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宝山2018届高三二模数学卷一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1. 设全集R U =，若集合{}2,1,0=A ，{}21|<<-=x x B ，()B C A U ⋂= .2. 设抛物线的焦点坐标为()01，，则此抛物线的标准方程为 . 3. 某次体检，8位同学的身高（单位：米）分别为68.1，71.1，73.1，63.1，81.1，74.1，66.1，78.1，则这组数据的中位数是 (米）.4. 函数()x x x f 4cos 4sin 2=的最小正周期为 .5. 已知球的俯视图面积为π，则该球的表面积为 .6. 若线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛210221c c 的解为⎩⎨⎧==31y x ，则=+21c c . 7. 在报名的8名男生和5名女生中，选取6人参加志愿者活动，要求男、女都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）8. 设无穷数列{}n a 的公比为q ，则2a ()n n a a a +⋅⋅⋅++=∞→54lim ，则=q .9. 若B A 、满足()()()525421===AB P B P A P ，，，则()()P AB P AB -= . 10. 设奇函数()f x 定义为R ，且当0x >时，2()1m f x x x=+-（这里m 为正常数）． 若()2f x m ≤-对一切0x ≤成立，则m 的取值范围是 .11. 如图，已知O 为矩形4321P P P P 内的一点，满足7,543131===P P OP OP ，，则24OP OP ⋅u u u r u u u r 的值为 .12. 将实数z y x 、、中的最小值记为{}z y x ,,m in ，在锐角︒=∆60POQ ，1=PQ ，点T 在POQ ∆的边上或内部运动，且=TO {}TQ TO TP ,,m in ，由T 所组成的图形为M .设M POQ 、∆的面积为M POQ S S 、∆，若()2:1-=∆M POQ M S S S ：，则=M S . 二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上将代表答案的小方格涂黑，选对得 5分，否则一律得零分.13. “1sin 2x =”是“6x π=”的 （ ） )(A 充分不必要条件． )(B 必要不充分条件． )(C 充要条件． )(D 既不充分也不必要条件．14.在62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项等于 （ ）)(A 160- )(B 160 )(C 150- )(D 15015.若函数()()f x x R ∈满足()1f x -+、()1f x +均为奇函数，则下列四个结论正确的是（ ）)(A ()f x -为奇函数 )(B ()f x -为偶函数 )(C ()3f x +为奇函数 )(D ()3f x +为偶函数16. 对于数列12,,,x x L 若使得0n m x ->对一切n N *∈成立的m 的最小值存在，则称该最小值为此数列的“准最大项”。
高三数学（文科）第1页共4页松江区2018学年度第二学期月考试卷高三数学（文科）（满分150分，完卷时间120分钟）一、填空题(每小题4分,满分56分) 1．若复数z 满足i i z 2)1(=+，则z = ▲．2．已知向量)2,3(-=a ，)4,(-=k b ，若b a //，则k = ▲．3．若函数()y g x =的图像与2()log (2)f x x =+的图像关于直线y x =对称，则()g x = ▲．4．函数32cos 2sin )(x xx f =的最大值为▲．5．一组数据中每个数据都减去20构成一组新数据，若这组新数据的平均数是2.5，方差是12.1，则原来一组数的方差为▲．6．不等式01>-x x 的解集为▲．7．已知锐角ABC D 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若22cos cos 20A A +=，13a =，3c =,则b =▲．8．按右边的程序框图运行后．按右边的程序框图运行后,,输出S 的值为▲．9．记n a 为1(1)nx ++的展开式中含1n x -项的系数，则数列1{}na 的各项和为▲．10．满足条件ïïîïïíì³³£+£-00212y x y x y x 的目标函数3z x y =+的最大值是▲．11．如右图，底面直径为20的圆柱被一个平面所截，若截得椭圆的长轴长为4040，则此椭圆的焦距为，则此椭圆的焦距为▲．12．动点P 在平面区域|)||(|2:221y x y x C +£+内，动点Q 在曲线i>5 否开始S =0,i =1T =3i －1 S=S+Ti = i +1 是输出S 结束222:(4)(4)2C x y -+-= 上，则||PQ 的最小值为的最小值为 ▲ ． 13．用)(A C 表示非空集合A 中元素的个数，定义îíì--=*),()(),()(A C B C B C A C B A )()()()(B C A C B C A C <³若1{=A ，}2，)({2ax x x B +=}0)2(2=++ax x ，且1=*B A ，设实数a 的所有可能取值构成集合S ，则)(S C = ▲ ．14．三位同学合作学习，对问题“已知不等式222xy ax y ³+对于[][]1,2,2,3x y ÎÎ恒成立恒成立,,求a的取值范围”提出了各自的解题思路的取值范围”提出了各自的解题思路. . 甲说：“可视x 为变量，y 为常量来分析”为常量来分析”. . 乙说：“寻找x 与y 的关系，再作分析”的关系，再作分析”. .丙说：“把字母a 单独放在一边，再作分析”单独放在一边，再作分析”. .参考上述思路，或自已的其它解法，可求出实数a 的取值范围是的取值范围是 ▲ ．二、选择题 (每小题5分,共20分)15. 已知a 、b 是不同的两个平面，是不同的两个平面，直线直线a Ìa ，直线b Ìb ，则“a 与b 没有公共点”是没有公共点”是““b a //”的A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件．必要不充分条件C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件．既不充分也不必要条件16．若直线02=+-a y x 与圆04222=--+y x y x 有公共点，则实数a 的取值范围是的取值范围是A ．55££-aB ．05a ££C ．5a £-或5a ³D ．5a ¹±17．甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。
压轴题型03 函数与导数经典常考压轴小题命题预测有关函数与导数常见经典压轴小题的高考试题，考查重点是零点、不等式、恒成立等问题，通常与函数性质、解析式、图像等均相关，需要考生具有逻辑推理、直观想象和数学运算核心素养. 同时，对于实际问题，需要考生具有数据分析、数学建模核心素养.预计预测2024年高考，多以小题形式出现，也有可能会将其渗透在解答题的表达之中，相对独立．具体估计为：（1）导数的计算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查，难度较小．（2）应用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题． 高频考法（1）函数嵌套、零点嵌套问题 （2）零点问题（3）导数的同构思想 （4）双重最值问题 （5）构造函数解不等式01函数嵌套、零点嵌套问题解决嵌套函数零点个数的一般步骤(1)换元解套,转化为()t g x =与()y f t =的零点.(2)依次解方程,令()0f t =,求t ,代入()t g x =求出x 的值或判断图象交点个数.【典例1-1】（上海市浦东新区上海市实验学校2024届高三学期第三次月考数学试题）已知函数()f x 是2024届高考数学专项练习定义在R 的偶函数，当0x ≥时，()()3πcos 1,012211,12xx x f x x ⎧⎡⎤−≤≤⎪⎢⎥⎣⎦⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩，若函数()()()()()25566g x f x a f x a a ⎡⎤=−++∈⎣⎦R 有且仅有6个不同的零点，则实数a 取值范围 .【答案】(]30,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】因为()()()()()()25566560g x f x a f x a f x f x a =−++=−⋅−=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 由()0g x =，可得()65f x =或()f x a =， 由函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()3πsin ,012211,12xx x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩， 当01x ≤≤时，ππ022x ≤≤，如下图所示：因为1112x⎛⎫+> ⎪⎝⎭，由图可知，直线65y =与函数()f x 的图象有4个交点，所以，直线y a =与函数()f x 的图象有2个交点，由图可得(]30,12a ⎧⎫∈⋃⎨⎬⎩⎭.综上所述，实数a 的取值范围是(]30,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭.故答案为：(]30,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭.【典例1-2】（安徽省合肥市六校联盟2023-2024学年高三学期期中联考数学试题）已知函数()42,13,1x x f x x x ⎧−<⎪=⎨−≥⎪⎩，()22g x x ax =++，若函数()()y g f x =有6个零点，则实数a 的取值范围为 .【答案】(3,2−−【解析】画出()42,13,1x x f x x x ⎧−<⎪=⎨−≥⎪⎩的图象如下：因为()22g x x ax =++最多两个零点，即当280a ∆=−>，2a >22a <−时，()22g x x ax =++有两个不等零点12,t t ，要想()()y g f x =有六个零点，结合函数图象，要()1f x t =和()2f x t =分别有3个零点， 则()12,0,2t t ∈且12t t ≠，即()22g x x ax =++的两个不等零点()12,0,2t t ∈，则要满足()()2Δ800222000a a g g ⎧=−>⎪⎪<−<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩，解得322a −<<− 故实数a 的取值范围为(3,2−− 故答案为：(3,22−−【变式1-1】（海南省琼中黎族苗族自治县琼中中学2024届高三高考全真模拟卷（二）数学试题）已知函数()23,369,3x x f x x x x ⎧−≤=⎨−+−>⎩，若函数()()()22g x f x af x ⎡⎤=−+⎣⎦有6个零点，则a 的值可能为（ ） A ．1− B ．2−C ．3−D ．4−【答案】C【解析】由题可得，()()330f f =−=，()f x 在()(),0,3,−∞+∞上单调递减，在()0,3上单调递增，则据此可作出函数()f x 大致图象如图所示，令()f x t =，则由题意可得220t at −+=有2个不同的实数解1t ，2t ，且()12,3,0t t ∈−，则()()2121212Δ80601122203331130a t t a a t t t t a ⎧=−>⎪−<+=<⎪⇒−<<−⎨=>⎪⎪++=+>⎩3a =−满足题意. 故选：C ．【变式1-2】（河南省部分重点高中2023-2024学年高三阶段性考试（四）数学试题）已知函数()2ln ,0,43,0,x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩若函数()()()241g x f x f x m =−++⎡⎤⎣⎦恰有8个零点，则m 的最小值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】设()f x t =，因为()g x 有8个零点，所以方程()f x t =有4个不同的实根，结合()f x 的图像可得2410t t m −++=在(]0,3内有4个不同的实根，即214m t t +=−+在(]0,3内有2个不同的实根，可知314m ≤+<，即可求得结果．画出函数()2ln ,043,0x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，，的图像如图所示，设()f x t =，由()()()2410g x f x f x m =−++=⎡⎤⎣⎦，得2410t t m −++=.因为()g x 有8个零点，所以方程()f x t =有4个不同的实根，结合()f x 的图像可得在(]03t ∈,内有4个不同的实根.所以方程2410t t m −++=必有两个不等的实数根，即214m t t +=−+在(]03t ∈,内有2个不同的实根，结合图像由图可知，314m ≤+<，故23m ≤<，即m 的最小值是2. 故选：B02 零点问题（1）直接法：直接根据题设条件构造关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成球函数值域的问题加以解决；（3）数形结合法：先将解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 【典例2-1】（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数()()()lg ,011,022,2x x f x x x f x x ⎧−<⎪=−−≤<⎨⎪−≥⎩的图象在区间(),(0)t t t −>内恰好有5对关于y 轴对称的点，则t 的值可以是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C【解析】令()()11,022,2x x g x g x x ⎧−−≤<⎪=⎨−≥⎪⎩，()lg m x x =，因为()lg m x x =与()lg y x =−的图象关于y 轴对称，因为函数()()()lg ,011,022,2x x f x x x f x x ⎧−<⎪=−−≤<⎨⎪−≥⎩的图象在区间(),(0)t t t −>内恰好有5对关于y 轴对称的点，所以问题转化为()lg m x x =与()()11,022,2x x g x g x x ⎧−−≤<⎪=⎨−≥⎪⎩的图象在()0,(0)t t >内有5个不同的交点，在同一平面直角坐标系中画出()lg m x x =与()()11,022,2x x g x g x x ⎧−−≤<⎪=⎨−≥⎪⎩的图象如下所示：因为()10lg101m ==，当10x >时()1m x >，()()()()()()13579111g g g g g g ======， 结合图象及选项可得t 的值可以是6，其他值均不符合要求,. 故选：C【典例2-2】（2024·四川成都·三模）若函数()2e xf x kx =−大于0的零点有且只有一个，则实数k 的值为（ ） A ．4 B ．2e C ．e 2D ．2e 4【答案】D【解析】函数()f x 有且仅有一个正零点，即方程2ex k x=有且仅有一个正根，令()2e xg x x =，则()()3e 2x x g x x ='−，当0x <时，()0g x '>，当02x <<时，()0g x '<，当2x >时，()0g x '>，即函数()g x 在(),0∞−和()2,∞+上单调递增，在()0,2上单调递减，且()2e24g =，0x →时，()g x ∞→+，x →−∞时，()0g x →，x →+∞时，()g x ∞→+，可作出图象如下，方程2e x k x =有且仅有一个正根，所以2e 4k =.故选：D.【变式2-1】（2024·北京海淀·一模）已知()()3,0lg 1,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，函数()f x 的零点个数为m ，过点(0,2)与曲线()y f x =相切的直线的条数为n ，则,m n 的值分别为（ ） A ．1,1 B ．1,2 C ．2,1 D ．2,2【答案】B【解析】令()0f x =，即0x ≤时，30x =，解得0x =， 0x >时，()lg 10x +=，无解，故1m =，设过点(0,2)与曲线()y f x =相切的直线的切点为()00,x y ，当0x <时，()23f x x '=，则有()320003y x x x x −=−，有()3200023x x x −=−，整理可得301x =−，即01x =−，即当00x <时，有一条切线，当0x >时，()lg e1f x x '=+，则有()()000lg 1e lg 1y x x x x −=−++， 有()()000l 2g elg 11x x x −+=−+，整理可得()()()000221lg 10lg e x x x ++−++=， 令()()()()()2l 0g 2l 1e 1g g x x x x x =++−++>， 则()()2lg 1g x x '=−+， 令()0g x '=，可得99x =，故当()0,99x ∈时，()0g x '>，即()g x 在()0,99上单调递增， 当()99,x ∈+∞时，()0g x '<，即()g x 在()99,∞+上单调递减， 由()()992lg e 99220099lg e 0g =+⨯+−=>，()02020g =−=>，故()g x 在()0,99x ∈上没有零点， 又()()9992lg e 999210003999lg e 10000g =+⨯+−⨯=−<， 故()g x 在()99,999上必有唯一零点， 即当00x >时，亦可有一条切线符合要求， 故2n =.故选：B.【变式2-2】（2024·甘肃武威·模拟预测）已知函数()4ln 12f x ax a x ⎛⎫=−−+ ⎪⎝⎭有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．()2,+∞C ．(),1−∞−D ．(),2−∞−【答案】C【解析】将()y f x =的图象向左平移2个单位长度，可得函数()()22ln 2xg x f x ax x−=+=−+的图象， 所以原题转化为“函数()2ln2xg x ax x−=−+有3个零点”， 即研究直线y ax =与函数()2ln2xh x x−=+图象交点的个数问题． 因为()h x 的定义域为()2,2−，且()()22ln ln ln1022x xh x h x x x+−−+=+==−+， 所以()h x 为奇函数．因为()22222440222(2)4x x x h x x x x x x '+−+−⎛⎫=⋅=⨯=< ⎪−+−+−⎝⎭'， 所以()h x 在区间()2,2−上为减函数，且曲线()y h x =在点()0,0处的切线方程为y x =−． 当0x =时，2112xx x−+⨯=−+； 当02x <<时，2ln2xx x−<−+； 当20x −<<的，2ln2xx x−>−+， 作出()h x 的图象．如图：由图知：当1a <−时，直线y ax =与函数()2ln2xh x x−=+的图象有3个交点．故实数a 的取值范围是(),1∞−−． 故选：C.03 导数的同构思想同构式的应用：（1）在方程中的应用：如果方程()0f a =和()0f b =呈现同构特征，则,a b 可视为方程()0f x =的两个根（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系。
上海市建平南汇实验学校初三数学月考试卷2024．9一、单选题（每题4分，共6小题）1．已知，那么下列等式中，不一定正确的是（ ）A ．；B ．；C ．；D ．．2．如果地图上两地的图距是6cm ，表示实际距离为80km ，那么在地图上图距是3cm 的两地，实际距离是（）A ．4000m ；B ．400000cm ；C ．40km ；D ．40000dm ．3．已知点C 是线段AB上的一点，且满足，则下列式子成立的是（）第3题图A ．B ．C ．D．4．在下列命题中，真命题是（）A．两边之比是1:2的两个直角三角形相似；B ．两边之比是1:2的两个等腰三角形相似；C ．有一个内角是50°的两个等腰三角形相似；D ．四边长分别是2cm 、3cm 、4cm 、5cm 和8cm 、12cm 、16cm 、20cm 的两个四边形相似．5．如图，在梯形ABCD 中，，对角线AC 和BD 相交于点E ，且，下列等式成立的是（）第5题图A ．；B ．；C ．；D ．6．如图，在正方形ABCD 中，是等边三角形，AO 和DO 的延长线分别交边BC 于点E 和点F ，联35a b =8a b +=53a b =85a b b +=38a ab =+2AC BC AB =⋅ACBC =BC AB =BCAC =ACAB =AB CD ∥32CD AB =32CDE ABE S S =△△23ADE CDE S S =△△ADE BCE S S =△△49BCE CDE S S =△△AOD △结BD 交线段AO 于点G ，联结BO ，下列结论中错误的是（ ）第6题图A ．；B ．；C ．；D．．二、填空题（每题4分，共12小题）7．已知，则______．8．已知P 是线段AB 上的一个黄金分割点，，cm ，那么______cm ．9．已知线段b 是线段c 和线段d 的比例中项，且，，则线段______．10．如图，，如果，，，则______．第10题图11．在某一时刻，测得一根长为1米的竹竿影长为1.6米，同时同地测得一栋居民楼的影长为96米，那么这栋居民楼的高度为______米．12．在中，点E 和点F 分别是边AB 和AC 上的点，已知，，，，则EF 和BC 是否平行？______（填“一定平行”或“可能平行”或“一定不平行”）．13．如果将一个三角形的形状保持不变但面积扩大为原三角形面积的25倍，那么扩大后的三角形的周长为原三角形周长的______倍．14．在中，，，垂足为点D ，当，时，______．15．如图，在中，，点O 是的重心，如果，则点O 到边AB 的距离是______．第15题图2AE CF =2BO GO AO =⋅BEO DOG △△∽DO BOBO EO=0234a b c ==≠a b ca b c+-=-+AP BP <8AB =AP =3b =8d =c =AB CD EF ∥∥2AC =5CE =9BD =DF =ABC △2EF =6BC =3AE =9AB =Rt ABC △90ABC ∠=︒BD AC ⊥9AC =2CD =BC =Rt ABC △90B ∠=︒Rt ABC △6BC =16．如图，在中，正方形DEFG 的一边在边BC 上，点G 、F 分别在边AB 、AC 上，AH 是边BC 上的高，AH 与GF 相交于点O ，已知，，则正方形的边长是______．第16题图17．如图，在中，，cm ，cm ，点D 是AB 的中点，点E 以2cm/s 的速度沿着的方向运动，运动到点A 后停止，当与相似时，运动时间是______秒．第17题图18．如图，在矩形ABCD 中，，点E 在AD 边上，且，点F 是边BC 上的一个动点，将四边形ABFE 沿EF 翻折，A 、B 的对应点G 、H 与点C 在同一条直线上，GH 与边AD 交于点O ，当时，BF 的长为______．第18题图三、解答题（本大题共7题，满分78分．19-22题每题10分，23、24题每题12分，25题14分．）19．已知a 、b 、c 是的三边长，且，求：（1）的值．（2）若的周长为24，求各边的长并判断该三角形的形状．20．如图，直线、、分别截直线于点A 、B 、C ，截直线于点D 、E 、F ，且．ABC △8AH =10BC =Rt ABC △90B ∠=︒8BC =10AC =C A →ADE △ABC △4CD =43AE =3DO =ABC △0354a b c==≠4256a bc a+-ABC △1l 2l 3l 4l 5l 123l l l ∥∥（1）如果，，求的长．（2）如果，，，求EF 的长．21．如图，在矩形ABCD 中，，四边形ABFE 是正方形，若矩形DEFC 与矩形ABCD 是相似形．（1）求AD 的长．（2）延长FE 至点O ，使得，联结OA 并延长、联结OB 并延长，分别交直线BC 于点G 、H ，求GH 的长．22．如图，在中，，，点C 和点D 都在边AB 上，且．（1）求证：．（2）求证：．23．如图，在四边形ABCD 中，，对角线，点E 是边AB 的中点，CE 与BD 相交于点F ，．:5:3EF DE =4AB =AC 6AB =8BC =12DF =2AB =3FO EF =Rt AOB △90AOB ∠=︒OA OB =45AOC BOD ∠+∠=︒ADO COB ∠=∠2OB AD BC =⋅90DCB ∠=︒BD AD ⊥2BD AB BC =⋅（1）求证：BD 平分．（2）求证：．24．如图，在梯形ABCD 中，，，，，点P 是线段BD 上的动点，点E 、F 分别是线段AD 和线段BD 上的点，且，联结EP 、EF ．（1）求证：．（2）当时，如果，求线段BP 的长．25．如图，在中，，，，点D 是AB上一点，且，过点D 作，垂足为E ，点F 是边AC 上的一个动点，联结DF ，过点F 作交线段BC 于点G （不与点B 、C 重合）．（1）求证：；（2）设，，求出y 关于x 的函数解析式，并直接写出定义域；（3）联结DG ，若与相似，直接写出CG 的长度．ABC ∠BE CE BC EF ⋅=⋅AD BC ∥10BC BD ==4CD =6AD =DE DF BP ==EF CD ∥BP BF >EF EP =ABC △90C ∠=︒4AC =5AB =57BD AB =DE AC ⊥FG FD ⊥FCG DEF △△∽AF x =CG y =DFG △CFG △参考答案一、选择题1．A2．C3．D4．B5．C6．D二、填空题7．8．9．10．11．6012．可能平行13．514．15．216．17．或18．三、解答题19、解：设（1）原式．（2）由，得，所以．因为，即 所以是直角三角形20、解（1） 即得（2）即得，21、解：（1）设∵四边形ABFE 是正方形，四边形ABCD 是矩形 ∴∴ ∵矩形DEFC 与矩形ABCD 相似 ∴即解得（负值舍去）即AD（2）四边形ABFE 是正方形，四边形ABCD 是矩形 ∵∴即OE 和OF 分别是边AD 和边GH 边上的高 ∵ ∴∵解得22、证明：（1）∵是等腰直角三角形 ，1312-9845240952411083()3,5,40a k b k c k k ===≠432512102211546320182k k k k kk k k k k⨯+⨯+====⨯-⨯-35424ABC C k k k =++=△2k =36,510,48a k b k c k ======2226810+=222a c b +=ABC △:5:3EF DE = 38DE DF ∴=123l l l ∥∥38AB DE AC DF ∴==438AC =323AC =6,8AB BC == 14AC ∴=123l l l ∥∥EF BCDF AC∴=81212EF =487EF =AD x =2AE AB CD ===2DE x =+DE CDAB AD=222x x-=1x =+1+,90AD BC EFB ∠=︒∥90OEA ∠=︒AD BC ∥AD OEGH OF=3FO EF =23=GH =90,AOB OA OB∠=︒=AOB ∴△45A B ∴∠=∠=︒，且（2），且23、解（1）和都是直角三角形平分（2）过点F 作，垂足为O ，过点F 作，垂足为P ∵BD 平分，且，∴又（同高） 24、解（1）∵， ∴ ∵ ∴又∵ ∴ ∴ ∴（2）设，则∵，且∴∵ ∴即 ∴ ∵ ∴ ∴∴ 即 ∴（舍），即BP 的长为25．解：（1）∵ ∴∴ ∴又∵ ∴（2）∵ ∴ ∵∴∴即 ∴90AOB ∠=︒ 45AOC BOD ∠+∠=︒45COD ∴∠=︒,ADO B BOD COB COD BOD∠=∠+∠∠=∠+∠ADO COB∴∠=∠ADO COB ∠=∠ 45A B ∠=∠=︒ADO BOC∴△△∽OA AD BC OB ∴=OA OB = OB ADBC OB∴=2OB AD BC =⋅,90BD AD DCB ⊥∠=︒ABD ∴△DBC △2BD AB BC =⋅ BC BDBD AB∴=Rt ABD Rt DBC ∴△△∽ABD DBC ∠=∠BD ∴ABC∠FO AB ⊥FP BC ⊥ABC ∠FO AB ⊥FP BC ⊥FO FP=1212BCF BEFBC FPS BCS BE BE FO ⋅⋅==⋅⋅△△BCF BEF S CF S EF=△△BC CFBE EF ∴=BE CF BC EF ∴⋅=⋅AD BC ∥EDF CBD ∠=∠,DE DF BC BD ==DE DFBC BD=EDF CBD ∠=∠DEF BCD △△∽EFD BDC ∠=∠EF CD ∥BP x =DE DF x ==10BD =BP BF>210PF x =-DEF BCD△△∽EF DE CD BC =410EF x =25EF x =,DE DF EF EP ==,DEF EFP EFD FPE ∠=∠∠=∠DEF EFP △△∽EF PE DE EF =2210525xx x x -=10x =212523x =1252390,C FG FD ∠=︒⊥90C DFG ∠=∠=︒90,1809090EDF EFD EFD CFG ∠+∠=︒∠+∠=︒-︒=︒CFG EDF ∠=∠90C DFG ∠=∠=︒FCG DEF △△∽90C ∠=︒3BC ===,90DE AC C ⊥∠=︒DE BC ∥DE AE AD BC AC AB ==2347DE AE ==68,77DE AE ==∵ ∴ 即 ∴ （3）CG 的长为或FCG DEF △△∽CF CG DE EF =46877x y x -=-2736328467x x y x -+-⎛⎫=<< ⎪⎝⎭502167。
2023-2024学年上海市虹口区桃李园实验学校二年级（上）月考数学试卷一、计算1．（20分）口算。
48÷8＝34+18＝7×8＝29+39＝36÷4＝71﹣25＝45÷5＝6×8＝16+46＝8×8＝53﹣17＝9×0＝24÷6＝64﹣26＝3×5＝48+15＝4+2×3＝8÷2+16＝9+0÷3＝62﹣7×8＝2．（8分）巧算。
28+49＝71﹣45＝32+19＝63﹣38＝二、填空3．（13分）在横线内填上合适的数。
﹣12＝34 ÷4＝7 6+ ＝34 ×0＝0 ×8＝24 10÷ ＝1 ÷7＝0 ×9＝72 ﹣31＝3118＝ ×7+ 23＝ ×10+ 4．（10分）看图填空。
（1）表示 个 ；算式： 还表示 的 倍；算式： 表示 里面有 个 ；算式： 还表示 是 的 倍；算式： （2）看上图，填算式。
× + ＝ × ﹣ ＝ 三、按要求画图形（4分）5．（4分）（1）画〇，使〇的个数是△的3倍△△△（2）画〇，使△的个数是〇的3倍△△△△△△△△△四、把口诀填完整：（6分）6．（6分）三八 九四十五一 得八四 十六五六 二十八五、判断题（对的打√，错的打×）（4分）7．（2分）0除以任何数都是0。
8．（2分）3+3＝3×3。
六、在横线里填上＜、＞或＝：（4分）9．（4分）在横线里填上＜、＞或＝。
0÷2 8×0 7×8﹣4 52+1 2×2 2÷2 96﹣32 32+32七、看线段图，列式计算（6分）10．（6分）看线段图，列式计算。
（1）（2）八、应用题（25分，第6题5分，其它每题4分。
上海市建平实验中学2023学年第二学期阶段练习（2）初三数学一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分．每题只有一项是符合题目要求的．1．下列实数中，无理数的是（ ）A ．5B ．37C D 2．下列计算正确的是（ ）A ．2242x x x +=B ．623x x x ¸=C ．()2242x y x y =D ．222()x y x y -=-3．下列用于证明勾股定理的图形中，是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．若反比例函数()0ky x x=>，y 随x 增大而增大，则2y kx =-的图像大致是（ ）A ． B ． C ． D ． 5．下列四个命题：①平行四边形的两组对角分别相等；②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；③矩形是轴对称图形；④对角线相等的菱形是正方形；其中真命题的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，AB 是O e 的直径，若 AC CDBD ==，连接BD ，CD ，则BDC Ð的度数是（ ）A ．100°B ．110°C ．120°D ．130°二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分．72的相反数是 ；8．在函数23y x =-中，自变量x 的取值范围为 ．9＝0的解是 ．10．如果一个正多边形的中心角等于30°，那么这个正多边形的边数是 ．11．关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．12．在平面直角坐标系xOy 中，若反比例函数2k y x+=的图象位于第二、四象限，则k 的取值范围是 ．13．如图，电路图上有四个开关A ，B ，C ，D 和一个小灯泡，闭合开关D 或同时闭合开关A ，B ，C ，都可使小奵泡发光．现随机从A ，B ，C ，D 中抽取一个字母（每个字母被抽到的可能性相等）并闭合对应开关，则小灯泡发光的概率为 ．14．为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了该小区10户家庭的月用水量，结果如下：月用水量/t1013141718户数31321则这10户家庭月用水量的中位数是 ．15．如图，点G 是ABC V 的重心，如果AB a =uuu r r ，AC b =uuu r r ，那么向量BG uuu r 用向量a r 和b r 表示为 ．16．如图，点P 是直线334y x =-+上一动点，当线段OP 最短时，OP 的长为 ．17．如图，以点O 为圆心的两个同心圆，半径分别为5和3，若大圆的弦AB 与小圆相交，则弦长AB 的取值范围是 ．18．如图，矩形纸片ABCD 中，10AB =，26AD =，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的点A ¢处，并且折痕交AB 边于点T ，交AD 边于点S ，把纸片展平，则线段AT 长度的取值范围为 ．三、解答题：本题共7小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．19． 计算；（-12）-120．解不等式组：23352623x x x x ->-ìï+í<-ïî21．如图，在Rt AOB △中，90AOB Ð=°，以点O 为圆心，OA 长为半径的圆交AB 于点C ，点D 在边OB 上，且CD BD =．(1)判断直线CD 与O e 的位置关系，并说明理由；(2)若24tan ,327ODC OB Ð==，求O e的半径．22．阅读理解：七年级一班数学学习兴趣小组在解决下列问题中，发现该类问题可以“建立直角坐标系、应用一次函数”解决问题．请先阅读下列解决问题的方法，然后再应用此方法解决后续问题．问题：如图①，直立在点D 处的标杆CD 长3m ，站立在点F 处的观察者从点E 处看到标杆顶C 、旗杆顶A 在一条直线上．已知15m BD =，2m FD =， 1.6m EF =，求旗杆高AB ．解：建立如图②所示直角坐标系，则线段AE 可看作一个一次函数的图象由题意可得各点坐标为：点()0,1.6E ，()2,3C ，()17,0B ，且所求的高度就为点A 的纵坐标．设直线AE 的函数关系式为y kx b =+．把()0,1.6E ，()2,3C 代入得 1.623b k b =ìí+=î，解得0.71.6k b =ìí=î∴0.7 1.6y x =+当17x =时，0.717 1.613.5y =´+=，即()13.5m AB =．解决问题：请应用上述方法解决下列问题：如图③，河对岸有一路灯杆AB ，在灯光下，小明在点D 处测得自己的影长3m DF =，沿BD 方向到达点F 处再测得自己的影长4m FG =．如果小明的身高为1.6m ，求路灯杆AB 的高度．（参考：建立直角坐标系如图④）23．如图，点P 是菱形ABCD 的对角线BD 上一点，连结CP 并延长，交AD 于E ，交BA 的延长线于点F ．(1)求证：2PE PF PC ⋅=；(2)如图2，连接AC 交BD 于O ，连接OE ，若CE ⊥BC ，求证：△POC ∽△AEC ．24．如图，直线y ＝﹣x ＋n 与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点B ，抛物线y ＝﹣x 2＋bx ＋c 经过点A ，B ．（1）求抛物线的解析式；（2）E （m ，0）为x 轴上一动点，过点E 作ED ⊥x 轴，交直线AB 于点D ，交抛物线于点P ，连接BP ．①点E 在线段OA 上运动，若△BPD 直角三角形，求点E 的坐标；②点E 在x 轴的正半轴上运动，若∠PBD ＋∠CBO ＝45°．请直接写出m 的值．25．如图，已知菱形ABCD ，对角线AC 、BD 相交于点O ，20AB =，32AC =．点P 从点A 出发，以每秒4个单位的速度沿线段AC 向点C 运动，同付，点Q 从点O 出发，以每秒3个单位的速度沿折线OD DC -向点C 运动，当点P 、Q 中有一个点达到终点时，两点同时停止运动．连接BP 、PQ 、BQ ，设点Q 的运动时间为t 秒．(1)求线段OD 的长；(2)在整个运动过程中，BPQ V 能否成为直角三角形？若能，请求出符合题意的t 的值；若不能，请说明理由；(3)以P 为圆心，PQ 为半径作P e ，当P e 与线段CD 只有一个公共点时，求t 的值或t 的取值范围．1．C【分析】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2p 等；开方开不尽得到的数；以及像0.1010010001…（两个1之间依次多一个0），等有这样规律的数．根据无限不循环小数是无理数判定即可．【详解】解：A 、5是整数，不是无理数，故此选项不符合题意；B 、37是分数，不是无理数，故此选项不符合题意；CD 2=是整数，不是无理数，故此选项不符合题意；故选：C ．2．C【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式，根据相关运算法则逐项计算即可．【详解】解：A ，222422x x x x +=¹，计算错误；B ，626243x x x x x -¸==¹，计算错误；C ，()()2222242x x y y x y ==⋅，计算正确；D ，22222()2x y x xy y x y -=-+¹-，计算错误；故选C ．3．C【分析】本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．【详解】解：A 、B 、D 中的图形不是轴对称图形，故A 、B 、D 不符合题意；C 中的图形是轴对称图形，故C 符合题意；故选：C ．4．D 【分析】根据反比例函数(0)k y x x=>，y 随x 增大而增大，得出0k <，则2y kx =-中，y 随x 的增大而减小，结合20-<得出2y kx =-与y 轴交于负半轴，即可得出结论．【详解】解：∵反比例函数(0)k y x x =>，y 随x 增大而增大，∴2y kx =-中，y 随x 的增大而减小，∵20-<，∴2y kx =-与y 轴交于负半轴，故选：D ．【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数和反比例函数的增减性．5．D【分析】根据平行四边形、矩形的性质定理以及菱形、正方形的判定定理进行判断即可．【详解】解：由题意知，平行四边形的两组对角分别相等是真命题，故①符合要求；对角线互相垂直且平分的四边形是菱形是真命题；故②符合要求；矩形是轴对称图形是真命题；故③符合要求；对角线相等的菱形是正方形是真命题；故④符合要求；∴真命题有4个，故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形、矩形的性质定理以及菱形、正方形的判定定理，真命题等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握．6．C【分析】本题考查了圆心角的性质，圆的内接四边形互补，等边三角形的判定，解题的关键是求出60OAC Ð=°．【详解】解：如下图，连结,AC OC ，AC CDBD ==Q ，60AOC \Ð=°，OA OC=Q 60OAC \Ð=°，18060120BDC \Ð=°-°=°，7．2【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答即可．2的相反数是2故答案为2【点睛】本题考查了实数的性质，熟记概念与性质是解题的关键．8．3x ¹【分析】本题考查了函数的取值范围，解题的关键是知晓分式有意义的条件．根据函数中分式的分母不为0即可得到答案．【详解】当分式23x -的分母为零时，分式才没有意义，故3x ¹．即自变量x 的取值范围为3x ¹．故答案为：3x ¹．9．1【分析】首先根据二次根式有意义的条件，判定x 的取值范围，然后方程两边同时平方，解一元二次方程即可得解.【详解】根据题意，得1010x x -³ìí+³î解得1x ³将方程两边平方，得()()110x x -+=解得121,1x x ==-综上，1x =【点睛】此题主要考查二次根式有意义的条件以及一元二次方程的求解，熟练掌握，即可解题.10．12【分析】本题考查正多边形的中心角与边数之间的关系，根据正n 边形的中心角为360n°，即可解题．【详解】解：设这个正多边形的边数是n ，且一个正多边形的中心角等于30°，有36030n°=°，解得12n =，故答案为：12．11．1k >-且0k ¹【分析】本题考查了根的判别式，根据方程的根的判别式()22Δ42410b ac k =-=-´-´>且0k ¹计算即可．【详解】∵一元二次方程2210kx x +-=有两个不相等的实数根，∴()22Δ42410b ac k =-=-´-´>且0k ¹，解得1k >-且0k ¹，故答案为：1k >-且0k ¹．12．2k <-【分析】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是掌握当0k <时，k y x =的图象位于第二、四象限．根据反比例函数的性质列不等式即可解得答案．【详解】解：Q 反比例函数2k y x+=的图象位于第二、四象限，20k \+<，解得2k <-，故答案为：2k <-13．14【分析】本题考查用概率公式计算事件发生的概率，熟练掌握概率公式：()A P A =事件数总数是解题的关键．所有可能的结果共有4种可能，而让小灯泡发光的只有抽到D ，一种可能，由概率公式即可求解．【详解】解：小灯泡发光的概率为14．故答案为：14．14．14吨【分析】本题考查了求中位数，正确理解中位数的定义是解题的关键．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．根据中位数的定义，即得答案．【详解】将表中数据为从小到大排列，处在第5位、第6位的是14吨，所以这10户家庭月用水量的中位数是14吨．故答案为：14吨．.15．ˆ3ˆ123b a -##213ˆˆ3a b -+【分析】由G 是ABC V 的重心，推出AD DC =，2BG DG =，求出BD uuu r ，可得结论．【详解】解：∵G 是ABC V 的重心，∴AD DC =，2BG DG =，∵12BD BA AD a b =+=-+uuu r uuu r uuu r r r ，∴212333BG BD b a ==-uuu r uuu r r r ，故答案为：3312b a -r r ．【点睛】本题考查三角形的重心，三角形法则等知识，解题的关键是掌握重心的性质，学会利用三角形法则解决问题．16．125【分析】根据直线解析式求出点A 、B 的坐标，再根据勾股定理求出AB 的长度，根据点到直线的所有线段中，垂线段最短，利用三角形的面积列式即可求解．【详解】解：当0x =时，3y =，当0y =时，3304y x =-+=，解得4x =，∴点A 、B 的坐标是()03A ，，()40B ，，∴AB =5=，根据垂线段最短的性质，OP AB ^时，OP 最短，如点P ¢所示此时，1122AOB S OA OB AB OP ¢=´´=´´V ，即1134522OP ¢´´=´´，解得125OP ¢=，即min 125OP =．故答案为：125．【点睛】本题综合考查了一次函数的问题，主要利用勾股定理，垂线段最短的性质，根据直线解析式求出点A 、B 的坐标是解题的关键．17．810AB <…【分析】此题可以首先计算出当AB 与小圆相切的时候的弦长．连接过切点的半径和大圆的一条半径，根据勾股定理和垂径定理，得AB =8．若大圆的弦AB 与小圆有两个公共点，即相交，此时AB ＞8；又因为大圆最长的弦是直径10，则8＜AB ≤10．【详解】解：当AB 与小圆相切，∵大圆半径为5，小圆的半径为3，∴22248AB AC ===´=．当AB 过圆心时最长即为大圆的直径10，∴8＜AB ≤10．故答案为：8＜AB ≤10．【点睛】本题综合运用了切线的性质、勾股定理和垂径定理．此题可以首先计算出和小圆相切时的弦长，再进一步分析相交时的弦长．18．5.210AT ££【分析】设AT x =，则10BT x =-，当S 与D 重合时，证BTA CA D ¢V V ∽得TA BA DA DC ¢¢=¢即2610x BA ¢=，进而利用勾股定理得 5.2AT x ==，当T 与B 重合时，10AT AB ==，即可得解．【详解】解：设AT x =，则10BT x =-，当S 与D 重合时，如下图，∵四边形ABCD 是矩形，∴90A B C ÐÐÐ===°，10AB CD ==，26BC AD ==，由折叠的性质可得A T AT x ¢==，26A D AD ¢==，90TAD TA D ¢Ð=Ð=°，∴90BTA TA B CA D TA B Ð+Ð=Ð+Т¢=¢¢°，∴BTA CA D Ð=¢Ð¢，∴BTA CA D ¢¢V V ∽，∴TA BA DA DC¢¢=¢即2610x BA ¢=，解得513x BA ¢=，∵90B Ð=°，∴()()222BT BA AT ¢=¢+即()22251013x x x æö-+=ç÷èø，解得 5.2AT x ==或130AT x ==（舍去），当T 与B 重合时，如下图，此时10AT AB ==，∴5.210AT ££，故答案为：5.210AT ££．【点睛】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定及性质，折叠的性质，矩形的性质，熟练掌握矩形的性质及相似三角形的判定及性质是解题的关键．19．【分析】直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．【详解】解：原式．【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20．0x <【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．【详解】解：23352623x x x x ->-ìïí+<-ïî①②解不等式①，得2x <，解不等式②，得0x <，∴不等式组的解集为0x <．21．(1)直线CD 与O e 相切，理由见解析(2)24【分析】本题考查了切线的证明、正切的应用等知识点，掌握相关几何结论是解题关键．（1）连接OC ，由OA OC =得OAC OCA Ð=Ð，结合CD BD =，即可求解；（2）设O e 的半径为r ，可得724CD BD r ==，根据OD =可得2524OD r =，即可求解；【详解】（1）解：直线CD 与O e 相切，理由如下：连接OC ，如图所示：则OA OC=∴OAC OCAÐ=Ð∵CD BD=∴DCB DBCÐ=Ð∵90DBC OAC Ð+Ð=°∴90DCB OCA Ð+Ð=°∴()18090OCD DCB OCA Ð=°-Ð+Ð=°∵OC 为半径，∴直线CD 与O e 相切（2）解：设O e 的半径为r ，∵24tan ,7OC r ODC CD CD Ð===∴724CD BD r ==,∴2524OD r ==∵32OB OD BD =+=∴257322424r r +=，解得：24r =22．6.4m【分析】根据题中的例题过程连求两次一次函数解析式作答即可．【详解】由题意可得各点坐标为：()0,1.6E ，()4,0G ，()3,1.6C -且所求的高度就为点A 的纵坐标．设直线AE 的函数关系式为y kx b =+．把()0,1.6E ，()4,0G 代入得 1.604b k b =ìí=+î，解得 1.625b k =ìïí=-ïî．∴直线AE 的函数关系式为2 1.65y x =-+①．∵直线AF 过点()3,1.6C -，()0,0F ，同理可得直线AF 的解析式为815y x =-②，联立①②解得，12x =-， 6.4y =答：路灯杆AB 的高度6.4m ．【点睛】本题考查了求两直线的交点和对例题的理解应用能力，题目不难，但注意做题时需要运用题目所给方式做题而不能用其他的解答方法．23．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据菱形的性质，首先利用SAS 证明△CDP ≌△ADP ，得PC =PA ，∠DCP =∠DAP ，再说明△PAE ∽△PFA ，得PA PE PF AP=，即可证明结论； （2）根据菱形的性质可说明∠COP =∠CEA ，从而证明结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 菱形，∴AD =CD ，∠CDP =∠ADP ，CD AB ∥，在△CDP 和△ADP 中，,CD AD CDP ADP DP DP =ìïÐ=Ðíï=î∴△CDP ≌△ADP （SAS ），∴PC =PA ，∠DCP =∠DAP ，∵CD AB ∥，∴∠DCP =∠F ，∴∠DAP =∠F ，∵∠APE =∠FPA ，∴△PAE ∽△PFA ， ∴PA PE PF AP=， ∴PA 2=PE •PF ，∴PE •PF =PC 2；（2）∵CE ⊥BC ，∴∠ECB =90°，∵AD BC ∥，∴∠CEA =∠BCE =90°，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∴∠COP=90°，∴∠COP=∠CEA，∵∠OCP=∠ECA，∴△POC∽△AEC．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明PA=PC是解决问题（1）的关键．24．（1）y＝﹣x2＋3x＋4；（2）① E（2，0）或（3，0）；②m＝7或134．【分析】（1）将点A坐标代入直线解析式可求n的值，可求点B坐标，利用待定系数法可求解；（2）①分两种情况讨论，勾股定理可求解；②分两种情况讨论，由相似三角形的性质和等腰三角形的性质，可求BP解析式，联立方程可求解．【详解】解：（1）∵直线y＝﹣x＋n与x轴交于点A（4，0），∴0＝﹣4＋n，∴n＝4，∴直线解析式为：y＝﹣x＋4，当x＝0时，y＝4，∴点B（0，4），∵抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过点A，B，则41640cb cìí-++î＝＝，解得34bc＝＝ìíî，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2＋3x＋4①；（2）①∵ED⊥x轴，∴∠PEA＝90°，∴∠BDP＝∠ADE＜90°，设点E（m，0），点P（m，﹣m2＋3m＋4），则点D（m，﹣m＋4），∴PD2＝（﹣m2＋4m）2，BP2＝m2＋（﹣m2＋3m）2，BD2＝m2＋（﹣m＋4﹣4）2＝2m2，当∠PBD＝90°时，BP2＋BD2＝PD2，∴m2＋（﹣m2＋3m）2＋2m2＝（﹣m2＋4m）2，∴m＝2，m＝0（舍去）∴点E的坐标为（2，0），当∠BPD＝90°时，BP2＋PD2＝BD2，同理可得：m＝0（舍去）或3或4（舍去），∴点E的坐标为（3，0），综上所述：点E的坐标为（2，0）或（3，0）；②当点P在x轴上方时，如图1，连接BC，延长BP交x轴于N，∵点A（4，0），点B（0，4），∴OA＝OB＝4，∴∠BAO＝∠ABO＝45°，∵抛物线y＝﹣x2＋3x＋4与x轴交于点A，点C，∴0＝﹣x2＋3x＋4，∴x1＝4，x2＝﹣1，∴点C（﹣1，0），∴OC＝1，∵∠PBD＋∠CBO＝45°，∠BAO＝∠PBD＋∠BNO＝45°，∴∠CBO＝∠BNO，又∵∠BOC＝∠BON＝90°，∴△BCO∽△NBO，∴BO ON CO OB＝，∴414ON ＝，∴ON＝16，∴点N（16，0），∴直线BN解析式为：y14-＝x＋4②，联立①②并解得：x ＝0（舍去）或134，∴m 134＝；当点P 在x 轴下方时，如图2，连接BC ，设BP 与x 轴交于点H ，∵∠PBD ＋∠CBO ＝45°，∠OBH ＋∠PBD ＝45°，∴∠CBO ＝∠OBH ，又∵OB ＝OB ，∠COB ＝∠BOH ，∴△BOH ≌△BOC （ASA ），∴OC ＝OH ＝1，∴点H （1，0），∴直线BH 解析式为：y ＝﹣4x ＋4③，联立①③并解得：x ＝0（舍去）或7，∴点P 的横坐标为7，∴m ＝7，综上所述：m ＝7或134．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．25．(1)12(2)能，t(3)t =96817t <£【分析】（1）首先根据四边形ABCD 是菱形，可得AC BD ^，AO OC =，OB OD =，利用勾股定理即可求出OD ．（2）情形1：如图1中，当04t <<时，90BPQ Ð=°，利用POB QOP V V ∽得PO BOQO PO =列出方程求解；情形2：如图2，当48t <<时，90BPQ Ð=°，作QH AC ^垂足为H ，利用QHP POB V V ∽得到QH PH PO OB =列出方程即可解决．（3）情形1：如图3，当点P 在线段OA 上时，P e 与线段CD 相切于M ，连接OM ，此时P e 与线段CD 只有一个交点，利用CPM CDO V V ∽得到CP PM CD DO=列出方程解决．情形2：如图4，当PC PQ =时，作PN CD ^垂足为N ，由CPN CDO V V ∽得到CN CP CO CD =列出方程求解．【详解】（1）解： Q 四边形ABCD 是菱形，AC BD \^，OD OB =，AO CO =，32AC =Q ，11321622AO AC \==´=，在Rt AOD V 中，20AD AB ==Q ，16AO =，12OD \==．（2）解：能．理由如下：如图1，当04t <<时，90BPQ Ð=°，90BPO OPQ Ð+Ð=°Q ，90OPQ PQO Ð+Ð=°，BPO PQO \Ð=Ð，90POB POQ Ð=Ð=°Q ，POB QOP \V V ∽，\PO BO QO PO =，\164123164t t t-=-，t 或t \．如图2，当48t <<时，90BPQ Ð=°，作QH AC ^垂足为H ，QH OD ∥Q ，\QH CH CQ DO CO CD ==，\323121620QH CH t -==，3(323)5QH t =-，4(323)5CH t =-，83255HP t =-，416OP t =-，90QPH BPO Ð+Ð=°Q ，90OBP BPO Ð+Ð=°，OBP HPQ \Ð=Ð，90BOP QHP Ð=Ð=°Q ，QHP POB \V V ∽，\QH PH PO OB=，\3832(323)55541612t t t --=-，解得t =不合题意舍弃）综上所述t PQB △是直角三角形．（3）解：①如图3，当点P 在线段OA 上时，P e 与线段CD 相切于M ，连接OM ，此时P e 与线段CD 只有一个交点，在Rt POQ △中，164PO t =-Q ，3OQ t =，PQ PM \==，90PMC DOC Ð=Ð=°Q ，PCM DCO Ð=Ð，CPM CDO \V V ∽，\CP PM CDDO=，\32420t -t =不合题意舍弃）．②如图4，当PC PQ =时，作PN CD ^垂足为N ，PCN DCO Ð=ÐQ ，90PNC DOC Ð=Ð=°，CPN CDO \V V ∽，\CN CP CO CD=，\32332421620t t --=，解得9617t =．\96817t <£时Pe 与线段CD 只有一个交点．综上所述t 96817t<£时P e 与线段CD 只有一个交点．【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、圆的有关知识，学会分类讨论是解题的关键，解题中培养动手画图能力，利用转化的数学思想去思考问题．。
上海市松江区2018届高三二模数学试卷2018.04一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 双曲线22219x y a -=（0a >）的渐近线方程为320x y ±=，则a = 2. 若二元一次方程组的增广矩阵是121234c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其解为100x y =⎧⎨=⎩，则12c c += 3. 设m ∈R ，若复数(1)(1)z mi i =++在复平面内对应的点位于实轴上，则m = 4. 定义在R 上的函数()21x f x =-的反函数为1()y f x -=，则1(3)f -= 5. 直线l 的参数方程为112x ty t=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），则l 的一个法向量为6. 已知数列{}n a ，其通项公式为31n a n =+，*n N ∈，{}n a 的前n 项和为n S ，则l i m nn nS n a →∞=⋅7. 已知向量a 、b 的夹角为60°，||1a =，||2b =，若(2)()a b xa b +⊥-，则实数x 的值为 8. 若球的表面积为100π，平面α与球心的距离为3，则平面α截球所得的圆面面积为 9. 若平面区域的点(,)x y 满足不等式||||14x y k +≤（0k >），且z x y =+的最小值为5-， 则常数k =10. 若函数2()log (1)a f x x ax =-+（0a >且1a ≠）没有最小值，则a 的取值范围是 11. 设1234,,,{1,0,2}x x x x ∈-，那么满足12342||||||||4x x x x ≤+++≤的所有有序数对1234(,,,)x x x x 的组数为12. 设*n N ∈，n a 为(4)(1)n n x x +-+的展开式的各项系数之和，324c t =-，t ∈R ， 1222[][][]555n n n na a ab =++⋅⋅⋅+（[]x 表示不超过实数x 的最大整数），则22()()n n t bc -++的最小值为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. “0xy =”是“0x =且0y =”成立的（ ） A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件14. 如图，点A 、B 、C 分别在空间直角坐标系O xyz - 的三条坐标轴上，(0,0,2)OC =，平面ABC 的法向量为(2,1,2)n =，设二面角C AB O --的大小为θ，则cos θ=（ ）A.4323 D. 23- 15. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列判断一定正确的是（ ） A. 若30S >，则20180a > B. 若30S <，则20180a < C. 若21a a >，则20192018a a > D. 若2111a a >，则20192018a a < 16. 给出下列三个命题：命题1：存在奇函数()f x （1x D ∈）和偶函数()g x （2x D ∈），使得函数()()f x g x （12x D D ∈）是偶函数；命题2：存在函数()f x 、()g x 及区间D ，使得()f x 、()g x 在D 上均是增函数，但()()f x g x 在D 上是减函数；命题3：存在函数()f x 、()g x （定义域均为D ），使得()f x 、()g x 在0x x =（0x D ∈）处均取到最大值，但()()f x g x 在0x x =处取到最小值； 那么真命题的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是AB 、1CC 的中点. （1）求三棱锥E DFC -的体积；（2）求异面直线1A E 与1D F 所成的角的大小.18. 已知函数()cos f x x x ωω=+. （1）当()03f π-=，且||1ω<，求ω的值；（2）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，a =3b c +=，当2ω=，()1f A =时，求bc 的值.19. 某公司利用APP 线上、实体店线下销售产品A ，产品A 在上市20天内全部售完，据统计，线上日销售量()f t 、线下日销售量()g t （单位：件）与上市时间t （*t N ∈）天的关 系满足：10110()102001020t t f t t t ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩，2()20g t t t =-+（120t ≤≤），产品A 每件的销售利润为40115()201520t h t t ≤≤⎧=⎨<≤⎩（单位：元）（日销售量=线上日销售量+线下日销售量）.（1）设该公司产品A 的日销售利润为()F t ，写出()F t 的函数解析式； （2）产品A 上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于5000元？20. 已知椭圆2222:1x y a bΓ+=（0a b >>），其左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为B ，O为坐标原点，过2F 的直线l 交椭圆Γ于P 、Q两点，1sin BF O ∠=. （1）若直线l 垂直于x 轴，求12||||PF PF 的值； （2）若b =l 的斜率为12，则椭圆Γ上是否存在一点E ，使得1F 、E 关于直线l成轴对称？如果存在，求出点E 的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）设直线1:l y =M 满足2OP OQ OM +=，当b 的取值最小时，求直线l 的倾斜角α.21. 无穷数列{}n a （*n N ∈），若存在正整数t ，使得该数列由t 个互不相同的实数组成，且对于任意的正整数n ，12,,,n n n t a a a +++⋅⋅⋅中至少有一个等于n a ，则称数列{}n a 具有性质T ，集合*{|,}n P p p a n N ==∈.（1）若(1)n n a =-，*n N ∈，判断数列{}n a 是否具有性质T ；（2）数列{}n a 具有性质T ，且11a =，43a =，82a =，{1,2,3}P =，求20a 的值； （3）数列{}n a 具有性质T ，对于P 中的任意元素i p ，k i a 为第k 个满足k i i a p =的项，记1k k k b i i +=-（*k N ∈），证明：“数列{}k b 具有性质T ”的充要条件为“数列{}n a 是周期为t 的周期数列，且每个周期均包含t 个不同实数”.上海市松江区2018届高三二模数学试卷2018.04一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 双曲线22219x y a -=（0a >）的渐近线方程为320x y ±=，则a = 【解析】2a =2. 若二元一次方程组的增广矩阵是121234c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其解为100x y =⎧⎨=⎩，则12c c += 【解析】12103040c c +=+=3. 设m ∈R ，若复数(1)(1)z mi i =++在复平面内对应的点位于实轴上，则m = 【解析】虚部为零，101m m +=⇒=-4. 定义在R 上的函数()21x f x =-的反函数为1()y f x -=，则1(3)f -= 【解析】1213(3)2x f --=⇒=5. 直线l 的参数方程为112x ty t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），则l 的一个法向量为【解析】12(1)230y x x y =-+-⇒--=，法向量可以是(2,1)-6. 已知数列{}n a ，其通项公式为31n a n =+，*n N ∈，{}n a 的前n 项和为n S ，则li m nn nS n a →∞=⋅【解析】2352n n n S +=，1lim 2n n nS n a →∞=⋅7. 已知向量a 、b 的夹角为60°，||1a =，||2b =，若(2)()a b xa b +⊥-，则实数x 的值为【解析】(2)()0(21)803a b xa b x x x +⋅-=⇒+--=⇒=8. 若球的表面积为100π，平面α与球心的距离为3，则平面α截球所得的圆面面积为 【解析】5R =，4r =，16S π= 9. 若平面区域的点(,)x y 满足不等式||||14x y k +≤（0k >），且z x y =+的最小值为5-， 则常数k = 【解析】数形结合，可知图像||||14x y k +=经过点(5,0)-，∴5k = 10. 若函数2()log (1)a f x x ax =-+（0a >且1a ≠）没有最小值，则a 的取值范围是 【解析】分类讨论，当01a <<时，没有最小值，当1a >时，即210x ax -+≤有解， ∴02a ∆≥⇒≥，综上，(0,1)[2,)a ∈+∞11. 设1234,,,{1,0,2}x x x x ∈-，那么满足12342||||||||4x x x x ≤+++≤的所有有序数对1234(,,,)x x x x 的组数为【解析】① 1234||||||||2x x x x +++=，有10组；② 1234||||||||3x x x x +++=， 有16组；③ 1234||||||||4x x x x +++=，有19组；综上，共45组 12. 设*n N ∈，n a 为(4)(1)n n x x +-+的展开式的各项系数之和，324c t =-，t ∈R ， 1222[][][]555n n n na a ab =++⋅⋅⋅+（[]x 表示不超过实数x 的最大整数），则22()()n n t bc -++的最小值为【解析】52nnn a =-，2[][]155nn n n na n n n ⋅=-=-，22n n n b -=，22()()n n t b c -++的几何意义为点2(,)2n nn -()n ∈*N 到点3(,2)4t t -的距离，由图得，最小值即(2,1)到324y x =- 的距离，为0.4二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. “0xy =”是“0x =且0y =”成立的（ ） A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【解析】B14. 如图，点A 、B 、C 分别在空间直角坐标系O xyz -的三条坐标轴上，(0,0,2)OC =，平面ABC 的法向量为(2,1,2)n =，设二面角C AB O --的大小为θ，则cos θ=（ ）A.43B. 323 D. 23- 【解析】42cos 233||||OC n OC n θ⋅===⋅⋅，选C15. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列判断一定正确的是（ ） A. 若30S >，则20180a > B. 若30S <，则20180a < C. 若21a a >，则20192018a a > D. 若2111a a >，则20192018a a < 【解析】A 反例，11a =，22a =-，34a =，则20180a <；B 反例，14a =-，22a =，31a =-，则20180a >；C 反例同B 反例，201920180a a <<；故选D16. 给出下列三个命题：命题1：存在奇函数()f x （1x D ∈）和偶函数()g x （2x D ∈），使得函数()()f x g x （12x D D ∈）是偶函数；命题2：存在函数()f x 、()g x 及区间D ，使得()f x 、()g x 在D 上均是增函数，但()()f x g x 在D 上是减函数；命题3：存在函数()f x 、()g x （定义域均为D ），使得()f x 、()g x 在0x x =（0x D ∈）处均取到最大值，但()()f x g x 在0x x =处取到最小值； 那么真命题的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【解析】命题1：()()0f x g x ==，x ∈R ；命题2：()()f x g x x ==，(,0)x ∈-∞； 命题3：2()()f x g x x ==-，x ∈R ；均为真命题，选D三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是AB 、1CC 的中点. （1）求三棱锥E DFC -的体积；（2）求异面直线1AE 与1DF 所成的角的大小. 【解析】（1）121233V =⨯⨯=（2）4cos 5θ==，所成角为4arccos 518.已知函数()cos f x x x ωω=+. （1）当()03f π-=，且||1ω<，求ω的值；（2）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C的对边，a =3b c +=，当2ω=，()1f A =时，求bc 的值.【解析】（1）()2sin()6f x x πω=+，()0336f k πωπππ-=⇒-+=，||1ω<，∴12ω=（2）()1f A =⇒3A π=，由余弦定理，2bc =19. 某公司利用APP 线上、实体店线下销售产品A ，产品A 在上市20天内全部售完，据统计，线上日销售量()f t 、线下日销售量()g t （单位：件）与上市时间t （*t N ∈）天的关 系满足：10110()102001020t t f t t t ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩，2()20g t t t =-+（120t ≤≤），产品A 每件的销售利润为40115()201520t h t t ≤≤⎧=⎨<≤⎩（单位：元）（日销售量=线上日销售量+线下日销售量）.（1）设该公司产品A 的日销售利润为()F t ，写出()F t 的函数解析式； （2）产品A 上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于5000元？【解析】（1）22240(30),110()40(10200),101520(10200),1520t t t F t t t t t t t ⎧-+≤≤⎪=-++<≤⎨⎪-++<≤⎩（2）()5000515F t t ≥⇒≤≤，第5天到第15天20. 已知椭圆2222:1x y a bΓ+=（0a b >>），其左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为B ，O为坐标原点，过2F 的直线l 交椭圆Γ于P 、Q两点，1sin 3BF O ∠=. （1）若直线l 垂直于x 轴，求12||||PF PF 的值； （2）若b =l 的斜率为12，则椭圆Γ上是否存在一点E ，使得1F 、E 关于直线l成轴对称？如果存在，求出点E 的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）设直线1:l y =M 满足2OP OQ OM +=，当b 的取值最小时，求直线l 的倾斜角α.【解析】（1）22231x y b +=，:l x =，2PF =，1PF =，12||5||PF PF = （2）22231x y +=，1:(2)2l y x =-，1(2,0)F -，关于l 对称点216(,)55E --，不在椭圆上 （3）设:()l y k x =，点差得1:3OM l y x k=-，联立1:l y =(M -， 代入直线l()k =-，∴6b =≥，k =56πα=21. 无穷数列{}n a （*n N ∈），若存在正整数t ，使得该数列由t 个互不相同的实数组成，且对于任意的正整数n ，12,,,n n n t a a a +++⋅⋅⋅中至少有一个等于n a ，则称数列{}n a 具有性质T ，集合*{|,}n P p p a n N ==∈.（1）若(1)n n a =-，*n N ∈，判断数列{}n a 是否具有性质T ；（2）数列{}n a 具有性质T ，且11a =，43a =，82a =，{1,2,3}P =，求20a 的值； （3）数列{}n a 具有性质T ，对于P 中的任意元素i p ，k i a 为第k 个满足k i i a p =的项，记1k k k b i i +=-（*k N ∈），证明：“数列{}k b 具有性质T ”的充要条件为“数列{}n a 是周期为t 的周期数列，且每个周期均包含t 个不同实数”.【解析】（1）2t =，对任意正整数n ，2n n a a +=恒成立，∴具有性质T （2）分类讨论，得结论，6n ≥，{}n a 有周期性，周期为3，∴2082a a == （3）略。
