数学思想方法之分类讨论思想

高中数学分类讨论思想方法高中数学分类讨论思想方法是高中数学教学中一种重要的解题思路和方法。

它通过从不同的角度和不同的方法分析问题，使得解决问题更加全面和灵活。

分类讨论思想方法在高中数学中应用广泛，涉及到许多数学概念和技巧。

下面我将结合具体的例子，对高中数学分类讨论思想方法进行详细的介绍。

首先，分类讨论思想方法的基本思路是将问题分成若干个子问题，每个子问题用不同的方法进行求解或分析。

这样做可以把原本比较复杂的问题转化为几个较简单的子问题，从而更好地理解和解决。

例如，考虑一个常见的二次方程问题：求解方程$x^2-5x+6=0$。

首先，我们可以分类讨论这个方程的根的情况。

根据二次方程的求根公式，方程的根可以分为以下几种情况：1. 当 $\Delta=0$ 时，方程有两个相等的实根。

此时，$\Delta=b^2-4ac=5^2-4\cdot1\cdot6=1$，由于 $\Delta=0$，所以方程有两个相等的实根。

根据求根公式$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，可得方程的两个根为$x_1=x_2=\frac{-(-5)\pm\sqrt{1}}{2\cdot1}=\frac{5}{2}$。

2. 当 $\Delta>0$ 时，方程有两个不相等的实根。

此时，$\Delta=b^2-4ac=5^2-4\cdot1\cdot6=1$，由于 $\Delta>0$，所以方程有两个不相等的实根。

根据求根公式$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，可得方程的两个根为$x_1=\frac{-(-5)+\sqrt{1}}{2\cdot1}=2$ 和$x_2=\frac{-(-5)-\sqrt{1}}{2\cdot1}=3$。

3. 当 $\Delta<0$ 时，方程没有实根。

此时，$\Delta=b^2-4ac=5^2-4\cdot1\cdot6=1$，由于 $\Delta<0$，所以方程没有实根。

中学数学中重要的数学思想――分类讨论的思想依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类的数学思想叫做分类的思想。

“物以类聚，人以群分”。

将事物进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做分类讨论的方法。

分类的思想是自然科学乃至社会科学研究中经常用到的，又叫做逻辑划分。

不论从宏观上还是从微观上对研究对象进行分类，都是深化研究对象、发展科学必不可少的思想。

因此分类讨论既是一种逻辑方法，也是一种数学思想。

需要运用分类讨论的思想解决的数学问题，就其引起分类的原因，可归结为：①涉及的数学概念是分类定义的；②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能；④数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同结果的。

应用分类讨论思想解决问题，必须保证分类科学、统一，不重复，不遗漏，并力求最简。

运用分类的思想，通过正确的分类，可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答。

回顾总结中学数学教材中分类讨论的知识点，大致有：绝对值概念的定义；根式的性质；一元二次方程根的判别式与根的情况；二次函数二次项系数正负与抛物线开口方向；反比例函数k/x的反比例系数k，正比例函数的比例系数k，一次函数kx+b的斜率k 与图象位置及函数单调性关系；幂函数xn的幂指数n的正、负与定义域、单调性、奇偶性的关系；指数函数y=ax及其反函数y=logax中底数a的a＞1及0＜1对函数单调性的影响；等比数列前n项和公式中q=l与q≠1的区别；复数概念的分类；不等式性质中两边同乘(除)时正数与负数对不等号方向的影响；排列组合中的分类计数原理；圆锥曲线中离心率e的取值与椭圆、抛物线、双曲线的对应关系；直线与圆锥曲线位置关系的讨论；运用点斜式、斜截式直线方程时斜率k是否存在；曲线系方程中的参数与曲线类型；角终边所在象限与三角函数符号;……当你对以上各种情况“心中有数”时，分类讨论便不再令人望而生畏。

初中数学思想方法之分类讨论数学是一门既抽象又具体的学科，它需要学生具备一定的思维方法和思想能力。

在初中数学中，分类讨论是一种常用的思想方法，它可以帮助学生分析问题、归纳规律并解决问题。

本文将详细介绍初中数学中分类讨论的基本思想和具体步骤，并通过例题来说明如何运用这种方法。

一、分类讨论的基本思想分类讨论是指将问题进行细化，将其分解成几个易于分析和解决的小问题，并分别进行讨论和解决。

通过这种方法可以更好地理解问题的本质，找到解题的关键点，并最终得到问题的解决办法。

分类讨论的基本思想包括以下几点：1.具体问题具体分析。

将问题进行细化后，每个小问题都有其独特的特点和解决思路，需要根据具体情况展开分析。

2.归纳总结。

在分析过程中，要总结出各个小问题之间的共同点和规律，以便更好地理解问题，并找到解决办法。

3.统一思考。

将各个小问题的解决办法进行归纳和整合，形成对大问题的解决思路。

二、分类讨论的具体步骤分类讨论的具体步骤可以简单概括为以下几点：1.理解问题。

仔细阅读题目，了解问题的背景和要求，确定需要解决的具体问题。

2.分析问题。

将大问题分解成几个小问题，每个小问题都有明确的目标和限制条件。

在分析过程中，可以通过画图、列举数据等方式进行辅助分析。

3.解决小问题。

按照特定的思路和方法，分别解决各个小问题。

在解决过程中，可以运用已经学过的数学知识、规律和公式。

4.总结归纳。

在解决小问题的过程中，要总结各个小问题之间的共同点和规律，归纳出解决大问题的关键思路和方法。

5.整合答案。

将各个小问题的解答整合成对大问题的解答。

在整合过程中，要仔细检查各个小问题的解答是否符合大问题的要求，并进行必要的修正和调整。

三、分类讨论的具体例题下面以一些常见的初中数学题目为例，说明如何运用分类讨论的方法解决问题。

例题1：现有一些白球和红球，共18个。

白球的个数不超过红球的个数。

问，最少有多少个红球？解题思路：根据题目要求和条件，可以将问题进行分类讨论。

分类讨论思想一、含义分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,需要把研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究得出结论,最后综合各类结果得到整个问题的解答;实质上,分类讨论是“化整为零,各个击破,再积零为整”的解题策略;二、常见类型有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决,引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种：1.由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的,如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等;2.由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的,在不同的条件下结论不一致,如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等;3.由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零,偶次方根被开方数为非负,对数真数与底数的要求,指数运算中底数的要求,不等式两边同乘以一个正数、负数,三角函数的定义域等;4.由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类,如角的终边所在的象限,点、线、面的位置关系等;5.由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题,如含参数的方程、不等式,由于参数的取值不同会导致所得结果不同,或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法;有严格的先后顺序、类别和类别之间没有先后；最后整合时要注意是取交集、并集,还是既不取交集也不取并集只是分条列出;五、分类讨论解题的步骤1.确定分类讨论的对象：即对哪个变量或参数进行分类讨论;2.对所讨论的对象进行合理的分类;3.逐类讨论：即对各类问题详细讨论,逐步解决;4.归纳总结：将各类情况总结归纳;六、常见的由图形的位置或形状变化引起的分类讨论1.二次函数对称轴的变化；2.函数问题中区间的变化；3.函数图像形状的变化；4.直线由斜率引起的位置变化；5.圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；6.立体几何中点、线、面的位置变化等;七、4步解决由概念、法则、公式引起的分类讨论问题第一步：确定需分类的目标与对象;即确定需要分类的目标,一般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为分类目标;第二步：根据公式、定理确定分类标准;运用公式、定理对分类对象进行区分; 第三步：分类解决“分目标”问题;对分类出来的“分目标”分别进行处理; 第四步：汇总“分目标”;将“分目标”问题进行汇总,并作进一步处理;。

卓越个性化教案GFJW0901分类讨论分类讨论思想是指当数学问题不宜统一方法处理时，我们常常根据研究对象性质的差异，按照一定的分类方法或标准,将问题分为全而不重，广而不漏的若干类，然后逐类分别进行讨论，再把结论汇总，得出问题的答案的思想.分类讨论的知识点有三大类：1．代数类：代数有绝对值、方程及根的定义，函数的定义以及点（坐标未给定）所在象限等. 2．几何类：几何有各种图形的位置关系，未明确对应关系的全等或相似的可能对应情况等. 3．综合类：代数与几何类分类情况的综合运用.【例1】(2010·常州中考)如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象与x 轴相交于点A 、C ，与y 轴相交于点B ，A( -2.25 ，0)，且△AOB ∽△BOC(1)求C 点坐标、∠ABC 的度数及二次函数y=ax2+bx+3的关系式；(2)在线段AC 上是否存在点M(m ，0).使得以线段BM 为直径的圆与边BC 交于P 点(与点B 不同)，且以点P 、C 、O 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由巩固练习：1.(2011·浙江中考)解关于x 的不等式组：综合:类型之一 直线型中的分类讨论直线型中的分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论，特别是等腰三角形问题和三角形高的问题尤为重要.()()a x 2x 3.9a x 9a 8⎧--⎪⎨++⎪⎩＞＞例1．（·沈阳市）若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）A．50° B．80° C．65°或50°D．50°或80°练习：1.(•乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（）A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm2. （·江西省）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处，(1)求证：B′E=BF；(2)设AE=a，AB=b, BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系，并给予证明.类型之二圆中的分类讨论圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，在解决圆的有关问题时，特别是无图的情况下，有时会以偏盖全、造成漏解，其主要原因是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等．例2.（•湖北罗田）在Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝3，BC＝4.若以C点为圆心， r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是___ __．练习：3.（上海市）在△ABC中，AB=AC=5，3cos5B ．如果圆O的半径为10，且经过点B、C，那么线段AO的长等于．4.（•威海市）如图，点A，B在直线MN上，AB＝11厘米，⊙A，⊙B的半径均为1厘米．⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（厘米）与时间t（秒）之间的关系式为r＝1+t（t≥0）．（1）试写出点A，B之间的距离d（厘米）与时间t（秒）之间的函数表达式；（2）问点A出发后多少秒两圆相切？类型之三方程、函数中的分类讨论方程、函数的分类讨论主要是通过变量之间的关系建立函数关系式，然后根据实际情况进行分类讨论或在有实际意义的情况下的讨论，在讨论问题的时候要注意特殊点的情况.例3.（·上海市）已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC（如图）．E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点．（1）设BE=x，△ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长；（3）联结BD，交线段AM于点N，如果以A、N、D为顶点的三角形与△BME相似，求线段BE的长．建立函数关系实质就是把函数y用含自变量x的代数式表示。

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 小学数学思想方法的梳理(七)分类讨论思想小学数学思想方法的梳理（七）分类讨论思想七、分类讨论思想 1. 分类讨论思想的概念。

人们面对比较复杂的问题，有时无法通过统一研究或者整体研究解决，需要把研究的对象按照一定的标准进行分类并逐类进行讨论，再把每一类的结论综合，使问题得到解决，这种解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法。

其实质是把问题分而治之、各个击破、综合归纳。

其分类规则和解题步骤是：（1）根据研究的需要确定同一分类标准；（2）恰当地对研究对象进行分类，分类后的所有子项之间既不能交叉也不能从属，而且所有子项的外延之和必须与被分类的对象的外延相等，通俗地说就是要做到既不重复又不遗漏；（3）逐类逐级进行讨论；（4）综合概括、归纳得出最后结论。

分类讨论既是解决问题的一般的思想方法，适应于各种科学的研究；同时也是数学领域解决问题较常用的思想方法。

2. 分类讨论思想的重要意义。

课程标准在总目标中要求学生能够有条理地思考，这种有条理性的思考就是一种有顺序的、有层次的、全面的、有逻辑性的思考，分类讨论就是具有这些特性的思考方法。

因此，分类讨论思想是培养学生有条理地思考和良好数学思维1/ 6品质的一种重要而有效的方法。

无论是解决纯数学问题，还是解决联系实际的问题，都要注意数学原理、公式和方法在一般条件下的适用性和特殊情况下的不适用性，注意分类讨论，从而做到全面地思考和解决问题。

从知识的角度而言，把知识从宏观到微观不断地分类学习，既可以把握全局、又能够由表及里、细致入微，有利于形成比较系统的数学知识结构和构建良好的认知结构。

分类讨论思想与集合思想也有比较密切的联系，知识的分类无时不渗透着集合的思想。

分类讨论思想是高中重要数学思想之一,是历年高考数学的重点与难点.突出考察思维的逻辑性、全面严谨性，比如在不等式、数列、导数应用相关的习题中，分类讨论思想很常见。

一、什么是分类讨论思想：每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结果不能唯一确定,有些问题的结论不能以统一的形式进行研究，还有些含参数的问题,参数的取值不同也会影响问题的结果，那么就要根据题目的要求，将题目分成若干类型，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再对分好的每类逐一研究、解决问题的数学思想，就是分类讨论思想。

二、分类讨论的一般步骤：第一，明确讨论对象，确定对象的取值范围；第二,确定分类标准，进行合理分类，不重不漏;第三，对分好的每类进行讨论,获得阶段性结果；第四,归纳总结，得出结论。

三、分类讨论的常见情形：1.由数学概念引起的分类：有的概念本身就是分类给出的,在不同条件下有不同结论，则必须进行分类讨论求解，如绝对值、指数与对数函数、直线和平面所成的角等。

2.由性质、定理、公式的限制引起的分类：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同条件下结论不一致，如二次函数y=ax2+bx+c(a≠0）,由a的正负而导致开口方向不确定；等比数列前n项和公式因公比q是否为1而导致公式的表达式不确定等.3。

由某些数学运算要求引起的分类讨论：如解不等式ax2+bx+c ＞0，a=0，a＜0,a＞0解法是不同的；除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数时不等号的方向，三角函数的定义域等．4。

由图形引的不确定性起的分类：有的图形的类型、位置需要分类，比如角的终边所在象限;立体几何中点、线、面的位置关系等。

5.由实际意义引起的分类：此类问题在实际应用题中常见.特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用．6。

由参数变化引起的分类:如含参数的方程、不等式,由于参数的取值不同会导致所得结果不同，所以必须对参数的不同取值进行分类讨论；或对于不同的参数值运用不同的求解或证明方法．四、下面我们通过几种具体问题来看看常见的分类讨论情形：1。

高中数学思想方法之“分类讨论思想”（2012.8.6）一、知识整合：1.分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。

2.所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。

实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。

3.分类原则：分类对象确定，标准统一，不重复，不遗漏，分层次，不越级讨论。

4.分类方法：明确讨论对象，确定对象的全体，确定分类标准，正确进行分类；逐类进行讨论，获取阶段性成果；归纳小结，综合出结论。

5.含参数问题的分类讨论是常见题型。

解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。

如解不等式2ax >时分0a >、0a =和0a <三种情况讨论。

这称为含参型。

6．中学数学教材中分类讨论的知识点，大致有：①绝对值概念的定义；②一元二次方程根的判别式与根的情况；③二次函数二次项系数的正负与抛物线的开口方向；④反比例函数y ＝k x(x ≠0)的反比例系数k ，正比例函数y ＝kx 的比例系数k ，一次函数y ＝kx ＋b 的斜率k 与图象位置及函数单调性的关系；⑤幂函数y ＝x a 的幂指数a 的正、负与定义域、单调性、奇偶性的关系；⑥指数函数y ＝a x 及其反函数y ＝log a x 中底数a ＞1及a ＜1对函数单调性的影响；⑦等比数列前n 项和公式中q ＝1与q ≠1的区别；⑧不等式性质中两边同乘(除)以正数或负数时对不等号方向的影响；⑨直线与圆锥曲线位置关系的讨论；⑩运用点斜式、斜截式直线方程时斜率k 是否存在．二、典型例题：例1．已知圆x y 224+=，求经过点P ()24，，且与圆相切的直线方程。

例2．1log (1)1a x x->解关于的不等式：例3．设，问方程表示什么曲线？k R k x k y k k ∈-+-=--()()()()848422例4、（2012广东高考文科数学21题）设0＜a ＜1，集合{|0}A x R x =∈>,2{|23(1)60}B x R x a x a =∈-++>,D AB =．（1）求集合D （用区间表示）三、巩固练习1. 若3201log (1)log (1)a a a a p a a q a a >≠=++=++，且，，，则,p q 的大小关系为（ ） A. p q= B. p q < C. p q > D. a p q >>1时，；01<<<a pq 时， 2. 若{}A x x p x x R =+++=∈|()2210，，且A R +=∅，则实数中的取值范围是（ ） A. p ≥-2 B. p ≤-2 C. 40p -<< D. p >-43．已知集合{}{}10,1,1A x ax B x =--==-,若A B B =，则实数a 的取值的集合是（ ） A. {}1- B. {}1 C. {}1,1- D. {}0,1,1-4. 一条直线过点（5，2），且在x 轴，y 轴上截距相等，则这直线方程为（ ）A. x y +-=70B. 250x y -=C. 70250x y x y +-=-=或D. 70250x y y x ++=-=或5. 若sin cos 1sin cos ()n n x x x x n N +=+∈则的值为，（ ）A. 1B. -1C. 11-或D. 不能确定 6. 函数fx m x mx ()()=+-+231的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数m 的取值范围为（ ）A. [)0，+∞B. (]-∞，1C. (]01，D.7．集合A ＝{x ||x |≤4，x ∈R }，B ＝{x ||x －3|<a ，x ∈R }，若A ∩B=B ，那么a 的取值范围是( )A ．0≤a ≤1B ．a ≤1C ．a <1D ．0<a <18．若方程x 2k －4－y 2k ＋4＝1表示双曲线，则它的焦点坐标为 ( ) A ．(2k,0)，(－2k,0) B ．(0，2k )，(0，－2k )C ．(2|k |，0)，(－2|k |，0)D ．由k 的取值确定9．若定义在区间(－1,0)内的函数f (x )＝log 2a (x ＋1)满足f (x )>0，则a 的取值范围是 ( )A.⎝⎛⎭⎫0，12B.⎝⎛⎦⎤0，12C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D ．(0，＋∞) 10．已知双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则双曲线的离心率为 ( ) A.53 B.52 C.52或153 D.53或5411．函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是____________．12．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为___________13. 若lo g a 231<，则a 的取值范围为________________ 14. 与圆x y 2221+-=()相切，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为______________ 15．函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a 2，则a 的值是________． 16．若函数f (x )＝a |x －b |＋2在[0,＋∞)上为增函数，则实数a ，b 的取值范围为________．17、（1）求曲线y ＝13x 3＋43经过点P (2,4)的切线方程. （2）已知f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R)，求函数f (x )的单调区间；18、解关于x 的不等式2(1)10ax a x -++<。