矩阵变换：沿任意方向缩放、镜像、正交投影及切变及其推导

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三维镜像变换矩阵_的推导_理论说明

三维镜像变换矩阵的推导理论说明引言部分的内容可以如下所示：1. 引言1.1 概述本文旨在推导和说明三维镜像变换矩阵的相关理论。

镜像变换是计算机图形学中一个重要的概念，它可以将二维或三维对象进行对称反转，从而实现图像的翻转、扭曲等效果。

镜像变换矩阵是描述这一转换过程的数学工具，通过对其性质和特点进行深入探讨，我们可以更好地理解和应用镜像变换。

1.2 文章结构本文共包含五个部分：引言、三维镜像变换矩阵推导、理论说明、结论和致谢。

在引言部分，我们将介绍文章的背景和目的，并简要概述后续章节的内容。

接着，在三维镜像变换矩阵推导部分，我们将详细讲解三维坐标系以及镜像变换原理，并通过推导过程得出三维镜像变换矩阵表达式。

然后，在理论说明部分，我们将探讨该变换矩阵及其性质特点，并分析其应用场景和实例。

最后，在结论部分，我们将对全文进行总结回顾，并展望未来的研究方向。

1.3 目的本文的目的是推导和说明三维镜像变换矩阵的相关理论，以期提供一个清晰而详尽的指南。

通过深入研究镜像变换及其数学表示方式，读者将能够应用这一知识解决图形处理、计算机视觉等领域中的问题，并为进一步探索相关研究方向提供参考。

在实践中，三维镜像变换矩阵作为基础变换之一，具有广泛应用前景。

因此，对于计算机图形学和计算机视觉领域的从业者和学习者来说，了解和掌握这一知识是至关重要的。

2. 三维镜像变换矩阵推导：2.1 三维坐标系在进行三维镜像变换矩阵推导之前，我们首先需要了解三维坐标系的基本概念和表示方法。

三维坐标系由X、Y和Z轴组成，分别代表着空间中的长、宽和高。

通常情况下，我们用X、Y和Z轴上的正交单位向量来表示这个坐标系，记作（i, j, k）。

2.2 镜像变换的定义和原理在计算机图形学中，镜像变换指的是将一个对象或图形通过某个镜面进行对称的操作。

这种操作会改变对象或图形相对于镜面的位置关系，并生成反射后的影像。

镜面可以以各种方式定义，在本文中我们使用平面方程Ax + By + Cz + D = 0来表示一个泛化的平面。

高三数学冲刺：矩阵与变换

例如 A＝
0 －1，由于0 －1x＝－y，所以 A 表示的是以原点为旋转中心，逆时针 1 1 0 0y x
方向旋转 90的旋转变换．
（二）常见方法
(1)已知曲线 C 的方程 F(x，y)＝0，求变换后的曲线 C1 的方程 F1(x，y)＝0 的过程分三步： ①利用矩阵与列向量的乘法将目标曲线 C1 上的任意一点(x， y)的坐标用已知曲线上的对 x' x 应点(x′，y′)的坐标表示，即 M ＝； y' y x f(x，y) x' － ②用 x，y 表示 x′，y′，即＝M 1 ＝； y' y g(x，y) ③由 F(x′，y′)＝0，得 F(f(x，y)，g(x，y))＝0，化简整理得 C1 的方程 F1(x，y)＝0． (2)求矩阵的逆矩阵的过程分两步： a b|A|＝a b＝ad－bc； ①A＝ c d c d b d －b ② c d －c a

－1 1 3－1 12 A＝－1 2 1 8
＝－1 (5)由题知 A

8 1 － 20 1 3 20
2 12 20
5 ＝ 1 4 － 20 5
11
． 1 － 20
1 － 5
1 1 3 3 ＝－，A ＝4 ，－1 －1 2 2 1 1 － 3 13 －所以 A 1 ＝－，A 1 ＝， 2 42 －1 －1
（三）考点分析考点一：二阶矩阵与平面列向量的乘法、二阶矩阵的乘法．例 1（南京 2009 届期末调研）在直角坐标系中，已知△ABC 的顶点坐标为 A(0，0)，B(－1，2)，C(0，3)．求△ABC 在矩 0 －1 阵作用下变换所得到的图形的面积． 1 0

人教A版高中数学选修4-2-1.1.1.5 切变变换-课件PPT

切变变换
温故而知
将平面内图形投影到某条直线(或某个点)上的矩阵,我们称之为投影变换矩阵, 相应的变换称做投影变换。
熟记几种常见的投影变换矩阵及几何意义
1 0 0 0
该矩阵使得平面上点的横坐标不变，
纵坐标变为0，该变换将平面内的点沿垂直
于x轴方向投影到直线x轴上。
0 0 0 1
该矩阵使得平面上点的纵坐标不
P'(x', y'，)则
M
x
y
x'
y'
所以
x'
y'
x2 x
yy,,从而xy
1 3 1 3
(x'2 y' (x' y')
)
练习1
在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,0)，B(-2,0)，C(-2,1)。
k 设k为非零实数，矩阵M= 0
0 1
,N=
0 1
1 0
点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A，1、B1、C1，
设将矩形OABC变为平行四边形OA1B2C2的线性变换对应的矩阵为
a c
b ， d 则
ca
b d
0
1
1
3
ca
b d
2 1
1
3
2 ,
a 1,
所以 b 3,
c 0,
因此所求矩阵为
0
1
1
3
d 1.
回顾反思：
1．切变变换与切变变换矩阵的概念；
2．1 0
k 1
是沿x轴方向的切变变换，x轴上的点是不动点。
3．1 k
0 1
是沿y轴方向的切变变换，y轴上的点是不动点。

人教A版高中数学选修4-2-1.1.1.5 切变变换-课件(共19张PPT)

设将矩形OABC变为平行四边形OA1B2C2的线性变换对应的矩阵为
a c
b ， d 则
ca
b d
0
1
1
3
ca
b d
2 1
1
3
2 ,
a 1,
所以 b 3,
c 0,
因此所求矩阵为
0
1
1
3
d 1.
回顾反思：
1．切变变换与切变变换矩阵的概念；
2．1 0
k 1
是沿x轴方向的切变变换，x轴上的点是不动点。
求将矩形OABC变为平行四边形OA1B2C2的线性变换对应的矩阵。
解：因为矩形OA1B1C1是矩形OABC绕原点O旋转180°得到的，
所以 A1(2,0), B1(2,1), C1(0,1)
又矩形OA1B1C1沿x轴正方向作切变变换得到平行四边形OA1B2C2，且C2的坐标为 ( 3,1) ，所以点B2的坐标为( 3 2,1)
切变变换
温故而知
将平面内图形投影到某条直线(或某个点)上的矩阵,我们称之为投影变换矩阵, 相应的变换称做投影变换。
熟记几种常见的投影变换矩阵及几何意义
1 0 0 0
该矩阵使得平面上点的横坐标不变，
纵坐标变为0，该变换将平面内的点沿垂直
于x轴方向投影到直线x轴上。
0 0 0 1
该矩阵使得平面上点的纵坐标不
d 2
（Ⅱ）因为矩阵M所对应的线性变换将直线变成直线
（或点），所以可取直线 y 3x上的两(0，0)，(1，3)，
由
1
1
1
1
0 0
。
0 0
1 ， 1
1
1
1 3

投影矩阵的推导

投影矩阵的推导（OpenGL D3D）OpenGL矩阵推导——模型视图变化在三维编程中，模型视图变换是从三维世界到二维屏幕中一个很重要的变换，但是这个变换往往很多人都不太理解，要么是事而非。

而这方面的文章不是太少就是讲的太浅没有真正的理解模型视图变换，本人在这个过程中曾经走过很多歪路，不过好在最终在自己的不懈努力下终于降伏了这只猛虎。

本人就以自己的理解，通过矩阵推导过程一步一步来了解模型视图变化，最后通过两个OpenGl的程序来进一步理解模型视图矩阵。

先从一个基本的模型视图—透视投影变换讲起。

透射投影是将相机空间中的点从视锥体(frustum)变换到规则观察体(Canonical View Volume 以下简称CVV)中，待裁剪完毕后进行透视除法的行为。

透视投影变换是令很多刚刚进入3D图形领域的开发人员感到迷惑乃至神秘的一个图形技术。

其中的理解困难在于步骤繁琐，对一些基础知识过分依赖，一旦对它们中的任何地方感到陌生，立刻导致理解停止不前。

主流的3D APIs 都把透射投影的具体细节进行了封装，从而只需一个函数便可生成一个透射投影矩阵比如gluPerspective()，使得我们不需要了解其算法便可实现三维到二维的转化，然而实事是，一些三维图形或游戏开发人员遇到一些视图矩阵的问题往往会不知所措,比如视景体裁剪。

以下部分内容是从别处那转过来的，主要感谢Twinsen和一个叫丁欧南的高中生。

透视投影变换是在齐次坐标下进行的，而齐次坐标本身就是一个令人迷惑的概念，这里我们先把它理解清楚。

齐次坐标对于一个向量v以及基oabc，可以找到一组坐标(v1,v2,v3)，使得v = v1 a + v2 b + v3 c （1）而对于一个点p，则可以找到一组坐标（p1,p2,p3），使得p–o = p1 a + p2 b + p3 c （2）从上面对向量和点的表达，我们可以看出为了在坐标系中表示一个点（如p），我们把点的位置看作是对这个基的原点o所进行的一个位移，即一个向量——p –o（有的书中把这样的向量叫做位置向量——起始于坐标原点的特殊向量），我们在表达这个向量的同时用等价的方式表达出了点p:p = o + p1 a + p2 b + p3 c (3)(1)(3)是坐标系下表达一个向量和点的不同表达方式。

常见几何变换的认识

应用场景：错切变换在摄影、设计、动画等领域中广泛应用，用于创造出独特的视觉效果，增强作品的创意和表现力。
定义：变换矩阵是表示几何变换的数学工具
矩阵乘法：变换矩阵通过矩阵乘法进行组合，实现复杂的几何变换
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
构建方法：通过组合平移、旋转、缩放等基本变换来构建复杂的几何变换矩阵
几何变换在机器人视觉中的作用
常见的几何变换及其应用场景
机器人视觉中几何变换的实现方法
地理信息系统介绍
几何变换在地理信息系统中的应用
常见几何变换类型及其作用
几何变换在地图制作和地理信息分析中的应用
机器人学：机器人移动和操作需要精确的几何变换，以确保其运动和定位的准确性。
地理信息系统：在地理信息系统中，几何变换用于地图投影和坐标转换，以实现地理数据的可视化和分析。
平移变换的定义：在平面内，将图形沿某一方向平行移动一定的距离。
平移变换的性质：图形的大小和形状保持不变，只改变位置。
平移变换的分类：根据移动方向，可分为横向平移和纵向平移。
定义：几何变换的连续性是指变换过程中，物体在空间中的位置和方向的变化是连续不断的。
实现方式：通过连续变换矩阵或仿射变换矩阵来实现几何变换的连续性。
意义：保证物体在变换过程中的平滑性和自然性，避免出现突变或跳变的情况。
应用场景：在计算机图形学、机器人学、自动驾驶等领域中广泛应用。
单击此处添加标题
连续变换的定义：在几何变换中，如果一个点经过一系列变换后，其最终位置与初始位置之间的距离可以任意小，则称这些变换是连续的。
单击此处添加标题
连续变换的性质：连续变换具有保持性、可逆性和可结合性等性质。

矩阵镜像变换公式

矩阵镜像变换公式矩阵镜像变换公式是一种常用的数学工具，它可以将一个矩阵按照某个轴进行翻转。

这种变换在图像处理、计算机图形学等领域有着广泛的应用。

本文将介绍矩阵镜像变换公式的原理和应用，并通过具体案例进行说明。

一、矩阵镜像变换公式的原理矩阵镜像变换是一种线性变换，它可以将一个矩阵按照某个轴进行翻转。

在二维平面中，常见的镜像变换有水平镜像和垂直镜像两种。

水平镜像是将矩阵按照水平中轴线进行翻转，垂直镜像则是将矩阵按照垂直中轴线进行翻转。

以水平镜像为例，假设有一个二维矩阵A，其大小为m×n。

矩阵A 的水平镜像变换可以表示为矩阵B=MA，其中M为水平镜像变换矩阵，其大小也为m×n。

水平镜像变换矩阵M的元素满足M[i][j]=A[m-i-1][j]，其中0≤i<m，0≤j<n。

二、矩阵镜像变换的应用矩阵镜像变换在图像处理中有着广泛的应用。

通过对图像进行镜像变换，可以实现图像的翻转、旋转、缩放等效果。

1. 图像翻转图像的水平镜像变换可以实现图像的左右翻转，垂直镜像变换可以实现图像的上下翻转。

通过对图像进行水平和垂直镜像变换，可以实现任意方向的图像翻转效果。

2. 图像旋转图像的旋转可以通过对图像进行镜像变换和旋转变换相结合实现。

首先，对图像进行水平或垂直镜像变换，然后再对镜像后的图像进行旋转变换，即可实现图像的任意角度旋转。

3. 图像缩放图像的缩放可以通过对图像进行水平和垂直镜像变换结合裁剪操作实现。

首先，对图像进行水平或垂直镜像变换，然后再按照一定的比例对镜像后的图像进行裁剪，即可实现图像的缩放效果。

三、实例说明为了更好地理解矩阵镜像变换的应用，我们以一张包含文字的图像为例进行说明。

假设有一张图像A，其中包含一段文字。

我们希望将这段文字进行水平翻转，即将文字从左到右排列变为从右到左排列。

将图像A转化为一个二维矩阵，记为矩阵M。

然后，根据水平镜像变换公式，构造水平镜像变换矩阵N。

数学中的几何变换形的平移旋转缩放与镜像

数学中的几何变换形的平移旋转缩放与镜像几何变换是数学中研究空间中图形移动、旋转、缩放和镜像的重要概念。

它们不仅在几何学中广泛应用，还在计算机图形学、物理学、工程学等领域中发挥着重要作用。

本文将探讨数学中的几种常见几何变换：平移、旋转、缩放和镜像，并阐述它们的定义、性质和应用。

一、平移变换平移变换是指通过沿着特定的方向和距离将图形移动至新的位置。

在平面几何中，对于平移变换，原图形和变换后的图形具有相同的形状和大小，只是位置不同。

平移变换可以表示为：T(x,y) = (x+a, y+b)其中，(x,y)为原图形上某点的坐标，(x+a, y+b)为平移后图形上对应点的坐标，a和b分别表示平移的水平和垂直方向的距离。

平移变换具有以下性质：1. 保持形状不变：平移变换后，图形的各边和角度保持不变。

2. 保持大小不变：平移变换后，图形的面积和周长保持不变。

3. 保持平行关系：平移变换后，图形上任意两点之间的距离、平行线之间的距离和夹角大小保持不变。

4. 可叠加性：对于多个平移变换依次进行，结果等价于进行一个平移变换。

平移变换的应用：1. 地图标注：在地理信息系统中，通过平移变换可以实现地图上标注物体的位置调整。

2. 图像处理：在计算机图像处理中，通过平移变换可以实现图像的平移和移动。

3. 动画制作：在动画制作中，通过平移变换可以使图像或物体在屏幕上产生移动效果。

二、旋转变换旋转变换是指将图形绕某一固定点旋转一定角度得到新的图形。

在平面几何中，旋转变换可以围绕坐标原点进行，也可以围绕其他点或轴进行。

旋转变换可以表示为：R(x,y) = (xcosθ - ysinθ, xsinθ + ycosθ)其中，(x,y)为原图形上某点的坐标，(xcosθ - ysinθ, xsinθ+ ycosθ)为旋转后图形上对应点的坐标，θ表示旋转的角度。

旋转变换具有以下性质：1. 保持形状不变：旋转变换后，图形的各边和角度保持不变。

矩阵变换公式范文

矩阵变换公式范文矩阵变换，又称为线性变换或矩阵映射，是线性代数中的一个重要概念。

它描述了将一个向量空间中的向量映射到另一个向量空间中的向量的过程。

在实际应用中，矩阵变换被广泛应用于计算机图形学、机器学习、信号处理等领域。

矩阵变换可以用一个矩阵来表示，这个矩阵被称为变换矩阵。

变换矩阵是一个二维数组，其中的元素代表了将原始向量的各个分量变换到新向量中的对应分量的系数。

下面我们将介绍几种常见的矩阵变换及其对应的公式。

1.平移变换平移变换是将向量沿着其中一指定的方向平移一定的距离。

平移变换的矩阵表达形式为：10tT=，01t200其中，(t1,t2)表示平移的距离。

2.缩放变换缩放变换是将向量沿着各个坐标轴进行缩放。

缩放变换的矩阵表达形式为：s10S=，0s2000其中，(s1,s2)表示缩放的比例。

3.旋转变换旋转变换是将向量按照一定的角度绕其中一点或其中一轴进行旋转。

旋转变换的矩阵表达形式为：cosθ -sinR = ，sinθ cosθ其中，θ表示旋转的角度。

4.剪切变换剪切变换是通过对向量的坐标进行剪切操作，使得原始向量在其中一方向上发生变化。

剪切变换的矩阵表达形式为：1aS=，b1000其中，(a,b)是剪切的参数。

上述给出的是几种常见的矩阵变换，它们可以单独使用，也可以联合使用来进行复杂的变换操作。

在实际应用中，我们可以通过矩阵相乘的方式来组合多个变换。

例如，我们可以通过将平移变换、旋转变换和缩放变换结合起来，实现对一个向量进行平移、旋转和缩放操作。

如果我们用T表示平移变换，R表示旋转变换，S表示缩放变换，则多个变换组合起来的变换操作可以表示为：V'=TRSV其中，V表示原始向量，V'表示变换后的向量。

由于矩阵变换是线性变换，因此我们可以将多个变换操作的变换矩阵相乘得到最终的变换矩阵。

例如，将平移变换、旋转变换和缩放变换的矩阵相乘，得到最终的变换矩阵。

总结：矩阵变换是线性代数中的重要概念，用来描述将一个向量空间中的向量映射到另一个向量空间中的向量的过程。

人教版高中数学选修4-2矩阵与变换全套教案

1 2 3 ＝ 0 1 1 1 2 1 （ 2）＝ 0 1 3 1 0 x 1 x 2. = ，求 1 2 y 1 y
1.（1）三、二阶矩阵与线性变换 1.旋转变换 o ’ ’ ’ ’ 问题 1:P（x,y）绕原点逆时针旋转 180 得到 P (x ,y ),称 P 为 P 在此旋转变换作用下的象。其结
cos sin sin cos 1 k 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0
③切变变换：
④反射变换：
⑤投影变换：
人教版高中数学选修 4-2 《矩阵与变换》全套教案
目录
第一讲二阶矩阵、二阶矩阵与平面向量的乘法、二阶矩阵与线性变换 ............................................................................ 1 第二讲线性变换的性质·复合变换与二阶矩阵的乘法 . 4
a b x ax by a b x ，与向量的乘积为 A ，即 A ＝ y cx dy c d y c d
ax by cx dy
练习 2：
2
5.平面上一点 A 先作关于 x 轴的反射变换，得到点 A1,在把 A1 绕原点逆时针旋转 180 ，得到点 A2，若存在一种反射变换同样可以使 A 变为 A2，则该反射变换对应的二阶矩阵是 6.P（1，2）经过平行于 y 轴的切变变换后变为点 P1(1,-5)，则该切变变换对应的坐标公式为 7. 设 A
2 2 2 2
12.
7 19 、 18 4

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= p′ k= k x [1 = 0] xp
[ k x 0] ，
q′ k= = k y [1 = 0] xq 0 k y ，
得到缩放矩阵：
kx S ( kx , k y , kz ) = 0 0 0 ky 0 0 0 kz
2
kx [ x y z] 0 0
同样的原理运用在 3D 中
p = [1 0 0] ,
2 1 + ( k − 1) nx = p′ ( k − 1) nx n y , ( k − 1) nx nz Τ
q = [ 0 1 0] ,
( k − 1) nx n y 2 q′ = 1 + ( k − 1) n y , ( k − 1) n y nz ( k − 1) nx nz = r′ ( k − 1) n y nz . 2 1 + ( k − 1) nz
P 是 projection（投影）的缩写，2D 中， Px 表示向 x 轴投影， Py 同理：
1 0 = Px S = ([0 1] , 0 ) 0 0 , 0 0 Py S = = ([1 0] , 0 ) 0 1 , 3D 中， Pxy 表示向 xy 平面投影，其余同理：
4
3 正交投影
投影意味和降维操作，将所有的点拉平到要投影的直线或平面上，从原来的点到投影点的直线相互平行，这就是正交投影。透视投影是另一种投影。
3.1 向坐标轴或平面上投影
通过将垂直方向上缩放因子设为 0 来实现，如将 3D 点投影到 xy 平面，则抛弃 z 分量，通过将 z 方向上的缩放因子设为 0 实现。
8
1 0 0 H xz ( s, t ) = s 1 t , 0 0 1 1 s t H yz ( s, t ) = 0 1 0 . 0 0 1
9
v = v + v ⊥ , v 是 v 在 n 上的投影
v= n (v ⋅n ) ,
v ⊥ 垂直于 n ，不会受缩放影响
, n ′ v = v = v - v = v - v ⋅ n ⊥ ⊥
( )
v′ 受缩放因子影响
n , = v′ k= v k v ⋅ n
( )
7
如下图，这是 x 坐标根据 y 坐标的切变，机器人的 y 坐标没有变化，只有 x 坐标变化了，变化后的坐标 x′ 可以理解为将 y 坐标乘以切变因子 s 与原坐标 x 的和：
x′= x + sy 。如果是 3D 则增加 z 坐标的切变因子 t : x′= x + sy ， y′ = y + tz
矩阵变换：沿任意方向缩放、镜像、正交投影及切变及其推导目录
1 简介 ............................................... 2 2 缩放 ............................................... 2 2.1 沿坐标轴缩放 .................................. 2 2.2 沿任意方向缩放 ................................ 3 3 正交投影 ........................................... 5 3.1 向坐标轴或平面上投影........................... 5 3.2 向任意指向或平面投影........................... 6 4 镜像 ............................................... 6 5 切变 ............................................... 7
1
1 简介
镜像、正交投影和切变的推导都可根据缩放变形而来。在要缩放方向上去缩， k > 1 ，物体“膨胀” ； k = 0 ，正交投影；放因子 k ，如果 k < 1 ，物体“收缩”
k < 0 ，镜像；切边稍有不同。
2 缩放
2.1 沿坐标轴缩放
2D 中有两个缩放因子 k x 和 k y ， p 和 q 是原来的基向量，缩放因子单独影响基向量，得到 p′ 和 q′ ：; v =v - v⋅n n + k v ⋅ n n =v + ( k − 1) v ⋅ n n.
( )
( )
( )
通过表达式来推导基向量
p = [1 0] ,
3
1 nx nx =1 + ( k − 1) n p′ =p + ( k − 1) p ⋅ n 0 ⋅ n 0 y ny
3.2 向任意指向或平面投影
定义，通过使 n 方向上的缩放因为 0 就能投影有垂直于直线或平面的向量 n 的轴或平面投影矩阵，表示向垂直于向量 n 导出任意方向的投影矩阵。 P n 方向上的缩放因子为 0 的缩放矩阵。 , 0 表示在 n S n
()
( )
2D：
2 1 + ( 0 − 1) nx ( 0 − 1) nx ny = = P n S n, 0 2 ( 0 − 1) nx n y 1 + ( 0 − 1) n y 2 1 − nx − nx n y . = 2 − nx n y 1 − n y
() ( )
3D：
2 1 + ( 0 − 1) nx ( 0 − 1) nx ny ( 0 − 1) nx nz 2 P n = S n, 0 = ( 0 − 1) nx n y 1 + ( 0 − 1) n y ( 0 − 1) ny nz ( 0 − 1) nx nz ( 0 − 1) n y nz 1 + ( 0 − 1) nz2
2 1 + ( −1 − 1) nx ( −1 − 1) nx ny = − = , 1 R n S n 2 ( −1 − 1) nx n y 1 + ( −1 − 1) n y 2 1 − 2nx −2nx n y = . 2 −2nx n y 1 − 2n y
() (
)
2 1 − 2 nx = −2nx n y −2nx nz
−2nx n y 2 1 − 2n y −2nx nz
−2nx nz −2n y nz . 1 − 2nz2
5 切变
切变是坐标系的变换，非均匀的拉伸。切变时候，角度变化，但是面积或体积不变。也可以理解为坐标轴间的角度变化，造成的扭曲。
() (
)
2 1 + ( −1 − 1) nx ( −1 − 1) nx ny ( −1 − 1) nx nz , −1 = ( −1 − 1) n n 1 + ( −1 − 1) n 2 ( −1 − 1) n n = S n R n x y y y z ( −1 − 1) nx nz ( −1 − 1) n y nz 1 + ( −1 − 1) nz2
() ( )
2 1 − nx = − nx n y − nx nz
− nx n y 2 1 − ny − nx nz
− nx nz − n y nz . 1 − nz2
4 镜像
也叫做反射，与正交投影相似，正交投影将缩放值 k 设为 0，而镜像则设为 -1。
6
R 是 reflect（反射）的缩写。2D：
1 0 0 = Pxy S = ([0 0 1] , 0 ) 0 1 0 , 0 0 0
5
1 0 0 = = Pxz S ([ 0 1 0] , 0 ) 0 0 0 , 0 0 1 0 0 0 0 1 0 , Pyz S = = ([1 0 0] , 0 ) 0 0 1
q = [ 0 1] ,
( k − 1) nx n y q′ = , 2 1 + k − 1 n ( ) y 通过基向量构建矩阵，得到以单位向量 n 为缩放方向，以 k 为缩放因子的缩放矩阵
p′ = S n ,k = q′
( )
2 1 + ( k − 1) nx ( k − 1) nx ny . 2 ( k − 1) nx n y 1 + ( k − 1) n y
0 ky 0
0 0 = kx x k y y kz z kz
2.2 沿任意方向缩放
设 n 为平行于缩放方向的单位向量， k 为缩放因子，缩放沿着穿过原点的并平行于 n 的直线（2D 中）或平面（3D）进行。先讨论 2D 中的推导过程。我们需要推导一个表达式，给定向量 v ，可以通过 v 、 n 和 k 来计算 v′ 。将 v 和 v′ 分解为平行和垂直于 n 的分向量
( )
2 nx 1 ( k − 1) nx 1 = + ( k − 1) nx = + 0 ny 0 ( k − 1) nx n y 2 1 + ( k − 1) nx = , ( k − 1) nx n y
2D 中切变矩阵为：
x 坐标根据 y 坐标的切变
1 0 Hx (s) = , s 1
y 坐标根据 x 坐标的切变
1 s Hy (s) = , 0 1
x, y 坐标被 z 坐标的切变
1 0 0 H xy ( s, t ) = 0 1 0 , s t 0
Τ
Τ
r = [ 0 0 1] ,
, k 表示缩放矩阵是 scale（缩放）的缩写 S n