2004年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷数学(理科)

数学(理科)

第Ⅰ卷 (选择题 共60分)

一.选择题: 本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

(1) 若U={1,2,3,4}, M={1,2},N={2,3}, 则

(A) {1,2,3} (B) {2} (C) {1,3,4} (D) {4}

(2) 点P从(1,0)出发,沿单位圆122yx逆时针方向运动32弧长到达Q点,则Q的坐标为

(A) )23,21( (B) ()21,23

(C) ()23,21 (D) ()21,23

(3) 已知等差数列na的公差为2,若431,,aaa成等比数列, 则2a=

(A) –4 (B) –6 (C) –8 (D) –10

(4)曲线xy42关于直线x=2对称的曲线方程是

(A) xy482 (B) 842xy (C) xy4162 (D) 1642xy

(5) 设z=x—y ,式中变量x和y满足条件03,02yxyx则z的最小值为

(A) 1 (B) –1 (C) 3 (D) –3

(6) 已知复数itziz21,43,且21zz是实数,则实数t=

(A) 43 (B) 34 (C) --34 (D) --43

(7) 若nxx)2(3展开式中存在常数项,则n的值可以是

(A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 12

(8)在ΔABC中,“A>30º”是“sinA>21”的

(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件

(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也必要条件

(9)若椭圆)0(12222babyax的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成5：3两段，则此椭圆的离心率为 （A）1716 （B）17174 （C）54 （D）552

（10）如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，若AD与平面AA1C1C所成的角为α，则α=

（A）3

（B）4

（C）410arcsin

（D）46arcsin

（11）设)(xf是函数f(x)的导函数，y=)(xf的图象

如图所示，则y= f(x)的图象最有可能的是

（12）若)(xf和g(x)都是定义在实数集R上的函数，且方程0)]([xgfx有实数解，则)]([xfg不可能．．．是

（A）512xx （B）512xx （C）512x （D）512x

第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）

二.填空题：三大题共4小题，每小题4分，满分16分。把答案填在题中横线上。

（13）已知,0,1,0,1)(xxxf则不等式)2()2(xfxx≤5的解集是 。

（14）已知平面上三点A、B、C满足,5,4,3CABCAB 则AB· BC+BC·CA+CA·AB的值等于 。 （15）设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有 种（用数字作答）。

（16）已知平面α和平面交于直线l，P是空间一点，PA⊥α，垂足为A，PB⊥β，垂足为B，且PA=1，PB=2，若点A在β内的射影与点B在α内的射影重合，则点P到l的距离为 。

三. 解答题：本大题共6小题，满分74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本题满分12分）

在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且31cosA。

（Ⅰ）求ACB2cos2sin2的值；

（Ⅱ）若3a，求bc的最大值。

（18） （本题满分12分）

盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个，第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球（假设取到每个球的可能性都相同）。记第一次与第二次取到球的标号之和为ε。

（Ⅰ）求随机变量ε的分布列；

（Ⅱ）求随机变量ε的期望Eε。

（19）（本题满分12分）

如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直， AB=2，AF=1，M是线段EF的中点。

（Ⅰ）求证AM∥平面BDE；

（Ⅱ）求二面角A—DF—B的大小；

（20）（本题满分12分）

设曲线xeyx(≥0）在点M（t,c--1）处的切线l与x轴y轴所围成的三角表面积为S（t）。

（Ⅰ）求切线l的方程；

（Ⅱ）求S（t）的最大值。

（21）（本题满分12分）

已知双曲线的中心在原点，右顶点为A（1，0）点P、Q在双

曲线的右支上，支M（m,0）到直线AP的距离为1。

（Ⅰ）若直线AP的斜率为k，且]3,33[k，求实数m的

取值范围；

（Ⅱ）当12m时，ΔAPQ的内心恰好是点M，求此双曲

线的方程。

（22）（本题满分14分）

如图，ΔOBC的在个顶点坐标分别为（0,0）、（1,0）、（0,2）,

设P为线段BC的中点,P2为线段CO的中点,P3为线

段OP1的中点,对于每一个正整数n,Pn+3为线段PnPn+1的

中点,令Pn的坐标为(xn,yn),

.2121nnnnyyya

（Ⅰ）求321,,aaa及na;

（Ⅱ）证明;,414Nnyynn

(Ⅲ)若记,,444Nnyybnnn证明nb是等比数列.

数学答案(理科)

一.选择题: 本大题共12小题,每小题5分,共60分.

1. D 2.A 3.B 4.C 5.A 6.A 7.C 8.B 9.D 10.D 11.C 12.B

二.填空题:本大题共4小题,每小题4分,满分16分.

13. ]23,( 14. 14 --25 15. 5 16. 5

三.解答题:本大题共6小题,满分74分.

17. (本题满分12分)

解: (Ⅰ)ACB2cos2sin2

=)1cos2()]cos(1[212ACB

=)1cos2()cos1(212AA

=)192()311(21

= 91

(Ⅱ) ∵31cos2222Abcacb

∴2222232abcacbbc,

又∵3a

∴.49bc

当且仅当 b=c=23时,bc=49,故bc的最大值是49.

(18) (满分12分)

解: (Ⅰ)由题意可得,随机变量ε的取值是2、3、4、6、7、10。

随机变量ε的概率分布列如下

ε 2 3 4 6 7 10

P 0.09 0.24 0.16 0.18 0.24 0.09

随机变量ε的数学期望

Eε=2×0.09+3×0.24+4×0.13+6×0.18+7×0.24+10×0.09=5.2.

(19) (满分12分) 方法一

解: (Ⅰ)记AC与BD的交点为O,连接OE,

∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，

∴四边形AOEM是平行四边形，

∴AM∥OE。

∵OE平面BDE， AM平面BDE，

∴AM∥平面BDE。

(Ⅱ)在平面AFD中过A作AS⊥DF于S，连结BS，

∵AB⊥AF， AB⊥AD， ,AAFAD

∴AB⊥平面ADF，

∴AS是BS在平面ADF上的射影，

由三垂线定理得BS⊥DF。

∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角。

在RtΔASB中，,2,36ABAS

∴,60,3tanASBASB

∴二面角A—DF—B的大小为60º。

（Ⅲ）设CP=t（0≤t≤2）,作PQ⊥AB于Q，则PQ∥AD，

∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，AAFAB，

∴PQ⊥平面ABF，QE平面ABF，

∴PQ⊥QF。

在RtΔPQF中，∠FPQ=60º，

PF=2PQ。

∵ΔPAQ为等腰直角三角形，

∴).2(22tPQ

又∵ΔPAF为直角三角形，

∴1)2(2tPF，

∴).2(2221)2(2tt

所以t=1或t=3(舍去)

即点P是AC的中点。

方法二

（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系。

设NBDAC，连接NE，

则点N、E的坐标分别是（)0,22,22、（0,0,1）,