反函数、复合函数的求导法则

反函数和复合函数的求导法则在微积分中，函数是一种将一个集合的元素映射到另一个集合的方式。

在函数的研究中，反函数和复合函数是两个重要的概念。

本文将介绍反函数和复合函数的求导法则。

1.反函数反函数是指一个函数的输入和输出对调的函数。

如果函数f将集合A的元素映射到集合B的元素，那么反函数f^(-1)就将集合B的元素映射到集合A的元素。

设函数f的定义域为A，值域为B，则对于任意y∈B，如果存在x∈A，使得f(x)=y，那么函数f的反函数f^(-1)将满足f^(-1)(y)=x。

反函数的求导法则可以通过链式法则来推导。

设函数y=f(x)在区间I上是可导的，且f'(x)≠0。

若函数f在点x处可导，且f'(x)≠0，那么f^(-1)在点y=f(x)处也可导，且有反函数的导数公式：(f^(-1))'(y)=1/f'(x)其中x是f^(-1)(y)=x的解。

这个公式意味着反函数的导数是通过将函数的导数取倒数得到的。

这是因为反函数的定义是将函数的输入和输出对调，因此反函数的斜率应该是原函数斜率的倒数。

2.复合函数复合函数是指由两个或多个函数组合起来形成的新的函数。

设有函数f(x)和g(x)，那么f(g(x))就是一个由两个函数复合而成的函数。

复合函数的求导法则可以通过链式法则来推导。

设函数y=f(g(x))，其中f和g都是可导函数。

那么复合函数y的导数dy/dx可以通过链式法则表示为：dy/dx = dy/du * du/dx其中u=g(x)是变量x经过函数g变换后的结果。

这个公式意味着复合函数的导数是由两部分组成的。

第一部分是外层函数对内层函数的导数，第二部分是内层函数对变量的导数。

通过链式法则，我们可以将复合函数的求导问题转化为求两个简单函数的导数问题。

需要注意的是，如果函数f和g都是可导函数，那么复合函数f(g(x))不一定是可导函数。

复合函数的可导性依赖于函数f和g的可导性。

反函数复合函数求导法则和基本求导公式一、反函数求导法则：设函数y=f(x)在[a,b]上连续可导，且f'(x)≠0，设F(x)是f(x)在[a,b]上的反函数，则F'(x)=1/f'(F(x))。

证明：对于函数y=f(x)在区间[a,b]上的其中一点x，设其反函数为y=F(x)。

则根据反函数的定义可知：f(F(x))=x两边同时对x求导，则有：f'(F(x))*F'(x)=1由此可得：F'(x)=1/f'(F(x))这即为反函数求导法则。

二、复合函数求导法则：设函数y=f(u)，u=g(x)是由函数u=g(x)和函数y=f(u)复合而成的复合函数，则其导函数为：dy/dx = f'(u) * g'(x)证明：根据链式法则，设y=f(u)，u=g(x)，则由复合函数求导法则可知：dy/du = f'(u)du/dx = g'(x)将以上两个导数代入复合函数的导数公式中，则有：dy/dx = dy/du * du/dx = f'(u) * g'(x)这即为复合函数求导法则。

三、基本求导公式：1.常数函数的导数：(c)'=0，其中c为常数。

证明：设y=c，其中c为常数，则有：Δy/Δx=0当Δx趋近于0时，上式可进一步得到：dy/dx = 0因此，常数函数的导数为0。

2.变量的幂函数的导数：(x^n)'=n*x^(n-1)，其中n为常数。

证明：设y=x^n，其中n为常数，则有：Δy/Δx=[(x+Δx)^n-x^n]/Δx根据二项式定理展开(x+Δx)^n，这里不再赘述，从展开后的表达式中可以看出，除了形如x^n的一项，其他各项都含有Δx。

因此当Δx趋近于0时，可以将这些含有Δx的项直接忽略，只剩下一项：dy/dx = n*x^(n-1)这就是变量的幂函数的导数公式。

3.e^x的导数：(e^x)'=e^x。

反函数的导数复合函数的求导法则
反函数的导数复合函数是指由一个反函数和一个普通函数复合而成的函数，通常被写作f（g（x））。

求反函数的导数复合函数的求导法则就是链式法则。

链式法则可以让我们求解复杂函数的导数，它可以将复杂的函数分解成一些简单的函数，然后利用其中的一些简单函数的已知导数计算出整个函数的导数。

首先了解几个基本概念：
1、定义域：定义域指变量的取值范围，所有在定义域内的取值，对应的函数值都是定义的。

2、域：函数的取值范围就叫域，也就是实际上函数所取得的真实数值范围。

3、反函数：如果一个函数f（x）的反函数是g（x），那么g（x）的定义域就是f（x）的域，而f（x）的定义域就是g（x）的域。

4、导数：导数表示函数的变化率，是描述函数单调性的概念。

基于上文所说的基本概念，可以提出反函数的导数复合函数的求导法则：
即反函数的导数复合函数f（g（x））的求导法则是：
f（g（x））的导数等于f（g（x））在g（x）处的导数乘以g（x）在x处的导数。

即：
f（g（x））′=f（g（x））′g（x）′
举例说明：
如果f（x）和g（x）分别如下定义：
f（x）=x2+1
g（x）=ln（x）。

二、反函数的导数法则定理1：设)(x f y =为)(y x ϕ=的反函数，若)(y ϕ在0y 的某邻域内连续，严格单调，且0)(0≠'y ϕ，则)(x f 在0x （即)(0y f 点有导数），且)(1)(00y x f ϕ'='。

证明：00000)()(1lim)()(lim )()(lim000y y y y y y y y x x x f x f y y y y x x --=--=--→→→ϕϕ )(1)()(l i m 10000y y y y y y y ϕϕϕ'=--=→所以 )(1)(00y x f ϕ'='。

注1：00y y x x →⇔→，因为)(y ϕ在0y 点附近连续，严格单调；2：若视0x 为任意，并用x 代替，使得)(1)(y x f ϕ'='或)(1dydx dx dy =，其中dydx dx dy ,均为整体记号，各代表不同的意义；3：)(x f '和)(y ϕ'的“′”均表示求导，但意义不同； 4：定理1即说：反函数的导数等于直接函数导数的倒数； 5：注意区别反函数的导数与商的导数公式。

【例1】求x y arcsin =的导数，解：由于]1,1[,arcsin -∈=x x y ，是]2,2[,sin ππ-∈=y y x 的反函数，由定理1得：2211sin 11cos 1)(sin 1)(arcsin xy y y x -=-=='='。

注1：同理可证：22211)tan (,11)(arctan ,11)(arccos xx arcc x x x x +-='+='--='；2：2tan arctan arccos arcsin π=+=+x arcc x x x 。

【例2】求x y a log =的导数)1,0(≠>a a 。

- 50 -§2.3 反函数的导数 复合函数的导数一.反函数的导数 1.法则设x=()y ϕ是直接函数，()x f y =是它的反函数。

由ch1§10Th4知，若x=()y ϕ在区间I y 内单调且连续，则其反函数y=f(x)在对应区间I=(){}y I y y x x ∈=,ϕ内也是单调且连续的。

若x=()y ϕ又是可导的，考虑反函数y=f(x)的可导性及()()。

与y x f ϕ'',间的关系。

()y y I x x x x I x x x ∆∈∆+≠∆∆∈∀有,,0,,由y=f(x)的单调性,()(),0≠-∆+=∆x f x x f y 有yxx y ∆∆=∆∆1,因y=f(x)连续，故当00→∆⇒→∆y x ,假设()()()()()1111lim lim ,0lim ,0000y x f y yx x y y x y y x y ϕϕϕ'=''=∆∆=∆∆≠∆∆≠'→∆→∆→∆即则即结论：如果函数x=()y ϕ在某区间I y 内单调、可导且()0≠'y ϕ,那么它的扫函数y=f(x)在对应区间内也可导且有(1)式成立。

即反函数的导数等于直接函数导数- 51 -的倒数。

2.反三角函数的导数例1.y=arcsinx D=[-1,1] 是 x=siny 的反函数，x=siny 在⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-22ππy 内单调、可导且()2211s i n 11c o s 11,0c o s s i n xy y x y y y y x-=-=='='∴>=' 类似可求 ()211arccos xx --='例2．y=arctgx ()+∞∞-,是x=tgy 在开区间⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-22ππy 的反函数(单调可导)，()()222222111111sec 1,0cos 1sec xarcctgx x y tg y y x y tgy x x y +-='+=+=='∴>=='='同理，ex.设x=()1,0≠>a a a y 为直接函数，则y=log a x 是反函数，()+∞∞-==,y y I a x 在内单调可导，且()()()ax a a x I a aa ya x yyln 1ln 1log ,0,0ln =='+∞=∴≠='内有在 特殊地，a=e ()xx 1ln ='..复合函数的求导法则1.如果()x u ϕ=在点x 0可导，而在点()00x u ϕ=可导，则复合函数()][x f y ϕ=在点x 0可导，且导数为()()000x u f dx dyx x ϕ'⋅'==。

关于反函数及复合函数求导法则的证明函数求导是高等数学中极重要和基础的概念，反函数及复合函数求导法则更是其中比较重要的一环。

本文主要以几何证明的方式，讨论反函数及复合函数求导法则的证明。

第一部分函数的求导反函数，它是一个函数的反函数，即将原函数的自变量和因变量互换后得到的函数，这个新函数是反函数。

反函数解释起来可能有点抽象，我们来看一个具体的例子：假设有函数f(x) = 5x+1我们确定，f（x）的反函数为f^-1（x），根据反函数的定义我们有f（f^-1（x)）= x（反函数定义）由于f（x）的解析式是5x+1，所以f（f^-1（x））= 5f^-1（x）+1 = x因此，f^-1（x）= (x - 1)/5反函数的求导法则简而言之就是：假设f（x）的反函数为f^-1（x），那么，f^-1（x）的导数等于1/f（x）的导数。

这个定理可以用几何证明如下：假设f（x）、f^-1（x）为两条曲线，坐标轴上的每个点（x_0，y_0）都是它们的一个交点，因此我们可以把y_0分别表示为f（x_0）和f^-1（x_0），此外，根据反函数的定义，我们有f（f^-1（x））= x，即f^-1（x_0）是f（x_0）的反函数点。

因此，当x_0大小发生变化时，f（x_0）和f^-1（x_0）曲线上对应的点（x_0，y_0）也会发生变化，换句话说，曲线上的点（x_0，y_0）也会发生变化，这说明曲线上的点（x_0，y_0）满足微分方程，即：dy_0/dx_0 = dy/dx = 1/f（x_0）的导数因此，我们可以证明反函数的求导法则：假设f（x）的反函数为f^-1（x），那么，f^-1（x）的导数等于1/f（x）的导数。

第二部分合函数的求导复合函数是将两个或两个以上的函数合并在一起的函数，一般写作f(g(x))，其中f为内函数，g为外函数。

复合函数求导的法则是：假设f（x）和g（x）是复合函数，那么，复合函数f（g（x））的导数等于f（g（x））的导数乘以g（x）的导数。