2016-2017学年四川省绵阳市南山中学高三(上)9月月考数学试卷(文科)含解析

四川省绵阳南山中学2016届高三数学上学期10月月考试题 理一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( ) A ．A ∩B ＝φ B ．A ∪B ＝R C ．B ⊆A D ．A ⊆B2.下列有关命题的说法正确的是( )．A ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件B ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题C ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为：“若x 2＝1，则x ≠1”D ．命题“∃x ∈R ，使得：x 2＋x ＋1<0”的否定是：“∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1<0”3.若2a b a b a +=-=r r r r r，则a b +r r 与a r 的夹角为（ ）A .6π B . 3π C. 23π D . 56π 4. 已知01a b <<<，则（ ） A .11b a > B . 11()()22a b < C .22(lg )(lg )a b < D . 11lg lg a b>5． 函数sin ()xy ex ππ=-≤≤的大致图像为()6.设2z x y =+，其中变量,x y 满足条件433525x y x y x m -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z 的最小值为3，则m 的值为（ ）A ．1 B ． 2C ． 3D ． 47.在△ABC中，222sin a b c C ++=，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．正三角形8.已知函数()f x =[]()11,2,02(2),0,x x f x x ⎧-+∈-⎪⎨-∈+∞⎪⎩若方程f (x )＝x ＋a 在区间[－2，4]内有3个不等的实根，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |－2<a <0}B ．{a |－2<a ≤0}C ．{a |－2<a <0或1<a <2}D ．{a |－2<a <0或a ＝1}9. 已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<，且(2)f x +为偶函数，(4)1f =，则不等式()xf x e <的解集为( )A ．(－2，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞) 10.在实数集R 中定义一种运算“*”,对任意b a R b a *,,∈为唯一确定的实数,且具有性质: (1)对任意;**,,a b b a R b a =∈ (2)对任意;0*,a a R a =∈(3)对任意.2)*()*()(**)*(,,c b c c a ab c c b a R b a -++=∈ 关于函数xx x f 21*)2()(=的性质,有如下说法: ①函数f (x )的最小值为3; ②函数f (x )为奇函数;③函数f (x )的单调递增区间为),21(),21,(+∞--∞. 其中所有正确说法的个数为 ( )A .0B .1C .2D .3二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置． 11.计算22log 3321272log lg 42lg58-⋅++得的值为 . 12. 已知正项等比数列{}n a 的前n 项和n S ，若352651,20,64,q a a a a S >+===则 ．13.已知函数()3sin 2cos f x x x x =+-的图像在点A (0x ，0()f x )处的切线斜率为3，则0tan x 的值是________．14.设0,a b >>1，若4121a b a b +=+-，则的最小值为 . 15.有下列4个命题：①若函数()f x 定义域为R ,则()()()g x f x f x =--是奇函数;②若函数()f x 是定义在R 上的奇函数,R x ∈∀,()(2)0f x f x +-=,则()f x 图像关于x =1对称;③已知x 1和x 2是函数定义域内的两个值(x 1<x 2),若12()()f x f x >,则()f x 在定义域内单调递减;④若()f x 是定义在R 上的奇函数, (2)f x +也是奇函数,则()f x 是以4为周期的周期函数. 其中,正确命题是 （把所有正确结论的序号都填上）.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．16.(本小题满分12分)已知p :函数2()24()f x x mx m R =-+∈在[2,)+∞上单调递增,q :关于的不等式244(2)10x m x +-+>(m ∈R )的解为R .若“p 或q ”为真命题,“p 且q ”为假命题,求实数m 的取值范围.17.（本小题满分12分）已知向量,3(sin ,1),(cos ,),()()2m x n x f x m n m =-==+u r r u r r u r g(1)当x ∈[0,2π]时，求函数y ＝f (x )的值域；(2)锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若5,a b ==(),.2B f a c =求边18. （本小题满分12分）已知等差数列}{n a 各项均为正数，11=a ，且34115,,2a a a +成等比数列．(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)设 ,11=b 且当2≥n 时，11-=n n n a a b ，n T 为数列}{n b 的前n 项和，证明：35<n T .19.(本小题满分12分)某厂生产某种产品的年固定成本为250万元,每生产x 千件,需另投入成本C (x )万元.当年产量不足80千件时,21()103C x x x =+(万元),当年产量不小于80千件时,10000()511450C x x x=+-(万元),每件商品售价为05.0万元,通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润L (x ) (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式;(2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大？并求出最大利润.20.(本小题满分13分)已知二次函数2()1f x ax bx =++.(1)若1b a =+,且对任意[1,1]a ∈-时都有()0f x ≥成立,求实数x 的取值范围; (2)若对1212,,<x x R x x ∈,12()()f x f x ≠,方程121()[()()]2f x f x f x =+有两个不等实根,证明必有一根属于12(,)x x .21. （本小题满分14分）已知函数()f x 12ln ,m emx x m R x-+=--∈函数1()ln cos g x x x θ=+在[1，＋∞)上为增函数，且(,)22ππθ∈-.(1)求θ得值(2)当m ＝0时，求函数()f x 的单调区间和极值；(3)若在[1，e]上至少存在一个x 0，使得00()()f x g x >成立，求m 的取值范围． 南山中学2016级高三一诊模拟考试数学(理科)答案一.选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项二.11. 20. 12. 31. 13.12-14. 9. 15. ①④. 三.解答题(本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明证明过程或推演步骤.) 16.函数2()24()f x x mx m R =-+∈的对称轴为m x =,故p 为真时,2≤m .…………………3 q 为真时,310144)]2(4[2<<⇒<⨯⨯--=∆m m .……………………………………………6 ∵“p 或q ”为真命题, “p 且q ”为假命题,∴p 与q 一真一假. 若p 真q 假,则,2≤m 且1≤m 或3≥m ,∴1≤m ; (8)若p假q 真,则,2>m 且31<<m ,∴32<<m (10)综上,实数m 的取值范围是1≤m 或32<<m (12)17.（1）1(sin cos ,)2m n x x +=+u r r ，所以21111()(sin cos )sin sin sin cos sin 2cos 22222f x x x x x x x x x =+-=+-=-，…3分即()f x )4x π=-，………………………………………………………………4分当[0,]2x π∈时，32[,]444x πππ-∈-，sin(2)[42x π-∈-，所以当[0,]2x π∈时，函数()y f x =的值域是1[2-；……………………………6分 （2）由()25B f =，得3sin()45B π-=，又(,)444B πππ-∈-，所以4cos()45B π-=，………………………………………………………………………8分因此”cos cos[()]cos()cos sin()sin 444444B B B B ππππππ=-+=---=, ……9分由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2223298225510c c c =+-⨯⨯， ……11分所以：8c a ==。

联系电话：4000-916-716四川省绵阳南山中学2017届高三上学期10月月考试题（文）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合}}{{2|10,|4,M x g x N x x M N =>=≤=I 则（ ）A ．（0，2）B ．（1，2]C ．（1，2）D ．[1，2）2．i 为虚数单位，若i3)i 3(-=+z ,则=||z （ ）A ．1B ．2C ．3D ．23．1-=m 是直线()0112=+-+y m mx 和直线093=++my x 垂直的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知抛物线:C 28y x =，过点(2,0)P 的直线与抛物线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则O A O B ⋅uur uuu r的值为（ ）A ．16-B ．12-C ．4D ．0 5．等差数列{}n a 中564a a +=，则310122lo g (2222)a a a a ⋅⋅⋅⋅=…（ ）A ．10B ．20C ．40D ．22lo g 5+ 6．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．32B ．16C ．24D ．48 7．下列结论中正确的是（ ）A.若)(q p ⌝∧为真命题，则q 为真命题联系电话：4000-916-716B.回归直线方程b x a y ˆˆˆ+=一定经过(),x y C.将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数与方差均没有变化D.某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人．为了解该单位职工的健康情况，应采用系统抽样的方法从中抽取样本.若样本青年职工为7人，刚样本容量为15．8．若变量x ，y 满足约束条件则的取值范围是（ ）A ．(，7)B ．(，3)C ．(，7]D ．[，7]9．执行如下图所示的程序框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是（ ）A ．s >45B ．s >710C ．s >35D ．s >1210．过抛物线y 2=4x 的焦点的一条直线交抛物线于A 、B 两点，正三角形ABC 的顶点C 在该抛物线的准线上，则△ABC 的边长是（ ）A.8 B ．10 C ．12 D ．14 11．定义在R 上的函数()x f y =，满足()()2f x fx -=，()1x f-'()x <，若()()313f a f +<，则实数a的取值范围是（ ）联系电话：4000-916-716A ．2,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．22,33⎛⎫-⎪⎝⎭D ．22,,33⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12．若函数)(x f 的零点与224)(-+=x x g x的零点之差的绝对值不超过0.25， 则)(x f 可以是（ ） A.1()4f x x =-B.2()2(1)f x x =- C ．31()lo g 2f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．()21x f x =-二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．13．从标有1,2,3,4,5,6的6张纸片中任取2张，那么这2张纸片数字之积为6的概率是 14．已知函数，若函数图象上的一个对称中心到对称轴的距离的最小值为，则的值为 ．15．设()f x 是定义在R 上的奇函数且(4)(3)2f f +-=，则(3)(4)f f -= 16．设△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的三边分别为a , b , c ，若△ABC 的面积为 S = a 2－（b －c ）2，则AA cos 1sin -= ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本题满分12分)已知在等比数列}{n a 中，11=a ，且2a 是1a 和13-a 的等差中项. （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若数列}{n b 满足)(12*N n a n b n n ∈+-=，求}{n b 的前n 项和n S .联系电话：4000-916-71618．(本题满分12分)如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，AA 1＝3，D 是BC 的中点，点E 在棱BB 1上运动． （1）证明：AD ⊥C 1E ；（2）当异面直线AC ，C 1E 所成的角为60°时，求三棱锥C 1-A 1B 1E 的体积．19．(本题满分12分)某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组，第二组，…，第五组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1) 根据频率分布直方图，估计这50名学生百米测试成绩的平均值；(2) 若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于1的概率.[13,14)[14,15)[]17,18联系电话：4000-916-71620．(本题满分12分) 已知椭圆C ：22221x y ab+=（a>b>0），过点(0，1)，且离心率为2．(1)求椭圆C 的方程；(2)A ，B 为椭圆C 的左右顶点，直线l ：xx 轴交于点D ，点P 是椭圆C 上异于A ，B 的动点，直线AP ，BP 分别交直线l 于E ， F 两点．证明：当点P 在椭圆C 上运动时，|DE |·|DF |恒为定值．21．(本题满分12分) 已知函数()(1) 若在点处的切线方程为，求的解析式及单调递减区间；(2) 若在上存在极值点，求实数的取值范围．b x a xaxx f ++-+=)22(2131)(23R a ∈)(x f y =))1(,1(f P 21=y )(x f y =)(x f y =]0,2[-a联系电话：4000-916-716选做题：22—23任选一题，如果多选，仅以所选第一题计分。

2019-2020学年四川省绵阳市南山中学高三（上）9月月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.集合，，则A. B. C. 2， D. 3，2.已知命题p：，，则￢为A. ，B. ，C. ，D. ，3.设命题p：，命题q：，则p是q成立的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知角的终边过点，且，则m的值为A. B. C. D.5.要得到函数的图象，可将的图象向左平移A. 个单位B. 个单位C. 个单位D. 个单位6.若函数的两个零点是m，n，则A. B. C. D. 以上都不对7.函数的图象大致是A. B.C. D.8.已知函数，且，则的值为A. B. 1 C. 3 D.9.三次函数的图象在点处的切线与x轴平行，则在区间上的最小值是．A. B. C. D.10.已知，，则A. B.C. D.11.的定义域为R，且，若方程有两不同实根，则a的取值范围为A. B. C. D.12.若函数的图象恒在x轴上方，则实数a的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线在点处的切线方程为______．14.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中“方田”章给出了计算弧田面积时所用的经验公式，即弧田面积弦矢矢弧田如图由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径为3米的弧田，如图2所示，按照上述经验公式计算所得弧田而积大约是______方米，结果保留整数15.已知函数的图象关干直线对称．该函数的部分图象如图所示，，，则的值为______．16.定义在R上的偶函数，且时，，若对任意，不等式恒成立，则实数t的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知函数．Ⅰ求函数的最小正周期；Ⅱ当时，求函数的最大值和最小值．18.的内角A，B，C，的对边分别为a，b，c，且求若，求的面积19.己知三角形ABC的对边为a，b，c，R是三角形ABC外接圆的半径，证明：20.已知函数，直线l：求函数的极值；试确定曲线与直线l的交点个数，并说明理由21.已知函数．讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点；设是的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线的切线．22.在直角坐标系xOy中，已知倾斜角为的直线l过点以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为，直线l与曲线C分别交于P，Q两点．写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程：若，求直线l的斜率k．23.已知函数．解不等式；若不等式有解，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：集合2，3，，且集合，，故选：A．由一元二次不等式的解法求出集合B，由交集的运算求出．本题考查了交集及其运算，以及一元二次不等式的解法，属于基础题．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查命题的否定，解题的关键是掌握并理解命题否定的书写方法规则，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，书写时注意量词的变化．本题中的命题是一个全称命题，其否定是特称命题，依据全称命题的否定书写形式：将量词“”与“”互换，结论同时否定，写出命题的否定即可．【解答】解：命题p：，，命题p的否定是“，”故选D．3.【答案】B【解析】解：由得，由得，则p是q成立的必要不充分条件，故选：B．根据不等式的解法，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的性质以及充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．4.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．由条件利用任意角的三角函数的定义，求出m的值．【解答】解：由题意可得，，，，解得，故选：B．5.【答案】A【解析】解：由于函数，故将的图象向左平移个单位，可得的图象，故选：A．根据两角和差的正弦公式求得的解析式，再利用函数的图象变换规律，得出结论．本题主要考查两角和差的正弦公式，函数的图象变换规律，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：令得，则与的图象有2个交点，不妨设，，作出两个函数的图象如图：，即，，即，．故选：C．结合图象得出和的大小关系，利用对数的运算性质化简即可得出答案．本题考查了基本初等函数的图象与性质，对数的运算性质，属于中档题．7.【答案】D【解析】解：当时，，，即时，函数y单调递减，当，函数y单调递增，因为函数y为偶函数，故选：D．根据掌握函数的奇偶性和函数的单调性即可判断．本题考查了函数图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数的单调性，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：根据题意，函数，若，即，，故选：D．根据题意，由可得，又由，变形即可得答案．本题考查三角函数的周期性以及诱导公式的应用，属于基础题．9.【答案】D【解析】【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得a，再求在区间上的最小值．本题考查导数的运用：求切线的斜率，函数的单调性与最值，考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，考查运算能力，属于中档题．【解答】解：，由图象在处的切线平行于x轴，可得，解得，，函数在上单调递减，上单调递增，时，在区间上的最小值是．故选D．10.【答案】C【解析】解：已知，则，即，又，，即，即，故选：C．利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式化简所给的条件，可得结论．本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：时，，时，，．故时，是周期函数，如图，欲使方程有两解，即函数的图象与直线有两个不同交点，故，则a的取值范围是．故选：A．由已知中函数的解析式，我们易分析出函数的图象在Y轴右侧呈周期性变化，结合函数在时的解析式，我们可以画出函数的像，根据图象易分析出满足条件的a的取值范围．本题考查的知识点是函数的图象与图象变化，其中根据函数的解析式，分析函数的性质，并画出函数的图象是解答本题的关键．12.【答案】A【解析】解：，，时，成立，时，，设，则，要使时a恒大于，则只需a比的最大值大，故，综上，，故选：A．问题转化为，时，成立，时，，求出a的范围即可．本题考查了函数恒成立问题，考查二次函数的性质以及转化思想，是一道中档题．13.【答案】【解析】【分析】本题主要考查函数求导以及某点处导数的几何意义就是切线斜率，然后根据点斜式直线代入即可得到切线方程．本题属基础题．本题就是根据对曲线方程求导，然后将代入导数方程得出在点处的斜率，然后根据点斜式直线代入即可得到切线方程．【解答】解：由题意，可知：，．曲线在点处的切线方程：，整理，得：．故答案为：．14.【答案】5【解析】解：如图，由题意可得，，在中，可得，，，可得矢，由，可得弦，所以弧田面积弦矢矢平方米平方米．故答案为：5．运用解直角三角形可得AD，DO，可得弦、矢的值，根据题意即可计算得解．本题考查扇形的面积公式的运用，考查三角函数的定义以及运算能力、推理能力，属于基础题．15.【答案】【解析】解：依题意，，，故AB，所以，，，又图象关干直线对称，所以，即，，又，所以，所以，所以，故答案为：．，，故AB，所以，，，又图象关干直线对称，所以，即，，又，所以，进而可以求的值．本题考查的知识要点：利用函数的图象求函数的解析式，及利用函数的解析式求函数的值，主要考查学生的应用能力．16.【答案】【解析】解：为R上偶函数，在上为单调增函数，；；；化简后：；当时，式解为：或；对任意，式恒成立，则需：故；当时，是解为：或；对任意，式恒成立，则需：故；当时，式恒成立；综上所述，或或．故答案为：．由题意为R上偶函数，在上为单调增函数知，转化为对任意，恒成立问题．本题主要考查了函数的基本性质，以及函数恒成立问题，属中等题．17.【答案】解：Ⅰ函数-----------分；----------------------------------分因此函数的最小正周期；--------------------------分Ⅱ因为，所以；--------------------------分所以；---------------------------------------分因此，当时，的最大值为1，当时，的最小值为-----------------------------------分【解析】Ⅰ把函数化为正弦型函数，求出的最小正周期；Ⅱ根据x的取值范围，结合三角函数的图象与性质求出的最大、最小值．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．18.【答案】解：由已知得，因为，所以，所以，由，得．由，得，，在中，，由正弦定理得，，，所以．【解析】本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角恒等变换，三角形面积等基础知识；考查运算求解能力等；考查化归与转化思想、函数与方程思想等；考查数学抽象，数学运算等．Ⅰ直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出B的值．Ⅱ利用三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和三角形的面积公式求出结果．19.【答案】证明：已知中A，B，C所对边分别为a，b，c，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则，，，在中，设，，作垂足为点H，可得，，可得，得到，同理，在中，，因为同弧所对的圆周角相等，所以，．【解析】采用坐标法证明，方法是以A为原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，表示出点C和点B的坐标，利用两点间的距离公式表示出的平方，化简后即得到．通过三角函数定义法证明即可．本题考查正弦定理以及余弦定理的证明，本题的解答方法比较多，可以利用向量法证明，也可以利用分类讨论证明．20.【答案】解：函数，定义域为，求函数导数得，令，解得．当x变化时，与的变化情况如下表：所以函数的单调增区间为，，单调减区间为，所以函数有极小值，无极大值，“曲线与直线1的交点个数”等价于“方程的根的个数”，由方程，可得，令，则，其中，且，考查函数，其中因为时，所以函数在R上单调递增，且，而方程，其中，且，所以当时，方程无根；当时，方程有且仅有一根，故当时，曲线与直线1没有交点，当时，曲线与直线1有且仅有一个交点；【解析】求函数导数，利用函数的单调性可得函数的极值；曲线与直线l的交点个数，转换为方程的根的个数”，由方程，可得，令，则，其中，且，再利用关于k的函数，其中的单调性判断函数的根的个数，可得k的取值范围；从而确定在k的条件下曲线交点的个数；考查利用导数研究函数的极值问题，曲线的交点问题，体现了转化的思想方法，属于中档题．21.【答案】解析：函数，定义域为：；，且，在和上单调递增，在区间取值，代入函数，由函数零点的定义得，，，，在有且仅有一个零点，在区间取值e，代入函数，由函数零点的定义得，又，，，在上有且仅有一个零点，故在定义域内有且仅有两个零点；是的一个零点，则有，曲线，则有，曲线在点处的切线方程为：，即，可得，而曲线的切线在点处的切线方程为：，即，故曲线在点处的切线也是曲线的切线．故得证．【解析】本题考查的单调性，函数导数，在定义域内根据零点存在性定理求零点个数，以及利用曲线的切线方程定义证明．讨论的单调性，求函数导数，在定义域内根据零点存在性定理求零点个数，运用曲线的切线方程定义可证明在点处的切线方程为，曲线在点处的切线方程为，得证．22.【答案】解：倾斜角为的直线l过点．直线l的参数方程为为参数，曲线C的极坐标方程为，即，曲线C的直角坐标方程为．将直线l的参数方程为参数代入曲线C，得：，由，得，，，又，，，由题意知，，，解得，满足，，，直线l的斜率．【解析】由倾斜角为的直线l过点能求出直线l的参数方程；曲线C的极坐标方程化为，由此能求出曲线C的直角坐标方程．将直线l的参数方程为参数代入曲线C，得，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出直线l的斜率k．本题考查直线的参数方程、曲线的直角坐标方程、直线的斜率的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．23.【答案】解：，或或，分解得：或或无解，综上，不等式的解集是分，当时等号成立，分不等式有解，，，或，即或，实数m的取值范围是分【解析】求出的分段函数的形式，问题转化为关于x的不等式组，解出即可；根据绝对值不等式的性质求出代数式的最小值，得到关于m的不等式，解出即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．。

四川省绵阳南山中学2016届高三数学上学期10月月考试题 文1.本试卷分第Ⅰ卷(客观题)和第Ⅱ卷(主观题)两部分,全卷共150分,考试时间120分钟.2.所有试题均答在答题卡上,答在题卷上无效．第Ⅰ卷(客观题,共50分)一.选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.全集U=R ,集合{}220A x x x =-?{}cos ,B y y x x R ==?,则A B ?( )A .{}1,2x x x <->或 B .{}12x x-＃C .{}1x x ? D.{}01x x ＃.2.已知向量,a b r r 满足1a b ==r r , 12a b ?-r r ,则2a b +=r r( )A B C D3.下列四种说法:①{}0,1A =的子集有3个；②“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真；③“命题p q Ú为真”是“命题p q Ù为真”的必要不充分条件；④命题“2,320x R xx "?-?均有” 的否定是：“2000,320x R x x $?-?均有”.其中错误．．命题的个数有 （ ）A .0个B .1个C . 2个D . 3个4.函数3y x = 与212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭图象的交点坐标为(),a b ，则a 所在区间为 ( )A .()0,1B .()1,2C .()2,3D .()3,4 5.设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3，x －y ≥－1，y ≥1，则目标函数z ＝4x ＋2y 的最大值为 ( )A ．12B ．10C ．8D ．26.已知f (x )＝a x －2，g (x )＝log a |x |(a >0且a ≠1)，若f (4)·g (－4)<0，则y ＝f (x )，y ＝g (x )在同一坐标系内的大致图象是 ( )A. B. C. D.7.函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2向左平移π6个单位后是奇函数，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为A. -B ．12-C ．12D 8.下列三个数：33ln,ln ,ln 3322a b c p p =-=-=-，大小顺序正确的是 ( ) A . a c b >> B . a b c >> C . b c a >> D . b a c >>9.在边长为1的正三角形AOB 中，P 为边AB 上一个动点，则OP BP ×u u u r u u u r的最小值是 ( )A . 316-B . 316C . 116-D . 11610.设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()2f x x =.若对任意[],2x k k ?，不等式()()9f x k f x +?恒成立，则()2log g k k=的最小值是( )A . 2B .12C .12- D .2-第Ⅱ卷(主观题,共100分)二.填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11. tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43π=________. 12.已知等差数列{a n }的首项a 1＝11，公差d ＝－2，则{a n }的前n 项和S n 的最大值为________. 13.若直线()100,0ax by a b +-=>>过曲线()1sin 02y x x p =+<<的对称中心，则12a b+的最小值为________.14.已知函数()3223f x x ax bx a =+++在1x =-处取得极值0，则a b -＝______.15.已知函数(),0,ln ,0,x ae x f x x x ì£ï=í->ïî(其中e 为自然对数的底数)，若关于x 的方程()()0f f x =有且只有一个实数解，则实数a 的取值范围为______________.三.解答题(本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明证明过程或推演步骤.) 16.(本小题满分12分)已知函数2()2cos .2xf x x =(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期和值域; (Ⅱ)若1,(),33f 为第二象限角且παα-=求cos 21cos 2sin 2a a a+-的值.17.(本小题满分12分) 已知等比数列{a n }(*n N Î)满足2a 1＋a 3＝3a 2，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)若2121log ,n n n n nb a S b b b a =+=+++L ，求使S n －2n ＋1＋47<0成立的n 的最小值．18.(本小题满分12分)设函数()()2210g x ax ax b a =-++>在区间[]2,3上有最小值1和最大值4，设函数()()g x f x x=. (Ⅰ)求函数()g x 的解析式；(Ⅱ)若不等式()220x x f k -壮在区间[]1,1-上有解，求实数k 的取值范围.19.(本小题满分12分)已知A,B 分别在射线CM,CN （不含端点C ）上运动，23MCN p ?.在三角形ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为,,a b c . (Ⅰ)若,,a b c 成等差数列，且公差为2，求c 的值；(Ⅱ)当cθ∠ABX =,试用q 表示三角形的周长，并求周长的最大值.AB MCN20.(本小题满分13分)已知函数()ln xf x a x bx =+的图象过点11,,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭且在点()()1,1f 处的切线与直线0x y e +-=垂直(e 为自然对数的底数，且 2.71828e L =).(Ⅰ) 求,a b 的值;(Ⅱ)若存在 01,x e e 轾Î犏犏臌，使得不等式2000113()222f x x tx +-≥-成立，求实数t 的取值范围.21.(本小题满分14分)已知函数()2(),g 2,.xf x e x x x a a R ==-++∈(Ⅰ)讨论函数()()()h x f x g x =?的单调性; (Ⅱ) 记函数()()(),0,,0,f x x x g x x jì<ï=í>ïî，设()()()()1122,,,A x x B x x ϕϕ为函数()x j 图象上的两点，且12x x <. ① 当0x >时，若()x j在A ，B 处的切线相互垂直，求证：211xx -?；② 若在点A ，B 处的切线重合，求实数a 的取值范围. 2015年10月绵阳南山中学2015年秋季2016届 一诊模拟考试数学(文科)试题答案一. 选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是二.填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11. - 12.36 13. 3+ 14. -7 15.()(),00,1-∞⋃三.解答题(本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明证明过程或推演步骤.) 16.(Ⅰ)5()12sin 6f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭π （或()12sin 6f x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭π或()12cos 3f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭π） .................................... (3)故最小正周期为π，值域为[]1,3- (6)(Ⅱ)由1()33f -=πα,得1cos 3=-α. 又因为,为第二象限角α则sin 3=α. (9)222cos 2cos sin cos sin 11cos 2sin 22cos 2sin cos 2cos 2a a a a a a a a a a a -+-===+-- (12)17.(Ⅰ) 设等比数列{a n }的公比为q ，依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋a 3＝3a 2，a 2＋a 4＝2(a 3＋2)，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1(2＋q 2)＝3a 1q ，a 1(q ＋q 3)＝2a 1q 2＋4，①②由①得q 2－3q ＋2＝0，解得q ＝1或q ＝2.当q ＝1时，不合题意，舍去；当q ＝2时，代入②得a 1＝2，所以a n ＝2·2n －1＝2n.故所求数列{a n }的通项公式a n ＝2n(n ∈N *)． .………………………………………6 (Ⅱ)b n ＝a n ＋log 21a n ＝2n ＋log 212n ＝2n－n .所以S n ＝2－1＋22－2＋23－3＋ (2)－n ＝(2＋22＋23＋ (2))－(1＋2＋3＋…＋n )＝2(1－2n)1－2－n (1＋n )2＝2n ＋1－2－12n －12n 2. (9)因为S n －2n ＋1＋47<0，所以2n ＋1－2－12n －12n 2－2n ＋1＋47<0，即n 2＋n －90>0，解得n >9或n <－10. 因为n ∈N *，故使S n －2n ＋1＋47<0成立的正整数n 的最小值为10. (12)18.(Ⅰ) ()()()211.0,g x a x b a a g x =-++->\Q 在区间[]2,3上是增函数，\()()21,34,g g ì=ïí=ïî解得： 1,0a b == \函数()g x 的解析式为()221g x x x =-+. (6)(Ⅱ)由(Ⅰ)知()221g x x x =-+()12f x x x∴=+-，()220x x f k \-壮可化为2111222x xk 骣琪+-壮琪桫………………………………………………9 令12x t =，则221k t t ?+，[]11,1,,22x t 轾?\?犏犏臌Q记()221h t t t =-+，1,22t 轾Î犏犏臌Q ，()min 1h t \=故所求实数k的取值范围是：(],1-?. (12)19.(Ⅰ) Q ,,a b c 成等差数列，且公差为2，4,2a c b c ∴=-=-.又Q 23MCNp ?，1cosC 2∴=-.∴在三角形ABC 中，有222122a b c ab +-=-, 即()()()()2224212422c c c c c -+--=---，化简得：29140c c -+=，解得：7,c =或2c =.又4,7.c c Q >∴= (6)(Ⅱ)在三角形ABC 中，sin sin sin AC BC ABABC BAC ACB==∠∠∠2sin sin sin 33AC BC ∴===πθ⎛⎫-θ ⎪⎝⎭，即2sin ,2sin 3AC BC π⎛⎫=θ=-θ ⎪⎝⎭. (8)∴三角形ABC 的周长()2sin 2sin 3f AC BC AB π⎛⎫θ=++=θ+-θ+ ⎪⎝⎭2sin 3π⎛⎫=+θ+ ⎪⎝⎭ (10)又20,3333Q ππππ<θ<∴<θ+<，当32ππθ+=，即6πθ=时，()f θ有最大值2. (12)20.(Ⅰ)()()ln ln ,ln xf x a x bx ax x bx f x a x a b Q '=+=+∴=++.又点()()1,1f 处的切线与直线0x y e +-=垂直，()11f a b '∴=+=. (2)又()ln xf x a x bx Q =+的图象过点11,,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭11a b f e e e e⎛⎫∴=-+=- ⎪⎝⎭，即1,a b -= (4)1,0a b ∴== ………………………………………………………… (6)(Ⅱ)由(Ⅰ)知()ln f x x x =，由题意()2113222f x x tx +-≥-，即2113ln 222x x x tx +-≥-， 则32ln t x x x≤++. (8)若存在 01,x e e 轾Î犏犏臌，使得不等式2000113()222f x x tx +-≥-成立， 只需t 小于或等于312ln ,,x x x e x e ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦的最大值.设()312ln ,,h x x x x e x e ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦则()()()231x x h x x +-'=，当1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0h x '<；当[]1,x e ∈时，()0h x '>. 故()h x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在[]1,e 上单调递增.()332ln 2,h e e e e e e Q =++=++11112ln 323,h e e e e e e ⎛⎫=++=-++ ⎪⎝⎭ (1)()()121240,h h e e h h e e e e ⎛⎫⎛⎫∴-=-->∴> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故当1,,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()h x 的最大值为1123,h e e e ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭故123,t e e ≤-++即实数t的取值范围是：1,23e e ⎛⎤-∞-++ ⎥⎝⎦. (13)21. (Ⅰ) ()()()()22x h x f x g xe x x a =?-++,()()22x h x e x a ¢\=-++.①当20a +?，即2a ?时，220x a -++? ，()()0,0,xe h x h x ¢Q 在R 上单调递减.②当20a +>，即2a >-时，()(xh x ex x ¢\=--当(x ?时，()0h x ¢>；当(),x ???+?时，()0h x ¢<.综上所述，当2a ?时，()h x 在R 上单调递增；当2a >-时，()h x在(-单调递增，在(),,-?+?上单调递减. (6)(Ⅱ)证明：①()()20,2,x x g x x x a Q >∴ϕ==-++()22,x x '∴ϕ=-+ 由题意可知，()()121,x x ''∴ϕ⋅ϕ=-即()()1222221,x x -+-+=- 当1x =时，()0;x 'ϕ=当01x <<时，()0;x 'ϕ>当1x >时，()0.x 'ϕ<()()121210,x x x x Q ''ϕ⋅ϕ=-<<，()()12120,0,01.x x x x 且''∴ϕ>ϕ<<<<()()()()1212122221,11,4x x x x Q -+-+=-∴--=-()121141x x =--， ()21221141x x x x ∴-=-+-.221,10,x x Q >∴->()212211141x x x x ∴-=-+≥=-,当且仅当()2211,41x x -=- 即232x ∴=时，等号成立. (10)②当()()20,2,x x g x x x a >∴ϕ==-++()()22,2x x '∴ϕ=-+∈-∞且()x 'ϕ单调递减. 当()()0,,xx x f x e <∴ϕ==()()0,1xx e '∴ϕ=∈且()x 'ϕ单调递增.由题意可得， 120.x x <<()11,xx e '∴ϕ=()2222x x 'ϕ=-+令()12122,0,0,1xe x k x k Q ∴=-+=<∴∈，12ln ,1,2k x k x ∴==-()2ln ,,1,1,24k k A k k B a ⎛⎫∴--++ ⎪⎝⎭切线重合，则A ，B 均在切线上.214,1ln 2k a k k k k -++-∴=--化简得()212ln ,0,14k a k k k k =--+-∈令()()212ln ,0,14k h k k k k k =--+-∈，()1ln ,2kh k k '=-+- ()0,1,k Q ∈易知()h k '为单调递减，()()1102h k h ''∴>=> ，()h k ∴单调递增，()31,,4h k ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭即31,.4a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ (14)。

2019-2020学年四川省绵阳市南山中学高三（上）9月月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）1. 已知全集U＝R，A＝{x|−1<x<2}，B＝{x|x≥0}，则∁U(A∪B)＝（）A.{x|0≤x<2}B.{x|x≥0}C.{x|x≤−1}D.{x|x>−1}【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】本题为集合的运算问题，结合数轴有集合运算的定义求解即可．【解答】∵A＝{x|−1<x<2}，B＝{x|x≥0}，∴A∪B＝{x|x>−1}，∁U(A∪B)＝{x|x≤−1}．2. “x>2”是“x2>4”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】先后分析“x>2”⇒“x2>4”与“x2>4”⇒“x>2”的真假，进而根据充要条件的定义，得到答案．【解答】当x>2时，x2>4成立，故“x>2”⇒“x2>4”为真命题故“x>2”是“x2>4”的充分条件；当x2>4时，x<−2或x>2，即x>2不成立故“x2>4”⇒“x>2”为假命题故“x>2”是“x2>4”的不必要条件；综上“x>2”是“x2>4”的充分不必要条件；3. 下列四个命题中，假命题为（）A.∀x∈R，2x>0B.∀x∈R，x2+3x+1>0C.∃x∈R，lgx>0D.∃x∈R，12B【考点】全称命题与特称命题全称量词与存在量词【解析】据指数函数的性质知，可判断A的真假，取当x＝−2时，可判断B的真假；根据当x＝10时，可判断C的真假；解不等式x12=2可判断D的真假，进而得到答案．【解答】根据指数函数的性质知，当x∈R时，2x>0，故A中“∀x∈R，2x>0”为真命题；当x＝−2时，x2+3x+1＝4−6+1＝−1<0，故B中“∀x∈R，x2+3x+1>0”为假命题；当x＝10时，lg10＝1>0，故C中“∃x∈R，lgx>0”，故C为真命题；当x＝4时，x12=2，故D为真命题；4. 已知集合M＝{y|y2x}，集合N＝{x|ylg(2x−x2)}，则M∩N＝（）A.(0, 2)B.(2, +∞)C.[0, +∞]D.(+∞, 0)∪(2, +∞)【答案】A【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域对数函数的定义域【解析】由指数函数的值域得到集合A，求解对数型复合函数的定义域化简集合B，然后直接利用交集运算求解M∩N．【解答】集合M＝{y|y2x}＝{y|y>0}＝(0, +∞)，由2x−x2>0，得：0<x<2．则集合N＝{x|ylg(2x−x2)}＝{x|0<x<2}＝(0, 2)，所以，M∩N＝(0, +∞)∩(0, 2)＝(0, 2)．+x2−3的零5. 已知下列命题：①∀x∈R，|x−1|+|x+2|>2；②函数f(x)=lg1x点有2个；③x>2是x2−3x+2>0的充分不必要条件；④命题：∀x∈R，x3−x2−1≤0的否定是：∃x∈R，x3−x2−1>0．其中真命题有()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D【考点】全称命题与特称命题必要条件、充分条件与充要条件的判断命题的真假判断与应用【解答】解：①∀x∈R，|x−1|+|x+2|≥|−2−1|=3，∴∀x∈R，|x−1|+|x+2|>2为真命题，故①正确，②函数f(x)=lg1x+x2−3的定义域为(0, +∞)，由f(x)=lg1x+x2−3=0得−lgx+x2−3=0，即lgx=x2−3，则两个函数y=lgx和y=x2−3的图象如图所示，由图象知两个函数有2个交点，即函数f(x)有2个零点，故②正确，③由x2−3x+2>0得x>2或x<1，即x>2是x2−3x+2>0的充分不必要条件，故③正确，④命题：∀x∈R，x3−x2−1≤0的否定是：∃x∈R，x3−x2−1>0．故④正确，故正确的是①②③④，共4个，故选D.6. 若函数f (x)，g (x)分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f (x)−g (x)＝e x，则有（）A.f (2)<f (3)<g (0)B.g (0)<f (3)<f (2)C.f (2)<g (0)<f (3)D.g (0)<f (2)<f (3)【答案】D【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】根据题意，由f (x)−g (x)＝e x结合函数的奇偶性的性质可得f(−x)−g(−x)＝−f(x)−g(x)＝e−x，变形可得f (x)+g (x)＝−e−x，联立两个式子解可得：f(x)=e x−e−x2，g(x)=−ex+e−x2，即可得g(0)＝−1，f(2)=e2−e−22，f(3)=e3−e−32，比较即可得答案．【解答】根据题意，函数f (x)，g (x)分别是R上的奇函数、偶函数，则有f(−x)＝−f(x)，g(−x)＝g(x)，则f(−x)−g(−x)＝−f(x)−g(x)＝e−x，即f (x)+g (x)＝−e−x，②联立①②解可得：f(x)=e x−e−x2，g(x)=−ex+e−x2，g(0)＝−1，f(2)=e2−e−22，f(3)=e3−e−32，分析可得：g(0)<f (2)<f (3)；7. 已知a，b，c，d是实数，且c>d．则“a>b”是“a⋅c+b⋅d>b⋅c+a⋅d”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】因为c>d，所以c−d>0，由a>b，得a−b>0，利用同向不等式相乘得到ac+ bd>bc+ad；反之，由ac+bd>bc+ad，移向后因式分解得到(c−d)(a−b)>0，而c>d，所以可得a>b，从而得到要选的结论．【解答】因为c>d，所以，c−d>0①由a>b，则a−b>0②①×②得：(c−d)(a−b)>0，即ac−bc−ad+bd>0，则ac+bd>bc+ad．若ac+bd>bc+ad，则ac−bc−ad+bd>0，即(c−d)(a−b)>0，因为c>d，所以，c−d>0则a−b>0，所以，a>b．所以，在a，b，c，d是实数，且c>d的前提下，“a>b”是ac+bd>bc+ad的充要条件．8. 设集合A={1, 2}，则满足A∪B={1, 2, 3}的集合B的个数是（）A.1B.3C.4D.8【答案】C【考点】子集与真子集的个数问题并集及其运算【解析】根据题意，分析可得，该问题可转化为求集合A={1, 2}的子集个数问题，再由集合的元素数目与子集数目的关系可得答案．【解答】解：A={1, 2}，A∪B={1, 2, 3}，所以满足题目条件的集合B共有22=4个．故选C．9. 设函数y＝xsinx+cosx的图象上的点(x, y)处的切线的斜率为k＝g(x)，则函数k＝g(x)的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】g(x)为该函数在点P处切线的斜率，结合导数的几何意义，得到g(x)＝(xsinx+cosx)′＝xcosx，再讨论函数g(x)的奇偶性，得到函数为奇函数，图象关于原点对称，最后通时，g(x)的符号，可得正确选项．过验证当0<x<π2【解答】∵y＝xsinx+cosx∴y′＝(xsinx)′+(cosx)′＝sinx+xcosx−sinx＝xcosx∵g(x)为该函数在点P处切线的斜率∴g(x)＝xcosx∵g(−x)＝−xcos(−x)＝−xcosx＝−g(x)∴函数y＝g(x)是奇函数，图象关于原点对称时，x与cosx均为正值再根据当0<x<π2可得：0<x<π时，f(x)>0，2因此符合题意的图象只有A10. 若命题“∃a∈[1, 3]，使ax2+(a−2)x−2>0”为真命题，则实数x的取值范围（）,+∞)A.(23C.(−∞, −1)∪(2, +∞)D.(−∞,−1)∪(23,+∞)【答案】D【考点】命题的真假判断与应用【解析】令f(a)＝( x 2+x)a −2x −2，由题意得f(1)>0 且f(2)>0，由此求出实数x 的取值范围．【解答】令f(a)＝ax 2+(a −2)x −2＝( x 2+x)a −2x −2，是关于a 的一次函数， 由题意得：( x 2+x)−2x −2>0，或 ( x 2+x)⋅3−2x −2>0．即x 2 −x −2>0或3x 2+x −2>0．解得x <−1或x >23．11. 已知函数f(x)=x 2−2x ，g(x)=ax +2(a >0)，若∀x 1∈[−1, 2]，∃x 2∈[−1, 2]，使得f(x 1)=g(x 2)，则实数a 的取值范围是( )A.(0,12]B.[12,3]C.(0, 3]D.[3, +∞) 【答案】D【考点】函数的值域及其求法【解析】此题暂无解析【解答】解：∵ 函数f(x)=x 2−2x 的图象是开口向上的抛物线，且关于直线x =1对称， ∴ x 1∈[−1, 2]时，f(x)的最小值为f(1)=−1，最大值为f(−1)=3，可得f(x 1)值域为[−1, 3]，又∵ g(x)=ax +2(a >0)，x 2∈[−1, 2]，∴ g(x)为单调增函数，g(x 2)值域为[g(−1), g(2)]，即g(x 2)∈[2−a, 2a +2]，∵ ∀x 1∈[−1, 2]，∃x 2∈[−1, 2]，使得f(x 1)=g(x 2)，∴ {2−a ≤−1,2a +2≥3,⇒a ≥3. 故选D ．12. 我们常用以下方法求形如y ＝f(x)g(x)的函数的导数：先两边同取自然对数得：lny ＝g(x)lnf(x)，再两边同时求导得到：1y ⋅y′＝g′(x)lnf(x)+g(x)⋅1f(x)⋅f′(x)，于是得到：y′＝f(x)g(x)[g′(x)lnf(x)+g(x)⋅1f(x)⋅f′(x)]，运用此方法求得函数y =x 1x 的一个单调递增区间是（ ）A.(e, 4)B.(3, 6)C.(0, e)D.(2, 3)C【考点】函数的单调性及单调区间导数的运算【解析】根据定义，先求原函数的导数，令导数大于0，解不等式即可【解答】由题意知y ′=x 1x ⋅(−1x 2⋅lnx +1x ⋅1x ⋅1)=x 1x ⋅1−lnxx 2，(x >0)令y ′>0，得1−lnx >0∴ 0<x <e∴ 原函数的单调增区间为(0, e)二.填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）设________(________)={e x ,x ≤0lnx,x0则________． 【答案】g ,x ,g[g(12)]=12【考点】求函数的值函数的求值【解析】利用自变量的范围首先求得 g(12)的值，然后求解所要求解的函数的值即可．【解答】由函数的解析式可得：g(12)=ln 120，则g[g(12)]=g(12)=e ln 12=12．已知函数f(x)={−x 2+ax,x ≤1ax −1,x >1，若∃x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，使得f(x 1)＝f(x 2)成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】(−∞, 2)【考点】全称命题与特称命题全称量词与存在量词【解析】若∃x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，使得f(x 1)＝f(x 2)成立，则f(x)不是单调函数，结合二次函数和一次函数的图象和性质，分类讨论不同情况下函数的单调性，综合讨论结果可得答案．【解答】由题意得，即在定义域内，f(x)不是单调的．分情况讨论：即对称轴在x=a2满足a2<1，解得：a<2（2）x≤1时，f(x)是单调的，此时a≥2，f(x)为单调递增．最大值为f(1)＝a−1故当x>1时，f(x)＝ax−1为单调递增，最小值为f(1)＝a−1，因此f(x)在R上单调增，不符条件．综合得：a<2故实数a的取值范围是(−∞, 2)故答案为：(−∞, 2)设S为非空数集，若∀x，y∈S，都有x+y，x−y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题①实数集是封闭集；②全体虚数组成的集合是封闭集；③封闭集一定是无限集；④若S为封闭集，则一定有0∈S；⑤若S，T为封闭集，且满足S⊆U⊆T，则集合U也是封闭集，其中真命题是________．【答案】①④【考点】康托的集合论──对无限的思考【解析】实数集是封闭集，若S为封闭集，则一定有0∈S，全体虚数组成的集合不是封闭集，当两个共轭复数相乘时，得到一个实数，封闭集不一定是无限集，若S，T为封闭集，且满足S⊆U⊆T，则集合U不一定是封闭集．【解答】∵若∀x，y∈S，都有x+y，x−y，xy∈S，∴实数集是封闭集，若S为封闭集，则一定有0∈S，全体虚数组成的集合不是封闭集，当两个共轭复数相乘时，得到一个实数，封闭集不一定是无限集，故③不正确，若S，T为封闭集，且满足S⊆U⊆T，则集合U不一定是封闭集综上可知①④正确，若函数f′(x)是函数f(x)的导函数，且满足f(0)＝1，3f(x)＝f′(x)−3，则不等式4f(x)>f′(x)的解集为________【答案】(ln23, +∞)【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】根据题意，设函数f(x)＝ae bx+c，由f(0)＝1得a+c＝1；再由3f(x)＝f′(x)−3，得方程组；由此求出f(x)的解析式，再解不等式4f(x)>f′(x)即可．∵ 3f(x)＝f′(x)−3，∴ f′(x)＝3f(x)+3；可设f(x)＝ae bx +c ，由f(0)＝1，∴ a +c ＝1；又3f(x)＝f′(x)−3，∴ 3ae bx +3c ＝abe bx −3，即(3a −ab)e bx ＝−3−3c ，∴ {3a −ab =0−3−3c =0， 解得b ＝3，c ＝−1，a ＝2；∴ f(x)＝2e 3x −1，x ∈R ；又4f(x)>f′(x)，∴ 8e 3x −4>6e 3x ，即e 3x >2，解得x >ln23，所求不等式的解集为(ln23, +∞)．三.解答题（本大题共5小题，共70分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝4，S 5＝35．(Ⅰ)求数列{a n }的前n 项和S n ；(Ⅱ)若数列{b n }满足b n =e a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．【答案】（本小题共1（1）设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ． 则{a 1+d =45a 1+5(5−1)2d =35 ∴ {a 1=1d =3 ， ∴ a n ＝3n −2．∴ 前n 项和S n =n(1+3n−2)2=n(3n−1)2．（2）∵ a n ＝3n −2，∴ b n ＝e 3n−2，且b 1＝e ．当n ≥2时，b nb n−1=e 3n−2e 3(n−1)−2=e 3为定值，∴ 数列{b n }构成首项为e ，公比为e 3的等比数列． ∴ T n =e(1−e 3n )1−e 3=e 3n+1−ee 3−1．数列{b n }的前n 项的和是T n =e 3n+1−ee 3−1．【考点】等差数列与等比数列的综合【解析】（I ）利用等差数列的首项a 1及公差d 表示a 2，S 5，联立方程可求首项a 1及公差d ，再利用等差数列的求和公式可求(II)由（1）可得数列{b n }为等比数列，利用等比数列的求和公式可求（本小题共1（1）设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ． 则{a 1+d =45a 1+5(5−1)2d =35 ∴ {a 1=1d =3， ∴ a n ＝3n −2．∴ 前n 项和S n =n(1+3n−2)2=n(3n−1)2．（2）∵ a n ＝3n −2，∴ b n ＝e 3n−2，且b 1＝e ．当n ≥2时，b nb n−1=e 3n−2e 3(n−1)−2=e 3为定值，∴ 数列{b n }构成首项为e ，公比为e 3的等比数列． ∴ T n =e(1−e 3n )1−e 3=e 3n+1−e e 3−1．数列{b n }的前n 项的和是T n =e 3n+1−ee −1．已知函数f(x)=cos 2ωx +√3sinωxcosωx(ω>0)的最小正周期为π．(Ⅰ)求f(23π)的值；(Ⅱ)求函数f(x)的单调递增区间及其图象的对称轴方程．【答案】（1）f(x)=12(1+cos2ωx)+√32sin2ωx =12+sin(2ωx +π6)， 因为f(x)最小正周期为π，所以2π2ω=π，解得ω＝1， 所以f(x)=sin(2x +π6)+12，所以f(2π3)=−12．（2）由2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2,(k ∈Z)， 得kπ−π3≤x ≤kπ+π6,(k ∈Z)，所以，函数f(x)的单调增区间为[kπ−π3,kπ+π6],(k ∈Z)； 由2x +π6=kπ+π2,(k ∈Z)得x =k 2π+π6,(k ∈Z)， 所以，f(x)图象的对称轴方程为x =k 2π+π6(k ∈Z)．【考点】正弦函数的奇偶性和对称性两角和与差的三角函数正弦函数的单调性(Ⅰ)利用两角差的正弦公式的应用，化简f(x)的解析式，和周期，即可求出ω，把23π代入函数解析式即可求得结果；(II)根据正弦曲线的对称轴，写出函数的对称轴的形式，写出对称轴，根据正弦曲线的增区间，写出函数的增区间．【解答】（1）f(x)=12(1+cos2ωx)+√32sin2ωx=12+sin(2ωx+π6)，因为f(x)最小正周期为π，所以2π2ω=π，解得ω＝1，所以f(x)=sin(2x+π6)+12，所以f(2π3)=−12．（2）由2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2,(k∈Z)，得kπ−π3≤x≤kπ+π6,(k∈Z)，所以，函数f(x)的单调增区间为[kπ−π3,kπ+π6],(k∈Z)；由2x+π6=kπ+π2,(k∈Z)得x=k2π+π6,(k∈Z)，所以，f(x)图象的对称轴方程为x=k2π+π6(k∈Z)．在△ABC中，a、b、c为角A、B、C所对的三边，已知b2+c2−a2＝bc．(Ⅰ)求角A的值；(Ⅱ)若a=√3，cosC=√33，求c的长．【答案】（1）b2+c2−a2＝bc，cosA=b2+c2−a22bc =12∵0<A<π∴A=π3（2）在△ABC中，A=π3，a=√3，cosC=√33∴sinC=√1−cos2C=√1−13=√63由正弦定理知：asinA =csinC，∴c=asinCsinA =√3×√63√32=2√63．∴b=2√63正弦定理余弦定理【解析】(Ⅰ)把题设等式代入关于cosA的余弦定理中求得cosA的值，进而求得A．(Ⅱ)先利用同角三角函数的基本关系求得sinC的值，然后利用正弦定理求得b．【解答】（1）b2+c2−a2＝bc，cosA=b2+c2−a22bc =12∵0<A<π∴A=π3（2）在△ABC中，A=π3，a=√3，cosC=√33∴sinC=√1−cos2C=√1−13=√63由正弦定理知：asinA =csinC，∴c=asinCsinA =√3×√63√32=2√63．∴b=2√63已知函数f(x)=2x+alnx−2(a>0)．(Ⅰ)若曲线y＝f(x)在点P（1, f(1)）处的切线与直线y＝x+2垂直，求函数y＝f(x)的单调区间；(Ⅱ)若对于∀x∈(0, +∞)都有f(x)>2(a−1)成立，试求a的取值范围；(Ⅲ)记g(x)＝f(x)+x−b(b∈R)．当a＝1时，函数g(x)在区间[e−1, e]上有两个零点，求实数b的取值范围．【答案】（1）直线y＝x+2的斜率为1，函数f(x)的定义域为(0, +∞)，因为f′(x)=−2x2+ax，所以，f′(1)=−212+a1=−1，所以，a＝1．所以，f(x)=2x +lnx−2，f′(x)=x−2x2．由f′(x)>0解得x>2；由f′(x)<0，解得0<x<2．所以f(x)的单调增区间是(2, +∞)，单调减区间是(0, 2)．(2) f′(x)=−2x2+ax=ax−2x2，由f′(x)>0解得x>2a；由f′(x)<0解得0<x<2a．所以，f(x)在区间(2a ,+∞)上单调递增，在区间(0,2a)上单调递减．所以，当x=2a 时，函数f(x)取得最小值，y min=f(2a)．因为对于∀x∈(0, +∞)都有f(x)>2(a−1)成立，所以，f(2a )>2(a−1)即可．则22a+aln2a−2>2(a−1)．由aln2a>a解得0<a<2e．所以，a的取值范围是(0,2e)．(Ⅲ) 依题得 g(x)=2x +lnx +x −2−b ，则 g ′(x)=x 2+x−2x 2．由g ′(x)>0解得 x >1； 由g ′(x)<0解得 0<x <1．所以函数g(x)在区间(0, 1)为减函数，在区间(1, +∞)为增函数． 又因为函数g(x)在区间[e −1, e]上有两个零点，所以{g(e −1)≥0g(e)≥0g(1)<0 ，解得 1<b ≤2e +e −1． 所以，b 的取值范围是(1,2e +e −1]． 【考点】利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的最值 函数零点的判定定理利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】(Ⅰ) 求出函数的定义域，在定义域内，求出导数大于0的区间，即为函数的增区间， 求出导数小于0的区间即为函数的减区间．(Ⅱ) 根据函数的单调区间求出函数的最小值，要使f(x)>2(a −1)恒成立，需使函数的最小值大于2(a −1)， 从而求得a 的取值范围．(Ⅲ)利用导数的符号求出单调区间，再根据函数g(x)在区间[e −1, e]上有两个零点，得到{g(e −1)≥0g(e)≥0g(1)<0，解出实数b 的取值范围． 【解答】（1）直线y ＝x +2的斜率为1，函数f(x)的定义域为(0, +∞)， 因为f ′(x)=−2x +ax ，所以，f ′(1)=−21+a1=−1，所以，a ＝1． 所以，f(x)=2x +lnx −2，f ′(x)=x−2x 2． 由f ′(x)>0解得x >2；由f ′(x)<0，解得 0<x <2．所以f(x)的单调增区间是(2, +∞)，单调减区间是(0, 2)． (2) f ′(x)=−2x 2+ax =ax−2x 2，由f ′(x)>0解得 x >2a ； 由f ′(x)<0解得 0<x <2a ．所以，f(x)在区间(2a ,+∞)上单调递增，在区间(0,2a )上单调递减．所以，当x =2a 时，函数f(x)取得最小值，y min =f(2a )．因为对于∀x ∈(0, +∞)都有f(x)>2(a −1)成立，所以，f(2a )>2(a −1)即可． 则22a+aln 2a −2>2(a −1)． 由aln 2a >a 解得 0<a <2e ．所以，a 的取值范围是 (0,2e )．(Ⅲ) 依题得 g(x)=2x +lnx +x −2−b ，则 g ′(x)=x 2+x−2x 2．由g ′(x)>0解得 x >1； 由g ′(x)<0解得 0<x <1．所以函数g(x)在区间(0, 1)为减函数，在区间(1, +∞)为增函数． 又因为函数g(x)在区间[e −1, e]上有两个零点，所以{g(e −1)≥0g(e)≥0g(1)<0 ，解得 1<b ≤2e +e −1． 所以，b 的取值范围是(1,2e +e −1]．已知函数f(x)＝lnax(a ≠0, a ∈R)，g(x)=x−1x．(Ⅰ)解关于x 的不等式：1+e f(x)+g(x)>0；(Ⅱ)当a ＝l 时，过点(1, −1)是否存在函数y ＝f(x)图象的切线？若存在，有多少条？若不存在，说明理由；(Ⅲ)若a 是使f(x)≥g(x)(x ≥1)恒成立的最小值，试比较∑ n k=111+k λ与f[(1+n)λ2n(1−λ)]的大小(0<λ<1, n ∈N ∗)． 【答案】（I ）由函数f(x)＝lnax(a ≠0, a ∈R)，当a >0时，f(x)的定义域为：(0, +∞)；当a <0时，f(x)的定义域为：(−∞, 0)．①当a >0时，x >0．原不等式等价于：1+ax +x−1x>0，⇔ax 2+2x −1>0，解得x >√a+1−1a，其解集为(√a+1−1a, +∞)．②当a <0时，x <0．原不等式等价于：1+ax +x−1x>0，⇔ax 2+2x −1<0，解得x <0，其解集为(−∞, 0)．(II)设y ＝f(x)图象上的切点为（x 0, f(x 0)），则x 0≠1，可得：f′(x 0)=1x 0=lnx 0x0−1，可得lnx 0=−1x 0．设ℎ(x)＝lnx +1x (x >0，且x ≠1)．ℎ′(x)=1x −1x 2=x−1x 2，可得ℎ(x)在(1, +∞)为增函数，在(0, 1)上为减函数．∴ ℎ(x)>ℎ(1)＝1．∴ ℎ(x)＝0没有实数根，故不存在切线． (III)lnax ≥x−1x 对x ≥1恒成立，lna +lnx ≥x−1x⇒lna ≥1−1x −lnx ．令ℎ(x)＝1−1x −lnx ．ℎ′(x)=1−x x ．∴ ℎ(x)在(1, +∞)上单调递减． 故lna ≥ℎ(1)＝0，a min ＝1．可得：lnx ≥x−1x，(x ≥1)．f(x)＝lnx ．令x =1+k λk λ(k ∈N ∗)．ln(1+k λ)−lnk λ>11+k λ，而1+k λ2≤(1+k 2)λ，即1+k λ≤21−λ(1+k)λ，∴ 11+k λ<ln(1+k λ)−lnk λ≤ln(1+k)λ−lnk λ+ln21−λ，∴ ∑ n k=111+k λ<f[(1+n)λ2n(1−λ)](0<λ<1, n ∈N ∗)．【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】（I ）由函数f(x)＝lnax(a ≠0, a ∈R)，当a >0时，f(x)的定义域为：(0, +∞)；当a <0时，f(x)的定义域为：(−∞, 0)．分类讨论：①当a >0时，x >0．原不等式等价于：1+ax +x−1x>0，⇔ax 2+2x −1>0，可得其解集．②当a <0时，x <0．原不等式等价于：1+ax +x−1x>0，⇔ax 2+2x −1<0，可得解集．(II)设y ＝f(x)图象上的切点为（x 0, f(x 0)），则x 0≠1，可得：f′(x 0)=1x 0=lnx 0x0−1，可得：lnx 0=−1x 0．设ℎ(x)＝lnx +1x (x >0，且x ≠1)．利用导数研究其单调性极值即可判断出结论． (III)lnax ≥x−1x对x ≥1恒成立，lna +lnx ≥x−1x⇒lna ≥1−1x −lnx ．令ℎ(x)＝1−1x−lnx ．利用导数研究其在(1, +∞)上单调性．故lna ≥ℎ(1)＝0，a min ＝1．可得：lnx ≥x−1x，(x ≥1)．f(x)＝lnx ．令x =1+k λk λ(k ∈N ∗)．可得1+k λ≤21−λ(1+k)λ，即可得出． 【解答】（I ）由函数f(x)＝lnax(a ≠0, a ∈R)，当a >0时，f(x)的定义域为：(0, +∞)；当a <0时，f(x)的定义域为：(−∞, 0)．①当a >0时，x >0．原不等式等价于：1+ax +x−1x>0，⇔ax 2+2x −1>0，解得x >√a+1−1a，其解集为(√a+1−1a, +∞)．②当a <0时，x <0．原不等式等价于：1+ax +x−1x>0，⇔ax 2+2x −1<0，解得x <0，其解集为(−∞, 0)．(II)设y ＝f(x)图象上的切点为（x 0, f(x 0)），则x 0≠1，可得：f′(x 0)=1x 0=lnx 0x0−1，可得lnx 0=−1x 0．设ℎ(x)＝lnx +1x (x >0，且x ≠1)．ℎ′(x)=1x−1x 2=x−1x 2，可得ℎ(x)在(1, +∞)为增函数，在(0, 1)上为减函数．∴ ℎ(x)>ℎ(1)＝1．∴ ℎ(x)＝0没有实数根，故不存在切线． (III)lnax ≥x−1x 对x ≥1恒成立，lna +lnx ≥x−1x⇒lna ≥1−1x −lnx ．令ℎ(x)＝1−1x −lnx ．ℎ′(x)=1−x x 2．∴ ℎ(x)在(1, +∞)上单调递减． 故lna ≥ℎ(1)＝0，a min ＝1．可得：lnx ≥x−1x，(x ≥1)．f(x)＝lnx ．令x =1+k λk λ(k ∈N ∗)．ln(1+k λ)−lnk λ>11+k λ，而1+k λ2≤(1+k 2)λ，即1+k λ≤21−λ(1+k)λ，∴ 11+k λ<ln(1+k λ)−lnk λ≤ln(1+k)λ−lnk λ+ln21−λ，∴ ∑ n k=111+k λ<f[(1+n)λ2n(1−λ)](0<λ<1, n ∈N ∗)． 选做题：请考生在22，23题中任选一题作答，如果多答，以所答的第一题计分，其余不计分．[选修4-5：不等式选讲]设函数f(x)＝|2−2x|+|x +3|． （1）解不等式f(x)>6；（2）若关于x 的不等式f(x)≤|2a −1|的解集不是空集，试求实数a 的取值范围． 【答案】f(x)＝|2−2x|+|x +3|={3x +1,x >1−x +5,−3≤x ≤1−3x −1,x <−3．∵ f(x)>6，∴ {3x +1>6x >1 或{−x +5>6−3≤x ≤1 或{−3x −1>6x <−3 ，∴ x >53或−3≤x <−1或x <−3， ∴ x <−1或x >53，∴ 不等式的解集为{x|x <−1x >53}；由（1）知，f(x)min ＝f(1)＝4．∵ 不等式f(x)≤|2a −1|的解集不是空集， ∴ f(x)min ≤|2a −1|，∴ a ≥52或a ≤−32， ∴ a 的取值范围为(−∞,−32]∪[52,+∞)．【考点】绝对值不等式的解法与证明 【解析】（1）将f(x)改写为分段函数的形式，然后根据f(x)>6，分别解不等式可得解集； （2）由（1）得到f(x)的最小值，然后由f(x)≤|2a −1|的解集不是空集，可得f(x)min ≤|2a −1|，再解关于a 的不等式即可． 【解答】f(x)＝|2−2x|+|x +3|={3x +1,x >1−x +5,−3≤x ≤1−3x −1,x <−3．∵ f(x)>6，∴ {3x +1>6x >1 或{−x +5>6−3≤x ≤1 或{−3x −1>6x <−3 ，∴ x >53或−3≤x <−1或x <−3，∴ x <−1或x >53，∴ 不等式的解集为{x|x <−1x >53}； 由（1）知，f(x)min ＝f(1)＝4．∵ 不等式f(x)≤|2a −1|的解集不是空集， ∴ f(x)min ≤|2a −1|，∴ a ≥52或a ≤−32， ∴ a 的取值范围为(−∞,−32]∪[52,+∞)． [选修4-4：坐标系与参数方程]已知曲线C 1:{x =−4+cost y =3+sint （t 为参数），C 2:{x =8cosθy =3sinθ（θ为参数）．(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C 1上的点P 对应的参数为t =π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 1:{x =3+2t y =−2+t （t 为参数）距离的最小值．【答案】解：(1)把曲线C 1:{x =−4+costy =3+sint （t 为参数）化为普通方程得：(x +4)2+(y −3)2=1，所以此曲线表示的曲线为圆心(−4, 3)，半径1的圆；把C 2:{x =8cosθy =3sinθ（θ为参数）化为普通方程得：x 264+y 29=1，所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴为8，短半轴为3的椭圆. (2)把t =π2代入到曲线C 1的参数方程得：P(−4, 4)，把直线C 3:{x =3+2t y =−2+t （t 为参数）化为普通方程得：x −2y −7=0，设Q 的坐标为Q(8cosθ, 3sinθ)，故M(−2+4cosθ, 2+32sinθ) 所以M 到直线的距离d =√5=√5，（其中sinα=45，cosα=35）从而当cosθ=45，sinθ=−35时，d 取得最小值8√55．【考点】直线的参数方程 椭圆的参数方程 圆的参数方程点到直线的距离公式 【解析】（1）分别消去两曲线参数方程中的参数得到两曲线的普通方程，即可得到曲线C 1表示一个圆；曲线C 2表示一个椭圆；（2）把t 的值代入曲线C 1的参数方程得点P 的坐标，然后把直线的参数方程化为普通方程，根据曲线C 2的参数方程设出Q 的坐标，利用中点坐标公式表示出M 的坐标，利用点到直线的距离公式表示出M 到已知直线的距离，利用两角差的正弦函数公式化简后，利用正弦函数的值域即可得到距离的最小值． 【解答】解：(1)把曲线C 1:{x =−4+costy =3+sint （t 为参数）化为普通方程得：(x +4)2+(y −3)2=1，所以此曲线表示的曲线为圆心(−4, 3)，半径1的圆；把C 2:{x =8cosθy =3sinθ（θ为参数）化为普通方程得：x 264+y 29=1，所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴为8，短半轴为3的椭圆. (2)把t =π2代入到曲线C 1的参数方程得：P(−4, 4)，把直线C 3:{x =3+2t y =−2+t （t 为参数）化为普通方程得：x −2y −7=0，设Q 的坐标为Q(8cosθ, 3sinθ)，故M(−2+4cosθ, 2+32sinθ) 所以M 到直线的距离d =√5=√5，（其中sinα=45，cosα=35）从而当cosθ=45，sinθ=−35时，d 取得最小值8√55．。

2018年9月25日绵阳南山中学2018年秋季高2017级九月月考数学（文科）本试卷分为试题卷和答题卷两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页；答题卷共4页．考试时间：120分钟；满分150分．第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1、若直线过点(1,2)，(4,2＋3)，则此直线的倾斜角是（A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ） 90°2、以圆x 2+2x +y 2=0的圆心为圆心,半径为2的圆的方程是 （A ）(x -1)2+y 2=4（B ）(x -1)2+y 2=2 （C ）(x +1)2+y 2=4（D ）(x +1)2+y 2=23、点A (3，－2,4)关于点(0,1，－3)的对称点的坐标是( )4、经过点00(,)M x y 且与直线0Ax By C ++=垂直的直线的方程是（C ）00()()0A x x B y y ---=（D ）00()()0B x x A y y ---=5、过圆2240x y x +-=上一点P 作该圆的切线,则切线方程为（A）20x +-=（B）20x += （C0y +-=（D0y -=6、已知圆C 1:x 2+y 2+2x -4y +1=0,圆C 2:(x -3)2+(y +1)2=1,则这两个圆的公切线条数为（A ）(－3,4，－10) （B ）(－3,2，－4) （C ）⎝⎛⎭⎫32，－12，12（D ）(6，－5,11) （A ）00()()0A x x B y y -+-=（B ）00()()0B x x A y y -+-=（A ）1条（B ）2条（C ）3条（D ）4条7、两条直线l 1:x a +y b =1和l 2:x b +ya=1在同一直角坐标系中的图象可以是（A ）（B ）（C ） (D)8、过点(1,2)M 的直线l 与圆22:(2)9C x y -+=交于,A B 两点,C 为圆心,则当弦AB 最短时,直线l 的方程为（A ）1x =（B ）2y =（C ）10x y -+= (D ）230x y -+=9、直线2x ＋3y －6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是（A ）3x －2y ＋2＝0（B ）2x ＋3y ＋7＝0（C ）3x －2y －12＝0 （D ）2x ＋3y ＋8＝010、设x ＋2y ＝1，x ≥0，y ≥0，则x 2＋y 2的最小值和最大值分别为 （A ）15，1 （B ）0,1 （C ）0，15（D ）15，211、若圆x 2+y 2-2x -6y +1=0上恰有三点到直线y =kx 的距离为2,则k 的值为（A ）12（B ）34（C ）43（D ）2 12、已知直角ABC ∆的三边长分别为3,4,5,点P 在其内切圆上运动,则点P 到三角形三顶点距离的平方和222PA PB PC ++的最小值为（A ）16 （B ）18 （C ）20 （D ）22第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二．填空题（共4个小题，每小题5分，共20分）13、无论a 为何实数，直线(a ＋3)x ＋(2a －1)y ＋7＝0恒过第________象限14、两圆x 2＋y 2＋4x ＋y ＝－1与x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0的公共弦所在直线的方程为__________ 15、与圆(x -2)2+(y -1)2=5相切,且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线共有__________条. 16、直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2有且只有一个公共点，则实数b 的取值范围是_________.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17、（本题满分10分）已知直线12:220,:40l x y l mx y n ++=++= (1) 若12l l ⊥,求m 的值;(2)若1l 与2l 平行,且两平行直线间的距离为,求,m n 的值18、（本题满分12分）已知∆ABC 的顶点(1,0),(3,0)A B -,且已知13CA CB =. （1）求顶点C 的轨迹方程;（2）若角C 为直角,求顶点C 的坐标.19、（本题满分12分）已知∆ABC 的顶点(4,1)A -.AB 边上的中线CM 所在直线的方程为430x y +=,AC 边上的高BH 所在直线的方程为7580x y -+=,求 （1）顶点C 的坐标; （2）直线BC 的方程.20、（本题满分12分）已知圆C 的方程为22240()x y mx my m R ++++=∈ （1）求实数m 的取值范围；（2）若直线10x y --=经过圆C 的圆心，求过点(3,3)P 且与圆C 相切的直线方程．21、（本题满分12分）已知圆C 的圆心在曲线2y x=上,与x 轴交于,O A 两点,与y 轴交于,O B 两点,其中O 为坐标原点.(1) 求证:AOB ∆的面积为定值;(2) 设直线24y x =-+与圆C 交于,M N 两点,且OM ON =,求圆C 的方程.22、（本题满分12分）如图,在平面直角坐标系xOy 中,圆22:4O x y +=交y 轴于,A B 两点,交直线1y kx =-于,M N 两点.（1）若MN =求k 的值;（2）设直线,AM AN 的斜率分别为12,k k ,试探究斜率之积12k k ⋅是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.求(3)证明直线,AM BN 的交点必然在一条定直线上,并出该直线的方程.绵阳南山中学2018年秋季高2017级九月月考数学(文科)参考解答一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．ACADB DADDA CB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．二 14．2x-y=0 15．三16．（-1,]1∪{}2-三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(1) 直线1l 的斜率为2-,直线2l 的斜率为4m- 122()14ml l ⊥∴-⋅-=-Q ， 解得m=—2. (2)1l Q 与2l 平行,284mm ∴-=-⇔=. 两直线方程分别为8480x y ++=和840x y n ++== 12n =-或28n =.18．(1) 设(,)C x y ,则有222229(3)9[(1)]CB CA x x y =⇔-=++ 整理得2230x y x ++= 又知0y ≠故所求轨迹方程为2230(0)x y x y ++=≠.(2)CA CB ⊥Q 即20(1)(3)0CA CB x x y ⋅=⇔+-+=u u u r u u u r由22230(1)(3)0x y x x x y ⎧++=⎪⎨+-+=⎪⎩解得 36,55x y =-=±∴顶点C 的坐标为36(,)55-或36(,)55--.19．(1) BH AC ⊥Q ,由此易得直线AC 的方程为57130x y ++=, 由57130430x y x y ++=⎧⎨+=⎩解得C 点坐标为(3,4)-(2) 已知M 是AB 中点,且在直线430x y +=上,故设(3t,4t)M -, 又知(4,1)A -,B ∴点坐标为(6t 4,8t 1)+--,该点在直线BH 上, 7(6t +4)5(8t 1)80∴---+=,由此知12t =-,故(1,3)B ∴直线BC 的方程为74(3)2y x +=--,即72130x y +-=.20．(1) 将圆C 的方程化为标准方程为2225()()424m m x m y +++=- ∴04452>-m ,由此解得m <554>m .(2)圆心C 的坐标为(,)2mm --,∴ 01)2(=----m m ,解得m =-2. ∴ 圆C 的方程为(x -2)2+(y -1)2=1,圆心为(2,1),半径为1． ∴ 过点P (3，3)且和x 轴垂直的直线x =3恰好是圆C 的一条切线． 设另一条切线斜率为k ,则切线方程为y -3=k (x -3),即kx -y -3k +3=0， 由1)1(|3312|22=-++--k k k ，解得43=k ．∴ 方程为3x -4y +3=0． ∴ 综上所述，满足条件的切线方程为x =3或3x -4y +3=0．21．(1)∵圆C 过原点O ,∴2224r t t =+.圆方程为222224()()x t y t t t-+-=+ 令0x =,得1240,y y t==,令0y =,得120,2x x t ==. ∴1142422AOB S OA OB t t∆=⨯=⨯⨯=为定值,证明完毕.(2)∵,OM ON CM CN ==,∴OC 垂直平分线段MN .∵12,2MN OC k k =-∴=.∴直线OC 的方程是12y x =.∴212t t =.解得2t =或2t =-．当2t =时,圆C 的方程为22(2)(1)5x y -+-= 满足题意;当2t =-时,圆C 的方程为22(+2)(+1)5x y +=与直线24y x =-+相离,不满 足题意,舍去.．∴圆C 的方程为22(2)(1)5x y -+-=.22．(1)圆O 的圆心为(0,0),到直线1y kx =-的距离为d =MN ==Q ,由此解得21,1k k =∴=±(2)将1y kx =-代入圆O 方程224x y +=,并整理得22(1)230k x kx +--=,该方程必有两根,且为,M N 的横坐标.故设1122(,),(,)M x y N x y ,由韦达定理12122223,11k x x x x k k -+==++. 111111233(0,2),y kx A k k x x x --∴===-Q ,同理223k k x =- 于是2221212111293()3339()()=33k x x k k k k k k k x x x x -++=--=+-=-即证得 12k k 恒为定值3-.(3)注意到AN BN ⊥,设直线BN 的斜率为3k ,则1313k k ⋅-=-,即133k k = 直线1:2,AM y k x =+直线3:2BN y k x =-的交点满足13232k xy y k x-==+, 即362y y +=-,解得4y =- 故直线,AM BN 交点必在定直线4y =-上. 证明完毕.。

2016年10月绵阳南山中学高2019届2016年秋10月月考数 学 试 题命题人：文媛 审题人：王怀修1.本试卷分第Ⅰ卷(客观题)和第Ⅱ卷(主观题)两部分,全卷共100分,考试时间100分钟.2.所有试题均答在答题卡上,答在题卷上无效．第Ⅰ卷(客观题,共48分)一. 选择题(本大题共12小题,每小题4分,共48分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.集合},{b a 的子集有( ). A.2个B.3个C.4个D.5个2.设集合{}|43A x x =-<<，{}|2B x x =≤，则AB =( ).A.(4,3)-B.(4,2]-C.(,2]-∞D.(,3)-∞ 3.已知函数1,0,(),0,x x f x ax x -≤⎧=⎨>⎩，若(1)(1)f f =-，则实数a 的值等于( ).A.1B.2C.3D.44.已知集合{04}P x x =≤≤，{02}Q y y =≤≤，下列从P 到Q 的各个对应关系f 不是．．映射的是( ).A.1:2f x y x →=B.1:3f x y x →= C.21:8f x y x →= D.2:3f x y x →=5.已知偶函数()f x 的定义域是R ，且()f x 在(0,)+∞是增函数，则(2),a f =-(),b f π=c (3)f =-的大小关系是( ).A.a c b <<B.b a c <<C.b c a <<D.c a b <<6.若函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间[4,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是( ). A.3a ≤ B.3a ≤- C.3a ≥- D.5a ≤ 7.函数()f x 的图象如图所示，则()f xA.()1f x x =--B.()1f x x =-C.()1f x x =-+D. ()1f x x =+8.已知函数(21)32f x x +=+，且()2f a =A.8 B.1 C.5 D.1-9.若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( ). A.04m <<B.04m ≤≤C.4m ≥D.04m <≤10.已知二次函数()f x 图象的对称轴是直线2x =，且(0)3,(2)1,f f ==若在[0,]m 有最大值3，最小值1，则实数m 的取值范围是( ).A.(0,)+∞B.[2,)+∞C.(0,2]D.[2,4]11.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”.那么函数解析式为2y x =-，值域为{1,9}--的“同族函数”共有( ).A.9种B.8种C.5种D.4种12.设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()2f x x =，若对任意[,2]x t t ∈+，不等式()2()f x t f x +≥恒成立，则实数t 的取值范围是( ).A.)+∞B.[2,)+∞C.(0,2]D.[1]-⋃第Ⅱ卷(主观题,共52分) 二. 填空题(本大题共4小题,每小题3分,共12分.)13.设集合{}1,2,3A =，{}2,4B =，全集{}0,1,2,3,4U =则()U C A B ⋃= . 14.若函数 f (x )= (k -2)x 2+(k -1)x +3是偶函数,则f (x )的递减区间是 .15.函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22f x x x =-，则当0x <时，()f x = .16.对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b ＜1.设f (x )＝(x 2－1)⊗(4＋x )，若函数y ＝f (x )＋k的图象与x 轴恰有三个不同交点，则k 的取值范围是 .三.解答题(本大题共4小题,每小题10分，共40分,解答应写出文字说明证明过程或推演步骤.)17.已知集合U R =,函数xx x f ---=713)(的定义域为集合A ，集合{}=210B x x ≤<，集合{}=C x x a >.(1)求A ，()U C A B ⋂；(2)若(C )U B C R ⋃=，求实数a 的取值范围.18.已知集合{}2=230A x x x -+=，{}=10B x ax -=. (1)若{1}A B ⋂=-，求实数a 的值；(2)若A B B ⋂=，求实数a 的值.19.一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x (x ∈N *)件．当x ≤ 20时，年销售总收入为(33x －x 2)万元；当x ＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元. (年利润＝年销售总收入－年总投资) (1)求y (万元)与x (件)的函数关系式；(2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大?最大年利润是多少？20.已知函数()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，且(1)1f =，若对任意的,[1,1]x y ∈-，且0x y +≠，都有()[()()]0x y f x f y +⋅+>. (1)判断()f x 的单调性，并加以证明； (2)解不等式()12102f x f x ⎛⎫++-< ⎪⎝⎭；(3)若2()22f x m am ≤-+对任意的[1,1],[1,2]x m ∈-∈恒成立，求实数a 的取值范围.2016年10月绵阳南山中学高2019届2016年秋10月月考数 学 试 题 答 案三. 选择题(本大题共12小题,每小题4分,共48分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 题号12345678 9 10 11 12 答案 C B B D A C C BBDAA四. 填空题(本大题共4小题,每小题3分,共12分.) 13. {}0,2,4；14. (0,)+∞15. 22x x +16. －2≤k ＜1解析 当x 2－1≥4＋x ＋1，即x ≤－2或x ≥3时，f (x )＝4＋x ，当x 2－1＜4＋x ＋1，即－2＜x ＜3时，f (x )＝x 2－1，如图所示，作出f (x )的图象，由图象可知，要使－k ＝f (x )有三个根，需满足－1＜－k ≤2，即－2≤k ＜1.三.解答题(本大题共4小题,每小题10分，共40分,解答应写出文字说明证明过程或推演步骤.)17.解:(1)由30,70,x x -≥⎧⎨->⎩得：37x ≤<，{}=37A x x ∴≤<.{}=3,7U C A x x x <≥或，{}(C )=23,710U A B x x x ∴⋂≤<≤<或.(2)C {2,10}U B x x x =<≥或，∴由(C )U B C R ⋃=，得2a ≥.18.解: {}{}2=2301,3A x x x -+==-，(1) {1}A B ⋂=-，1B ∴-∈，10a ∴--=即1a ∴=- (2),A B B B A ⋂=∴⊆当B =∅时，方程10ax -=无解，故0a =； 当B ≠∅时，则1=B a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭.若11a =-，即1a =-；若13a =，则13a =. 综上所述，a 的值为0，1-或13. 19. 解: (1)当0＜x ≤20时，y ＝(33x －x 2)－x －100＝－x 2＋32x －100；当x ＞20时，y ＝260－100－x ＝160－x .故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100，0＜x ≤20，160－x ，x ＞20(x ∈N *)．(2)当0＜x ≤20时，y ＝－x 2＋32x －100＝－(x －16)2＋156，x ＝16时，y max ＝156.而当x ＞20时，160－x ＜140，故x ＝16时取得最大年利润，最大年利润为156万元. 答：当该工厂年产量为16件时，取得最大年利润为156万元. 20.解：(1)()f x 在[1,1]-上为增函数.证明：任取12,[1,1]x x ∈-，且12x x <，则210x x ->， 由题意知2121()[()()]0x x f x f x -⋅+->，又()f x 为奇函数，2121()[()()]0x x f x f x ∴-⋅->，21()()0f x f x ∴->，即21()()f x f x >()f x ∴在[1,1]-上为增函数.(2)由题意及(1)知，111,21121,112,2x x x x ⎧-≤+≤⎪⎪-≤-≤⎨⎪⎪+<-⎩解得：106x ≤<.故所求不等式的解集为：1{|0}6x x ≤<.(3)由()f x 在[1,1]-上为增函数，知max ()(1)1f x f ==.由题意，得2122m am ≤-+，即2210m am -+≥对任意[1,2]m ∈恒成立， 法一： 即12m a m +≥对任意[1,2]m ∈恒成立，则只需min 12m a m ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，[1,2]m ∈即可.令1()g m m m=+，[1,2]m ∈，易证()g m 在[1,2]上是增函数，所以min ()g(1)2g m ==. 故22a ≥，即1a ≤.法二：则只需()2min210m am -+≥，[1,2]m ∈即可.令2()21h m m am =-+，[1,2]m ∈，其函数图象的对称轴为m a = ① 当1a ≤时，()h m 在[1,2]上是增函数，则min ()(1)22h m h a ==-.∴由220a -≥得：1a ≤，从而1a ≤；② 当12a <<时，2min ()()1h m h a a ==-+∴由210a -+≥得：11a -<<，从而a 无解；③ 当2a ≥时，()h m 在[1,2]上是减函数，则min ()(2)54h m h a ==-.∴由540a -≥得：54a ≤，从而a 无解. 综上所述，a 的取值范围为1a ≤.。

2016-2017学年四川省绵阳市南山中学高三（上）9月月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意的）1．设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2，且b＞2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件2．函数f（x）=+的定义域为（）A．{x|x＜1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|0＜x≤1}D．{x|x＞1}3．平面四边形ABCD中，，则四边形ABCD是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形4．已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f（2 019）等于（）A．﹣2 B．2 C．﹣98 D．985．函数y=sin（2x+）的图象可看成是把函数y=sin2x的图象作以下平移得到（）A．向右平移 B．向左平移 C．向右平移 D．向左平移6．在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，则A的取值范围是（）A．（0，]B．[，π）C．（0，]D．[，π）7．等差数列{a n}中的a1、a4025是函数f（x）=x3﹣4x2+6x﹣1的极值点，则log2a2013（）A．2 B．3 C．4 D．58．若sin（﹣α）=，则cos（+2α）=（）A．B．﹣ C．﹣ D．9．已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=（30.3）•f（30.3），b=（logπ3）•f（logπ3），c=（log3）•f（log3），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b10．若两个非零向量，满足|+|=|﹣|=2丨丨，则向量与的夹角为（）A．B．C． D．11．已知函数f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，4]B．（﹣∞，2]C．（﹣4，4]D．（﹣4，2]12．已知函数f（x）=，若存在实数a、b、c、d，满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中d＞c＞b＞a＞0，则abcd的取值范围是（）A．（16，21）B．（16，24）C．（17，21）D．（18，24）二．填空题（每题5分，共4题）13．若alog34=1，则2a+2﹣a═．14．设S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则a n=．15．若函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，则实数b的取值范围是．16．已知，满足||=||=•=2，且（﹣）•（﹣）=0，则|2﹣|的最小值为．三、解答题（共6题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=3，CD=5，∠A=，cos∠ADB=．（Ⅰ）求BD的长；（Ⅱ）求△BCD的面积．18．等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{}的前n项和．19．设函数f（x）=lnx+，m∈R（1）当m=e（e为自然对数的底数）时，f（x）的极小值；（2）若函数g（x）=f′（x）﹣存在唯一零点，求m的范围．20．设=（2cosx+2sinx，1），=（cosx，﹣y）满足•=0，y=f（x）（1）求函数f（x）的最值；（2）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（x）的最大值恰好是f（），当a=2时，求b+c的取值范围．21．已知函数f（x）=a（x﹣）﹣2lnx（a∈R）．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）=﹣．若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数a的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，其中AB=AC，∠ABD=∠CBD，AC 与BD交于点F，直线BC与AD交于点E．（Ⅰ）证明：AC=CE；（Ⅱ）若DF=2，BF=4，求AD的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，将曲线C1：（α为参数）上所有点横坐标变为原来的2倍得到曲线C2，将曲线C1向上平移一个单位得到曲线C3，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C2的普通方程及曲线C3的极坐标方程；（Ⅱ）若点P是曲线C2上任意一点，点Q是曲线C3上任意一点，求|PQ|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣5a|+|2x+1|，g（x）=|x﹣1|+3．（1）解为等式|g（x）|＜8；（2）若对任意x1∈R，都存在x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年四川省绵阳市南山中学高三（上）9月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意的）1．设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2，且b＞2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判定．【解答】解：当a=5，b=0时，满足a+b＞4，但a＞2且b＞2不成立，即充分性不成立，若a＞2且b＞2，则必有a+b＞4，即必要性成立，故“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的必要不充分条件，故选：B．2．函数f（x）=+的定义域为（）A．{x|x＜1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|0＜x≤1}D．{x|x＞1}【考点】函数的定义域及其求法；对数函数的定义域．【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则，即，得0＜x＜1，即函数的定义域为{x|0＜x＜1}，故选：B3．平面四边形ABCD中，，则四边形ABCD是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形【考点】向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．【分析】根据，得线段AB、CD平行且相等，所以四边形ABCD是平行四边形．再由，得对角线AC、BD互相垂直，即可得到四边形ABCD是菱形．【解答】解：∵，∴即，可得线段AB、CD平行且相等∴四边形ABCD是平行四边形又∵，∴⊥，即⊥，四边形ABCD的对角线互相垂直因此四边形ABCD是菱形故选：B4．已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f（2 019）等于（）A．﹣2 B．2 C．﹣98 D．98【考点】抽象函数及其应用．【分析】求出函数的周期，转化所求函数值为已知条件，求解即可．【解答】解：f（x）在R上是奇函数，且满足f（x+4）=f（x），可得函数的周期为：4，f（2 019）=f=f（3）=f（﹣1）=﹣f（1）．当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，f（2 019）=﹣f（1）=﹣2×12=﹣2．故选：A．5．函数y=sin（2x+）的图象可看成是把函数y=sin2x的图象作以下平移得到（）A．向右平移 B．向左平移 C．向右平移 D．向左平移【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】把函数y=sin2x的图象向左平移个单位可得函数y=sin2（x+）=sin（2x+）的图象，由此得出结论．【解答】解：由于函数y=sin（2x+）=sin2（x+），故把函数y=sin2x的图象向左平移个单位可得函数y=sin（2x+）的图象，故选D．6．在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，则A的取值范围是（）A．（0，]B．[，π）C．（0，]D．[，π）【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】先利用正弦定理把不等式中正弦的值转化成边，进而代入到余弦定理公式中求得cosA的范围，进而求得A的范围．【解答】解：由正弦定理可知a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，∵sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，∴a2≤b2+c2﹣bc，∴bc≤b2+c2﹣a2∴cosA=≥∴A≤∵A＞0∴A的取值范围是（0，]故选C7．等差数列{a n}中的a1、a4025是函数f（x）=x3﹣4x2+6x﹣1的极值点，则log2a2013（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】利用导数即可得出函数的极值点，再利用等差数列的性质及其对数的运算法则即可得出．【解答】解：f′（x）=x2﹣8x+6，∵a1、a4025是函数f（x）=x3﹣4x2+6x﹣1的极值点，a4025=8．而{a n}为等差数列，∴a1、a4025是方程x2﹣8x+6=0的两实数根，则a1+∴a1+a4025=2a2013，即a2013=4，从而==2．故选A．8．若sin（﹣α）=，则cos（+2α）=（）A．B．﹣ C．﹣ D．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】直接利用诱导公式以及二倍角的余弦函数化简求解即可．【解答】解：sin（﹣α）=，sin（﹣α）=cos（+α）=cos（），cos（+2α）=2cos2（）﹣1=2×=．故选：C．9．已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=（30.3）•f（30.3），b=（logπ3）•f（logπ3），c=（log3）•f（log3），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b【考点】导数的运算；函数单调性的性质；不等关系与不等式．【分析】构造辅助函数F（x）=xf（x），由导函数判断出其在（﹣∞，0）上的单调性，而函数F（x）为实数集上的偶函数，则有在（0，+∞）上的单调性，再分析出，30.3，logπ3的大小，即可得到答案．【解答】解：令F（x）=xf（x），则F′（x）=f（x）+xf′（x）．因为f（x）+xf′（x）＜0，所以函数F（x）在x∈（﹣∞，0）上为减函数．因为函数y=x与y=f（x）都是定义在R上的奇函数，所以函数F（x）为定义在实数上的偶函数．所以函数F（x）在x∈（0，+∞）上为增函数．又30.3＞30=1，0=logπ1＜logπ3＜logππ=1，．则F（||）＞F（30.3）＞F（logπ3）．所以（log3）•f（log3）＞（30.3）•f（30.3）＞（logπ3）•f（logπ3），即c＞a＞b．故选C．10．若两个非零向量，满足|+|=|﹣|=2丨丨，则向量与的夹角为（）A．B．C． D．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】设||=1，则|+|+|﹣|=2，故以、为邻边的平行四边形是矩形．设向量与的夹角为θ，则由cosθ==求得θ 的值．【解答】解：设||=1，则|+|=|﹣|=2，故以、为邻边的平行四边形是矩形，且||=．设向量与的夹角为θ，则cosθ==，∴θ=，故选B．11．已知函数f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，4]B．（﹣∞，2]C．（﹣4，4]D．（﹣4，2]【考点】复合函数的单调性；二次函数的性质；对数函数的单调区间．【分析】若函数f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则x2﹣ax+3a ＞0且f（2）＞0，根据二次函数的单调性，我们可得到关于a的不等式，解不等式即可得到a的取值范围．【解答】解：若函数f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则当x∈[2，+∞）时，x2﹣ax+3a＞0且函数f（x）=x2﹣ax+3a为增函数即，f（2）=4+a＞0解得﹣4＜a≤4故选C12．已知函数f（x）=，若存在实数a、b、c、d，满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中d＞c＞b＞a＞0，则abcd的取值范围是（）A．（16，21）B．（16，24）C．（17，21）D．（18，24）【考点】分段函数的应用．【分析】根据图象可判断：＜a＜1，1＜b＜2，2＜c＜4，6＜d＜8，当直线y=t，0＜t＜4，可以有4个交点，通过图象运动可以判断1×1×4×6=24，=16，直线越往上走abcd的积越小，越往下abcd的积越大，即可求出答案．【解答】解：若存在实数a、b、c、d，满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中d ＞c＞b＞a＞0根据图象可判断：＜a＜1，1＜b＜2，2＜c＜4，6＜d＜8，当直线y=t，0＜t＜4，可以有4个交点，把直线向上平移，向下平移，可判断：直线越往上走abcd的积越小，越往下abcd的积越大，当t=0时1×1×4×6=24，当t=4时，=16，abcd的取值范围是（16，24），故选：B．二．填空题（每题5分，共4题）13．若alog34=1，则2a+2﹣a═．【考点】对数的运算性质．【分析】先求出a=log43，从而2a+2﹣a═+，由此利用对数恒等式及换底公式能求出结果．【解答】解：∵alog34=1，∴a=log43，∴2a+2﹣a═+==．故答案为：．14．设S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则a n=3n﹣1．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】利用已知条件列出方程求出公比，然后求解等比数列的通项公式．【解答】解：设等比数列的公比为q，S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，可得4S2=S3+3S1，a1=1，即4（1+q）=1+q+q2+3，q=3．∴a n=3n﹣1．故答案为：3n﹣1．15．若函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，则实数b的取值范围是0＜b＜2．【考点】函数的零点．【分析】由函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，可得|2x﹣2|=b有两个零点，从而可得函数y=|2x﹣2|函数y=b的图象有两个交点，结合函数的图象可求b的范围【解答】解：由函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，可得|2x﹣2|=b有两个零点，从而可得函数y=|2x﹣2|函数y=b的图象有两个交点，结合函数的图象可得，0＜b＜2时符合条件，故答案为：0＜b＜216．已知，满足||=||=•=2，且（﹣）•（﹣）=0，则|2﹣|的最小值为﹣1．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求出的夹角，建立平面直角坐标系，设=（2，0），则=（1，），根据数量积的几何意义得出C的轨迹，利用点到圆的最短距离求出|2﹣|的最小值．【解答】解：∵||=||=•=2，∴cos＜＞==，∴＜＞=60°．设=（2，0），==（1，），，∵（﹣）•（﹣）=0，∴，∴C的轨迹为以AB为直径的圆M．其中M（，），半径r=1．延长OB到D，则D（2，2）．连结DM，交圆M于C点，则CD为|2﹣|的最小值．DM==．∴CD=．故答案为：﹣1．三、解答题（共6题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=3，CD=5，∠A=，cos∠ADB=．（Ⅰ）求BD的长；（Ⅱ）求△BCD的面积．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知可求sin∠ADB的值，根据正弦定理即可解得BD的值．（Ⅱ）根据已知及余弦定理可求cos∠C=﹣，结合范围∠C∈（0，π）可求∠C，利用三角形面积公式即可得解．【解答】解：（Ⅰ）在△ABD中，因为cos∠ADB=，∠ADB∈（0，π），所以sin∠ADB=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣根据正弦定理，有，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣代入AB=8，∠A=．解得BD=7．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）在△BCD中，根据余弦定理cos∠C=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣代入BC=3，CD=5，得cos∠C=﹣，∠C∈（0，π）所以，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣18．等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{}的前n项和．【考点】等比数列的通项公式；数列的求和．【分析】（Ⅰ）设出等比数列的公比q，由a32=9a2a6，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q的值，然后再根据等比数列的通项公式化简2a1+3a2=1，把求出的q的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q写出数列的通项公式即可；（Ⅱ）把（Ⅰ）求出数列{a n}的通项公式代入设bn=log3a1+log3a2+…+log3a n，利用对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式化简后，即可得到b n的通项公式，求出倒数即为的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列{}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，由a32=9a2a6得a32=9a42，所以q2=．由条件可知各项均为正数，故q=．由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1，所以a1=．故数列{a n}的通项式为a n=．（Ⅱ）b n=++…+=﹣（1+2+…+n）=﹣，故=﹣=﹣2（﹣）则++…+=﹣2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=﹣，所以数列{}的前n项和为﹣．19．设函数f（x）=lnx+，m∈R（1）当m=e（e为自然对数的底数）时，f（x）的极小值；（2）若函数g（x）=f′（x）﹣存在唯一零点，求m的范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出f（x）的极小值即可；（2）令g（x）=0，得m=﹣x3+x（x＞0），设φ（x）=﹣x3+x（x≥0），根据函数的单调性画出函数φ（x）的草图，求出m的范围即可．【解答】解（1）由题设，当m=e时，f（x）=ln x+，则f′（x）=，由f′（x）=0，得x=e．∴当x∈（0，e），f′（x）＜0，f（x）在（0，e）上单调递减，当x∈（e，+∞），f′（x）＞0，f（x）在（e，+∞）上单调递增，∴当x=e时，f（x）取得极小值f（e）=ln e+=2，∴f（x）的极小值为2…（2）由题设g（x）=f′（x）﹣=﹣﹣（x＞0），令g（x）=0，得m=﹣x3+x（x＞0）．设φ（x）=﹣x3+x（x≥0），则φ′=﹣x2+1=﹣（x﹣1）（x+1），当x∈（0，1）时，φ′（x）＞0，φ（x）在（0，1）上单调递增；当x∈（1，+∞）时，φ′（x）＜0，φ（x）在（1，+∞）上单调递减．∴x=1是φ（x）的唯一极值点，且是极大值点，因此x=1也是φ（x）的最大值点．∴φ（x）的最大值为φ（1）=．又φ（0）=0，结合y=φ（x）的图象（如图），可知当m=时，函数g（x）有且只有一个零点；当m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点．所以，当m=或m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；…20．设=（2cosx+2sinx，1），=（cosx，﹣y）满足•=0，y=f（x）（1）求函数f（x）的最值；（2）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（x）的最大值恰好是f（），当a=2时，求b+c的取值范围．【考点】平面向量数量积的运算；正弦定理．【分析】（1）由向量的数量积的坐标表示，结合二倍角公式和辅助角公式，化简可得f（x），再由正弦函数的最值，即可得到所求最值；（2）运用正弦定理，可得b，c，再由三角函数的和差公式，结合正弦函数的图象和性质，即可得到所求范围．【解答】解：（1）设=（2cosx+2sinx，1），=（cosx，﹣y）满足•=0，即有（2cosx+2sinx）cosx﹣y=0，则y=f（x）=（2cosx+2sinx）cosx=2cos2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x+1=2sin（2x+）+1，则当2x+=2kπ+，k∈Z，即x=kπ+，k∈Z时，sin（2x+）取得最大值1；当2x+=2kπ﹣，k∈Z，即x=kπ﹣，k∈Z时，sin（2x+）取得最小值﹣1；则函数f（x）的最小值为﹣1，最大值为3；（2）当a=2，由正弦定理===2R，得：b=2RsinB=sinB，c=2RsinC=sinC，则b+c=（sinB+sinC）=（sinB+sin（﹣B））=（sinB+cosB）=4sin（B+），又B∈（0，），得：B+∈（，），可得sin（B+）∈（，1]，即4sin（B+）∈（2，4]．则b+c∈（2，4]．21．已知函数f（x）=a（x﹣）﹣2lnx（a∈R）．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）=﹣．若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的最值及其几何意义；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）当a=2时求出f（1），切线斜率k=f′（1），利用点斜式即可求得切线方程；（2）求出函数定义域，分①当a≤0，②当a＞0两种情况讨论解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0即可；（3）存在一个x0∈[1，e]使得f（x0）＞g（x0），则ax0＞2lnx0，等价于，令，等价于“当x∈[1，e]时，a＞F（x）min”．利用导数易求其最小值．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），．（1）当a=2时，函数，f′（x）=，因为f（1）=0，f'（1）=2．所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣0=2（x﹣1），即2x﹣y﹣2=0．（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．①当a≤0时，h（x）=ax2﹣2x+a＜0在（0，+∞）上恒成立，则f'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上单调递减．②当a＞0时，△=4﹣4a2，（ⅰ）若0＜a＜1，由f'（x）＞0，即h（x）＞0，得或；由f'（x）＜0，即h（x）＜0，得．所以函数f（x）的单调递增区间为和，单调递减区间为．（ⅱ）若a≥1，h（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，则f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上单调递增．（3））因为存在一个x0∈[1，e]使得f（x0）＞g（x0），则ax0＞2lnx0，等价于．令，等价于“当x∈[1，e]时，a＞F（x）min”．对F（x）求导，得．因为当x∈[1，e]时，F'（x）≥0，所以F（x）在[1，e]上单调递增．所以F（x）min=F（1）=0，因此a＞0．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，其中AB=AC，∠ABD=∠CBD，AC 与BD交于点F，直线BC与AD交于点E．（Ⅰ）证明：AC=CE；（Ⅱ）若DF=2，BF=4，求AD的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）利用等腰三角形的性质，证明∠CAE=∠E，即可证明：AC=CE；（Ⅱ）证明△ADF∽△BDA，即可求AD的长．【解答】证明：（Ⅰ）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠ABC=2∠DBC，∴∠ACB=∠DBC，∵∠ACB=∠ADB，∴∠ADB=2∠DBC，∵∠ADB=∠DBC+∠E，∴∠DBC=∠E，∵∠DBC=∠CAE，∴∠CAE=∠E，∴AC=CE．解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠ABD=∠DBC=∠CAD，∠ADF=∠ADB，∴△ADF∽△BDA，∴=，∴AD2=DF•BD=12，∴AD=2．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，将曲线C1：（α为参数）上所有点横坐标变为原来的2倍得到曲线C2，将曲线C1向上平移一个单位得到曲线C3，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C2的普通方程及曲线C3的极坐标方程；（Ⅱ）若点P是曲线C2上任意一点，点Q是曲线C3上任意一点，求|PQ|的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）设曲线C2上的任意一点（x，y），则在曲线C1：（α为参数）上，代入即可得出曲线C2的参数方程，消去参数可得普通方程．同理可得：将曲线C3的参数方向与普通方程．利用极坐标与直角坐标互化公式即可得出曲线C3的极坐标方程．（Ⅱ）设P（2cosθ，sinθ），C（0，1），利用两点之间的距离公式可得：|PC|2=+，再利用二次函数与三角函数的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设曲线C2上的任意一点（x，y），则在曲线C1：（α为参数）上，∴，即为曲线C2的参数方程，可得普通方程：=1．同理可得：将曲线C1向上平移一个单位得到曲线C3：，化为普通方程：x2+（y﹣1）2=1．可得曲线C3的极坐标方程为：ρ2﹣2ρsinθ=0，化为ρ=2sinθ．（Ⅱ）设P（2cosθ，sinθ），C（0，1），则|PC|2=（2cosθ）2+（sinθ﹣1）2=4cos2θ+sin2θ﹣2sinθ+1=+，∴当sin时，=．∴PQ的最大值为+1．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣5a|+|2x+1|，g（x）=|x﹣1|+3．（1）解为等式|g（x）|＜8；（2）若对任意x1∈R，都存在x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）由||x﹣1|+3|＜8，转化为﹣11＜|x﹣1|＜5，然后求解不等式即可．（2）利用条件说明{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，通过函数的最值，列出不等式求解即可．【解答】解：（1）由||x﹣1|+3|＜8，得﹣8＜|x﹣1|+3＜8∴﹣11＜|x﹣1|＜5，∴﹣4＜x＜6∴不等式的解集为{x|﹣4＜x＜6}…（2）因为任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，所以{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，又f（x）=|2x﹣5a|+|2x+1|≥|（2x﹣5a）﹣（2x+1）|=|5a+1|，g（x）=|x﹣1|+3≥3，所以|5a+1|≥3，解得a≥0.4或a≤﹣0.8，所以实数a的取值范围为a≥0.4或a≤﹣0.8．…2017年4月6日。

南山中学2019-2020学年高二9月月考数学试卷（理科）第I 卷（选择题，共60分）一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.如图直线123l l l ，，的倾斜角分别为123ααα，，，则有（ ）A. 123ααα＜＜B. 132ααα＜＜C. 321ααα＜＜D. 213ααα＜＜【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的倾斜程度确定倾斜角的大小.【详解】由图象可知132,,l l l 的倾斜角依次增大，故132ααα＜＜. 故选：B【点睛】本题主要考查了直线倾斜角的概念，属于容易题.2.若直线过点（1，2），（4，）则此直线的倾斜角是（ ） A.6πB.4π C.3π D.2π 【答案】A 【解析】 【分析】设直线的倾斜角为α，根据直线的斜率和倾斜角的关系，即可求解． 【详解】设直线的倾斜角为α，则，又∵[0,)απ∈，所以6πα∈，故选A.【点睛】本题主要考查直线的斜率与倾斜角，属于简单题. 求直线的倾斜角往往先求出直线的斜率，求直线斜率的常见方法有一以下三种，（1）已知直线上两点的坐标求斜率：利用2121y y k x x -=- ；（2）已知直线方程求斜率：化成点斜式即可；（2）利用导数的几何意义求曲线切点处的切线斜率.3.已知直线1l 的倾斜角为60︒，直线2l经过点A，(2,B --，则直线山1l ，2l 的位置关系是（ ） A. 平行或重合 B. 平行C. 垂直D. 重合【答案】A 【解析】 【分析】根据题中所给直线的倾斜角求出其斜率，再利用斜率坐标公式求得其斜率，得到斜率相等，从而得到两直线平行或重合.【详解】由题意可知直线1l 的斜率1k直线2l 的斜率2k，因为12k k =，所以1l ∥2l 或1l ，2l 重合．【点睛】该题考查的是有关两直线的位置关系，所涉及的知识点有两直线平行的条件，注意不能将重合丢掉.4.下列四个说法中，正确说法的个数是（ ）①经过定点()000P x y ，的直线，都可以用方程()00y y k x x --＝来表示：②经过任意两个不同点()()111222P x y P x y ，,，的直线12PP ，都可以用方程()()121y y x x --()()121x x y y --＝来表示；③在x 轴、y 轴上的截距分别为,a b 的直线方程都可以用1x ya b+=表示； ④经过点()0,b 的直线，都可以用方程y kx b +＝来表示． A. 0个 B. 1个C. 2个D. 4个【答案】B 【解析】 【分析】①没有考虑斜率问题，错误；②对于任意不同点确定的直线都适合，正确；③根据截距概念判断；④考虑直线斜率是否存在问题【详解】①过定点()000P x y ，的直线斜率不存在时，方程不成立，故错误；②对于任意不同点确定的直线都适合，正确；③根据截距概念知,a b 可以为0，此时不能用1x ya b+=表示，故错误；④当过点()0,b 的直线斜率不存在时，不能用方程y kx b +＝来表示，故错误. 故选：B.【点睛】本题主要考查了直线方程的各种形式，考查斜率是否存在，截距是否为0，属于中档题. 5.直线3y x ＝绕原点逆时针旋转90︒，再向右平移1个单位，所得到的直线为（ ）A. 1133y x =-+B. 1133y x =--C.113y x =-- D.113y x =-+ 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线过原点，相互垂直直线间的斜率关系，平移知识，可得到所求直线.【详解】当直线3y x ＝绕原点逆时针旋转90︒时，所得直线斜率为13-，直线方程为13y x =-， 再将直线向右平移1个单位可得：1(1)3y x =--，即1133y x =-+. 故选：A.【点睛】本题主要考查了垂直直线斜率之间的关系，直线的平移，属于中档题.6.椭圆2214x y +=的两个焦点为1F 、2F ，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则2PF =（ ）A.B. C.72D. 4【答案】C 【解析】 试题分析：，所以当时，，而,所以,故选C.考点：椭圆的性质7.在坐标平面内，与点()1,2A 距离为1，且与点()3,1B 距离为2的直线共有（ ） A. 1条 B. 2条C. 3条D. 4条【答案】B 【解析】【详解】根据题意可知，所求直线斜率存在，可设直线方程为y ＝kx ＋b ， 即kx －y ＋b ＝0， 所以11d ==，22d ==，解之得k ＝0或43k =-， 所以所求直线方程为y ＝3或4x ＋3y －5＝0， 所以符合题意的直线有两条，选B.8.圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0的圆心到直线x －y ＝1的距离为( )A. 2B.22C. 1D.【解析】圆心为()1,2-,点到直线10x y --==.故选D. 9.设定点()10,3F -、()20,3F ，动点P 满足()1290PF PF a a a+=+>，则点P 的轨迹是（ ） A. 椭圆 B. 线段C. 不存在D. 椭圆或线段【答案】D 【解析】【详解】当0a >时，由均值不等式的结论有：96a a +≥=，当且仅当3a =时等号成立. 当96a a +=时，点P 的轨迹表示线段12F F , 当1296a F F a+>=时，点P 的轨迹表示以12F F 为焦点的椭圆,本题选择D 选项. 点睛：椭圆定义中常数必须大于12F F ，在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”.10.⋅()2210ln x y +﹣＝所表示的曲线的图形是（ ） A.B.C.D.的【解析】 【分析】0=和()2210ln x y +﹣＝构成，即可选出.⋅()2210ln x y +﹣＝0=或()2210ln x y +﹣＝， 即1x =或222x y +=，1x ≥且0y ≠所以曲线为直线1(0)x y =≠与圆222x y +=在直线1(0)x y =≠的右边部分构成， 故选：D.【点睛】本题主要考查了方程与曲线的概念及直线与圆的方程，属于中档题.11.设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( )A. 224412125x y -=B. 224412125x y +=C. 224412521x y -=D. 224412521x y +=【答案】D 【解析】 【分析】根据线段中垂线的性质可得，MA MQ =，又 5MQ MC +=，故有5MC MA AC +=>，根据椭圆的定义断判轨迹为椭圆，求出,a b 值，即得椭圆的标准方程.【详解】由圆的方程可知，圆心()1,0C -，半径等于5， 设点M 的坐标为(),x y ，AQ 的垂直平分线交CQ 于M ，MA MQ ∴=，又 5MQ MC +=，5MC MA AC ∴+=>，依据椭圆的定义可得，点M 的轨迹是以,A C 为焦点，且25,1,2a cb ==∴=，故椭圆方程221252144x y +=， 即224412521x y +=，故选D.【点睛】本题主要考查定义法求轨迹方程，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标(),x y ，根据题意列出关于,x y 的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把,x y 分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将()()00x g x y h x ⎧=⎪⎨=⎪⎩代入()00,0f x y =. 12.已知12F F 为椭圆2212516x y +=的左、右焦点，若M 为椭圆上一点，且12MF F ∆的内切圆的周长等于3π，则满足条件的点M 有（ ） A. 0个 B. 1个C. 2个D. 4个【答案】C 【解析】【详解】试题分析：由椭圆方程2212516x y +=可得2225,16a b ==,5,4,3a b c ∴===. 由椭圆的定义可得12210MF MF a +==,且1226F F c ==, 所以12MF F ∆的周长121210616MF MF F F ++=+=.设12MF F ∆的内切圆的半径为r ,由题意可得23r ππ=,解得32r =. 设()00,M x y ,则()1212121201122MF F S MF MF F F r F F y ∆=++⋅=⋅, 即0131166222y ⨯⨯=⨯⋅,解得04y =.04y ∴=±. ()0,4M ∴或()0,4-.即满足条件的点M 有2个.故C 正确.考点：1椭圆的定义;2三角形的内切圆.【思路点晴】本题主要考查的是椭圆的简单几何性质，难度中等．本题主要根据12MF F ∆内切圆的周长等于3π可得其内切圆的半径,再根据椭圆的定义可求得12MF F ∆的周长,用面积相等法可得M 的纵坐标,根据M 的纵坐标与椭圆方程即可求得满足条件的点M 的个数.第II 卷（非选择题，共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案直接填在答题卡中的横线上.13.若直线()14:l y k x -＝与直线2l 关于点()21，对称，则直线2l 恒过定点_____． 【答案】()0,2 【解析】 【分析】根据直线()14:l y k x -＝恒过定点，求其关于点()21，对称点，即可求解.【详解】因为()14:l y k x -＝过定点(4,0)，而(4,0)关于点()21，的对称点为(0,2)，又直线()14:l y k x -＝与直线2l 关于点()21，对称，所以直线2l 恒过定点(0,2).【点睛】本题主要考查了直线系过定点，直线关于点对称，点关于点对称问题，属于中档题.14.过点()24A ，向圆224x y +＝引切线AB AC ，（B C ，是切点）；则线段BC 的长为_____的【解析】 【分析】设圆心为O ,求出AO ,利用勾股定理求AB ，根据切线性质，BC OA ⊥，根据等面积法可得12AO BC AB BO ⋅=⋅，即可求出BC .【详解】设圆心O ，则AO ==在Rt AOB ∆中，4AB ===,根据面积等积法可知，12AO BC AB BO ⋅=⋅，所以BC ==【点睛】本题主要考查了圆的切线的平面几何性质，属于中档题.15.经过点()0,2P ﹣作直线l ，若直线l 与过()()2321A B ﹣，,，的线段总没有公共点，则直线l 斜率的取值范围是_____ 【答案】5322k -<< 【解析】 【分析】先求直线l 与线段AB 有公共点时l 的斜率范围，进而可以得到l 与线段AB 无有公共点时的斜率范围. 【详解】设直线l 的斜率为k ，直线AP 的斜率为AP k ，直线BP 的斜率为BP k ， 如图：当直线l 与线段AB 有公共点时，3(2)5202AP k k --≤==---或1(2)3202BP k k --≥==-，即当直线l 与线段AB 有公共点时52k ≤-或者32k ≥，所以当直线l 与线段AB 无有公共点时，5322k -<<.故答案为：5322k -<<【点睛】本题主要考查了直线相交问题，斜率公式，数形结合，属于中档题.16.在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,0)P 在圆C ：22224280x y mx y m +--+-=内，动直线AB 过点P 且交圆C 于A ，B 两点，若ABC ∆的面积的最大值为16，则实数m 的取值范围为 .【答案】[3＋3＋∪(3－，3－] 【解析】试题分析：由题意得圆心(,2),C m 半径r =因为点(3,0)P 在圆222:24280C x y mx y m +--+-=内，所以223060280m m +--+-<，解得33m -<<+设C 到直线距离为d ,则.d CP ≤又222211162222ABCd r d r S d AB d ∆+-=⋅=⋅≤==，当且仅当222d r d =-，即216,4d d ==时取等号，因此4CP ≥≥，即3m ≥+或3m ≤-综上实数m 的取值范围为[3(3++⋃--.考点：直线与圆位置关系三.解答题：本大题共4小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知直线l 经过两条直线23100x y +﹣＝和3420x y +﹣＝的交点，求分别满足下列条件的直线l 的方程： （1）垂直于直线3240x y +﹣＝；（2）平行于直线4370x y ﹣﹣＝．【答案】（1）2320x y +-=（2）43140x y -+=【解析】【分析】（1）求出两直线的交点，根据垂直可得出斜率，点斜式写出直线方程（2）根据平行可得出待求直线的斜率，点斜式写出直线方程.【详解】由231003420x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，得22x y =-⎧⎨=⎩，所以交点为()2,2-()1因为垂直于直线3240x y +﹣＝，所以所求直线斜率为23k =-, 所求直线方程为()2223y x -=-+，即2320x y +-=. ()2因为平行于直线4370,x y ﹣﹣＝所以斜率43k =. 所求直线方程为()4223y x -=+，即43140x y -+=. 【点睛】本题主要考查了直线垂直，直线平行的位置关系，属于中档题.18.已知圆222430C x y x y ++-+：＝．（1）若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，且截距不为零，求此切线的方程；（2）从圆C 外一点P 向该圆引一条切线，切点为M ，且有PM PO ＝（o 为坐标原点），求PM 的最小值．【答案】（1）10x y ++=或30x y +-=（2 【解析】【分析】（1）根据截距相等设切线方程为()0x y a a +=≠，利用圆心到直线的距离等于半径求解（2）设()11,P x y ，根据切线与半径垂直，可求出P 点轨迹方程为直线，问题转化为O 到直线的距离减去半径即可.【详解】()1切线在两坐标轴上的截距相等且截距不为零∴设切线方程为()0x y a a +=≠，又圆()()22:122C x y ++-=，∴圆心()1,2C -到切线的距离等于，=1a =-或3a =故所求切线的方程为：1030x y x y ++=+-=或()2设()11,P x y ，切线PM 与半径CM 垂直，222PM PC CM ∴=- ()()22221111122x y x y ∴++--=+，整理得112430x y -+=故动点P 在直线2430x y -+=上，由已知PM 的最小值就是PO 的最小值而PO 的最小值为O 到直线2430x y -+=的距离d = 【点睛】本题主要考查了直线与圆相切的判定，点到直线的距离，属于中档题.19.已知直线220x y +﹣＝经过椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C 的右顶点为B ，点E 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AE BE ，与直线:l 103x =分别交于,M N 两点． （1）求椭圆C 的方程；（2）求线段MN 的长度的最小值． 【答案】（1）2214x y +=（2）83 【解析】【分析】（1）求出直线与坐标轴的交点，即可求出,a b ，写出椭圆的方程（2）由题意设直线AE 的方程为()()20y k x k =+>，联立直线l ，求出M ,联立椭圆求出E ，写出BE ,联立l 写出N ,可得16133k MN k=+，根据均值不等式求最值.【详解】令0x =得1y =，所以()0,1D ，所以1b =，令0y =得2x =-，所以()2,0A -所以2a =，所以椭圆的标准方程为2214x y += ()2显然直线AE 的斜率存在且为正数，设直线AE 的方程为()()20y k x k =+>，联立得()2103y k x x ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，解得1016,33k M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由()22244y k x x y ⎧=+⎨+=⎩，得()222214161640k x k x k +++-= 显然16∆=，由求根公式得()2222162814214k k x k k --==++或()()2222162814214k k x k k ----==++舍 所以222284,1414k k E k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，从而直线的方程为()124y x k =--，联立得 ()124103y x k x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得101,33N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以1618333k MN k =+≥=，当且仅当14k =时取""=，因此，线段MN 长度的最小值为83. 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，均值不等式，属于难题.20.如图，已知定圆()2234C x y +：﹣＝，定直线360m x y ++：＝，过()10A ﹣，的一条动直线l 与直线相交于N ，与圆C 相交于P Q ，两点，M 是PQ 中点．（1）当l 与m 垂直时，求证：l 过圆心C ；（2）当2PQ=l 方程；（3）设t =AM AN ，试问t 是否为定值，若为定值，请求出t 的值；若不为定值，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）1x =-或4340x y -+=（3）t 的值为定值，且5t =-，详见解析【解析】【分析】（1）根据垂直可得到l 斜率，写出其方程即可验证是否过圆心（2）分斜率是否存在讨论，当斜率不存在时，检验是否符合题意，斜率存在时，利用半弦长，半径，圆心距构成直角三角形求斜率即可（3）分斜率存在与不存在两种情况，斜率不存在时求出点的坐标计算即可，当斜率存在时，设直线方程联立圆可得点的坐标，利用向量计算即可.【详解】（1） 当l 与m 垂直时, 13l m k k =-=,又过点()10A ﹣，， 所以直线方程为3(1)y x =+，圆心为(0,3)C ，显然直线l 经过圆心.（2）当直线l 与x 轴垂直时，易知1x =-符合题意：当直线l 与x 轴不垂直时，设直线():1l y k x =+，由于PQ =1CM =由1CM ==，解得43k =, 故直线l 的方程为1x =-或4340x y -+=（3）解法一：当l 与x 轴垂直时，易得()51,3,1,3M N ⎛⎫--- ⎪⎝⎭又()1,0A -，则()50,3,0,3AM AN ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，故5AM AN ⋅=-，即5t =-当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()1y k x =+代入圆的方程得()()2222126650k x k k x k k ++-+-+= 则22321P QM x x k k x k +-+==+，()22311M M k k y k x k+=+=+ 即222233,11k k k k M k k ⎛⎫-++ ⎪++⎝⎭则222313,11k k k AM k k ⎛⎫++= ⎪++⎝⎭,由(1)360y k x x y =+⎧⎨++⎩＝，得：365,1313k k N k k ---⎛⎫ ⎪++⎝⎭， 则55,1313k AN k k --⎛⎫=⎪++⎝⎭， 故()()()()()22253155113113k k k k t AM AN k k k k -+--=⋅=+++++()()()()2251315131k k k k -++==-++ 综上，t 的值为定值，且5t =-解法二：连结CA 并延长交直线m 于点B ，连结,CM CN 由AC m ⊥，又CM l ⊥所以四点,,,M C N B 都在以CN 为直径的圆上 由相交弦定理得5t AM AN AM AN AC AB =⋅=-⋅=-⋅=-【点睛】本题主要考查了直线的垂直，直线与圆相交弦的性质，向量的运算，直线与圆相交“设而不求”的问题，属于中档题.。

四川省绵阳市南山中学实验学校2017届高三数学9月月考试题 理一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意的）1.设R b a ∈,,则“4>+b a ”是“2,2>>b a 且”的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件2.函数f （x ）=+的定义域为 （ ）A ．{x|x ＜1}B ．{x|0＜x ＜1}C ．{x|0＜x ≤1}D ．{x|x ＞1}3.四边形ABCD 中,()0,0=∙-=+AC AD AB CD AB ，则四边形ABCD 是( )A ．矩形B ．梯形C ．正方形D ．菱形4.已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (2019)等于 ( )A ．－2B ．2C ．－98D ．98 5．函数y=sin(2x+π6)的图象可看成是把函数y=sin2x 的图象作以下平移得到 （ ）A.向右平移π6B. 向左平移π6C. 向右平移 π12D. 向左平移 π126.在ABC ∆中，若C B C B A sin sin sin sin sin 222-+≤,则角A 的取值范围是（ ）A.⎥⎦⎤⎝⎛60π， B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ，6C.⎥⎦⎤ ⎝⎛30π，D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ，37.等差数列{}n a 中，40251,a a 是函数()1643123-+-=x x x x f 的极值点，=20132log a （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8．若416s i n =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ232c o s = （ ） A ．87-B ．41-C ．31D ．879.已知函数)(x f y =是定义在上的奇函数,且当)0,(-∞∈x 时, 0)()(<'+x f x x f (其中)(x f '是)(x f 的导函数), )3()3(3.03.0f a ∙=,()()3log 3log ππf b ∙=， ⎪⎭⎫ ⎝⎛∙⎪⎭⎫ ⎝⎛=91log 91log 33f b ,则cb a ,,的大小关系是( ) A.B.C.D.10.两个非零向量,==+，则+与的夹角为 （ ） A.6π B. 3π C.32π D.65π11.函数)3(log )(22a ax x x f +-=在区间),2[+∞上是增函数，则a 的取值范围是 ( ) A.]4,(-∞ B.]4,4(- C.]2,(-∞ D.]2,4(-12．已知函数()224|log |02151222x x f x x x x <<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，若存在实数,,,a b c d 满足()()()()f a f b f c f d ===其中0d c b a >>>>，则abcd 的取值范围是 （ ） A ．()16,21 B ．()16,24 C ．()17,21 D ．()18,24二．填空题（每题5分，共4题） 13. 若14log 3=a ，则=+-aa22 ．14. 设n S 为等比数列{a n }的前n 项和，若11=a ，且321,2,3S S S 成等差数列，则=n a15. 已知函数b x f x--=|22|)(有两个零点，则实数b 的取值范围是 .16.两个向量,()()0b 2=-∙-=∙==c c a b a ，，则b 2的最小值为 三、解答题（共6题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）在四边形ABCD 中，71cos 3538=∠=∠===ADB A CD BC AB ，，，，π(1)求BD 的长； （2）求BCD ∆的面积18.（本小题满分12分）等比数列{a n }(n ∈N *)的各项均为正数，且6223219,132a a a a a ==+(1)求{a n }的通项a n ；(2)若n n a a a b 32313log ...log log +++=，求⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1的前n 项和.19.（本小题满分12分）设函数.()R m xmx x f ∈+=,ln (1)当e m =(e 为自然对数的底数)时，f (x )的极小值； (2)若函数()()3'xx f x g -=存在唯一零点，求m 的范围．20.（本小题满分12分）设()()y x x x -=+=,cos ,1,sin 32cos 2满足()x f y ==∙,0 （1）求函数()x f 的最值；（2）已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()x f 的最大值恰好是⎪⎭⎫⎝⎛2A f ，当2=a 时，求c b +的取值范围21.（本小题满分12分）已知函数1()()2ln ()f x a x x a x=--∈R ．（1）若2a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调递增区间； （3）设函数()ag x x=-．若至少存在一个0[1,e]x ∈，使得00()()f x g x >成立，求实数a 的取值范围．请考生在22，23，24题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题纸上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题目进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分。