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人教版 数学 八年级 上册导入新知我们知道，因式分解与整式乘法是反方向的变形，我们学习了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？素养目标3. 能综合运用提公因式、完全平方公式分解因式这两种方法进行求值和证明．2. 能较熟练地运用完全平方公式分解因式．1. 理解完全平方公式的特点．1.因式分解：把一个多项式转化为几个整式的积的形式.2.我们已经学过哪些因式分解的方法？提公因式法平方差公式a 2–b 2=(a+b )(a–b )用完全平方公式分解因式知识点3.完全平方公式(a ±b )2=a 2±2ab +b 2回顾旧知你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？同学们拼出图形为：a a b b a b a b ab a ²b ²ab这个大正方形的面积可以怎么求？a2+2ab+b2(a+b)2=ba²abab b²(a+b)2 a2+2ab+b2=将上面的等式倒过来看，能得到：a 2+2ab+b 2a 2–2ab+b 2我们把a ²+2ab+b ²和a ²–2ab+b ²这样的式子叫做完全平方式.观察这两个多项式：(1)每个多项式有几项？(3)中间项和第一项，第三项有什么关系？(2)每个多项式的第一项和第三项有什么特征？三项.这两项都是数或式的平方，并且符号相同.是第一项和第三项底数的积的±2倍.完全平方式的特点：1.必须是三项式(或可以看成三项的)；2.有两个同号的数或式的平方；3.中间有两底数之积的±2倍.222b ab a +±完全平方式:简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.2a b +b 2±=(a ± b )²a 2首2+尾2±2×首×尾(首±尾)2 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.3.a ²+4ab +4b ²=( )²+2· ( ) ·( )+( )²=( )² 2.m ²–6m +9=( )² – 2· ( ) ·( )+( )² =( )² 1. x ²+4x +4= ( )² +2·( )·( )+( )² =( )²x 2x + 2 a a 2b a + 2b 2b 对照 a ²±2ab +b ²=(a ±b )²，填空：m m – 33x 2m 3试一试下列各式是不是完全平方式？(1)a 2–4a +4; (2)1+4a ²;(3)4b 2+4b –1; (4)a 2+ab +b2; (5)x 2+x +0.25.是只有两项；不是4b ²与–1的符号不统一；不是不是是ab 不是a 与b 的积的2倍.说一说例1 分解因式：(1)16x 2+24x+9； (2)–x 2+4xy –4y 2.分析：(1)中， 16x 2=(4x )2， 9=3²，24x =2·4x ·3，所以16x 2+24x +9是一个完全平方式，即16x 2 + 24x +9= (4x )2+2·4x ·3+ 32.(2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为–(x 2–4xy +4y 2)，然后再利用公式分解因式.素养考点 1利用完全平方公式分解因式解： (1)16x 2+ 24x +9= (4x + 3)2；= (4x )2 + 2·4x ·3 + 32(2)–x 2+ 4xy –4y 2 =–(x 2–4xy +4y 2) =–(x –2y )2.把下列多项式因式分解.(1)x2–12xy+36y2; (2)16a4+24a2b2+9b4;解：(1)x2–12xy+36y2=x2–2·x·6y+(6y)2=(x–6y)2;(2)16a4+24a2b2+9b4=(4a2)2+2·4a2·3b2+(3b2)2 =(4a2+3b2)2;(3)–2xy–x2–y2; (4)4–12(x–y)+9(x–y)2.解：(3)–2xy–x2–y2= –(x2+2xy+y2)= –(x+y)2;(4)4–12(x–y)+9(x–y)2=22–2×2×3(x–y)+［3(x–y)］2 =［2–3(x–y)］2=(2–3x+3y)2.素养考点 2利用完全平方公式求字母的值B例2 如果x2–6x+N是一个完全平方式，那么N是( ) A . 11 B. 9 C. –11 D. –9解析：根据完全平方式的特征，中间项–6x=2x×(–3)，故可知N=(–3)2=9.方法点拨本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征，根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免漏解．如果x 2–mx +16是一个完全平方式，那么m 的值为________.解析：∵16=(±4)2，故–m =2×(±4)，m =±8.±8巩固练习例3 把下列各式分解因式：(1)3ax 2+6axy +3ay 2 ； (2)(a +b )2–12(a +b )+36.解: (1)原式=3a (x 2+2xy +y 2) =3a (x +y )2；分析：(1)中有公因式3a ，应先提出公因式，再进一步分解因式；(2)中将a +b 看成一个整体，设a +b =m ，则原式化为m 2–12m +36. (2)原式=(a +b )2–2·(a+b ) ·6+62 =(a+b –6)2.素养考点 3利用完全平方公式进行较复杂的因式分解利用公式把某些具有特殊形式(如平方差式，完全平方式等)的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.因式分解：(1)–3a 2x 2＋24a 2x –48a 2；(2)(a 2＋4)2–16a 2.＝(a 2＋4＋4a )(a 2＋4–4a )解：(1)原式＝–3a 2(x 2–8x ＋16)＝–3a 2(x –4)2；(2)原式＝(a 2＋4)2–(4a )2＝(a ＋2)2(a –2)2.有公因式要先提公因式.要检查每一个多项式的因式，看能否继续分解．巩固练习例4 把下列完全平方式分解因式： (1)1002–2×100×99+99²； (2)342＋34×32＋162. 解：(1)原式=(100–99)²(2)原式＝(34＋16)2本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算.=1.＝2500.素养考点 4利用完全平方公式进行简便运算探究新知计算: 7652×17–2352 ×17.解：7652×17–2352 ×17=17 ×(7652 –2352)=17 ×(765+235)(765 –235) =17 ×1 000 ×530=9010000.巩固练习素养考点 5利用完全平方公式和非负性求字母的值例5 已知:a2+b2+2a–4b+5=0，求2a2+4b–3的值.提示：从已知条件可以看出，a2+b2+2a–4b+5与完全平方式有很大的相似性(颜色相同的项)，因此可通过“凑”成完全平方式的方法，将已知条件转化成非负数之和等于0的形式，从而利用非负数的性质来求解.解：由已知可得(a 2+2a +1)+(b 2–4b +4)=0 即(a +1)2+(b –2)2=0 ∴ 2a 2+4b –3=2×(–1)2+4×2–3=71020a b +=⎧∴⎨-=⎩12a b =-⎧∴⎨=⎩方法总结：遇到多项式的值等于0、求另一个多项式的值，常常通过变形为完全平方公式和(非负数的和)的形式，然后利用非负数性质来解答．已知x 2–4x ＋y 2–10y ＋29＝0，求x 2y 2＋2xy ＋1的值．＝112＝121.解：∵x 2–4x ＋y 2–10y ＋29＝0，∴(x –2)2＋(y –5)2＝0.∵(x –2)2≥0，(y –5)2≥0，∴x –2＝0，y –5＝0，∴x ＝2，y ＝5，∴x 2y 2＋2xy ＋1＝(xy ＋1)2 几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0.巩固练习1. 因式分解：a 2–2ab +b 2= ．2. 若a +b =2，ab =–3，则代数式a 3b +2a 2b 2+ab 3的值为 ．解析：∵a +b =2，ab = –3，∴a 3b +2a 2b 2+ab 3=ab (a 2+2ab +b 2)， =ab (a +b )2，= –3×4= –12．(a –b )2–12连接中考1.下列四个多项式中，能因式分解的是() A ．a 2＋1 B ．a 2–6a ＋9C ．x 2＋5yD ．x 2–5y 2.把多项式4x 2y –4xy 2–x 3分解因式的结果是( )A ．4xy (x –y )–x 3B ．–x (x –2y )2C ．x (4xy –4y 2–x 2)D ．–x (–4xy ＋4y 2＋x 2)3.若m ＝2n ＋1，则m 2–4mn ＋4n 2的值是________．B B 14.若关于x 的多项式x 2–8x ＋m 2是完全平方式，则m 的值为_________ ．±4基础巩固题5. 把下列多项式因式分解.(1)x2–12x+36; (2)4(2a+b)2–4(2a+b)+1;(3) y2+2y+1–x2;解：(1)原式=x2–2·x·6+62=(x–6)2;(2)原式=[2(2a+b)]² – 2·2(2a+b)·1+1²=(4a+2b– 1)2;(3)原式=(y+1)² –x²=(y+1+x)(y+1–x).2(20142013)=-1.=22(2014)220142013(2013)=-⨯⨯+(2)原式22(2)2014201440262013.-⨯+1.计算：(1) 38.92–2×38.9×48.9＋48.92.解：(1)原式＝(38.9–48.9)2＝100.能力提升题2. 分解因式:(1)4x 2＋4x ＋1；(2)小聪和小明的解答过程如下：他们做对了吗？若错误，请你帮忙纠正过来.x 2–2x ＋3.13(2)原式＝ (x 2–6x ＋9)＝ (x –3)21313解: (1)原式＝(2x )2＋2•2x •1＋1＝(2x +1)2小聪: 小明:××(1)已知a –b ＝3，求a (a –2b )＋b 2的值；(2)已知ab ＝2，a ＋b ＝5，求a 3b ＋2a 2b 2＋ab 3的值．原式＝2×52＝50.解：(1)原式＝a 2–2ab ＋b 2＝(a –b )2.当a –b ＝3时，原式＝32＝9.(2)原式＝ab (a 2＋2ab ＋b 2)＝ab (a ＋b )2. 当ab ＝2，a ＋b ＝5时，拓广探索题课堂检测完全平方公式分解因式公式a 2±2ab +b 2=(a ±b )2特点(1)要求多项式有三项.(2)其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.课堂小结课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习谢谢观看 Thank You。
人教版 数学 八年级 上册问题:如图有一池塘.要测池塘两端A、B的距离，可无法直接到达，因此这两点的距离无法直接量出.你能想出办法来吗？导入新知ABCE D在平地上取一个可直接到达A 和B 的点C ，连接AC 并延长至D 使CD=CA 连接BC 并延长至E 使CE=CB 连结ED ，那么量出DE 的长，就是A 、B 的距离.为什么？导入新知3. 了解“SSA”不能作为两个三角形全等的条件．1. 探索并正确理解三角形全等的判定定理“SAS ”.2. 会用“SAS”判定定理证明两个三角形全等并能应用其解决实际问题．素养目标1.回顾三角形全等的判定方法 1三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或“SSS”）.在△ABC 和△ DEF 中∴ △ABC ≌△ DEF.（SSS ）AB=DE ，BC=EF ，CA=FD ，2.符号语言表达：ABCDE F知识点 1三角形全等的判定——“边角边”定理当两个三角形满足六个条件中的3个时，有四种情况:三角×三边√两边一角 ？两角一边【思考】除了SSS 外,还有其他情况吗？能判定全等吗？已知一个三角形的两条边和一个角，那么这两条边与这一个角的位置上有几种可能性呢？AB CAB C“两边及夹角”“两边和其中一边的对角”它们能判定两个三角形全等吗？尺规作图画出一个△A′B′C′，使A′B′＝AB ，A′C′＝AC ，∠A′＝∠A （即使两边和它们的夹角对应相等）. 把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC 上，它们全等吗？ABC两边及其夹角能否判定两个三角形全等?做一做ABCA ′DEB ′C ′作法：（1）画∠DA'E=∠A ；（2）在射线A'D 上截取A'B'=AB,在射线A'E 上截取A'C'=AC ；（3）连接B'C '.思考:① △A′ B′ C′ 与 △ABC 全等吗？如何验证？②这两个三角形全等是满足哪三个条件？在△ABC 和△ DEF 中，∴ △ABC ≌△ DEF （SAS ）．u 文字语言：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等. （简写成“边角边”或“SAS ”）． “边角边”判定方法u 几何语言：AB = DE ，∠A =∠D ，AC =AF ，ABCDEF必须是两边“夹角”例1 如果AB=CB ，∠ ABD= ∠ CBD ，那么 △ ABD 和△ CBD 全等吗？分析:△ ABD ≌△ CBD .边:角:边:AB=CB (已知)，∠ABD= ∠CBD (已知)，AB C D (SAS)BD=BD (公共边)，证明：在△ABD 和△ CBD 中，AB=CB (已知)，∠ABD= ∠CBD (已知)，∴ △ ABD ≌△CBD ( SAS).BD=BD (公共边)，利用“边角边”定理证明三角形全等探究新知素养考点 1已知:如图, AB=DB ,CB=EB ,∠1＝∠2，求证:∠A=∠D .证明:∵ ∠1＝∠2(已知)， ∴∠1+∠DBC ＝ ∠2+ ∠DBC (等式的性质)，即∠ABC ＝∠DBE. 在△ABC 和△DBE 中, AB ＝DB (已知)，∠ABC ＝∠DBE (已证)， CB ＝EB (已知)，∴△ABC ≌△DBE （SAS ）.∴ ∠A=∠D (全等三角形的对应角相等).1A 2C B D E 巩固练习例2 如图，有一池塘，要测池塘两端A 、B 的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A 和B 的点C ，连接AC 并延长到点D ，使CD ＝CA ，连接BC 并延长到点E ，使CE ＝CB ．连接DE ，那么量出DE 的长就是A 、B 的距离，为什么?A C ·E DB 证明：在△ABC 和△DEC 中，∴△ABC ≌△DEC （SAS ）.∴AB =DE .（全等三角形的对应边相等）AC = DC （已知），∠ACB =∠DCE （对顶角相等），CB=EC （已知），探究新知利用全等三角形测距离素养考点 2如图，两车从南北方向的路段AB 的A 端出发，分别向东、向西行进相同的距离，到达C ，D 两地.此时C ，D 到B 的距离相等吗？为什么？提示：相等.根据边角边定理，△BAD ≌△BAC ，∴BD = BC.巩固练习如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC .固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD .这个实验说明了什么？B AC D △ABC 和△ABD 满足AB =AB ,AC =AD ,∠B=∠B ,但△ABC 与△ABD 不全等.SSA 能否判定两个三角形全等？想一想画△ABC 和△ABD ，使∠A =∠A =30°， AB =AB=5 cm ，BC =BD = 3 cm ．观察所得的两个三角形是否全等？A BMCD有 两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.结论画一画例3 下列条件中，不能证明△ABC ≌△DEF 的是( )A ．AB ＝DE ，∠B ＝∠E ，BC ＝EFB ．AB ＝DE ，∠A ＝∠D ，AC ＝DFC ．BC ＝EF ，∠B ＝∠E ，AC ＝DFD ．BC ＝EF ，∠C ＝∠F ，AC ＝DF解析：要判断能不能使△ABC ≌△DEF ，应看所给出的条件是不是两边和这两边的夹角，只有选项C 的条件不符合，故选C.C易错点拨：判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等．只有两边及夹角对应相等时，才能判定三角形全等．素养考点 3三角形全等条件的识别如图，AB＝CD，AB∥CD，E，F是BD上两点且BE ＝DF，则图中全等的三角形有 ( )A．1对B．2对C．3对D．4对C巩固练习1.如图，已知AB=AD ，AC=AE ，∠BAE=∠DAC ． 求证：∠C=∠E ．解：∵∠BAE=∠DAC ，∴∠BAE–∠CAE=∠DAC–∠CAE ，即∠BAC=∠DAE ，在△ABC 和△ADE 中，∵ ，∴△ABC ≌△ADE （SAS ），∴∠C=∠E ．AB=AD ∠BAC=∠DAE AC=AE2.如图，已知线段AC ，BD 相交于点E ，AE=DE ，BE=CE ．（1）求证：△ABE ≌△DCE ；（2）当AB =5时，求CD 的长．（1）证明：在△AEB 和△DEC 中，AE=DE ∠AEB=∠DEC BE=EC ，∴△AEB ≌△DEC （SAS ）．（2）解：∵△AEB ≌△DEC ，∴AB=CD ， ∵AB =5， ∴CD=5．1.在下列图中找出全等三角形进行连线.Ⅰر30º8 c m9c m Ⅵر30º8c m 8 c mⅣⅣ8 c m5 cmⅡ30ºر8c m5 c mⅤ30º8c m ر5 c mⅧ8 c m5c mر30º8c m9 cmⅦⅢر30º8c m 8 c mⅢ基础巩固题2.如图，AB=DB，BC=BE，欲证△ABE≌△DBC，则需要增D加的条件是( )A.∠A＝∠DB.∠E＝∠CC.∠A=∠CD.∠ABD＝∠EBC证明：∵AC 平分∠BAD ，∴∠BAC =∠DAC ，在△ABC 和△ADC 中， ∴△ABC ≌△ADC （SAS ）．AD=AB ∠BAC=∠DAC AC=AC (已知），(公共边），(已证），3.如图，已知AC平分∠BAD , AB=AD ． 求证：△ABC ≌△ADC ．已知：如图，AB=AC , BD=CD ，E 为AD 上一点.求证： BE=CE .证明：∴ ∠BAD=∠CAD ，在△ABD 和△ACD 中，AB=AC BD=CD AD=AD (已知），(公共边），(已知），∴ BE =CE .在△ABE 和△ACE 中，AB=AC ∠BAD=∠CAD AE =AE (已知），(公共边），(已证），∴△ABD ≌△ACD （SSS ）.∴△ABE ≌△ACE （SAS ）.能力提升题AB C D E如图，已知CA=CB , AD=BD , M ，N 分别是CA ，CB 的中点，求证：DM=DN .在△ABD 与△CBD 中证明:CA=CB ， (已知）AD=BD ， （已知）CD=CD ，（公共边）∴△ACD ≌△BCD （SSS ）连接CD ，如图所示；∴∠A=∠B 又∵M ，N 分别是CA ，CB 的中点，∴ AM=BN拓广探索题在△AMD 与△BND 中AM=BN ，(已证）∠A=∠B ，（已证）AD=BD ，（已知）∴△AMD ≌△BND.（SAS ）∴DM =DN.边角边内容有两边及夹角对应相等的两个三角形全等（简写成 “SAS”)应用为证明线段和角相等提供了新的证法注意1.已知两边，必须找“夹角”2.已知一角和这角的一夹边，必须找这角的另一夹边课堂小结课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习谢谢观看 Thank You。
