2008年北京市中考试卷（数学）一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分） 下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑．1．6-的绝对值等于（ ）A ．6B ．16C ．16-D ．6-【解析】 A 【点评】 本题考核的是绝对值，难度较小，属送分题，本题考点：绝对值. 难度系数为0.95.2．截止到2008年5月19日，已有21 600名中外记者成为北京奥运会的注册记者，创历届奥运会之最．将21 600用科学记数法表示应为（ ）A ．50.21610⨯B ．321.610⨯C ．32.1610⨯D ．42.1610⨯ 【解析】 D 【点评】 本题是以奥运会为背景的一道题，考核了科学记数法的同时让学生了解我国今年奥运会的进展及相关情况，此类与时事政治相关的考题是全国各地的总体命题趋势. 本题考点：科学记数法. 难度系数为：0.93．若两圆的半径分别是1cm 和5cm ，圆心距为6cm ，则这两圆的位置关系是（ ）A ．内切B ．相交C ．外切D ．外离 【解析】 C 【点评】 本题直接告诉了两圆的半径及圆心距，只要学生记得两圆半径和差与圆心距的大小关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案. 本题考点：两圆的位置关系的判定. 难度系数：0.94．众志成城，抗震救灾．某小组7名同学积极捐出自己的零花钱支援灾区，他们捐款的数额分别是（单位：元）：50，20，50，30，50，25，135．这组数据的众数和中位数分别是（ ）A ．50，20B ．50，30C ．50，50D ．135，50 【解析】 C 【点评】 本题以给地震灾区捐款为背景，考核了统计概率的相关知识。
本题在考核数学知识的基础上向学生渗透爱心教育，是一道很不错的题目. 本题考点：众数、中位数. 难度系数：0.85 5．若一个多边形的内角和等于720o ，则这个多边形的边数是（ ）A．5 B．6 C．7 D．8【解析】B【点评】本题考核了多边形的外角和公式及利用外角和公式列方程解决相关问题.外角和公式是初一下的内容，可能时间久了部分学生会忘记，但是这并不是重点，如果我们在学习这个知识的时候能真正理解，在考试时即使忘记了公式，推导一下这个公式也不会花多少时间，所以，学习数学，理解比记忆更重要.本题考点：多边形的内角和公式，及利用公式列方程解应用题难度系数：0.756．如图，有5张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有北京奥运会的会徽、吉祥物（福娃）、火炬和奖牌等四种不同的图案，背面完全相同．现将这5张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面图案恰好是吉祥物（福娃）的概率是（）A．15B．25C．12D．35【解析】B【点评】本题和第2题一样，也是以奥运知识为背景的一道题目，本题在让学生了解奥运知识的基础上考核了学生对概率的理解.本题考点：求概率.难度系数：0.957．若230x y++-=，则xy的值为（）A．8-B．6-C．5D．6【解析】B【点评】本题考核了非负数的性质，这种题型在平时训练中应该很常见.本题考点：非负数的性质、绝对值、二次根式难度系数：0.758．已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如右图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（）【解析】D【点评】本题考核了立意相对较新，考核了学生的空间想象能力。
海淀区九年级第二学期期中练习数学试卷答案及评分参考2012.05说明: 与参考答案不同, 但解答正确相应给分.一、选择题（本题共32分，每小题4分）1. A2. B3. C4. D5. C6. B7. A8. C二、填空题（本题共16分，每小题4分）9.3x ≠ 10.)2)(2(-+x x x 11. 6 12．()1129933(,);5()4,()4422n n --⨯-（每空2分）三、解答题（本题共30分, 每小题5分）13．解：10)31(45sin 28π)14.3(-+︒-+- =2122232+-⨯+ ……………………………………………………………4分 =42+. ……………………………………………………………5分14．解：由不等式①解得2x >, …………………………………………………………2分由不等式②解得3x ≤. …………………………………………………4分因此不等式组的解集为23x <≤. ………………………………………………5分15．证明：∵ AC //EF ，∴ACB DFE ∠=∠． (1)分在△ABC 和△DEF 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,EF BC DFE ACB DF AC ∴△ABC ≌△DEF ． ………………………………………………… 4分∴AB=DE ． ………………………………………………… 5分16. 解: 法一：∵ ⎩⎨⎧==b y a x ,是方程组 ⎩⎨⎧=-=+12,32y x y x 的解, ∴⎩⎨⎧=-=+.12,32b a b a …………………………………………………2分解得A B C D E F1,1.a b =⎧⎨=⎩………………………………………………… 4分 ∴()4()(4)541(11)141158a a b b a b -+-+=⨯⨯-+⨯⨯-+=. ………………5分法二：∵ ⎩⎨⎧==b y a x ,是方程组 ⎩⎨⎧=-=+12,32y x y x 的解, ∴⎩⎨⎧=-=+.12,32b a b a …………………………………………………2分2222444545(2)(2)5a ab ab b a b a b a b =-+-+=-+=+-+原式. ………4分123,2=-=+b a b a 将代入上式, 得.85135)2)(2(=+⨯=+-+=b a b a 原式 ……………………………………………5分17．解：（1）∵ 点A （,3m -）在反比例函数xy 3=的图象上， ∴ m33=-. ∴1m =-． (1)分∴ 点A 的坐标为A （-1,-3）. …………………………………………………… 2分∵ 点A 在一次函数y kx =的图象上，∴ 3k =.∴ 一次函数的解析式为y =3x . ……………………………………… 3分（2）点P 的坐标为P (1, 3) 或P (-3, -9). （每解各1分） …………………… 5分18．解：设现在平均每天植树x 棵. ……………………………………………… 1分依题意, 得60045050x x =-. …………………………………………………… 2分 解得：200x =. (3)分经检验，200x =是原方程的解，且符合题意. …………………………………4分答：现在平均每天植树200棵. ……………………………………………… 5分四、解答题（本题共20分, 每小题5分）19．解: ∵∠ABC =90︒，AE=CE ，EB =12， ∴ EB=AE=CE =12. ……………………1分∴ AC =AE+CE =24.ED C BA∵在Rt △ABC 中，∠CAB =30︒,∴ BC =12, cos30123AB AC =⋅︒=. ……………………2分∵ DE AC ⊥，AE=CE ，∴AD=DC ． ………………………………………………3分在Rt △ADE 中，由勾股定理得 AD =222212513AE DE +=+=． …………4分∴DC =13.∴ 四边形ABCD 的周长=AB +BC +CD +DA =38+123． …………………… 5分20.（1）证明：连结BD . ∵ AD 是⊙O 的直径， ∴∠ABD =90°. ∴∠1+∠D =90°. ∵∠C =∠D ，∠C =∠BAE ， ∴∠D =∠BAE . …………………………1分 ∴∠1+∠BAE =90°.即 ∠DAE =90°. ∵AD 是⊙O 的直径， ∴直线AE 是⊙O 的切线. …………………………………………………2分（2）解: 过点B 作BF ⊥AE 于点F , 则∠BFE =90︒.∵ EB =AB ,∴∠E =∠BAE , EF =12AE =12×24=12. ∵∠BFE =90︒, 4cos 5E =,∴512cos 4EF EB E ==⨯=15. ……………………………………………………3分∴ AB =15.由（1）∠D =∠BAE ，又∠E =∠BAE ,∴∠D=∠E . ∵∠ABD =90︒,∴54cos ==AD BD D . ………………………………………………………4分 设BD =4k ，则AD ＝5k .在Rt △ABD 中, 由勾股定理得AB ＝22AD BD -=3k , 可求得k =5. ∴.25=AD∴⊙O 的半径为252. ……………………………………………………………5分 21.解：（1）290-(85+80+65)=60 (万元) . 补图(略) ………………………………1分（2）85⨯23%=19.55≈19.6 (万元).所以该店1月份音乐手机的销售额约为19.6万元. …………………………3分F 1O A B C D E（3）不同意，理由如下：3月份音乐手机的销售额是 6018%10.8⨯=（万元）,4月份音乐手机的销售额是 6517%11.05⨯=（万元）. …………………4分而 10.8<11.05,因此4月份音乐手机的销售额比3月份的销售额增多了. ………5分22. 解：△BCE 的面积等于 2 . …………1分（1）如图（答案不唯一）： ……2分 以EG 、FH 、ID 的长度为三边长的一个三角形是△EGM . …………3分（2） 以EG 、FH 、ID 的长度为三边长的三角形的面积等于 3 ． …………5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23. 解：（1）当m =0时，原方程化为,03=+x 此时方程有实数根 x = -3. …………1分当m ≠0时，原方程为一元二次方程.∵()()222311296131m m m m m ∆=+-=-+=-≥0.∴ 此时方程有两个实数根. ………………………………………………2分 综上, 不论m 为任何实数时, 方程 03)13(2=+++x m mx 总有实数根.（2）∵令y =0, 则 mx 2+(3m +1)x +3=0.解得 13x =-，21x m=-. ………………………………………………3分 ∵ 抛物线()2313y mx m x =+++与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，∴1m =.∴抛物线的解析式为243y x x =++. ………………………………………4分（3）法一：∵点P ),(11y x 与Q ),(21y n x +在抛物线上,∴2211121143,()4()3y x x y x n x n =++=++++. ∵,21y y =∴22111143()4()3x x x n x n ++=++++.可得 04221=++n n n x .即 0)42(1=++n x n .∵ 点P , Q 不重合,∴ n ≠0. ∴124x n =--. ……………………………………………………5分∴ 222211114125168(2)265168x x n n n x x n n n ++++=+⋅+++ E D C BAG HI22(4)6(4)516824.n n n n n =++--+++= …………………………………7分法二：∵ 243y x x =++=(x +2)2-1， ∴ 抛物线的对称轴为直线 x =-2.∵ 点P ),(11y x 与Q ),(21y n x +在抛物线上, 点P , Q 不重合, 且,21y y =∴ 点 P , Q 关于直线 x =-2对称. ∴11 2.2x x n ++=-∴124x n =--. …………………………………………………5分下同法一.24. 解:（1） NP =MN , ∠ABD +∠MNP =180︒ (或其它变式及文字叙述,各1分). ………2分（2）点M 是线段EF 的中点(或其它等价写法). 证明：如图, 分别连接BE 、CF .∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AD ∥BC ，AB ∥DC ，∠A =∠DCB ， ∴∠ABD =∠BDC . ∵ ∠A =∠DBC ， ∴ ∠DBC =∠DCB . ∴ DB =DC . ① ………………………3分∵∠EDF =∠ABD ,∴∠EDF =∠BDC .∴∠BDC -∠EDC =∠EDF -∠EDC .即∠BDE =∠CDF . ②又 DE =DF ， ③ 由①②③得△BDE ≌△CDF . …………………………………………………4分 ∴ EB =FC , ∠1=∠2.∵ N 、P 分别为EC 、BC 的中点，∴NP ∥EB , NP =EB 21.同理可得 MN ∥FC ，MN =FC 21.∴ NP = NM . ………………………………………………………5分∵ NP ∥EB , ∴∠NPC =∠4.∴∠ENP =∠NCP +∠NPC =∠NCP +∠4. ∵MN ∥FC ，∴∠MNE =∠FCE =∠3+∠2=∠3+∠1.∴ ∠MNP =∠MNE +∠ENP =∠3+∠1+∠NCP +∠4=∠DBC +∠DCB =180︒-∠BDC =180︒-∠ABD .∴ ∠ABD +∠MNP =180︒. ……………………………………………7分25.解：（1）依题意, 112=⨯-b, 解得b =-2.M13 2 4PNA EFCDB将b =-2及点B (3, 6)的坐标代入抛物线解析式2y x bx c =++得 26323c =-⨯+. 解得 c =3. 所以抛物线的解析式为322+-=x x y . ………………………………………1分（2）∵抛物线 322+-=x x y 与y 轴交于点A ，∴ A (0, 3). ∵ B (3, 6),可得直线AB 的解析式为3y x =+.设直线AB 下方抛物线上的点M 坐标为（x ，322+-x x ），过M 点作y 轴的平行线交直线AB 于点N , 则N (x , x +3). (如图1)∴132ABM AMN BMN B A S S S MN x x ∆∆∆=+=⋅-=. ……………………2分∴()21323332x x x ⎡⎤+--+⨯=⎣⎦.解得 121,2x x ==.∴点M 的坐标为(1, 2) 或 (2, 3). ……………………4分（3）如图2，由 PA =PO , OA =c , 可得2c PD =. ∵抛物线c bx x y ++=2的顶点坐标为 )44,2(2bc bP --, 图1∴2442cb c =-. ∴22b c =. …………………………………………………………………5分∴ 抛物线2221b bx x y ++=, A （0，212b ），P （12b -，214b ）, D（12b -，0）.可得直线OP 的解析式为12y bx =-.∵ 点B 是抛物线2212y x bx b =++与直线12y bx =-的图象的交点，令 221122bx x bx b -=++.解得12,2bx b x =-=-. 图2可得点B的坐标为（-b，212b ）. ……………………………………6分 由平移后的抛物线经过点A , 可设平移后的抛物线解析式为N MBAPyxO CB D A O xyP2212y x mx b =++.将点D (12b -，0)的坐标代入2212y x mx b =++，得32m b =.∴ 平移后的抛物线解析式为223122y x bx b =++.令y =0, 即2231022x bx b ++=.解得121,2x b x b =-=-.依题意, 点C 的坐标为（-b，0）. …………………………7分 ∴ BC =212b .∴ BC = OA .又BC ∥OA ，∴ 四边形OABC 是平行四边形.∵ ∠AOC =90︒， ∴ 四边形OABC 是矩形. ……………………………………………………8分。
17 2008年北京市海淀区中考数学一模试卷一、选择题(本题共32分，每小题4分)在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的． 1．一个数的相反数是－8，则这个数是( ) A ．8B ．－8C ．81 D ．81-2．已知一元二次方程x 2－x ＋3＝0，则这个方程根的情况为( ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．不能确定3．已知：如图，圆心角∠BOC ＝100°．则圆周角∠BAC 的度数为( ) A ．130° B ．100° C ．80° D ．50°第3题图4．从申奥成功的2001年开始到2007年，北京全年空气质量达到二级和好于二级的天数分别为(单位：天)185，203，224，229，227，241，246，则北京这几年全年空气质量达到二级和好于二级的天数的平均值(取整数)约为( )天 A ．225 B ．222 C ．213 D ．198 5．当分式35+-x x 的值为零时，x 的值是( ) A ．x ＝3 B ．x ≠3 C ．x ＝5 D ．x ≠5 6．在下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( ) A ．圆 B ．等腰三角形 C ．梯形 D ．平行四边形 7．把代数式x 3－8x 2＋16x 分解因式，下列分解结果正确的是( ) A ．x (x ＋4)2 B ．x (x －4)2 C ．x 2－4x (2x －4) D ．x 2(x －8)＋16x8．图①是一个水平摆放的小正方体木块，图②③是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第7个叠放的图形，此时第7个叠放的图形中小正方体木块总数应是( )第8题图A ．25B ．66C ．91D ．120二、填空题(本题共．16分，每小题4分)9．中国国家大剧院位于人民大会堂西侧，西长安街以南，由国家大剧院主体建筑及南北两侧的水下长廊、地下停车场、人工湖、绿地等组成，其中人工湖面积约35500平方米．将数据35500用科学记数法表示应为________． 10．函数x y 32-=中，自变量x 的取值范围是________．11．一个口袋中放有3个红球和6个黄球，这两种球除颜色外没有任何区别．随机地从口袋中任取出一个球，取到黄球的概率是________．12．如图，把一个等边三角形的顶点放置在正六边形的中心O 点，请你借助这个等边三角形的角，以角为工具等分正六边形的面积，等分的情况分别为________等分．第12题图三、解答题(共13个小题，共72分)13．(5分)计算 30sin 251)π14.3()5(22+⎪⎭⎫⎝⎛--+--．14．(5分)先化简，再求值．4112112-+--+⋅x x x x ，其中x ＝3．15．(5分)用求根公式解方程x 2－6x ＋5＝0．16．(5分)求解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+->+②①,132,13)1(2x x x 并在所给的数轴上表示出它的解集．第16题图17．(5分)已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、CD边的中点，连结CE、AF．求证：AF＝CE．第17题图18．(5分)已知：Rt△ABC在4×6的方格图中的位置如图，设每个小正方形的边长为一个长度单位，请你先把△ABC以直角顶点为旋转中心，按顺时针方向旋转90°后，再沿水平方向向右平行移动三个单位长度(保留图形移动的结果)，写出点C移动的路径总长(用小正方形的长度单位表示)．第18题图19．(5分)如图，在相对的两座楼中间有一堵院墙，甲、乙两个人分别在楼的同侧观察这堵墙，视线所及如图①所示．根据实际情况画出平面图形如图②(CD⊥DF,AB⊥DF，EF ⊥DF)，甲从点C可以看到点G处，乙从点E可以看到点D处，点B是DF的中点，墙AB高5米，DF＝100米，BG＝10米，求甲、乙两人的观测点到地面的距离的差．第19题图20．(6分)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－1，－1)，B(0，－2)，C(1，1)．(1)求抛物线的解析式以及它的对称轴；(2)求这个函数的最值．21．(5分)小明家在装修房子时，使用同样规格的黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形的露天平台，根据不同的地块设计了两种不同的方案，设计的图纸如下图(外面一周都设计为黑色瓷砖)．第21题图如果有一块地方，小明用其中一种方案铺设，共用了1 056块瓷砖，问这块地方使用的是哪种设计方案，请你给出解答的过程． 22．(5分)已知一次函数323+-=x y 的图象与y 轴，x 轴分别交于点A ，B ，直线y ＝kx ＋b 经过OA 上的三分之一点D ，且交x 轴的负半轴于点C ，如果S △AOB ＝S DOC ，求直线y ＝kx ＋b 的解析式．23．(6分)已知：如图，AC 是⊙O 的直径，AB 是弦，MN 是过点A 的直线，AB 等于半径长．(1)若∠BAC ＝2∠BAN ，求证：MN 是⊙O 的切线．(2)在(1)成立的条件下，当点E 是的中点时，在AN 上截取AD ＝AB ，连结BD 、BE 、DE ，求证：△BED 是等边三角形．第23题图24．(7分)在一个夹角为120°的墙角放置一个圆形的容器，俯视图如图．在俯视图中，圆与两边的墙分别切于B 、C 点．如果用带刻度的直尺测量圆形容器的直径，发现直尺的长度不够．(1)写出此图中相等的线段；(2)请你设计两种不同的通过计算可求出直径的方法(只写明主要的解题过程)．第24题图25．(8分)已知：如图，一块三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的AB边上，并且使一条直角边经过点C，三角板的另一条直角边与AD交于点Q．(1)请你写出此时图形中成立的一个结论(任选一个)．(2)当点P满足什么条件时，有AQ＋BC＝CQ?请证明你的结论．(3)当点Q在AD的什么位置时，可证得PC＝3PQ?并写出论证的过程．第25题图答 案17．2008年北京市海淀区中考数学一模试卷一、选择题1.A 2．C 3．D 4．B 5．C 6．A 7．B 8．C 二、填空题9．3.55×104 10．32≤x 11.3212．二，三，六 三、解答题13．解：原式182122515-=⨯+-+= 14．解：原式)2)(2(11211.+-+--+=x x x x x 21)2)(1(1)2)(1(1)2)(1(2+=+++=++-+++=x x x x x x x x x ．当x ＝3时，原式51231=+=． 15．解：a ＝1，b ＝－6，c ＝5．b 2－4ac ＝36－20＝16．246216)6(±=±--=x ，即x 1＝5，x 2＝1．16．解：由①得x ＜3．由②得x ≥1．所以不等式组的解集为1≤x ＜3．在数轴上表示其解集如下：第16题答图17．证法一：在菱形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∠B ＝∠D ．因为E 、F 分别是AB 、CD 的中点，所以AB BE 21=，CD DF 21=． 所以BE ＝DF ．在△CBE 和△ADF 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,DF BE D B AD BC所以△CBE ≌△ADF ．所以CE ＝AF ．证法二：在菱形ABCD 中，AB ＝CD ，AB ∥CD ．因为E 、F 分别是AB 、CD 的中点，所以AB AE 21=，CD CF 21=． 所以AE ＝CF ．又因为AE ∥CF ，所以四边形AECF 是平行四边形．所以AF ＝CE ． 18．略．19．解：由题意可知∠ABG ＝∠CDG ＝90°．又因为∠AGD 为公共角， 所以△ABG ∽△CDG ． 所以DGBGCD AB =． 可求得CD ＝30米． 同理可求得EF ＝10米．所以两人的观测点到地面的距离的差为20米．20．解：(1)由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-=+-.1,2,1c b a c c b a解得⎪⎩⎪⎨⎧-===.2,1,2c b a 所以所求抛物线解析式为y ＝2x 2＋x －2．配方得8174122222-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=x x x y ．所以此抛物线的对称轴为直线41-=x ． (2)因为a ＞0，所以当41-=x 时，函数有最小值， 这个函数的最小值为817-． (参照给分)注：也可以用公式正确求得对称轴和函数的最值． 21．解：据观察可知两种方案中，长比宽均多出一块瓷砖，则可设宽需用x 块，长需用(x ＋1)块． 列方程x ·(x ＋1)＝1056．解得x 1＝32，x 2＝－33(不合题意，舍去)． 则宽需用32块瓷砖，长需用33块瓷砖．观察两种方案的规律，得知只有方案1的宽为偶数，长为奇数， 所以应该选择方案1． 22．解：因为直线323+-=x y 与y 轴，x 轴的交点分别为A ，B ， 所以两点坐标分别为A (0，3)，B (2，0)．所以OA ＝3，OB ＝2． 所以321==⋅∆OB OA S AOB ，因为D 为OA 上的三分之一点， 所以D 点的坐标为(0，1)或(0，2)． 因为321===⋅∆∆OD OC S S DOC AOB ， 所以当OD ＝1时，OC ＝6；当OD ＝2时，OC ＝3．因为点C 在x 轴的负半轴上，所以C 点的坐标为(－6，0)或(－3，0)． 所以直线CD 的解析式为232+=x y 或161+=x y ．23．证明：(1)连结OB．第23题答图因为AC是⊙O的直径，AB是弦且等于半径长．所以OA＝OB＝AB．所以△AOB为等边三角形．所以∠OAB＝60°．因为∠BAC＝2∠BAN＝60°，所以∠BAN＝30°．所以∠CAN＝∠BAC＋∠BAN＝90°．所以AC⊥MN．又因为AC为直径，所以MN是⊙O的切线．(2)连结AE，OE．由E是的中点，可得∠BAE＝∠ABE＝15°．易证△ABE≌△ADE．所以BE＝DE，∠EDA＝15°．可证得∠BDE＝60°．所以△BDE是等边三角形．24．解：(1)AB＝AC．第24题答图(2)方法一：作∠BAC的平分线，过点B作射线AB的垂线，两线交于点O．由图形的对称性可知圆心在∠BAC的平分线上，点O就是该圆的圆心．可测得AB的长度．在Rt△AOB中，∠BAO＝60°，所以OB＝AB·tan60°＝3AB，所以直径为23AB．方法二：连结OC，BC，可证得△COB是等边三角形．所以BC＝OC．可求得BC的长度，所以直径等于2BC．25．解：(1)△APQ∽△BCP．(答案不唯一)(2)当P为AB中点时，有AQ＋BC＝CQ．证明：连结CQ，延长QP，交CB的延长线于点E．可证△APQ≌△BPE．则AQ＝BE，PQ＝PE．又因为CP⊥QE，可得CQ＝CE，所以AQ ＋BC ＝CQ ． (3)当AD AQ 92=时，有PC ＝3PQ ． 证明：在正方形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝90°，AD ＝BC ＝AB ． 又因为直角三角板的顶点P 在边AB 上， 所以∠1＋∠2＝180°－∠QPC ＝90°． 因为Rt △CBP 中，∠3＋∠2＝90°， 所以∠1＝∠3．所以△APQ ∽△BCP ．所以BC AP BP AQ PC PQ ==．因为AB AD AQ 9292==， 所以ABAPAP AB AB=-92．所以AB AP 31=，或AB AP 32=(不合题意，舍去)． 所以31===AB AP BC AP PC PQ ．所以PC ＝3PQ ．第25题答图。
2008-2009 学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共32 分，每题4 分）在每题的四个备选答案中只有一个是正确的，请将正确答案前的字母填在括号中．1．（4 分）已知两圆的半径分别为3、5，且它们的圆心距为2，则这两个圆的位置关系为（）A．外离B．内切C．相交D．内含2．（4分）已知•＝，其中a≥0，则b 满足的条件是（）A．b＜0 B．b≥0C．b 必须等于零D．不能确定3．（4 分）在图形“圆，等腰三角形，矩形，正方形”中，对称轴的条数多于一条的图形有（）A．一个B．两个C．三个D．四个4．（4分）如图，已知⊙O 中，半径OC 垂直于弦AB，垂足为D，若OD＝3，OA＝5，则AB 的长为（）A．2 B．4 C．6 D．85．（4 分）投掷一枚质地均匀的正六面体的骰子，掷得点数为“4”的概率为（）A． B． C．D．6．（4分）已知（1﹣x）2+，则x+y 的值为（）A．1 B．2 C．3 D．57．（4 分）如果是一个正整数，则x 的最大的整数值为（）A．8 B．13 C．16 D．188．（4 分）已知关于x 的一元二次方程x2+mx+4＝0 有两个正整数根，则m 可能取的值为（）A．m＞0 B．m＞4 C．﹣4，﹣5 D．4，5二、填空题（本题共16 分，每空4 分）9．（4 分）已知二次根式，则x 的取值范围是．10．（4 分）若关于x 的一元二次方程x2+3x﹣（m﹣2）＝0 没有实数根，则m 的取值范围是．11．（4 分）有一种化学实验中用的圆形过滤纸片，如果需要找它的圆心，不借助作图工具找的方法是．12．（4 分）如图，已知大半圆⊙O1 与小半圆⊙O2 相内切于点B，大半圆的弦MN 切小半圆于点D，若MN∥AB，当MN＝4 时，则此图中的阴影部分的面积是．三、解答题：（本题共30 分，每题5 分）13．（5 分）计算：．14．（5 分）计算：．15．（5 分）解方程：3x2﹣12x＝﹣12．16．（5 分）解方程：x2﹣6x+9＝（5﹣2x）2．17．（5 分）如图，已知在等边三角形ABC 中，D、E 是AB、AC 上的点，且AD＝CE．求证：CD＝BE．18．（5 分）如图1，是一座圆弧形涵洞的入口，图2 是涵洞的示意图，如果涵洞的拱高CD 为6 米，涵洞入口处的地面的宽度AB 为4 米，请你求这座涵洞圆弧所在圆的半径长．四、解答题（本题6 分）19．（6 分）如图，已知三个同心圆，等边三角形ABC 的三个顶点分别在三个圆上，请你先把这个三角形绕着点O 顺时针旋转120°，再说明旋转的结果．五、解答题：（本题共12 分，每题6 分）20．（6 分）已知一块长方形木板长40cm，宽30cm，在木板中间挖去一个底边长为20cm，高为15cm 且宽度相同的U 形孔（如示意图），已知剩下的木板面积是原来面积的，求挖去的U 形孔的宽度．21．（6 分）为了测量一种圆形零件的精度，在加工流水线上设计了用两块大小相同，且含有30°角的直角三角尺按示意图的方式测量．（1）若⊙O 分别与AE、AF 交于点B、C，且AB＝AC，若⊙O 与AF 相切．求证：⊙O 与AE 相切；（2）在（1）成立的情况下，当B、C 分别与AE、AF 的三分之一点时，且AF＝3，求的弧长．六、（本题共24 分，每题6 分）22．（6 分）有一套小说分为上、中、下三册，如果将它们任意地陈列在书架的同一层上，各册自左至右或自右至左恰好成上、中、下次序的概度为多少？并写出具体的解题过程．23．（6 分）如图，已知直线MN 经过⊙O 上的点A，点B 在MN 上，连OB 交⊙O 于C点，且点C 是OB 的中点，AC＝OB，若点P 是⊙O 上的一个动点，当AB＝时，求△APC 的面积的最大值．24．（6 分）如图，已知这是从正方形材料上剪裁下一个最大的圆形后剩下的边角废料中的一块，其中AO⊥OB，并且AO＝BO，当AO＝1 时，求在此图形中可裁剪出的最大的圆的半径．25．（6 分）如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，点E 是AB 上的一个动点，若∠B＝60 °，AB＝BC，且∠DEC＝60°，判断AD+AE 与BC 的关系并证明你的结论．2008-2009 学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共32 分，每题4 分）在每题的四个备选答案中只有一个是正确的，请将正确答案前的字母填在括号中．1．（4 分）已知两圆的半径分别为3、5，且它们的圆心距为2，则这两个圆的位置关系为（）A．外离B．内切C．相交D．内含【分析】本题直接告诉了两圆的半径及圆心距，根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．【解答】解：由题意知，两圆圆心距P＝2∵R﹣r＝5﹣3＝2，∴P＝R﹣r 故两圆内切．故选：B．【点评】本题主要考查两圆之间的位置关系，两圆外离，则P＞R+r；外切，则P＝R+r；相交，则R﹣r＜P＜R+r；内切，则P＝R﹣r；内含，则P＜R﹣r．（P 表示圆心距，R，r 分别表示两圆的半径）．2．（4 分）已知•＝，其中a≥0，则b 满足的条件是（）A．b＜0 B．b≥0C．b 必须等于零D．不能确定【分析】根据二次根式有意义的条件得出b≥0，ab≥0，求出不等式的解集即可．【解答】解：∵要使和有意义，∴b≥0，ab≥0，∵a≥0，∴b≥0，故选：B．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件和二次根式的乘除法的应用，注意：当a≥0 时，才有意义，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．3．（4 分）在图形“圆，等腰三角形，矩形，正方形”中，对称轴的条数多于一条的图形有（）A．一个B．两个C．三个D．四个【分析】根据轴对称图形的概念，分析圆，等腰三角形，矩形，正方形的对称轴，再作答．【解答】解：圆有无数条对称轴，即过圆心的每一条直线；一般的等腰三角形有一条对称轴，即底边的垂直平分线；矩形有2 条对称轴，即对边的垂直平分线；正方形有4 条对称轴，即两条对角线所在的直线和两组对边的垂直平分线．则对称轴的条数多于一条的图形有三个，故选C．【点评】本题主要考查轴对称图形的知识点，能够找出图形的对称轴是解题的关键．4．（4分）如图，已知⊙O 中，半径OC 垂直于弦AB，垂足为D，若OD＝3，OA＝5，则AB 的长为（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】利用垂径定理和勾股定理计算．【解答】解：根据勾股定理得AD＝4根据垂径定理得AB＝2AD＝8 故选：D．【点评】考查了垂径定理和勾股定理的运用．5．（4 分）投掷一枚质地均匀的正六面体的骰子，掷得点数为“4”的概率为（）A． B． C． D．【分析】让1 除以数的总数即为所求的概率．【解答】解：根据题意知，骰子有六个面，每面的数据不同，有六种可能，“4”只有1个，所以掷得点数为“4”的概率为．故选：D．【点评】用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．6．（4 分）已知（1﹣x）2+，则x+y 的值为（）A．1 B．2 C．3 D．5【分析】根据非负数的性质：它们相加和为0 时，必须满足其中的每一项都等于0．即可求得x，y 的值．【解答】解：∵（1﹣X）2+∴解得∴x+y＝1+2＝3．故选：C．【点评】此题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0 时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．7．（4 分）如果是一个正整数，则x 的最大的整数值为（）A．8 B．13 C．16 D．18【分析】把15 进行分解得出15＝1×15＝3×5＝﹣1×（﹣15）＝﹣3×（﹣5），推出方程x﹣3＝1，x﹣3＝15，x﹣3＝3，x﹣3＝5，x﹣3＝﹣1，x﹣3＝﹣15，x﹣3＝﹣3，x﹣3＝﹣5，求出方程的解，找出最大值即可．【解答】解：∵是一个正整数，x 为整数，又∵15＝1×15＝3×5＝﹣1×（﹣15）＝﹣3×（﹣5），∴x﹣3＝1 或x﹣3＝15 或x﹣3＝3 或x﹣3＝5 或x﹣3＝﹣1 或x﹣3＝﹣15 或x﹣3＝﹣3 或x﹣3＝﹣5，解得：x 的值是4 或18 或6 或8 或2 或﹣12 或0 或﹣2，∴x 的最大的整数值是18，故选：D．【点评】本题考查了分式的值和解一元一次方程的应用，关键是根据题意得出关于x 的方程，注意：不要漏解啊，用的数学思想是分类讨论思想．8．（4 分）已知关于x 的一元二次方程x2+mx+4＝0 有两个正整数根，则m 可能取的值为（）A．m＞0 B．m＞4 C．﹣4，﹣5 D．4，5【分析】方程有两个正整数根，说明根的判别式△＝b2﹣4ac≥0，即m2﹣4×1×4≥0，由此可以求出m 的取值范围，然后根据方程有两个正整数根确定m 的值．【解答】解：∵关于x 的一元二次方程x2+mx+4＝0 有两个正整数根，∴△＝b2﹣4ac≥0，即m2﹣4×1×4≥0，∴m2≥16，解得m≥4 或m≤﹣4，∵方程的根是x＝，又因为是两个正整数根，则m＜0则m≤﹣4故A、B、D 一定错误．C，把m＝﹣4 和﹣5 代入方程的根是x＝，检验都满足条件．∴m 可能取的值为﹣4，﹣5．故选：C．【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．正确确定m 的范围，并进行正确的检验是解决本题的关键．二、填空题（本题共16 分，每空4 分）9．（4 分）已知二次根式，则x 的取值范围是 x≥．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列不等式求解．【解答】解：依题意有2x﹣5≥0，解得x≥．故x 的取值范围是x≥．【点评】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．10．（4 分）若关于x 的一元二次方程x2+3x﹣（m﹣2）＝0 没有实数根，则m 的取值范围是 m ．【分析】方程没有实数根，则△＜0，建立关于m 的不等式，求出m 的取值范围．【解答】解：由题意知，△＝9+4（m﹣2）＝1+4m＜0，∴m＜．【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．11．（4 分）有一种化学实验中用的圆形过滤纸片，如果需要找它的圆心，不借助作图工具找的方法是对折两次，两条折痕的交点即为圆心．【分析】根据圆是轴对称图形，直径所在的直线即是它的对称轴，即可找到．【解答】解：∵直径所在的直线即是圆对称轴，∴两条直径的交点是圆的圆心．故填：对折两次，两条折痕的交点即为圆心．【点评】考查了圆的直径所在的直线即是它的对称轴这个性质．12．（4 分）如图，已知大半圆⊙O1 与小半圆⊙O2 相内切于点B，大半圆的弦MN 切小半圆于点D，若MN∥AB，当MN＝4 时，则此图中的阴影部分的面积是2π．【分析】把小半圆平移到O1，O2 重合，阴影部分的面积不变，根据切线的性质定理以及勾股定理，得阴影部分的面积是＝2π．【解答】解：根据题意可知平移后如图：阴影部分的面积＝大半圆的面积﹣小半圆的面积，∴S 阴＝πDN2＝π•MN2＝2π．【点评】注意：圆环的面积＝．（a 即是相切于小圆的大圆的弦长）三、解答题：（本题共30 分，每题5 分）13．（5 分）计算：．【分析】先把二次根式化成最简根式，去括号，再合并同类二次根式即可．【解答】解：＝2﹣++3＝．【点评】本题主要考查了二次根式的加减运算能力．14．（5 分）计算：．【分析】利用多项式除以单项式的法则运算．【解答】解：＝﹣＝．【点评】注意混合运算的顺序．15．（5 分）解方程：3x2﹣12x＝﹣12．【分析】首先把方程的二次项系数化为1，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．【解答】解：x2﹣4x+4＝0x2﹣4x＝﹣4x2﹣4x+4＝0（x﹣2）2＝0x1＝x2＝2．【点评】本题考查了利用配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2 的倍数．16．（5 分）解方程：x2﹣6x+9＝（5﹣2x）2．【分析】把方程左边化成一个完全平方式，那么将出现两个完全平方式相等，则这两个式子相等或互为相反数，据此即可转化为两个一元一次方程即可求解．【解答】解：∵（x﹣3）2＝（5﹣2x）2，∴x﹣3＝5﹣2x 或x﹣3＝2x﹣5解之得：x1＝2，x2＝．【点评】解一元二次方程的基本思想是降次，把一元二次方程转化为一元一次方程，从而求解．17．（5 分）如图，已知在等边三角形ABC 中，D、E 是AB、AC 上的点，且AD＝CE．求证：CD＝BE．【分析】证CD＝BE，应证明这两条线段所在的三角形全等．可利用SAS 求证．【解答】证明：∵△ABC 是等边三角形，∴BC＝AC，∠A＝∠ACB＝60°．在△ADC 与△CEB 中，AC＝BC，∠A＝∠ACB，AD＝CE，∴△ADC≌△CEB．故CD＝BE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；如果两条线段在两个三角形里，证明两条线段相等，通常情况下是证明这两条线段所在的两个三角形全等．18．（5 分）如图1，是一座圆弧形涵洞的入口，图2 是涵洞的示意图，如果涵洞的拱高CD 为6 米，涵洞入口处的地面的宽度AB 为4 米，请你求这座涵洞圆弧所在圆的半径长．【分析】连接OA，构造直角三角形．根据垂径定理和勾股定理进行计算．【解答】解：依题意，CD 过点O 且垂直于AB，连接OA，设半径为x 米，所以AD＝DB＝2，在Rt△ADO 中，由勾投定理，有OA2＝OD2+AD2，即x2＝（6﹣x）2+22，得．答：半径为米．【点评】注意构造直角三角形，熟练运用勾股定理和垂径定理．四、解答题（本题6 分）19．（6 分）如图，已知三个同心圆，等边三角形ABC 的三个顶点分别在三个圆上，请你先把这个三角形绕着点O 顺时针旋转120°，再说明旋转的结果．【分析】分别说明点A、B、C 分别在三个圆上顺时针移动120°后的位置即可．【解答】解：如图所示，点A1、B1、C1 即为旋转后的对应点，因为对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等，所以对应点还分别在对应的圆上，旋转角都是120°．【点评】本题考查旋转的性质﹣﹣旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．五、解答题：（本题共12 分，每题6 分）20．（6 分）已知一块长方形木板长40cm，宽30cm，在木板中间挖去一个底边长为20cm，高为15cm 且宽度相同的U 形孔（如示意图），已知剩下的木板面积是原来面积的，求挖去的U 形孔的宽度．【分析】本题可设U 形孔的宽为xcm，则U 形孔的面积为[20x+2x（15﹣x）]cm2，进而可列出方程，求出答案．【解答】解：根据题意，设U 形孔的宽为xcm，根据题意得：40×30×（1﹣）＝20x+2x（15﹣x），即x2﹣25x+100＝0．解得x1＝5，x2＝20（此时2x＝40，占去了木板的全部宽度，不合题意舍去）．答：宽度为5cm．【点评】这类题目体现了数形结合的思想，需仔细分析图形，利用方程来解决问题，另外还要注意解的合理性，从而确定取舍．21．（6 分）为了测量一种圆形零件的精度，在加工流水线上设计了用两块大小相同，且含有30°角的直角三角尺按示意图的方式测量．（1）若⊙O 分别与AE、AF 交于点B、C，且AB＝AC，若⊙O 与AF 相切．求证：⊙O 与AE 相切；（2）在（1）成立的情况下，当B、C 分别与AE、AF 的三分之一点时，且AF＝3，求的弧长．【分析】（1）连接OB，OC，要证明⊙O 与AE 相切即证∠OBA＝∠OCA＝90°，可利用全等三角形来证明．（2）B、C 分别与AE、AF 的三分之一点时，且AF＝3，可求出AC 的长，利用特殊角的三角函数可知OC 的长，然后利用弧长公式计算即可．【解答】（1）证明：连接OB，OC，则OB＝OC，∵AB＝AC，OA 是公共边，∴△OBA≌△OCA，∴∠OBA＝∠OCA＝90°∵B 是与圆的交点，∴⊙O 与AE 相切；（2）解：∵B、C 分别与AE、AF 的三分之一点，AF＝3，∴AC＝1，∠COA＝30°，∴OC＝，∴．【点评】本题主要考查了切线的定义及弧长公式的应用．六、（本题共24 分，每题6 分）22．（6 分）有一套小说分为上、中、下三册，如果将它们任意地陈列在书架的同一层上，各册自左至右或自右至左恰好成上、中、下次序的概度为多少？并写出具体的解题过程．【分析】本题应先分析出可能出现的次序，再用概率公式直接解答即可．【解答】解：可能出现的次序有6 种：（上、中、下），（上、下、中），（中、上、下），（中、下、上），（下、上，中），（下、中、上），符合题意的有（上、中、下）、（下、中、上），所以所得的概率为．（3 分）【点评】如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P（A）＝．23．（6 分）如图，已知直线MN 经过⊙O 上的点A，点B 在MN 上，连OB 交⊙O 于C点，且点C 是OB 的中点，AC＝OB，若点P 是⊙O 上的一个动点，当AB＝时，求△APC 的面积的最大值．【分析】连接OA，过点O 作OE⊥AC 于E，延长EO 交圆于点F，则P（F）E 是△PAC 的AC 边上的最大的高，根据已知及三角函数求得AC，PE 的值，再根据三角形的面积公式不难求得△APC 的面积的最大值．【解答】解：连接OA；∵C 是OB 的中点，且AC＝OB，∴∠OAB＝90°（2 分），∴∠O＝60°，∴OA＝AC＝2；过点O 作OE⊥AC 于E，延长EO 交圆于点F，则P（F）E 是△PAC 的AC 边上的最大的高；（1 分）在△OAE 中，OA＝2，∠AOE＝30°，∴OE＝（1 分），∴PE＝（1 分），∴，即．（1 分）【点评】解此题的关键是把有关圆的知识抽象到解三角形中来进行解答．24．（6 分）如图，已知这是从正方形材料上剪裁下一个最大的圆形后剩下的边角废料中的一块，其中AO⊥OB，并且AO＝BO，当AO＝1 时，求在此图形中可裁剪出的最大的圆的半径．【分析】本题中可将原正方形材料还原，通过示意图可知裁剪出的最大的圆与弧AB 所在的圆外切，同时还与AO、BO 相切，连接两圆圆心，结合小圆与OA、OB 的切点，可构造直角三角形，进而利用勾股定理和方程解决问题．【解答】解：由题意，将原正方形材料还原，设其圆心为C，则该圆与AO、BO 分别切于点A、点B，连接CO，设点D 是CO 上一点，以点D 为圆心作圆切AO、BO 于E、F，切弧AB 于N 点，则⊙D 就是所求的最大的圆．过D 点作DM⊥CA 于M，连接DE、DF，则可证四边形MDEA 是矩形；设⊙D 半径为x，在Rt△CDM 中，CD2＝DM2+CM2，即（1+x）2＝（1﹣x）2+（1﹣x）2，整理得x2﹣6x+1＝0，解得x1＝3﹣2，x2＝3+2（不合题意，舍去）答：最大圆的半径为．【点评】这类题目体现了数形结合的思想，需利用圆与圆的外切及圆与直线相切的性质，结合勾股定理，利用方程来解决问题，另外还要注意解的取舍．25．（6 分）如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，点E 是AB 上的一个动点，若∠B＝60 °，AB＝BC，且∠DEC＝60°，判断AD+AE 与BC 的关系并证明你的结论．【分析】此题连接AC，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用已知条件和等边三角形的性质通过证明三角形全等解决它们的问题．【解答】解：有BC＝AD+AE．连接AC，过E 作EF∥BC 交AC 于F 点．∵∠B＝60°，AB＝BC，∴△ABC 为等边三角形，∵EF∥BC，∴△AEF 为等边三角形．即AE＝EF，∠AEF＝∠AFE＝60°．所以∠CFE＝120°．（3 分）又∵AD∥BC，∠B＝60°故∠BAD＝120°．又∵∠DEC＝60°，∠AEF＝60°．∴∠AED＝∠FEC．（1 分）在△ADE 与△FCE 中，∴△ADE≌△FCE．∴AD＝FC．（1 分）则BC＝AD+AE．（1 分）【点评】此题的解法比较新颖，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用全等三角形解决问题．。
