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第四章 微分中值定理与导数应用(Median theory of differentiate and the application of derivative)导数和微分在现实世界中有着十分广泛的应用，从上一章所述的导数的概念及其几何意义可以知道，用导数可以求运动物体的瞬时速度、瞬时加速度，并可解决曲线的切线和法线等问题。
但是，在自然科学和工程技术中，经常会遇到很多更为复杂的问题，例如求炮弹的最大射程、行星离开太阳的最近和最远距离、经济问题中的最大效益、工程设计中精确度较高的估算、求00或∞∞型的极限、研究复杂函数曲线的性态等等，这就需要进一步研究导数在各方面的应用。
本章首先介绍微分中值定理，然后利用这些定理进一步研究导数在各方面的应用。
§4-1 微 分 中 值 定 理（Mediam theory of differentiate ）一、费马Th.()()()()()()()()()'000'0,,()0.f x f x x f x f x f x f x f x ∈≥≤=00设在U x 内有定义，且存在，若对于任意的U x 都有或则：证 费马Th.定理------一般的，使 ()00='x f 的点0x 称为()x f y =的驻点（或稳定点、静止点） 使()x f '不存在的点0x 称为()x f y =的奇异点（举例说明：x y x y ==,3）二、三个中值定理及其相互关系罗尔（Rolle ，1652—1719，法国）。
拉格朗日（.J L Lagrange -，1736—1813，意大利）。
柯西（Gauchy ，1789—1851，法国）。
罗尔（Role ）定理 如果函数()y f x =满足条件： （1）在闭区间[],a b 上连续 （2）在开区间(),a b 内可导 （3）()() f a f b =那么在(),a b 内至少存在一点ξ , 使得()0f ξ'=.拉格朗日中值定理 如果函数()f x 满足（1）在闭区间[,]a b 上连续 （2）在开区间(,)a b 内可导那么在(,)a b 内至少存在一点ξ()a b ξ<<, 使得等式()()() ()f b f a f b a ξ'-=- （1）成立.柯西（Cauchy ）中值定理 如果函数()f x 及()g x 在闭区间[,]a b 上连续, 在开区间(,)a b 内可导, 且()g x '在(,)a b 内的每一点处均不为零, 那么在(,)a b 内至少存在一点ξ , 使等式()()()()()()f b f a fg b g a g ξξ'-='-成立.证拉氏定理 引进辅助函数()()()()()f b f a x f x b x b aφ-=+--容易验证函数()x φ适合罗尔定理的条件: ()x φ在闭区间[,]a b 上连续, 在开区间(,)a b 内可导, ()()()a b f b φφ==, 且()()()()f b f a x f x b aφ-''=--.根据罗尔定理可知，在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ, 使()0φξ'=, 即()()()0f b f a f b aξ-'-=-.由此得()()()f b f a f b aξ-'=-,即()()()()f b f a f b a ξ'-=-.定理证毕.拉格朗日中值公式的其他形式：设x 为区间[,]a b 内的一点,x x +∆为这区间内的另一点(0x ∆>或0x ∆<), 则在[,]x x x +∆ (0x ∆>)或[,]x x x +∆ (0x ∆<)上应用拉格朗日中值公式, 可得()()()f x x f x f x x x θ'+∆-=+∆∆，01θ<<. （2） 如果记()f x 为y , 则上式又可写为()y f x x x θ'∆=+∆∆，01θ<<. （3）把（3）式与微分()dy f x x '=∆比较，微分()dy f x x '=∆是函数增量y ∆的近似表达式, 一般来说，以dy 近似代替y ∆时所产生的误差只有当0x ∆→时才趋于0. 而()f x x x θ'+∆∆则给出了自变量取得有限增量x ∆ (x ∆不一定很小)时，函数增量y ∆的准确表达式. 因此拉格朗日中值定理又称为有限增量定理，（3）式又称为有限增量公式.拉格朗日中值定理在微分学中占有重要地位，有时也称这个定理为微分中值定理. 在某些问题中，当自变量x 取得有限增量x ∆且需要求函数增量y ∆的准确表达式时, 拉格朗日中值定理就显出其重要价值.例1） 设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，证明在(),a b 内至少存在一点ξ，使()()()()bf b af a f f b aξξξ-'=+-.（ 令()()F x xf x =），则由题设可得()F x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导且有--------------例2） 设0a b <<，函数()f x 在闭区间[],a b 上可导，证明在(,)a b 内至少存在一点ξ, 使等式()()()lnb f b f a f aξξ'-=成立.证明 令()ln g x x =，则函数()f x 和()g x 满足柯西中值定理的条件，由柯西中值定理可知---------三、2个推论1 、若f(x) 在（a,b ）上恒有('x f =0 ，则f ( x ) = c (常数)。
习题 4-11.验证函数f (x )=lnsin x 在[π5π,66]上满足罗尔定理的条件，并求出相应的ξ，使f ′(ξ)=0.解: 显然()ln sin f x x =在5π,66x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上连续,在π5π,66⎛⎫⎪⎝⎭内可导,且π5π()()ln 266f f ==-,满足罗尓定理的条件. 令cos ()cot 0sin xf x x x '===,则π2x =即存在ππ5π(,)66ξα=∈,使()0f ξ'=成立.2. 下列函数在指定区间上是否满足罗尔定理的三个条件?有没有满足定理结论中的ξ ?[][][]2(1)()1,;(2)(),;1,10,21sin ,0π(3)()0,π1,exf x f x x x x f x x =-=--<≤⎧=⎨=⎩解: (1) 2()1e x f x =-在[]1,1-上连续,在()1,1-内可导,且(1)1,(1)1,e e f f -=-=- 即 (1)(1)f f-= () f x ∴在[]1,1-上满足罗尓定理的三个条件. 令 2()20e x f x x '==得 0x =, 即存在0(1,1)ξ=∈-,使()0f ξ'=.(2) 101()1112xx f x x x x -≤<⎧==-⎨-≤≤⎩显然()f x 在(0,1),(1,2)内连续,又1111(10)lim ()lim (1)0,(10)lim ()lim (1)0,(10)(10)(1)0,即x x x x f f x x f f x x f f f --++→→→→-==-=+==-=-=+==所以()f x 在1x =处连续,而且22(00)lim ()lim (1)1(0),(20)lim ()lim (1)1(2),x x x x f f x x f f f x x f ++--→→→→+==-==-==-==即()f x 在0x =处右连续,在2x =处左连续,所以()f x 在[]0,2 上连续.又1111()(1)1(1)lim lim 1,11()(1)1(1)lim lim 111x x x x f x f x f x x f x f x f x x --++-→→+→→--'===-----'===--(1)(1)(f f f x -+''∴≠∴在1x =处不可导,从而()f x 在(0,2)内不可导. 又 (0)(2)1f f ==又由 101()112x f x x -<<⎧'=⎨<<⎩ 知 ()0f x '≠综上所述,函数()f x 满足罗尓定理的条件(1),(3)不满足条件(2),没有满足定理结论的ξ. (3) 由0(00)lim sin 0(0)1x f x f +→+==≠=知()f x 在0x =不右连续,() f x ∴在[]0,π上不连续,显然()f x 在()0,π上可导,又(0)1,(π)0f f ==,即(0)(π)f f ≠,且()cos (0,π) f x x x '=∈,取π(0,π)2ξ=∈,有π()cos cos02f ξξ'===.综上所述,函数()f x 满足罗尓定理的条件(2),不满足条件(1),(3),有满足定理结论的ξ,ξ=π2.3. 不用求出函数()(1)(2)(3)f x x x x =---的导数，说明方程()0f x '=有几个实根，并指出它们所在的区间.解: 显然()f x 在[]1,2上连续,在()1,2内可导,且(1)(2)0f f ==,由罗尓定理知,在()1,2内至少存在一点1ξ,使1()0f ξ'=,即()0f x '=在()1,2内至少有一个实根.同理 ()0f x '=在()2,3内也至少有一个实根2ξ.又()0f x '=是二次方程,最多有两个实根,故()0f x '=有两个实根,分别在区间()1,2和()2,3内.4. 验证拉格朗日中值定理对函数3()2f x x x =+在区间［0，1］上的正确性.解: 显然3()2f x x x =+在［0，1］上连续,在()0,1内可导,满足拉格朗日中值定理的条件.若令2(1)(0)()32310f f f x x-'=+==-则3x =±,取3ξ=,即存在(0,1)3ξ=,使得(1)(0)()10f f f ξ-=-成立.从而拉格朗日中值定理对函数3()2f x x x =+在［0，1］上成立.5※. 设()f x '在［a ,b ］上连续，在［a ,b ］内可导，f ′(a ) = 0，f ′′(x ) > 0，证明：f ′(a )> f (b )。
第四章 多元函数微积分学题型之一：求编导数与全微分知识点、题型、解题技巧综述1.掌握偏导数的定义:()()()()xy x f y x x f y x f x z x x y x ∆-∆+='=∂∂→∆0000000,,,lim,00；()()()()yy x f y y x f y x f yz y y y x ∆-∆+='=∂∂→∆0000000,,,lim,00 ；2.可微与全微分的概念:设()y x f z ,=在点()y x p ,的某邻域内有定义，若()())(,,ρo y B x A y x f y y x x f z +∆+∆=-∆+∆+=∆其中：A 与B 与y x ,有关，而与x ∆和y ∆无关，()()22y x ∆+∆=ρ.则称()y x f z ,=在点()y x p ,处可微，且y B x A ∆+∆叫做函数()y x f z ,=在点()y x p ,处的全微分，记作Bdy Adx dz +=.可以证明yf B xf A ∂∂=∂∂=,.于是Bdy Adx dz +=dy yf dx xf ∂∂+∂∂=.3.可微，可导(偏导数存在)，连续的关系:(1) 若偏导数连续，则函数必可微，反之不然； (2) 若可微，则可导(偏导数存在)，反之不然；(3) 若可微，则函数连续，反之不然；(4) 若函数可导，则未必连续；若函数连续，则未必可导. 4.求偏导数及全微分的一般方法:例题精解例1．（05数3，4—4）设二元函数)1ln()1(y x xe z yx +++=+，则()()=1,0dz.解： ()dy e edx dz)2(21,0++=.例2.（01数4-3）设(),2y x f ez x--=-且当0=y 时，2x z =则()=∂∂xz .解：显然，()()()()()222222,,y x ey x f x e x f x f e x y x x x --=--=-=----故即. 于是，()()222y x ee z y x x -+-=---.则)2(2)2(y x eexz xy x -+-=∂∂---.点评: 如果没有条件:“当0=y 时，2x z =”，则函数)2(y x f -是抽象函数，应解为：)2(y x f exz x-'--=∂∂-.但现在这样解就不行了.应先求出函数)2(y x f -再确定()()y x y x f e z x ,2ϕ=--=-，最后求出xz ∂∂.例3．（96数4-7）设()2222202,,2yf x y yx f x f y x dt ey x f xyt∂∂+∂∂∂-∂∂=⎰-求.解：因为22)()(,xy xy xeyf yexf --=∂∂=∂∂，所以223222yx exy xf --=∂∂，()2222122y x e yx f y x -=∂∂∂-， 223222yx ey x yf --=∂∂.故，222222222yx eyf x y yx f xf y x --=∂∂+∂∂∂-∂∂.点评:含变限积分()⎰-=xyt dt e y x f 02,，求导时应将xy 视为中间变量.例4．设),(y x f 连续，且⎰⎰+=+Dyx dxdy y x xyf xy ey x f ),(),(22，其中D 为区域：10≤≤x ，10≤≤y ，则()=∂∂∂yx y x f ),(2.（A ）()21169422-++e xye yx ；（B ）()1329222-++e xye yx ； （C ）()21329422-++e xyeyx ；（D ）()1169422-++e xyeyx .解：注意⎰⎰Ddxdy y x xyf ),(为常数，只需确定此常数即可.于是，令A dxdy y x xyf D=⎰⎰),(，则由⎰⎰+=+Dyx dxdy y x xyf xy ey x f ),(),(22，有Axy e y x f yx+=+22),(，两边同乘以xy ，得2222),(y Ax xyey x xyf yx +=+，两边再取二重积分，得：⎰⎰⎰⎰+=+DDyx dxdy y x A dxdy xyeA 2222，于是()()22132991141-=⇒+-=e A A e A .可见，()xy e e y x f yx 21329),(22-+=+，故=∂∂∂yx y x f ),(2()21329422-++e xyeyx .应选（C ）.例5．（06数3，4—4）设函数)(u f 可微，且21)0(='f ，则()224yx f z -=在点()2,1处的全微分()()=2,1dz.解：因为dy y z dx xz dz ∂∂+∂∂=，()()222242,48y x f y yzy x f x xz -'-=∂∂-'=∂∂，则()dy dx dz242,1-=.例 6.设函数),(y x f z =在点)1,0(处的某邻域内可微，且在该邻域内有()ρo y x y x f +++=+321)1,(，其中22yx +=ρ.求极限nn n e f ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→1,0lim . 解：先由连续与可微的定义得,3)1,0(,2)1,0(,1)1,0(='='=y x f f f 再由()∞1型极限与偏导数定义来求极限.（注意：比常数高阶的无穷小量，只能是零.）因为，设函数),(y x f z =在点)0,0(处的某邻域内可微，所以),(y x f z =在点)0,0(处必连续，从而有,1)1,(lim )1,0(00=+=→→y x f f y x 而3)1,0()1,0(lim)1,0(0=-+='→yf y f f y y .于是，ne f ne f e f n nnn n n nn nn eeee f 11,0lim11,01ln lim1,01ln lim 1111,0lim -⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→∞→∞→∞→===⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛.3)1,0(111)1,0(,0lim1)1,0(,0lim1111e eee yn n n n n n f ne ef e f nf e f ===='-⋅--⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛∞→∞→点评：本题是一道较好的综合题，综合了二元函数的连续，可微，偏导数的定义及∞1型极限的求解方法.注意：（1）凡幂指函数求极限问题总用“抬起法”予以处理；（2）等价代换式[]⊗⊗+~1ln ；（3）yf y f f y y )1,0()1,0(lim)1,0(0-+='→31)1,0(,0lim11=--⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∞→n n n e f e f .例7.已知xy y x y x f arcsin)1(),(-+=，则()=')1,(x f x .解： .1lim)1,()1,(lim)1,(00=∆-∆+=∆-∆+='→∆→∆xxx x xx f x x f x f x x x点评：此题由定义来解更为简单，由于当1=y 时， 0arcsin )1(=-xy y ，可以避免繁琐的求导运算.这类“花样”在考研数学中屡见不鲜.例8．（08SHU3—4）设(,)f x y =().（A ）(0,0)x f '和(0,0)y f '都存在；（B ）(0,0)x f '存在，(0,0)y f '不存在； （C ）(0,0)x f '不存在，(0,0)y f '存在；（D ）(0,0)x f '不存在，(0,0)y f '不存在.解：因为11(0,0)limlimxx x x ef xx→→--'==且11lim lim 1xxx x ee x x++→→--==，11lim lim 1xxx x eexx---→→--==-，所以011(0,0)limlimxx x x ef xx→→--'==不存在.而21(0,0)lim0yy y e f y→-'==，所以(0,0)y f '存在，综上：选（C ）.例9．设二元函数(),f x y 在D 上连续，其中D 是曲线y lnx =，直线0,2y x ==所围成，又()(),,yyDf x y xe ef u v dudv =+⎰⎰，求(),yyf x y ''的表达式。
解：设),Da f u v dudv =⎰⎰，则y yDDa xe dxdy a e dxdy =+⎰⎰⎰⎰2ln 2ln 11xx yydx xe dy a dx e dy =+⎰⎰⎰⎰2211ln ln 11yyx x xedx aedx =+⎰⎰()()222111x x dx a x dx =-+-⎰⎰562a=+得53a =， 故()5,3yy f x y xe e =+()5,3yyy f x y xe e '=+()5,3yyyyf x y xe e ''=+题型之二：链式法则的应用知识点、题型、解题技巧综述1.链式法则及推论:定理：设()()()y x v v y x u u v u f z ,,,,,===都存在连续的偏导数，则复合函数()()[]y x v y x u f z ,,,=有连续的偏导数，且xvv z xu uz xz ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂；yvv z yu uz yz ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ 推论1.若()t u ϕ=及()t v ψ=都在t 可导，函数()v u f z ,=在对应点()v u ,具有连续偏导数，则复合函数()()[]t t f z ψϕ,=在点t 可导，且其导数为：dtdv v z dt du uz dtdz ⋅∂∂+⋅∂∂=推论 2.若()y x u f z ,,=具有连续偏导数，而()y x u ,ϕ=具有偏导数，则复合函数()[]y x y x f z ,,,ϕ=存在偏导数，且xf xu uf xz ∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂及yf yu uf yz ∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂2.链式法则的实质:函数对中间变量求导，中间变量再对下一中间变量(如果有的话)求导，直至对自变量求导.3.结构图法:(链式法则的另一种解释)将函数关系画成结构图，分别求出每条路径下的导数，再将其相加即可得函数的导数. 4.经常将链式法则，隐函数的求导，抽象函数的求导问题结合起来出题，尤其要注意这种结合下的求高阶导数问题.例题精解例1．设),(y x f 可微，4)3,(x x x f =，已知32)3,1(='y f ，则()=')3,1(x f .（A ）1；（B ）-1；（C ）2；（D ）-2.解：在等式4)3,(x x x f =的两端分别对x 求导得：34)3,(3)3,(x x x f x x f y x ='+'.令1=x ，则4)3,1(3)3,1(='+'y x f f ，而32)3,1(='y f ，故2)3,1(='x f .于是，应选（C ）.例2．（04数2-10）设()xyey x f z ,22-=其中f 有连续二阶偏导数，求yx z y z x z ∂∂∂∂∂∂∂2,,.解：212f yef x xz xy'+'=∂∂，212f xe f y yz xy'+'-=∂∂，于是，()22221222112)1(24f xye f xy e f y x e f xy yx z xyxy xy ''+'++''-+''-=∂∂∂. 例3．（04数3—4）函数),(v u f 由关系式[])(),(y g x y y xg f +=确定，其中函数)(y g 可微，且0)(≠y g ，则()=∂∂∂vu f 2.解：[])(),(y g x y y xg f +=，两边求导得：1)(=⋅'y g f u ，再求导得：[]0)(.2=''y g f uu. 因为0)(≠y g ，所以0=''uuf .在1)(=⋅'yg f u 的两边对y 求一次偏导，有： []{}0)(1)()(=⋅''+'⋅⋅''+''y g f y g x f y g f uv uuu .将0=''uuf 代入上式，得0)()(=''+''y g f y g f uvu ，从而[]2)()()()(y g y g f y g y g f u uv '-=''-=''.点评:本题也可以解为:令v y u y xg ==,)(，则v y y g u x ==,)(代入题设所给关系式，得),()(),(v g v g u v u f +=于是()[]22)(,)(1v g v g vu fv g uf '-=∂∂∂=∂∂.例4．（05数3，4—8）设),(v u f 有连续偏导数，且满足uv v u f v u f v u ='+'),(),(.求),()(2x x f ex y x-=所满足的一切微分方程，并求其通解.解：因为()v u xx f f e x x f ex y '+'+-='--22),(2)(，且uv v u f v u f v u ='+'),(),(，则有： ()='+'+-='--v u xxf f ex x f ex y 22),(2)(y e x e x x x f e x x x 2),(222222-=+----.由此得到所求的一阶微分方程为：x e x y y 222-=+'. 解之可得：xe C x y 223-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=. 例5．（05数3—8）设)(u f 有二阶连续导数，且⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛=y x yf x y f y x g ),(，求 222222y g yxg x∂∂-∂∂.解：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛'-=∂∂y x f x y f xy xg 2；⎪⎭⎫⎝⎛''+⎪⎭⎫ ⎝⎛''+⎪⎭⎫ ⎝⎛'=∂∂x y f y x y f x y x y f x y x g 1242322 ； ⎪⎭⎫⎝⎛'-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛'=∂∂x y f y x xyf x y f x y g1；⎪⎭⎫ ⎝⎛''+⎪⎭⎫ ⎝⎛''=∂∂x y f y x x y f x y g 322221 ； 故，⎪⎭⎫⎝⎛'=∂∂-∂∂x y f x yyg yxg x2222222.例6．设函数),(y x f 满足2222yf xf ∂∂=∂∂及条件2)2,(,)2,(x x x f x x x f x ='=， 则()='')2,(x x f xx.(A)35x ；(B)34x ；(C)34x -；(D) 35x -.解:在等式x x x f =)2,(两边对x 求导得，1221='+'f f .由于结果中涉及二阶偏导数，故此式两边再对变量x 求导得:042222211211=''+''+''+''f f f f .考虑到2112f f ''=''(混合偏导相等)，且2211f f ''=''(已知)，则有:)1(0451211---=''+''f f .对 2)2,(x x x f x ='两边求导可得: )2(221211---=''+''x f f .于是，(1)，(2)联立得:⎩⎨⎧=''+''=''+''x f f f f 2204512111211.解之可得:x f 3411-=''.点评:本题考查二元复合函数的求导问题.注意:y 是x 的函数及.yx xyf f ''='' 例7．设)(r f u =，222zy x r ++=，其中f 是二阶可微函数，且111)(lim1=--→x x f x .（1）试将0222222=∂∂+∂∂+∂∂zu yu xu 改为常微分方程；（2）试求)(r f .解：（1）rx r f xr r f xu )()('=∂∂'=∂∂，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-'+''=∂∂3222221)()(r x r r f rx r f xu ，同理，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-'+''=∂∂3222221)()(r y r r f ry r f yu ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-'+''=∂∂3222221)()(r z r r f r zr f z u ，故0)(2)(222222='+''=∂∂+∂∂+∂∂r f rr f zu yu xu .（2）由111)(lim1=--→x x f x 知，1)1(,1)1(='=f f .对于方程0)(2)(='+''r f rr f ，令)(r f p '=，则)(r f p ''='，且02=+'p r p .容易解得：21rC p =.由1)1(='f ，得11=C ，故21)(rr f ='.从而21)(C rr f +-=.再由1)1(=f ，得22=C .故21)(+-=r r f .例8.（93数2—3）设f x y xy f x z ,,2⎪⎭⎫ ⎝⎛=有连续的二阶偏导数，求y x z ∂∂∂2.解:因为⎪⎭⎫ ⎝⎛'-'+=∂∂22122f x y f y x xf x z， 所以有: ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛''+''-'-⎪⎭⎫ ⎝⎛''+''+'+⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'+=∂∂∂2221222121112212111122f x f x x y f x f x f x y f x f x f x x f y x z222121211312212222f xy f xy f f xy f y x f x f f x f ''-''-'-''+''+'+'+'+= 2211321232f xy f y x f f x f ''-''+'+'+=. 点评: 本题考查抽象函数高阶偏导数的求法.注意，12f ''和21f ''叫做混合偏导数，一般情况下(当它们连续时)，它们是相等的.例9.设函数()22lnyx f u +=，满足()23222222yx yu xu +=∂∂+∂∂，且极限1)(lim1-=⎰→xdt xt f x ，试求函数f 的表达式.解：先求出二阶导数，代入已知关系式后，可得一微分方程，再按标准方法进行求解即可.注意，本题的初始条件是通过极限1)(lim 1-=⎰→xdt xt f x 确定的，此条件相当于告诉了)(x f 在点0=x 处的函数值与导数值. 即：设()te yx yx yx t 2222222ln 21ln=+⇒+=+=，则)(t f u =.2222)(2)(21yx t f x yx x t f xu +'=+'=∂∂；2222)(2)(21yx t f y yx y t f yu +'=+'=∂∂.容易求得：()()te yx t f yx yu xu 5252223222222)(=+=''⇒+=∂∂+∂∂.对此式两次积分得：215251)(C t C et f t++=，即215251)(C x C ex f x++=.又12)(lim)(lim)(lim21-===→→→⎰⎰xx f xdu u f xdt xt f x xx x ，从而有2)0(,0)0(-='=f f ，将其代入)(x f 的表达式中，得512,25112-=-=C C .故函数的表达式为：251512251)(5--=x ex f x.例10.设对于任意的x 和y ，有422=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂y f x f ，用变量替换()⎪⎩⎪⎨⎧-==2221v u y uv x 将函数()y x f ,变换成函数()v u g ,，试求满足关系式：2222vu v g b u g a +=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂试求：其中的a 和b.解：显然，()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2221,,v u uv f v u g ，则y f u x f v u y y f u x x f u g ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂..， ,..y f v x f u v y y f v x x f v g∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂2222v u y f v xf u b y f u x f v a +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂ 即，()()()2222222222v u y fbvau y f x f uv b a x f bu av +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-+∂∂∂∂++⎪⎭⎫⎝⎛∂∂- 显然，022=+b a ，即b a -=，于是，()222222v u y f x f vu a +=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+. 又422=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂y f x f ，故()4142222=⇒+=+a v u v u a ，从而41-=b . 点评:本题中的函数结构为:),(y x f ，uv x =，()2221vuy -=.而将函数),(y x f 变成),(v u g ，系指等式()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2221,,v u uv f v u g 成立.于是，求出),(v u g 的两个偏导数，分别代入下列等式，即可确定b a ,的值..2222v u v g b u g a +=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂例11.用变换⎩⎨⎧+=-=ayx v y x u 2，可把0622222=∂∂-∂∂∂+∂∂y z y x z x z 化简为02=∂∂∂v u z. 求a 的值. 解：v z au z y z v z uz xz ∂∂+∂∂-=∂∂∂∂+∂∂=∂∂2;. (),22,22222222222222uz avu z a uz yx z vz vu z uz xz ∂∂+∂∂∂-+∂∂-=∂∂∂∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂2222222244vz avu z auz yz ∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂，将以上结果代入原方程得：()(),065102222=∂∂-++∂∂∂+vz aa vu z a 3,0510062=≠+=-+a a aa 故且点评:本题中的函数结构为:),(v u f z =，y x u 2-=，ay x v +=.分别求出各二阶导数后，代入方程0622222=∂∂-∂∂∂+∂∂yz yx z xz ，使2222yz xz ∂∂∂∂和的系数分别为零，即可求出a 和b 的值.例12．设函数),(y x f 可微，且f x f -=∂∂，ynn ey f n y f cot ),0(1,0lim =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→，12,0=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，求),(y x f .解：因为[][]yy f y f y x f yny f n y f nn eeeey f n y f yx n cot ),0(),0(),(ln 1),0(ln 1,0ln lim),0(1,0lim ====⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+'∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→=∞→，所以，y y f y f y cot ),0(),0(='.两边对y 积分，得C y y f ln sin ln ),0(ln +=，即y C y f sin ),0(=.又因为12,0=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，则1=C .于是，y y f sin ),0(=.由f xf -=∂∂，得11-=∂∂xf f ，两边对x 积分得：)(ln ),(ln y C x y x f +-=，即)(),(y C ey x f x-=，再代入y y f sin ),0(=，得y ey x f xsin ),(⋅=-.点评：本题属于已知关于偏导数的方程，通过积分求函数.其中综合了偏导数的定义及∞1型极限的求解技巧.例13．设),(y x f 可微，()43,x x x f =已知32)3,1(='y f ，则()=')3,1(x f .（A ）1；（B ）-1；（C ）2；（D ）-2.解：在()43,x x x f =的两边对变量x 求导，得()3214)3,(33,x x x f x x f ='+'，令1=x ，则⇒='+'4)3,1(3)3,1(21f f 2)3,1(='x f .例14.（92数3，4—5）设求,,)sin(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=y x x xy z ϕ.2y x z∂∂∂其中),(y x ϕ有二阶偏导数. 解:因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'+=∂∂211)cos(ϕϕy xy y x z ，且其中21,ϕϕ''都是⎪⎪⎭⎫⎝⎛y x x ,的函数. 所以，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-''+'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-''++=∂∂∂22222212211)sin()cos(y x y y y x xy xy xy y x zϕϕϕ 223221221)cos()sin(ϕϕϕ''-'-''-+=yx yyx xy xy xy . 点评:本题考查抽象函数高阶偏导数的求法.注意，一般地若),(v u f z =，则1f '和2f '也都还是变量v u ,的函数.求高阶偏导时，务必注意这一点.例15.(01数3—6)设函数),(y x f z =在点()1,1处可微，且1)1,1(=f ，()21,1=∂∂xf ，()31,1=∂∂yf ，()),(,)(x x f x f x =ϕ，求:13)(=x x dxd ϕ.解:显然，()1)1,1()1,1(,1)1(===f f f ϕ.()()()[].51),(),(),(,),(,)(3)()(3)(2121223='+''+'==x x f x x f x x f x f x x f x f x x dxd x x dxd ϕϕϕϕ点评:题中()),(,x x f x f 是形式上的二元函数，实质上的一元函数.注意体会该函数对x 的导数为:[]()2121)),(,(f f f f x x f x f dxd '+''+'=.例16.设函数),(y x f z =可微，且,2)2,1(,42)2,1(=+-=f dy dx df 则函数[])2,(,)(x x f x f x g =在1=x 处的导数()==1)(x dxx dg .(A)22；(B)6；(C)38；(D)-42.解:)2()(y x y x f f f f x g '+'⋅'+'='.由题设在点(1，2)处4,2='-='y x f f . 于是， []2242)2(4)2()2()1(=⨯+-+-='+'⋅'+'='y x y x f f f f g .点评:本题考查抽象函数，复合函数的求导问题.在近年来的考题中，含抽象函数，复合函数，隐函数的求导问题多次考过，务必引起考生的注意.例17.设(),,,,),(22ϕϕf y x xy t t f z +==均可导，求()=dz解:容易求得:()212)(ϕϕ'+''=∂∂x y t f xf，()212)(ϕϕ'+''=∂∂y x t f y f.故，()().222121dy y x f dx x y f dz ϕϕϕϕ'+''+'+''=点评:按结构图法求偏导数，再套入全微分公式.例18．设),(y x f z =满足y a yx z 22+=∂∂∂，且2),0(,2)0,(y y f x x f ==，则()=),(y x f .解：因为())(212x C y ay dyy a xz ++=+=∂∂⎰，所以()⎰⎰⎰+++=++=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=)()()(),(21212y C dx x Cxyaxy dx x C yay dx x z y x f .因为2)()0,(2)0()()0,(121=='⇒=+=⎰x C x f x C dx x Cx f x ，所以)(2)(2),(2222y C x xy axy y C dx xy axy y x f +++=+++=⎰. 由222)(),0(),0(y y C y f y y f ==⇒=，故()()122),(222+++=+++=x y ay x y x xy axy y x f . 例19．设ψϕ,二阶可导，函数[],)(21)()(21⎰+-+-++=axy axy dt t aax y ax y z ψϕϕ试求：.22222yz ax z ∂∂-∂∂解：[]()[])(21)()(2ax y ax y ax y ax y a xz -+++-'-+'=∂∂ψψϕϕ[]()[])(21)()(2ax y ax y ax y ax y a yz --++-'++'=∂∂ψψϕϕ[][])()(2)()(2222ax y ax y aax y ax y axz -'-+'+-''++''=∂∂ψψϕϕ[][])()(21)()(2222ax y ax y aax y ax y ayz -'-+'+-''++''=∂∂ψψϕϕ故，.022222=∂∂-∂∂yz axz点评：本题考查以下知识点：（1）变限积分的求导；（2）抽象函数的高阶偏导数的求法. 例20.设()()22,,yx xy t t f u +==ϕ其中：ϕ,f 具有连续的二阶导数及偏导数，求22xu ∂∂.解：()()[]x y t f xt t f xu 221ϕϕ'+''=∂∂'=∂∂. ()()[]()()()()21212122222ϕϕϕϕϕϕ'+'∂∂'+'+'∂∂''='+''∂∂=∂∂x y xt f x y xt t f x y t f xxu ()()()()()[]x y x x y y t f x y t f 2.222.2222121211221ϕϕϕϕϕϕϕ''+''+'+''+''+'+'''= ()()()()2222121122212442ϕϕϕϕϕϕ'+''+''+'''+'+'''=x xy y t f x y t f . 点评:本题考查复合函数，抽象函数结合下的求高阶导数问题.例21.设()0,,sin ,ln ),,,(===z e x g x y z y x f u y ，且0≠∂∂yg ，求dxdu .解：显然，x z y x z f xf f dxdu '⋅'+⋅'+⋅'=11. 又01cos 321=''+'+'xy z g xe g x g . 故，.1cos 321g g e x x g z yx''+'-='于是，321cos g g x e x g f x f f dx du yz y x '⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+''-'+'=. 点评：应注意含抽象函数.隐函数.复合函数的求导导问题；为了搞清楚变量之间的关系，可以借助于结构图法.例22.已知xy y x y x f arcsin )1(),(-+=，则()=')1,(x f x .解： .1lim)1,()1,(lim)1,(00=∆-∆+=∆-∆+='→∆→∆xxx x xx f x x f x f x x x点评：此题由定义来解更为简单，由于当1=y 时， 0arcsin )1(=-xy y ，可以避免繁琐的求导运算.这类“花样”在考研数学中屡见不鲜.例23．（06SHU3，4—4）设),(v u f 是二元可微函数，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=y x x y f z ,，则()=∂∂-∂∂y zy x z x .解：因为2121f yf xy xz '+'-=∂∂，2211f yx f xyz '-'=∂∂，所以2122f yx f xy yz yxz x'+'-=∂∂-∂∂.例24．设()zy x z y x f ,,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，则()()=1,1,1df.解：因为()()()()dz f dy f dx f dfz y x 1,1,11,1,11,1,11,1,1'+'+'=，且()x x f =1,1,，则()11,1,1='x f ；()yy f 11,,1=，则()211,,1yy f y -='，从而()11,1,1-='y f ；()1,1,1=z f ，则()01,1,1='z f ；故()dy dx df-=1,1,1.例25．设二元函数),(y x f z =，且0)1,(=x f ，x x f y sin )0,(='，x y x f yy2),(=''，则()=),(y x f .解：x y x f yy2),(=''两边对y 积分，得)(2),(x xy y x f y ϕ+='，由x x f y sin )0,(='，知 x x sin )(=ϕ.所以x xy y x f y sin 2),(+='再对y 积分，得)(sin ),(2x g x y xy y x f ++=，由0)1,(=x f ，知x x x g sin )(--=.故x x x y xy y x f sin sin ),(2--+=.x x sin )(=ϕ.所以x xy y x f y sin 2),(+='再对y 积分，得)(sin ),(2x g x y xy y x f ++=，由0)1,(=x f ，知x x x g sin )(--=.故x x x y xy y x f sin sin ),(2--+=. 例26．（06SHU3，4—4）设函数)(u f 可微，且21)0(='f ，则()224y x f z -=在点()2,1处的全微分()()=2,1dz.解：因为dy y z dx xz dz ∂∂+∂∂=，()()222242,48y x f y yzy x f x xz -'-=∂∂-'=∂∂，则()dy dx dz242,1-=.例27．设函数(,)f x y 具有连续的偏导数，且24(,)f x x x =，(1,1)1y f '=，则()(1,1)x f '=.解：因为函数具有连续的偏导数，从而函数(,)f x y 可微，又因为一元函数2y x =可导，故对复合函数24(,)f x x x =两边对x 求偏导数可得：22312(,)2(,)4f x x xf x x x ''+=，令1x =，则12(1,1)2(1,1)4f f ''+=，故12(1,1)42(1,1)2f f ''=-=.例28．（08SHU2—4）已知xyy z x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()()1,2z x ∂=∂.解：当2y =时，22z x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()2ln ln ln 2ln 22x x z x x ==-，两边对x 求导，得()()()111ln 2ln ln 2ln 1ln 2ln 12222x xz z x x z x z''=--=--⇒=--.将1x =，z =代入，得()()1,2ln 212z x∂=-∂.例29．（06SHGU3，4—4）设二元函数)y 1(ln )1x (xe z y x +++=+，则=)0,1(dz 2edx+（e+2）dy 。
