数学九年级典中点

数学九年级典中点
（最新版）
目录
1.数学九年级典中点的概念和意义
2.数学九年级典中点的求解方法
3.数学九年级典中点的实际应用
正文
【1】数学九年级典中点的概念和意义
数学九年级典中点，是指在数学中，一个三角形或者多边形的内部，到各个顶点的距离之和最小的点。

在几何学中，典中点也称为重心。

它可以用于解决许多与几何形状相关的数学问题，如计算三角形的面积、求解几何图形的稳定性等。

【2】数学九年级典中点的求解方法
数学九年级典中点的求解方法有多种，常见的有以下两种：
（1）欧拉线求解法：对于三角形，可以通过求解欧拉线与三角形边的交点来找到典中点。

欧拉线是指连接三角形的一个顶点和与其不相邻的两个顶点中点的线段。

（2）平行四边形法则：对于多边形，可以将多边形分割成若干个三角形，分别求解每个三角形的典中点，然后找到这些典中点的共同点，即为多边形的典中点。

【3】数学九年级典中点的实际应用
数学九年级典中点在实际生活中有许多应用，例如：
（1）在测量领域，典中点可以用于计算三角形的面积，从而帮助测量土地的面积。

（2）在建筑领域，典中点可以用于求解建筑物的稳定性，确保建筑物的结构安全。

（3）在物理学中，典中点可以用于分析物体的转动惯量，帮助研究物体在旋转过程中的运动规律。

总之，数学九年级典中点作为几何学中的一个基本概念，对于解决许多实际问题具有重要的意义。

22.1.1 二次函数课后作业：方案（A）一、教材题目：P41复习巩固T1、T2、T81．一个矩形的长是宽的2倍，写出这个矩形的面积关于宽的函数解析式，2．某种商品的价格是2元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是x，经过两次降价后的价格y(单位：元)随每次降价的百分率x的变化而变化，y与x之间的关系可以用怎样的函数来表示？8．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 mm，BC＝24 mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2 mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4 mm/s的速度移动．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，那么△PBQ的面积S随出发时间t如何变化？写出S关于t的函数解析式及t的取值范围．（第8题）二、补充题目：来源于《典中点》6．下列说法中，正确的是( )A ．二次函数中两个变量的值是非零实数B ．二次函数中自变量的值可以是所有实数C ．形如y ＝ax 2＋bx ＋c 的函数叫二次函数D ．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中a ，b ，c 的值均不能为零 7．对于任意实数m ，下列函数一定是二次函数的是( ) A ．y ＝mx 2＋3x －1 B ．y ＝(m －1)x 2 C ．y ＝(m －1)2x 2 D ．y ＝(－m 2－1)x 210．(2015·温州)如图，∠AOB ＝90°，在∠AOB 的平分线ON 上依次取点C ，F ，M ，过点C 作DE ⊥OC ，分别交OA ，OB 于点D ，E ，以FM 为对角线作菱形FGMH ，已知∠DFE ＝∠GFH ＝120°，FG ＝FE.设OC ＝x ，图中阴影部分面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式是( )(第10题)A ．y ＝32x 2B ．y ＝3x 2C ．y ＝23x 2D ．y ＝33x 211．下列函数关系中，不是二次函数的是( ) A ．边长为x 的正方形的面积y 与边长x 的函数关系B ．一个直角三角形两条直角边长的和是6，则这个直角三角形的面积y 与一条直角边长x的函数关系C．在边长为5的正方形内挖去一个边长为t的小正方形，剩余面积S与t的函数关系D．多边形的内角和m与边数n的函数关系13．已知函数y＝(m2－m)x2＋(m－1)x＋m＋1.(1)若这个函数是关于x的一次函数，求m的值；(2)若这个函数是关于x的二次函数，则m的值应是多少？14．一直角三角形两直角边长之和为15，其中一条直角边长为x，求它的面积S关于x 的函数关系式，并写出自变量的取值范围．17．某广告公司设计一幅周长为12 m的矩形广告牌，设计费为每平方米1 000元，设矩形一边的长为x m，面积为S m2.(1)求S与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围；(2)若要求设计的广告牌边长为整数，请你填写下表，并探究当x取何值时，广告牌的设计费最多．18．如图，正方形ABCD的边长为4 cm，动点P，Q同时从点A出发，以1 cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动．设运动时间为x s，由点P，B，D，Q 确定的图形的面积为y cm2，求y与x(0≤x≤8)之间的函数关系式．(第18题)答案一、教材1．解：设矩形的面积为S ，宽为x ，矩形的面积关于宽的函数解析式为S ＝2x·x ，即S ＝2x 2. 2．解：y ＝2(1－x)2.8．解：动点P 从点A 到点B 所需时间为：122＝6(s )，动点Q 从点B 到点C 所需时间为：244＝6(s )，所以0＜t ＜6.因为AP ＝2t ，所以BP ＝12－2t.又因为BQ ＝4t ，所以S ＝12·BP·BQ ＝12×(12－2t)·4t ＝－4t 2＋24t(0＜t ＜6)． 点拨：本题注意时间t 的取值范围． 二、典中点6.B7.D 10.B 11.D13．解：(1)若y ＝(m 2－m)x 2＋(m －1)x ＋m ＋1是关于x 的一次函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m ＝0，m －1≠0，解得m ＝0. (2)若y ＝(m 2－m)x 2＋(m －1)x ＋m ＋1是关于x 的二次函数，则m 2－m≠0，解得m≠0且m≠1.∴m 可以是除了1和0的所有实数． 14．解：S ＝12x(15－x)＝－12x 2＋152x.自变量的取值范围为0＜x ＜15.点拨：最终的结果要化成二次函数的一般形式，且自变量的取值要符合题意． 17．解：(1)S ＝x ⎝⎛⎭⎫122－x ＝－x 2＋6x(0＜x ＜6)． (2)18．解：由题意可知，当0≤x≤4时，AP ＝AQ ＝x cm ， y ＝4×4－12×4×4－12x 2，即y ＝8－12x 2；当4＜x≤8时，CQ ＝CP ＝(8－x)cm ，y ＝4×4－12×4×4－12(8－x)2，即y ＝－12x 2＋8x －24.综上可知，所求的函数关系式为y ＝2218(04),21824(48).2x x x x x ⎧-≤≤⎪⎪⎨⎪-+-<≤⎪⎩。

解码专训一：二次函数与几何的应用名师点金：二次函数与几何的应用非常广泛，解决这类问题的关键是要学会数形结合，一方面，抓住几何图形的特征，灵活运用点的坐标与线段长度之间的相互转化，从而解决与二次函数有关的问题；另一方面，已知二次函数解析式可求出特殊点的坐标，进而求出线段长度，从而解决有关几何问题．二次函数与三角形的综合1．如图，在直角坐标系xOy 中，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，A(1，0)，B(0，2)，抛物线y ＝12x 2＋bx －2过点C.求抛物线的解析式．(第1题)二次函数与平行四边形的综合2．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，正方形OABC 的边长为2 cm ，点A ，C 分别在y 轴的负半轴和x 轴的正半轴上，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A ，B ，且12a ＋5c ＝0.(1)求抛物线的解析式．(2)如果点P 由点A 开始沿AB 边以2 cm /s 的速度向点B 移动，同时点Q 由点B 开始沿BC 边以1 cm /s 的速度向点C 移动．一点到达终点后另一点停止移动．①移动开始后第t s 时，设S ＝PQ 2(cm 2)，试写出S 与t 之间的函数解析式，并写出t 的取值范围．②当S 取得最小值时，在抛物线上是否存在点R ，使得以P ，B ，Q ，R 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R 点的坐标；如果不存在，请说明理由．(第2题)二次函数与矩形、菱形、正方形的综合(第3题)3．二次函数y ＝23x 2的图象如图所示，点A 0位于坐标原点，点A 1，A 2，A 3，…，A n 在y 轴的正半轴上，点B 1，B 2，B 3，…，B n ，在二次函数位于第一象限的图象上，点C 1，C 2，C 3，…，C n 在二次函数位于第二象限的图象上．四边形A 0B 1A 1C 1，四边形A 1B 2A 2C 2，四边形A 2B 3A 3C 3，…，四边形A n －1B n A n C n 都是菱形，∠A 0B 1A 1＝∠A 1B 2A 2＝∠A 2B 3A 3＝…＝∠A n －1B n A n ＝60°，则菱形A n －1B n A n C n 的周长为________．4．(中考·孝感)如图所示，已知正方形ABCD 的边长为1，点E 在边BC 上，若∠AEF ＝90°，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F.(1)图①中，若点E 是边BC 的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE ＝EF ，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等(不要求证明)．(2)如图②，若点E 在线段BC 上滑动(不与点B ，C 重合)．①AE ＝EF 是否总成立？请给出证明．②在如图②所示的平面直角坐标系中，当点E 滑动到某处时，点F 恰好落在抛物线y ＝－x 2＋x ＋1上，求此时点F 的坐标．(第4题)解码专训一(第1题)1．解：如图，过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，则∠CAD ＋∠ACD ＝90°，又∠BAC ＝90°，∴∠OAB ＋∠CAD ＝90°，∴∠OAB ＝∠ACD.又∵AB ＝AC ，∠AOB ＝∠CDA ＝90°，∴△AOB ≌△CDA(AAS )，∴AO ＝CD ＝1，BO ＝AD ＝2，∴OD ＝OA ＋AD ＝3，∴C(3，1)．∵点C(3，1)在抛物线y ＝12x 2＋bx －2上，∴1＝12×32＋3b －2，解得b ＝－12.∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－12x －2. 2．解：(1)根据题意知：A(0，－2)，B(2，－2)．∵A 点在抛物线上，∴c ＝－2.∵12a ＋5c ＝0，∴a ＝56. 由AB ＝2知抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴－b 2a＝1. ∴b ＝－53. ∴抛物线的解析式为y ＝56x 2－53x －2. (2)①由题意知：PB ＝(2－2t) cm ，BQ ＝t cm ，∴S ＝PQ 2＝PB 2＋BQ 2＝(2－2t)2＋t 2，即S ＝5t 2－8t ＋4(0≤t≤1)．②假设存在点R ，可构成以P ，B ，R ，Q 为顶点的平行四边形．∵S ＝5t 2－8t ＋4＝5⎝⎛⎭⎫t －452＋45(0≤t≤1)， ∴当t ＝45时，S 取得最小值45， 这时PB ＝0.4 cm ，BQ ＝0.8 cm ，易知P(1.6，－2)，Q(2，－1.2)．分情况讨论：(ⅰ)假设R 在BQ 的右边，这时QR 綊PB ，则点R 的横坐标为2.4，纵坐标为－1.2，即R(2.4，－1.2)．将x ＝2.4代入y ＝56x 2－53x －2，得y ＝－1.2， ∴点R 在抛物线上，即这时存在R(2.4，－1.2)满足题意．(ⅱ)假设R在BQ的左边，PB的上方，这时PR綊QB，则点R的横坐标为1.6，纵坐标为－1.2，即R(1.6，－1.2)．易验证点R不在抛物线y＝56x2－53x－2上．(ⅲ)假设R在PB的下方，这时PR綊QB，则R(1.6，－2.8)．易验证点R不在抛物线y＝56x2－53x－2上．综上所述，存在点R(2.4，－1.2)满足题意．3．4n4．解：(1)如图①，取AB的中点G，连接EG.△AGE与△ECF全等．(第4题)(2)①若点E在线段BC上滑动，AE＝EF总成立．证明：如图②，在AB上截取AM＝EC.∵AB＝BC，∴BM＝BE，∴△MBE是等腰直角三角形，∴∠AME＝180°－45°＝135°.又∵CF平分正方形的外角，∴∠ECF＝135°，∴∠AME＝∠ECF.而∠BAE＋∠AEB＝∠CEF＋∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△AME≌△ECF，∴AE＝EF.②如图②，过点F作FH⊥x轴于点H.由①知，FH＝BE＝CH.设BH＝a，则FH＝a－1，∴点F的坐标为(a，a－1)．∵点F恰好落在抛物线y＝－x2＋x＋1上，∴a－1＝－a2＋a＋1，∴a2＝2，a＝2或－2 (负值不合题意，舍去)，∴a－1＝2－1.∴点F的坐标为(2，2－1)．。

专训二：利用特殊四边形的性质巧解动点问题名师点金：用特殊四边形的性质解动点问题，一般将动点看成特殊点解决问题，再运用从特殊到一般的思想．．．．．．．．．，将特殊点转化为一般点(动点)来解答．平行四边形中的动点问题1．如图，在▱ABCD中，E，F两点在对角线BD上运动，且保持BE＝DF，连接AE，CF.请你猜想AE与CF有怎样的数量关系和位置关系，并对你的猜想加以证明．(第1题)矩形中的动点问题2．已知，在矩形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝8 cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为O.(1)如图①，连接AF，CE.试说明四边形AFCE为菱形，并求AF的长；(2)如图②，动点P，Q分别从A，C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P 的速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t s，当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．(第2题)菱形中的动点问题3．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，动点E在边BC上，动点F在边CD上．(1)如图①，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；(2)如图②，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．(第3题)正方形中的动点问题4．如图，正方形ABCD的边长为8 cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH.(1)求证：四边形EFGH是正方形；(2)判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由．(第4题)专训二1．解：AE＝CF，AE∥CF.证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠ABE＝∠CDF.在△ABE和△CDF中，∵AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，BE＝DF，∴△ABE≌△CDF.∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD.∵∠AEB＋∠AED＝∠CFD＋∠CFB＝180°，∴∠AED＝∠CFB.∴AE∥CF.2．解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴∠CAD＝∠ACB，∠AEF＝∠CFE.∵EF垂直平分AC，垂足为O，∴OA＝OC.∴△AOE≌△COF.∴OE＝OF.∴四边形AFCE为平行四边形．又∵EF⊥AC，∴四边形AFCE为菱形．设AF＝CF＝x cm，则BF＝(8－x)cm，在Rt△ABF中，AB＝4 cm，由勾股定理得42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5，∴AF＝5 cm.(第2题)(2)显然当P点在AF上，Q点在CD上时，A，C，P，Q四点不可能构成平行四边形；同理P 点在AB 上时，Q 点在DE 或CE 上，也不可能构成平行四边形．因此只有当P 点在BF 上，Q 点在ED 上时，才能构成平行四边形，如图，连接AP ，CQ ，则以A ，C ，P ，Q 四点为顶点的四边形是平行四边形，此时PC ＝QA.∵点P 的速度为5 cm/s ，点Q 的速度为4 cm/s ，运动时间为t s ，∴PC ＝5t cm ，QA ＝(12－4t)cm.∴5t ＝12－4t ，解得t ＝43. ∴以A ，C ，P ，Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，t ＝43. 3．证明：(1)连接AC.∵在菱形ABCD 中，∠B ＝60°，∴AB ＝BC ＝CD ，∠BCD ＝180°－∠B ＝120°.∴△ABC 是等边三角形．又∵E 是BC 的中点，∴AE ⊥BC.∵∠AEF ＝60°，∴∠FEC ＝90°－∠AEF ＝30°.∴∠CFE ＝180°－∠FEC －∠BCD ＝180°－30°－120°＝30°.∴∠FEC ＝∠CFE.∴EC ＝CF.∴BE ＝DF.(2)连接AC.由(1)知△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ，∠ACB ＝∠BAC ＝∠EAF ＝60°.∴∠BAE ＝∠CAF.∵∠BCD ＝120°，∠ACB ＝60°，∴∠ACF ＝60°＝∠B.∴△ABE ≌△ACF.∴AE ＝AF.∴△AEF 是等边三角形．(第4题)4．(1)证明：如图，∵四边形ABCD 为正方形，∴∠A ＝∠ABC ＝∠C ＝∠ADC ＝90°，AB ＝BC ＝CD ＝AD.∵AE ＝BF ＝CG ＝DH ，∴BE ＝CF ＝DG ＝AH.∴△AEH ≌△BFE ≌△CGF ≌△DHG .∴EH ＝EF ＝FG ＝GH ，∠1＝∠2.∴四边形EFGH 为菱形．∵∠1＋∠3＝90°，∠1＝∠2，∴∠2＋∠3＝90°.∴∠HEF＝90°.∵四边形EFGH为菱形，∴四边形EFGH为正方形．(2)解：直线EG经过一个定点．理由如下：如图，连接BD，DE，BG，EG.EG与BD 交于O点．∵BE瘙綊DG，∴四边形BGDE为平行四边形．∴BD，EG互相平分．∴BO＝OD. ∴点O为正方形的中心．∴直线EG必过正方形的中心．。

24.2.4 直线和圆的位置关系——切线长课后作业：方案（A）一、教材题目：P100练习T2 P101 T6 P102 T11 P103 T141．△ABC的内切圆半径为r，△ABC的周长为l，求△ABC的面积.(提示：设△ABC的内心为O，连接OA,OB,OC)2.如图，P A，PB是⊙O的切线，A,B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=25°.求∠P的度数.3.如图，AB，BC,CD分别与⊙O相切于E,F,G三点，且AB∥CD，BO=6cm,CO=8cm. 求BC的长.4.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB,BC,CA的长分别为c,a,b,求△ABC的内切圆半径r.二、补充题目：部分题目来源于《典中点》5．如图，P A 切⊙O 于点A ，PB 切⊙O 于点B ，连接OP ，AB .下列结论不一定 正确的是( )A ．P A ＝PB B ．OP 垂直平分ABC ．∠OP A ＝∠OPBD ．P A ＝AB6．(2015·南充)如图，P A 和PB 是⊙O 的切线，A 和B 是切点，AC 是⊙O 的直 径，已知∠P ＝40°，则∠ACB 的大小是( )A ．60°B ．65°C ．70°D ．75°7．(2015·南京)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝5，AD ，AB ，BC 分别 与⊙O 相切于E ，F ，G 三点，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点M ，切点为N ， 则DM 的长为( )A.133B.92C.4133D ．2 58．内心和外心重合的三角形是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形9．如图，O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC，BC分别交于点E，F，则()A．EF>AE＋BF B．EF<AE＋BFC．EF＝AE＋BF D．EF≤AE＋BF10．(2015·滨州)若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为()A.2B．22－2C．2－2 D.2－111．既有外接圆，又有内切圆的平行四边形是()A．矩形B．菱形C．正方形D．矩形或菱形12．如图，P A，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，BC为⊙O的直径，连接AB，AC，OP.求证：(1)∠APB＝2∠ABC；(2)AC∥OP.13．(2015·绵阳)如图，O是△ABC的内心，BO的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接DC，DA，OA，OC，四边形OADC为平行四边形．(1)求证：△BOC≌△CDA；(3)若AB＝2，求阴影部分的面积．答案一、教材1．解：如图所示，设⊙O 与△ABC 各边切于点D ，E ，F ，连接OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF ，则OD ⊥AB ，OE ⊥BC ，OF ⊥AC ， OD ＝OE ＝OF ＝r .所以S △AOB ＝12AB ·OD ，S △BOC ＝12BC ·OE ，S △AOC ＝12AC ·OF ，所以S △ABC ＝S△AOB ＋S △BOC ＋S △AOC ＝12AB ·OD ＋12BC ·OE ＋12AC ·OF ＝12r ·AB ＋12r ·BC ＋12r ·AC ＝12r (AB ＋BC ＋AC )＝12rl.点拨：本题的结论：S ＝12rl (S 为三角形的面积，r 为三角形的内切圆半径，l为三角形的周长)可以作为一个公式记住． 2．解：⎭⎪⎬⎪⎫P A 切⊙O 于点A ⇒∠OAP ＝90°∠BAC ＝25°⇒⎭⎪⎬⎪⎫∠BAP ＝65°⎭⎪⎬⎪⎫P A 切⊙O 于点A PB 切⊙O 于点B ⇒P A ＝PB ⇒∠ABP ＝∠BAP⇒∠P ＝180°－2×65°＝50°. 点拨：根据切线长定理知P A ＝PB .3．解：AB ，BC ，CD 分别切⊙O 于E ，F ，G ⇒⎭⎪⎬⎪⎫⎩⎨⎧BO 平分∠ABC ⇒∠CBO ＝12∠ABCCO 平分∠DCB ⇒∠BCO ＝12∠DCB AB ∥CD ⇒∠ABC ＋∠DCB ＝180° ⇒ ∠BCO ＋∠CBO ＝90°⇒⎭⎪⎬⎪⎫∠BOC ＝180°－90°＝90° BO ＝6 cm ，CO ＝8 cm⇒BC ＝BO 2＋CO 2＝62＋82＝10(cm)．点拨：有关圆的题目应全面分析图形中的条件，综合运用相关的定理进行计 算或证明．4．解：如图所示，设D ，E ，F 为切点，连接OD ，OE ，OF ，则OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB .⎭⎪⎬⎪⎫OD ⊥BCOE ⊥AC ∠C ＝90°OE ＝OD ⇒四边形ODCE 是正方形⇒⎭⎪⎬⎪⎫CE ＝CD ＝OE ＝OD ＝r.⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别是D ，E ，F ⇒⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝AE BD ＝BF CE ＝CDBC ＝a ，CA ＝b⇒⎭⎪⎬⎪⎫⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝AE ＝b －r BF ＝BD ＝a －r AB ＝c.⇒(b －r )＋(a －r )＝c ⇒r ＝a ＋b －c2.点拨：直角三角形的内切圆半径r ＝a ＋b －c 2，应熟练掌握．二、典中点5.D6.C7．A 点拨：设MN ＝x ，DN ＝y ，根据切线长定理可得GM ＝MN ＝x ，ED ＝DN＝y ，AE ＝AF ＝5－y ，FB ＝BG ＝y －1，CM ＝6－(x ＋y )，在Rt △DMC 中， DM 2＝CD 2＋CM 2，∴(x ＋y )2＝[6－(x ＋y )]2＋42，解得x ＋y ＝133，即DM＝133.故选A.8.D 9.C 10.B 11.C12．证明：(1)∵P A ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，∴∠APO ＝∠BPO ＝12∠APB ，P A ＝PB ，∴PO ⊥AB ，∴∠ABP ＋∠BPO ＝90°. ∵PB 是⊙O 的切线，∴OB ⊥PB . ∴∠ABP ＋∠ABC ＝90°.∴∠ABC ＝∠BPO ＝12∠APB ，即∠APB ＝2∠ABC .(2)∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BAC ＝90°，即AC ⊥AB .由(1)知PO ⊥AB ， ∴AC ∥OP .13．(1)证明：∵O 是△ABC 的内心，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴AD ＝CD . ∵四边形OADC 为平行四边形， ∴四边形OADC 为菱形，∴BD 垂直平分AC ，∠4＝∠5＝∠6.又∵∠1＝∠5，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝∠5＝∠6， ∴OB ＝OC ＝OA .∴点O 为△ABC 的外心，∴△ABC 为等边三角形， ∴BC ＝AC .在△BOC 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝AC ，∠3＝∠5，OC ＝AD ，∴△BOC ≌△CDA .(2)解：过点O 作OH ⊥AB 于点H ，如图， ∵点O 为△ABC 的外心 ∴∠AOB ＝120°∴∠BOH ＝60°，∠1＝30°.∵OH ⊥AB ， ∴BH ＝AH ＝12AB ＝1，∴OH ＝33，OB ＝233. ∵扇形AOB 的圆心角为120°，∴S 扇形AOB ＝13S 圆＝13π⎝⎛⎭⎫2332∴S 扇形AOB ＝49π.∴S 阴影＝S 扇形AOB －S △AOB ＝49π－12×2×33＝4π－339.。

专训二：一元二次方程的解法归类名师点金：解一元二次方程时，主要考虑降次，其解法有直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法等．在详细的解题过程中，联合方程的特色选择适合的方法，常常会达到事半功倍的成效．限制方法解一元二次方程方法 1形如(x＋m)2＝n(n≥0)的一元二次方程用直接开平方法求解1．方程4x2－25＝0的解为()25A．x＝5B． x＝252C． x＝±D． x＝±252．用直接开平方法解以下一元二次方程，此中无解的方程为()A．x2－ 5＝ 5B．－ 3x2＝0C． x2＋ 4＝ 0 D ． (x＋1) 2＝ 0方法 2当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解3．用配方法解方程x2＋ 3＝ 4x，配方后的方程变成()A．(x－ 2)2＝7B． (x ＋2)2＝ 1C． (x－ 2)2＝ 1D． (x＋ 2)2＝ 24．解方程：x2＋4x－2＝0.22x5．已知x－10x＋y－16y＋89＝0，求的值．方法 3能化成形如(x＋a)(x＋b)＝0的一元二次方程用因式分解法求解6．(改编·宁夏)一元二次方程x(x － 2)＝ 2－ x 的根是 ()A．x＝－ 1B． x＝ 0C． x1＝ 1， x2＝ 2D ．x1＝－ 1， x2＝27．解以下一元二次方程：(1)x2－ 2x＝ 0；(2)16x 2－ 9＝ 0；(3)4x 2＝ 4x－ 1.方法 4假如一个一元二次方程易于化为它的一般式，则用公式法求解8．用公式法解一元二次方程x2－14＝ 2x，方程的解应是()A．x＝－2± 5B． x＝2± 5 22C． x＝1± 5D ． x＝1± 3 229．用公式法解以下方程．(1)3(x 2＋ 1)－ 7x＝ 0；(2)4x 2－3x－ 5＝x－ 2.选择适合的方法解一元二次方程10．方程 4x 2－ 49＝0 的解为()27A ．x ＝ 7B ． x ＝ 2C ． x 1＝ 7， x 2＝－ 7D ． x 1＝ 2， x2＝－ 22 2 7711．一元二次方程 x 2－ 9＝ 3－ x 的根是 ()A ．x ＝ 3B ． x ＝－ 4C ． x 1＝ 3， x 2＝－ 4D ． x 1＝ 3， x 2＝4 12．方程 (x ＋ 1)(x － 3)＝ 5 的解是 ()A ．x 1＝ 1， x 2＝－ 3B ． x 1＝4， x 2＝－ 2C ． x 1＝－ 1， x 2＝ 3D ． x 1＝－ 4，x 2＝ 2 13．解以下方程．(1)3y 2－ 3y －6＝ 0； (2)2x 2－ 3x ＋1＝ 0.用特别方法解一元二次方程方法 1结构法14．解方程： 6x 2＋19x ＋ 10＝0.15．若 m ， n ， p 知足 m － n ＝ 8， mn ＋ p 2＋ 16＝ 0，求 m ＋ n ＋ p 的值．方法 2换元法a．整体换元16．已知x2－2xy＋y2＋x－y－6＝0，则x－y的值是() A．－2或3B．2 或－ 3C．－1或6D．1或－ 617．解方程：(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)＝48.b．降次换元18．解方程：6x4－35x3＋62x2－35x＋6＝0.c．倒数换元19．解方程x－2－3x＝2. x x－ 2方法 3特别值法20．解方程：(x－2 013)(x－2 014)＝2 015×2016.专训二1．C 2.C 3.C4．解：x2＋ 4x－2＝ 0，x2＋ 4x＝2，(x＋ 2)2＝6，x＋2＝± 6，x1＝－ 2＋6， x2＝－ 2－ 6.5．解：x2－10x ＋ y2－ 16y＋ 89＝ 0，(x2－ 10x＋ 25)＋ (y2－ 16y ＋ 64)＝0，(x－ 5)2＋ (y－ 8)2＝0，x 5∴ x ＝5， y ＝8，∴ y ＝ 8.6． D7．解： (1)x 2－2x ＝ 0， x(x －2) ＝0，x 1＝ 0，x 2＝2.20，x 1 ＝－3 3(2)16x － 9＝ 0， (4x ＋ 3)(4x － 3)＝ 4， x 2＝ .4(3)4x2＝ 4x － 1， 4x 2－ 4x ＋ 1＝ 0， 2＝ 0， x 1＝ x 2 1(2x － 1) ＝ .28． B9．解： (1)3(x 2＋ 1)－ 7x ＝ 0， 3x 2－7x ＋ 3＝ 0，∴ b 2－ 4ac ＝ (－7)2－ 4×3×3＝13.∴ x ＝7± 13＝7± 13.2×3 6 ∴ x 1＝7＋ 13， x 2＝ 7－ 13 .6 6 (2)4x 2－ 3x － 5＝ x － 2，4x 2－ 4x － 3＝ 0，224± 64∴ b － 4ac ＝ (－4) － 4×4×(－ 3)＝ 64.∴ x ＝ 2×4.3 1∴ x 1＝ ， x 2＝－ .2 2 10． C 11.C 12.B13．解： (1)3y2221 9 12 91 3 － 3y － 6＝0， y － y － 2＝ 0， y－ y ＋－ ＝ 0， y －2＝， y － ＝ ± ，44422∴ y 1＝ 2， y 2＝－ 1.2223±1(2)2x － 3x ＋ 1＝ 0，∴ b － 4ac ＝ (－ 3) － 4×2×1＝1.∴ x ＝.1∴ x 1＝ 1， x 2＝ 2.14．解：将原方程两边同乘 6，得 (6x) 2＋ 19×(6x) ＋ 60＝0.解得 6x ＝－ 15 或 6x ＝－ 4.∴ x 1＝－ 5， x 2＝－ 2.2 315．解：由于 m － n ＝ 8，因此 m ＝ n ＋ 8.将 m ＝ n ＋ 8 代入 mn ＋ p 2＋ 16＝ 0 中，得 n(n ＋ 8)＋ p 2＋ 16＝ 0，因此 n 2 ＋8n ＋ 16＋p 2＝ 0，即 (n ＋ 4)2＋ p 2＝ 0.又由于 (n ＋ 4)2 ≥0， p 2≥0，因此n ＋ 4＝0，p ＝ 0，解得n ＝－ 4， p ＝ 0.因此 m ＝n ＋ 8＝ 4，因此 m ＋n ＋ p ＝ 4＋( －4)＋ 0＝ 0.16． B17．解：原方程即 [(x －1)(x －4)][(x － 2)(x － 3)] ＝ 48，即 (x 2－ 5x ＋4)(x 2－ 5x ＋ 6)＝ 48.设 y ＝ x 2－ 5x ＋ 5，则原方程变成 (y － 1)(y ＋ 1)＝ 48.解得 y 1＝ 7， y 2＝－ 7.当 x 2－ 5x ＋ 5＝ 7 时，解得 x 1＝5＋ 33， x 2＝ 5－ 33；22当 x 2－ 5x ＋ 5＝－ 7 时， ＝ (－ 5)2－ 4×1×12＝－ 23<0，无实数根． ∴原方程的根为 x 1＝5＋33， x 2＝5－ 33 .2 218．解：经考证， x ＝ 0 不是方程的根， 原方程两边同除以x 2，得 6x 2－ 35x ＋ 62－35＋ 62x x＝ 0，211即 6 x＋x 2－ 35 x ＋x ＋ 62＝0.设 y ＝ x ＋ 1，则 x 2＋ 12＝ y 2－ 2，x x 原方程可变成6(y 2－ 2)－ 35y ＋ 62＝ 0.5 10解得 y 1＝ 2， y 2＝3 .当 x ＋1x ＝ 52时，解得 x ＝2 或 x ＝12；当 x ＋1＝ 10时，解得x ＝3 或 x ＝1.x 33经查验，均切合题意．∴原方程的解为 x 1＝ 2， x 2＝ 1， x 3＝ 3， x 4＝1.23 19．解：设 x － 2＝ y ，则原方程化为 y － 3＝ 2，整理，得 y 2－ 2y －3＝ 0，∴ y 1 ＝3， y 2＝x y－ 1.当 y ＝ 3 时，x － 2＝3，∴ x ＝－ 1.当 y ＝－ 1 时，x － 2＝－ 1，∴ x ＝ 1.经查验， x ＝ ±1 都是xx原方程的根，∴原方程的根为x1＝ 1， x2＝－ 1.x－ 2 013＝ 2 016，20．解：方程组的解必定是原方程的解，解得x＝4 029.x－ 2 014＝ 2 015x－ 2 013＝－ 2 015，方程组的解也必定是原方程的解，解得x＝－ 2.x－ 2 014＝－ 2 016∵原方程最多有两个实数解，∴原方程的解为x1＝ 4 029， x2＝－ 2.点拨：解此题也可采纳换元法．设x－ 2 014＝ t，则 x－ 2 013＝ t＋ 1，原方程可化为t(t ＋ 1)＝ 2 015 ×2 016，先求出t，从而求出x.。

数学九年级典中点典中点是数学中一个重要的概念，它在几何图形和向量运算中都有广泛的应用。

在初中数学九年级的学习中，我们将会深入探讨典中点的概念和性质。

我们来定义什么是典中点。

在平面几何中，给定一条线段AB，如果存在一点C，使得AC和CB的长度相等，则我们称C为线段AB的典中点。

即AC = CB。

在直线上，如果有两个点M、N，使得AM = MN = NB，我们称M为点N的典中点。

典中点的存在和唯一性是显而易见的。

典中点不仅存在于线段和直线上，还存在于更复杂的几何图形中。

例如，三角形的每条边上都存在一个典中点，我们可以称之为三角形的边上的典中点。

而且，任意两条对边的典中点连成的直线也将经过三角形的重心。

这是因为典中点恰好是所有点到对边距离和最小的点。

典中点还有一些有趣的性质。

首先，如果两个点是另一条线段的典中点，那么这两个点之间的距离是这条线段的两倍。

例如，如果D是线段AB的典中点，那么AD = BD = AB/2。

利用这个性质，我们可以简单快速地求得线段的长度。

其次，如果有n个点构成一个几何图形的典中点，那么它们的几何中心也是典中点。

例如，一个四边形的四个顶点的典中点连成的直线将经过四边形的重心。

最后，典中点的坐标可以通过坐标平移得到。

设A(x1, y1)和B(x2, y2)是一条线段的两个端点，则线段的典中点C的坐标可以通过下面的公式得到：C((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)。

典中点的概念也在向量运算中有应用。

在向量中，典中点可以用来表示平移变换的起始点和终点之间的位置关系。

例如，如果一个向量的起始点是A，终点是B，则这个向量的典中点是C，C是A和B连线上的一点。

而且，起始点A、典中点C和终点B构成一个向量的平移变换。

这个向量的方向和大小可以通过起始点A和典中点C之间的向量得到。

在九年级的数学学习中，我们需要熟练掌握典中点的概念和性质。

它不仅仅是一种几何图形的构造方法，更是一种思维方式和解题技巧的体现。