26.2二次函数的图像与性质2

知识回顾
二次函数
开口方向 对称轴
顶点坐 标
y = ax 2
( a≠0 )
a ＞ 0 向上 直线
X=0 a ＜ 0 向下
(0,0)
知识回顾
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
a ＞ 0 向上
y = ax 2+c
直线 （0，c）
( a≠0 )
a < 0 向下 X=0
知识回顾
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
解：设所求的二次函数为 y=ax2+bx+c(a≠0)
把点（0,-3）（4，5）（－1, 0）代入得
∴ c=-3 16a+4b+c=5
a= 1 解得 b= -2
a-b+c=0
c= -3
∴所求二次函数为 y=x2-2x-3
知识应用
例2、已知抛物线的顶点为（1，－4）， 且过点（0，－3），求抛物线的解析式？
向上 向下 向上 向下
直线x=0 直线x=0 直线x=1 直线x=2
( 0, 0 ) (0,1) ( 1 , 0) ( 2 , -6 )
归纳 二次函数的几种表达式： y
①、 y ax2 (a 0)
②、 y ax2 c(a 0)
③、 y a(x h)2 (a 0)
o
x
与（2，3）两点。求这个二次函数的表达式.
答 1. y＝﹣（x＋1）2＋1
案
2. y＝x2－x＋1
课堂小结
求二次函数解析式时
已知图象过三点: 常设一般式 y=ax2+bx+c (a≠0)
已知顶点坐标:
常设顶点式 y=a(x-h)2+k (a≠0)

4. 在函数 y＝(x－3)2 中，当 x ＞3 时，函数值 y 随 x 的增大而增大；当 x ＜3 时，函数值 y 随 x 的增大 而减小； 当 x＝ 3 时， 函数值 y 取最 小 值， 是 0 ．
1 2的开口向 5. 抛物线 y＝－3x－2 1 1 直线 x＝ ， 0 2 ，顶点坐标为 是 2
．
9. 若二次函数 y＝x2－mx＋1 的图象顶点在 x 轴上， 则 m 的值是( D ) A．2 C．0 B．－2 D．±2
10. 在平面直角坐标系中，函数 y＝－x＋1 与 y＝－ 3 (x－1)2 的图象大致是( D ) 2
11. 抛物线 y＝3(x－1)2 的图象上有三点 A(－1，y1)， B( 2，y2)，C(2，y3)，则 y1，y2，y3 的大小关系是( D ) A．y1＞y2＞y3 C．y3＞y2＞y1 B．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2
16. 如图所示，二次函数 y1＝a(x－h)2 的图象与直线 y2＝kx＋b 交于 A(0，－1)，B(1，0)两点．
(1)确定二次函数与一次函数的解析式； (2)当 y1＜y2，y1＝y2，y1＞y2 时，根据图象分别确定 自变量 x 的取值范围．
解：(1)y1＝－(x－1)2， y2＝x－1； (2)当 y1＜y2 时， x＜0 或 x＞1， 当 y1＝y2 时，x＝0 或 x＝1， 当 y1＞y2 时，0＜x＜1.
18. 如图，抛物线的顶点 M 在 x 轴上，抛物线与 y 轴交于点 N，且 OM＝ON＝4，矩形 ABCD 的顶点 A、B 在抛物线上，C、D 在 x 轴上．
(1)求抛物线的解析式； (2)设点 A 的横坐标为 t(t>4)， 矩形 ABCD 的周长为 l， 求 l 与 t 之间的函数关系式． 1 解：(1)y＝4(x－4)2；

|a|越大，抛物线的开口越小 .
y
8
6
4
2 O -4 -2 -2
-4
-6
-8
y=ax2 2 4x
二次函数y = ax2 +k的图象的画法
例2 在同一直角坐标系中，画出二次函数 y =
1 2
x2
，
y
=
1 2
x2 +1 的图象。
解：先列表：
然后描点画图：
观察所画图象，有什么异同？ 它们的开口方向、对称轴、 顶点坐标是什么？
–1
–2
开口方向都是向下 对称轴都是 y 轴
–3
y = - 1 x2 的顶点坐标是（0,0）
–4
3
–5
y = - 1 x2 - 2 的顶点坐标是（0,-2）
3
123
y = - 1 x2 - 2 3
4x教材P10 练习 第2题】
2. 试说明：通过怎样的平移，可以由抛物线
2
y = 1 x2 2
的图象，再作比较，指出它们的
联系与区别.
y
6 y = 1 x2
5
2
4
y = 1 x2 - 2
3
2
2
1
–4 –3 –2 –1 –1
–2
1234x
函数 y = 1 x2 - 2 的图象可以看成是
2
由函数 y = 1 x2 的图象经过怎样的
2
平移得到的？试说出它的开口方向、
y
6 y = 1 x2
y
4
3
2
y = - 1 x2 +4
3
1
–4 –3 –2 –1
1234x
–1
–2

妙解教材
10．已知点 A(4，y1)，B( 2，y2)，C(－2，y3)都在二次函数 y＝(x－2)2 －1 的图象上，则 y1，y2，y3 的大小关系是___y_3＞__y_1_＞__y_2____．
11．长春如图，在平面直角坐标系中，点 A 在抛物线 y＝x2－2x＋2 上运 动．过点 A 作 AC⊥x 轴于点 C，以 AC 为对角线作矩形 ABCD，连结 BD， 则对角线 BD 最小值为_____1___．
妙解教材
妙解教材
8．湖北二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在平面直角坐标系中的位置如图
所示，则一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝
c x
在同一平面直角坐标系中的图
象可能是( C )
妙解教材
9．兰州二次函数y＝x2＋x＋c的图象与x轴的两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，且 x1＜x2，点P(m，n)是图象上一点，那么下列判断正确的是( C ) A．当n＜0时， m＜0 B．当n＞0时，m＞x2 C．当n＜0时，x1＜m＜x2 D．当n＞0时，m＜x1
妙解教材
3．益阳若抛物线y＝(x－m)2＋(m＋1)的顶点在第一象限，则m的取值范围为 (B ) A．m＞1 B．m＞0 C．m＞－1 D．－1＜m＜0 4．常州已知二次函数y＝x2＋(m－1)x＋1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则 m的取值范围是( D ) A．m＝－1 B．m＝3 C．m≤－1 D．m≥－1
(1)证明：∵对称轴是直线 x＝1＝－2ba，∴2a＋b＝0.(2)∵ax2＋bx－8＝0 的一个根为 4，∴16a＋4b－8＝0，∵2a＋b＝0，∴b＝－2a，∴16a－8a－8＝0， 解得 a＝1，则 b＝－2，∴ax2＋bx－8＝0 为 x2－2x－8＝0，则(x－4)(x＋2)＝0， 解得 x1＝4，x2＝－2，故方程的另一个根为－2.