P12-余绵樟-反函数的求导法则-3

dx
dx du dx
例例1130．ylncos(e x) 求 dy dx
解解 dy [ln cos(ex)] 1 [cos(ex)]
dx
cos(ex)
1 [sin(ex)](ex)ex tan(ex) cos(ex)
例 例141．1
y
esin
1 x
求 dy
dx
解解
dy
(esin
1 x
)
esin 1x
(sin
1
)
esin
1 x
c
os
1
(
1
)
dx
x
xx
1 x2
esin
1 x
cos 1 x
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四、基本求导法则与导数公式
•基本初等函数的导数公式
(1) (C)0
(2) (xm)m xm1
(3) (sin x)cos x (4) (cos x)sin x (5) (tan x)sec2x (6) (cot x)csc2x (7) (sec x)sec xtan x
复合而成的
因因此此
ddyyddyydduu ccoossuu22((11xx22))((22xx))22 22((11xx22))ccooss 22xx
ddxx dduu ddxx
((11xx22))22 ((11xx22))22 11xx22
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复合函数的求导法则: dy f (u)g(x) 或 dy dy du
(16)
(arccotx) 1 1 x2
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四、基本求导法则与导数公式
•函数的和、差、积、商的求导法则
(1) (u v)u v (2) (Cu)Cu (C是常数)

设函数 x = ϕ ( t )具有单调连续的反函数 t = ϕ ( x ),
−1
∴ y = ψ [ϕ −1 ( x )]
再设函数 x = ϕ ( t ), y = ψ ( t )都可导, 且ϕ ′( t ) ≠ 0,
例1 求由方程 xy − e x + e y = 0所确定的隐函数
dy dy y的导数 , dx dx
解
x=0
.
方程两边对x 方程两边对 求导, dy dy y + x − ex + ey =0 dx dx
dy e x − y 解得 , = y dx x + e
dy ∴ dx
x=0
由原方程知 x = 0, y = 0,
y= x
sin x
.
多个函数相乘和幂指函 数 u( x )
v( x)
的情形 .
( x + 1)3 x − 1 例1 设 y = , 求y′ . 2 x ( x + 4) e
解 等式两边取对数得
1 ln y = ln( x + 1) + ln( x − 1) − 2 ln( x + 4) − x 3 上式两边对 x求导得
∴ (a )′ =
x
1 (log a y ) ′
= ylna = a x ln a
即：
特别地：
(a )′ = a x ln a
x
(e )′ = e
x
x
三、复合函数的求导法则
定理
如 函 u = ϕ(x)在 x0可 , 而 = f (u) 果 数 点 导 y 在 u0 = ϕ(x0 )可 , 则 点 导 复合 数 y = f [ϕ(x)]在 函 点 x0可 , 且 导 其导 为 数 dy dx

1 = 1 = 1 = 12. (tan y)′ sec2 y 1+ tan2 y 1+ x (arccot x)′=− 1 2 . 类似地有: 1+ x (arctanx)′ =
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三、复合函数的求导法则
定理3 如果u=g(x)在点x可导, 函数y且其导数为
(1) (C)′=0, (2) (xµ)′=µ xµ−1, (3) (sin x)′=cos x, (4) (cos x)′=−sin x, (5) (tan x)′=sec2x, (6) (cot x)′=−csc2x, (7) (sec x)′=sec x⋅tan x, (8) (csc x)′=−csc x⋅cot x, (9) (a x)′=a x ln a, (10) (e x)′=ex,
(11) (loga x)′= 1 , xln a (12) (ln x)′= 1 , x (13) (arcsinx)′= 1 , (arcsinx 1−x2 (14) (arccosx)′=− 1 , 1−x2 (15) (arctanx)′= 1 2 , 1+x (16) (arccotx)′=− 1 2 . 1+x
详细证明 下页
复合函数的求导法则: dy = f ′(u)⋅ g′(x) 或 dy = dy ⋅ du . dx dx du dx
dy 例7 y =sin 2x2 , 求 . 10 1+ x dx
解
函数 y =sin
2x 2x 是由 y=sin u , u = 复合而成的, 2 2 1+ x 1+ x
sin1 例11 y =e x ．
dy , 求 . dx
1 dy sin1 sin 1)′=esin1 ⋅cos 1 ⋅(1)′ x 解 =(e x )′ =e x ⋅(sin x x dx x 1 ⋅esin1 ⋅cos 1 x =− 2 . x x

反函数导数公式大全表（反函数导数公式大全）(arcsinx)'=1/√(1-x^2)的求导：(arccosx)'=-1/√(1-x^2)的求导：(arctanx)'=1/(1+反三角函数求导公式是什么?1、的求导：(arcsinx)'=1/√(1-x^2)2、的求导：(arccosx)'=-1/√(1-x^2)3、的求导：(arctanx)'=1/(1+x^2)4、的求导：(arccotx)'=-1/(1+x^2)为限制为单值函数，将反正弦函数的值y限在-π/2≤y≤π/2，将y作为反正弦函数的主值，记为y=arcsinx。

相应地。

反余弦函数y=arccosx的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctanx的主值限在-π/2<y<π2；反余切函数y="arccot"x 的主值限在0<y<π。

1、反正弦函数正弦函数y=sinx在[-π/2，π/2]上的，叫做反正弦函数。

记作arcsinx，表示一个正弦值为x的角，该角的范围在[-π/2，π/2]区间内。

[-1，1]，[-π/2，π/2]。

2、反余弦函数余弦函数y=cosx在[0，π]上的反函数，叫做反余弦函数。

记作arccosx，表示一个余弦值为x的角，该角的范围在[0，π]区间内。

定义域[-1，1]，值域[0，π]。

3、反正切函数正切函数y=tanx在（-π/2，π/2）上的反函数，叫做反正切函数。

记作arctanx，表示一个为x的角，该角的范围在（-π/2，π/2）区间内。

定义域R，值域（-π/2，π/2）。

5、反余切函数余切函数y=cotx在（0，π）上的反函数，叫做反余切函数。

记作arccotx，表示一个余切值为x的角，该角的范围在（0，π）区间内。

定义域R，值域（0，π）。

6、反正割函数正割函数y=secx在[0，π/2）U（π/2，π]上的反函数，叫做反正割函数。