 为AD 的中点．（Ⅰ）求证：//EH 平面FAC ；（Ⅱ）求证：EH ⊥平面ABCD ；（Ⅲ）求二面角A FC B --的大小．证明：（Ⅰ）ACBD O =，连结HO ，FO因为ABCD 为正方形，所以O 是AC 中点，EDABCFH用心 爱心 专心 22又H 是AD 中点， 所以1//,2OH CD OH CD =，1//,2EF AB EF AB =， 所以//EF OH 且EF OH =， 所以四边形EHOF 为平行四边形， 所以//EH FO ，又因为FO ⊂平面FAC ，EH ⊄平面FAC ． 所以//EH 平面FAC ．……………4分 证明：（Ⅱ）因为AE ED =，H 是AD 的中点， 所以EH AD ⊥……………6分又因为//AB EF ，EF EA ⊥，所以AB EA ⊥ 又因为AB AD ⊥ 所以AB ⊥平面AED ， 因为EH ⊂平面AED ， 所以AB EH ⊥，……………8分 所以EH ⊥平面ABCD ．……………9分解：（Ⅲ）AC ，BD ，OF 两两垂直，建立如图所示的坐标系，设1EF =， 则2AB =，B，(C ，(0,0,1)F …………10分设平面BCF 的法向量为1(,,)n x y z =， (2,2,0),(2,0,1)BC CF =--=，110,0n BC n CF ⋅=⋅=所以 1(1,1n =- …………11分 平面AFC 的法向量为2(0,1,0)n = ………12分1212121cos ,2n n n n n n ⋅<>==⋅． ………13分二面角A FC B --为锐角，所以二面角A FC B --等于3π．……………14分。

8A Unit2 School life 第五课时Grammar（2）（新授课） 主备人：陈伯云 审核人： 何文静 班级：_________姓名：___________ 【学习目标】 学习副词的比较级 学习副词的最高级 【学习过程】 一、课前预习·导学 1.预习P28-30,试翻译下列短语。

(1)在比赛中得了第三名 come ________ in the _________ (2画得比其他任何学生好 draw ________ ________ other student (3)在我们班跳得最高 ________ ___________ in our class (4)游得快 _________ __________ (5在所有人中写字最快 write ______ _________ __________ 2.自主探究：请带着下面这个问题阅读教材。

“more…than” “fewer…than”和 “less…than”分别用来修饰什么词？ 二、课堂学习研讨 Explain 1. 和形容词一样，副词也有原级、比较级. 规则变化： 1. 单音节词， 加er （1）副词和形容词同形，单音节，在词尾加er fast ____________ hard ____________ loud—________________ （2）以字母“e”结尾的副词，加”r” late --- _____________ （3以辅音字母y结尾的副词，先变i,再加er early ______________ 2.双音节和多音节词，前面加more wonderfully more wonderfully most wonderfully politely more politely most politely slowly more slowly most slowly loudly more loudly softly more softly quickly? more quickly? most quickly strongly more strongly? ?most strongly ? carefully more carefully most carefully 3.不规则变化 well better badly- worse late later far---farther high—higher 2.同理，最高级也是一样。

北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（文史类） 2012.1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.集合2{|3},{|log 1}M x x N x x =<=>，则M N 等于（ ）A ．φB ．}321|{<<x x C ．}30|{<<x xD ．{|23}x x <<2.已知平面向量(3,1)=a ，(,3)x =b ，且a ⊥b ，则实数x 的值为（ ）A ．9-B ．1-C ．1D ．93. 函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=)0(12)0(2x x x y x的图象大致是 （ ）4. 设数列{}n a 是公差不为0的等差数列，11a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S 等于 （ ）A ． 2788n n +B ．2744n n +C ．2324n n+D ．2n n +如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．1B ．1-C ． 2-D ．06. 函数2()2x f x a x=--的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(1,3) B ．(1,2) C ．(0,3) D ． (0,2)7.已知函数()sin f x x x =+，设()7a f π=，()6b f π=，()3c f π=，则,,a b c 的大小关系是 （ ） A. a b c << B.c a b << C.b a c << D.b c a <<8. 已知集合{(,)|,,}A x y x n y na b n ===+∈Z ,{(,)|,B x y x m ==2312,y m =+ m ∈Z }.若存在实数,a b 使得AB ≠∅成立,称点(,)a b 为“￡”点，则“￡”点在平面区域22{(,)|108}C x y x y =+≤内的个数是 ( )A. 0B. 1C. 2D. 无数个第二部分（非选择题 共110分）答题卡上.9. 若变量x ，y 满足约束条件1,,236,x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则2z x y =+的最大值为 .10. 已知有若干辆汽车通过某一段公路，从中抽取200辆汽车进行测速分析，其时速的频率分布直方图如图所示，则时速在区间[60,70)上的汽车大约有 辆.11. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是 .时速（km/h ）01002 003 004 40 50 60 70 8012. 设直线10x my --=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A ，B 两点，且弦AB的长为则实数m 的值是 .13. 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y （万元）与机器运转时间x （年数，x *∈N ）的关系为21825y x x =-+-.则当每台机器运转 年时，年平均利润最大，最大值是 万元.14. 已知两个正数,a b ,可按规则c ab a b =++扩充为一个新数c ,在,,a b c 三个数中取两个较大的数,按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作. （1）若1,3a b ==,按上述规则操作三次,扩充所得的数是__________；（2）若0p q >>，经过6次操作后扩充所得的数为(1)(1)1mnq p ++-（,m n 为正整数），则,m n 的值分别为______________.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本题满分13分）在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足2sin 0b A -=．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若b =2c =，求AB AC 的值．16. （本题满分14分） 如图，在四棱锥S ABCD -中，平面SAD ⊥平面ABCD ．四边形ABCD 为正方形，且P 为AD 的中点，Q 为SB 的中点． （Ⅰ）求证：CD ⊥平面SAD ； （Ⅱ）求证：//PQ 平面SCD ；（Ⅲ）若SA SD =，M 为BC 中点，在棱SC 上是否存在点N，使得平面DMN ⊥平面ABCD ，并证明你的结论.17. （本题满分13分） 如图，一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域．用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头A 所指区域的数字就是每次游戏所得的分数（箭头指向两个区域的边界时重新转动），且箭头A 指向每个区域的可能性都是相等的．在一次家庭抽奖的活动中，要求每个家庭派一位儿童和一位成人先后各转动一次游戏转盘，得分记为(,)a b （假设儿童和成人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动）．（Ⅰ）请列出一个家庭得分(,)a b 的所有情况；（Ⅱ）若游戏规定：一个家庭的总得分为参与游戏的两人所得分数之和，且总得分为偶数的家庭可以获得一份奖品．请问一个家庭获奖的概率为多少？MSD BCAP Q·18. （本题满分13分）设函数2()ln 2,R 2ax f x a x x a =+-∈. （Ⅰ）当1a =时,试求函数()f x 在区间[1,e]上的最大值; （Ⅱ）当0a ≥时,试求函数()f x 的单调区间. 19. （本题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，且过点3(1,)2P ，F 为其右焦点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设过点(4,0)A 的直线l 与椭圆相交于M 、N 两点（点M 在,A N 两点之间），若AMF △与MFN △的面积相等，试求直线l 的方程.20. （本题满分14分） 数列{}n a ，{}n b （1,2,3,n =）由下列条件确定：①110,0a b <>；②当2k ≥时，k a 与kb 满足：当011≥+--k k b a 时，1-=k k a a ,211--+=k k k b a b ；当011<+--k k b a 时，211--+=k k k b a a ，1-=k k b b .（Ⅰ）若11a =-，11b =，求2a ，3a ，4a ，并猜想数列}{n a 的通项公式（不需要证明）； （Ⅱ）在数列}{n b 中，若s b b b >>> 21(3s ≥,且*s ∈N )，试用11,b a 表示k b ，},,2,1{s k ∈；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设数列}{n c (*)n ∈N 满足211=c ，0n c ≠，2212m n n n mc c c ma -+=-+ (其中m 为给定的不小于2的整数)，求证：当m n ≤时，恒有1<n c .北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期中统一考试数学试卷（文史类）答案 2012.1注：若有两空，则第一个空第二个空三、解答题： （15）（本小题满分13分）解：2sin 0b A -=，根据正弦定理得：2sin sin 0A B A -=.………………………………………………………3分因为sin 0A ≠，所以23sin =B . ………………………………………………5分 又B 为锐角，则3B π=. …………………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，3B π=．因为b =2c =，根据余弦定理，得 2744cos3a a π=+-， ……………………………………8分整理，得2230a a --=．由于0a >，得3a =． ……………………………10分于是222cos 214b c a A bc +-===， ………………………………11分 所以 cos cos 21AB AC AB AC A cb A ====． ……………13分（16）（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）因为四边形ABCD 为正方形，则CD AD ⊥. …………………1分又平面SAD ⊥平面ABCD ， 且面SAD 面ABCD AD =，所以CD ⊥平面SAD . ………………………………………………………3分（Ⅱ）取SC 的中点R ，连QR, DR ．由题意知：PD ∥BC 且PD =12BC ．…………………4分 在SBC ∆中，Q 为SB 的中点，R 为SC 的中点， 所以QR ∥BC 且QR =12BC ．M SDCPQ·R (N )O所以QR ∥PD 且QR=PD ，则四边形PDRQ 为平行四边形. …………………………………………………7分所以PQ ∥DR .又PQ ⊄平面SCD ，DR ⊂平面SCD ，所以PQ ∥平面SCD ． ……………………………………………………………10分 （Ⅲ）存在点N 为SC 中点，使得平面DMN ⊥平面ABCD ． ………………11分连接PC DM 、交于点O ，连接PM 、SP ， 因为//PD CM ，并且PD CM =，所以四边形PMCD 为平行四边形，所以PO CO =. 又因为N 为SC 中点，所以//NO SP ．………………………………………………………………………12分 因为平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD 平面ABCD =AD ，并且SP AD ⊥， 所以SP ⊥平面ABCD ，所以NO ⊥平面ABCD ， ……………………………………………………13分 又因为NO ⊂平面DMN ，所以平面DMN ⊥平面ABCD ．……………………………………………………14分 （17）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由题意可知，一个家庭的得分情况共有9种，分别为(2,2),(2,3),(2,5),(3,2)，(3,3),(3,5),(5,3),(5,2),(5,5)． …………………………………………………………7分（Ⅱ）记事件A ：一个家庭在游戏中获奖，则符合获奖条件的得分情况包括(2,2)，(3,3),(3,5),(5,3),(5,5)共5种， ……………………………………………11分 所以5()9P A =． 所以一个家庭获奖的概率为59． …………………………………………………13分（18）（本小题满分13分）解: （Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞. ………………………………………………1分当1a =时,2()ln 22x f x x x =+-，因为21(1)()20x f x x x x -'=+-=≥， …3分 所以函数()f x 在区间[1,e]上单调递增，则当=e x 时,函数()f x 取得最大值2e (e)12e 2f =+-. …………………………………………………………………5分 （Ⅱ）22()ax x af x x-+'=. ………………………………………………………6分当0a =时,因为()20f x '=-<，所以函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递减；…7分 当0a >时，⑴当2440a ∆=-≤时，即1a ≥时，()0f x '≥，所以函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增； …………………………………………………………9分 ⑵当2440a ∆=->时，即01a <<时，由()0f x '>解得，0x <<x >. …………………………………………10分由()0f x '<x <<； ………………………………11分 所以当01a <<时，函数()f x在区间1(0,a上单调递增；在11(,a a上单调递减，1()a++∞单调递增. ………13分（19）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为12c a =，所以2a c =，b =. …………………………………1分 设椭圆方程为2222143x y c c +=，又点3(1,)2P 在椭圆上,所以2213144c c+=，解得21c =， …………………………………………………………………………3分所以椭圆方程为22143x y +=. …………………………………………………………4分 （Ⅱ）易知直线l 的斜率存在,设l 的方程为(4)y k x =-， ……………………………………………………………5分由22(4),1,43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理，得 2222(34)3264120k x k x k +-+-=， ………………………………………………6分由题意知2222(32)4(34)(6412)0k k k ∆=-+->， 解得1122k -<<. ……………………………………………………………………7分 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则21223234k x x k +=+，⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ①， 2122641234k x x k-=+.… ②. 因为AMF △与MFN △的面积相等，所以AM MN =，所以1224x x =+.⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ③ ……………………………………10分由①③消去2x 得21241634k x k+=+.⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ④将2124x x =-代入②得21126412(24)34k x x k --=+.⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⑤将④代入⑤2222224164166412(24)343434k k k k k k++-⨯-=+++， 整理化简得2365k =，解得6k =±，经检验成立. …………………………12分 所以直线l的方程为4)y x =-. …………………………………………13分 （20）（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为011=+b a ，所以112-==a a ,02112=+=b a b . ……1分 因为0122<-=+b a ,则212223-=+=b a a ,320b b ==. ………………2分 333421222a b a a +===-. ……………………………………………………3分 猜想当2n ≥时，22221111222n n n n a a ---⎛⎫⎛⎫=⨯=-⋅=-⎪⎪⎝⎭⎝⎭.则21,1,1, 2.2n n n a n -⎧-=⎪=⎨-≥⎪⎩ …………………………………………………………4分 （Ⅱ）解：当s k ≤≤2时，假设110k k a b --+<，根据已知条件则有1-=k k b b ，与s b b b >>> 21矛盾，因此110k k a b --+<不成立， ……………………5分所以有110k k a b --+≥，从而有1k k a a -=，所以1a a k =. ……………………6分当011≥+--k k b a 时，1-=k k a a ，211--+=k k k b a b , 所以111111()22k k k k k k k a b b a a b a -----+-=-=-; …………………………8分当s k ≤≤2时，总有111()2k k k k b a b a ---=-成立. 又110b a -≠，所以}{k k a b -(s k ,,2,1 =)是首项为11b a -，公比为12的等比数列， ……9分 11121)(-⎪⎭⎫⎝⎛-=-k k k a b a b ，1,2,,k s =,又因为1a a k =，所以111121)(a a b b k k +⎪⎭⎫⎝⎛-=-. …………………………10分（Ⅲ）证明：由题意得2212m n n n mc c c ma -+=-+n n c c m+=21. 因为211n n n c c c m +=+，所以2110n n n c c c m+-=>.所以数列{}n c 是单调递增数列. ………………………………………………11分 因此要证)(1m n c n ≤<，只须证1<m c . 由2≥m ，则n n n c c m c +=+211<n n n c c c m++11，即1111n n c c m +->-. …12分 因此1122111)11()11()11(1c c c c c c c c m m m m m +-++-+-=--- m m m m 121+=+-->. 所以11m mc m <<+.故当m n ≤,恒有1<n c . ………………………………………………………14分。

十、平面向量4.（2012年海淀一模理4）已知向量=(1)=(1)x x ，a b ，，-，若2-a b 与b 垂直，则=a （ C ）A C ．2 D ．47．（2012年东城一模理7））在直角梯形A B C D 中，已知B C ∥A D ，AB AD ⊥，4A B =，2B C =，4AD =，若P 为C D 的中点，则PA PB ⋅的值为（ D ）A ．5-B ．4-C ．4D ．54．（2012年丰台一模理4）已知向量(sin ,cos )a θθ= ，(3,4)b =，若a b ⊥ ，则tan 2θ等于（ A ）A.247B.67C.2425-D.247-7．（2012年密云一模理7）在A B C ∆中，点P 是BC 上的点. 2BP PC = ,A B +A C A P λμ=,则（ C ）A. 2,1λμ==B. 1,2λμ==C. 12,33λμ==D. 21,33λμ==6．（2012年门头沟一模理6）在A B C ∆所在平面内有一点O ，满足20OA AB AC ++= ，1O A O B AB ===，则→→∙CB CA 等于（ C ）2C.3D.322.（2012年朝阳一模理2）已知平面向量,a b 满足()=3a a +b ⋅，且2,1==a b ，则向量a 与b 的夹角为（ C ）A. 6πB. 3πC. 32πD.65π9.（2012年石景山一模理9）设向量)cos 3,1(),1,(cos θθ==b a，且b a //，则θ2cos = ．答案：31-。

2．（2012年房山一模理2）如果(1,)a k = ，(,4),b k =那么“a ∥b ”是“2k =-”的（ B ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8．（2012年房山一模理8）如图，边长为1的正方形ABCD的顶点A,D分别在x轴、y轴正半轴上移动，则OCOB⋅的最大值是（ A ）A.2B.1+C.πD.4。