高二数学 2.3 变量间的相关关系导学案 新人教A版必修3

《2.3变量间的相关关系》

【知识链接】

问题1：在学校里,老师对学生经常这样说：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题.”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着一种相关关系.这种说法有没有根据呢?

请同学们如实填写下表（在空格中打“√”

）:

好 中 差

你的数学成绩

你的物理成绩

问题2： 某地区的环境条件适合天鹅栖息繁衍，有人经统计发现了一个有趣的现象，如果村庄附近栖息的天鹅多，那么这个村庄的婴儿出生率也高，天鹅少的地方婴儿的出生率低，于是，他就得出一个结论：天鹅能够带来孩子.你认为这样得到的结论可靠吗？如何证明这个结论的可靠性？

【知识梳理】

1．相关关系

(1)定义：如果两个变量中一个变量的取值一定时，另一个变量的取值带有一定的______性，那么这两个变量之间的关系，叫做相关关系．

(2)两类特殊的相关关系：如果散点图中点的分布是从______角到______角的区域，那么这两个变量的相关关系称为正相关，如果散点图中点的分布是从______角到______角的区域，那么这两个变量的相关关系称为负相关．

2．线性相关

(1)定义：如果两个变量散点图中点的分布从整体上看大致在一条______附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做__________．

(2)最小二乘法：求线性回归直线方程y^ ＝b^x＋a^时，使得样本数据的点到它的______________最小的方法叫做最小二乘法，其中a^，b^的值由以下公式给出：

 b^＝∑ni＝1 xi－xyi－y∑ni＝1 xi－x2＝∑ni＝1xiyi－nxy∑ni＝1x2i－nx2，a^＝ ，

其中，b^是回归方程的____________，a^是回归方程在y轴上的______．

小结：

线性回归分析涉及大量的计算，形成操作上的一个难点，可以利用计算机非常方便地作散点图、回归直线，并能求出回归直线方程．因此在学习过程中，要重视信息技术的应用．

自主小测

1、下列图形中具有相关关系的两个变量是( )

2、某单位为了解用电量y(千瓦时)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：

气温/℃ 18 13 10 －1

用电量/千瓦时 24 34 38 64

由表中数据得线性回归方程y^ ＝b^x＋a^中b^≈－2，则a^ ≈__________.

课 上 导 学 案

教师点拨1：

两个变量间的关系分为三类：一类是确定性的函数关系，如正方形的边长与面积的关系；另一类是变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的，这种关系就是相关关系，例如，某位同学的“物理成绩”与“数学成绩”之间的关系，我们称它们为相关关系；再一类是不相关，即两个变量间没有任何关系．

教师点拨2：①相关关系与函数关系的异同

相同点：两者均是指两个变量的关系．

不同点：函数关系是一种确定的关系．如匀速直线运动中时间t与路程s的关系；相关关系是一种非确定的关系．如一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系．

函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，可能是伴随关系．

②线性回归直线方程的性质

(1)回归直线过样本数据的中心．

所谓样本数据的中心，对于单变量样本数据而言，平均数是样本数据的中心；对于以(xn，yn)为样本数据而言，(x，y)为样本点的中心，根据最小二乘法原理，回归直线一定过样本点的中心．

(2)回归直线的单调性与样本数据的相关性．

如果样本数据对应的点具有线性相关关系，从回归直线方程来看，当系数b＞0时，直线单调递增，此时这两个变量正相关；当b＜0时，直线单调递减，此时这两个变量负相关．

【例题讲解】

【例题1】 设对变量x，y有如下观察的数据：

x 151 152 153 154 156 157 158 159 160 162 163 164

y 40 41 41 41.5 42 42.5 43 44 45 45 46 45.5

(1)画出散点图．

(2)判断变量x，y是否具有相关关系？如果具有相关关系，那么是正相关还是负相关？

【例题2】 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据：

x 3 4 5 6

y 2.5 3 4 4.5

(1)请画出上表数据的散点图；

(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y^ ＝b^x＋a^；

(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤？

(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)

【例题3】 下列变量之间的关系属于相关关系的是( )

A．圆的周长和它的半径之间的关系

B．价格不变的条件下，商品销售额与销售量之间的关系

C．家庭收入愈多，其消费支出也有增长的趋势

D．正方形面积和它的边长之间的关系

【当堂检测】

1．已知x，y的取值如下表：

x 0 1 3 4

y 2.2 4.3 4.8 6.7

从散点图可以看出y与x线性相关，且回归方程为$y ＝0.95x＋a，则a＝( )

A．3.25 B．2.6 C．2.2 D．0

2．某考察团对全国10个城市进行职工人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平y(千元)统计调查，y与x具有相关关系，回归方程为$y ＝0.66x＋1.562.若某城市居民人均工资为9 000元，则其居民人均消费水平为__________千元．

3．某商店统计了最近6个月某商品的进价x与售价y(单位：元)的对应数据如下：

x 3 5 2 8 9 12

y 4 6 3 9 12 14

则x＝________，y＝________，621iix＝__________，61iiixy＝__________，回归直线方程为__________．

4．假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)有如下的统计资料：

使用年限x 2 3 4 5 6

维修费用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0

若由资料知y对x成线性相关关系．试求： (1)线性回归方程$y＝$bxa$的回归系数b$与$a；

(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？

【问题与收获】

基础知识答案：1．(1)随机 (2)左下 右上 左上 右下

2．(1)直线 回归直线 (2)距离的平方和 y－b^x

斜率 截距

自主小测答案：

1、 C A项中显然任给一个x都有唯一确定的y和它对应，是一种函数关系；B项也是一种函数关系；C项中从散点图可以看出所有点看上去都在某条直线附近波动，具有相关关系，而且是一种线性相关关系；D项中所有的点在散点图中没有显示任何关系，因此变量间是不相关的．

2、60 x＝18＋13＋10－14＝10，y＝24＋34＋38＋644＝40，

则a^＝y－b^x≈40＋2×10＝60.

例题答案：

【例题1】 解：(1)画出散点图．

(2)具有相关关系．根据散点图，左下角到右上角的区域，变量x的值由小变大时，另一个变量y的值也由小变大，所以它们具有正相关关系．

【例题2】 解：(1)散点图，如图所示．

(2)由题意，得∑4i＝1xiyi＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，

x＝3＋4＋5＋64＝4.5， y＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，

∑4i＝1x2i＝32＋42＋52＋62＝86，

则b^＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝66.5－6386－81＝0.7，

a^＝y－b^x＝3.5－0.7×4.5＝0.35，

故线性回归方程为y^ ＝0.7x＋0.35.

(3)根据线性回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7×100＋0.35＝70.35，

故消耗能源减少了90－70.35＝19.65(吨)．

【例题3】 正解：因选项A，B，D中的两个变量间都有唯一确定的关系，因而它们都是函数关系；而选项C中家庭收入会对消费支出产生一定的影响，但高收入未必有高消费，因而选项C中的关系才是相关关系．故选C．

当堂检测答案：1．B 线性回归方程一定经过样本取值的平均数点(x，y)，由取值表可计算x＝01344＝2，y＝2.24.34.86.74＝92，知回归方程为$y＝0.95x＋a，又经过点(2，92)，代入得a＝2.6.

2．7.502 当x＝9千元时，y＝0.66×9＋1.562＝7.502.

3．6.5 8 327 396 $y＝1.14x＋0.59 根据公式代入即可求得，也可以利用计算器求得，x＝6.5，y＝8，621iix＝327，61iiixy＝396，回归直线方程为$y＝1.14x＋0.59.