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第1章概率方法建模简介第2章数据统计描述和分析第3章方差分析第4章回归分析第5章马氏链模型第6章时间序列模型第7章主成分分析及应用第8章判别分析简介及应用主讲：山东大学数学学院陈建良2第1章概率方法建模简介随机性模型，是指研究的对象包含有随机因素的规律，以概率统计为基本数学工具，其结果通常也是在概率意义下表现出来。
随机因素的影响可以用概率、平均值（即数学期望）等的作用来体现。
自然界中的现象总的来说可以概括为两大现象：确定性现象和随机现象在确定性现象中可以忽略随机因素的影响，在随机现象中必须考虑随机因素的影响。
确定性离散模型，主要使用差分方程方法、层次分析方法以及比较简单的图的方法和逻辑方法等方法建立模型；确定性连续模型，主要使用微积分、微分方程及其稳定性、变分法等方法建立模型；§2 概率方法建模实例分析实例一、报童的策略问题1．问题描述报童每天清晨从报站批发报纸零售，晚上将未卖完的报纸退回。
设每份报纸的批发价为b，零售价为a，退回价为c，且设a>b>c，因此报童每售出一份报纸赚(a-b)，退回一份赔(b-c)。
若批少了不够买就会少赚，若批多了买不完就赔钱，报童如何确定每天批发报纸的数量，才能获得最大收入？92. 分析显然应根据需求量来确定批发量。
一种报纸的需求量是一随机变量。
假定报童通过自己的实践经验或其它方式掌握了需求量的随机规律，即在他的销售范围内每天报纸的需求量为X = x 份的概率为P(x)，则通过P(x) 和a, b, c 就可建立关于批发量的优化模型。
3．数学模型设每天批发量为n，因需求量x 是随机的，因此x可以小于、等于或大于n，从而报童每天的收入也是随机的，作为优化模型的目标函数，应考虑他长期（半年、一年等）卖报的日平均收入。
据概率论中的大数定律，这相当于报童每天收入的期望值（以下简称平均收入）。
1011设报童每天批发进n 份报纸时的平均收入为S (n )，若某天需求量x ≤n ，则他售出x 份，退回(n -x )份；若这天需求量x >n ，则n 份报纸全部卖出。
数学建模概率模型案例概率模型是数学建模的重要工具之一，广泛应用于各个领域。
以下是一个基于概率模型的数学建模案例。
问题描述：医院的急诊科接诊员需要根据患者的症状来判断是否需要进行心电图检查。
根据以往的医疗记录，我们知道有一种患者患有心脏病的概率是0.1，有心脏病的患者在进行心电图检查时有90%的准确率，没有心脏病的患者在进行心电图检查时有95%的准确率。
急诊科接诊员在给患者进行评估时会根据患者的症状判断是否需要进行心电图检查，但出于经济和时间的考虑，每天只能对20%的患者进行心电图检查。
问题分析：在这个问题中，我们需要建立一个概率模型来评估患者是否需要进行心电图检查。
我们需要考虑两个因素：患者是否有心脏病以及是否进行了心电图检查。
建立概率模型：1.定义事件：-A：患者有心脏病-B：患者进行了心电图检查-C：急诊科接诊员推荐患者进行心电图检查2.计算概率：-P(A)=0.1，患者有心脏病的概率-P(A')=0.9，患者没有心脏病的概率-P(B，A)=0.9，有心脏病的患者进行心电图检查的准确率-P(B，A')=0.95，没有心脏病的患者进行心电图检查的准确率3.根据贝叶斯定理计算后验概率：-P(A，B)=P(B，A)*P(A)/P(B)-P(A'，B)=P(B，A')*P(A')/P(B)4.根据给定条件计算先验概率：-P(B)=P(B，A)*P(A)+P(B，A')*P(A')5.根据条件概率计算P(C，B)：-P(C，B)=P(C,B)/P(B)进一步分析：根据模型，我们可以进行一些进一步的分析。
1.如果患者没有进行心电图检查，根据模型我们可以计算出他是否有心脏病的概率。
2.如果患者进行了心电图检查，根据模型我们可以计算出他有心脏病的概率。
3.根据模型的输出，急诊科接诊员可以根据患者的症状和推荐指标来判断是否进行心电图检查。
总结：这个案例展示了如何建立一个基于概率模型的数学建模问题。
§2 随机存储模型
模型一、销售量为随机的存储模型
报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖出的报纸退回。
如果购进报纸太少不够卖，会少赚钱；如果购进太多买不完，将要赔钱。
报童应如何确定每天购进的报纸数量，以求获得最大的收入。
模型假设1、报纸每份购进价b ，零售价a ，退回价c ，且c b a >>
2、市场需求量是随机的，报童已通过经验掌握了需求量r 的随机规律，r 视为连续随
机变量，其概率密度函数)(r p 。
模型建立 记 n —每天购进量，报童每天的收入R 是n 的函数
()()()()()⎩
⎨⎧>----≤-=r n r n c b r b a r n n b a n R ,, 但目标函数不应是报童每天的收入，而应是他长期卖报的日平均收入。
从大数定律的观点看，这相当于每天收入的期望值，即日平均收入：
()()()()[]()()()⎰⎰∞-+----=n n dr r p n b a dr r p r n c b r b a n G 0 ()()()()()()()()⎰⎰∞-+-----=n n dr r p b a n np b a dr r p c b n np b a dn dG 0 ()
()()()⎰⎰∞-+--=n n
dr r p b a dr r p c b 0 令0=dn
dG ，得到 ()()c b b a dr r p dr
r p n n
--=⎰⎰∞
又因为()10=⎰∞
dr r p ，上式又可表示为 ()c
a b a dr r p n
--=⎰0 （1） 使报童平均日收入最大购进量n 由（1）确定
评注 由()()c b b a dr r p dr r p n
n --=⎰⎰∞0，()⎰=n
dr r p p 01是卖不完的概率， ()⎰∞
=n dr r p p 2是卖完的概率。
上式表明，购进的份数应使卖不完与卖完的概率之比等于卖出一份赚的钱b a -与退回一份赔的钱c b -之比。
模型二、到货时间为随机的存储模型
模型假设1、商品订货费1c ，每件商品单位时间的储存费为2c ，缺货费3c ，单位时间需求量为r ；
2、当储存量降至L 时订货，订货量使下周期初的储存量达到固定值Q ；
3、交货时间x 是随机的，如下图中的,...,21x x ，设x 的概率密度函数()x p 。
模型建立
为使总费用最小，选择合适的目标函数建立模型，确定最佳订货点L 。
t
由储存量()t q 的图形可写出一个订货周期内的储存量和缺货量分别为
()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<--=r L x r
Q r L x r rx L Q t q ,2,2222 ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<=r L x r L rx r L x t q ,2,02 于是得到一个订货周期的平均费用为
()()()()()⎰⎰∞⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++--+=r
L r L dx x p r L rx c r Q c dx x p r rx L Q c c L c 0
23222221222 目标函数应取为单位时间的平均费用()L S ，由于订货周期的平均长度为
()()x E r L Q L T +-=
这里()()⎰+∞
=0dx x xp x E
所以 ()()()
L T L c L S = 由0=dL
dS ，可以解出最佳订货点*L 满足方程 ()()
()x rE Q L c L c L +='-**
*。
