对夫琅禾费衍射的深入研究
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表 1 实验值与理论值之比较
条纹级次 k 中央明 纹中心
1
2
3
4
5
y 坐 标 (m) 理论值 实验值
0
0
0.168 0.168
0.338 0.338
0.511 0.511
0.688 0.690
0.871 0.875
x 坐 标 (m) 理论值 实验值 1.092 1.092 1.094 1.094 1.098 1.097 1.106 1.108 1.117 1.120 1.132 1.136
为 O' 至 几 何 像 点 xc 的 距 离 （ 见 图 4 ）， 则
r' = r02 + y 2 。衍射条纹各暗纹中心的 y 坐标
为 y极小 = k
r0λ ，(k=±1,2,……) (11) a 2 + k 2λ2
②衍射条纹各级暗纹中心的 x 坐标（等于正
入射时暗纹中心向上升高的距离）为
x极小= r0
因子 r 展开后，仍假设夫琅禾费近似成立所致。
参考文献 [1] 黄 婉 云 . 傅 里 叶 光 学 教 程 . 北 京 : 北 京 师 范 大 学 出 版 社,1985. [2] 赵 凯 华 , 钟 锡 华 . 光 学 ( 下 册 ). 北 京 : 北 京 大 学 出 版 社,1984. [3] 南 京 工 学 院 教 研 室 . 积 分 交 换 . 北 京 : 人 民 教 育 出 版 社,1978. [4]潘维济.非傍轴条件下的单缝衍射.大学物理，1989. [5] 李允中，潘维济，基础光学实验，天津：南开大学 出版社，1987. [6] 刘启华,陈勇,大学物理实验, 北京: 国防工业出版 社,1995.
c 2 ⎜⎜⎝⎛
ay λz0
⎟⎟⎠⎞
(5)
(1)当激光束以仰角（为简化讨论，以下均
只研究以一定仰角入射情况）α 入射单缝时，
衍射屏前光场的复振幅分布为
v0(x', y') = eikx'sinα 按 傅 里 叶 变 换
f
(eikx'sinα
)
=
δ(
fx
−
sina) λ
*
f
⎢⎣⎡rect⎜⎝⎛
y' a
1+ k2λ2 sina,(k =±1,±2,") a2 +k2λ2
（12）
(12)式反映，各级暗纹中心的 x 坐标值随级次 k
的增高而变大，故条纹沿曲线向外铺展。 表格 1 表示的是我们在实验（2）中所得到
的测量值与用(11)、(12)两式计算的理论值的比
较，采用：
D
z0 = 3.000mʀ λ = 6238 AɼB = 19λ,α = 20D
关键词 夫琅禾费衍射 倾角因子 观察范围
在进行夫琅禾费衍射实验的调节中，我们观 察到一种实验现象。本文旨在描述这一现象，并 从理论上予以分析，最后得出客观的结论。
1 实验 实验装置如图 1 所示。当激光束重直入射
单缝时，接受屏上便出现夫琅禾费衍射条纹。为 了便于后面讨论，让条纹的中央明纹中心位于 O 点，其他各级暗纹（或明纹）中心的 x 坐标值为 零，即整个条纹沿 y 轴向外辅展。实验按以下步 骤进行。
⎡ exp⎢−
⎣
ik z0
(xx'+
⎤ yy')⎥dx'dy'(2)
⎦
（2）式为夫琅禾费积分的标准形式。利用
傅 里 叶 变 换 ， (2) 式 还 可 演 变 为
v(x,
y)
=
exp(ikz0) iλz0
exp⎜⎜⎝⎛ ik
x2 + y2 2z0
⎟⎟⎠⎞
• f [v0(x', y')t(x', y')]（3）
)
(6)
空间频率为观察屏上场点坐标的严格对应关系
为
fx
=
x λr
(7)
fy
=
y λr
(8)
考虑到可以用 z0 近似代替 r ，则有
fx
=
x λz0
，
fy
=
y λz0
，代入（6）式，并结合（4）式，便
有
v(xy)
=
v正
(0,
y) *δ
⎡1
⎢ ⎣
λz
0
(x
−
z0
sin α
⎤ )⎥
⎦
光强分布为
I (x,
y)
=
I正
(0,
y) *δ
⎡1
⎢ ⎣
λz
0
(x
−
z0
sin α
⎤ )⎥
⎦
即 I (x, y) = I (z0 sin α , y) (9) 上式的物理意 义是，平行光以仰角α 入射单缝，接收屏上的 光强分 布为 正入射 时的 光强分 布 I正 (0, y) 与
δ
⎡1
⎢ ⎣
λz0
(x
−
z0
sin α
⎤ )⎥
也很小。如果令 r' 表示接收屏上任一观察点 P
至坐标原点 O' 的距离，θ ' 角为 P 至 O' 的矢径与
S ' 平面在该点法线的夹角。那么，对(1)式可作
以下三点近似：①将倾角因子（1+cosθ ' ）/2 提
出积分号外；②分母中的 r 用 r' 代替后提出积分
号外；③相因子中的 r 仍展开成
r
=
z0
⎡ ⎢1 ⎣
+
1 2
(x
−
x')2
+ (y z0
−
y')2
⎤ ⎥ ⎦
− (x − x')2 + ( y − y')2 + ""
8z
2 0
第1期
费向阳:对夫琅禾费衍射的深入研究
. 73 .
取前面两项略去高次项，并认为夫琅禾费近似仍
然成立。再利用傅里叶变换，（1）式演变为v(x, Nhomakorabeay)
=
1 + cosθ 2r'
•
exp(ikz0 ) iλ
inc(af y
)
• exp⎜⎜⎝⎛ik
x2 + y2 2z0
⎟⎟⎠⎞δ
⎜⎛ ⎝
fx
−
sin λ
a
⎟⎞ * as ⎠
把（7）和（8）式代入上式，略加变换可得到接 收屏上的光强分布为
I
(x,
y)
=
⎜⎛1+ cosθ ⎝ 2r'
'
λ
⎟⎞2 ⎠
•
sin(πay / λr') π 2 (ay / λr)2
⎦
之卷积，其结果是正入射
时的衍射条纹整体向上平移 z0 sin α , y 方向的
分布不变。而几何像点移动的距离是 z0tgα 。
但当入射角很小时， tga = sin a ，所以(9)式
所反映的与前述实验 1 中的现象一致。
（2）入射角逐步增大，作如下讨沦。
对于单缝而言，积分实际上在一维内进行，
积分区间为 (−a/ 2,a/ 2) ，在上述实验中，缝宽α 甚 小，在积分过程中，倾角因子 cosθ 和 r 的变化
y)
=
exp(ikz0 ) iλz0
exp⎜⎜⎝⎛ ik
x2 + y2 2z0
⎟⎟⎠⎞
•
a
sin
c
ay λz0
(4)
在前面实验中，已使整个条纹座落在 y 轴上，条
纹光强分布 I 正(x,y)可记作 I 正(0,y)。由（4）式导
得理想的夫琅禾费单缝衍射的光强的分布
I正
(0,
y)
=
a2
λ2
z
2 0
sin
当 单 色 平 行 光 正 入 射 至 单 缝 时 ， v0(x’ ，
y’)=1，单缝的透过率 t(x', y') = rect⎜⎛ y' ⎟⎞ ，由傅里 ⎝a⎠
叶变换
f
⎢⎣⎡rect⎜⎝⎛
y' a
⎟⎠⎞⎥⎦⎤
=
a sin c(af y
)
代入（3）式得
出正入射至单缝，接受屏上的复振幅分布
v正 (x,
图 1 夫琅禾费衍射实验装置
（1）在 xz 平面内慢慢转动激光管，使激光
束以一定的仰角（或俯角）α 入射单缝（见图 1）， 当α 角很小时，可观察到衍射条纹随几何像点
xc 向上（或向下）作整体平移。
（2）逐步增大入射角α ，条纹开始出现以
下情况：中央明纹中心仍随几何像点 xc 向上（或 向下）沿 x 轴平移；其他各级暗纹也向上（或向 下）移动，但各级暗纹中心移动的距离大于中央 明纹中心移动的距离，且移动的距离随级次的增 高而渐次增大。这样，整个条纹不再沿一条平行
v0 (x', y')t(x', y')
• eikr 1 + cosθ dx' dy'
(1)
r2
(1)式可以演化为
v(x, y) = exp(i kz0 ) exp(ik x 2 + y 2 )
iλz0
2z0
. 72 .
电大理工
总第 234 期
∫ ∫ •
∞ −∞
v0
(x',
y')t(x',
y'
)
•
2008 年 3 月
电大理工 Study of Science and Engineering at RTVU.
