七年级数学下册2.1.2幂的乘方与积的乘方第2课时积的乘方课件(新版)湘教版 (2)

【例2】计算：
(1)(x3 )2
(2)(x2 )3
(3) ( y 2 )3
(4) ( y3 )2
解： (1)(－x3)2 = x3×2= x6
(2) (－ x2)3 =-x2×3 =-x6
(3) －(y2)3=－y 2×3=－y6
(4) –(y 3)2 =-y 3×2= – y6
注意符号
= a3×4 =a12.
也就是(a3)4=a3×4.
探究
如何证明刚才的猜想呢?
(am)n = am ·am ·… ·am （幂的意义）
n个am
= am+m+…+m （同底数幂的乘法性质）
n个m
= amn(m，n都是正整数).
你能归纳下这个法则吗？
(am)n=amn (m、n是正整数).
结论
于是，我们得到幂的乘方法则： (am)n=amn(m，n都是正整数).
(m+n)个a
动脑筋 做一做
填空：
1. am+am=__2_a_m_,依据____合___并__同__类__项___法. 则
2. a3·a5=___a_8 ,依据__同_底__数_幂__乘__法_的__法_则_
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探究
计算下列各式，并说明理由 . （1） (62)4 ; （2） (a2)3 ; （3）(am)2 ;
解：(1) (62)4 = 62·62·62·62 = 62+2+2+2 = 68 (2) (a2)3= a2·a2·a2 = a2+2+2 = a6 (3) (am)2 =am ·am = am+m = a2m ;
幂的意义 同底数幂的乘法

二、积的乘方
1.根据乘方的意义和乘法的交换律、结合律探究如何计算
(5a2)3. 提示：(5a2)3=(5a2)·(_5_a_2 )·(_5_a_2 )
(乘方的意义)
=(5×_5_×_5_)·(a2·_a_2 ·_a_2) (乘法交换律、结合律)
=53·a_6 (乘方的意义与同底数幂的乘法)
2.根据例子填空：
(an+1)2=a2(n+1)=a2n+2.
2.计算:(-b2)3=______. 【解析】(-b2)3=-(b2)3=-b2×3=-b6. 答案：-b6
3.计算：(1)［(x＋y)2］6＝_______. (2)a8＋(a2)4＝_______. 【解析】(1)［(x＋y)2］6＝(x+y)2×6=(x＋y)12. (2)a8＋(a2)4＝a8＋a2×4＝a8＋a8＝2a8. 答案：(1)(x＋y)12 (2)2a8
积的乘方 (ab)n=anbn
运算的 种类计算结果ຫໍສະໝຸດ 底数指数乘法
不变
相加
乘方 乘方
不变
相乘
底数的每一个因式分 别乘方,再把所得的幂 相乘
题组一：幂的乘方运算
1.下列计算正确的是( )
A.(a5)2=a7
B.a5·a2=a10
C.(a3)2=a6
D.(an+1)2=a2n+1
【解析】选C.(a5)2=a5×2=a10;a5·a2=a5+2=a7;
题组二：积的乘方运算
1.(2013·广州中考)计算：(m3n)2的结果是( )
A.m6n
B.m6n2 C.m5n2 D.m3n2
【解析】选B.由积的乘方的运算法则得(m3n)2=(m3)2·n2=m6n2.

幂的意义 同底数幂的乘法
(am)n＝ amn.
1、(102)3代表什么意义？
2、(102)3=106，为什么？
(102)3 =102×102×102 (根据 幂的意义 ).
=102+2+2 =102×3
(根据 同底数幂的乘法性质).
=106.
怎样计算(a3)4？
(a3)4 =(a3·a3·a3·a3)(乘方的意义)
方法总结：此类题的关键是逆用幂的乘方及同 底数幂的乘法公式，将所求代数式正确变形， 然后代入已知条件求值即可.
变式训练 (1)已知x2n＝3，求(x3n)4的值； (2)已知2x＋5y－3＝0，求4x·32y的值．
解：(1) (x3n)4＝x12n＝(x2n)6＝36＝729. (2) ∵2x＋5y－3＝0， ∴2x＋5y＝3, ∴4x·32y＝(22)x·(25)y＝22x·25y＝22x＋5y＝23＝8.
当堂练习
1．(x4)2等于 A．x6 C．x16
B．x8 D．2x4
( B)
2.下列各式的括号内，应填入b4的是( C )
A．b12＝( )8
B．b12＝( )6
C．b12＝( )3
D．b12) A．[(a＋b)2]3＝(a＋b)6 B．[(a＋b)2]5＝(a＋b)7 C．[(a－b)3]n＝(a－b)3n D．[(a－b)3]2＝(a－b)6
(6) [(﹣x)4]3.
解: (1) (103)5 = 103×5 = 1015； (2) (a2)4 = a2×4 = a8；
(3) (am)2 =am·2=a2m； (4) -(x4)3 =-x4×3=-x12. (5)[(x+y)2]3= (x+y)2×3 =(x+y)6；

同底数幂相乘
am·an=am+n 底数不变
指数相加
其中m , n 都是正整
指数相乘
数
（am）n=amn
幂的乘方
积的乘方
互动探究
问题1 下列两题有什么特点？
(1) ( a b ) 2 ;
(2) ( a b ) 3 .
底数为两个因式相乘，积的形式.
我们学过的幂的 乘方的运算性质
适用吗？
这种形式为 积的乘方
练一练
下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？
(1)(3cd)3=92c73cd33;d3 ×
(2)(-3a3)2= -99aa66;
×
(3)(-2x3y)3= -8x86xy39; y3 ×
(4)(-ab2)= a2b4.
√
例2 计算: (1) －4xy2·(xy2)2·(－2x2)3； (2) (－a3b6)2＋(－a2b4)3.
6.计算: （1） 2(x3)2·x3-(3x3)3+(5x)2·x7;
解：原式=2x6·x3-27x9+25x2·x7 = 2x9-27x9+25x9 = 0;
（2）(3xy2)2+(-4xy3) ·(-xy) ; 解：原式=9x2y4 +4x2y4 =13x2y4;
（3）(-2x3)3·(x2)2. 解：原式= -8x9·x4 =-8x13.
练一练
计算:
1 4
4
2 10.
解：原式
1 2
2
4
210
1 2
8
210
1 2
8
28
22
1 2
2
8
22
4.

公 式 的 拓 展
（7）三个或三个以上的积的乘方，是否也具有上面的性质? （8）怎样用公式表示?
(abc) =a · b · c
n
n
n
n
怎样证明 ?
动脑筋
(abc)n = (abc)· … · (abc)
n个abc
=( a · a… · a)· (b ·b … · b) · (c ·c … · c)
解： -(xyz )4 + (2x2y2z2 )2 = -x4y4z4 + 4x4y4z4 = 3x4y4z4.
中考 试题
1、下列计算正确的是（ D ）
A．x3+x3=x6 B．a6+a2=a3
C．3a+5a=8ab

D．（ab2）3=a3b6
2、计算 - 1 a b 的结果正确的是（ C ） 2 A. 1 a 4b 2 B. 1 a 6b 3 4 8 C.- 1 a 6b 3 D.- 1 a 5b 3 8 8 21a63 2 3 5 7 3、化简[-a · (-2a) · (-a) ] 的结果是 .
解： -2(a2)3 ·(a3)2 · a-(-a)2 · (-a)3 · (a4)2 = -2a6 · a6 · a –a2 · (-a)3 · a8 = -2a6+6+1 + a2+3+8 = -2a13+a13 = -a13. 2. 2(-a)2 · (b2)3 -3a2 · (-b3)2.
解
=(2 ·2 ·2)(b ·b ·b) (乘法交换律和结合律)
3个 2 3个 b
= 23b3.
= 8b3.
(幂的意义)
(乘方的运算)
（6）怎样计算(ab)n ？在运算过程中你用到了哪些知识？ 把上面的运算过程推广到一般情况，即 (ab)n = (ab) ·(ab) · … ·(ab)

10．计算：(－0.25)2 021×42022×(－2)4042＝__－__4_2 _02_2_. 【点拨】(－0.25)2 021×42022×(－2)4 042 ＝(－0.25)2 021×42 021×[(－2)2]2 021×4 ＝(－0.25×4×4)2 021×4＝－42 022.
能力提升练
A．6×109
B．8×109
C．2×1018
D．1018
基础巩固练
3．在下列括号中应填入“4m4”的是( B )
A．16m12＝( )2
B． 64m12＝( )3
C．4m12 ＝( )3
D．4m10＝( )6
基础巩固练
4．【中考·株洲】下列计算正确的是( A )
A．a·a3＝a4
B．2a－a＝2
11．已知(anbm＋4)3＝a9b6，则 mn＝__－__8____. 【点拨】因为(anbm＋4)3＝a3nb3m＋12，(anbm＋4)3＝a9b6，所以 3n＝9， 3m＋12＝6，解得 n＝3，m＝－2，所以 mn＝(－2)3＝－8.
能力提升练 12．计算： (1)(－a3)2·a3－(－3a3)3；
基础巩固练
7．计算：82 022×(－0.125)2 021＝___－__8___． 【点拨】82022×(－0.125)2021＝8×82 021×(－0.125)2 021 ＝8×(－0.125×8)2 021＝8×(－1)＝－8.
基础巩固练
8．计算：a5·a4＋(－2a3)3＝__－__7_a_9__． 【点拨】a5·a4＋(－2a3)3＝a9－8a9＝－7a9.
(5)(－2x2y)3－(－2x3y)2＋6x6y3＋2x6y2.
原式＝－8x6y3－4x6y2＋6x6y3＋2x6y2＝－2x6y3－2x6y2.

＝-10 ⑴ (-102)5
10
⑵ (-a3)4
＝-a10
＝-2 ⑷ -(23)6
18
＝a12
＝x ⑸ (x3)6
18
2.下列计算是否正确，如有错误，请改正.
⑴ (a5)2＝a7; (a5)2＝a10
⑵ a5·a2＝a10；
a5·a2＝a7
⑶ (－a2)3＝a6； (－a2)3＝－a6 无法计算 ⑷ a7＋a3＝a10；
于是，我们得到幂的乘方法则： (am)n=amn(m，n都是正整数).
幂的乘方，底数不变，指数相乘．
同底数幂的乘法和幂的乘方的区别：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
同底数幂 的乘法法 则与幂的 乘方法则 有什么相 同点和不 同点？
即：am ·an = am+n （m，n都是正整数). 幂的乘方，底数不变，指数相乘． 即：(am)n=amn(m，n都是正整数).
(幂的意义)
n个ab
= (a ·a ·… ·a )(b ·b ·… ·b)
(乘法交换律和结合律)
n个a
= anbn (n为正整数).
n个b
(幂的意义)
积的乘方法则
(ab)n = an·bn（m,n都是正整数）
积的乘方 乘方的积
用自己的语言叙述 一下积的乘方法则?
积的乘方，等于把积的每一个因式分 别乘方，再把所得的幂相乘.
(1)(m4 )2 m5 m3;
(2)(a3 )5 (a2 )2; （3）x·x4 – x2 ·x3 .
若 (am) n=am n=an m 则 a mn=(a m)n =(a n)m 同样：am+n = am ·an （m，n都是正整数).

2.1 整式的乘法
——2.1.2 幂的乘方与积的乘方
幂的乘方
动脑筋
幂的意义:
n个a a·a·… ·a
= an
同底数幂乘法的运算性质：
am ·an = am+n（m,n都是正整数）
am ·an = (a ·a·… ·a) (a ·a ·… ·a)
推导过程
m个a = a ·a ·… ·a
(m+n)个a
复习题二
1、口答：
（1） (a2)4 a8
A组
（2）(b3m)4 b12m
（3） (xn)m xmn
（4） (b3)3 b9
（5） x4·x4 x8
（6）(x4)7 x28
（7）-(y7)2 -y14
（8）(a3)3 a9
（9） [(-1)3]5 -1
2、计算： （1） (-3n)3 ;
27n3
(1) (102)3 解：(102)3
= 102×3 = 106 ; (2) (b5)5 解： (b5)5 = b5×5 = b25 ;
(3) (an)3 解： (an)3
= an×3 = a3n ;
(4) -(x2)m 解： -(x2)m
= -x2×m = -x2m ; (6) 2(a2)6 -(a3)4 解： 2(a2)6 – (a3)4 =2a2×6 -a3×4 =2a12-a12 =a12.
= (-4)2 ·x2 ·y2
= 16x2y2.
（3） (xy2)3 解 (xy2)3
= x3 ·(y2)3
= x3y6.
（4） (-3ab2c3)4 解 (-3ab2c3)4
= (-3)4 ·a4 ·(b2)4 ·(c3)4 = 81a4b8c12

例：(ab)2=(ab)·(ab)=(a·a)·(b·b)=a2b2.
(1)(ab)3=(ab)·(_a_b_)·(_a_b_)=(a·_a_·_a_)·(b·_b_·_b_)=
_a_3b_3_.
(2)(ab)4= _(_a_b_)_·__(_a_b_)_·__(_a_b_)_·__(_a_b_)_ =(_a_·__a_·__a_·__a_)
5.(1)计算：a·a5+(2a3)2+(-2a2)3. (2)若5n=2,4n=3,求20n的值. 【解析】(1)a·a5+(2a3)2+(-2a2)3 =a6+4a6+(-8a6) =a6+4a6-8a6=-3a6. (2)因为5n=2,4n=3,且20n=(5×4)n=5n×4n, 所以20n=5n×4n=2×3=6.
积的乘方
(ab)n=anb
n
运算的 种类 乘法 乘方
乘方
计算结果
底数
指数
不变
相加
不变
相乘
底数的每一个因式分 别乘方,再把所得的幂 相乘
题组一：幂的乘方运算
1.下列计算正确的是( )
A.(a5)2=a7
B.a5·a2=a10
C.(a3)2=a6
D.(an+1)2=a2n+1
【解析】选C.(a5)2=a5×2=a10;a5·a2=a5+2=a7;
【想一想错在哪？】计算(-x3y)2. 提示：进行积的乘方运算时，系数因数前面的负号的运算错误.
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年2月14日星期一2022/2/142022/2/142022/2/14 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年2月2022/2/142022/2/142022/2/142/14/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/2/142022/2/14February 14, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/2/142022/2/142022/2/142022/2/14

所以，我们得到：积的乘 方，等于把积的每一个因 式分别乘方，再把所得的 幂相乘.
讨论 ( abc )n=？（n是正整数）
【例3】计算：（1）( -2x )3；
（2）( -4xy )2；
（3）( xy2 )3； 解：（1）( -2x )3=( -2 )3·x3= -8x3；
（4）

1 2
xy
练习
1.填空：（1）( 105 )2= 1010 ； （3）-( x3 )5= -x15 ；
（2）( a3 )3= a9 ； （4）( x2 )3·x2= x8 .
2.下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？
（1）( a4 )3=a7；
（2）( a3 )2=a9.
答案：（1）、（2）均不对； （1）( a4 )3=a12；（2）( a3 )2=a6.
通过本节课，你有什么收获？ 你还存在哪些疑问，和同伴交流。
2
z
3
4

（2）( -4xy )2= ( -4 )2·x2·y2= 16x2y2； （3）( xy2 )3=x3·( y2 )3=x3y6；
括号内每一个 因式都要乘方.
（4）
1 2
xy2 z3
4



1 2
4

x4

y2
4

z3
4 1 x4 y8z12 16
2.下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？
（1）(ab3)2=ab6；
（2）ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 2xy )3=6x3y3.
答案：（1）、（2）均不正确； （1）(ab3)2=a3b6； （2）( 2xy )3=8x3y3.
3.计算：-( xyz )4+( 2x2y2z2 )2. 答案：3x4y4z4.