一元二次方程根与系数的关系教学设计公开课
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北师大版九年级上册15一元二次方程的根与系数的关系教学设计
-反馈评价：及时给予学生反馈，强化正确的方法，纠正错误的理解，鼓励学生不断进步。
3.教学方法的设想：
-采用问题驱动的教学方法，引导学生通过问题解决来学习新知识，提高解决问题的能力。
-结合信息技术，利用数学软件或在线平台，让学生在互动中学习，提高学习的趣味性和效率。
4.对于学习困难的学生的设想：
-提供个性化的辅导，针对不同学生的学习困难，给予具体的指导和帮助。
4.小组合作任务要充分发挥团队合作精神，每个成员都要积极参与，共同为解决问题贡献力量。
作业批改与反馈：
1.教师要及时批改学生作业，关注学生的解题思路和方法，给予针对性的评价和建议。
2.鼓励学生主动请教教师和同学，及时纠正作业中的错误，不断提高自己的数学素养。
3.定期对学生的作业情况进行总结和反馈，对表现优秀的学生给予表扬，激发学生的学习积极性。
3.将实际问题转化为数学模型，用一元二次方程解决，并能够解释结果的实际意义。
-这是培养学生数学应用能力的重点，学生需要学会从实际问题中抽象出数学模型，并理解数学结果在实际情境中的含义。
（二）教学设想
1.对于重难点的教学，我设想采用以下策略：
-引导学生通过探索和发现，而不是直接灌输知识，以增强他们的理解和记忆。
2.培养学生勇于挑战困难、克服挫折的精神，增强自信心。
-在解决一元二次方程问题时，教师要引导学生面对困难，勇于尝试，克服挫折。
-学生在成功解决问题后，能够增强自信心，激发进一步学习的动力。
3.培养学生的数学思维，使其认识到数学在生活中的重要性，提高学生的综合素质。
-教师要引导学生运用数学思维解决实际问题，让学生认识到数学在生活中的价值。
-利用多媒体和教具，如抛物线图像、表格等，将抽象的知识具体化，帮助学生形象地理解根与系数的关系。
3.教学方法的设想：
-采用问题驱动的教学方法，引导学生通过问题解决来学习新知识，提高解决问题的能力。
-结合信息技术，利用数学软件或在线平台，让学生在互动中学习，提高学习的趣味性和效率。
4.对于学习困难的学生的设想：
-提供个性化的辅导，针对不同学生的学习困难，给予具体的指导和帮助。
4.小组合作任务要充分发挥团队合作精神，每个成员都要积极参与，共同为解决问题贡献力量。
作业批改与反馈：
1.教师要及时批改学生作业，关注学生的解题思路和方法，给予针对性的评价和建议。
2.鼓励学生主动请教教师和同学，及时纠正作业中的错误，不断提高自己的数学素养。
3.定期对学生的作业情况进行总结和反馈，对表现优秀的学生给予表扬，激发学生的学习积极性。
3.将实际问题转化为数学模型，用一元二次方程解决，并能够解释结果的实际意义。
-这是培养学生数学应用能力的重点，学生需要学会从实际问题中抽象出数学模型，并理解数学结果在实际情境中的含义。
（二）教学设想
1.对于重难点的教学，我设想采用以下策略：
-引导学生通过探索和发现，而不是直接灌输知识，以增强他们的理解和记忆。
2.培养学生勇于挑战困难、克服挫折的精神，增强自信心。
-在解决一元二次方程问题时，教师要引导学生面对困难，勇于尝试，克服挫折。
-学生在成功解决问题后，能够增强自信心，激发进一步学习的动力。
3.培养学生的数学思维，使其认识到数学在生活中的重要性，提高学生的综合素质。
-教师要引导学生运用数学思维解决实际问题，让学生认识到数学在生活中的价值。
-利用多媒体和教具，如抛物线图像、表格等，将抽象的知识具体化，帮助学生形象地理解根与系数的关系。
《一元二次方程根与系数的关系》ppt省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
5．(6分)已知α，β是一元二次方程2x2－3x－1＝0旳两个实数 根，求下列代数式旳值：
(2)(α－2)(β－2)．
24．3 一元二次方程根与系数旳关系
6．(3分)孔明同学在解一元二次方程x2－3x＋c＝0时，正确解得 x1＝1，x2＝2，则c旳值为____2____．
7．(3分)已知有关x旳方程x2＋mx－6＝0旳一种根为2，则这个方 程旳另一种根是___－__3___．
A．3 B．－3 C．13 D．－13 10．(8分)有关x旳一元二次方程x2＋3x＋m－1＝0旳两个实数根 分别为x1，x2. (1)求m旳取值范围； (2)若2(x1＋x2)＋x1x2＋10＝0，求m旳值．
24．3 一元二次方程根与系数旳关系
24．3 一元二次方程根与系数旳关系
【易错盘点】
【例】已知x1，x2是有关x旳一元二次方程x2－(2m＋3)x＋m2＝0旳
则xx2＋x1x旳值为( A )
A．－3
B．3
C．－6
D．6
12．(5分)解某个一元二次方程时，甲看错了方程旳常数项，因而得
出旳两根为8和2；乙看错了方程旳一次项旳系数，因而得出两根为－
9或－1，那么正确旳方程为( A )
A．x2－10x＋9＝0 B．x2＋10x＋9＝0
C．x2－10x－9＝0 D．x2＋10x－9＝0
3．(3分)下列一元二次方程两实根和为－4旳是( D )
A．x2＋2x－4＝0 B．x2－4x＋4＝0
C．x2＋4x＋10＝0 D．x2＋4x－5＝0
24．3 一元二次方程根与系数旳关系
4．(3分)已知x1，x2是方程x2－4x－5＝0旳两个实数根，则(x1 －2)(x2－2)＝___－__9___．
(2)(α－2)(β－2)．
24．3 一元二次方程根与系数旳关系
6．(3分)孔明同学在解一元二次方程x2－3x＋c＝0时，正确解得 x1＝1，x2＝2，则c旳值为____2____．
7．(3分)已知有关x旳方程x2＋mx－6＝0旳一种根为2，则这个方 程旳另一种根是___－__3___．
A．3 B．－3 C．13 D．－13 10．(8分)有关x旳一元二次方程x2＋3x＋m－1＝0旳两个实数根 分别为x1，x2. (1)求m旳取值范围； (2)若2(x1＋x2)＋x1x2＋10＝0，求m旳值．
24．3 一元二次方程根与系数旳关系
24．3 一元二次方程根与系数旳关系
【易错盘点】
【例】已知x1，x2是有关x旳一元二次方程x2－(2m＋3)x＋m2＝0旳
则xx2＋x1x旳值为( A )
A．－3
B．3
C．－6
D．6
12．(5分)解某个一元二次方程时，甲看错了方程旳常数项，因而得
出旳两根为8和2；乙看错了方程旳一次项旳系数，因而得出两根为－
9或－1，那么正确旳方程为( A )
A．x2－10x＋9＝0 B．x2＋10x＋9＝0
C．x2－10x－9＝0 D．x2＋10x－9＝0
3．(3分)下列一元二次方程两实根和为－4旳是( D )
A．x2＋2x－4＝0 B．x2－4x＋4＝0
C．x2＋4x＋10＝0 D．x2＋4x－5＝0
24．3 一元二次方程根与系数旳关系
4．(3分)已知x1，x2是方程x2－4x－5＝0旳两个实数根，则(x1 －2)(x2－2)＝___－__9___．
一元二次方程的根与系数的关系 优秀教学设计(教案)
21.2 .4一元二次方程的根与系数的关系一、教材分析：《一元二次方程根与系数的关系》是人教版初中数学九年级上册第二十一章21.2节的内容，该内容是在在学生学习了一元二次方程的解法和根的判别式之后引入的。
它深化了两根与系数之间的关系，是今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，是方程理论的重要组成部分。
利用这一关系可以解决许多问题，同时在高中数学的学习中有着更加广泛的应用。
因此本节课起着承上启下的作用。
二、学情分析：九年级阶段的学生，随着年龄的增长以及实验几何向论证几何的逐步推进，学生们的逻辑推理能力已有了较大提高。
因此在前面学习了一元二次方程的解法后，对根与系数的关系进行探究就比较容易。
三、教学目标：(一)知识与技能了解一元二次方程根与系数的关系，并利用根与系数关系求出两根之和、两根之积。
(二)过程与方法通过问题的引导，发现、证明并归纳一元二次方程根与系数的关系，在探究过程中，感受由特殊到一般地认识事物的规律。
(三)情感态度价值观在经历探索一元二次方程根与系数的关系的过程中，培养观察分析和综合判断的能力，激发学生发现规律的积极性，鼓励他们培养勇于探索的精神。
四、教学策略教学方法：讲授法、练习法、课堂合作探究法。
教学工具：ppt课件、白板笔。
五、重点难点：重点：一元二次方程根与系数关系的探索及简单应用难点：探索发现一元二次方程根与系数关系六、教学过程：教学环节教师活动学生活动设计意图（一）创设情境（3分钟）1、问：操场的长和宽满足一元二次方程2x2-400x +15000= 0的两个根，如果方程的两个根为x1、x2，你能用x1、x2表示操场的周长和面积并求出来么？2、用以前的方法解这个方程求出两个根很麻烦，是否还有别的方法---不解方程也能迅速求出操场的周长和面积？----要解决这学生能表示矩形周长=（x1+x2）×2，面积=x1x2，，并用以前的方法解方程，从而得出操场的周长和面积。
一元二次方程的根与系数的关系PPT免费课件下载
1
且0,
2
∴两根之和10, 1,且0
∴两根之积210, =
∴1时,方程的两根互为相反数.
∴ = 时,方程有一根为零.
②∵两根互为倒数 265,
∴两根之积211,1且0,
∴1时,方程的两根互为倒数.
1
2
课堂小结 分层作业
1.一元二次方程根与系数的关系是什么?
解: 根据根与系数的关系，可知:
1 + 2 = 4,
1 ⋅ 2 = 1
∴ 1 2 + 2 2 = (1 + 2 )2 − 21 2
= 42 − 2 × 1
= 14
1 + 2 = −
1 ∙ 2 =
课堂练习 巩固提升
试一试
1.口答下列方程的两根之和与两根之积.
1 2 − 8 + 4 = 0
− ，
1 ∙ 2 =
.
这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理.
学以致用 深化理解
例题1
不解方程，请直接写出方程的两根之和和与两根之积各是多少？
1 2 − 3 + 2 = 0
解:
1
1 + 2 = − = −
1 ∙ 2 =
2
2
−3
1
2 2 − 3 = 5
=3
2 2 − 2 − 12 = 0
3
2 − 7 = 0
4 3 2 = 8 + 4
5 2 2 + 3 − 5 = 0
课堂练习 巩固提升
试一试
2.已知一元二次方程的 2 + + = 0 两根分别为 和 − ，
且0,
2
∴两根之和10, 1,且0
∴两根之积210, =
∴1时,方程的两根互为相反数.
∴ = 时,方程有一根为零.
②∵两根互为倒数 265,
∴两根之积211,1且0,
∴1时,方程的两根互为倒数.
1
2
课堂小结 分层作业
1.一元二次方程根与系数的关系是什么?
解: 根据根与系数的关系，可知:
1 + 2 = 4,
1 ⋅ 2 = 1
∴ 1 2 + 2 2 = (1 + 2 )2 − 21 2
= 42 − 2 × 1
= 14
1 + 2 = −
1 ∙ 2 =
课堂练习 巩固提升
试一试
1.口答下列方程的两根之和与两根之积.
1 2 − 8 + 4 = 0
− ，
1 ∙ 2 =
.
这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理.
学以致用 深化理解
例题1
不解方程，请直接写出方程的两根之和和与两根之积各是多少？
1 2 − 3 + 2 = 0
解:
1
1 + 2 = − = −
1 ∙ 2 =
2
2
−3
1
2 2 − 3 = 5
=3
2 2 − 2 − 12 = 0
3
2 − 7 = 0
4 3 2 = 8 + 4
5 2 2 + 3 − 5 = 0
课堂练习 巩固提升
试一试
2.已知一元二次方程的 2 + + = 0 两根分别为 和 − ，
2.5.1一元二次方程的根与系数的关系(教案)
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《一元二次方程的根与系数的关系》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要解决两个未知数的问题？”（如：两个数字相乘得到一个数，两个数字相加得到另一个数，求这两个数字是多少。）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一元二次方程根与系数的关系的奥秘。
2.5.1一元二次方程的根与系数的关系（教案）
一、教学内容
本节课我们将探讨人教版八年级数学下册第2章第5节“一元二次方程”中的2.5.1节：“一元二次方程的根与系数的关系”。教学内容主要包括以下方面：
（1）理解一元二次方程的根的概念，即方程ax^2+bx+c=0（a≠0）的解称为方程的根。
（2）掌握根与系数之间的关系，即一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）的两根x1、x2与系数a、b、c的关系：x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。
2.教学难点
（1）理解根与系数之间的关系，特别是对于公式x1+x2=-b/a，x1x2=c/a的理解和运用。
难点解析：学生需要理解并记住这个关系，能熟练地将方程的系数代入公式求解两根之和与两根之积。
（2）在解决实际问题时，如何将问题转化为一元二次方程。
难点解析：学生需要学会从问题中抽象出数学模型，将其转化为方程，再运用根与系数的关系求解。
（3）通过实例分析，让学生学会运用根与系数的关系解决实际问题。
（4）培养学生分析问题、解决问题的能力，以及逻辑推理能力。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下方面：
（1）让学生掌握一元二次方程根与系数的基本关系，培养其数学抽象和逻辑推理能力。
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《一元二次方程的根与系数的关系》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要解决两个未知数的问题？”（如：两个数字相乘得到一个数，两个数字相加得到另一个数，求这两个数字是多少。）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一元二次方程根与系数的关系的奥秘。
2.5.1一元二次方程的根与系数的关系（教案）
一、教学内容
本节课我们将探讨人教版八年级数学下册第2章第5节“一元二次方程”中的2.5.1节：“一元二次方程的根与系数的关系”。教学内容主要包括以下方面：
（1）理解一元二次方程的根的概念，即方程ax^2+bx+c=0（a≠0）的解称为方程的根。
（2）掌握根与系数之间的关系，即一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）的两根x1、x2与系数a、b、c的关系：x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。
2.教学难点
（1）理解根与系数之间的关系，特别是对于公式x1+x2=-b/a，x1x2=c/a的理解和运用。
难点解析：学生需要理解并记住这个关系，能熟练地将方程的系数代入公式求解两根之和与两根之积。
（2）在解决实际问题时，如何将问题转化为一元二次方程。
难点解析：学生需要学会从问题中抽象出数学模型，将其转化为方程，再运用根与系数的关系求解。
（3）通过实例分析，让学生学会运用根与系数的关系解决实际问题。
（4）培养学生分析问题、解决问题的能力，以及逻辑推理能力。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下方面：
（1）让学生掌握一元二次方程根与系数的基本关系，培养其数学抽象和逻辑推理能力。
4 一元二次方程根与系数的关系 课件+一等奖创新教案(共22张PPT)
4 一元二次方程根与系数的关系课件+一等奖创新教案(共22张PPT)2.4 一元二次方程根与系数的关系浙教版八年级下情境导入把一元二次方程x -2015x+1024=0的两个根表示成,,请用3秒算出两根之和,以及两根之积新知讲解先解下列方程，然后计算这些方程的两根之和与两根之积：(1)x2-12x+11=0 (2)x2-9=0 (3)4x2+20x+25=0方程两个根两根之和两根之积x1 x2 x1+x2 x1·x2x2-12x+11=0x2-9=04x2+20x+25=011112113-3-9-5新知讲解猜想：若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为，则思考：你能证明这个猜想吗？新知讲解证明：设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(b2－4ac≥0)的两个根为x1，x2新知讲解归纳总结一元二次方程的根与系数的关系如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1，x2，那么【特别强调】满足上述关系的前提条件：b2-4ac≥0.韦达定理把一元二次方程x -2015x+1024=0的两个根表示成,,请用3秒算出两根之和,以及两根之积你能行吗？练一练新知讲解例1 设x1，x2是一元二次方程5x2-7x-3=0的两个根，求x12+x22和的值.解：有一元二次方程的根与系数的关系，得∴∴总结归纳【点睛】求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.新知讲解例2 已知一个一元二次方程的二次项系数是3，它的两个根分别是，1写出这个方程.解设这个方程为3x2+bx+c=0，由一元二次方程根与系数的关系，得所以这个一元二次方程是3x2-4x+1=0.拓展延伸（1）根与系数的关系是在a≠0，b2－4ac≥0的前提下提出的（2）一元二次方程根与系数的关系还有两个重要推论。
推论1：若方程x2+px+q=0的两根为x1，x2，则有x1+x2=-p x1·x2=q推论2：以x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2+（x1+x2）x+x1·x2=0课堂练习1.一元二次方程x2＋4x－3＝0的两根为x1，x2，则x1·x2的值是( )A．4 B．－4 C．3 D．－3D2.若关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2＋m＝0的两个实数根的平方和为12，则m的值为_________ ( )A. m＝－2___B. m＝3C. m＝3或m＝－2D. m＝－3或m＝2C课堂练习3. 方程的两根和为4，积为-3，则a= ，b= .4.已知x1，x2是关于x的方程x2－(a＋b)x＋ab－1＝0的两个实数根，有下列结论：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③x12＋x22＜a2＋b2.其中正确的是______(填序号).①②83课堂练习5.已知关于x的方程x2－mx－3＝0的两实数根为x1，x2(x1＞x2)，若x1＋x2＝2，求x1，x2的值．解：∵x1＋x2＝2，∴m＝2.∴原方程为x2－2x－3＝0，即(x－3)(x＋1)＝0，解得x1＝3，x2＝－1.拓展提高6.若12＜m＜60(m为整数)，且关于x的方程x2－2(m＋1)x＋m2＝0的两个根都为整数，求m的值.∵Δ＝b2－4ac＝[－2(m＋1)]2－4m2＝8m＋4＝4(2m＋1)，∴2m＋1是完全平方数.∵12＜m＜60，∴25＜2m＋1＜121.又∵2m＋1是奇数，∴2m＋1＝49或81，解得m＝24或40.当m＝24时，方程的两个根分别为32和18；当m＝40时，方程的两个根分别为32和50.故m＝24或40.中考链接7.（中考广东）已知x1，x2是一元二次方程x2-2x=0的两个实数根，下列结论错误的是（）A．x1≠x2 B．x12-2x1=0 C．x1+x2=2 D．x1 x2=2D课堂总结2．应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即当且仅当b2－4ac≥0 时，才能应用根与系数的关系.1．一元二次方程根与系数的关系是什么？这节课你学到了什么？如果x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 的两个根，那么x1+x2= ，x1·x2=板书设计2.4 一元二次方程根与系数的关系1.如果x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 的两个根，那么x1+x2= ，x1·x2=作业布置课本P47 练习题谢谢（) 中小学教育资源网站有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？欢迎加入教师合作团队！！月薪过万不是梦！！详情请看：https:///help/help_extract.php2.4一元二次方程的根与系数的关系教学设计课题 2.4一元二次方程的根与系数的关系单元1 学科数学年级八学习目标1.经历一元二次方程根与系数关系的发现过程，培养学生善于观察、思考、归纳、概括的能力；2.理解一元二次方程根与系数关系及其证明过程，培养学生逻辑推理能力及严谨的学习态度；3.会应用一元二次方程根与系数关系求含两根的代数式的值；构造满足某种条件的一元二次方程，培养学生的转化、类比等知识迁移能力。
数学《一元二次方程根与系数的关系》教案
数学《一元二次方程根与系数的关系》教案教学目标：1. 知道一元二次方程的定义和一般形式；2. 能够求解一元二次方程的根；3. 知道一元二次方程根与系数的关系，掌握这种关系的应用。
教学重点：1. 一元二次方程的根与系数的关系；2. 解一元二次方程。
教学难点：1. 如何确定一元二次方程的解；2. 如何掌握一元二次方程根与系数的关系。
教学方法：1. 经验教学法；2. 归纳法；3. 演示法；4. 课堂讨论。
教学资源：1. 教材；2. ppt。
教学过程：Step 1. 引入新知识介绍今天的教学内容，告诉学生今天会讲一元二次方程的根与系数的关系。
Step 2. 一元二次方程的定义及一般形式教师简单介绍一下一元二次方程的定义，然后让学生看下面的一元二次方程的一般形式：ax^2+bx+c=0解释一下式子中的各个符号的含义，a，b，c分别代表什么。
Step 3. 如何求解一元二次方程的根让学生看下面这个一元二次方程的实例：x^2+6x+5=0请问这个一元二次方程的根是多少？教师引导学生使用求根公式：x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} 将a，b，c的值代入公式，求出x的值。
x=\frac{-6\pm\sqrt{6^2-4\times1\times5}}{2\times1}=-1或-5解释这个结果是什么意思，根是如何求得的。
Step 4. 一元二次方程根与系数的关系让学生看下面这个一元二次方程的实例：x^2+mx+n=0请问这个一元二次方程的根是多少？教师引导学生使用求根公式：x=\frac{-m\pm\sqrt{m^2-4n}}{2}然后让学生思考，如果我们知道了这个方程的根，是否可以求出m和n呢？引导学生进行讨论，发现可以求出m和n。
Step 5. 应用案例分析提供一些应用案例，让学生掌握一元二次方程根与系数的关系的应用。
例如：1. 设一元二次方程的两个根分别是3和4，求方程的一般形式。
一元二次方程根与系数的关系省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
2 x1x2 3
x1x2 0
x1 x
⑴不是一般式旳要先化成一般式；
⑵在使用X1+X2=－
b a
时，
注意“－ ”不要漏写.
练习1
已知有关x旳方程 x2 (m 1)x 2m 1 0
当m= －1 时,此方程旳两根互为相反数. 当m= 1 时,此方程旳两根互为倒数.
1、已知方程3x2－19x+m=0旳一种根是1， 求它旳另一种根及m旳值。
解：设方程旳另一种根为x2,
则x2+1=
19 3
,
∴
16
x2= 3
,
又x2●1=
m 3
,
∴ m= 3x2 = 16
2、设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0旳两个根，求(x1+1)(x2+1) 旳值.
解：由根与系数旳关系,得
由根与系数旳关系，得2 x2＝3k 即2 x2＝－6 ∴ x2 ＝－3
答：方程旳另一种根是－3 , k旳值是－2.
例2、方程2x2-3x+1=0旳两根记作x1,x2，
不解方程，求：
（1） x12 x22 ;
11
（2)
x1 x2
;
(3) (x1 1)(x2 1) ; (4) x1 x2 .
另外几种常见旳求值:
解法一：设方程旳另一种根为x2. 由根与系数旳关系，得 2 ＋ x2 = k+1 2 x2 = 3k 解这方程组，得 x2 =－3 k =－2
答：方程旳另一种根是－3 , k旳值是－2.
例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0旳一种根是2 , 求它旳另一种根及k旳值。
解法二：设方程旳另一种根为x2. 把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0 解这方程，得 k= - 2
x1x2 0
x1 x
⑴不是一般式旳要先化成一般式；
⑵在使用X1+X2=－
b a
时，
注意“－ ”不要漏写.
练习1
已知有关x旳方程 x2 (m 1)x 2m 1 0
当m= －1 时,此方程旳两根互为相反数. 当m= 1 时,此方程旳两根互为倒数.
1、已知方程3x2－19x+m=0旳一种根是1， 求它旳另一种根及m旳值。
解：设方程旳另一种根为x2,
则x2+1=
19 3
,
∴
16
x2= 3
,
又x2●1=
m 3
,
∴ m= 3x2 = 16
2、设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0旳两个根，求(x1+1)(x2+1) 旳值.
解：由根与系数旳关系,得
由根与系数旳关系，得2 x2＝3k 即2 x2＝－6 ∴ x2 ＝－3
答：方程旳另一种根是－3 , k旳值是－2.
例2、方程2x2-3x+1=0旳两根记作x1,x2，
不解方程，求：
（1） x12 x22 ;
11
（2)
x1 x2
;
(3) (x1 1)(x2 1) ; (4) x1 x2 .
另外几种常见旳求值:
解法一：设方程旳另一种根为x2. 由根与系数旳关系，得 2 ＋ x2 = k+1 2 x2 = 3k 解这方程组，得 x2 =－3 k =－2
答：方程旳另一种根是－3 , k旳值是－2.
例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0旳一种根是2 , 求它旳另一种根及k旳值。
解法二：设方程旳另一种根为x2. 把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0 解这方程，得 k= - 2
八年级数学下册《一元二次方程的根与系数的关系》教案、教学设计
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：一元二次方程的根与系数的关系，求根公式的推导与应用，以及在实际问题中的运用。
2.难点：
-理解判别式的概念及其在一元二次方程根的性质判断中的应用。
-对求根公式的记忆和熟练运用，尤其是公式中各个符号的含义和它们之间的关系。
-将实际问题抽象成一元二次方程模型，运用数学知识解决实际问题。
-借助几何图形或动画，形象地展示求根公式的推导过程。
-通过实际例题，指导学生如何运用求根公式解题。
（三）学生小组讨论
1.将学生分成若干小组，针对以下问题进行讨论：
-一元二次方程的根与系数之间存在哪些关系？
-如何利用判别式判断方程的根的情况？
-求根公式在解题过程中的作用是什么？
2.各小组汇报讨论成果，老师进行点评和补充。
4.教学策略与方法：
-采用差异化教学，针对不同学生的学习风格和能力水平，提供个性化的指导和帮助。
-利用信息技术，如数学软件、在线平台等，为学生提供丰富的学习资源和工具，提高学习效率。
-定期进行学习反馈，通过作业、小测验等形式，及时了解学生的学习情况，调整教学进度和方法。
5.情感态度与价值观的培养：
-在教学过程中，注重鼓励学生，增强他们的自信心，培养面对困难的勇气和解决问题的毅力。
二、学情分析
八年级学生已经具备了一定的数学基础，掌握了一元一次方程的解法及其应用，对于一元二次方程也有初步的认识。在此基础上，学生对于本章节《一元二次方程的根与系数的关系》的学习，既有知识储备上的优势，也存在一定难度。大部分学生能够理解根与系数的关系，但可能在运用求根公式解题时，对公式的记忆和运用上存在困难。此外，学生在解决实际问题时，可能难以将问题抽象成一元二次方程模型。因此，在教学过程中，教师应关注以下几点：
（一）教学重难点
1.重点：一元二次方程的根与系数的关系，求根公式的推导与应用，以及在实际问题中的运用。
2.难点：
-理解判别式的概念及其在一元二次方程根的性质判断中的应用。
-对求根公式的记忆和熟练运用，尤其是公式中各个符号的含义和它们之间的关系。
-将实际问题抽象成一元二次方程模型，运用数学知识解决实际问题。
-借助几何图形或动画，形象地展示求根公式的推导过程。
-通过实际例题，指导学生如何运用求根公式解题。
（三）学生小组讨论
1.将学生分成若干小组，针对以下问题进行讨论：
-一元二次方程的根与系数之间存在哪些关系？
-如何利用判别式判断方程的根的情况？
-求根公式在解题过程中的作用是什么？
2.各小组汇报讨论成果，老师进行点评和补充。
4.教学策略与方法：
-采用差异化教学，针对不同学生的学习风格和能力水平，提供个性化的指导和帮助。
-利用信息技术，如数学软件、在线平台等，为学生提供丰富的学习资源和工具，提高学习效率。
-定期进行学习反馈，通过作业、小测验等形式，及时了解学生的学习情况，调整教学进度和方法。
5.情感态度与价值观的培养：
-在教学过程中，注重鼓励学生，增强他们的自信心，培养面对困难的勇气和解决问题的毅力。
二、学情分析
八年级学生已经具备了一定的数学基础，掌握了一元一次方程的解法及其应用，对于一元二次方程也有初步的认识。在此基础上，学生对于本章节《一元二次方程的根与系数的关系》的学习，既有知识储备上的优势，也存在一定难度。大部分学生能够理解根与系数的关系，但可能在运用求根公式解题时，对公式的记忆和运用上存在困难。此外，学生在解决实际问题时，可能难以将问题抽象成一元二次方程模型。因此，在教学过程中，教师应关注以下几点：
北师大版九年级数学上册2.5一元二次方程根与系数的关系优秀教学案例
（五）作业小结
1.教师布置一道巩固一元二次方程根与系数关系的作业，要求学生在课后思考和练习。
2.学生完成作业，巩固所学知识，提高解题技能。
3.教师在下一节课开始时，检查学生作业完成情况，及时给予反馈和指导，帮助学生提高学习效果。
五、案例亮点
1.情景创设贴近生活：本案例以生活中的实际问题为切入点，引导学生思考一元二次方程在现实中的应用，使学生感受到数学与生活的紧密联系，提高了学生的学习兴趣和积极性。
5.作业小结巩固知识：教师布置具有针对性的作业，要求学生在课后思考和练习，巩固所学知识，提高解题技能。教师在下一节课开始时，检查学生作业完成情况，及时给予反馈和指导，帮助学生提高学习效果。
本案例通过以上五个亮点，有效地提高了学生的学习兴趣，培养了学生的团队协作能力和问题解决能力，使学生在轻松愉快的氛围中掌握了知识，提高了教学效果。
2.教师组织学生进行讨论，引导学生通过交流、分享，解决问题。
3.教师给予适当的点拨和指导，帮助学生建立知识体系，提升学生的思维能力。
（三）小组合作
1.教师将学生分成若干小组，鼓励学生合作探究，培养学生的团队合作精神。
2.教师设计具有探究性的任务，引导学生在合作中思考、交流，共同解决问题。
3.教师关注每个小组的学习情况，及时给予反馈和指导，提高学生的学习效果。
北师大版九年级数学上册2.5一元二次方程根与系数的关系优秀教学案例
一、案例背景
北师大版九年级数学上册2.5一元二次方程根与系数的关系，是学生在掌握了方程的解法之后，进一步探究一元二次方程的根与系数之间的内在联系的重要内容。此节内容是在学生已经具备了方程解法、根的判别式等知识的基础上进行学习的，对于学生来说，既是知识的巩固，又是拓展，对于培养学生的逻辑思维能力、提高解题技能具有重要意义。然而，由于这部分内容比较抽象，学生理解起来存在一定的困难，因此，如何设计教学案例，让学生在轻松愉快的氛围中掌握知识，提高解题技能，是摆在我们面前的一个重要课题。
1.教师布置一道巩固一元二次方程根与系数关系的作业，要求学生在课后思考和练习。
2.学生完成作业，巩固所学知识，提高解题技能。
3.教师在下一节课开始时，检查学生作业完成情况，及时给予反馈和指导，帮助学生提高学习效果。
五、案例亮点
1.情景创设贴近生活：本案例以生活中的实际问题为切入点，引导学生思考一元二次方程在现实中的应用，使学生感受到数学与生活的紧密联系，提高了学生的学习兴趣和积极性。
5.作业小结巩固知识：教师布置具有针对性的作业，要求学生在课后思考和练习，巩固所学知识，提高解题技能。教师在下一节课开始时，检查学生作业完成情况，及时给予反馈和指导，帮助学生提高学习效果。
本案例通过以上五个亮点，有效地提高了学生的学习兴趣，培养了学生的团队协作能力和问题解决能力，使学生在轻松愉快的氛围中掌握了知识，提高了教学效果。
2.教师组织学生进行讨论，引导学生通过交流、分享，解决问题。
3.教师给予适当的点拨和指导，帮助学生建立知识体系，提升学生的思维能力。
（三）小组合作
1.教师将学生分成若干小组，鼓励学生合作探究，培养学生的团队合作精神。
2.教师设计具有探究性的任务，引导学生在合作中思考、交流，共同解决问题。
3.教师关注每个小组的学习情况，及时给予反馈和指导，提高学生的学习效果。
北师大版九年级数学上册2.5一元二次方程根与系数的关系优秀教学案例
一、案例背景
北师大版九年级数学上册2.5一元二次方程根与系数的关系，是学生在掌握了方程的解法之后，进一步探究一元二次方程的根与系数之间的内在联系的重要内容。此节内容是在学生已经具备了方程解法、根的判别式等知识的基础上进行学习的，对于学生来说，既是知识的巩固，又是拓展，对于培养学生的逻辑思维能力、提高解题技能具有重要意义。然而，由于这部分内容比较抽象，学生理解起来存在一定的困难，因此，如何设计教学案例，让学生在轻松愉快的氛围中掌握知识，提高解题技能，是摆在我们面前的一个重要课题。
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一元二次方程根与系数的关系教学设计
四川省宜宾市翠屏区白花镇永远小学校 谢鹏
教学内容：一元二次方程根与系数的关系教学设计
教学目标：
1．了解一元二次方程的根与系数的关系，能运用它由已知一元二次方程的一个根求出另一个根及未知系数．
2．在不解一元二次方程的情况下，会求直接(或变形后)含有两根与两根积的代数式的值，并从中体会整体代换的思想．
教学重点：
一元二次方程的根与系数的关系．
教学难点：
让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系．
教学用具：多媒体电脑 PPT
教学过程：
一、复习旧知
一元二次方程的一般形式是什么？
ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)
一元二次方程的求根公式是什么？
一元二次方程的根的情况怎样确定？
二、导入新课
1.一元二次方程的系数与根有着密切的关系，今天让我们进一步研究一元二次方程的根与系数a ，b ，c 之间的关系．
2.若一元二次方程的两根为x 1,x 2,则有x -x 1=0,且x -x 2=0,那么方程（x -x 1)(x -x 2)=0(x 1,x 2为已知数）的两根是什么？将方程化为x 2+px +q =0的形式，你能看出x 1,x 2与p ,q 之间的关系吗？ 把方程(x -x 1)(x -x 2)=0的左边展开，化成一般形式，
得方程 x 2-(x 1+x 2)x +x 1x 2=0.
这个方程的二次项系数为1，一次项系数p =- (x 1+x 2)，常数项q =x 1x 2 . 于是，上述方程两个根的和、积与系数分别有如下关系：
x 1+x 2=-p ，x 1x 2=q .
通过演算找出答案，集体协作处理这个问题
3.如果一元二次方程 ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两个根分别是x 1、 x 2，那么，你可以发现什么结论？ 通过刚刚的演算，找到答案
再次证明结论：
已知方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)，当b 2-4ac ≥0时，两根分
别为x 1= ，x 2= 。
x 1+x 2= ，
x ＝－b±b 2－4ac 2a
(b 2－4ac ≥0)
x 1x 2= . 因此，方程的两个根x 1，x 2和系数a ，b ，c 有如下关系：
这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比。
这就是根与系数的关系，也叫韦达定理。
三.例题和练习
例1 口答下列方程的两根之和与两根之积.
掌握常见的变形。
四.课堂小结：
五、板书设计
一元二次方程根与系数的关系
复习 新知识
ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) 韦达定理
六、作业布置：
教科书35页练习题1题、2题、3题
补充作业：
1.已知方程5x 2+kx －6=0的一根是2，则另一根是 ， k ＝ .
2.已知关于x 的一元二次方程x 2＋(2m －1)x ＋m 2＝0有两个实数根x 1，x 2.
(1)求实数m 的取值范围；
(2)是否存在m 使得 ＝0成立？若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由． 12b x x a +=-12.c
x x a
=12b x x a +=-12.c x x a =
x ＝－b±b 2－4ac 2a (b 2－4ac ≥0) x 21－x 22。