高三2月内部特供卷理科数学(二)Word版含答案

高三数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高考范围．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若全集为R ，集合，，则（ ）{2x A x =≤∣{ln(2)0}B x x =-<∣()A B =RIðA.B.C.D.3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦30,2⎛⎤⎥⎝⎦3,22⎛⎫⎪⎝⎭()2,+∞【答案】C 【解析】【分析】先求出集合A ，B ，再根据补集交集的定义即可求出.【详解】因为，，所以． 32A x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭∣{}12B x x =<<()322R A B x x ⎧⎫⋂=<<⎨⎬⎩⎭∣ð故选：C ．2. 已知p ：，q ：关于x ，y 的方程表示圆，则是的（ ） 1t >2268250x y tx ty +-++=p q A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】【分析】由方程表示圆得出参数的范围，然后再判断出是的充分不必要条件.t p q 【详解】关于x ，y 的方程表示圆等价于，即2268250x y tx ty +-++=()()22684250t t -+-⨯>，21t >显然由可推出，反之由不能的到（可能是） 1t >21t >21t >1t >1t <-故是的充分不必要条件. p q 故选：A.3. 新能源汽车是指采用非常规的车用燃料作为动力来源（或使用常规的车用燃料、采用新型车载动力装置），综合车辆的动力控制和驱动方面的先进技术，形成的技术原理先进、具有新技术、新结构的汽车．新能源汽车包括混合动力电动汽车（HEV ）、纯电动汽车（BEV ，包括太阳能汽车）、燃料电池电动汽车（FCEV ）、其他新能源（如超级电容器、飞轮等高效储能器）汽车等．非常规的车用燃料指除汽油、柴油之外的燃料．下表是2021年我国某地区新能源汽车的前5个月销售量与月份的统计表：月份代码x 1 2 3 4 5 销售量y （万辆）0.50.611.41.5由上表可知其线性回归方程为，则的值是（ ）．ˆˆ0.16y bx =+ˆb A. 0.28 B. 0.32C. 0.56D. 0.64【答案】A 【解析】【分析】先计算，，再根据样本中心点适合方程解得的值即可. x y (),x y ˆˆ0.16ybx =+ˆb 【详解】由表中数据可得，，1234535x ++++==0.50.61 1.4 1.515y ++++==将代入，即，解得． ()3,1ˆˆ0.16ybx =+ˆ130.16b =⨯+ˆ0.28b =故选:A ．4. 的展开式中所有有理项的系数和为（ ） 8x ⎛- ⎝A. 85B. 29C. D.27-84-【答案】C 【解析】【分析】写出通项后可得有理项，进一步计算可得结果. 【详解】展开式的通项为：，其中，4883188C ((1)C --+==-rr r r r rr T x x 012345678r =，，，，，，，，当时为有理项，故有理项系数和为0,3,6r =，003366888(1)C (1)C (1)C 1(56)2827-+-+-=+-+=-故选：C.5. 定义在R 上的偶函数满足，当时，，则函数()f x ()()2f x f x =-[]0,1x ∈()21x f x =-在区间上的所有零点的和是（ ）()()()sin 2πx f g x x =-15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦A. 10B. 8C. 6D. 4【答案】A 【解析】【分析】数形结合，函数与在区间上的交点横坐标即为g (x )的零点，根据()f x ()sin 2πy x =15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦对称性即可求零点之和.【详解】如图所示，与在区间上一共有10个交点，()f x ()sin 2πy x=15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦且这10个交点的横坐标关于直线对称， 1x =所以在区间上的所有零点的和是10．()g x 15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选：A ．6. 赣南脐橙果大形正，橙红鲜艳，肉质脆嫩，营养价值高.快递运输过程中脐橙损失的新鲜度y 与采摘后的时间t 之间满足函数关系式：为了保证从采摘到邮寄到客户手中新鲜度不22030,010,100012,10100,20tt t y t +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪⨯≤≤⎪⎩低于，则脐橙从采摘到邮寄到客户手中的时间不能超过（ ）85%（参考数据：） 2log 316≈．A. 20小时 B. 25小时 C. 28小时 D. 35小时【答案】C 【解析】【分析】由题意列不等式求解【详解】由题意，当时，损失的新鲜度小于，没有超过；10t <10%15%当时，令，即，所以. 10t ≥20301215%20t +⋅≤203022023,log 3 1.630tt ++≤≤≈28t ≤故选：C7. 在平行四边形中，，点P 为平行四边形所在平面内一点，ABCD 1,2,AB AD AB AD ==⊥ABCD 则的最小值是（ ）()PA PC PB +⋅A.B. C.D. 58-12-38-14-【答案】A 【解析】【分析】建立如图所示坐标系设，根据数量积坐标公式即可求解最值． (,)P x y 【详解】建立如图所示坐标系，设，则， (,)P x y (0,0),(1,0),(1,2)A B C 所以，，(1,)PB x y =-- (,)(1,2)(12,22)PA PC x y x y x y +=--+--=--故，()(12)(1)PA PC PB x x +⋅=--+ 22315(22)()22428y y x y ⎛⎫⎛⎫--=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以时，取得最小值．31,42x y ==()PA PC PB +⋅ 58-故选：A ．8. 伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一世纪的“巴赛尔级数”难题．当时，*n ∈N sin xx=，又根据泰勒展开式可以得到222222222111149x x x x n ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭35sin 3!5!x x x x =-+++，根据以上两式可求得（）()()121121!n n x n ---+- 22221111123n +++++= A.B.C.D.26π23π28π24π【答案】A 【解析】【分析】由同时除以x ，再利用展开式中的系数可求出.()()121351sin 3!5!21!n n x x x x x n ---=-++++- 2x 【详解】由，两边同时除以x ，()()121351sin 3!5!21!n n x x x x x n ---=-++++- 得，()()122241sin 13!5!21!n n x x x x x n ---=-++++-又 222222222sin 111149x x x x x x n ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭展开式中的系数为， 2x 2222211111123n π⎛⎫-+++++ ⎪⎝⎭所以， 222221111111233!n π⎛⎫-+++++=- ⎪⎝⎭所以．2222211111236n π+++++= 故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知两个不为零的实数x ，y 满足，则下列结论正确的是（ ） x y <A. B. ||31x y ->2xy y <C. D.||||x x y y <11e e x y x y-<-【答案】AC 【解析】【分析】根据题中条件，确定，可判断A 正确；由不等式的性质，当时，可判断B ||0x y ->0y <错；判断函数的单调性，可判断C 正确；取特殊值，，可判断D 错. ()||f x x x ==1x -1y =【详解】因为，所以，所以，则A 正确；x y <||0x y ->||31x y ->因为，当时，，当时，，则B 错误；x y <0y >2xy y <0y <2xy y >令，易知在R 上单调递增，又，所以，即22,0(),0x x f x x x x x ⎧≥==⎨-<⎩()f x x y <()()f x f y <，则C 正确；||||x x y y <对于D ，若，，则，即D 错误. =1x -1y =1112e e x y--=->-故选：AC.10. 已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点为，复数满足，则下列结122i z =-i 1P 2z 2i 1z -=论正确的是（ ） A. 点的坐标为 B.1P ()2,2-122i z =+C. 的D. 的最小值为21z z -1+21z z -【答案】ABC 【解析】【分析】利用复数的几何意义可判断A 选项；利用共轭复数的定义可判断B 选项；利用复数模的三角不等式可判断CD 选项.【详解】对于A 选项，因为，则，A 对； 122i z =-()12,2P -对于B 选项，由共轭复数的定义可得，B 对； 122i z =+对于C 选项，，则，1i 23i z -=-1i z -==，()()212121i i i i 1z z z z z z -=---≤-+-=当且仅当时，等号成立，即的最大值为，C 对； 21i z ⎫=++⎪⎪⎭21z z -1对于D 选项，，()()212112i i i i 1z z z z z z -=---≥---=当且仅当时，等号成立，即的最小值为，D 错. 21i z ⎛=- ⎝21z z -1-故选：ABC.11. 如图，在棱长为2的正方体中，若M ，N 分别为棱，的中点，则下列说1111ABCD A B C D -1CC 11C D 法正确的是（ ）A.//BM DN B. 三棱锥的体积为1 M AND -C. 与BM 所成角的余弦值为1B N 45D. 过点B ，M ，N 的平面截该正方体所得截面的面积为 32【答案】BC 【解析】【分析】A 选项，建立空间直角坐标系，得到，得到两者不平行；B 选()()2,0,1,0,1,2BM DN =-=项，利用等体积法求解；C 选项，利用空间向量求异面直线夹角公式进行求解；D 选项，作出辅助线，得到过点B ，M ，N 的平面截该正方体的截面，并求出面积.【详解】A 选项，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，D 1,,DA DC DD ,,x y z则，()()()()()10,0,0,2,2,0,0,2,1,0,1,2,2,2,2D B M N B 则，()()2,0,1,0,1,2BM DN =-=设，则，，无解，故不平行，A 错误；BM DN λ=()()2,0,10,1,2λ-=20λ-=⋅,BMDNB 选项，正方形的面积为4，11CDD C ，，，112122CDM S CD CM =⋅=⨯= 111112122DD N S D D D N =⋅=⨯= 1111122MC N S C N C M =⋅= 所以，， 1341122DMN S =---= 11321332A DMN DMN V S AD -=⋅=⨯⨯= 故三棱锥的体积为1，B 正确；M AND -C 选项，，，()()()10,1,22,2,22,1,0B N =-=-- ()()()0,2,12,2,02,0,1BM =-=-则， 1114cos ,5B N BMB N BM B N BM⋅===⋅故与BM 所成角的余弦值为，C 正确； 1B N 45D 选项，连接，， 1A B 1,A N MB 因为M，N 分别为棱，的中点，1CC 11C D 所以，其中不平行， 1//A B MN 1A N BM ==1,A N BM 故过点B ，M ，N 的平面截该正方体所得截面为等腰梯形， 1A NMB 过点分别作⊥于点，⊥于点， ,M N MR 1A B R NT 1A B T 则1RT MN AT BR ====NT ===故等腰梯形的面积为，D 错误.1A NMB ()1922MN A B NT+⋅==故选：BC12. 已知函数，则（）()*()sin cos nnf x x x n =+∈N A. 对任意正奇数为奇函数 ,()n f x B. 当时，的单调递增区间是 4n =()f x ,()4k k k πππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ZC. 当时，在 3n =()f x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 对任意正整数的图象都关于直线对称,()n f x 4x π=【答案】CD 【解析】【分析】A.取，利用奇偶性的定义判断；B.由 判断；C. 由1n =4413()sin cos cos 444f x x x x =+=+，利用导数法判断；D.由 与是否相等判断.3n =2f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x 【详解】取，则，从而，此时不是奇函数，则A 错误； 1n =()sin cos f x x x =+(0)10f =≠()f x 当时，4n =()2442222()sin cos sin cos 2sin cos f x x x x x x x =+=+-，211cos4131sin 21cos42444x x x -=-=-=+则的递增区间为，则B 错误： ()f x ,()422k k k πππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 当时，，3n =22'()3sin cos 3cos sin 3sin cos (sin cos )f x x x x x x x x x =-=-当时，；当时，， 0,4x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭'()0f x <,42x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦'()0f x >所以在上单调递减，在上单调递增， ()f x 0,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭,42ππ⎛⎤⎥⎝⎦所以的最小值为 ()f x 334f π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭故C 正确； 因为， sin cos cos sin ()222n n n n f x x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-=+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以的图象关于直线对称，则D 正确.()f x 4x π=故选：CD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 请写出渐近线方程为的一个双曲线方程____________.y =【答案】（答案不唯一）2213y x -=【解析】【分析】先指定焦点所在位置，由题意可得，进行赋值即可得双曲线方程． ::a b c【详解】若焦点在轴上，由题意可得：，x ::2a b c =不妨令，则双曲线方程．12a b c ===，2213y x -=故答案为：．（答案不唯一） 2213y x -=14. _____. tan 204sin 20︒+︒=【解析】【分析】将化为，化简得到，再将化为，展开得到tan 20︒sin 20cos 20︒︒sin 202sin 40cos 20︒+︒︒sin 40︒()sin 6020︒-︒答案. 【详解】原式sin 20sin 202sin 404sin 20cos 20cos 20︒︒+︒=+︒=︒︒()sin 202sin 6020cos 20︒+︒-︒====︒【点睛】本题考查了三角恒等变换，将化为是解题的关键.sin 40︒()sin 6020︒-︒15. 在上､下底面均为正方形的四棱台中，已知，1111ABCD A B C D -1111AA BB CC DD ====，，则该四棱台的表面积为___________；该四棱台外接球的体积为___________.2AB =111A B =【答案】 ①. ②.5+【解析】【分析】在等腰梯形中，过作，垂足为H ，由题意可得，，11DCC D 1C 1C H DC ⊥12CH =1C H =从而可求出四棱台的表面积，设，.由棱台的性质，可将该棱台补成四棱AC BD O = 11111A C B D O ⋂=锥(如图). 由于上､下底面都是正方形，则外接球的球心在上，点O 到点B 与到点的距离相等，O 1OO 1B 到A ，A 1，C ，C 1，D ，D 1的距离相等，从而可求出球的半径，进而可求出四棱台外接球的体积【详解】在等腰梯形中，过作，垂足为H ，易求，，则四棱11DCC D 1C 1C H DC ⊥12CH =1C H =台的表面积为. (12)14452S S S S +=++=++⨯=+上底下底侧设，.由棱台的性质，可将该棱台补成四棱锥(如图). AC BD O = 11111A C B D O ⋂=因为，，可知与相似比为1：2； 2AB =111A B =11SA B SAB △则，，则，则 12SA AA ==AO =SO =1OO =由于上､下底面都是正方形，则外接球的球心在上，在平面上，由于，1OO 11B BOO 1OO =，即点O 到点B 与到点的距离相等，同理O 到A ，A 1，C ，C 1，D ，11B O =1OB OB ==1BD 1，于是O 为外接球的球心，且外接球的半径r =.故答案为： 5+【点睛】关键点点睛：此题考查棱台的有关计算，考查多面体的外接球问题，解题的关键是根据题意找出外接球的球心的位置，从而可求出球的半径，考查计算能力，属于中档题16. 已知抛物线：的焦点是，过的直线交于不同的A ，B 两点，则的C 24x y =F F l C ()1AF BF +⋅最小值是______．【答案】 3##3+【解析】【分析】设直线的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理、抛物线的定义和基本不等式l 1y kx =+可求出结果.【详解】由题意知，，显然直线的斜率存在， ()0,1F l 设直线的方程为，，，l 1y kx =+()11,A x y ()22,B x y 由得，所以，所以，24,1,x y y kx ⎧=⎨=+⎩2440x kx --=124x x =-221212144x x y y =⋅=所以()()()121212111122AF BF y y y y y y +⋅=+++=+++，122333y y =++≥+=当且仅当，. 1y =2y =故答案为：.3+四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 如图，在平面四边形ABCD 中，若，，，，6AB =10BC =12CD =120ABC ∠=︒．ACB ACD ∠=∠（1）求的值； cos BCD ∠（2）求AD 的长度． 【答案】（1）7198（2） AD =【解析】【分析】（1）在中，由余弦定理得，由正弦定理得，再根据二倍角公ABC 14AC =sin BCA ∠=式求解即可得； 71cos 98BCD ∠=（2）结合（1）得，进而在中，根据余弦定理得. 13cos 14BCA ∠=ACD AD =【小问1详解】解：在中，因为，，，ABC 6AB =10BC =120ABC ∠=︒由余弦定理，可得， 2222cos 196AC AB BC AB BC ABC =+-⨯⨯⨯∠=所以． 14AC =又由正弦定理可得，sin sin AB ACBCA ABC=∠∠所以 sin120sin AB BCA AC ⋅︒∠==所以． 271cos 12sin 98BCD BCA ∠=-∠=【小问2详解】解：由（1），因为为锐角，可得． BCA ∠13cos 14BCA ∠==在中，根据余弦定理，可得ACD 2222cos AD AC CD AC CD BCA =+-⋅⋅∠， 22131412214122814=+-⨯⨯⨯=所以．AD =18. 大豆是我国重要的农作物，种植历史悠久．某种子实验基地培育出某大豆新品种，为检验其最佳播种日期，在A ，B 两块试验田上进行实验（两地块的土质等情况一致）.6月25日在A 试验田播种该品种大豆，7月10日在B 试验田播种该品种大豆．收获大豆时，从中各随机抽取20份（每份1千粒），并测量出每份的质量（单位：克），按照，，进行分组，得到如下表格： [)100,150[)150,200[]200,250[)100,150[)150,200[]200,250A 试验田/份 3 6 11 B 试验田/份6104把千粒质量不低于200克的大豆视为籽粒饱满，否则视为籽粒不饱满． （1）判断是否有97.5%的把握认为大豆籽粒饱满与播种日期有关？（2）从A ，B 两块实验田中各抽取一份大豆，求抽取的大豆中至少有一份籽粒饱满的概率；（3）用样本估计总体，从A 试验田随机抽取100份（每份千粒）大豆，记籽粒饱满的份数为X ，求X 的数学期望和方差．参考公式：，其中．()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++ ()20P K k ≥0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.0010k 2.0722.7063.8415.0246.63510.828【答案】（1）有 （2）1625（3）， ()55E X =99()4=D X 【解析】【分析】（1）根据完成列联表，然后根据公式计算，再与临界值()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++2K 表比较可得结论，（2）A ，B 两块实验田中各抽取一份大豆中，籽粒饱满的概率分别为两份大豆都籽粒不饱满的概111,,205率为，再结合对立事件概率和为1求解即可； 94920525⨯=（3）根据已知条件，结合二项分布的期望与方差公式，即可求解. 【小问1详解】列联表为22⨯6月25日播种7月10日播种合计 饱满 11 4 15 不饱满 9 16 25 合计202040，()()()()()()22240111649 5.227 5.024********n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯所以有97.5%的把握认为大豆籽粒饱满与播种日期有关． 【小问2详解】A ，B 两块实验田中各抽取一份大豆， 抽取的大豆中有一份籽粒饱满的概率分别为，， 112015两份大豆籽粒都不饱满的概率为 111911,20525⎛⎫⎛⎫-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故抽取的大豆中至少有一份籽粒饱满的概率为. 91251625-=【小问3详解】从A 试验田的样本中随机抽取1份小麦，抽到饱满的概率为， 1120则，故， 11~(100,)20X B 11()1005520=⨯=E X . 111199()100(1)20204=⨯⨯-=D X 19. 如图，在中，，，，M ，N 分别为AB 、BC 的中点，将ABC 2CAB π∠=4AB =1AC =BMN沿MN 向上折起到点P 处，使得．3PC =（1）求证：平面平面ACNM ；PMN ⊥（2）求二面角M -PC -A 的余弦值． 【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】(1)根据面面垂直的判定定理证明；(2)建立空间直角坐标系，求两平面的法向量，利用法向量的夹角与二面角的平面角的关系求解. 【小问1详解】 在中，M ，N 分别为AB 、BC 的中点，ABC 2CAB π∠=则，所以折叠后有，． AB MN ⊥MN AM ⊥PM MN ⊥因为，所以． 4AB =122AM PM AB ===又，所以． 1AC =MC =又，3PC =所以，即．222PM MC PC +=PM MC ⊥平面，，,MC MN ⊂ACNM MC MN M = 所以平面，PM ⊥ACNM 又平面，所以平面平面ACNM ． PM ⊂PMN PMN ⊥【小问2详解】由（1）知MA ，MN ，MP 两两垂直，分别以MA ，MN ，MP 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图所示），则，，，，()0,0,0M ()2,0,0A ()2,1,0C ()002P ,,所以，，．()2,1,2PC =- ()0,1,0AC = ()2,1,0CM =--设平面PAC 的一个法向量，()111,,n x y z =则，即，解得，令，得，所以．00n PC n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 11112200x y z y +-=⎧⎨=⎩1110x z y =⎧⎨=⎩11z =111101x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩()1,0,1n = 设平面PCM 的一个法向量，()222,,m x y z =则，即，解得，令，得，所以00m PC m CM ⎧⋅=⎨⋅=⎩2222222020x y z x y +-=⎧⎨--=⎩22220y x z =-⎧⎨=⎩21x =2220y z =-⎧⎨=⎩．()1,2,0m =-所以，cos ,m n n m m n⋅〈〉==⋅由图知二面角M -PC -A 为锐二面角， 所以二面角M -PC -A20. 在①；②，；③这三个条件中任选12311111n n S S S S n ++++=+ 12a =12n n na S +=242n n n S a a =+一个，补充到下面横线处，并作答． 已知正项数列的前n 项和为， ，．{}n a n S *n ∈N （1）求数列的通项公式；{}n a （2）若数列满足，记表示x 除以3的余数，求．{}n b 22n a nb =()x Ω211n i i b +=⎛⎫Ω ⎪⎝⎭∑注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分． 【答案】（1）2n a n =（2）2112n i i b +=⎛⎫Ω= ⎪⎝⎭∑【解析】【分析】（1）选条件①时，利用，可求出数列的通项公式；选条件②时，化11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩{}n a 简可得为常数列，进而求出数列的通项公式；选条件③时，利用()121n na a n n n+=≥+{}n a ，可求出数列的通项公式；11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩{}n a（2）依题意可知，所以，再利用二项式定理解决整除和余数问2nn b =()21212212122212n n n ii b +++=-==--∑题.【小问1详解】 选条件①时， 当时，，解得，所以． 1n =1112S =12S =12a =当时，，， 2n ≥12311111n n S S S S n ++++=+ 123111111n n S S S S n--++++= 两式相减得，即，， ()111n S n n =+()1n S n n =+2n ≥当时满足上式，所以． 1n =()1n S n n =+所以当时，，2n ≥()()1112nn n a S S n n n n n -=-=+--=又，所以． 12a =2n a n =选条件②时， 因为，12n n na S +=当时，， 1n =2124a S ==当时，， 2n ≥()112n n n a S --=两式相减，得，所以， ()11n n na n a +=+()121n na a n n n+=≥+又，所以， 21221a a==()*11n n a a n n n+=∈+N 所以数列为常数列，又，所以，n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭121a =2n a n =所以． 2n a n =选条件③时，当时，，因为，所以． 1n =211142a a a =+10a >12a =由，当时，， 242n n n S a a =+2n ≥211142n n n S a a ---=+两式相减，得，2211422n n n n n a a a a a --=-+-整理得，所以．2211220n n n n a a a a -----=()()1120n n n n a a a a --+--=因为，所以， 0n a >()122n n a a n --=≥所以数列是首项为2，公差为2的等差数列，{}n a所以． 2n a n =【小问2详解】由题知，2nn b =所以，()21212212122212n n n i i b +++=-==--∑又，()12212242312n n n +++-=-=+-而()10112111111131233332n n n n n n n n n n n C C C C C ++-+++++++-=+++++- 01121111133331n n n nn n n n C C C C +-++++=++++-()011221111333312n n n n n n n n C C C C --++++=++++-+ 所以．2112n i i b +=⎛⎫Ω= ⎪⎝⎭∑21. 已知点，动点 到直线的距离与到点的距离的比为2，设动点的轨迹为曲线. ()1,0A M 4x =A M C （1）求曲线的方程；C （2）若点，点，为曲线上位于轴上方的两点，且，求四边形的面积()1,0B -P Q C x PA QB ∥PABQ 的最大值.【答案】（1）22143x y +=（2）3 【解析】【分析】（1）直接法求点的轨迹方程 ；（2） 由已知得，为所求椭圆的焦点，通过计算，可得四边形为平行四边形，A B C =PE QF PEFQ 将所求四边形的面积转化为求三角形的面积，从而得到PABQ POE 2POE PABQ S S ==四边形△，利用换元法及导数法即可求出面积的最大值. 【小问1详解】 设，所以(),M x y 2=4x -=两边平方，得，()()2224414x x y -=-+化简，得，即曲线的方程为.22143x y +=C 22143x y +=【小问2详解】如图，由（1）知曲线为椭圆，，为其焦点，延长与椭圆相交于另一点，延长与椭圆相C A B PA E QB 交于另一点.F 设直线的方程为，，，PE 1x my =+()11,P x y ()22,E x y 联立方程消去并化简，得， 221,431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩x ()2234690,m y my ++-=所以，， 122634m y y m +=-+122934y y m =-+所以PE ==()22121.34m m +==+因为，所以，设的方程为， //PA QB //PE QF QF 1x my =-同理可求，所以，所以四边形为平行四边形，()2212134m QF m +=+PE QF =PEFQ 所以四边形的面积. PABQ 2PQEPOE PABQ S S S==四边形△△点到直线的距离，O PEd ==所以 ()22121112234POEmS PE d m +=⋅=⨯=+△所以.2POEPABQ S S ==四边形△，所以，()1t t =≥212121313PABQ t S t t t==++四边形令，则，显然当时，， 13y t t =+2221313t y t t-=-='1t ≥0'>y 所以在上单调递增，所以当，13y t t=+[)1,+∞1t =即时，取得最小值，且， 0m =y min 4y =所以，即四边形的最大值为3.()max3PABQS =四边形PABQ 22. 已知函数（）．()e xf x x mx =-m ∈R （1）当时，求的单调区间；2e m -<-()f x （2）令，若是函数的极值点，且，求证：()()ln F x f x m x =-0x ()F x ()00F x >．()30022F x x x >-+【答案】（1）单调递增区间为，无减区间 (),-∞+∞（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）求出，令，再次利用导数判断函数的单调性得出，进而()f x '()()g x f x '=()min 0g x >可得结果；（2）求出，当时，显然不成立，当时，求出极值点满足，结合常见不等()F x '0m ≤0m >0x 00e xm x =式，再利用导数证明不等式成立即可. e 1x x >+1ln 22x x x -->-【小问1详解】，令，则．()()1e x f x x m '=+-()()1e x g x x m =+-()()2e x g x x '=+当时，，当时，，<2x -()0g x '<2x >-()0g x '>所以函数在上单调递减；在上单调递增，()g x (),2-∞-()2,-+∞所以．()()2min 2e g x g m -=-=--又，则，则，2e m -<-2e 0m --->()min 0g x >所以对任意恒成立，所以的单调递增区间为，无减区间． ()0f x ¢>x ∈R ()f x (),-∞+∞【小问2详解】证明：（），()()()ln e ln xF x f x m x x m x x =-=-+0x >则， ()()()11e 11e xx m F x x m x x x ⎛⎫⎛⎫'=+-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，，则函数在上单调递增，故函数无极值点，不合题意； 0m ≤()0F x '>()F x ()0,∞+当时，令，因为函数，在上单调递增， 0m >()e xm h x x =-e x y =my x=-()0,∞+所以函数在上单调递增． ()e xmh x x=-()0,∞+取满足，则，， b 10min ,22m b ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭e b <2m b -<-所以，又， ()e 20b m h b b=-<-<()e 10m h m =->所以，使得，即， ()0,x b m ∈()000e 0x m h x x =-=()()00001e 0x m F x x x ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭'此时．00e x m x =当时，，当时，，00x x <<()0F x '<0x x >()0F x '>所以函数在上单调递减，在上单调递增，()F x ()00,x ()0,x +∞所以是函数的唯一的极值点，0x ()F x 所以． ()()()()000000000min e ln e 1ln x x F x F x x m x x x x x ==-+=--因为，所以，()00F x >()0000e 1ln 0x x x x -->令，则， ()1ln x x x ϕ=--()110x x ϕ=--<'所以在上单调递减，()1ln x x x ϕ=--()0,∞+又，所以当时，，()10ϕ=()00x ϕ>001x <<令，，则， ()()e 1x t x x =-+01x <<()e 1xt x '=-当时，，则在上单调递增， 01x <<()e 10xt x '=->()t x ()0,1所以，所以．()()00t x t >=e 1x x >+令，，则， ()()1ln 22ln 1m x x x x x x =----=--01x <<()1xm x x'-=当时，，所以函数在上单调递减，01x <<()0m x '<()m x ()0,1所以，所以，()()10m x m >=1ln 22x x x -->-所以， ()()()()03000000000e1ln 12222x F x x x x x x x x x =-->+-=-+即，所以．()300022F x x x >-+()30022F x x x >-+【点睛】关键点点睛：本题解题关键是设出隐零点并结合不等式与不等式e 1x x >+1ln 22x x x -->-证明，考查学生逻辑推理能力，是一道难题.。

一、单选题二、多选题1.已知是圆上的动点，点满足，记点的轨迹为，若圆与轨迹的公共弦方程为，则（ ）A．B．C．D．2. 已知集合，，则（ ）A．B．C．D．3. 已知定义在R 上的函数是奇函数且满足，，数列满足，且，(其中为的前n 项和).则A ．3B．C．D ．24. 1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO 1，OO 2，OO 3，OO 4分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，α≈16°，则第三颗小星的一条边AB 所在直线的倾斜角约为（）A ．0°B ．1°C ．2°D ．3°5. 已知，则（ ）A．B．C．D．6. 已知圆，圆，过动点P分别作圆、圆的切线PA ，PB （A ，B 为切点），使得，则动点P 的轨迹方程为（ ）．A．B．C．D．7. 已知双曲线：的离心率为2，则的渐近线方程为（ ）A．B．C．D．8. 在样本的频率分布直方图中，共有5个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他4个小长方形面积和的，且样本容量为140，则中间一组的频数为（ ）A ．10B ．20C ．40D ．709. 已知函数，下列说法正确的是（ ）A ．在处的切线方程为B．2023届高三2月大联考（全国乙卷）理科数学试卷 (2)2023届高三2月大联考（全国乙卷）理科数学试卷 (2)三、填空题四、解答题C ．若函数的图象与的图象关于坐标原点对称，则D．有唯一零点10. 已知表示空间内两条不同的直线，则使成立的必要不充分条件是（ ）A ．存在平面，有B ．存在平面，有C ．存在直线，有D ．存在直线，有11. 已知为偶函数，其图象与直线的其中两个交点的横坐标分别为，的最小值为，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列选项正确的是（ ）A．B．函数在上单调递减C ．是函数图象的一个对称中心D ．若方程在上有两个不等实根，则12.设，则下列不等式中一定成立的是（ ）A．B．C．D．13. 割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n 边形等分成n 个等腰三角形，如图所示，当n 变得很大时，这n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，则运用割圆术的思想得到的近似值是_________．14. 小王老师2018年的家庭总收入为8万元，各种用途占比统计如图①所示，2019年收入的各种用途占比统计如图②所示.已知2019年的就医费用比2018年增加万元，则小王2019年的家庭总收入为______.15. 若函数f (x )＝x 2＋a |x －2|在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．16.等差数列的前n 项和为，已知．（1）求的通项公式及；（2）求数列的前n项和．17.已知椭圆的右焦点为F ，点A ，B ，P 在椭圆C 上．(1)若线段AB 的中点为，求直线AB 的方程；(2)若F 恰好是△ABP 的重心，且，，依次成等差数列，求点P 的坐标．18. 据相关机构调查研究表明我国中小学生身体健康状况不容忽视，多项身体指标（如肺活量､柔韧度､力量､速度､耐力等）自2000年起呈下降趋势，并且下降趋势明显，在国家的积极干预下，这种状况得到遏制，并向好的方向发展，到2019年中小学生在肺活量､柔韧度､力量､速度､耐力等多项指标出现好转，但肥胖､近视等问题依然严重，体育事业任重道远.某初中学校为提高学生身体素质，日常组织学生参加中短跑锻炼，学校在一次百米短跑测试中，抽取200名女生作为样本，统计她们的成绩（单位：秒），整理得到如图所示的频率分布直方图（每组区间包含左端点，不包含右端点）.(1)估计样本中女生短跑成绩的平均数；（同一组的数据用该组区间的中点值为代表）(2)在样本中从和的学生中采用分层抽样的方法抽取5人，从所抽5人中任选2人，求2人成绩均在内的概率.19.已知幂函数（）的定义域为，且在上单调递增．(1)求m 的值；(2)，不等式恒成立，求实数a 的取值范围．20. 新型冠状病毒疫情已经严重影响了我们正常的学习、工作和生活．某市为了遏制病毒的传播，利用各种宣传工具向市民宣传防治病毒传播的科学知识．某校为了解学生对新型冠状病毒的防护认识，对该校学生开展防疫知识有奖竞赛活动，并从女生和男生中各随机抽取30人，统计答题成绩分别制成如下频数分布表和频率分布直方图．规定：成绩在80分及以上的同学成为“防疫标兵”．30名女生成绩频数分布表：成绩频数101064(1)根据以上数据，完成以下列联表，并判断是否有95%的把握认为“防疫标兵”与性别有关；男生女生合计防疫标兵非防疫标兵合计(2)设男生和女生样本平均数分别为和，样本的中位数分别为和，求（精确到0.01）．附：0.1000.0500.0250.0100.0050.0012.7063.841 5.024 6.6357.87910.82821. 已知数列的前项和为，，当时，．(1)求(2)设，求数列的前项和为．。

四川省绵阳中学2023届高三2月模拟检测理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．52π3B ．4312．已知平面向量,,a b c ，若|a 的最小值是（）A ．21-B ．3二、填空题13．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中论述了有关二阶等差数列的概念，它与一般的等差数列不同，相邻两项的差并不相等，但是逐项差数构成等差数列3，6，10，相邻两项的差组成新数列列称为二阶等差数列.现有二阶等差数列14．已知()102011x x a a +-=+15．已知椭圆C ：22221x y a b+=上一点（异于点A ，B ），直线BDO BOD ∠=∠，则椭圆C 的离心率为16．已知x ∈R ，符号[]x 表示不超过三、解答题(1)设两施肥方法下的火龙果的甜度相互独立，记A表示事件：的甜度不低于15度，新施肥方法下的火龙果的甜度低于事件A的概率；(2)以样本估计总体，若从旧施肥方法下的200个火龙果中按（1）求证：AE ⊥BD ；（2）是否存在一点F ，满足EF EB λ=锐二面角的余弦值为6513．若存在，求出20．如图，点()1,2A .B 是抛物线24y x =上一点，使得245ACO BAC ∠=∠+︒.射线AC 交抛物线于点P .（1）若AB AC ⊥，求B 点的坐标；参考答案：因为95144x y y z x x +--==+--，而y k =结合图像可知，QA QB k k k ≤≤，联立10220y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩，得联立20220x x y -=⎧⎨+-=⎩，解得20x y =⎧⎨=⎩，得所以55142y k x -≤=≤-，则5214y x -≤+-所以94x y z x +-=-的取值范围为72,2⎡⎢⎣故选：D.7．D【分析】由题意可得()2e cos xf x '=在()12,x x 上的正负，可判断()f x 的单调性，即可判断C;将123ππ,22x x =-=-代入【详解】由题意函数()e sin (xf x x +=则()2e cos 0xf x x '==,即cos 0,x x =当3π2π2x -<<-时，()0f x ¢>，当当π02x -<<时，()0f x ¢>，即1x =【点睛】结论点睛：若三棱锥有两个面为共斜边的直角三角形，该斜边的中点.12．B【分析】由题设可得,a b <>= 为平面点线距离关系：向量2(的距离最短，即可求(c b λ-v v故选：B.13．4952【分析】根据等差数列的定义求出{n a -可求解100a .【详解】因为{}1n n a a --成等差数列，且则{}1n n a a --的公差为1，所以1n n a a --所以211a a -=，322a a -=，...，n a -()111212n n n a a n --=+++-=，故所以100250994952a =+⨯=.故答案为:4952.14．30.【点睛】关键点睛：本题解决的关键点在于理解符号析式与值域，得到其大致图像即可得解.则()()()()(0,0,0,2,0,0,0,23,0,1,3,0,1,0D A B CE -()()()2,0,0,1,3,0,1,23,3,CB EB EF D A ===-- ()1,23,33,DF λλλ=--设平面ADF 的法向量为111(,,)m x y z =，平面BCE 的法向量为由00DF m DA m ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得()()1111233320x y z x λλλ⎧-++-⎪⎨=⎪⎩由00CB n EB n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得22222302330x y x y z ⎧+=⎪⎨-+-=⎪⎩，取(n =- 于是，216|65|cos ,|1313521m n m n m n λλλλ-+⋅〈〉===⋅⋅-+解得1=2λ或1=-3λ（舍去）【点睛】方法点睛：本题考查证明线面平行，由二面角求参数．求二面角的方法：（1）几何法（定义法）：根据定义作出二面角的平面角并证明，然后解三角形得出结论；（2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出二面角两个面的法向量，由两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）所以存在12λ=使得平面ADF 与平面BCE 所成的锐二面角的余弦值为。

2023届高三2月大联考（全国乙卷）理科数学试题及参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.砸每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足()i i z -=+82（其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数=z （）A .i23-B .i 23+C .i -4D .i+42.若集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤--=031x x xM ，{}22+==x y y N ，则=N M （）A .[)3,2B .()3,0C .[]2,1D .(]3,23.已知命题p ：1>∀x ，()01≥-x x ，则p ⌝为（）A .1>∀x ，()01<-x xB .1>∃x ，()01<-x xC .1<∀x ，()01≥-x x D .1>∃x ，()01≥-x x 4.已知空间四条直线n m b a ,,,和两个平面βα，满足α⊂b a ,，β⊂n m ,，P b a = ，Q n m = ，则下列结论正确的是（）A .若m a ∥，则β∥aB .若β∥a 且α∥m ，则βα∥C .若β∥a 且β∥b ，则α∥m D .若m a ⊥且n b ⊥，则βα⊥5.已知角⎪⎭⎫⎝⎛∈24ππα，，且542sin =α，则=αsin （）A .52B .55C .54D .5526.若函数()x f 的部分图象如图，则()x f 的解析式可能是（）A .()()0cos 1≠-=x x x fB .()xx e e x x x f --=sin 2C .()xxx f sin =D .()xxx x f ln cos ⋅=7.2022年4月，教育部印发了《义务教育课程方案和课程标准（2022版）》，将劳动教育作为义务教育阶段一门独立的课程.劳动教育将成为学生成长成才的必修课与基础课.某学校准备开设4项劳动课程：“蔬菜种植”“绿植修剪”“糕点制作”“自行车修理”.开课之前，要安排4男2女共6名教师参加这4项劳动课程的技术培训，要求：每一项培训都要有教师参加，每位教师只能参加其中一项培训，其中“蔬菜种植”必须安排2为教师，“自相车修理”不安排女教师，“糕点制作”不安排男教师，则不同的安排方法有（）A .132种B .112种C .96种D .84种8.对于函数()()1sin cos sin 2+-=x x x x f ，下列结论中正确的是（）A .()x f 的最大值为122+B .()x f 的图象可由x y 2cos 2=的图象向右平移4π个单位长度得到C .()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛834ππ，上单调递减D .()x f 的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛18，π中心对称9.若非负数y x ,满足⎩⎨⎧≤+≤-31y x y x ，则事件“42≥+y x ”发生的概率为（）A .152B .152C .52D .5210.“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具.敦煌壁画就有伏羲女娲手指规矩的记载（如图（1））.今有一块圆形木板，以“矩”量之，如图（2）.若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角α满足53cos =α，则这块四边形木板周长的最大值为（）A .cm 20B .cm 220C .cm 320D .cm3011.已知椭圆C ：()012222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21F F ，.若椭圆C 上存在一点M ，使得21221MF MF F F ⋅=，则椭圆C 的离心率的取值范围是（）A .⎥⎦⎤⎢⎣⎡2155，B .⎦⎤⎢⎣⎡21105，C .⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1105，D .⎥⎦⎤ ⎝⎛210，12.已知4.06.0ea =，4ln 2-=b ，2-=ec ，则c b a ,,的大小关系为（）A .c b a >>B .b c a >>C .a c b >>D .ab c >>二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知平面向量()2,1-=a，()3,4-=b ，则b a +与a 的夹角为.14.已知双曲线M ：()0,012222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21F F ，，点P 为双曲线M 右支上一点，且满足312121=-F F PF PF ，则双曲线M 的渐近线方程为.15.已知定义在R 上的函数()x f 满足()()x f x f 222-=+，且()12-=x f y 的图象关于直线41=x 对称.若⎪⎭⎫⎝⎛∈45,21x 时，()x x f 43-=，则()=2022f .16.如图是水平放置的三棱锥ABC P -的三视图，其中正视图为正三角形.记经过棱P A 的平面截三棱锥ABC P -的外接球所得圆面的面积为S .若S 的最大值为π3，则三棱锥ABC P -的体积的最大值为.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.（12分）某种植大户购买了一种新品种蔬菜种子，种植后从收获的蔬菜果实中随机选取了一个容量为20的样本，得到果实长度数据如下边：（单位：cm）（1）估计该种植大户收获的果实长度的平均数x 和方差2s ；（2）若这种蔬菜果实的长度不小于12cm，就可以标为“AAA”级，该种植大户随机从收获的果实中选取4个，其中可以标为“AAA”级的果实数记为X.若收获的果实数量巨大，并以样本的频率估计总体的概率，估计X 的数学期望与方程.参考数据：∑==2016.3133i ix.18.已知数列{}n a 满足对任意*,N n m ∈都有m n m n a a a +=+，数列{}n b 是等比数列，且11a b =，022=-a b ，133=-a b .（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设nnn b a c =，求数列{}n c 的前n 项和n T .19.（12分）如图，已知四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为菱形，平面⊥P AD 平面ABCD ，PD P A =，E 为CD 的中点.（1）求证：BD ⊥PE ；（2）若82==BD AC ，3=P A ，求平面PBC 与平面P AE 所成锐二面角的余弦值.20.（12分）已知抛物线C ：()022>=p px y ，圆E ：()12422=+-y x 与抛物线C 有且只有两个公共点.（1）求抛物线C 的方程；（2）设O 为坐标原点，过圆心E 的直线与圆E 交于点B A ,，直线OB OA ,分别交抛物线C 于点Q P ,（点Q P ,不与点O 重合）.记OAB ∆的面积为1S ，OPQ ∆的面积为2S ，求21S S 的最大值.21.（12分）已知函数()()()R a x ax e x x f x∈---=2321311，()x f '是()x f 的导函数.（1）若()()xx f x g '=，求证：当0>a 时，()0>a g 恒成立；（2）若()x f 存在极小值，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==t y t x sin 2cos （t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为04cos 2=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-m πθρ.（1）写出直线l 的直角坐标方程；（2）设曲线C 与x 轴的交点为B A ,（点A 在点B 的左侧），若直线l 上存在点M ，满足MB MA 3=，求实数m 的取值范围.23.（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()()R a x ax x f ∈---=22.（1）当2=a 时，求不等式()2>x f 的解集；（2）若存在[]4,2∈x ，使得()0≤x f ，求a 的取值范围.参考答案一、选择题1.B解析：由()i i z -=+82得：()()()()i i i i i i i z 23222828-=-+--=+-=，∴i z 23+=.2.A 解析：由031≤--x x 得()()031≤--x x 且03≠-x ，解得31<≤x ，∴{}31<≤=x x M .由22+=x y 得2≥y ，∴{}2≥=y y N ，∴=N M [)3,2.3.B 解析：根据全程命题的否定为特称命题，可知p ⌝为1>∃x ，()01<-x x .4.C解析：对于A：a 可能在平面β内，故A 错误；对于B：a 与m 可能平行，从而α与β可能相交，故B 错误；对于C：∵β∥a 且β∥b ，α⊂b a ,，P b a = ，∴αβ∥，∵β⊂m ，∴α∥m ，故C 正确；对于D：如图，由正方形沿一条对角线折叠形成，其中形成的两个平面设为βα，，折痕为b ，在平面α的对角线设为a ，在β内的对角线设为n ，同时作n m ⊥，此时b m ∥，易知a b ⊥，则a m ⊥，但此时α与β不垂直，故D 错误.5.D解析：∵⎪⎭⎫⎝⎛∈24ππα，，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππα，22，又542sin =α，∴532sin 12cos 2-=--=αα，∴53sin 212-=-α，即54sin 2=α，∵⎪⎭⎫⎝⎛∈24ππα，，∴552sin =α.6.B解析：对于A，∵()0cos 1≥-=x x f ，由图可知，A 不正确；对于C，()2sin cos xxx x x f -='，令()x x x x g sin cos -=，则()()x x x x x x x g sin cos sin cos -=--⋅+='，当()π,0∈x 时，()0<'x g 恒成立，∴()x g 在()π，0上单调递减，∵()00=g ，∴()()00=<g x g 在()π，0上恒成立，∴当()π,0∈x 时，()0<'x f 恒成立，∴()x f 在()π，0上单调递减，∴排除C.对于D，()x xxx f ln cos ⋅=的定义域为()()∞+∞-，，00 ，关于原点对称，()()()x f x xxx x x x f -=-=---=-ln cos ln cos ，()x f 为奇函数，其图象关于原点对称，故D 不正确.7.C解析：（1）若“糕点制作”安排1名女教师，有12C 种不同的安排方法，后续项目分两类：①若“自行车修理”安排1名男教师，则余下4人安排到另两个项目，每个项目2人，有222414C C C 种不同的安排方法；②若“自行车修理”安排2名男教师，则余下3人，1人安排到“绿植修剪”，2人安排到“蔬菜种植”，有221314C C C 种不同的安排方法.（2）若“糕点制作”安排2名女教师，则“自相车修理”只能安排1名男教师，余下3人，1人安排到“绿植修剪”，2人安排到“蔬菜种植”，有22131422C C C C 种不同的安排方法，∴一共有()962213142222132422241412=++C C C C C C C C C C C 种不同的安排方法.8.C解析：()()xx x x x x x x f 2cos 2sin 1sin 22sin 1sin cos sin 22+=+-=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=42cos 2πx ∴当Z k k x ∈=-,242ππ，即Z k k x ∈+=,8ππ时，()x f 取得最大值为2，故A 错误；将x y 2cos 2=的图象向右平移4π个单位长度得到⎪⎭⎫ ⎝⎛-=42cos 2πx y x x 2sin 222cos 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=π的图象，∴B 错误；由()Z k k x k ∈+≤-≤ππππ2422，得()Z k k x k ∈+≤≤+ππππ858，∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡858ππ，是()x f 的一个单调减区间，∴()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛834ππ，上单调递减，故C 正确；∵2482cos 28=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=⎪⎭⎫⎝⎛πππf ，∴点⎪⎭⎫⎝⎛18π不是()x f 图象对称中心，故D 错误.9.A 解析：由题意，知y x ,满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+-≥-≤-≥≥3110,0y x y x y x y x ，作出不等式组表示的平面区域，如图中又阴影部分所示（五边形OEBCD （包含边界））作出直线42=+y x ，易得⎪⎭⎫⎝⎛32,25A ，()12，B ，()10，D ，()01，E ，连接DE，则非负数y x ,对应的可行域的面积为25221121=⨯+⨯⨯=+∆BCDE ODE S S 正方形，事件“42≥+y x ”对应的可行域的面积为312322121=⨯⨯=⋅=∆BC AB S ABC ，∴所求概率为1522531==P .10.D 解析：由题图（2）得，圆形木板的直径为()cm 5551022=+.设截得的四边形木板为ABCD ，设α=∠A ，c AB =，a BD =，b AD =，n BC =，m CD =，如图所示，由53cos =α且πα<<0可得54cos 1sin 2=-=αα在ABD ∆中，由正弦定理得55sin =αa，解得54=a 在ABD ∆中，由余弦定理得αcos 2222bc c b a -+=，∴()()()()545165165680222222c b c b c b bc c b bc c b +=+⨯-+≥-+=-+=，即()4002≤+c b ，可得200≤+<c b ，当且仅当10==c b 时等号成立.在BCD ∆中，απ-=∠BCD ，由余弦定理可得()mn n m mn n m a 56cos 28022222++=--+==απ()()()()54454542222n m n m n m mn n m +=+⨯-+≥-+=，即()1002≤+n m ，即100≤+<n m ，当且仅当5==n m 时等号成立，因此，这块四边形木板周长的最大值为30cm.11.A 解析：设m MF =1，n MF =2，椭圆C 的半焦距为c ，则242c mn a n m ==+，，∴()22222224a m n m mn n m c a -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-，∵c a m c a +≤≤-，∴c a m c ≤-≤，∴()[]2222,04ca m c a ∈-=-，即22254c a c ≤≤，则41512≤≤e ，∴2155≤≤e .12.B 解析：对于a 和b ，∵()4.04.04.0ln 16.0e e ea -==，()2ln 124ln 2-=-=b ，∴可以构造函数()()x x x f ln 1-=，则()4.0e f a =，()2f b =.对()x f 求导得()x x f ln -='，当()+∞∈,1x 时，()0<'x f ，∴()x f 在()∞+，1上单调递减.∵215.04.00<<<<e ee ，∴()()24.0f e f >，即b a >；对于b 和c ，∵e e c b --=--=-2ln 244ln 4.∴可以构造函数()e x x x x g --=ln 2，则()x x g ln 1-='，当()e x ,0∈时，()0>'x g ；当()+∞∈,e x 上单调递减，∴()()0max ==e g x g ，∴()02<g ，∴0<-c b ，即b c >；对于a 和c ，∵()24.014.0+--=-e ec a ，则()x xe x h -='，当()1,0∈x 时，()0<'x h ，∴()x h 在()1,0上单调递减.又∵()25.05.05.0+-=e eh ，且6.15.0>e ，∴()05.0>h ，∴()()05.04.0>>h h ，∴0>-c a ，即c a >.∴b c a >>.二、填空题13.43π解析：设b a +与a 的夹角为θ，由已知得()1,3-=+b a ，∴()()52113-=-⨯+⨯-=⋅+a b a .又5=a ，10=+b a ，∴()221055cos -=⨯-=+⋅+=a b a a b a θ，∵[]πθ，0∈，∴43πθ=.14.x y 22±=解析：由双曲线的定义知312121=-F F PF PF ，即3122=c a ，∴31=c a ，∴2222=-=a a c ab ，∴双曲线M 的渐近线方程为x y 22±=.15.1-解析：∵()12-=x f y 的图象关于直线41=x 对称，∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+14121412x f x f ，即⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-212212x f x f ，∴()x f y =的图象关于直线21-=x 对称，故()()x f x f -=-1（*）由()()x f x f 222-=+得()()222--=x f x f ，∴()()2222-=+x f x f ，∴()()422-=x f x f ，∴()x f 的周期为4，∴()()22022f f =.由（*）式得()()()()()11143132-==+-=-=-=f f f f f .16.3解析：由三视图得三棱锥ABC P -的直观图，其中，ABC ∆为直角三角形，两直角边为BC AB ，，由图知，PB AB BC AB ⊥⊥，，B PB BC = ，⊂BC 平面PBC ，⊂PB 平面PBC ，则⊥AB 平面PBC ，又⊂AB 平面ABC ，则平面PBC ⊥平面ABC ，且PBC ∆为正三角形.∴BCPD ⊥面PBC ∩平面ABC BC =，⊂PD 平面PBC ，则⊥PD 平面ABC ，由已知得三棱锥ABC P -的外接球的半径3=R .设a AB =，b BC =，三棱锥ABC P -的外接球的球心为O ，D 为BC 的中点，1O 为AC 的中点，PBC ∆的中心为2O ，则1OO ⊥平面ABC ，2OO ⊥平面PBC .在P OO Rt 2∆中，22222OP PO OO =+，即33321222==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛R b a ，即22439a b -=∴三棱锥ABC P -的体积为()()3201216312323213132≤<-==⋅⨯=a a a ab b ab V .设()()()320121633≤<-=x x x x V ，则()()()()x x x x V -+=-='221633416332.当20<<x 时，()0>'x V ；当322≤<x 时，()0<'x V ，∴()x V 在()2,0上单调递增，在(]32,2上单调递减，∴()x V 在2=x 处取得极大值，也是最大值，∴当2=a 时，三棱锥ABC P -的体积V 最大，且最大值为3.三、解答题（一）必考题：共60分17.解：（1）由题意知，2.138.129.124.124.137.125.118.120.128.118.120.136.11++++++++++++0.2500.122.138.128.116.122.115.13=+++++++，∴5.1220250==x ，()()()[]22022212201x x x x x x S -++-+-= )[]43.020120220120122220212202221=-=++++-+++=∑=i i x x x x x x x x x x （2）由表中数据得，样本中果实长度不小于12cm 的频率为43.由于收获果实数量巨大，∴X 近似服从二项分布，即⎪⎭⎫⎝⎛434~，B X ，∴()3434=⨯=X E ，()43431434=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯=X D .∴据此可以估计，X 的数学期望与方差分别为3，43.18.解：（1）∵对任意*,N n m ∈，m n m n a a a +=+，∴11a a a n n +=+，∴数列{}n a 是公差1a d =的等差数列，1na a n =.设等比数列{}n b 的公比为q ，∵11a b =，022=-a b ，133=-a b ，∴⎩⎨⎧=-=-130212111a q a a q a .又∵011≠=a b ，解得111==a b ，2=q ，∴n a n =，12-=n n b .（2）∵n n n b a c =，∴12102232221-++++=n n n T ，n n n T 22322212321++++= ，两式相减得n n n n n n n n n T 222221121112212121212132+-=--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=-⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=- ，∴1224-+-=n n n T .19.解：（1）如图，取AD 的中点F ，连接EF PF ，.∵PD P A =，∴AD PF ⊥.∵平面⊥P AD 平面ABCD ，平面 P AD 平面ABCD AD =，⊂PF 平面P AD ，∴PF ⊥平面ABCD .又⊂BD 平面ABCD ，∴BD PF ⊥.又四边形ABCD 为菱形，∴BD AC ⊥.∵点F E ,分别为AD CD ,的中点，∴AC EF ∥，∴BD EF ⊥.∵BD PF ⊥，BD EF ⊥，F EF PF = ，⊂EF PF ,平面PEF ，∴⊥BD 平面PEF ，又⊂PE 平面PEF ，∴BD ⊥PE（2）记O BD AC = ，则OB OA ⊥.由（1）知，PF ⊥平面ABCD ，⊂OA 平面ABCD ，⊂OB 平面ABCD ，则OA PF ⊥，OB PF ⊥.过点O 作PF OQ ∥，则OQ OB OA ,,两两垂直.如图，以OQ OB OA ,,所在直线分别为z y x ,,轴，建立空间直角坐标系xyz O -，则()()()()012004020004，，，，，，，，，，，---E C B A，∵421==AC OA ,221==BD OD，∴5241622=+=+=OD OA AD ,∴521==AD AF ，222=-=AF P A PF ，∴()2,12-，P ∴()212-=，，P A ,()016，，--=AE ,()232--=，，PB ,()216--=，，PC .设平面P AE 法向量为()111,,z y x m = ，由⎪⎩⎪⎨⎧=--=⋅=-+=⋅0602211111y x AE m z y x P A m ，令11=x ，则61-=y ，2-=z ，∴()2,6,1--=m .设平面PBC 的法向量为()222,,z y x n = ，则⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=⋅=-+-=⋅0260232222222z y x PC n z y x PB n ，令12=x ，则4222-=-=z y ，，∴()4,2,1--=n .设平面PBC 与平面P AE 所成锐二面角为θ，则()()()()()()()()41861421261422611cos 222222=-+-+⨯-+-+-⨯-+-⨯-+⨯=⋅=n m n m θ，∴平面PBC 与平面P AE 所成锐二面角的余弦值为41861.20.解：（1）由()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=1242222y x px y 整理得()04282=+--x p x .由对称性可得关于x 的方程有两个相等的正的实数根，∴()016282=--=∆p ，且028>-p ，解得2=p ，∴抛物线C 的方程为x y 42=.（2）由题意，知直线AB 的斜率不为0，故设直线AB 的方程为4+=my x ，如图，设()()()()44332211,,,,y x Q y x P y x B y x A ，，，.将直线AB 的方程代入圆E 的方程中，消去x ，得()12122=+y m ，∴11222+=m y ，∴12y y -=，且11222221+==m y y .直线OA 的方程为x x y y 11=，代入抛物线方程x y 42=，消去x ，得y y x y 1124=，解得114y x y =或0=y ，∴1134y x y =.同理得2244y x y =，∴22211142312144sin 21sin 21y x y y x y y y y y OQ OP OB OA POQ OQ OP AOB OB OA S S ⋅=⋅=⋅⋅=∠⋅∠⋅=()()()()()()16416441616212122212122121221+++=++==y y m y y m y y my my y y x x y y ()()()9254941491611216112161622222222212221-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=m m m m m m y y m y y ∴当0=m 时，21S S 取得最大值为169.21.解：（1）∵()x f 的定义域为R ，()()1--='ax e x x f x ，∴()()01≠--=x ax e x g x ，()12--=a e a g a .令()()012>--=x x e x h x ，则()x e x h x2-='.令()()02>-=x x e x x ϕ，则()()02>-='x e x xϕ.由()0='x ϕ得2ln =x ∴当()2ln ,0∈x 时，()0<'x ϕ；当()+∞∈,2ln x 时，()0>'x ϕ，∴()x ϕ在()2ln ,0上单调递减，在()+∞,2ln 上单调递增，∴当()+∞∈,0x 时，()()02ln 22ln >-=≥ϕϕx ，即当()+∞∈,0x 时，()0>'x h ，∴()x h 在()∞+，0上单调递增.∵0>a ，∴()()00=>h a h ，当0>a 时，()0>a g 恒成立.（2）由（1）知，()()1--='ax e x x f x .设()()R x ax e x m x ∈--=1，则()a e x m x-='.①当0≤a 时，()0>'x m 恒成立，∴()x m 在R 上单调递增.∵()00=m ，∴当()0,∞-∈x 时，()0<x m ，从而()0>'x f ；当()+∞∈,0x 时，()0>x m ，从而()0>'x f .又∵()00='f ，∴R x ∈∀，都有()0≥'x f ，∴()x f 在R 上单调递增，此时()x f 无极值；②当0>a 时，由()0='x m ，得a x ln =，∴当()a x ln ,∞-∈时，()0<'x m ；当()+∞∈,ln a x 时，()0>'x m ，∴()x m 在()a ln ,∞-上单调递减，在()+∞,ln a 上单调递增，∴当a x ln =时，()x m 取得最小值，且最小值为()1ln ln --=a a a a m .令()()01ln >--=x x x x x F ，()x x F ln -='.∴当()1,0∈x 时，()0>'x F ；当()+∞∈,1x 时，()0<'x F ，∴()x F 在()1,0行单调递增，在()∞+，1上单调递减.∵()01=F ，∴()+∞∈,0x 时，()0≤x F ，即当0>a 时，()01ln ln ≤--=a a a a m （当且仅当1=a 时等号成立）.（ⅰ）当1=a 时，()()00ln ==m a m ，且当0≠x 时，都有()0>x m ，∴()00='f ，且当()0,∞-∈x 时，()0<'x f ；当()+∞∈,0x 时，()0>'x f ，∴()x f 在()0，∞-上单调递减，在()∞+，0上单调递增，∴()x f 在0=x 处取得极小值，符合题意.（ⅱ）当10<<a 时，0ln <a ，且()0ln <a m .∵011>=⎪⎭⎫ ⎝⎛--a e a m ，∴()00=m ，∴()x m y =的图象大致如图（1）.由函数的单调性及零点存在定理，得在⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a ln ,1内存在唯一的实数1x ，使得()01=x m ∴当()1,x x ∞-∈时，()0>x m ，从而()0<'x f ；当()0,1x x ∈时，()0<x m ，从而()0>'x f ；当()+∞∈,0x 时，()0>x m ，从而()0<'x f ，∴()x f 在()1,x ∞-上单调递减，在()+∞,1x 上单调递增，∴()x f 在1x x =处取得极小值，符合题意.（ⅲ）当1>a 时，0ln >a ，且()0ln <a m .∵()00=m ，由（1）知，()0>a m ，∴()x m y =的图象大致如图（2）.由函数的单调性及零点存在定理，得在()a a ,ln 内存在唯一的实数2x ，使()02=x m ，∴当()0,∞-∈x 时，()0>x m ，从而()0<'x f ；当()2,0x x ∈时，()0<x m ，从而()0<'x f ；当()+∞∈,2x x 时，()0>x m ，从而()0>'x f ，∴()x f 在()2,x ∞-上单调递减，在()+∞,2x 上单调递增，∴()x f 在2x x =处取得极小值，符合题意.综上，当()x f 存在极小值，实数a 的取值范围为()∞+，0.（二）选考题22.解：（1）∵04cos 2=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-m πθρ，∴0sin 22cos 222=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅m θθρ，即0cos sin =++m θρθρ.又y =θρsin ，x =θρcos ，∴0=++m y x ，即直线l 的直角坐标方程为0=++m y x .（2）由⎪⎩⎪⎨⎧==2sin cos y t x t ，且1sin cos 22=+t t ，则曲线C 的普通方程为1422=+y x ，其与x 轴的交点分别为()()0,101B A ，，-.设点()y x M ,，由MB MA 3=，得()()[]2222131y x y x +-=++，即01422=+-+x y x ，∴()3222=+-y x ，它表示圆心为()02，E ，半径为3的圆.∵点()y x M ,既在直线l 上，又在圆E 上，∴322≤+m，即62≤+m ，∴6262+-≤≤--m ，即实数m 的取值范围为[]6262+---，.23.解：（1）当2=a 时，原不等式可化为2212>---x x .当2≥x 时，原不等式可化为()()2212>---x x ，整理得2>x ，∴2>x .当21<<x 时，原不等式可化为()()2212>-+-x x ，整理得2>x ，∴此时不等式的解集为空集..当1≤x 时，原不等式可化为()()2212>-+--x x ，整理得2-<x ，∴2-<x .综上，当2=a 时，不等式()2>x f 的解集为()()∞+-∞-，，22 .（2）若存在[]4,2∈x ，使得()0≤x f ，即存在[]4,2∈x ，使得22-≤-x ax ①①式可转化为()22-≤--ax x ，即⎩⎨⎧-≤--≤+-2222x ax ax x ②∵[]4,2∈x ，∴②式可化为()⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥0114x a x a ③若存在[]4,2∈x 使得③式成立，则⎪⎩⎪⎨⎧≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥0114min a x a ，即⎩⎨⎧≤≥10a a ，∴10≤≤a ，即a 的取值范围为[]1,0.。

陕西省2022-2023学年高三下学期2月联考理科数学试题及参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1.已知集合{}2≤∈=x Zx A ，{}A x x y yB ∈==,2，则=B A （）A .{}4,1,0B .{}16,9,4,3,2,10，C .{}4,1D .{}16,9,4,3,2,12.已知复数z 满足i z z 42+=-，则=z （）A .i 34+B .i 34-C .i 43+D .i43-3.某社区有1500名老年居民、2100名中青年军民和1800名儿童居民.为了解该社区居民对社区工作的满意度，现采用分层抽样的方法从这些居民中抽取一个容量为n 的样本，若中青年居民比老年居民多抽取20人，则=n （）A .120B .150C .180D .2104.已知定义在[]4,3-上的函数()x f 的大致图象如图所示，()x f '是()x f 的导函数，则不等式()0>'x f x 的解集为（）A .()⎪⎭⎫⎝⎛--25112，， B .()23--，C .()⎪⎭⎫⎝⎛-2510,1， D .()4,35.在正方体1111D C B A ABCD -中，H G F E ,,,分别为111,,,CC BC D A AB 的中点，则直线EF 与GH 夹角的余弦值为（）A .33B .32C .22D .236.定义在R 上的奇函数()x f 满足()()x f x f -=2，当[]1,0∈x 时，()123+++=a x ax x f ，则()=2023f （）A .3-B .1-C .1D .37.已知椭圆()012222>>=+b a by a x C ：的左、右焦点分别为21,F F ，M 为C 上一点，若1MF 的中点为()1,0，且21F MF ∆的周长为248+，则C 的标准方程为（）A .181622=+y x B .14822=+y x C .141622=+y x D .1163222=+y x 8.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若019>S ，0147<+a a ，则当n S 取得最大值时，=n （）A .8B .9C .10D .119.将函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin πx x f 的图象向右平移6π个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的()01>ωω，纵坐标不变，得到函数()x g 的图象，若()x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡40π，上恰有2个零点，则ω的取值范围为（）A .⎥⎦⎤⎝⎛31337，B .⎪⎭⎫⎢⎣⎡31337，C .⎥⎦⎤ ⎝⎛31034，D .⎪⎭⎫⎢⎣⎡31034，10.设O 为坐标原点，21,F F 是双曲线()0012222>>=-b a by a x C ，：的左、右焦点，已知双曲线C 的离心率为3，过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，则=OP PF 1（）A .6B .2C .3D .2611.已知正三角形ABC 的边长为6，[][]1,01,0∈∈+=μλμλ，，AC AB AP ，且243=+μλ，则点P 到直线BC 距离的最大值为（）A .32B .3C .33D .23312.若函数C ：()()x a x x f ln 12+-=有两个极值点21,x x ，且21x x <，则()2x f 的取值范围为（）A .⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,42ln 21B .⎪⎭⎫⎝⎛-0,42ln 1C .⎪⎭⎫⎝⎛-021，D .⎪⎭⎫ ⎝⎛-041，二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-+≥+-010301y y x y x ，则y x z 2-=的最大值为.14.“一尺之捶，日取其半，万世不竭”出自《庄子·天下》，其中蕴含着数列的相关知识.已知长度为4的线段AB ，取AB 的中点C ，以AC 为直径作圆（如图①），该圆的面积为1S ，在图①中取CB 的中点D ，以CD 为直径作圆（如图②），图②中所有圆的面积之和为2S ，依此类推，则=n S .15.设m 为正整数，mx x 221⎪⎭⎫ ⎝⎛+展开式中二项式系数的最大值为a ，1221+⎪⎭⎫⎝⎛+m x x 展开式中二项式系数的最大值为b ，若b a 47=，则mx x 221⎪⎭⎫⎝⎛+展开式中的常数项为.16.某圆锥的底面半径为1，高为3，在该圆锥内部放置一个正三棱柱，则该正三棱柱体积的最大值为.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分.17.（12分）猜灯谜是我国一种民俗娱乐活动.某社区在元宵节当天举行了猜灯谜活动，工作人员给每位答题人提供了10道灯谜题目，答题人从中随机选取4道灯谜题目作答，若答对3道及以上灯谜题目，答题人便可获得奖品.已知甲能答对工作人员所提供的10道题中的6道.（1）求甲能获得奖品的概率；（2）记甲答对灯谜题目的数量为X ，求X的分布列与期望.18.（12分）如图，在三棱锥ABC P -中，5===PC PB P A ，42==AC AB ，BC AC ⊥，O 为AB 的中点.（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）求二面角B PC O --的余弦值.19.（12分）已知ABC ∆中，点D 在边AC 上，且CD AD 2=，AC BD =.（1）若BD 平分ABC ∠，求BDCABD∠∠sin sin 的值；（2）若BC AC AB ,,成递增的等比数列，6=AC ，求ABC ∆的面积.20.（12分）已知抛物线()022>=p py x C ：的焦点为F ，圆E ：()p y x 2122=++.过C 上一点()0,1y M 作C 的切线，该切线经过⎪⎭⎫ ⎝⎛-410，N .（1）求C 的方程；（2）若与C 相切的直线l ，与E 相交于Q P ,两点，求FPQ ∆面积的最大值.21.（12分）已知函数()()()+∞∈-+-=,0,12x x x a e x f x.（1）若0=a ，证明：()x x f sin >；（2）若1=a ，且()()0='=n f m f ，证明：n m 2<.（二）选考题：共10分.请考生从第22,23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin 3cos 2y x （α为参数）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为06sin cos 2=-+θρθρ.（1）求曲线C 的普通方程和l 的直角坐标方程；（2）过曲线C 上任意一点P 作与直线l 的夹角为45°的直线，且与l 交于点A ，求P A 的最小值.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()212--+=x x x f .（1）求不等式()8≤x f 的解集；（2）设函数()()2--=x x f x g 的最大值为m ，若正数b a ,满足m b a =+，求ba 91+的最小值.参考答案一、选择题1.B 解析：∵{}4,3,2,1,0=A ，∴{}16,9,4,1,0=B ，∴=B A {}16,9,4,3,2,10，.2.C解析：设()R b a bi a z ∈+=,，则i bi a b a z z 4222+=+-+=-，则⎪⎩⎪⎨⎧==-+4222b a b a ，解得⎩⎨⎧==43b a ，故i z 43+=.3.C解析：由题可知2018002100150015001800210015002100=⨯⎪⎭⎫⎝⎛++-++n ，∴180=n .4.C解析：若0<x ，则()0<'x f ，()x f 单调递减，由图象可知，()0,1-∈x ；若0>x ，则()0>'x f ，()x f 单调递增，由图象可知，⎪⎭⎫⎝⎛∈251，x .故不等式()0>'x f x 的解集为()⎪⎭⎫ ⎝⎛-2510,1， .5.D解析：如图，取1AA 的中点M ，连接FM EM ,，易得GH FM ∥，故MFE ∠的大小和EF 与GH 的夹角相等.不妨设2=AB ，则2==ME MF ，6=EF ，232cos ==∠MF EFMFE .6.B解析：∵()x f 是定义在R 上的奇函数，∴()010=+=a f ，解得1-=a .又()()x f x f -=2，∴()()2--=x f x f ，则()()4-=x f x f ，即()x f 是以4为周期的周期函数，故()()()1112023-=-=-=f f f .7.A解析：∵21F MF ∆的周长为248+，∴24822+=+c a .又1MF 的中点为()1,0，∴M 的坐标为()2,c M ，则22=ab ，由222c b a +=，解得22,4===c b a ，∴椭圆C 的标准方程为181622=+y x.8.C解析：∵{}n a 为等差数列，∴0191019>=a S ，01110147<+=+a a a a ，∴001110<>a a ，，故当当n S 取得最大值时，=n 10.9.B解析：由题知，()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62sin πωx x g ，当40π≤≤x 时，62626πωππωπ-≤-≤-x ，∵()x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡40π，上恰有2个零点，∴ππωππ262<-≤，解得31337<≤ω.10.A 解析：不妨设2,3,1===b c a ，则33cos ,33cos 12-=∠=∠POF POF .由余弦定理可得，OPF OP OF OP OF PF 1122121cos 2∠⋅-+=63313213=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯⨯-+=，则61=PF ，∴=OP PF 16.11.D 解析：∵243=+μλ，∴1223=+μλ，∴AC AB AC AB AP 2123223⋅+⋅=+=μλμλ.如图，设AC AE AB AD 2132==，，则AE AD AP μλ223+=.∵[][]1,01,0∈∈μλ，，∴点P 在线段DE 上运动，显然，当点P 与点E 重合时，点P 到直线BC 距离取得最大值233.12.A 解析：∵()()x a x x f ln 12+-=，∴()()xax x x a x x f +-=+-='22122.由题意知，210<<a ，121=+x x ，∴1212<<x ，且022222=+-a x x ，∴()()()()2222222222ln 221ln 1x x x x x a x x f +-+-=+-=，1212<<x .令函数()()()x x x x x g ln 22122+-+-=，121<<x ，则()()0ln 42>-='x x x g 在⎪⎭⎫ ⎝⎛121，上恒成立，故()x g 在⎪⎭⎫ ⎝⎛121，上单调递增，则()⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,42ln 21x g ，即()2x f 的取值范围为⎪⎭⎫⎝⎛-0,42ln 21.二、填空题13.6解析：画出可行域可知，当直线y x z l 2-=：经过点()14-，时，z 取得最大值6.14.⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-n 41134π解析：由题意可知，各圆的面积成以π为首项，41为公比的等比数列，故=⎪⎭⎫⎝⎛⨯-=-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n S 413434411411πππ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-n 41134π.15.15解析：由题可知，mm C a 2=，11212+++==m m mm C C b .∵b a 47=，∴()()12417+=+m m ，解得3=m ，故mx x 221⎪⎭⎫ ⎝⎛+展开式中的常数项为()15142246=⎪⎭⎫⎝⎛x xC .16.33解析：如图，设正三棱柱上底面外接圆的半径为r ，则该三棱柱的高10,33<<-=r r h ，则该三棱柱的体积()()()32243933343r rr r V -=-=，()()r r r r V 32439324392-=-='，当32=r 时，V 取得最大值，且最大值为33.三、解答题17.解：（1）由题可知，甲能获得奖品的概率42192108015410143646=+=+=C C C C P .（2）由题可知，X 的取值可能为0，1,2,3,4，则()2101041044===C C X P ；()35414101634===C C C X P ；()7324102624===C C C X P ；()21834103614===C C C X P ；()141441046===C C X P.X的分布列为：()51214142183732354121010=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X E .18.解：（1）∵PB P A =，O 为AB 的中点，∴AB PO ⊥.∵BC AC ⊥，∴AO CO =.又PC P A =，∴PCO ∆≌P AO ∆，∴CO PO ⊥.∵O CO AB = ，⊂AB 平面ABC ，⊂CO 平面ABC ，∴PO ⊥平面ABC .（2）以C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.∵5===PC PB P A ，42==AC AB ，∴2122=-=CO P A PO ，则()()()()21,310,3200,31000，，，，，，，，P B O C ，则()()()032,021,312100，，，，，，===CB CP OP .设平面OPC 的法向量为()111,,z y x m = ，则⎪⎩⎪⎨⎧=++=02130211111y x ，令11=y ，得()0,1,3-=m.设平面PBC 的法向量为()222,,z y x n = ，则⎪⎩⎪⎨⎧==++03202132222y z y x 。

人大附中2021届高三数学2月特供卷〔二〕理制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……日期：2022年二月八日。

考前须知：1．在答题之前，先将本人的姓名、准考证号填写上在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的规定的正确位置。

2．选择题的答题：每一小题在选出答案以后，需要用2B铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的答题：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．在在考试完毕之后以后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第一卷一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．1．如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF〔该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常〕，假设在该矩形区域内随机地选一地点，那么该地点无信号的概率是〔〕A．14π-B．12π-C．22π-D ．4π2．复数13i22z=--，那么||z z+=〔〕A．13i22--B．13i22-+C．13i22+D．13i22-3．假设1cos()43απ+=，(0,)2απ∈，那么sinα的值是〔〕A．624-B．624+C．187D．324．集合2{|10}A x x=->，{|3,}xB y y x==∈R，那么=BA 〔〕A．)1,(--∞B．]1,(--∞C．),1(+∞D．),1[+∞5．一几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为〔〕A．163π+B．112π+C．1123π+D．143π+6．世界数学名题“13+x问题〞：任取一个自然数，假如它是偶数，我们就把它除以2，假如它是奇数，我们就把它乘3再加上1，在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数，假如反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜测：反复进展上述运算后，最后结果为1，现根据此问题设计一个程序框图如下列图，执行该程序框图，假设输入的5=N，那么输出=i〔〕A ．3B ．5C ．6D ．77．函数)sin()(ϕω+=x A x f (0,0,||)A ωφ>><π的局部图象如下图，那么函数)cos()(ϕω+=x A x g 图象的一个对称中心可能为〔 〕A ．)0,2(-B ．)0,1(C ．)0,10(D ．)0,14(8．函数sin e()xy x =-ππ≤≤的大致图象为〔 〕A ．B ．C ．D ．9．点A ，B ，C ，D 在同一个球的球面上，2==BC AB ，2=AC ，假设四面体ABCD 的体积为332，球心O 恰好在棱DA 上，那么这个球的外表积为〔 〕 A ．254πB ．4πC ．8πD ．16π10．F 为双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>右焦点，M ，N 为双曲线上的点，四边形OFMN 为平行四边形，且四边形OFMN 的面积为bc ，那么双曲线的离心率为〔 〕 A ．2B ．22C ．2D ．311．不等式组036060x y k x y x y -+⎧⎪--⎨⎪++⎩≥≤≥表示的平面区域恰好被圆222)3()3(:r y x C =-+-所覆盖，那么实数k的值是〔 〕A ．3B ．4C ．5D ．612．0x 是方程222e ln 0xx x +=的实根，那么关于实数0x 的判断正确的选项是〔 〕A ．0ln 2x ≥B ．01ex <C ．0ln 200=+x xD ．002e ln 0xx +=第二卷二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分．13．5(1)(1)x x +-展开式中含3x 项的系数为 ．〔用数字表示〕14．(1,)a λ=，(2,1)b =，假设向量2a b +与(8,6)c =一共线，那么a 在b 方向上的投影为 ． 15．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，B c A b B b tan 2tan tan -=+，且8=a ，ABC △的面积为34，那么c b +的值是 ．16．如下图，点F 是抛物线x y 82=的焦点，点A ，B 分别在抛物线x y 82=及圆16)2(22=+-y x 的实线局部上运动，且AB 总是平行于x 轴，那么FAB △的周长的取值范围是 ．三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．17．设n S 为数列}{n a 的前n 项和，且11=a ，)1()2(1+++=+n n S n na n n ，*n ∈N ．〔1〕证明：数列}1{+nSn 为等比数列；〔2〕求n n S S S T +++= 21．18．如下图的几何体ABCDEF 中，底面ABCD 为菱形，a AB 2=，120ABC ∠=︒，AC 与BD 相交于O 点，四边形BDEF 为直角梯形，BF DE //，DE BD ⊥，a BF DE 222==，平面⊥BDEF 底面ABCD ．〔1〕证明：平面⊥AEF 平面AFC ； 〔2〕求二面角F AC E --的余弦值．19．为了让贫困地区的孩子们过一个温暖的冬天，某校阳光志愿者社团组织“这个冬天不再冷〞冬衣募捐活动，一共有50名志愿者参与，志愿者的工作内容有两项：①到各班做宣传，建议同学们积极捐献冬衣；②整理、打包募捐上来的衣物，每位志愿者根据自身实际情况，只参与其中的某一项工作，相关统计数据如下表所示：〔1〕假如用分层抽样的方法从参与两项工作的志愿者中抽取5人，再从这5人中选2人，那么“至少有1人是参与班级宣传的志愿者〞的概率是多少？〔2〕假设参与班级宣传的志愿者中有12名男生，8名女生，从中选出2名志愿者，用X 表示所选志愿者中的女生人数，写出随机变量X 的分布列及其数学期望．20．椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的长轴长为6，且椭圆C 与圆940)2(:22=+-y x M 的公一共弦长为3104． 〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕过点)2,0(P 作斜率为)0(>k k 的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点D ，使得ADB △为以AB 为底边的等腰三角形，假设存在，求出点D 的横坐标的取值范围；假设不存在，请说明理由．21．函数e ()(ln )xf x a x x x=--．〔1〕当0a ≤时，试求)(x f 的单调区间；〔2〕假设)(x f 在)1,0(内有极值，试求a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程曲线C ：θρsin 12-=，直线⎩⎨⎧==ααsin cos :t y t x l 〔t 为参数，0α<π≤〕．〔1〕求曲线C 的直角坐标方程；〔2〕设直线l 与曲线C 交于B A ,两点〔A 在第一象限〕，当30OA OB +=时，求a 的值．23．选修4-5：不等式选讲 函数|1||12|)(++-=x x x f ． 〔1〕求不等式()3f x ≤的解集；〔2〕假设函数)(x f y =的最小值记为m ，设a ，b ∈R ，且有m b a =+22，试证明：221418117a b +++≥．答 案一、选择题 1．【答案】A 【解析】几何概型 2．【答案】C【解析】12z =-+，1z =，12z z ∴+=+．应选C ．3．【答案】A【解析】0,2απ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 4απ⎛⎫∴+=⎪⎝⎭sin sin 44αα⎡ππ⎤⎛⎫∴=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 应选A ． 4．【答案】C【解析】{}11A x x x =><-或，{}0B y y =>，{}1A B x x ∴=>，选C ．．5．【答案】C【解析】由三视图可知：该几何体是由一个三棱锥和一个圆锥的14组成的，应选C ． 6．【答案】C 7．【答案】C【解析】由题知A =，()2262ωπ=+，8ωπ=，再把点(2,-代入可得34ϕπ=-， ()384g x x ππ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，应选C ．8．【答案】D 【解析】由函数()sin exy x =-ππ≤≤不是偶函数，排除A 、C ，当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，sin y x =为单调递增函数，而外层函数e x y =也是增函数，所以()sin e xy x =-ππ≤≤在,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上为增函数．应选D ． 9．【答案】D【解析】根据条件可知球心O 在侧棱DA 中点，从而有AC 垂直CD ，4AD =，所以球的半径为2，故球的外表积为16π． 10．【答案】B【解析】设()00 M x y ，，∵四边形OFMN 为平行四边形，∴02cx =，∵四边形OFMN 的面积为bc ，∴0y c bc =，即0y b =，∴ 2c M b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，代入双曲线方程得2114e-=，∵1e >，∴e =选B ． 11．【答案】D【解析】由于圆心(3,3)在直线360x y --=上，又由于直线0x y k -+=与直线60x y ++=互相垂直其交点为6262k x k y +⎧=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，直线360x y --=与60x y ++=的交点为(0,6)-．由于可行域恰好被圆所覆盖，及三角形为圆的内接三角形圆的半径为r ==，解得6k =或者6k =-〔舍去〕．应选D ．12．【答案】C【解析】方程即为022002eln x x x =-，即()002ln 002e e ln x x x x -=-，令()e x f x x =，()()002ln f x f x ∴=-，那么()()e 10x f x x '=+>，函数()f x 在定义域内单调递增，结合函数的单调性有：002ln x x =-，应选C ． 二、填空题 13．【答案】0【解析】5(1)x -展开式中含3x 项的系数为3510C =，含2x 项的系数为3510C -=-，所以()5(1)1x x +-展开式中含3x 项的系数为10-10=0．14．【答案】【解析】由题知1λ=．15．【答案】【解析】tan tan 2tan b B b A c B +=-，∴由正弦定理1cos 2A =-，23A π=， 8a =，由余弦定理可得：()22264b c bc b c bc =++=+-，又因为ABC △面积1sin 2bc A =12=，16bc =，b c += 16．【答案】8,12（）【解析】易知圆()22216x y -+=的圆心为〔2，0〕，正好是抛物线x y 82=的焦点，圆()22216x y -+=与抛物线x y 82=在第一象限交于点4(2)C ，，过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为点D ，那么AF AD =，那么AF AB AD AB BD +=+=，当点B 位于圆()22216x y -+=与x 轴的交点〔6，0〕时，BD 取最大值8，由于点B 在实线上运动，因此当点B 与点C 重合时，BD 取最小值4，此时A 与B 重合，由于F 、A 、B 构成三角形，因此48BD <<，所以812BF BD <+<． 三、解答题17．【答案】〔1〕因为11n n n a S S ++=-， 所以1()(2)(1)n n n n S S n S n n +-=+++，即12(1)(1)n n nS n S n n +=+++，那么1211n n S Sn n+=⨯++， 所以112(1)1n n S S n n ++=++，又1121S+=， 故数列{1}n Sn+是首项为2，公比为2的等比数列．〔2〕由〔1〕知111(1)221n n n S Sn -+=+⋅=，所以2n n S n n =⋅-， 故2(12222)(12)n n T n n =⨯+⨯++⋅-+++．设212222n M n =⨯+⨯++⋅，那么231212222n M n +=⨯+⨯++⋅，所以212222n n M n +-=+++-⋅=11222n n n ++--⋅，所以1(1)22n M n +=-⋅+，所以1(1)(1)222n n n n T n ++=-⋅+-． 18．【答案】〔1〕因为底面ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥， 又平面BDEF ⊥底面ABCD ，平面BDEF 平面ABCD BD =，因此AC ⊥平面BDEF ，从而AC EF ⊥． 又BD DE ⊥，所以DE ⊥平面ABCD ，由2AB a =，2DE BF ==，120ABC ∠=︒，可知AF ==，2BD a =，EF ==，AE ==，从而222AF FE AE +=，故EF AF ⊥． 又AFAC A =，所以EF ⊥平面AFC ．又EF ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面AFC ．〔2〕取EF 中点G ，由题可知OG DE ∥，所以OG ⊥平面ABCD ，又在菱形ABCD 中，OA OB ⊥，所以分别以OA ，OB ，OG 的方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系O xyz -〔如下图〕，那么(0,0,0)O，,0,0)A，(,0,0)C，(0,,)E a -，(0,)F a ， 所以(0,,),0,0)AE a =--=(,,)a -，(,0,0),0,0)AC =--=(,0,0)-，(0,)(0,,)EFa a =--(0,2,)a =．由〔1〕可知EF ⊥平面AFC ，所以平面AFC 的法向量可取为(0,2,)EF a =． 设平面AEC 的法向量为(,,)n x y z =，那么0,0,n AE n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0,0,y x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，即,0,yx ⎧=⎪⎨=⎪⎩，令z =，得4y =，所以(0,4,2)n =． 从而cos ,n EF <>=6||||63n EF a n EF ⋅==⋅ 故所求的二面角E AC F --． 19．【答案】〔1〕用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是515010=， 所以，参与到班级宣传的志愿者被抽中的有120210⋅=人， 参与整理、打包衣物的志愿者被抽中的有130310⋅=人， 故“至少有1人是参与班级宣传的志愿者〞的概率是23257110C P C =-=．〔2〕女生志愿者人数0,1,2X =，那么21222033(0)95C P X C ===，1112822048(1)95C C P X C ===，2822014(2)95C P X C ===．∴X 的分布列为∴X 的数学期望为33481476()01295959595E X =⋅+⋅+⋅=． 20．【答案】〔1〕由题意可得26a =，所以3a =．由椭圆C 与圆M ：2240(2)9x y -+=，恰为圆M 的直径，可得椭圆C 经过点(2,±，所以2440199b+=，解得28b =． 所以椭圆C 的方程为22198x y +=．〔2〕直线l 的解析式为2y kx =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 的中点为00(,)E x y ．假设存在点(,0)D m ，使得ADB △为以AB 为底边的等腰三角形，那么DE AB ⊥．由222198y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(89)36360k x kx ++-=，故1223698k x x k +=-+，所以021898k x k -=+，00216298y kx k =+=+． 因为DE AB ⊥，所以1DEk k =-，即221601981898k k k m k -+=---+，所以2228989k m k k k--==++． 当0k >时，89k k+=≥，所以0m <． 综上所述，在x 轴上存在满足题目条件的点D ，且点D 的横坐标的取值范围为0m <． 21．【答案】〔1〕2e (1)1()(1)x x f x a x x -'=--2e (1)(1)x x ax x x ---=2(e )(1)x ax x x--=． 当0a ≤时，对于(0,)x ∀∈+∞，e 0xax ->恒成立， 所以()0f x '>，1x >；()0f x '<，01x <<．所以单调增区间为(1,)+∞，单调减区间为(0,1)．〔2〕假设()f x 在(0,1)内有极值，那么()f x '在(0,1)x ∈内有解．令()2(e )(1)0x ax x f x x--'==，e 0x ax -=，e x a x =． 设e ()xg x x=(0,1)x ∈， 所以()e (1)x x g x x-'=，当(0,1)x ∈时，()0g x '<恒成立， 所以()g x 单调递减．又因为(1)e g =，又当0x →时，()g x →+∞，即()g x 在(0,1)x ∈上的值域为(e,)+∞，所以当e a >时，()2(e )(1)0x ax x f x x --'==有解． 设()e x H x ax =-，那么()e 0xH x a '=-<(0,1)x ∈，所以()H x 在(0,1)x ∈单调递减．因为(0)10H =>，(1)e 0H a =-<，所以()e x H x ax =-在(0,1)x ∈有唯一解0x ．所以有：所以当e a >当e a ≤时，当(0,1)x ∈时，()0f x '≥恒成立，()f x 单调递增，不成立． 综上，a 的取值范围为(e,)+∞．请考生在22、23两题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题记分．22．选修4—4：坐标系与参数方程【答案】〔1〕由21sin ρθ=-，得sin 2ρρθ=+， 所以曲线C 的直角坐标方程为244x y =+；〔2〕设1(,)A ρα，那么2(,)B ραπ+，0,2απ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12303OA OB ρρ+=⇔=， 2231sin 1sin αα⎛⎫⇔= ⎪-+⎝⎭1sin 2α⇔=，∴6απ=． 23．选修4-5：不等式选讲．【答案】〔1〕因为()|21||1|f x x x =-++=3,1,12,1,213,.2x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪-+-⎨⎪⎪>⎪⎩≤≤ 从图可知满足不等式()3f x ≤的解集为[1,1]-．〔2〕证明：由图可知函数()y f x =的最小值为32，即32m =． 所以2232a b +=，从而227112a b +++=， 从而221411a b +=++2222214[(1)(1)]()711a b a b ++++=++ 2222214(1)[5()]711b a a b ++++++≥2222214(1)18[527117b a a b +++⋅=++．当且仅当222214(1)11b a a b ++=++时，等号成立， 即216a =，243b =时，有最小值， 所以221418117a b +++≥得证．制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

2021届高三数学2月联考试题 理〔含解析〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日第I 卷 选择题〔一共60分〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，每一小题分别给出四个选项，只有一个选项符合题意〕R U =，集合{}{}2|1,|0A x x B x x =≥=>，那么〔 〕A. ()1,1-B. (]0,1C. ()1,0-D. (]1,0- 【答案】D【解析】【分析】 根据不等式解法得到集合A ，再由集合补集得到结果.【详解】由题意得，{}|11A x x x =≥≤-或，{}|11U C A x x =-<<，{}|0U C B x x =≤， ∴()()(]1,0U U C A C B =-. 应选D.【点睛】此题考察了集合的补集的概念以及运算，涉及不等式的计算，属于根底题.2.i 是虚数单位，那么复数11i i -+在复平面上所对应的点的坐标为〔 〕 A. ()0,1 B. ()1,0-C. ()1,0D. ()0,1-【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法运算得到化简结果，再由复数和实数点的对应得到结果. 【详解】∵()()()()111111i i i i i i i ---==++-，∴该复数在复平面上对应的点的坐标为()0,1. 应选A.【点睛】在复平面上，点(,)Z a b 和复数bi a z +=),(R b a ∈一一对应，所以复数可以用复平面上的点来表示，这就是复数的几何意义．复数几何化后就可以进一步把复数与向量沟通起来，从而使复数问题可通过画图来解决，即实现了数与形的转化．由此将抽象问题变成了直观的几何图形，更直接明了．3.景区，每半个小时会有一趟缆车从山上发车到山下，某人下午在山上，准备乘坐缆车下山，那么他等待时间是不多于5分钟的概率为〔 〕 A. 13 B. 16 C. 19 D. 112【答案】B【解析】【分析】由题意分析在何区间内等待时间是可以控制在5分钟之内，再由概率计算公式即可求出结果.【详解】此人在25分到30分或者55分到60分之间的5分钟内到达，等待时间是不多于5分钟，所以他等待时间是不多于5分钟的概率为101P 606==.应选B 【点睛】此题主要考察几何概型，熟记公式即可求解，属于根底题型.()f x 在[)0,+∞上单调递减，()11f =-，假设()211f x -≥-，那么x 的取值范围是〔 〕A. (],1-∞-B. [)1,+∞C. []0,1D. (][),01,-∞+∞【答案】C【解析】【分析】由题可得()()211f x f -≥，根据函数奇偶性得到()()|21|1f x f -≥，结合单调性得到不等式关系211x -≤，求解即可.【详解】由题可得()()211f x f -≥，函数为偶函数，()()|21|1f x f ∴-≥，由函数()f x 在()0.+∞上单调递减，∴211x -≤，解得10≤≤x .应选C.【点睛】这个题目考察了函数奇偶性的应用，以及单调性的应用；解抽象函数的不等式问题，一种方法可以将函数表达式直接写出，解不等式即可；一种方法是，通过研究函数的单调性直接转化为自变量的不等关系.5.执行如下图的程序框图，那么输出的结果为〔 〕A. 7B. 8C. 9D. 11【答案】C【解析】【分析】模拟程序框图运行即得解.【详解】第一次运行时，()0111,3t k =+⨯==； 第二次运行时，()1136,5t k =+⨯==； 第三次运行时，()61535,7t k =+⨯==；第四次运行时，()3517252,9t k =+⨯==； 此时刚好不满足100t <，故输出9=k ，应选：C【点睛】此题主要考察程序框图，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能. 6.()73111x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中3x 的系数为〔 〕 A. -7B. 28C. 35D. 42【答案】B【解析】【分析】 ()71x +的通项为17r r r T C x +=,令3,6r r ==分别得到系数，进而求和.【详解】∵二项式()71x +的通项为17r r r T C x +=，分别令3,6r r ==，那么3x 的系数为367728C C -=.应选B. 【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可根据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可.(2)展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.,x y 满足约束条件010x y a x y ++≥⎧⎨-+≤⎩，且2z x y =+的最小值为2，那么=a 〔 〕 A. -1B. -1C. 35-D. 35 【答案】B【解析】【分析】 根据不等式组画出可行域，结合图像得到最值以及参数值.【详解】作出不等式组表示的平面区域如图阴影局部表示：其中11,22a a A +-⎛⎫- ⎪⎝⎭，作直线:20l x y +=，平移直线l ，当其经过点A 时，z 获得最小值，即min 112222a a z +-=-+⋅=，解得1a =-. 应选B. 【点睛】利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目的函数的几何意义，将目的函数进展变形．常见的类型有截距型〔ax by +型〕、斜率型〔y b x a++型〕和间隔 型〔()()22x a y b +++型〕． (3)确定最优解：根据目的函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目的函数即可求出最大值或者最小值。

一、单选题1．已知（i 为虚数单位），在复平面内，复数z 的共轭复数对应的点在（ ） ()1i i z +=z A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【分析】求出复数z ，写出，即得对应的点所在的象限.z z 【详解】， ()11111,122222i i i z i z i i -===+∴=-+ 复数z 的共轭复数对应的点是，在第四象限.∴z 11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：.D 【点睛】本题考查复数的除法运算和共轭复数，属于基础题.2．全集，集合，集合，图中阴影部分所表示的集合为U =R 04xA xx ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭(){}2log 12B x x =->（ ）A ．B ． (][],04,5-∞ ()(],04,5-∞C ．D ．()[],04,5-∞ (](),45,-∞+∞ 【答案】C【分析】由图可得，阴影部分表示的集合为.求出集合，即求. ()U C A B ⋃,,A B A B ⋃()U C A B ⋃【详解】∵集合，，{}04A x x =≤<{}5B x x =>由Venn 图可知阴影部分对应的集合为，又或，()U C A B ⋃{04A B x x ⋃=≤<}5x >.()()[],04,5U C A B ∴=-∞⋃ 故选：.C 【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.3．已知向量，，若，则（ ）(),1m t = ()2,1n t =- 22224m n m n -=+2t =A B ．1C D ．12【答案】D【分析】先求出的坐标，再结合题意列出方程求解即可.2m n -【详解】依题意，， ()()()22,22,14,1m n t t t -=--=由，则，22224m n m n -=+ ()2221614141t t t +=+++所以. 212t =故选：D.4．为了解某专业大一新生的学习生活情况，辅导员将该专业部分学生一周的自习时间（单位：h ）统计后制成如图所示的统计图，据此可以估计该专业所有学生一周自习时间的中位数为（ ）A ．B ．24C ．D ．24.2523.7523.25【答案】C【分析】根据小矩形的面积之和为1，求出的值，再求出小矩形面积之和为的横坐标的值即为a 0.5中位数.【详解】依题意，，解得，故前3块小矩形的面积分别()0.020.040.102 2.51a a ++++⨯=0.08a =为，，则所求中位数为.0.050.25,0.40.50.050.2522.523.750.16--+=故选：C5．已知在正方体中，交于点，则（ ） 1111ABCD A B C D -11,AD A D O A ．平面 B ．平面 OB ⊥11ACC A OB ⊥11A B CD C ．平面 D ．OB A 11CD B 1OB BC ⊥【答案】C【分析】由线面平行的判定定理即可得出结果.【详解】作出图形如图所示，连接，因为，所以平面平面，BD 111,BD B D OD B C ∥∥OBD A 11CD B 故平面，其他三个选项易知是错误的.OB A 11CD B故选：C.6．为了处理大数的运算，许凯与斯蒂菲尔两位数学家都想到了构造双数列模型的方法，如计算256×4096时，我们发现256是8个2相乘，4096是12个2相乘，这两者的乘积，其实就是2的个数做一个加法，所以只需要计算8+12=20，进而找到下表中对应的数字1048576，即.记，则（ ）25640961048576⨯=()128log 64598820000000log 8192a =⨯+a ∈n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2n1 2 4 8 16 32 64 128 256 5121024n 11 12L19 20 21 22 23 24 25⋯2n 20484096L52428810485762097152419430483886081677721633554432⋯A ．B ．C ．D ．()1,0-()2,1--()3,2--()4,3--【答案】B【分析】根据表中数据分别找到645988和20000000介于的范围，即可求解的范围，根据对数的运算性质即可求解.()2log 64598820000000⨯【详解】因为， ()()645988524288,1048576,2000000016777216,33554432∈∈故，， ()2log 64598819,20∈()2log 2000000024,25∈则，()()2log 6459882000000043,45⨯∈则，而()()128143log 64598820000000log 6459882000000015,33⎛⎫⨯=-⨯∈-- ⎪⎝⎭，故，222log 8192log 2log 409613=+=42,3a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭故选:B7．已知点，若在直线上存在点，使得((0,,0,M N -:0(0,0)l mx ny m n -=>>A ，则（ ）AM AN -=A ． B ．m n >+m n<+C ． D ．m >m <【答案】C【分析】由条件结合双曲线定义可得直线与曲线有交点，由此列不等式求l (22162y x y -=≤的关系.,m n 【详解】因为，所以点在为以为焦点的双曲线AM AN-=((0,,0,M N -A ,M N 的下支，设双曲线方程为，则，()22221,0,0y x y a ab a b-=≤->>2228a b a ==-所以点在曲线上，A (22162y x y -=≤因为点也在直线上，A 0(0,0)mx ny m n -=>>所以有解；所以，即.(()2216200,0y x y mx ny m n ⎧-=≤⎪⎨⎪-=>>⎩m n m >故选：C.8．已知正数a ，b 满足，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） 3a b +=55a b ab λ+≥λA ．B ．C ．D ．81,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦27,4∞⎛⎤- ⎥⎝⎦81,4∞⎛⎤- ⎥⎝⎦27,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】D【分析】先参变分离得，再利用，与相乘，然后连续运用两次基本不等44a b b a λ+≥13a b +=44a b b a+式即可.【详解】依题意，．44a b b aλ+≥又，3a b +=而 44554444()33a b a b a b a b b a a b b a b a ⎛⎫++ ⎪+++⎝⎭+==()222222224422222333a b a b a b a b a b ⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭≥==， 2224222()27=3124a b ab a b ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭≥=当且仅当，即，时，a b =32a =32b =前后两个不等号中的等号同时成立，所以的取值范围为λ27,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦故选： D. 9．若，则的大小关系不可能为（ ）112324log (21)a b c -+==+,,a b c A ． B ． c b a >>c a b >>C ． D ．b ac >>b c a >>【答案】B【分析】令函数，然后在同一直角坐标系中分别()()()()112324,log ,(21),x f x g x x h x x m x k -+===+=作出的大致图象，再根据函数图象分析判断即可. ()()()(),,,y f x y g x y h x y m x ====【详解】令函数，()()()()112324,log ,(21),x f x g x x h x x m x k -+===+=在同一直角坐标系中分别作出的大致图象，如图所示， ()()()(),,,y f x y g x y h x y m x ====观察可知，可能有（的图象为时）､（的图象为时）（b ac >>()m x 1l b c a >>()m x 2l c b a >>､的图象为时）， ()m x 3l 故选：B.10．已知抛物线的焦点为，过点的两条直线分别与抛物线交于点和2:4C y x =F F 12,l l C 11,A B ，且点在轴的上方，则直线在轴上的截距之积为（ ） 22,A B 12,A A x 1122,A A B B x A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】D【分析】设直线的方程为，代入抛物线方程化简得，则根据根与系数11A B 1x my =+2440y my --=的关系可设，则可表示出的方程，从而可求得直线在轴上的截距()()221111111,2,,2A t t B t t ---12A A 12A A x 直线在轴上的截距，同理可得直线在轴上的截距，进而可得答案. 12A A x 12B B x 【详解】由题可知.设直线的方程为，()1,0F 11A B 1x my =+联立可得，21,4,x my y x =+⎧⎨=⎩2440y my --=则根据根与系数的关系可设， ()()221111111,2,,2A t t B t t ---同理可设，则直线的斜率， ()()221222222,2,,2A t t B t t ---12A A 12122A A k t t =+直线的方程为， 12A A ()2221222y t x t t t -=-+令，得，即直线在轴上的截距为. 0y =12x t t =-12A A x 12t t -同理可得，直线在轴上的截距为， 12B B x 121t t -所以直线在轴上的截距之积为1. 1122,A A B B x 故选：D11．已知实数α、β 满足，其中e 是自然对数的底数，则α β＝（ ）()34e e ,ln 1e ααββ=-=A ．e 4 B ．e 3 C ．e 2 D ．e【答案】A【分析】观察已知结构构造函数，利用其单调性可得继而可得结果.()e xf x x =lneβα=【详解】由已知可得：，()ln343ee e ,ln 1e lnlne e eeeeβααβββαββα=-=⇒⋅=⋅==令，则，令，()e x f x x =()()1e xf x x '=+()0,1f x x '>∴>-()0,1f x x '<∴<-即在上单调递增，在上单调递减，，()f x ()1,-+∞(),1-∞-()()11e f x f >-=-且时，，时，， 0x <()0f x <0x >()0f x >故，即. ()3lne 0ln 0ee f f ββαα⎛⎫==>⇒=> ⎪⎝⎭4e e e ααβα⋅=⋅⋅=故选：A12．已知在中，，若（表示的面积）恒成ABC A 222sin 2sin 4sin B C A +=2ABC S BC λ≤A ABC S A ABC A 立，则实数的取值范围为（ ）λA ． B ． C ． D ．∞⎫+⎪⎪⎭∞⎫+⎪⎪⎭∞⎫+⎪⎪⎭∞⎫+⎪⎪⎭【答案】A【分析】根据正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，结合换元法，导数的性质进行求解即可. 【详解】记角所对的边分别为.因为，,,A B C ,,a b c 222sin 2sin 4sin B C A +=所以由正弦定理可得.22224b c a +=. ()()222222222222222224422141sin 21cos sin 2442ABC b c a b c bc A bc b c A S b c A a a a a b c ⎡⎤⎛⎫+--⎢⎥⎛⎫ ⎪-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎛⎫⎣⎦==== ⎪ ⎪⎝⎭+ ⎪⎝⎭A ， ()()2222222224424422223241641529416442b cb c b c b c b c b c b c b c ⎡⎤+⎢⎥-⎢⎥--⎣⎦==⋅+++令，则， 220c t b =>()2228711116441ABC t S a t t ⎡⎤-⎛⎫=⨯-⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦A令，则， ()271441t g t t t -=++()31114(21)t g t t -=+'故当时，，当时，，110,14t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0g t '>11,14t ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭()0g t '<故，故max 1149()1472g t g ⎛⎫== ⎪⎝⎭2maxABC S a ⎛⎫⎪⎝⎭A 则实数的取值范围为. λ∞⎫+⎪⎪⎭故选：A【点睛】关键点睛：利用换元法构造新函数，利用导数判断新函数的单调性，求出最值是关键.二、填空题13．若，则_________. π1sin(),(0,π)63αα+=-∈πcos()12α-=【答案】23-【解析】由的范围，及的值，可求出的值，再结合απsin()6α+πcos()6α+πππcos()cos[(1246αα-=-+，展开可求出答案. 【详解】因为，所以. πππ()()6124αα++-=πππ()1246αα-=-+因为，所以，又，所以，所以(0,π)α∈ππ7π(,)666α+∈π1sin()063α+=-<π7π(π,66α+∈πcos()6α+=则. πππππππcos()cos[()]cos cos()sin sin(12464646αααα-=-+=+++12(()33=-=-故答案为：23-【点睛】本题考查两角和与差的余弦公式的应用，注意角的范围，考查学生的计算求解能力，属α于基础题.14．在通用技术课程上，老师教大家利用现有工具研究动态问题.如图，老师事先给学生准备了一张坐标纸及一个三角板，三角板的三个顶点记为.现移动边，,,,2,4A B C AC AB ==AC 使得点分别在轴､轴的正半轴上运动，则（点为坐标原点）的最大值为__________.,A C x y OB O【答案】1+1【分析】取的中点，解三角形求，结合两点之间线段最短的结论求的最大值. AC E ,OE BE OB【详解】由已知，2,4AC AB ==如图，取的中点，因为为直角三角形，故. AC E OAC A 112OE AC ==由于为直角三角形，故ABC A BE ==显然，当且仅当三点共线时等号成立， OB OE BE ≤+,,O B E故的最大值为. OB 1故答案为：.115．已知a ＞0，函数在其定义域上单调递减，则实数()[ln(1)]ln(1)af x x a x x a x =+--++()1,-+∞a 取值的集合为_______________． 【答案】{2}【分析】由导数与函数的单调性关系结合条件可得对任意的恒成立，再利用()()1,,0x f x ∈-+'∞≤导数求函数的最大值和取最大值的条件，由此可得的值.()()ln 12g x a x x =+-a 【详解】因为，所以， ()()ln 1ln(1)af x x a x x a x ⎡⎤=+--++⎣⎦()()ln 12f x a x x +'=-由已知函数在其定义域上单调递减，()()ln 1ln(1)a f x x a x x a x ⎡⎤=+--++⎣⎦()1,-+∞所以对任意的恒成立.()()1,,ln 120x a x x ∈-+∞+-≤设，则，()()ln 12g x a x x =+-()2121a x g x x ⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦'=+由知，0a >112a->-所以当时，，函数在上单调递增，1,12a x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭()0g x '>()g x 1,12a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭当时，，函数在上单调递减，1,2a x ∞⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭()0g x '<()g x 1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭所以在时取得最大值，又 ()g x 12ax =-()00g =所以对任意的恒成立， ()g x ()()()1,,0x g x g ∈-+∞≤即的最大值为，所以，解得. ()g x ()0g 102a-=2a =故答案为：{2}16．母线长为，与圆锥的侧面、底面都相切，现放入一些O 小球，小球与圆锥底面、侧面、球都相切，这样的小球最多可放入__________个． O 【答案】10【详解】由题意可知圆锥轴截面为正三角形，高为3，如图所示：设球O 半径为R ，由∠OCB=30°，可得OC=2R ，故OA=OC=2R ，所以R+2R=3∴R=1，OC=2，故得EC=1.设小球半径为r ，同理可得,故，所以小球半径为，2O C r '=31r =13r =且.这时到直线AO 的距离为．这些小球相邻相切，排在一起，则球心在'43OO =O '4sin603︒=M 上，如图所示：H 为相邻两球切点，分别为相邻两球球心，设∠，则12M M ，1H θM M=1sin θr M M ==， tan θ=sin θθtan θ<<，θ<<2θ<<22πθ<<10=>，，故可得能放入小球个数最多为10 11<<故答案为10点睛：本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般内切球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于内切球的性质，球心到各面距离相等计算即可，当球心位置不好确定时，可以用等体积法求球半径.三、解答题17．已知数列满足.{}n a ()()1233521131nn a a a n a n ++++-=-+L (1)求的通项公式；{}n a (2)在和之间插入n 个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数n a 1n a +2n +n d 列的前n 项和. 1n d ⎧⎫⎨⎩⎭n T 【答案】(1)13n n a -=(2) 11525883n n n T -+=-⋅【分析】（1）由已知递推公式，分和利用作差法求出数列的通项公式； 1n =2n ≥（2）依题意可得，利用错位相减法求和即可； 111123n n n d -+=⋅【详解】（1）解：因为，①()()1233521131nn a a a n a n ++++-=-+L 当时，1n =11a =当时，，②2n ≥()()112313523231n n a a a n a n --++++-=-+L ①②得.-()()()()()11211312312132n n n n n a n n n n --⎡⎤⎡⎤-=-+--+=-≥⎣⎦⎣⎦所以.()132-=≥n n a n又因为当时，上式也成立，所以的通项公式为.1n ={}n a 13n n a -=（2）解：由题可知，得， 1113323111n n n n n n a a d n n n --+--⋅===+++111123n n n d -+=⋅则，③012211213141112323232323n n n n n T --+=⋅+⋅+⋅++⋅+⋅L ，④ 1231112131411132323232323n n n n n T -+=⋅+⋅+⋅++⋅+⋅L ③④得-21211111113233323n n n n T -+⎛⎫=++++-⋅ ⎪⎝⎭L ， 11111115251331122344313n n n n n -⎛⎫- ⎪++⎝⎭=+⋅-⋅=-⋅-解得. 11525883n n n T-+=-⋅18．如图，在四棱锥中，平面，，∥，，P ABCD -PD ⊥ABCD AD DC ⊥AB DC 12AB DC =，为棱的中点．1PD AD ==M PC(1)证明：∥平面；BM PAD (2)若，求二面角的余弦值． BD BC ⊥P DM B --【答案】(1)证明见解析 (2)【分析】（1）取中点，可得四边形为平行四边形，从而，利用线面平行的PD N ABMN BM AN ∥判定定理即可得证；（2）建立空间直角坐标系，取CD 的中点，可得四边形ABED 为正方形，则，E 1AB AD ==，求出平面BDM 的法向量，易知为平面PDM 的一个法向量，利用向量夹角公式求解可2DC =DA得答案.【详解】（1）取中点，连接，．PD N AN MN 在中，，分别为，的中点，所以，， PCD A M N PC PD MN DC ∥12MN DC =因为，，所以，， AB DC A 12AB DC =AB MN ∥AB MN =所以四边形为平行四边形，因此，ABMN BM AN ∥又因为平面，平面，所以平面PAD ．BM ⊄PAD AN ⊂PAD BMA（2）因为平面，，平面ABCD ，所以，，又PD ⊥ABCD AD DC ⊂PD AD ⊥PD DC ⊥AD DC ⊥，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图， D ,,DA DC DP ,,x y z D xyz -取CD 的中点，连接BE ．E因为，，所以，， //AB DC 12AB DC =AB DE ∥AB DE =又因为，所以四边形ABED 为矩形， AD DC ⊥在中，因为，所以， BCD △BD BC ⊥12BE DC =又因为，所以， 12AB DC =AB BE =所以四边形ABED 为正方形，即，，1AB AD ==2DC =由题意得，，，，，，(0,0,0)D (1,0,0)A (1,1,0)B (0,2,0)C (0,0,1)P 10,1,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，，，(1,0,0)DA = 10,1,2DM ⎛⎫= ⎪⎝⎭ (1,1,0)DB =设平面BDM 的法向量为，所以即 (,,)n x y z = 0,0,n DM n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 10,20.y z x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩令，则，．所以平面BDM 的一个法向量为， 1y =-1x =2z =(1,1,2)n =-易知为平面PDM 的一个法向量，DA所以，cos ,||||n DA n DA n DA ⋅===因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为. P DM B --P DM B --19．近年来，各地电商行业迅速发展，电商行业的从业人数也相应增长.现将某地近5年电商行业的从业人数统计如下表所示. 第年x 1 2 34 5从业人数（万人） y 5 8111115 (1)若与线性相关，求与之间的回归直线方程； y x y x ˆˆˆybx a =+(2)若甲､乙､丙､丁4名大学生毕业后进入电商行业的概率分别为，且他们是否进入电商行2133,,,3244业相互独立.记这4人中最终进入电商行业的人数为，求的分布列以及数学期望.X X 参考公式：在线性回归方程中，. ˆˆˆybx a =+1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nxyb ay bx xnx ==-==--∑∑【答案】(1)； ˆ 2.3 3.1yx =+(2)分布列见解析，.()83E X =【分析】（1）根据题中所给公式，结合平均数的公式进行求解即可； （2）根据独立事件的概率公式，结合数学期望公式进行求解即可. 【详解】（1）依题意，，581111153,105x y ++++===而，故55211516334475173,149162555i i i i i x y x ===++++==++++=∑∑， 515222151735310ˆˆ2.3,10 2.33 3.155535i ii ii x y xybaxx ==--⨯⨯====-⨯=-⨯-∑∑故所求回归直线方程为； ˆ 2.3 3.1yx =+（2）依题意，的所有可能取值为.X 0,1,2,3,4，()111110324496P X ==⨯⨯⨯=，()122111111111319313244324432449632P X C ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯==，()11222111213111311133292C C 324432443244324496P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，()1221312133113339133C 3244324432449632P X ==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯==，()2133183432449616P X ==⨯⨯⨯==所以的分布列为 X X 01 2 3 4P 196 3322996 1332316故. ()132913380123496329632163E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=20．已知函数.()()32e 2R 2xx f x x ax a =+--∈(1)设函数，判断的单调性；()()2f x axm x x+=()m x (2)若当时，关于的不等式恒成立，求的取值范围.0x ≥x ()3cos 2x f x x ≥+a 【答案】(1)在和上单调递减，在上单调递增(),0∞-()0,1()1,+∞(2)1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】(1)由已知，求其导函数，解不等式求函数的递增()2e 2x x m x x x =-+()m x '()0m x '>()m x 区间，解不等式，求函数的递减区间； ()0m x '<()m x (2)由已知可得当时，恒成立，当时，利用多次求导证明函数0x ≥2e cos 20x x x ax ---≥12a ≤恒成立，当，先证明，由此证明存在，当时，2e cos 20x y x x ax =---≥12a >e e x x ≥0x ()00,x x ∈，由此确定的取值范围.2e cos 20x x x ax ---<a 【详解】（1）因为，，()32e 22xx f x x ax =+--()()2f x ax m x x +=所以，()2e ,02x x m x x x x =-+≠则，()()()()221e e 111x x x m x x x x x -⎛⎫=+-=-+ ⎝'⎪⎭故当时，，当时，，当时，，0x <()0m x '<01x <<()0m x '<1x >()0m x '>故在和上单调递减，在上单调递增.()m x (),0∞-()0,1()1,+∞（2）依题意，当时，恒成立.0x ≥()2e cos 20*x x x ax ---≥令，则.()[)2e 2cos ,0,x g x x ax x x ∞=---∈+()e 22sin xg x x a x -+'=-令，则.()[)e 22sin ,0,xh x x a x x ∞=--+∈+()e cos 2x h x x =+-'令，则，故在上单调递增，()[)e cos 2,0,xr x x x ∞=+-∈+()e sin 0x r x x =->'()r x [)0,∞+则，故即在上单调递增，则. ()()00r x r ≥=()h x ()g x '[)0,∞+()()012g x g a ''≥=-当时，，此时单调递增，从而，满足题意. 12a ≤()()0120g x g a ''≥=-≥()g x ()()00g x g ≥=当时，令，则， 12a >()e e x s x x =-()e e xs x '=-当时，单调递减，当时，单调递增， (),1x ∈-∞()()0,s x s x '<()1,x ∈+∞()()0,s x s x '>所以，即，当且仅当时取等号.()()10s x s ≥=e e x x ≥1x =所以，()()e 22sin e 212xg x x a x x a =--+>---'从而. ()1212e 2120e 2e 2a a g a ++⎛⎫>-⋅--= ⎪--⎝⎭'又在上单调递增，故存在唯一的实数，使得()()0120,g a g x '=-<'[)0,∞+0120,e 2a x +⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭()00g x '=，且当时，单调递减，所以当时，，不合题意，舍()00,x x ∈()()0,g x g x '<()00,x x ∈()()00g x g <=去.综上所述，实数的取值范围为a 1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论： (1)恒成立⇔； ()a f x ≥()max a f x ≥(2)恒成立⇔.()a f x ≤()min a f x ≤21．已知椭圆的左顶点为A ，右焦点为F ，过点的直线l 交C 于M 、N 两22:143x y C +=()4,0T 点，其中点M 在第二象限．(1)若直线l 过点，求的面积；()0,1AMN A (2)设线段MF 交半径为1的圆F 于点G ，直线TG 与AM 交于点R ，若直线AM ，NR 的斜率之比为，求． 23-MG【答案】(2)32【分析】（1）求出椭圆的和点与的坐标，通过直线过和求出直线的解析,,a b c A F ()01，()40T ，式，与椭圆联立，；利用韦达定理求出，利用两点之间坐标公式求出点到直线的距离，即MN A 可求出的面积.AMN A （2）设出直线的解析式，由韦达定理求出点的坐标，得出直线的斜率，利用AM ,,M G N ,MN NR 直线AM ，NR 的斜率之比为，即可求出直线的斜率，进而得出.23-AM MG 【详解】（1）由题意在椭圆中，左顶点为A ，右焦点为F ，22:143x y C +=∴，()()2,1,2,0,1,0a b c A F ===-在直线中，图像过，，l ()0,1()4,0T ∴，即1:14l y x =-+1104x y +-=∵直线与椭圆交于M 、N 两点，设()()1122,,,M x y N x y ∴，解得：， 22143114x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩2138320x x --=易得，所以， 0∆>1212832,1313x x x x+==-=∵点到直线的距离为Ad ==∴1122AMN S MN d ===A（2）由题意及（1）得，点在第二象限，直线斜率存在，且斜率，M AM 0k >在直线中，设，与椭圆联立，AM ()2y k x =+()222143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩化简得，易得，()2222341616120kxk x k +++-=0∆>设, 因为, 由韦达定理, 有, 得, ()33,M x y ()2,0A -23216(2)34k x k -+-=+2326834k x k -=+代入方程, 解得, ()2y k x =+321234ky k =+∴, 2226812,3434k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭又,, ()1,0F 2231234kk +=+线段交半径为1的圆于点,MF F G ∴， 2231234F k FG kM +=+设，则， ()44,G x y ()442222268123121,3434134,k k k k k k x y ⎛⎫= -+-⎝+⎭-++⎪解得， 442224,4141kx y k k ==++∴，2224,4141k G k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭直线的方程为,TG ()22481ky x k -=-+联立方程组, 可得, ()()222481y k x k y x k ⎧=+⎪⎨-=-⎪+⎩22261612,3838k k R k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭直线的方程为,TM ()22414ky x k -=-+联立方程组, 消去得, ()22224143412k y x k x y -⎧=-⎪+⎨⎪+=⎩y ()42224248403128192160120k k x k x k k ++--+-=可得, 2324224121248,12148161k k k N k k k ⎛⎫-+ ⎪+++⎝⎭∴, 记, 423212324AM NR k k k k-==--2t k =有或, 当时,不在第二象限, 舍去,293292450,4t t t -+==5858t =M 所以,得,294t k ==32k =经检验，满足上述方程中，32k =0∆>所以. 31331,,,,||2552M G MG ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为；()()1122,,,x y x y （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； x y ∆（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； 12x x +12x x 12y y +12y y （5）代入韦达定理求解.22．在直角坐标系中，圆心为的圆的参数方程为（为参数）．以坐标原点xOy A 1C 2cos ,sin x t y t =+⎧⎨=⎩t 为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．O x 2C 22cos ρθ=-(1)求圆的极坐标方程；1C(2)设点在曲线上，且满足的极径． B 2C AB =B 【答案】(1) 24cos 30ρρθ-+=(2)1或13【分析】（1）根据参数方程，直角坐标方程，极坐标方之间的相互转化关系即可求解；（2）根据极坐标方程和余弦定理以及一元二次方程即可求解.【详解】（1）由圆的参数方程消去参数，得圆的普通方程为1C t 1C ，圆心．22(2)1x y -+=()2,0A 把代入， cos ,sin x y ρθρθ==22(2)1x y -+=化简得圆的极坐标方程为．1C 24cos 30ρρθ-+=（2）由题意，在极坐标系中，点．()2,0A 点在曲线上，设．B 2C ()22cos ,B θθ-在中，由余弦定理有，AOB A 2222cos AB OA OB OA OB AOB =+-⋅⋅∠即．()234(22cos )2222cos cos θθθ=+--⨯-化简得． 212cos 16cos 50θθ-+=解得或． 1cos 2θ=5cos 6θ=故或．22cos 1ρθ=-=122cos 3ρθ=-=点的极径为1或．∴B 1323．已知、为非负实数，函数． a b ()34f x x a x b =-++(1)当，时，解不等式； 1a =12b =()7f x ≥(2)若函数的最小值为()f x 6【答案】(1) (][)34,-∞-+∞ ，【分析】（1）当，时，可得出，分、、三种1a =12b =()32f x x x =-++2x ≤-23x -<<3x ≥情况解不等式，综合可得出原不等式的解集；()7f x ≥（2）利用绝对值三角不等式可得出. 346a b +=【详解】（1）解：当，时，． 1a =12b =()32f x x x =-++当时，，解得，此时； 2x ≤-()32127f x x x x =---=-≥3x ≤-3x ≤-当时，，此时原不等式无解； 23x -<<()3257f x x x =-++=<当时，，解得，此时． 3x ≥()32217f x x x x =-++=-≥4x ≥4x ≥综上，不等式的解集为.()7f x ≥(][),34,-∞-⋃+∞（2）解：由， ()()()344334f x x a x b x b x a a b =-++≥+--=+因为，，当且仅当时，等号成立，0a ≥0b ≥43b x a -≤≤．()min 34346f x a b a b ∴=+=+=所以，，即， ()213414a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭2515642+≤⨯=≤当且仅当时，即当，时，等号成立，346a b=⎪+=⎪⎩85a =310b =。