如何利用均值不等式求最值的解题思路

- 1 - 用均值不等式求最值的类型及方法

均值不等式是《不等式》一章重要内容之一，是求函数最值的一个重要工具，也是高考常考的一个重要知识点。要求能熟练地运用均值不等式求解一些函数的最值问题。

一、几个重要的均值不等式

①，、)(222222Rbabaababba当且仅当a = b时，“=”号成立；

②，、)(222Rbabaababba当且仅当a = b时，“=”号成立；

③，、、)(33333333Rcbacbaabcabccba当且仅当a = b = c时,“=”号成立；

④)(3333Rcbacbaabcabccba、、 ,当且仅当a = b = c时,“=”号成立.

注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；

②

熟悉一个重要的不等式链：ba1122abab222ba。

二、函数()(0)bfxaxabx、图象及性质

(1)函数0)(baxbaxxf、图象：

(2)函数0)(baxbaxxf、性质：

①值域：),2[]2,(abab；

②单调递增区间：(,]ba，[,)ba；单调递减区间：(0,]ba，[,0)ba.

三、用均值不等式求最值的常见类型

类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。

例1、求函数21(1)2(1)yxxx的最小值。

解析：21(1)2(1)yxxx21(1)1(1)2(1)xxx21111(1)222(1)xxxx

3211131222(1)xxx31252，当且仅当211(1)22(1)xxx即2x时，“=”号xabab2ab2aboy - 2 - 成立，故此函数最小值是52。

评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。

- 1 - 利用均值不等式求最值的方法

均值不等式，又称数学期望不等式，它的应用非常的广泛，可以帮助人们处理各种计算问题。当我们对一组数据或一组变量进行统计分析时，常常要求知道它们出现的最小值及最大值。而利用均值不等式求最值的方法，可以满足这一要求。

均值不等式是数学期望不等式的一种，它表达的是某一随机变量的数学期望，英文名叫Markov inequality，它的概念很简单。均值不等式可以描述为：若X是随机变量，E（X）是其期望，那么X≥E（X）/a，a为任意正数。

均值不等式求最值的方法可以0简单分为三个步骤：

（1）首先确定X是一个随机变量，并计算出它的期望值E（X）。如果X是一组数据，那么E（X）可以使用求平均值的方法计算出来；

（2）在均值不等式中，把任意正数a定为2；

（3）用E（X）/a的结果做X的上界，那么小于等于这一上界的X的最大值就可以确定有效而且较为优良的最大值了。

因此，利用均值不等式求最值的方法，可以有效地快速得到一组数据或变量的最值。它的使用可以节省人们的精力，提高效率。

当然，均值不等式求最值的方法也存在着局限性。它仅适用于求数学期望，对于其他类型的变量，则无法使用。此外，均值不等式求最值的方法只能提供一个估计值，并不能保证得到的结果恰好是最值。

以上就是均值不等式求最值的方法的相关介绍，它是一种简单又实用的方法，可以有效地求出一组数据或变量的最值，在许多计算问 - 2 - 题中都有着重要的作用。

例说利用均值不等式求函数最值的几种技巧

利用均值不等式求函数最值是数学中常用的一种方法，通过这种方法，可以简单地确定函数的最大值和最小值。本文将介绍几种利用均值不等式求函数最值的常用技巧。

1.权值平均：

使用均值不等式时，通过给定变量的权重，我们可以找到一个平均值，该平均值应该落在函数的最大值和最小值之间。例如，如果我们要找出一个函数f(x)在一些闭区间[a,b]上的最大值，我们可以找到一个适当的c，使得a

f(a)≤f(c)≤f(b)

然后，我们可以将函数的值乘以相应的权重（比如(a-c)和(b-c)），并利用均值不等式得出结论。

2.凸函数和凹函数：

对于凸函数而言，任意两个点之间的连线位于这两个点所对应的函数值之上。如果我们要找到函数f(x)在一些闭区间上的最大值，我们可以在该区间上找到两个点，判断这两个点的连线是否位于这个函数值之上。如果是，那么函数值将成为该区间的最大值。对于凹函数来说，与凸函数类似，只是方向相反。

3.形象化问题：

通过将问题形象化，我们可以更好地理解利用均值不等式求函数最值的思路。例如，我们有一个数轴上的几个点，我们想找到距离它们最近和最远的点。我们可以将这些点放在数轴上，并根据它们的位置找到距离最近和最远的点。同样地，在函数的最大值和最小值问题中，我们可以通过绘制图形并观察函数曲线来找到函数的最大值和最小值。

4.极值问题：

利用均值不等式求函数最值时，我们可以寻找函数的极值点。当函数的导数为0时，函数可能取得最大值或最小值。我们可以计算导数，找到可能的极值点，并对这些极值点应用均值不等式，从而确定函数的最大值和最小值。

5.多元函数：

均值不等式也可以应用于多元函数的情况。在多元函数的情况下，我们可以将问题转化为一元函数的情况，并使用上述方法解决。

综上所述，利用均值不等式求函数最值是一个实用的方法。通过使用权值平均、凸函数和凹函数特性、形象化问题、极值问题和多元函数等技巧，我们可以更好地利用均值不等式来确定函数的最大值和最小值，从而解决数学中的一些问题。

高三理应培优

用均值不等式求最值的类型及 解题技巧)

均值不等式是《不等式》一章重要内容之一，是求函数最值的一个重要工具，也是高考常考的一个重 要知识点。要求能熟练地运用均值不等式求解一些函数的最值问题。

一、几个重要的均值不等式

① a1 2 b2 2ab ab a b (a、b R)，当且仅当 a = b 时， “ =号”成立；

2

a b 2

a b (a、b R )，当且仅当 a = b时， “ =号”成立；

333

③ a3 b3 c3 3abc abc a b c (a、

3 b、c R )，当且仅当 a = b = c 时, “ =号”成立；

②熟悉一个重要的不等式链： 2 11

ab

三、用均值不等式求最值的常见类型与解题技巧 类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。

1

例 1、求函数 y x 2 (x 1) 的最小值。

2(x 1)2

1 1 x 1 x 1 1

技巧 1：凑项)解： y x 2 (x 1) (x 1) 2 1(x 1) 2 1(x 1)

2(x 1)2 2(x 1)2 2 2 2(x 1)2 ④ a b c 33 abc abc 3

a b c (a、 b、c R ) ,当且仅当 a = b = c 时, “ =号”成立 .

注： ①注意运用均值不等式求最值时的条件： 正”、二 “定”、三

“等”；

二、函数 f(x) ax b (a、

x b 0) 图象及性质

(1)函数 f(x) ax b a、 x b 0 图象如图：

(2)函数 f(x) ax b a、 x b 0 性质：

①值域： ( , 2 ab] [2 ab, ) ；

，［ ②单调递增区间：

( b, ) ；单调递减区间： (0, ，［ ,0) . ② a b 2 ab ab

ab a b 22

ab

。

2 x 1 1 当且仅当 x 1 1 2 (x 1)即 x 2时，“= ”号成立，故此函数最小值是 2 2(x 1)2