北京海淀区2018-2019学年第一学期九年级期末数学考试试题

数学试卷答案及评分参考 第 1 页（共 7 页） 2019北京海淀初三（上）期末

数 学

2019．01

一、选择题 （本题共16分，每小题2分）

下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置．

1．抛物线()213yx=-+的顶点坐标为（ ）

A．()1,3 B． ()1,3- C．()1,3--

D．()3,1

2．如图，在平面直角坐标系xOy中，点()43P，，OP与x轴正半轴的夹角为α，则tan的值为（ ）

A．35 B．45

C．34 D．43

3．方程230xx-+=的根的情况是（ ）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．无实数根 D．只有一个实数根

4．如图，一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到△ABCⅱ，当B，C，A¢在一条直线上时，三角板ABC的旋转角度为（ ）

A．150°

B．120°

C．60°

D．30°

5．如图，在平面直角坐标系xOy中，B是反比例函数2(0)yxx=>的图象上的一点，则矩形OABC的面积为（ ）

A．1 B．2 C．3

6．如图，在ABC△中，DEBC∥，且DE分别交AB，AC于点D，E，若:=2:3ADAB，则△ADE和△ABC的面积．．之比等于（ ）

A．2:3

B．4:9

C．4:5

D．2:3

7．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘==ACBDxyα1234123POB'A'CBAEDCBAxyCBAO数学试卷答案及评分参考 第 2 页（共 7 页） 54cm，且与闸机侧立面夹角PCABDQ 30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ）

图1 图2

A．(543+10)cm B．(542+10)cm

C．64 cm

D． 54cm

8．在平面直角坐标系xOy中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于1的是（ ）

A．1y B. 2y

C．3y D. 4y

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9．方程230xx的根为 ．

10．半径为2且圆心角为90°的扇形面积为 ．

11．已知抛物线的对称轴是xn，若该抛物线与x轴交于10（，），30（，）两点，则n的值为 ．

12．在同一平面直角坐标系xOy中，若函数yx与kyx0k的图象有两个交点，则k的取值范围是 ．

13．如图，在平面直角坐标系xOy中，有两点()24A，，()40B，，以原点O为位似中心，把△OAB缩小得到△OABⅱ. 若B的坐标为()20，，则点A的坐标为 ．

14．已知1(1)y，-，2(2)y，是反比例函数图象上两个点的坐标，且12yy>，请写出一个符合条件的反比例函数的解析式 ．

15．如图，在平面直角坐标系xOy中，点()30A，，判断在MNPQ，，，四点中，满足到点O和点A的距离都小于2的点是 ．

16．如图，在平面直角坐标系xOy中，P是直线2y=上的一个动点，⊙P的半径为1，直线OQ切⊙P于点Q，则线段OQ的最小值为 ． xy12–1–212345MAOPQNxy–1–2–3123123QOPxyy1y4y3y2–1–2–3–4–5–61234–1–2–3–412345Oxy1234512345B'BAOQPBDCA30°30°闸机箱闸机箱数学试卷答案及评分参考 第 3 页（共 7 页）

三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26题，每小题6分；第27~28题，每小题7分）

17．计算：()0cos452sin302-+-oo．

18．如图，AD与BC交于O点，AC??，4AO=，2CO=，3CD=，求AB的长．

19．已知xn=是关于x的一元二次方程2450mxx--=的一个根，若246mnnm-+=，求m的值．

20．近视镜镜片的焦距y（单位：米）是镜片的度数x（单位：度）的函数，下表记录了一组数据：

x（单位：度） … 100 250 400 500

…

y（单位：米） … 1.00 0.40 0.25 0.20 …

（1）在下列函数中，符合上述表格中所给数据的是_________；

A．1100yx=

B．100yx=

C．13+2002yx=-

D．21319400008008xyx=-+

（2）利用（1）中的结论计算：当镜片的度数为200度时，镜片的焦距约为________米． 21．下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．

已知：如图，⊙O及⊙O上一点P.

求作：过点P的⊙O的切线．

作法：如图，

作射线OP；

②

在直线OP外任取一点A，以点A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交ODCBAPO数学试卷答案及评分参考 第 4 页（共 7 页） 于另一点B；

③ 连接并延长BA与⊙A交于点C；

④ 作直线PC；

则直线PC即为所求．

根据小元设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明：

证明：∵ BC是⊙A的直径，

∴ ∠BPC=90°（____________）（填推理的依据）．

∴ OP⊥PC．

又∵ OP是⊙O的半径，

∴ PC是⊙O的切线（____________）（填推理的依据）．

22．2018年10月23日，港珠澳大桥正式开通，成为横亘在伶仃洋上的一道靓丽的风景. 大桥主体工程隧道的东、西两端各设置了一个海中人工岛，来衔接桥梁和海底隧道，西人工岛上的A点和东人工岛上的B点间的距离约为5.6千米，点C是与西人工岛相连的大桥上的一点，A，B，C在一条直线上．如图，一艘观光船沿与大桥AC段垂直的方向航行，到达P点时观测两个人工岛，分别测得,PAPB与观光船航向PD的夹角∠DPA=18°，∠DPB=53°，求此时观光船到大桥AC段的距离PD的长．

参考数据：sin18°0.31，cos18°0.95，tan18°0.33，

sin53°0.80，cos53°0.60，tan53°1.33． 23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线12yx=与双曲线kyx=的一个交点是(2,)Aa．

（1）求k的值；

（2）设点()Pmn，是双曲线kyx=上不同于A的一点，直线PA与x轴交于点(,0)Bb．

①若1m=，求b的值；

②若=2PBAB，结合图象，直接写出b的值．

xy–1–2–3–4–512345–1–2–3–4–512345O数学试卷答案及评分参考 第 5 页（共 7 页） xy–1–2–3–4–512345–1–2–3–4–512345O

24．如图，A，B，C为⊙O上的定点．连接AB，AC，M为AB上的一个动点，连接CM，将射线MC绕点M顺时针旋转90，交⊙O于点D，连接BD．若AB=6cm，AC=2cm，记A，M两点间距离为xcm，BD，两点间的距离为ycm．

小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.

下面是小东探究的过程，请补充完整：

（1）通过取点．．、画图．．、测量．．，得到了x与y的几组值，如下表：

x/cm 0 0.25 0.47 1 2 3 4 5 6

y/cm 1.43 0.66 0 1.31 2.59 2.76 1.66 0

（2）在平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；

（3）结合画出的函数图象，解决问题：当BD=AC时，AM的长度约为

cm． 25．如图，AB是⊙O的弦，半径OEAB^，

P为AB的延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，CE 与AB交于点F．

（1）求证：PC=PF；

（2）连接OB，BC，若//OBPC，32BC ，3tan4P，求FB的长.

26．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线G：224844yxaxa=-+-DCOBAMxy12345671234OFEPBAOC数学试卷答案及评分参考 第 6 页（共 7 页） ，(1,0),(,0)ANn．

（1）当1a=时，

①求抛物线G与x轴的交点坐标；

②若抛物线G与线段AN只有一个交点，求n的取值范围；

（2）若存在实数a，使得抛物线G与线段AN有两个交点，结合图象，直接写出n的取值范围．

27．已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，直线l经过点A（不经过点B或点C），点C关于直线l的对称点为点D，连接BD，CD．

（1）如图1，

① 求证：点,,BCD在以点A为圆心，AB为半径的圆上.

② 直接写出∠BDC的度数（用含α的式子表示）为___________.

（2）如图2，当α=60°时，过点D作BD的垂线与直线l交于点E，求证：AE=BD；

（3）如图3，当α=90°时，记直线l与CD的交点为F，连接BF．将直线l绕点A旋转，当线段BF的长取得最大值时，直接写出tanFBC的值．

图1

图2

图3

28．在平面直角坐标系xOy中，已知点(0,)Aa和点(0)Bb，，给出如下定义：以AB为边，按照逆时针方向排列A，B，C，D四个顶点，作正方形ABCD，则称正方形ABCD为点A，B的逆序正方形．例如，当4a=-，3b=时，点A，B的逆序正方形如图1所示．

xy–1–2–3–4–512345–1–2–3–4–512345Oxy–1–2–3–4–512345–1–2–3–4–512345OACDlDBCAlFABCDlEDABC