高考模拟练习——河南省五市2022届高三第二次联合调研考试数学(理科)试题(含答案解析)

一、单选题二、多选题1. 在正三棱柱中，，点满足，其中，，则下列说法正确的是（ ）①当时，的周长为定值；②当时，三棱锥的体积为定值；③当时，有且仅有一个点，使得；④若，则点的轨迹所围成的面积为.A ．①②B ．②③C ．②④D ．①③2. 已知函数的图像为上连续不断的曲线，且，在上单调递减．若成立，则实数m 的取值范围为（ ）A．B．C．D．3. 过双曲线的左焦点且斜率为的直线分别交双曲线的渐近线于两点，在第二象限，在第一象限，若，则双曲线的离心率为（ ）A．B ．2C．D．4. 已知复数满足，则（ ）A．B．C．D ．1255. 已知为虚数单位，复数，则下列结论正确的是A ．的共轭复数为B ．的虚部为C ．在复平面内对应的点在第二象限D．6. 在三棱锥中，，则三棱锥外接球的体积为（ ）A．B．C．D．7. “”是“”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8. 直线倾斜角的取值范围为（ ）A．B．C．D．9. 函数的部分图象如图中实线所示，为函数与轴的交点，圆与的图象交于两点，且在轴上，则（）A．B．圆的半径为C．函数的图象关于点成中心对称D ．函数在上单调递增河南省开封市2022届高三二模理科数学试题 (2)河南省开封市2022届高三二模理科数学试题 (2)三、填空题四、解答题10. 已知函数（）有两个零点，分别记为，（）；对于，存在使，则（ ）A ．在上单调递增B ．（其中是自然对数的底数）C．D．11. 已知函数在上可导且，其导函数满足：，则下列结论正确的是（ ）A．函数有且仅有两个零点B．函数有且仅有三个零点C．当时，不等式恒成立D ．在上的值域为12. 已知抛物线与圆的公共点为A ，B ，点P 为圆C的劣弧上不同于A ，B 的一个动点，过点P 作垂直于x 轴的直线l 交抛物线E 于点N ，则下列四个命题中正确的是（ ）A．B ．点P纵坐标的取值范围是C ．点N 到圆心C 距离的最小值为1D ．若l不经过原点，则周长的取值范围是13.已知圆，点，点为动点，以线段为直径的圆内切于圆，则动点的轨迹方程是______．14.设曲线在点处的切线为，在点处的切线为，若存在，使得，则实数的取值范围是______.15.已知为等腰直角三角形，，圆为的外接圆，，则___________；若P 为圆M上的动点，则的最大值为___________．16. 已知直三棱柱的底面是等边三角形，，为的中点.现将沿进行翻折，使得点落在平面内的点处，如图.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.17. 文具盒里装有7支规格一致的圆珠笔，其中4支黑笔，3支红笔.某学校甲、乙、丙三位教师共需取出3支红笔批阅试卷，每次从文具盒中随机取出一支笔，若取出的是红笔，则不放回；若取出的是黑笔，则放回文具盒，继续抽取，直至将3支红笔全部抽出.(1)在第2次取出黑笔的前提下，求第1次取出红笔的概率；(2)抽取3次后，记取出红笔的数量为，求随机变量的分布列；(3)因学校临时工作安排，甲教师不再参与阅卷，记恰好在第n 次抽取中抽出第2支红笔的概率为，求的通项公式.18.如图所示，三棱柱中，底面（1）求证：平面；（2）已知且异面直线与所成的角为，求三棱柱的体积.19. 设函数.（1）若存在，使得，求实数的取值范围；（2）若是（1）中的最大值，且正数，满足，证明：.20. 已知函数（a为非零实数）.(1)讨论函数的单调性；(2)若有两个极值点，，且，求证：.21. 已知函数．(1)时，求函数在处的切线方程；(2)讨论函数的单调性；(3)证明不等式恒成立．。

2022年河南省济源市、平顶山市、许昌市高考数学第二次质检试卷（理科）1. 已知集合，，则( )A. B. C. M D. N2. 若复数，则( )A. B. C. D. 103. 若等差数列和等比数列满足，，( )A. B. C. 1 D. 44. 已知，且，则( )A. B. 12 C. D.5. 已知函数，若，则( )A. B. C. D.6. “中国天眼”射电望远镜的反射面的形状为球冠球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆面为底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高，球冠面积，其中R为球的半径，h为球冠的高，设球冠底的半径为r，周长为C，球冠的面积为S，则当，时，( )A. B. C. D.7. 甲乙丙三人参加2022年冬奥会北京、延庆、张家口三个赛区志愿服务活动，若每人只能选择一个赛区，且选择其中任何一个赛区是等可能的．记X为三人选中的赛区个数，Y为三人没有选中的赛区个数，则( )A. ，B. ，C. ，D. ，8. 如图，已知AB是圆柱底面圆的一条直径，OP是圆柱的一条母线，C为底面圆上一点，且，，则直线PC与平面PAB所成角的正弦值为( )A.B.C.D.9. 已知函数与函数在区间上的图像交于A，B，C三点，则的面积是( )A. 2B.C.D. 410. 已知函数恰有两个极值点，，则a的取值范围是( )A. B. C. D.11. 过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为E，延长FE交抛物线于点P，O为坐标原点，若，则双曲线的离心率为( )A. B. C. D.12. 已知，，，则a，b，c的大小关系是( )A. B. C. D.13. 已知向量，，若，则在上的投影为______.14. 在的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，且所有项的系数之和为0，则含的项的系数为______用数字作答15. 已知P是椭圆上的动点，且不在坐标轴上，，是椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，若M是的角平分线上一点，且，则的取值范围是______.16. 设为数列的前n项和，满足，，数列的前n项和为，满足，则______.17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，求角A；若点D在边AC上，且，求面积的最大值．18. 为了解某一地区电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量单位：万台关于年份的线性回归方程为，且销量y的方差为，年份x的方差为求y与x的相关系数r，并据此判断电动汽车销量y与年份x的相关性强弱；该机构还调查了该地区100位购车车主性别与购车种类情况，得到的数据如下表：购买非电动汽车购买电动汽车总计男性302050女性153550总计4555100能否有的把握认为购买电动汽车与性别有关？附：线性回归方程：，其中，；相关系数：，相关系数时相关性较强，时相关性一般，时相关性较弱．，其中19. 如图，在三棱锥中，G是的重心，E，F分别在BC，CD上，且，证明：平面平面ABD；若平面ABC，，，，P是线段EF上一点，当线段GP长度取最小值时，求二面角的余弦值．20. 如图，圆与抛物线相交于点A，B，C，D，且若抛物线的焦点为F，N为其准线上一点，O是坐标原点，，求抛物线的方程；设AC与BD相交于点G，与组成蝶形如图所示的阴影区域的面积为S，求点G的坐标及S的最大值．21. 设函数当时，求在上的单调区间；记，讨论函数在上的零点个数．22. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；若直线l与曲线C交于P，Q两点，PQ中点为M，，求的值．23. 已知函数求不等式的解集；若，使，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：集合，，又，，则故选：求出集合，由，得，由此求出本题考查集合的运算，考查并集、子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】B【解析】解：，，可得故选：利用复数代数形式的乘除运算化简，求出，运用复数模的计算公式，求解即可．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念以及复数的模，是基础题．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查等差数列、等比数列的通项公式和运用，考查方程思想和运算能力．等差数列的公差设为d和等比数列的公比设为q，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得d，q，计算可得所求值．【解答】解：等差数列的公差设为d和等比数列的公比设为q，由，，可得，可得，，则，故选：4.【答案】C【解析】解：，两边平方得，，，，，，，，，，则，故选：利用同角三角函数间的关系求得，可求，从而可求值．本题考查同角三角函数间的基本关系，属中档题．5.【答案】D【解析】解：函数，，，，故选：推导出，，从而，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】B【解析】解：如示意图，根据题意，由勾股定理可得，联立方程，解得，于是故选：作出示意图，根据条件先求出r，然后根据并结合勾股定理求出R，进而得到答案．本题考查了球中球冠的相关计算，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：由题意得X的可能取值为1，2，3，则，，，所以，，Y的可能取值为0，1，2，则，，，，故选：Y的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，从而求出，进而求出；X的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，从而求出，进而求出，由此能求出结果．本题考查了离散型随机变量的期望与方差，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：是圆柱底面圆的一条直径，，，，，；是圆柱的底面圆的直径，，又，四边形OACB为正方形，设，如图建立空间直角坐标系，可知，，，，设平面PAB的法向量为，，，，即，取，则，又，设直线PC与平面PAB所成角为，，，所以直线PC与平面PAB所成角的正弦值为故选：建立空间直角坐标系，求出平面PAB的法向量，利用空间向量的数量积求解直线PC与平面PAB所成角的正弦值即可．本题考查直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．9.【答案】A【解析】解：函数与函数在区间上的图像交于A，B，C三点；根据函数的性质，；当时，，故的高为2；故故选：首先利用函数的图象和性质确定三角形的底和高，进一步求出结果．本题考查的知识要点：函数的图象和性质，三角形的面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：函数，，由于函数的两个极值点为，，即，是方程的两不等实根，即方程，且，，设，因为恒过定点，设函数上点的切线恰过点，因为，则，即，解得，即，切线的斜率，在同一坐标系内画出这两个函数的图象，如图所示：要使这两个函数有2个不同的交点，应满足，解得，所以a的取值范围是故选：根据题意，对函数求导数，得出导数有两不等实根，转化为两函数有两个交点的问题，结合图象即可得出a的取值范围．本题考查了根据极值点求参数的问题，属于中档题．11.【答案】A【解析】解：，，，，，为PF的中点，，，设为双曲线的右焦点，也为抛物线的焦点，则EO为三角形的中位线，则，可令P的坐标为，则有，由抛物线的定义可得，，，又，即有，化简可得，，由于，则有，由于，解得，故选：由题设知，，，再由抛物线的定义和方程，解得P的坐标，进而得到，再由离心率公式，计算即可得到．本题主要考查抛物线和双曲线的标准方程和简单性质的应用，考查抛物线的定义，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：记，则，令，解得，令，得，在单调减，在单调增，，即，当时，有，即；记，则，令，得，令，得，，即，当时，有，即故选：记利用导数性质推导出，令时，证明出；记，利用导数证明出，令时，，由此能判断a，b，c 的大小关系．本题考查三个数的大小的判断，考查构造法、导数性质、函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13.【答案】【解析】解：，，即，，，即，在上的投影为故答案为：根据已知条件，结合向量的数量积公式，以及向量的投影公式，即可求解．本题主要考查平面向量的数量积公式，考查计算能力，属于基础题．14.【答案】45【解析】解：由已知得，故，故，令，则，所以，所以该二项式为，故含的项为，故所求系数为故答案为：根据二项式系数的性质求出n的值，再利用赋值法求出a的值，最后利用计数原理求出结果．本题考查二项式定理以及二项式系数、展开式系数的性质和求法．15.【答案】【解析】解：如图所示．是的角平分线上的一点，且，点M是底边的中点，又点O是线段的中点，，，，又P不在坐标轴上，则的取值范围是故答案为：如图所示．M是的角平分线上的一点，且，可得点M是底边的中点．又点O是线段的中点，，可得，可得，即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、等腰三角形的性质、三角形的中位线定理、三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.【答案】【解析】解：由得，因为，所以，所以满足上式，则，当时，满足上式，所以，所以，所以，故答案为：直接利用数列的递推式和累乘法求出数列的通项公式，再利用裂项相消法的应用可求得结果．本题考查了数列的递推式，裂项相消法求数列的和，属于中档题．17.【答案】解：在中，，由正弦定理可得，整理得，，，，；，，，，在中，，由余弦定理得：，即，当且仅当时取等号，【解析】利用正弦定理及两角和的正弦公式，化简已知等式，可得，从而可求得角A 的值；由题意利用平面向量的运算可得，于是有，再利用余弦定理，结合基本不等式可求得，继而可得面积的最大值．本题考查正弦定理、余弦定理、平面向量的线性运算，考查三角形的面积公式与基本不等式的应用，考查转化与化归思想及运算求解能力，属于中档题．18.【答案】解：相关系数，故y与x相关性较强．，有的把握认为购买电动汽车与性别有关．【解析】将相关系数公式适当变形，可得，再代入已知数据，即可求解．根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．本题主要考查线性回归方程的应用，以及独立性检验公式，属于中档题．19.【答案】解：证明：，，又平面ABD，平面ABD，平面ABD，又G是的重心，，又，EF，平面GEF，平面平面ABD；，，，可得，又，，又平面ABC，平面ABC，，又，BC，平面BCD，平面BCD，又平面BCD，，P是线段EF上一点，当线段GP长度取最小值时，点P与点E重合，如图，作，以C为坐标原点，CB，CH，CD为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，设平面ADP的一个法向量为，则，令，，设平面ADC的一个法向量为，则，令，，，，二面角的余弦值为【解析】利用线面平行及面面平行的判定定理，证明即可；分析知线段GP长度取最小值时，点P与点E重合，建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦值即可．本题考查面面平行的证明，面面角的求法，考查空间想象能力，属中档题．20.【答案】解：抛物线的焦点为，设点，所以，则，可得，故抛物线的标准方程为解：根据圆与抛物线的对称性，四边形ABCD是以y轴为对称轴的等腰梯形，不妨设，A、D在第一象限，设点、，则，，，联立，消去x可得，则关于y的二次方程有两个不等的正根，所以，解得，依据对称性，点G在y轴上，可设点，由得，所以，解得，所以点，，当且仅当时，等号成立，故当时，S 取得最大值【解析】可设点，利用平面向量数量积的坐标运算可得出p的值，即可得出抛物线的标准方程；设点、，则、，，将抛物线的方程与圆的方程联立，列出韦达定理，根据可求得点G的坐标，利用三角形的面积公式结合基本不等式可求得S的最大值．本题考查了抛物线的方程，直线与抛物线的综合，属于中档题．21.【答案】解：当时，，则，令，即或，解得或，令，即或，解得或，所以在上的单调递增区间为、，单调递减区间为、；因为，所以，因为，所以0是函数的一个零点，当时，，，所以恒成立，所以在上无零点，当时，由，即得，令，，所以，令，则，所以在上单调递减，又，所以存在唯一实数，使得，且时，则，所以在上单调递增，时，则，所以在上单调递减，易知，又，所以函数在和上各有一个零点，所以函数在上有且仅有两个零点，综上可得在上有且仅有3个零点．【解析】求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间；首先得到，当时，显然满足条件，当时，恒成立，即可不存在零点，当，依题意可得，令，利用导数研究函数的单调性，结合零点存在性定理，即可判断函数的零点个数．本题考查了利用导数求已知函数的单调性和研究函数的零点，属于难题．22.【答案】解：直线l的参数方程为为参数，消t，可得，故直线l的普通方程为，曲线C的极坐标方程为，，即，故曲线C的直角坐标方程为直线l的参数方程为为参数，将直线l代入，化简整理，可得，设该方程的两根为，，则，，，，【解析】根据已知条件，消去参数t，即可求解直线l的方程，再结合极坐标公式，即可求解曲线C的直角坐标方程．根据已知条件，结合参数方程的几何意义，即可求解．本题主要考查参数方程，以及极坐标公式的应用，属于中档题．23.【答案】解：当时，由，得，解得，当时，由，得，解得，当时，由，得，解得，综上所述，不等式的解集为，使，函数的图像与直线有公共点，直线恒过点，又图象的最低点为，直线PA的斜率，由图象可知，当或时，函数的图象与直线有公共点，故实数a的取值范围为【解析】分，，三种情况讨论，并取其并集，即可求解．本题主要考查不等式恒成立问题，考查数形结合的能力，属于难题．。

河南省重点高中2022届高三下学期阶段性调研联考二理科数学试题注意事项：1．本试卷共150分，考试时长为120分钟。

2．答题前，考生先将姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数21,z z 在复平面内对应的点分别为),3(1a Z ，)1,2(2Z ，且21z z ⋅为纯虚数，则实数=a （ ）A ．6B ．23-C ．56 D ．-62．已知集合{}220A x x x =--≤，集合{}2cos 3B x x =≥，则AB =（ ）A ．1,6π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．,16π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]1,2-D ．,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3．已知p ：x R ∀∈，210x x +->；q ：x R ∃∈，23x x >，则真命题是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∨D ．()()p q ⌝∧⌝4．已知平面向量()3,1a =-，2b =，且()()22a b a b +⋅-=，则a b -=（ ） A ．2B ．2C ．3D ．35．已知抛物线C ：23x y =，过点3(,)()4P m m -∈R 作抛物线的切线,PA PB ，切点分别为,A B ，则,A B 两点到x 轴距离之和的最小值为 （ ）A ．3B ．32C ．332D ．3346．设2log 3a =，32log 2b =，32log 2c =-，则a ，b ，c 的大小顺序为（ ）A ．b c a <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．b a c <<7．甲、乙两名射击运动爱好者在相同条件下各射击次，中靶环数情况如图所示．则甲、乙两人中靶环数的方差分别为 （ ）A ．7，7B ．1.2，7C ．2.3，1.1D ．5.4，1.28．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式．依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖．也有单檐和重檐之分．多见于亭阁式建筑，园林建筑．如图所示的亭阁建筑，它属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的3倍，则此正四棱锥的内切球半径与底面边长之比为 （ ）A ．33B ．24C ．22D ．39．函数2()23sin cos 2sin 1f x x x x =-+的图象向右平移24π个单位长度后得到函数()g x 的图象，对于函数()g x ，下列说法不正确的是 （ ）A ．()g x 的最小正周期为πB ．()g x 的图象关于直线524x π=对称 C ．()g x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．()g x 的图象关于点13,024π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 10．意大利数学家斐波那契()17701250，以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿简等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理，准晶体结构以及化学等领域都有着直接的应用．已知斐波那契数列{}n a 满足：11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，若2357959k a a a a a a a ++++++=，则k =（ ）A ．2020B ．2021C ．59D ．6011．已知1F 、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个交点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率倒数之和的最大值为 （ ）A ．433B ．334C ．2D ．2312．在111A B C 和222A B C 中，121122302A A B C B C ∠=∠=︒==，，若“1122A B A B t ==”是“111A B C 和222A B C 全等”的充分条件，则常数t 不可以是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设函数()212,1,log 1,0 1.x x f x x x ⎧->=⎨+<≤⎩则()21log 32f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭_____________. 14. 在ABC 中，3A π=，O 为ABC 的外心，若2AO AB AO AC ⋅=⋅=，则AB AC ⋅的值为______________.15. 某动漫公司推出漫画角色盲盒周边售卖，每个盲盒中等可能的放入该公司的3款经典动漫角色玩偶中的一个.小明购买了4个盲盒，则他能集齐3个不同动漫角色的概率是______________.16. 如图，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面相切.椭圆截面与两球相切于椭圆的两个焦点1F ，2F .过椭圆上一点P 作圆锥的母线，分别与两个球相切于点,M N .由球和圆的几何性质可知，1PN PF =，2PM PF =.已知两球半径分为别1和3，椭圆的离心率为22，则两球的球心距离为_______________. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17.（12分）设等差数列{}n a 公差为d ，等比数列{}n b 公比为q ，已知11,1d q a b =+=，22431,1a b a b +=+=．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．18．（12分）近日，为进一步做好新冠肺炎疫情防控工作，某社区以网上调查问卷形式对辖区内部分居民做了新冠疫苗免费接种的宣传和调查．调查数据如下：共95份有效问卷，40名男性中有10名不愿意接种疫苗，55名女性中有5名不愿意接种疫苗．（1）根据所给数据，完成下面的22⨯列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为是否愿意接种疫苗与性别有关？（2）从不愿意接种的份调查问卷中得到拒绝接种新冠疫苗的原因：有3份身体原因不能接种；有2份认为新冠肺炎已得到控制，无需接种；有4份担心疫苗的有效性；有6份担心疫苗的安全性．求从这15份问卷中随机选出2份，在已知至少有一份担心疫苗安全性的条件下，另一份是担心疫苗有效性的概率．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++19．（12分） 如图，在三棱锥A BCD -中，90BCD ∠=︒，1BC CD ==，ACB ACD ∠=∠． （1）证明：AC BD ⊥；（2）若直线AC 与平面BCD 所成的角为45︒，1AC =，求二面角A CD B --的余弦值．20．（12分）B AC D如图，已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y P x y Q x y 四点都在抛物线上，直线AP 与直线BQ 相交于点F ，且直线AB 斜率为1． （1）求12y y +和13y y 的值；（2）证明直线PQ 过定点，并求出该定点．21．（12分） 已知函数2()2ln 1f x x ax x =-+有两个极值点12,x x ． （1）求a 的取值范围；（2）证明：2211221()()1x f x x f x a x x -<+-．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，按所做的第一题计分．22. [选修44-：坐标系与参数方程]（10分）平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为244x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin 6πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）写出曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若射线OM ：0(0)θαρ=≥平分曲线2C ，且与曲线1C 交于点A （异于O点），曲线1C 上的点B 满足2AOB π∠=，求AOB △的面积S .23. [选修45-：不等式选讲]（10分） 已知函数()|2||4|f x x x =--+. （1）求()f x 的最大值m ；（2）已知,,(0,)a b c ∈+∞，且a b c m ++=，求证：22212a b c ++≥.理科数学答案ADCAB ADBCD AC13、2- 14、2 15、49 16、17.（本小题满分12分）【试题解析】解：（1）由题意11112111131d q a b a d b q a d b q =⎧⎪+=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩，解得111,2,2a b d q ====，（2分）所以21n a n =-，（4分）2n n b =．（6分）（2）212n n n a n b -=，（7分）23135212222n n n S -=++++（8分）21352121222n n n S --=++++相减得231222*********n n n n S --=+++++-111212321312212n n n n n n S ---+=+-=--．（12分）【另解】1212123222n n n nn a n n n b --++==-， 2301121135213557212323()()322222222222n n n n n n n n n S --+++=++++=-+-++-=-18．（本小题满分12分）【试题解析】解：（1）（2分）222()95(3055010) 4.408 3.841()()()()40558015n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯（7分）有95%的把握认为是否愿意接种疫苗与性别有关．（8分）（2）1164221592486923C C p C C ===-．（12分）19．（本小题满分12分）【试题解析】证明：（1）取BD 中点O ，连接OA ，OC ，则OC BD ⊥，又BC DC =，ACB ACD ∠=∠，AC AC =，所以ABC ADC ≅△△，所以AB AD =，所以AO BD ⊥．AO CO O =，AO ⊂平面AOC ，CO ⊂平面AOC ，所以BD ⊥平面AOC ．又AC ⊂平面AOC ，所以AC BD ⊥．（4分)（2）解：（2）由（1）知BD ⊥平面AOC ，BD ⊂平面BCD ，所以平面BCD ⊥平面AOC ．所以CA 在平面上的射影是CO ，所以ACO ∠为直线AC 与平面BCD 所成的角， 即45ACO ∠=︒．（6分)又因为122CO BD ==，1AC =，在ACO △中由余弦定理可知AO 2=，所以222AO OC AC +=，所以AO OC ⊥．且平面AOC 平面BCD OC =， 所以AO ⊥平面BCD ．（8分)【方法一】取CD 中点E ，连接OE ，AE ， 则OE CD ⊥，AE CD ⊥，所以AEO ∠为二面角A CD B --的平面角，132cos 33OE AEO AE ∠===． （12分)【方法二】以O 为原点，,,OC OD OA 分别是x 轴，y 轴，z 轴建立平面直角坐标系，如图所示．则(0,0,0)O ,2,0,0)2C ,2(0,,0)2D ,2(0,0,)2A ． 2222(,0,),(0,CA DA =-=-， 平面BCD 的法向量为)(0,0,1n =， 设平面ACD 的一个法向量为(,,)m x y z =，则2202222022m CA x z m DA y z ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩，可得(1,1,1)m =，记二面角A CD B --的平面角为θ，则13cos 33|||1|m n m n θ⋅===⨯． 即二面角A CD B --3（12分)20．（本小题满分12分）【试题解析】解：（1）因为直线AB 斜率为1，所以设直线AB 方程为y x b =+， 与24y x =联立得，2440y y b -+=，124y y +=，（2分）因为焦点(1,0)F ，所以设直线AP 方程为1x my =+， 与24y x =联立得2440y my --=，134y y =-，（4分）（2）设直线PQ 方程为x ty n =+， 与24y x =联立得，2440y ty n --=，344y y t +=，344y y n =-，（6分）由（1）知134y y =-，同理244y y =-， 所以341234344()444y y ty y y y y y n-+--+=+==， 又由（1）知124y y +=，所以n t =，（10分）所以直线PQ 方程为(1)x ty t t y =+=+，过定点(0,1)E -．（12分）21．（本小题满分12分）【试题解析】 解：（1）因为函数2()2ln 1f x x ax x =-+有两个极值点12,x x ， 所以()()22(1ln )g x f x x a x '==-+有两个零点，（1分）2()2a g x x '=-①若0a ≤，()g x 在(0,)+∞单调递增，至多1个零点，不符合题意；（2分）②若0a >，令2()20ag x x'=-=，x a =， 0x a <<，()0g x '<，()g x 单调递减，x a >时，()0g x '>，()g x 单调递增，min ()()2ln g x g a a a ==-，（i ）01a <<，min ()()2ln 0g x g a a a ==->，无零点，（3分）（ii ）1a =，min ()()2ln 0g x g a a a ==-=，1个零点，（4分）（iii ）1a >，min ()()2ln 0g x g a a a ==-<， 又1212()2(1ln )0g a e e e e=-+=>， 且222(2)42(1ln 2)2(22ln 1ln 2)0g a a a a a a a =-+=--->，所以()g x 在21(,),(,2)a a a e各有一个零点，即()f x 有两个极值点12,x x ， 综上，1a >．（6分）（2）【证法一】 由（1）知1a >，且112222(1ln )0,22(1ln )0x a x x a x -+=-+=，1122ln ,ln x a a x x a a x -=-=，22111111()2ln 121f x x ax x x ax =-+=-++， 22222222()2ln 121f x x ax x x ax =-+=-++，222112211122122121()()(21)(21)1x f x x f x x x ax x x ax x x x x x x --++--++==+--，要证明2211221()()1x f x x f x a x x -<+-，只需证212x x a <．（8分）由1122ln ,ln x a a x x a a x -=-=相减得2211lnx x x a x -=， 不妨设211x t x =>，则111ln ln ,1a t tx x a t x t -==-，2ln 1at t x t =-，所以22122ln ln ln 11(1)a t at t t t x x a t t t ==---，所以只需证22ln 1(1)t t t <-，只需证ln t <(1)t >，（10分）设()ln 1)p t t t =->，21()0p t t '==<所以()ln p t t =(1,)+∞单调递减，()ln (1)0p t t p =<=，所以ln t <212x x a <． （12分）【证法二】不妨设120x x <<，1222112122112()()()()111f x f x x f x x f x x x a x x x x --=<+-- 2121212()()11(1)()f x f x a x x x x ⇔-<+-221212()1()1f x a f x a x x ----⇔< （9分）设2222()12ln ()2ln f x a x ax x a a F x x a x x x x----===--， 2222()1(1)0a a a F x x x x'=-+=-≥，()F x 在(0,)+∞为增函数，221212()1()1f x a f x a x x ----<．（12分） 【说明】建议教师重点讲证法一，因为本题中由a 确定12,x x ，即12,x x 都与a 有关，而证法二中的12,x x 并没有利用12,x x 与a 相关，说明本题的结论12,x x 不是极值点也成立． 原来编的题是证明2211221()()21x f x x f x a x x -<<+-，考虑到学生的计算量和难度问题只保留了比较简单的右侧不等式，讲解时可以加上．要证明2211221()()21x f x x f x a x x -<<+-，只需证2121x x a <<．【证法一】 由1122ln ,ln x a a x x a a x -=-=相减得2211ln x x x a x -=，不妨设211x t x =>，则111ln ln ,1a t tx x a t x t -==-，2ln 1at t x t =-，要证121x x >，由1122ln ,ln x a a x x a a x -=-=相加得12122ln x x a a x x +-=，要证121x x >，只需证122x x a +>， 即12ln ln (1)ln 2111a t at t a t t x x a t t t ++=+=>---， 只需证(1)ln 21t t t +>-，即只需证2(1)ln 01t t t -->+， 设2(1)()ln (1)1t h t t t t -=->+，22214(1)()0(1)(1)t h t t t t t -'=-=>++，所以()h t 在(1,)+∞单调递增，2(1)()ln (1)01t h t t h t -=->=+， 所以122x x a +>，所以12122ln 0x x a a x x +-=>，所以121x x >．【证法二】()()22(1ln )g x f x x a x '==-+设()()()G x g a x g a x =+--，[0,)x a ∈，则222224()()()220a a x G x g a x g a x a x a x a x -'''=++-=-+-=≤+--，()()()G x g a x g a x =+--在[0,)a 为减函数，当(0,)x a ∈，()()()(0)0G x g a x g a x G =+--<=，所以()()g a x g a x +<-，取1x a x =-，则112(2)()()g a x g x g x -<=，又因为122(,),(,)a x a x a -∈+∞∈+∞，且()g x 在(,)a +∞单调递增， 所以122a x x -<，所以122x x a +>，所以12122ln 0x x a a x x +-=>，所以121x x >．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，按所做的第一题计分．22. [选修44-：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）【试题解析】解：（1）曲线1C 的直角坐标方程是24y x =，化成极坐标方程为2sin 4cos ρθθ⋅=；曲线2C 的直角坐标方程是()(2214x y -+=.（5分）（2）曲线2C 是圆，射线OM 过圆心，所以方程是()03πθρ=≥， 代入2sin 4cos ρθθ⋅=得83A ρ=，又2AOB π∠=，所以B ρ=，因此118322AOB A B S ρρ=⋅⋅=⨯⨯=（10分） 23. [选修45-：不等式选讲]（本小题满分10分）【试题解析】解：（1）242(4)6x x x x --+≤--+=，当且仅当4x ≤-时等号成立.也可以画图解答 （5分）（2）由（1）可知，6a b c ++=.又∵0a b c >，，， ∴2222222223()2()()a b c a b c a b c ++=+++++222222222()()()()a b b c c a a b c =++++++++2222222()()=36ab bc ac a b c a b c ≥+++++=++（当且仅当2a b c ===时取等），∴22212a b c ++≥．。

一、单选题1. 已知函数，其中是自然对数的底数.则关于的不等式的解集为A．B．C．D．2. 如图，是函数的部分图象，则的解析式可能是（）A．B．C．D．3.若集合，，则（ ）A．B．C．D．4.瑞士数学家欧拉被认为是历史上最伟大的数学家之一，他发现了欧拉公式，它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系．特别是当时，得到一个令人着迷的优美恒等式，这个恒等式将数学中五个重要的数（自然对数的底，圆周率，虚数单位，自然数的单位1和数字0）联系到了一起，若表示的复数对应的点在第二象限，则可以为（ ）A．B．C．D．5. 已知，点在角的终边上，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．6. 已知椭圆C ：的左､右焦点分别是，，为椭圆C 上一点，则下列结论不正确的是（ ）A．的周长为6B ．的面积为C ．的内切圆的半径为D ．的外接圆的直径为7. 2020年3月某省教研室组织了一场关于如何开展线上教学的大型调研活动，共收到有效问卷558982份，根据收集的教学类型得到统计数据如图：以上面统计数据为标准对线上学习的教学类型进行分析，下面说法正确的是（ ）A ．本次调研问卷的学生中采用纯直播教学形式进行学习的学生人数超过了30万B ．线上利用了直播平台进行学习的学生比例超过了90%河南省百所名校2022届全国高三第二次学业质量联合检测（乙卷）理科数学试题河南省百所名校2022届全国高三第二次学业质量联合检测（乙卷）理科数学试题二、多选题三、填空题C ．线上学习观看过录播视频的学生比例超过了40%D ．线上学习使用过资源包的学生的比例不足25%8. 已知a 、b 、c 、d均为正实数，且，则的最小值为（ ）A ．3B．C．D．9.如图，已知圆锥的轴与母线所成的角为，过的平面与圆锥的轴所成的角为，该平面截这个圆锥所得的截面为椭圆，椭圆的长轴为,短轴为,长半轴长为，短半轴长为，椭圆的中心为,再以为弦且垂直于的圆截面，记该圆与直线交于，与直线交于，则下列说法正确的是（）A ．当时，平面截这个圆锥所得的截面也为椭圆B．C．平面截这个圆锥所得椭圆的离心率D．平面截这个圆锥所得椭圆的离心率10. 已知实数满足，则下列不等式一定成立的是（ ）A．B．C．D．11. 下列命题中正确的是（ ）A．B ．复数的虚部是C ．若复数，则复数在复平面内对应的点位于第一象限D．满足的复数在复平面上对应点的轨迹是双曲线12. 已知函数，则（ ）A ．当时，B ．当时，C ．当时，D ．当时，方程有两个解13. 与直线和曲线都相切的半径最小的圆的标准方程是_________.14.设全集.若集合，，则.15. 已知则________.四、解答题16. 已知数列满足，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.17. 如图，已知四边形是菱形，，绕着顺时针旋转得到，是的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.18. 已知椭圆的左焦点与圆的圆心重合，过右焦点的直线l与C交于A，B两点，的周长为．(1)求C的方程；(2)已知点，证明：．19. 已知函数，(，)（1）当时，讨论函数单调性；（2）设，是函数的两个极值点，当时，求的最小值.20. 已知椭圆的左右焦点分别为，上顶点为，过点与垂直的直线交轴负半轴于点，且+，过、、三点的圆的半径为，过定点的直线与椭圆交于、两点（在之间）.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线的斜率为，在轴上是否存在点，使得以、为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，求出的取值范围；如果不存在，请说明理由.21. 已知数列的前项和为，且满足.(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前项和.。

数学模拟试卷（二）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。

）1. 设集合A={x|y=ln(1−x)}，B={x|(12)x<2}，则A∩B=( )A. {x|−1<x<1}B. {x|x<−1}C. {x|x<1}D. {x|−1<x≤1}2. 已知复数z=(1+i1−i)2+i，则在复平面内z对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆x22p +y2p=1的一个焦点，则p=( )A. 2B. 3C. 4D. 84. 已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(cos15°+ sin15°,cos15°−sin15°)，则tanα=( )A. √33B. 1C. √3D. 25. 等差数列{a n}中，a1=2020，前n项和为S n，若S1212−S1010=−2，则S2022=( )A. 1011B. 2022C. −1011D. −20226. 下列说法中正确的是( )A. 命题“p且q”为真命题，则p，q恰有一个为真命题B. 命题“p：∀x∈R，x2+1≥0”，则“￢p：∀x∈R，x2+1<0”C. △ABC中，A=B是sinA=sinB的充分不必要条件D. 设等比数列{a n}的前n项和为S n，则“a1>0”是“S3>S2”的充要条件7. 已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin(2x+π3)，为了得到曲线C2，则对曲线C1的变换正确的是( )A. 先把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度B. 先把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移π6个单位长度第1页，共4页第2页，共4页 C. 先把横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向右平移π12个单位长度 D. 先把横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度 8. “阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美如图．将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则异面直线AB 与CD 所成角的大小是( ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 120°9. 已知函数y =f(x)的图象如图所示，则此函数可能是( )A. f(x)=e x −e −x x 2+|x|−2B. f(x)=e −x −e xx 2+|x|−2C. f(x)=x 2+|x|−2e x −e −xD. f(x)=x 2+|x|−2e −x −e x10. “迎冬奥，跨新年，向未来”，中国国家滑雪队将开展自由式滑雪项目中的空中技巧、雪上技巧、障碍追逐和U 型场地技巧四个项目表演，现安排两名男队员和两名女队员组队参演，参演选手每人展示其中一个不同的项目，雪上技巧项目必须由女队员展示，则所有不同出场顺序与项目展示方案种数为( )A. 576B. 288C. 144D. 4811. 设曲线y =x 3−6kx 在x =k 处切线的斜率为f(k)，则( )A. f(213)<f(log 214)<f(log 29)B. f(213)<f(log 29)<f(log 214) C. f(log 29)<f(log 214)<f(213) D. f(log 29)<f(213)<f(log 214) 12. 已知O 为坐标原点，F 是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点，A 、B 分别为双曲线的左、右顶点，点P 在C 上，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ，直线BM 与y 轴交于点N ，若|OE|=λ|ON|，则双曲线C 的离心率为( )A. 2λ+1λ−1B. 2C. 1+λλ−1D. 1+2λ1+λ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）第3页，共4页13. 已知向量a ⃗=(1,−1)，b ⃗⃗=(m,2)，若a ⃗⊥(a ⃗+b⃗⃗)，则实数m = ______ ． 14. 已知函数f(x)=x 3−f′(1)x 2−2，则f(2)=______．15. 已知三棱锥P −ABC 中，AB =4，BC =3，PA =AC =5，当该三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为______．16. 过抛物线C ：x 2=4y 的焦点F 作斜率为√3的直线l ，交抛物线于A ，B 两点，抛物线在A ，B 处的两条切线交于点M ，则|MF|=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。

一、单选题二、多选题1. 设，则A．B．C．D．2. 在中，角，，的对边分别为，，．已知，，，则（ ）A．B．C．D．3. 要得到函数的图象，只需将函数的图象A ．向左平移2个单位长度B ．向右平移2个单位长度C ．向上平移1个单位长度D ．向下平移1个单位长度4. 已知是等比数列，是其前项和.若，则的值为（ ）A ．2B ．4C．D．5.如图所示，在直角梯形中，，分别是上的点，且，（如图1）.将四边形沿折起，连接，，（如图2）.在折起的过程中，则下列表述：①平面；②四点B 、C 、E 、F 可能共面；③，则平面平面；④平面与平面可能垂直.其中正确的是（）A ．①④B ．①③C ．②③④D ．①②④6. 已知函数，若，，均不相等，且= =，则的取值范围是（ ）A ．（1，10）B ．(5，6)C ．(10，12)D ．(20，24)7. 已知定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，当时，，则（ ）A．B．C ．0D．8. 若函数在上单调，则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．9. 已知正四棱台的所有顶点都在球的球面上，，，为内部（含边界）的动点，则（ ）A．∥平面B．球的表面积为河南省济源市、平顶山市、许昌市2022届高三第二次质量检测理科数学试题河南省济源市、平顶山市、许昌市2022届高三第二次质量检测理科数学试题三、填空题四、解答题C．的最小值为D．若与平面所成角的正弦值为，则点轨迹长度为10.已知R ，为坐标原点，函数．下列说法中正确的是（ ）A ．当时，若的解集是，则B ．当时，若有5个不同实根，则C ．当时，若，曲线与半径为4的圆有且仅有3个交点，则D ．当时，曲线与直线所围封闭图形的面积的最小值是3311.定义在上的奇函数满足，当时，（为自然对数的底数），则下列结论正确的有（ ）A．B．C．不是周期函数D．函数的图象关于点对称12. 已知，均为复数，则下列结论中正确的有（ ）A ．若，则B ．若，则是实数C．D ．若，则是实数13. 已知函数的最大值为3，则实数的值为______.14. 某几何体的三视图如图所示，俯视图为平行四边形，内部图形为扇形，正视图、侧视图上方为直角三角形，下方为矩形，则三视图中侧视图的面积为________；该几何体的体积为________．15.设二次函数，（且）在上至少有一个零点，则的最小值为___________.16. 在中，角，，所对的边分别是，，，已知，.再从条件①：，；条件②：.中选择一个作为已知补充到题中.求：（1）及的值；，（2）的面积.17. 数列首项，前项和与之间满足.（1）求证：数列是等差数列；并求数列的通项公式；（2）设存在正数，使对任意都成立，求的最大值.18. 近期中央电视台播出的《中国诗词大会》火遍全国，下面是组委会在选拔赛时随机抽取的100名选手的成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下所示．组号分组频数频率第1组0.100第2组①第3组20②第4组200.200第5组100.100合计100 1.00(1)请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成如下的频率分布直方图；(2)组委会决定在5名（其中第3组2名，第4组2名，第5组1名）选手中随机抽取2名选手接受A考官进行面试，求第4组至少有1名选手被考官A面试的概率．19. 如图，在三棱柱中，平面，，F是的中点，点E在棱上．(1)证明：；(2)若，，且点到平面的距离为，求的值．20. 随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活．网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各人进行分析，从而得到表（单位：人）：经常网购偶尔或不用网购合计男性女性合计(1)完成上表；对于以上数据，采用小概率值的独立性检验，能否认为我市市民网购与性别有关联？(2)①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机选取人赠送优惠券，求选取的人中至少有人经常网购的概率；②将频率视为概率，从我市所有参与调查的市民中随机抽取人赠送礼品，记其中经常网购的人数为，求随机变量的数学期望和方差．参考公式：．常用的小概率值和对应的临界值如下表：0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.82821. 已知数列的前项和为，，．求证：(1)数列是等差数列；(2)．。

一、单选题二、多选题1.已知非零向量满足，则（ ）A．B ．1C．D ．22. 已知向量，满足，，且，则，的夹角大小为（ ）．A．B．C．D．3. 已知平面向量，满足，且，若，则（ ）A．B．C．D．4. 读取速度是衡量固态硬盘性能的一项重要指标，基于M .2 PCle 4.0 NVMe协议的固态硬盘平均读取速度可达以上．某企业生产的该种固态硬盘读取速度（）服从正态分布．若，则可估计该企业生产的1000个该种固态硬盘中读取速度低于的个数为（ ）A ．100B ．200C ．300D ．4005.已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．6. 某高中调查学生对2022年冬奥会的关注是否与性别有关，随机抽样调查150人，进行独立性检验，经计算得，临界值表如下：0.150.100.050.0250.0102.072 2.076 3.841 5.024 6.635则下列说法中正确的是：（ ）A ．有97.5%的把握认为“学生对2022年冬奥会的关注与性别无关”B ．有99%的把握认为“学生对2022 年冬奥会的关注与性别有关”C ．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下可认为“学生对2022年冬奥会的关注与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下可认为“学生对2022年冬奥会的关注与性别无关”7. 已知正方体（如图所示），则下列结论正确的是（）A．B．C．D．8. 已知复数z 满足，则z 的实部为（ ）A．B．C ．3D ．49.已知直线，圆的圆心坐标为，则下列说法正确的是（ ）A ．直线恒过点B．C ．直线被圆截得的最短弦长为D ．当时，圆上存在无数对点关于直线对称河南省济源市、平顶山市、许昌市2022届高三第二次质量检测理科数学试题(1)河南省济源市、平顶山市、许昌市2022届高三第二次质量检测理科数学试题(1)三、填空题四、解答题10.设等比数列的前项和为，且(为常数)，则（ ）A．B ．的公比为2C．D．11. 在三棱锥中，，，为的中点，为上一点，球为三棱锥的外接球，则下列说法正确的是（ ）A ．球的表面积为B．点到平面的距离为C ．若，则D ．过点作球的截面，则所得的截面中面积最小的圆的半径为212. 下列命题正确的是（ ）A ．已知，若，则B ．若散点图的散点均落在一条斜率非0的直线上，则决定系数C．数据的均值为4，标准差为1，则这组数据中没有大于5的数D ．数据的75百分位数为4713.若函数，且，则__________.14. 已知菱形的边长为2，，是线段上一点，则的最小值是_____________.15.已知曲线:,把上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线,则曲线的解析式为______.16.已知是递增的等比数列，，且、、成等差数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，，求数列的前项和.17. 已知△ABC 的内角A ，B ， C 的对边分别是a ，b ，c，满足.（1）若c =2，求的面积;（2）求的值.18. 某超市在2017年五一正式开业，开业期间举行开业大酬宾活动，规定：一次购买总额在区间内者可以参与一次抽奖，根据统计发现参与一次抽奖的顾客每次购买金额分布情况如下：(1)求参与一次抽奖的顾客购买金额的平均数与中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，结果保留到整数）；(2)若根据超市的经营规律，购买金额与平均利润有以下四组数据：购买金额x(单位:元)100200300400利润:(单位:元)15254060试根据所给数据，建立关于的线性回归方程，并根据1中计算的结果估计超市对每位顾客所得的利润参考公式: ，19. 如图，在六面体ABCDEF中，AB//CD，AB⊥AD，且AB =AD =CD= 1，四边形ADEF是正方形，平面ADEF⊥平面ABCD.（1）证明:平面BCE⊥平面BDE;（2）求六面体ABCDEF的体积.20. 已知函数，(1)若a＝1，b＝2，试分析和的单调性与极值；(2)当a＝b＝1时，、的零点分别为，；，，从下面两个条件中任选一个证明．（若全选则按照第一个给分）求证：①；②.21. 已知函数，．（1）当时，求的单调区间；（2）对任意正数，证明：．。

2022年河南省六市高三其次次联科试题数学理科第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、集合2{|0},{|55}xA x x xB x=+≥=≥，则A B =A．{|01}x x x≥≤-或 B．{|1}x x≥- C．{|1}x x≥ D．{|0}x x≥2、已知2(,)a ib i a b Ri+=+∈，其中i为虚数单位，则a b+=A．-1 B．2 C．2 D．33、下列函数中既是奇函数又在区间[]1,1-上单调递减的是A．siny x= B．1y x=-+C．2ln2xyx-=+ D．1(22)2x xy-=+4、下列说法错误的是A．自变量取值肯定时，因变量的取值费油肯定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B．在线性回归分析中，相关系数r越大，变量间的相关性越强C．{|1}x x≥在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D．在回归分析中，2R为0.98的模型比2R为0.80的模型拟合的效果好5、在明朝大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看魏巍七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖点几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题说它一共有7层，每次悬挂的红灯数是上一层的2 倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？A．5 B．6 C．4 D．36、执行如右图程序框图，若输入2x=，则输出y的值为A．23 B．11 C．5 D．2 7、双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左、右焦点分别是12,F F，过1F作倾斜角为45的直线交双曲线右支于M点，若2MF垂直x轴，则双曲线的离心率为A．2 B．3 C．12+ D．13+8、已知实数,x y满足401010x yyx+-≤⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩，则2yzx=的最大值是A．13 B．1 C．2 D．99、已知某几何体的三视图如下图所示（图中数据单位：cm），则这个几何体的体积为A．320cm B．322cm C．324cm D．326cm10、在ABC∆中，1267,cos,sin57BC A C===，若动点P满足2(1)()3AB AB AC Rλλλ=+-∈，则点P的轨迹与直线AB、AC所围成的封闭区域的面积为A．36 B．46 C．66 D．12611、如图，在长方形ABCD中，3,1,AB BC E==为线段DC上一动点，现将AED沿AE折起，使点D在面ABC 上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则所形成的轨迹长度为A．32 B．33 C．2πD．3π12、已知函数()21ln2f x a x x=-存在微小值，且对于b的全部可能取值，()f x的微小值恒大于0，则a的最小值为A ．3e -B ．2e -C ．e -D ．1e - 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

一、单选题二、多选题1.在棱长为的正方体中，点分别为棱，的中点．已知动点在该正方体的表面上，且，则点的轨迹长度为（ ）A．B．C．D．2.已知，，则（ ）A．B．C．D．3. 已知关于x 的方程有三个不同的实数根，则a 的取值范围是（ ）A．B．C．D．4. 已知正方体的棱长为3，E ，F 分别为棱上的动点.若直线与平面所成角为，则下列说法不正确的是（）A ．任意点E ，F ，二面角的大小为B ．任意点E ，F ，点C 到面的距离为C ．存在点E ，F ，使得直线与所成角为D ．存在点E ，F，使得线段长度为5.已知是定义在上的偶函数，且当时不等式恒成立，若，，，则的大小关系是A．B．C．D．6. 已知不重合的平面，及不重合的直线m ，n ，则（ ）．A ．若，，则B．若，，，则C ．若，，，则D ．若，，，则7. 设全集，集合，那么（ ）A．B．C．D．8. 已知，且，则（ ）A．B．C．D．9. 如图，在棱长为1的正方体中，，分别是棱，上的动点，且，则（ ）河南省开封市2022届高三二模理科数学试题河南省开封市2022届高三二模理科数学试题A．B．C ．存在无数条直线与直线，，均相交D．当三棱锥的体积最大时，二面角的余弦值为10.已知点是棱长为2的正方体的底面上一个动点（含边界），若是的中点，且满足平面，则（ ）A ．所在的平面与正方体表面的交线为五边形B ．所在的平面与正方体表面的交线为六䢍形C．长度的最大值是D．长度的最小值是11. 已知，则（ ）A．B．C．D．12. 某校为了解高一新生对数学是否感兴趣，从400名女生和600名男生中通过分层抽样的方式随机抽取100名学生进行问卷调查，将调查的结果得到如下等高堆积条形图和列联表，则（）性别数学兴趣合计感兴趣不感兴趣女生男生合计100参考数据：本题中0.10.050.010.0050.0012.706 3.841 6.6357.87910.828A．表中B ．可以估计该校高一新生中对数学不感兴趣的女生人数比男生多三、填空题四、解答题C ．根据小概率值的独立性检验，可以认为性别与对数学的兴趣有差异D ．根据小概率值的独立性检验，可以认为性别与对数学的兴趣没有差异13. 复数满足，则________.14.设集合，，若，则实数________15. 在平面直角坐标系xOy 中，F 为双曲线C ：的一个焦点，过F 的直线l 与C 的一条渐近线垂直．若l 与C 有且仅有一个交点，则C 的离心率为______．16. 如图，点P 在内，，，，设．（Ⅰ）用表示的长；（Ⅱ）求四边形面积的最大值，并求出此时的值．17. 如图，几何体ABCFED 中，△ADF ，△BDE ，△DEF 都是等边三角形，且平面平面DEF ，平面平面DEF，平面DEF，，.(1)求证：平面平面DEF ；(2)求平面ABD 与平面BCE 所成的锐二面角的余弦值.18. 锐角的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，．（1）若，求；（2）若，求b 的取值范围．19.在中，内角的对边分别为，向量，且．(1)求；(2)若的外接圆半径为2，且，求的面积．20. 如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD ，，若.(1)求五面体ABCDEF的体积；(2)若M为EC的中点，求证：平面平面AMD.21. 已知的内角、、所对的边为、、，且满足.（1）求角的大小；（2）若的外接圆半径为1，求的最大值.。

2021-2022学年度高三二测理科数学评分参考一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 5.BCCDD AAA -1112.CA-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.20;x y π+--=14.7;15.;6π16.①②④.三、解答题：共70分.17.（12分）解：（1）由题意，从某中学随机抽取了100人进行调查，可得男生有50人，女生有50人，又由滑雪运动有兴趣的人数占总数的34，所以有3100745⨯=人，没有兴趣的有25人，因为女生中有5人对滑雪运动没有兴趣，所以男生中对滑雪无兴趣的有20人，有兴趣的有30人，女生有兴趣的有45人，可得如下22⨯列联表：…………2分所以()2210030520451210.82875255050K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，…………5分所以有99.9％的把握认为对滑雪运动是否有兴趣与性别有关．…………6分（2）甲获胜的概率最大，理由如下：甲在两轮中均获胜的概率为9432321=⨯=P ；乙在两轮中均获胜的概率为7374432=⨯=P ；丙在两轮中均获胜的概率为2334)34(p p p p P -=-⨯=…………………………………………………9分320,1340,0<<<-<>p p p ；12.33p ∴<<2231)32(9434-=+-=-p p p P P ；031>-∴P P 显然021>-P P 3121,P P P P >>∴，即甲获胜的概率最大.…………………………………12分18.（12分）解：（1）因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6cos sin πA b B a ，由正弦定理得：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6cos sin sin sin πA B B A ………………2分有兴趣没有兴趣合计男302050女45550合计7525100又()π,0∈B ，0sin >B ,所以A A A A A A sin 21cos 236sin sin 6cos cos 6cos sin +=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πππ，即：A A cos 23sin 21=,得出3tan =A ，又()π,0∈A ，所以3π=A .………………………………6分（2）在△ABC 中，由余弦定理得：bca cb A 221cos 222-+==---------------------------------①又因为DC BD 2=，所以32a BD =，3aCD =，且π=∠+∠ADC ADB ,即0cos cos =∠+∠ADC ADB ，由余弦定理得0232232322232222222=⋅⋅-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅-+⎪⎭⎫ ⎝⎛ab a ac a ，得到18233222-+=c b a -----------------②……8分将①②联立得：2221218c b bc +=-≥bc 2，即bc ≤6，（当且仅当32,3==c b 时等号成立）bc A bc S 43sin 21=⋅⋅=≤233.…………………………………………………………………………12分19.（12分）解：（1）取AD AB 、的中点N M 、,连接CN CM 、，60=∠ABC ABCD 是菱形，，AD CN AB CM ⊥⊥∴,.平面⊥11A ADD 平面AD A ADD ABCD ABCD =11, 且平面.11111,A ADD AA A ADD CN 平面平面⊂⊥∴.1AA CN ⊥∴…………………………………………3分同理,,,1ABCD CN ABCD CM AA CM 平面平面⊂⊂⊥且C CN CM = ，ABCD AA 平面⊥∴1.…………………………………………………………6分（2）取CD 中点E ，分别以轴建立空间直角坐标系轴、轴、为、、z y x AA AE AB 1；)0,23,21(),2,23,21(),0,3,1(),0,3,1(),0,0,2(),0,0,0(1---∴N D D C B A ，)2,23,21(),0,0,2(1--=-=∴D D CD .记平面11A ADD 的法向量为)0,23,23(,11--==CN n n 显然……………………………8分设1CDD 平面的法向量为），，（z y x n =2，2210,0,n CD n D D ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩20,120.22x x y z -=⎧⎪∴⎨-+-=⎪⎩3,4,0(2=∴n ，θ的大小为记锐二面角CD D D A --1 (10)分19219332cos =⨯==∴θ，215tan =∴θ.∴锐二面角C DD A --1的正切值为215.……………………………………………………………12分20.（12分）解：（1）设()11y x A ，，()22y x B ，，由241x y =得：x y 21'=，则直线NA 的斜率为21x ，从而直线NA 的方程为：()1112x x x y y -=-，即：()11142y x x y y -=-，即：()112y y x x +=，同理可得：直线NB 的方程为：()222y y x x +=，………………………………2分又直线NA 和直线NB 都过()00,y x N ，则()10012y y x x +=，()20022y y x x +=，从而()11y x A ，，()22y x B ，均为在方程()y y x x +=002表示的直线上，故直线AB 的方程为()y y x x +=002.……………………………………………………………………3分设()20-，x N ，则由上述结论知，直线AB 的方程为：()220-=y x x ，故直线AB 恒过定点()2,0；……4分（2）设()00y x N ，，则由上述结论知：直线AB 的方程为：()002y y x x +=，把它与抛物线y x 42=联立得：042002=+-y x x x ，0164020>-=∆y x ，设()11y x A ，，()22y x B ，，则0212x x x =+，0214y x x =，则()()()m y x xx x x x xx x x AB =-+=-++=-+=020221221221204444141，于是：22002044m x y x -=+……………………………………………………8分又点N 到直线AB 得方程的距离4442220020200200+-=++-=x y x x y x y d ，则()2320320020421442121+=⋅+-⨯=⋅⋅=xm m x y x AB d S ≤163m ，故△ABN 的最大面积是163m ，此时00=x .………………………………12分21.（12分）解：（1）函数的定义域为{}1->x x ，()1111+-=-+='x xx x f ，()0>'x f ，01<<-x ；()0<'x f ，0>x ，函数()x f 的单调递增区间为()0,1-；单减区间为()∞+，0.…………………………4分（2）要使函数()()()x g x f x F -=有两个零点，即()()x g x f =有两个实根，即()a x ae x x x ln 11ln +-=+-+有两个实根.即1)1ln(ln ln +++=+++x x a x e a x .整理为())1ln(ln 1ln ln ++=++++x e a x e x a x ，……………………………………6分设函数()x e x h x +=，则上式为()()()1ln ln +=+x h a x h ，因为()01>+='x e x h 恒成立，所以()x e x h x +=单调递增，所以()1ln ln +=+x a x .所以只需使()x x a -+=1ln ln 有两个根，设()()x x x M -+=1ln .……………………………………8分由（1）可知，函数()x M 的单调递增区间为()0,1-；单减区间为()∞+，0，故函数()x M 在0=x 处取得极大值，()()00max ==M x M .当1-→x 时，()-∞→x M ；当+∞→x 时，()-∞→x M ，要想()x x a -+=1ln ln 有两个根，只需0ln <a ，解得10<<a .所以a 的取值范围是()1,0.…………………………………………12分（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修44-：坐标系与参数方程]（10分）解：（1）1C 的直角坐标方程为()1122=+-y x ，1C 的极坐标方程为θρcos 2=，2C 的极坐标方程为θρsin 2=.…………………………………………5分（2）由题意可以，13cos2===πρA OA ，33sin 2===πρB OB ，所以13-=-=OA OB AB .……………………………………………………8分又Q 到射线l 的距离为233sin==πOQ d ，故△ABQ 的面积为()433132321-=-⨯⨯=S ………………………………………………………10分23.[选修54-：不等式选讲]（10分）解：（1）不等式()x f ≥12-x ，即a x -≥12-x ，两边平方整理得：()221423a x a x -+-+≤0，由题意可知0和2是方程()0142322=-+-+a x a x 的两个实数根，即2210,450,a a a ⎧-=⎪⎨-++=⎪⎩解得1-=a .………………………………………………5分（2）因为()a x a x a x x f 22++->++≥()()a a x a x 32=+--，所以要使不等式()322+>++a a x x f 恒成立，只需323+>a a ………………………………………7分当a ≥0时，323+>a a ，解得3>a ，即3>a .当0<a 时，323+>-a a ，解得53-<a ，即53-<a .综上所述，实数a 的取值范围是()+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,353, .………………………………………………10分。

一、单选题二、多选题1. 把函数图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一个对称中心为（ ）A．B．C．D．2. 在的展开式中，的系数是（ ）A ．20B．C．D．3. 将函数f (x )＝cos 2x 的图象向右平移个单位后得到函数g (x )，则g (x )具有性质( )A ．最大值为1，图象关于直线x ＝对称B．在上单调递增，为奇函数C．在上单调递增，为偶函数D ．周期为π，图象关于点对称4. 函数，的最小正周期为（ ）A．B ．C．D．5. 下列函数，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）A．B．C．D．6.下列函数中，在上是单调递增的是（ ）A．B．C．D．7. 从六人（含甲）中选四人完成四项不同的工作（含翻译），则甲被选且甲不参加翻译工作的不同选法共有（ ）A ．120种B ．150种C ．180种D ．210种8. 已知命题，使得，则为（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，9.已知，且，其中e 为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（ ）A．B．C．D．10. 已知定义在R上的函数满足，且是奇函数，则（ ）A．的图象关于点对称B．C．D ．若，则11. 某同学用搜集到的六组数据绘制了如下散点图，在这六个点中去掉点后重新进行回归分析，则下列说法正确的是（ ）河南省济源市、平顶山市、许昌市2022届高三第二次质量检测理科数学试题 (2)河南省济源市、平顶山市、许昌市2022届高三第二次质量检测理科数学试题 (2)三、填空题四、解答题A ．决定系数变小B ．相关系数的绝对值越趋于1C ．残差平方和变小D ．解释变量与预报变量相关性变弱12. 已知函数，，则正确的是（ ）A．B ．是函数的零点C．函数是非奇非偶函数D ．为图象的一条对称轴13.已知函数的定义域为，满足，且当时，，则的值为__________．14. 函数的定义域为_________________．15.已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是______．16. 高铁、网购、移动支付和共享单车被誉为中国的“新四大发明”，彰显出中国式创新的强劲活力.某移动支付公司从我市移动支付用户中随机抽取100名进行调查，得到如下数据：每周移动支付次数1次2次3次4次5次6次及以上男10873215女5464630合计1512137845（Ⅰ）把每周使用移动支付超过3次的用户称为“移动支付活跃用户”，能否在犯错误概率不超过0.005的前提下，认为是否为“移动支付活跃用户”与性别有关？（Ⅱ）把每周使用移动支付6次及6次以上的用户称为“移动支付达人”，视频率为概率，在我市所有“移动支付达人”中，随机抽取4名用户.①求抽取的4名用户中，既有男“移动支付达人”又有女“移动支付达人”的概率；②为了鼓励男性用户使用移动支付，对抽出的男“移动支付达人”每人奖励300元，记奖励总金额为，求的分布列及数学期望.附公式及表如下：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82817. 已知函数．（1）当时，求的解集；（2）若在上恒成立，求的取值范围.18. 设函数f (x )＝－x 2＋ax ＋ln x (a ∈)．（1）当a ＝－1时，求函数f (x )的单调区间；（2）若函数f(x)在上有两个零点，求实数的取值范围．19. 在等比数列中，分别是下表第一，第二，第三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列．第一列第二列第三列第一行341第二行865第三行91216(1)写出，并求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前项和．20. 如图，直四棱柱中，四边形为梯形，，且.过三点的平面记为，与的交点为.(1)证明：为的中点；(2)求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比.21. 解不等式.。

一、单选题二、多选题1.复数（i 为虚数单位）的共轭复数的虚部等于（ ）A ．1B．C ．D．2. 已知抛物线的焦点为，抛物线的准线与轴交于点，过点的直线与抛物线相切于点，连接，在中，设，则的值为（ ）A．B ．1C．D ．23.若，则A．B．C．D．4. 若，则（ ）A．B．C．D．5. 在矩形中，是的中点，是上靠近的三等分点，则向量=（ ）A．B．C．D．6. 在中，内角，，的对边分别是，，，若，且，则周长的取值范围是（ ）A．B．C．D．7.已知等比数列的前n项和为，若，则（ ）A．B．C．D．8.若函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．9. 甲、乙两类水果的质量（单位：）分别服从正态分布，其正态分布密度曲线（正态分布密度曲线是函数的图象）如图所示，则下列说法正确的是（）A．甲类水果的平均质量为B ．甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分更集中于平均值左右C．平均质量分布在时甲类水果比乙类水果占比大D．10.已知无穷数列满足：当为奇数时，；当为偶数时，，则下列结论正确的为（ ）A ．和均为数列中的项B ．数列为等差数列C ．仅有有限个整数使得成立河南省五市2022届高三第二次联合调研考试数学（理科）试题(2)河南省五市2022届高三第二次联合调研考试数学（理科）试题(2)三、填空题四、解答题D ．记数列的前项和为，则恒成立11. 已知函数，若，则的值可以为（ ）A．B．C．D．12. 气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天日平均温度不低于22℃”．现有甲、乙、丙三地连续5天日平均温度的记录数据（数据都是正整数，单位℃）满足以下条件：甲地：5个数据的中位数是24，众数是22；乙地：5个数据的中位数是27，平均数是24；丙地：5个数据有1个是32，平均数是26，方差是10.2．则下列说法正确的是（ ）A ．进入夏季的地区有2个B ．丙地区肯定进入了夏季C ．乙地区肯定还未进入夏季D ．不能肯定甲地区进入了夏季13. 某射击运动员次的训练成绩分别为:，则这次成绩的第百分位数为__________.14. 命题，的否定为________．15. 数据9.30,9.05,9.10,9.40,9.20,9.10的众数是________；中位数是________．16. 如图，四棱锥的底面为矩形，是四棱锥的高，与平面PAD 所成角为45º，是的中点，E 是BC上的动点．（1）证明：PE ⊥AF ；（2）若BC =2AB ，PE 与AB 所成角的余弦值为，求二面角D -PE -B 的余弦值．17. 已知函数，，且．（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．18. 某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查．瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力.某班学生共有40人，下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果．例如表中听觉记忆能力为中等，且视觉记忆能力偏高的学生为3人．听觉视觉视觉记忆能力偏低中等偏高超常听觉记忆能偏低0751中等183偏高201力超常0211由于部分数据丢失，只知道从这40位学生中随机抽取一个，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为．（1）试确定、的值；（2）从40人中任意抽取3人，求其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率；（3）从40人中任意抽取3人，设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为，求随机变量的数学期望．19. 已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若存在，使得对任意的，不等式（其中是自然对数的底数）都成立，求实数的取值范围．20. 设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0），命题q：实数x满足x2﹣5x+6＜0．（1）若a＝1，且p∧q为真命题，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．21. 已知函数.（1）若曲线在点处的切线方程为，求实数的值；（2）若函数存在两个零点，求实数的取值范围.。

2022年河南省五市高三第二次联考数学（理科）参考答案一、选择题题号123456789101112答案AADDCDACCBBD二、填空题13．21y x =+14．+15．33216．15,33⎛⎫ ⎪⎝⎭三、解答题17．【解析】（1）根据散点图判断，xd c y ⋅=适宜作为当天网络预约人数y 关于活动推出天数x 的回归方程模型...............................................................................................................2分（2）因为xd c y ⋅=，两边同时取常用对数，得：lg lg lg y c x d=+lg ,lg lg y v v c x d =∴=+设......................................................................3分7214, 1.54,140.i i x v x ====∑ ....................................................................4分7172221750.12741.547lg 0.25.14074287i i i ii x v xvd xx==--⨯⨯∴====-⨯-∑∑.....................6分(4,1.54)lg lg ,lg 0.54.v c x d c =+=将样本中心点代入得0.540.25.v x ∴=+.........................................................................................8分lg 0.540.25.y x ∴=+....................................................................................9分y ∴关于x 的回归方程为：0.540.250.540.250.251010(10) 3.47(10).xx x y +==⨯=⨯312, 3.47103470.x y ==⨯=把代入上式...............................................11分即活动第12天网络预约人次约为34700，少于景区上限3.5万人次，故不超限............................................................................................................12分18．【解析】(1)记n n n a a b +=+1当1>n 时，由3112=---++n n n n S S S S 得，3112=+++++n n n n a a a a ，即31=+nn b b.........................2分又因为11=a ，22=a ，73=a ，所以31=b ，92=b ，即312=b b .....................4分故数列}{n b 是等比数列，即数列}{1n n a a ++是等比数列..................................5分所以nn n a a 31=++.................................................................................................6分（2）由（1）知n n n n n n n a a )3(3)1()1()1(111--=⋅-=---+++...................7分记n nn a c )1(-=，故nn n c c )3(1--=-+...........................................................8分当2≥n 时，1])3(...)3()3[()()....()(12112211--++-+--=+-+-+-=----n n n n n n c c c c c c c c 即41)3(--=n n c ................................................................................................10分而111-=-=a c 满足上式,故对*N n ∈，均有41)3(--=n n c ........................11分从而1643)3(4])3(...)3()3[(41121n n T n nn ++--=--++-+-=+...............12分19．【证明】（1）连接PO .PD ABCD ⊥平面,⊂AC 平面ABCD ,AC PD ⊥∴，............................1分又BD AC ⊥D BD PD = ,⊥∴AC 平面PBD又PO ⊂平面PBD ,故AC PO ⊥...................................................................2分在直角PAD ∆中，cos ADPA α=，在直角DAO ∆中，cos AOAD β=，在直角PAO ∆中，cos AOPAγ=，....................................................................5分故γβαcos cos cos =⋅........................................................................................6分(2)由题可知，在直角梯形ABCD 中，6CD =，3AB =，且ABO CDO ∆∆～,从而12BO OD =,由平面几何知识易得AD =分不妨建立以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴的平面直角坐标系，如图所示.则(0,6,0),(0,0,6)A B CP 6),6),(0,6,6)PA PB PC =-=-=-.....................................8分设平面PAB 的法向量为1(,,)n x y z = ，则1100n PA n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即60360z y z ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩，取x =,可得1n =.................................................................................9分同理，设平面PBC 的法向量为2n ,可以得到22,2)n =............................10分于是121212cos ,n n n n n n ⋅<>==⋅.......................................11分故二面角C PB A --的余弦值为........................................................12分20.【解析】（1）由题意知：⎩⎨⎧==2bc cb 解得：2==c b ，2=a ，所以椭圆C 的方程为12422=+y x ....................................................................4分（2）若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为t x =（22<<-t ），此时)22,(2t t A -，)22,(2t t B --，由0=⋅MB MA 得，32=t 或2=t （舍），即32=t ...........................................5分若直线l 的斜率存在，不妨设直线l ：)(t x k y -=，),(11y x A ，),(22y x B 联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=124)(22y x t x k y ，得0)42(4)21(22222=-+-+t k ty k x k ........................7分所以，2221214k t k x x +=+，222212142kt k x x +-=....................................................8分由题意知：0=⋅MB MA ,即0),2(),2(2211=-⋅-y x y x ,...............................9分易得0)4())(2()1(22212212=++++-+t k x x t k x x k 0)21)(4()4)(2(42)1(22222222=++++--+k t k t k t k t k k ）（整理得，0)483(22=+-t t k ，因为k 不恒为0故解得32=t 或2=t （舍），................................................................................11分综上，32=t 时以AB 为直径的圆恒过点M ......................................................12分21．【解析】xe x a x a xf x++=ln )(222)1)(()1()1()('xx a e x x a x e x a e xe x a x f x x x x -+=-+-=--+=...................1分令0)('=x f ，则1=x 或0=+a e x ，..................................................................2分当1-≥a 时，)(x f 在)1,0(上单调递减，在),1(+∞上单调递增，即)(x f 在1=x 处取得极小值，即a e f x f +==)1()(极小值；.........................3分当e a -<时，由0=+a e x 得，)ln(a x -=（1)ln(>-a ），此时)(x f 在1=x 处取得极大值，在)ln(a x -=处取得极小值，即:a e f x f +==)1()(极大值，)ln(ln ))(ln()(a a a f x f -=-=极小值；..................................................................4分当1-<<-a e 时，1)ln(0<-<a ，可得()(1)f x f e a ==+极小值，)ln(ln ))(ln()(a a a f x f -=-=极大值......................................................................5分当e a -=时，0)('≥x f ,此时)(x f 在),0(+∞上单调递增，无极值..................6分综上所述：当1-≥a 时，()f x e a =+极小值,无极大值；当e a -<时，()f x e a =+极大值，()ln ln()f x a a =-极小值；当1-<<-a e 时，()f x e a =+极小值，()ln ln()f x a a =-极大值；当e a -=时，()f x 无极值......................................................................................7分（2）令)(1)(x h x k =21)('xx x g -=，则)(x g 在)1,0(上单调递减，在),1(+∞上单调递增，故1)1()(min ==g x g .................................................................................................8分x exx k -=1)('，则)(x h 在)1,0(上单调递增，在),1(+∞上单调递减，故e k x k 1)1()(max ==...................................................................................................9分当0≤m 时，01)(>≥x g ，0)(>x h ，0)()(>⋅x h x g ，显然满足题意.........10分当0>m 时，由m x h x g ≥)()(得)()(x mk x g ≥，故只须：)1()1(mk g ≥，即e m ≤，故当e m ≤<0时满足题意；.....................................................................................11分综上所述：e m ≤........................................................................................................12分22．【解析】（1）因为θρθρsin ,cos ==y x ，所以曲线1C 可化为01sin cos ＝－θρθρ+............................................................2分曲线2C 化为普通方程为4)222=+-y x （，即0422=+-y x x ，因为θρθρsin ,cos ==y x ，所以曲线2C 化为θρcos 4＝......................................................................................5分(2)设点A 、B 的极坐标分别为()αρ，1和()αρ，2因为点A 在曲线1C 上，所以01sin cos 11＝－αραρ+，则ααρsin cos 11+＝;同理，点B 在曲线2C 上，所以αρcos 42＝......................7分由极坐标的几何意义有，ααααρρtan 14sin cos cos 4|OB ||OA |21+=+=⋅=⋅..............8分因为2,4[ππα∈，所以),1[tan +∞∈α故2|OB ||OA |≤⋅，即|OB ||OA |⋅的最大值为2....................................10分23.【解析】(1)⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<----≤=1,312,122,3)(x x x x x f ，.......................................................................3分所以，不等式1)(>x f 的解集是)1,(--∞..........................................................5分(2)由（1），得3=m ，故32=+b a ,.................................................................6分因为1111112(2)()(12)33a b a b a b a b b a+=++=+++13(333+≥+=................................................................................8分当且仅当2a b b a =时，即332),(222a b =-=时取等号.故11a b +的最小值为3223+................................................................................10分。