中考数学分类梯形

江苏13大市数学中考分类汇编：四边形、梯形1.（2008江苏盐城）13．将一张等边三角形纸片沿着一边上的高剪开，可以拼成不同形状的四边形，试写出其中一种四边形的名称 ． 答案：平行四边形（或矩形或筝形）2.(2008江苏扬州) 5．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是 A 、当AB=BC 时，它是菱形 B 、当AC ⊥BD 时，它是菱形 C 、当∠ABC=900时，它是矩形 D 、当AC=BD 时，它是正方形答案：D3.(2008江苏杨州) 6．如图，已知四边形ABCD 中，R 、P 分别是BC 、CD 上的点，E 、F 分别是AP 、RP 的中点，当点P 在CD 上从C 向D 移动而点R 不动时，那么下列结论成立的是 A 、线段EF 的长逐渐增大 B 、线段EF 的长逐渐减小C 、线段EF 的长不变D 、线段EF 的长与点P 的位置有关答案：C4.（2008年江苏省无锡市，18T ，3分）如图，E F G H ，，，分别为正方形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且13AE BF CG DH AB ====，则图中阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积之比为（ ）Ａ．25 Ｂ．49 Ｃ．12Ｄ．35答案18．A 5.（2008年江苏省无锡市，21T ，7分）如图，四边形ABCD 中，AB CD ∥，AC 平分BAD ∠，CE AD ∥交AB 于E ． （1）求证：四边形AECD 是菱形；（2）若点E 是AB 的中点，试判断ABC △的形状，并说明理由．21．（1）AB CD ∥，即AE CD ∥，又CE AD ∥，∴四边形AECD 是平行四边形．第5题图DCBARPDCBAEF 第6题图（第18题）········································································································································· （2分） AC 平分BAD ∠，CAE CAD ∴∠=∠， ································································· （3分） 又AD CE ∥，ACE CAD ∴∠=∠，ACE CAE ∴∠=∠，AE CE ∴=，∴四边形AECD 是菱形． ····························································································· （4分） （2）证法一：E 是AB 中点，AE BE ∴=． 又AE CE = ，BE CE ∴=，B BCE ∴∠=∠， ······················································ （5分）180B BCA BAC ∠+∠+∠= ， ················································································ （6分） 22180BCE ACE ∴∠+∠= ，90BCE ACE ∴∠+∠= ．即90ACB ∠=，ABC ∴△是直角三角形． ································································ （7分） 证法二：连DE ，则DE AC ⊥，且平分AC ， ·························································· （5分） 设DE 交AC 于F ．E 是AB 的中点，EF BC ∴∥． ············································································· （6分） BC AC ∴⊥，ABC ∴△是直角三角形． （7分）6.（2008年江苏省无锡市，28T ，8分）一种电讯信号转发装置的发射直径为31km ．现要求：在一边长为30km 的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问：（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？ （2）至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？ 答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由．（下面给出了几个边长为30km 的正方形城区示意图，供解题时选用）28．解：（1）将图1中的正方形等分成如图的四个小正方形，将这4个转发装置安装在这4个小正方形对角线的交点处，此时，每个小正方形的对角线长为1302152312=<，每个转发装置都能完全覆盖一个小正方形区域，故安装4个这种装置可以达到预设的要求．························· （3分）（图案设计不唯一）（2）将原正方形分割成如图2中的3个矩形，使得BE DG CG ==．将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，设AE x =，则30ED x =-，15DH =．由BE DG =，得22223015(30)x x +=+-，图1 图2图3 图422515604x ∴==，22153030.2314BE ⎛⎫∴=+≈< ⎪⎝⎭，即如此安装3个这种转发装置，也能达到预设要求． ················································· （6分）或：将原正方形分割成如图2中的3个矩形，使得31BE =，H 是CD 的中点，将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，则22313061AE =-=，3061DE =-，22(3061)1526.831DE ∴=-+<≈，即如此安装三个这个转发装置，能达到预设要求．········································································································································· （6分） 要用两个圆覆盖一个正方形，则一个圆至少要经过正方形相邻两个顶点．如图3，用一个直径为31的O 去覆盖边长为30的正方形ABCD ，设O 经过A B ，，O 与AD 交于E ，连BE ，则221313061152AE AD =-=<=，这说明用两个直径都为31的圆不能完全覆盖正方形ABCD ．所以，至少要安装3个这种转发装置，才能达到预设要求． ······································ （8分） 评分说明：示意图（图1、图2、图3）每个图1分．7.（2008年江苏省南通市，15T ，4分）下列命题正确的是（ ） A ．对角线相等且互相平分的四边形是菱形 B ．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 C ．对角线相等且互相平分的四边形是矩形D ．对角线相等的四边形是等腰梯形 答案15．C 8.(2008江苏省无锡) 五边形的内角和为 ． 答案：5409..(2008江苏省无锡19)如图是由6个相同的正方形拼成的图形，请你将其中一个正方形移动到合适的位置，使它与另5个正方形能拼成一个正方体的表面展开图．（请在图中将要移动的那个正方形涂黑，并画出移动后的正方形） 答案如图(答案不唯一) 10.（2008江苏省宿迁）用边长为1的正方形覆盖33⨯的正方形网格,最多覆盖边长为1的正方形网格(覆盖一部分就算覆盖)的个数是Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．5 Ｄ．6 答案选D若一个正多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 答案:8BFD AE HO图2A DCB图 1图3DCFBEAO 第19题（3）11.（2008江苏省宿迁）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，连接AE 并延长交DC 的延长线于点F ． (1)求证：CF AB =； (2)当BC 与AF 满足什么数量关系时，四边形ABFC 是矩形，并说明理由．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴CD AB CD AB =,//∴FCE ABE CFE BAE ∠=∠∠=∠, ∵E 为BC 的中点∴EC EB =∴FCE ABE ∆≅∆ ∴CF AB =.(2)解:当AF BC =时,四边形ABFC 是矩形.理由如下: ∵CF AB CF AB =,//∴四边形ABFC 是平行四边形 ∵AF BC =∴四边形ABFC 是矩形.12.(2008江苏省无锡)如图，已知E 是矩形ABCD 的边CD 上一点，BF AE ⊥于F ，试说明：ABF EAD △∽△解法一： 矩形ABCD 中，AB CD ∥，90D ∠=， ·············································· （2分）BAF AED ∴∠=∠．····································································································· （4分） BF AE ⊥ ，90AFB ∴∠= ，AFB D ∴∠=∠． ··················································· （5分）ABF EAD ∴△∽△． ·································································································· （6分）解法二： 矩形ABCD 中，90BAD D ∠=∠=． ···················································· （2分）90BAF EAD ∴∠+∠= ，90EAD AED ∠+∠= ，BAF AED ∴∠=∠． ············· （4分）（下同）13.（08南京6）如图，将一张等腰梯形纸片沿中位线剪开，拼成一个新的图形， 这个新的图形可以是下列图形中的（ B ） A ．三角形 B ．平行四边形 C ．矩形 D ．正方形14．（08南京21）（6分）如图，在ABCD中，E F ，为BC 上两点，且BE CF =，AF DE =． 求证：（1）ABF DCE △≌△；FE D C B A 第21题（第6题）（2）四边形ABCD 是矩形． 解：（1）BE CF = ，BF BE EF =+，CE CF EF =+，BF CE ∴=． ························································································································ 1分 四边形ABCD 是平行四边形， AB DC ∴=． ························································································································ 2分 在ABF △和DCE △中，AB DC = ，BF CE =，AF DE =， ABF DCE ∴△≌△． ·········································································································· 3分 （2）解法一：ABF DCE △≌△， B C ∴∠=∠． ······················································································································· 4分 四边形ABCD 是平行四边形， AB CD ∴∥．180B C ∴∠+∠= ．90B C ∴∠=∠= ． ·············································································································· 5分∴四边形ABCD 是矩形． ····································································································· 6分 解法二：连接AC DB ，． ABF DCE △≌△， AFB DEC ∴∠=∠． AFC DEB ∴∠=∠．············································································································· 4分 在AFC △和DEB △中，AF DE = ，AFC DEB ∠=∠，CF BE =， AFC DEB ∴△≌△． AC DB ∴=． ························································································································ 5分 四边形ABCD 是平行四边形， ∴四边形ABCD 是矩形． 6分 15．（08连云港7）已知AC 为矩形ABCD 的对角线，则图中1∠与2∠一定不相等的是（ D ）A ．B ．C ．D ．（第21题） A B CD E F B A 1 DC 2 1 1 2 B AD C B A C 1 2D 1 2 B A D C16（2008苏州）将一个边长为1的正八边形补成如图所示的正方形，这个正方形的边长等于12+（结果保留根号）．17（2008徐州）已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O,给出下列四个论断① OA ＝OC ② AB ＝CD ③ ∠BAD ＝∠DCB ④ AD ∥BC请你从中选择两个论断作为条件,以“四边形ABCD 为平行四边形”作为结论,完成下列各题： ①构造一个真命题．．．，画图并给出证明； ②构造一个假命题．．．，举反例加以说明. 答案：（1）②③为论断时， （2）②④为论断时，此时可以构成一梯形．18．(08泰州11)如图，把一张长方形纸片对折，折痕为AB ，再以AB 的中点O 为顶点把平角AOB ∠三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O 为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是（ ）DA ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形梯形1.（2008江苏盐城）12．梯形的中位线长为3，高为2，则该梯形的面积为 6 ． 2．（08连云港20）（本小题满分8分）如图，在直角梯形纸片ABCD 中，AB DC ∥，90A ∠=，CD AD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点A 落在边CD 上的点E 处，折痕为DF ．连接EF 并展开纸片． （1）求证：四边形ADEF 是正方形；（2）取线段AF 的中点G ，连接EG ，如果BG CD =，试说明四边形GBCE 是等腰梯形．证明：（1）90A ∠=，AB DC ∥，90ADE ∴∠=．由沿DF 折叠后DAF △与DEF △重合，知AD DE =，90DEF ∠=．A BABOOA BO第11题图（第10题）E C B DAG F（第20题图）E C B D AG F（第20题答图）∴四边形ADEF 是矩形，且邻边AD AE ，相等．∴四边形ADEF 是正方形． ································································································· 3分 （2）CE BG ∥，且CE BG ≠，∴四边形GBCE 是梯形． ········································· 4分 四边形ADEF 是正方形，AD FE ∴=，90A GFE ∠=∠= ．又点G 为AF 的中点，AG FG ∴=．连接DG ．在AGD △与FGE △中，AD FE = ，A GFE ∠=∠，AG FG =， AGD FGE ∴△≌△，DGA EGB ∴∠=∠． ····································································· 6分 BG CD = ，BG CD ∥，∴四边形BCDG 是平行四边形． DG CD ∴∥．DGA B ∴∠=∠．EGB B ∴∠=∠．∴四边形GBCE 是等腰梯形． ······························································································ 8分 注：第（2）小题也可过点C 作CH AB ⊥，垂足为点H ，证EGF CBH △≌△． 3.（2008徐州）如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝高和坝底宽（精确到0.1m ） 参考数据：2 1.414，3 1.732解：如图所示，过点A 、D 分别作BC 的垂线AE 、DF 分别交BC 于点E 、F ，所以△ABE 、△CDF 均为Rt △，又因为CD ＝14，∠DCF ＝30°，所以DF ＝7＝AE ，且FC ＝73 12.1所以BC ＝7＋6＋12.1＝25.1m ．ADCB14m6m30︒45︒ADCB14m6m30︒45︒。

一、选择题1．2010安徽芜湖如图,在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC ,对角线AC ⊥BD 于点O ,AE ⊥BC ,DF ⊥BC ,垂足分别为E 、F ,AD ＝4,BC ＝8,则AE ＋EF 等于A ．9B ．10C ．11D ．12答案B2．2010山东日照已知等腰梯形的底角为45o ,高为2,上底为2,则其面积为 A2 B6 C8 D12答案C3．2010山东烟台如图,小区的一角有一块形状为等梯形的空地,为了美化小区,社区居委会计划在空地上建一个四边形的水池,使水池的四个顶点恰好在梯形各边的中点上,则水池的形状一定是 A 、等腰梯形 B 、矩形 C 、菱形 D 、正方形答案C4．2010山东威海如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AD ＝BC ,对角线AC ⊥BD ,垂足为O ．若CD ＝3,AB ＝5,则AC 的长为A ．24B ．4C ．33D ．52答案A5．2010台湾如图十五梯形ABCD 的两底长为AD =6,BC =10,中线为EF , 且B =90,若P 为AB 上的一点,且PE 将梯形ABCD 分成面积相 同的两区域,则△EFP 与梯形ABCD 的面积比为何 A 1：6 B 1：10 C 1：12 D 1：16 ;答案DD CBAEFP 图十五CABDO6．2010 浙江省温州用若干根相同的火柴棒首尾顺次相接围成一个梯形提供的火柴棒全部用完,下列根数的火柴棒不能围成梯形的是▲ ． A ．5 B ．6 C ．7 D ．8答案B7．2010 浙江台州市梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB=CD=AD =2,∠B =60°,则下底BC 的长是▲ A ．3 B ．4 C ． 23 D ．2+23 答案B8．2010浙江金华 如图,在等腰梯形ABCD 中,AB ∥CD , 对角线AC ⊥BC ,∠B ＝60o,BC ＝2cm ,则梯形ABCD 的面积为 ▲ A ．33cm 2 B ．6 cm 2C ．36cm 2D ．12 cm 2答案A9．2010湖北省咸宁如图,菱形ABCD 由6个腰长为2,且全等的等腰梯形镶嵌而成, 则线段AC 的长为 A ．3B ．6C ．33D ．63答案D10．2010湖北恩施自治州如图5,EF 是△ABC 的中位线,将△AEF 沿中线AD 方向平移到△A 1E 1F 1的位置,使E 1F 1与BC 边重合,已知△AEF 的面 积为7,则图中阴影部分的面积为：A. 7B. 14C. 21D. 28答案B11．2010四川内江2010四川内江,12,3分如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC , 点E 在BC 上,AE ＝BE ,点F 是CD 的中点,且AF ⊥AB ,若AD ＝,AF ＝4,AB ＝6,则CE 的长为AB C DEFACBD第10题图A．2错误!B．2错误!－1 C．D．答案D12．2010 湖南湘潭在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,若DE=2cm,则BC的长是A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm答案C13．2010湖北十堰如图,已知梯形ABCD的中位线为EF,且△AEF的面积为6cm2,则梯形ABCD的面积为A DE FB C第7题A．12 cm2 B．18 cm2C．24 cm2D．30 cm2答案C14．2010 湖北咸宁如图,菱形ABCD由6个腰长为2,且全等的等腰梯形镶嵌而成,则线段AC的长为A．3 B．6 C．33D．63答案D15．2010四川达州如图4,在一块形状为直角梯形的草坪中,修建了一条由A→M→N→C的小路M、N分别是AB、CD中点.极少数同学为了走“捷径”,沿线段AC行走,破坏了草坪, 实际上他们仅少走了图4A. 7米B. 6米C. 5米D. 4米图4答案B16．2010湖南娄底下列说法中错误的是A. 平行四边形的对角线互相平分B. 矩形的对角线互相垂直C. 菱形的对角线互相垂直平分D. 等腰梯形的对角线相等答案B1二、填空题1．2010甘肃兰州如图,直角梯形ABCD 中,AD∥BC,AB⊥BC,AD = 2,将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至DE,连接AE 、CE,△ADE 的面积为3,则BC 的长为 ．答案52．2010浙江宁波如图,在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB =AD =CD . 若∠ABC =60°,BC =12,则梯形 ABCD 的周长为 ▲ .DCBA答案303．2010湖南长沙等腰梯形的上底是4cm,下底是10cm,一个底角是60,则等腰梯形的腰长是 cm ．60°4cm 6cm AB CDE 4cm答案64．2010江苏无锡如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC ,EF 是梯形的中位线,对角线AC 交EF 于G ,若BC =10cm,EF =8cm,则GF 的长等于 ▲ cm ．答案35．2010 黄冈如图,在等腰梯形ABCD 中,AC ⊥BD,AC ＝6cm,则等腰梯形ABCD 的面积为_____cm 2.答案18 6．2010湖北武汉如图,在直角梯形ABCD 中,A D ∥BC,∠ABC=90°,BD ⊥DC,BD=DC,CE 平分∠BCD,交AB 于点E,交BD 于点H,EN ∥DC 交BD 于点N,下列结论：①BH=DH ；②CH=)21EH ；③EBH ENH S EHS EC∆∆=.其中正确的是 GF E D CBA 第17题A 、①②③B 、只有②③C 、只有②D 、只有③答案 B7．2010湖南怀化如图5,在直角梯形ABCD 中,AB ∥CD,AD ⊥CD,AB=1cm, AD=6cm,CD=9cm,则BC= cm ．答案108．2010江苏扬州如图,在直角梯形ABCD 中,∠ABC ＝90°,AD ∥BC ,AD ＝4,AB ＝5,BC ＝6,点P 是AB 上一个动点,当PC＋PD 的和最小时,PB 的长为__________．答案39．2010湖北随州如图,在等腰梯形ABCD 中,AC ⊥BD,AC ＝6cm,则等腰梯形ABCD 的面积为_____cm 2.答案1810．2010云南昆明如图,在△ABC 中,点D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点,若△ABC 的周长为10 cm ,则△DEF 的周长是 cm ．答案511．2010陕西西安如图,在梯形ABCD 中,DC ∥AB,∠A ＋∠B=90°;若AB=10,AD=4,DC=5,则梯形ABCD 的面积为 ;ABC DEF第11题图A BC D第18题 P答案18 12．2010湖北十堰如图,n +1个上底、两腰长皆为1,下底长为2的等腰梯形的下底均在同一直线上,设四边形P 1M 1N 1N 2面积为S 1,四边形P 2M 2N 2N 3的面积为S 2,……,四边形P n M n N n N n+1的面积记为S n ,通过逐一计算S 1,S 2,…,可得S n = .13．2010广东清远如图3,DE 是△ABC 的中位线,若△ADE 的周长是18, 则△ABC 的周长是 .答案3614．2010四川攀枝花如图6,在梯形ABCD 中,A B ∥DC,DB ⊥AD,AD=DC=BC=2cm, 那么梯形ABCD 的面积是 ．答案33cm231321n -+15．2010 重庆江津已知：在面积为7的梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AD ＝３,BC ＝4,P 为边AD 上不与A 、D 重合的一动点,Q 是边 BC 上的任意一点,连结AQ 、DQ ,过P 作PE ∥DQ 交 AQ 于E ,作PF ∥AQ 交DQ 于F ．则△PEF 面积的最大 值是_______________．图6DCB A第16题AN 1N 2N 3N 4N 5M 1M 2M 3M 4…答案3416．2010四川攀枝花如图1,在平行四边形ABCD 中,E 是BC 的中点,且∠AEC=∠DCE, 下列结论不正确的是 A ．Ｓ△AFD =2Ｓ△EFB B ．BF=21DF C ．四边形AECD 是等腰梯形 D ．∠AEB=∠ADC答案A17．2010湖北黄石如图,直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠ADC ＝∠BAC ＝90°,AB ＝2,CD ＝3,则AD 的长为 A.323D. 32答案C 三、解答题 1．2010安徽芜湖本小题满分8分如图,直角梯形ABCD 中,∠ADC ＝90°,AD ∥BC ,点E 在BC 上,点F 在AC 上,∠DFC ＝∠AEB ．1求证：△ADF ∽△CAE ；2当AD ＝8,DC ＝6,点E 、F 分别是BC 、AC 的中点时,求直角梯形ABCD 的面积 1证明：BA图1CEDF答案2．2010广东广州,18,9分如图5,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC．求证：∠A＋∠C＝180°DAB C答案证明：∵梯形ABCD是等腰梯形,∴∠B＝∠C又∵AD∥BC,∴∠A＋∠B＝180°∴∠A＋∠C＝180°3．2010江苏南京7分如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相较于点O,△ABC≌△BAD;求证：1OA=OB；2AB∥CD.答案4．2010江苏盐城本题满分8分如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=AD,BD⊥CD．1求sin∠DBC的值；2若BC 长度为4cm,求梯形ABCD 的面积．答案解：1∵AD =AB ∴∠ADB =∠ABD∵AD ∥CB ∴∠DBC = ∠ADB =∠ABD ……………1分 ∵在梯形ABCD 中,AB =CD ,∴∠ABD +∠DBC =∠C =2∠DBC ∵BD ⊥CD ∴3∠DBC =90o ∴∠DBC =30o ……3分∴sin ∠DBC =错误! ……………………4分2过D 作DF ⊥BC 于F …………………………5分在Rt △CDB 中,BD =BC ×c os ∠DBC =2错误!cm …………………6分 在Rt △BDF 中,DF =BD ×sin ∠DBC =错误!cm …………………7分 ∴S 梯=错误!2+4·错误!=3错误!cm 2………………………………………8分 其它解法仿此得分5．2010江苏盐城本题满分12分如图1所示,在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB ⊥BC ,∠DCB =75o,以CD 为一边的等边△DCE 的另一顶点E 在腰AB 上． 1求∠AED 的度数； 2求证：AB =BC ；3如图2所示,若F 为线段CD 上一点,∠FBC =30o ． 求 错误!的值．答案B A CD F第22题图B ACD6．2010 重庆已知：如图,在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,90ABC ∠=︒．点E 是DC 的中点,过点E 作DC 的垂线交AB 于点P ,交CB 的延长线于点M ．点F 在线段ME 上,且满足AD CF =,MF MA =． 1若120=∠MFC ,求证：MB AM 2=； 2求证：FCM MPB ∠-=∠2190 ．答案证明：1连结MD ． ························································································ 1分∵点E 是DC 的中点,ME DC ⊥,∴MD MC =． ············································· 2分 又∵AD CF =,MF MA =,∴AMD ∆≌FMC ∆． ············································· 3分 ∴MAD MFC ∠=∠120=︒． ······································································ 4分 ∵AD ∥BC ,90ABC ∠=︒．∴90BAD ∠=︒,∴30MAB ∠=︒． ································································· 5分 在Rt AMB ∆中,30MAB ∠=︒,∴12BM AM =,即2AM BM =． ································································· 6分 2∵AMD ∆≌FMC ∆,∴ADM FCM ∠=∠．∵AD ∥BC ,∴ADM CMD ∠=∠． ∴CMD FCM ∠=∠． ············································································· 7分∵MD MC =,ME DC ⊥,∴DME CME ∠=∠12CMD =∠． ······························ 8分∴12CME FCM ∠=∠． ··········································································· 9分在Rt MBP ∆中,190902MPB CME FCM ∠=︒-∠=︒-∠． 10分7．2010 四川南充如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC ,点M 是BC 的中点,且MA ＝MD ． 求证：四边形ABCD 是等腰梯形．答案证明：∵ MA ＝MD ,∴ △MAD 是等腰三角形,∴ ∠DAM ＝∠ADM ． ∵ AD ∥BC ,∴ ∠AMB ＝∠DAM ,∠DMC ＝∠ADM ．∴ ∠AMB ＝∠DMC ． 又∵ 点M 是BC 的中点,∴ BM ＝CM ． 在△AMB 和△DMC 中,,,,AM DM AMB DMC BM CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △AMB ≌△DMC ．24题图MPFEDCBA∴ AB ＝DC ,四边形ABCD 是等腰梯形．8．2010年上海已知梯形ABCD 中,AD1在图7中,用尺规作∠BAD 的平分线AE 保留作图痕迹,不写作法,并证明四边形ABED 是菱形；2∠ABC ＝60°,EC=2BE,求证：ED ⊥DC .答案证明：1如图∵AB=AD,AE 为∠BAD 的平分线,∴BG=DG ,∵AD2∵四边形ABED 是菱形, ∠ABC ＝60°,∴∠DBE=∠BDE=30°,∠BGE=90°,设GE=a ,∴,BE=2a ,CE=4a ,BC=6a ,∴BD BE BC BD ==∵∠DBE 为公共角, ∴ΔBDE ∽ΔBCD, ∴∠BDE=∠C,∴∠C=30°,∵DE ∥AB,∴∠DEC=∠ABC=60°,∴∠CDE=90°,∴ ED ⊥DC .9．2010重庆綦江县如图,直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠A ＝90°,AB ＝AD ＝6,DE ⊥DC 交AB 于E ,DF 平分∠EDC 交BC 于F ,连结EF ． 1证明：EF ＝CF ；2当tan ∠ADE ＝13时,求EF 的长．FEDCBA答案解：1如图,过D 作DG ⊥BC 于G ,连结EF 由已知可得四边形ABGD 为正方形 ∵DE ⊥DC∴∠ADE ＋∠EDG ＝90°＝∠GDC ＋∠EDG ∴∠ADE ＝∠GDC又∵∠A ＝∠DGC 且AD ＝GD ∴△ADE ≌△GDC ∴DE ＝DC 且AE ＝GC 在△EDF 和△CDF 中∠EDF ＝∠CDF ,DE ＝DC ,DF 为公共边 ∴△EDF ≌△CDF SAS ∴EF ＝CFGF EDCBA图7 GE D C BAABECD图 1ABCD图22∵ta n ∠ADE ＝13AE AD = ∴AE ＝GC ＝2 设EF ＝x ,则BF ＝8－CF ＝8－x ,BE ＝4 由勾股定理x 2＝28x （－）＋42解得：x ＝5,∴EF ＝5．10．2010 江苏连云港本题满分10分如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分,我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．如,平行四边形的一条对线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线． 1三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有________；2如图1,梯形ABCD 中,AB ∥DC ,如果延长DC 到E ,使CE ＝AB ,连接AE ,那么有S 梯形ABCD ＝S △ABE ．请你给出这个结论成立的理由,并过点A 作出梯形ABCD 的面积等分线不写作法,保留作图痕迹；3如图,四边形ABCD 中,AB 与CD 不平行,S △ADC ＞S △ABC ,过点A 能否作出四边形ABCD 的面积等分线若能,请画出面积等分线,并给出证明；若不能,说明理由．答案11．2010 河北如图16,在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,90B ∠=︒,AD =6,BC =8,33=AB ,点M 是BC 的中点．点P 从点M 出发沿MB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动,到达点B 后立刻以原速度沿BM 返回；点Q 从点M 出发以每秒1个单位长的速度在射线MC 上匀速运动．在点P ,Q 的运动过程中,以PQ 为边作等边三角形EPQ ,使它与梯形ABCD 在射线BC 的同侧．点P ,Q 同时出发,当点P 返回到点M 时停止运动,点Q 也随之停止．设点P ,Q 运动的时间是t 秒t ＞0．1设PQ 的长为y ,在点P 从点M 向点B 运动的过程中,写出y 与t 之间的函数关系式不必写t 的取值范围． 2当BP =1时,求△EPQ 与梯形ABCD 重叠部分的面积．3随着时间t 的变化,线段AD 会有一部分被△EPQ 覆盖,被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值,请回答：该最大值能否持续一个时段若能,直接．．写出t 的取值范围；若不能,请说明理由．答案解：1y =2t ；2当BP =1时,有两种情形：①如图6,若点P 从点M 向点B 运动,有 MB =BC 21= 4,MP =MQ =3,∴PQ =6．连接EM ,∵△EPQ 是等边三角形,∴EM ⊥PQ ．∴33=EM． ∵AB =33,∴点E 在AD 上．∴△EPQ 与梯形ABCD 重叠部分就是△EPQ ,其面积为39．②若点P 从点B 向点M 运动,由题意得 5=t ．PQ =BM +M Q -BP =8,PC =7．设PE 与AD 交于点F ,Q E 与AD 或AD 的延长线交于点G ,过点P 作PH ⊥AD 于点H ,则 HP =33,AH =1．在Rt △HPF 中,∠HPF =30°, ∴HF =3,PF =6．∴FG =FE =2．又∵FD =2,∴点G 与点D 重合,如图7．此时△EPQ 与梯形ABCDP Q 图16备用图图7图6的重叠部分就是梯形FPCG ,其面积为3227．3能．4≤t ≤5．12．2010浙江湖州如图,已知在梯形ABCD 中,DC ∥AB ,AD ＝BC ,BD 平分∠ABC ,∠A ＝60°,1求∠ABD 的度数；2若AD ＝2,求对角线B D 的长．答案1∵DC ∥AB ,AD ＝BC ,∴梯形ABCD 是等腰梯形,∴∠ABC ＝∠A ＝60°,又∵BD 平分∠ABC ,∴∠ABD ＝∠CBD ＝12∠ABC ＝30°． 2∵∠A ＝60°,∠ABD ＝30°,∴∠ADB ＝90°,∴AB ＝2AD ＝4,∴对角线BD ＝224223-= 13．2010 山东滨州如图,四边形ABCD 中,E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点. 1请判断四边形EFGH 的形状并说明为什么.2若使四边形EFGH 为正方形,那么四边形ABCD 的对角线应具有怎样的性质答案解：1 四边形EFGH 为平行四边形.....................................1分连接AC .............................................. ..............2分∵E 、F 分别是AB 、BC 的中点,EF ∥AC,EF=21AC. 同理HG ∥AC,HG=21AC. ∴EF ∥HG, EF=HG.∴四边形EFGH 是平行四边形. .................... ..............4分2 四边形ABCD 的对角线垂直且相等.14．2010广东中山已知两个全等的直角三角形纸片ABC 、DEF,如图1放置,点B 、D 重合,点F 在BC 上,AB 与EF 交于点G,∠C=∠EFB=090,∠E=∠ABC=030,AB=DE=4．1求证：ΔEGB 是等腰三角形；2若纸片DEF 不动,问ΔABC 绕点F 逆时针旋转最小 度时,四边形ACDE 成为以ED 为底的梯形如图2．求此梯形的高．答案1证明：在Rt ΔEFB 中,∠E=030 ∴∠EBF=060 又∵∠ABC=030 ∴∠EBG=∠E=030 ∴EG=BG∴ΔEGB 是等腰三角形 2解：答案填30,设CB 交DE 于点M,当∠BFD=030时,∠FMD=090 所以,AC ∥DE,即四边形ACDE 成为以ED 为底的梯形在Rt ΔABC 和Rt ΔDEF 中,∠E=∠ABC=030,AB=DE=4, ∴BC=32,DF=2 ∴CF=32-2在Rt ΔFDM 中,求得FM=3 ∴CM=32-2+3=33-2 故梯形的高为33-2．15．2010湖北荆州如图,直角梯形OABC 的直角顶点O 是坐标原点,边OA,OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上,OA ∥BC,D 是BC 上一点,BD=41OA=2,AB=3,∠OAB=45°,E 、F 分别是线段OA 、AB 上的两动点,且始终保持∠DEF=45°． 1直接写出．．．．D 点的坐标；2设OE=x,AF=y,试确定y 与x 之间的函数关系；3当△AEF 是等腰三角形时,将△AEF 沿EF 折叠,得到△EF A ',求△EF A '与五边形OEFBC 重叠部分的面积．答案解：1D 点的坐标是)223,223(. 2连结OD,如图1,由结论1知：D 在∠COA 的平分线上,则∠DOE=∠COD=45°,又在梯形DOAB 中,∠BAO=45°,∴OD=AB=3 由三角形外角定理得：∠1=∠DEA-45°,又∠2=∠DEA-45° ∴∠1=∠2, ∴△ODE ∽△AEF ∴AEODAF OE =,即：x y x -=243∴y 与x 的解析式为：x x y 324312+-=3当△AEF 为等腰三角形时,存在EF=AF 或EF=AE 或AF=AE 共3种情况.① 当EF=AF 时,如图2.∠FAE=∠FEA=∠DEF=45°,∴△AEF 为等腰直角三角形.D 在A ’E 上A ’E ⊥OA, B 在A ’F 上A ’F ⊥EF∴△A ’EF 与五边形OEFBC 重叠的面积为 四边形EFBD 的面积.∵22522324=-=-=-=CD OA OE OA AE∴252222545sin 0=⨯=⋅=AE AF 825)25(21AF EF 21S 2AEF =⨯=⋅=∆ ∴421223)2252(21DE AE)(BD 21AEDB =⨯+⨯=⋅+=梯形S ∴817825-421S -S S AEF AEDB BDEF ===∆梯形四边形也可用BD A'EF A'S -S S ∆∆=阴影②当EF=AE 时,如图3,此时△A ’EF 与五边形OEFBC 重叠部分面积为△A ’EF 面积.∠DEF=∠EFA=45°, DE ∥AB , 又DB ∥EA ∴四边形DEAB 是平行四边形 ∴AE=DB=2 ∴EF AE 21S S AEF EFA'⋅==∆∆ 1)2(21S 2EF A /=⨯=∆ ③当AF=AE 时,如图4,四边形AEA ’F 为菱形且△A ’EF 在五边形OEFBC 内. ∴此时△A ’EF 与五边形OEFBC 重叠部分面积为△A ’EF 面积.由2知△ODE ∽△AEF,则OD=OE=3 ∴AE=AF=OA-OE=324- 过F 作FH ⊥AE 于H,则()22342232445sin -=⨯-=︒•=AF FH ∴()448-241223-43-2421FH AE 21S S AEF EF A'=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛•⨯=•==∆∆综上所述,△A ’EF 与五边形OEFBC 重叠部分的面积为817或1或448-24116．2010湖北省咸宁如图,直角梯形ABCD 中,AB ∥DC ,90DAB ∠=︒,24AD DC ==,6AB =．动点M 以每秒1个单位长的速度,从点A 沿线段AB 向点B 运动；同时点P 以相同的速度,从点C 沿折线C -D -A 向点A 运动．当点M 到达点B 时,两点同时停止运动．过点M 作直线l ∥AD ,与线段CD 的交点为E ,与折线A -C -B 的交点为Q ．点M 运动的时间为t 秒．1当0.5t =时,求线段QM 的长；2当0＜t ＜2时,如果以C 、P 、Q 为顶点的三角形为直角三角形,求t 的值；3当t ＞2时,连接PQ 交线段AC 于点R ．请探究CQRQ是否为定值,若是,试求这个定值；若不是,请说明理由．答案解：1过点C 作CF AB ⊥于F ,则四边形AFCD 为矩形．∴4CF =,2AF =．此时,Rt △AQM ∽Rt △ACF ．……2分∴QM CFAM AF =． 即40.52QM =,∴1QM =． 2∵DCA ∠为锐角,故有两种情况：①当90CPQ ∠=︒时,点P 与点E 重合．此时DE CP CD +=,即2t t +=,∴1t =． ②当90PQC ∠=︒时,如备用图1,此时Rt △PEQ ∽Rt △QMA ,∴EQ MAPE QM=． 由1知,42EQ EM QM t =-=-,而()(2)22PE PC CE PC DC DE t t t =-=--=--=-, ∴421222t t -=-． ∴53t =． 综上所述,1t =或53．3CQ RQ为定值． 当t ＞2时,如备用图2,4(2)6PA DA DP t t =-=--=-．由1得,4BF AB AF =-=． ∴CF BF =． ∴45CBF ∠=︒． ∴6QM MB t ==-． ∴QM PA =． ∴四边形AMQP 为矩形． ∴PQ ∥AB ． ∴△CRQ ∽△CAB ．∴63CQ BC RQ AB === 17．2010北京已知：如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB ＝DC ＝AD ＝2,BC ＝4．求∠B 的度数及AC 的长．ABCD备用图1ABCD备用图2Q ABCDl MP 第24题E ABCD 备用图1QP E lMABC D 备用图2M QRFPQ ABCDl M P 第24题E F答案解法一：分别作AF⊥BC,DG⊥BC,F、G是垂足．∴∠AFB＝∠DGC＝90°．∵AD∥BC,∴四边形AFGD是矩形．∴AF＝DG．∵AB＝DC,∴Rt△AFB≌Rt△DGC．∴BF＝CG．∵AD＝2,BC＝4,∴BF＝1．在Rt△AFB中,∵cos B＝BFAB＝12,∴∠B＝60°．∵BF＝1．∴AF＝3．由勾股定理,得AC＝23．∴∠B＝60°,AC＝23．解法二：过A点作AE∥DC交BC于点E．∵AD∥BC,∴四边形AECD是平行四边形．∴AD＝EC,AE＝DC．∵AB＝DC＝AD＝2,BC＝4,∴AE＝BE＝EC＝AB．可证△BAC是直角三角形,△ABE是等边三角形．∴∠BAC＝90°,∠B＝60°．在Rt△ABC 中,AC ＝AB ·tan60°＝23． ∴∠B ＝60°,AC ＝＝23．18．2010北京问题:已知△ABC 中,∠BAC =2∠ACB ,点D 是△ABC 内的一点,且AD =CD ,BD =BA ,探究∠DBC 与∠ABC 度数的比值．请你完成下列探究过程：先将图形特殊化,得出猜想,再对一般情况进行分析并加以证明． 1当∠BAC =90°时,依问题中的条件补全右图． 观察图形,AB 与AC 的数量关系为 ；当推出∠DAC =15°时,可进一步推出∠DBC 的度数为 ； 可得到∠DBC 与∠ABC 度数的比值为 ．2当∠BAC ≠90°时,请你画出图形,研究∠DBC 与∠ABC 度数的比值是否与1中的结论相同,写出你的猜想并加以证明．答案解：1相等；15°；1:3．2猜想：∠DBC 与∠ABC 度数的比值与1中的结论相同．证明：如图2,作∠KCA =∠BAC ,过B 点作BK ∥AC ,交CK 于点K ,连结DK . ∵∠BAC ≠90°∴四边形ABKC 是等腰梯形． ∴CK =AB , ∵DC =DA , ∴∠DCA =∠DAC ． ∵∠KCA =∠BAC , ∴∠KCD =∠3． ∵△KCD ≌△BAD ． ∴∠2=∠4,KD =BD , ∵BK ∥AC , ∴∠ACB =∠6． ∵∠KCA =2∠ACB , ∴∠5=∠ACB , ∴∠5=∠6． ∴KC =KB , ∴KD =BD =KB ． ∴∠KBD =60°．CBA∵∠ACB =∠6=60°－∠1, ∴ ∠BAC =2∠ACB =120°－2∠1．∵∠1 +60°－∠1 +120°－2∠1+ ∠2=180° ∴∠2=2∠1．∴∠DBC 与∠ABC 度数的比值为1：3．19．2010河南如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC,E 是BC 的中点,AD=5,BC=12,CD=42,∠C=045,点P 是BC 边上一动点,设PB 长为x.1当x 的值为 时,以点P 、A 、D 、E 为顶点的四边形为直角梯形. 2当x 的值为 时,以点P 、A 、D 、E 为顶点的四边形为平行网边形.3点P 在BC 边上运动的过程中,以点P 、A 、D 、E 为顶点的四边形能否构成菱形试说明理由.答案13或8； 21或11；3由2知,当BP = 11时,以点P 、A 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形. ∴EP = AD = 5.过D 作DF ⊥BC 于F ,则DF = FC = 4 ,∴ FP = 3. ∴ DP 2222345FP DF +=+=.∴ EP = DP ,故此时平行四边形PDAE 是菱形. 即以点P 、A 、D 、E 为顶点的四边形能构成菱形.20．2010四川乐山在△ABC 中,D 为BC 的中点,O 为AD 的中点,直线l 过点O .过A 、B 、C 三点分别做直线l 的垂线,垂足分别是G 、E 、F ,设AG =h 1,BE =h 2,CF =h 3.1如图,当直线l ⊥AD 时此时点G 与点O 重合.求证：h 2+h 3= 2h 1； 2将直线l 绕点O 旋转,使得l 与AD 不垂直.①如图,当点B 、C 在直线l 的同侧时,猜想1中的结论是否成立,请说明你的理由；②如图,当点B 、C 在直线l 的异侧时,猜想h 1、h 2、h 3满足什么关系.只需写出关系,不要求说明理由答案25.1证明：∵BE ⊥l ,GF ⊥l ,∴四边形BCFE 是梯形. 又∵GD ⊥l ,D 是BC 的中点, ∴DG 是梯形的中位线, ∴BE +CF =2DG .h 2h 1 E F GO C ABDh 3 lh 3 h 1 h 2 E FlCABDOGO h 2h 1 h 3 F E G lCABD图图 图又O 为AD 的中点,∴AG =DG , ∴BE +CF =2AG . 即h 2+h 3= 2h 1. 2成立.证明：过点D 作DH ⊥l ,垂足为H ,∴∠AGO =∠DHO =Rt ∠,∠AOG =∠DOH ,OA =OD , ∴△AGO ≌△DHO , ∴DH =AG .又∵D 为BC 的中点,由梯形的中位线性质, 得2 DH =BE +CF ,即2 AG =BE +CF , ∴h 2+h 3= 2h 1成立.3h 1、h 2、h 3满足关系：h 2－h 3= 2h 1. 说明：3问中,只要是正确的等价关系都得分 21．2010黑龙江哈尔滨如图,在平面直角坐标系中,点O 是坐标原点,四边形AOCB 是梯形,AB ∥OC,点A 的坐标为0,8,点C 的坐标为10,0,OB ＝OC ． 1求点B 的坐标；2点P 从C 点出发,沿线段CO 以5个单位/秒的速度向终点O 匀速运动,过点P 作PH ⊥OB,垂足为H,设△HBP 的面积为SS ≠0,点P 的运动时间为t 秒,求S 与t 之间的函数关系式直接写出自变量t 的取值范围；3在2的条件下,过点P 作PM ∥CB 交线段AB 于点M,过点M 作MR ⊥OC,垂足为R,线段MR 分别交直线PH 、OB 于点E 、G,点F 为线段PM 的中点,连接EF,当t 为何值时,25EG EF =答案解：1如图1,过点B 作BN ⊥OC,垂中为N由题意知OB=OC=10,BN=OA=8622=-=∴BN OB ON …………1分 ∴B6,82如图1,︒=∠=∠∠=∠90OHP ONB POHBONBOH ∆∴∽PHBNOH ON PO BO POH ==∴∆ t PH t OH t OP t PC 48,36,510,5-=-=∴-=∴=∴ 43)36(10+=--=-=∴t t OH OB BH)20(1646)48)(43(212<≤++-=-+=∴t t t t t S3①当点G 在点E 上方时,如图2,过点B 作OC BN ⊥',垂足为'N54'',4',8'22=+=∴==CN BN CB CN BNPM BC PC BM //,// ∴四边形BMPC 是平行四边形54==∴BC PM OBC OCB OB OC t PC BM ∠=∠∴===,5∵PM ∥CB ∴∠OPD=∠OCB ∠ODP=∠OBC∴∠OPD=∠ODP ∵∠OPD+∠RMP=90° ∠ODP+∠DPH=90° ∴∠RMP=∠DPH ∴EM=EF ∵点F 为PM 的中点 ∴EF ⊥PM∵∠EMF=∠PMR ∠EFM=∠PRM=90° ∴△MEF ∽△MPR分分其中13252255514852222=-=-=∴=∴===∴=-======∴EG EM MG EG EG EF EF ME MR PM PR MR PMMF PREFMR MF MP ME∵AB49=∴'='∴BM O N MB B N MG 209495=∴=∴t t 20214215=∴==∴t t BM .25,2021209==∴EG EF t 时或当答案23．2010云南昆明已知：如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC,∠DCB = 90°,E 是AD 的中点,点P 是BC 边上的动点不与点B 重合,EP 与BD 相交于点O.1当P 点在BC 边上运动时,求证：△BOP ∽△DOE ； 2设1中的相似比为k ,若AD ︰BC = 2︰3. 请探究：当k 为下列三种情况时,四边形ABPE 是什么四边形①当k = 1时,是 ；②当k = 2时,是 ；③当k = 3时,是 . 并证明．．．k = 2时的结论.答案1证明：∵AD ∥BC∴∠OBP = ∠ODE 在△BOP 和△DOE 中 ∠OBP = ∠ODE∠BOP = ∠DOE ∴△BOP ∽△DOE 有两个角对应相等的两三角形相似2① 平行四边形② 直角梯形③ 等腰梯形证明：∵k = 2时,BP2DE∴ BP = 2DE = AD又∵AD ︰BC = 2︰3 BC = 32AD PC = BC - BP =32AD - AD =12AD = ED ED ∥PC , ∴四边形PCDE 是平行四边形 ∵∠DCB = 90°∴四边形PCDE 是矩形 ∴ ∠EPB = 90° 又∵ 在直角梯形ABCD 中 AD ∥BC, AB 与DC 不平行 ∴ AE ∥BP, AB 与EP 不平行四边形ABPE 是直角梯形ABC DE PO24．2010广东东莞已知两个全等的直角三角形纸片ABC 、DEF ,如图⑴放置,点B 、D 重合,点F 在BC 上,AB 与EF交于点G ．∠C ＝∠EFB ＝90°,∠E ＝∠ABC ＝30°,AB ＝DE ＝4． ⑴求证：△EGB 是等腰三角形；⑵若纸片DEF 不动,问△ABC 绕点F 逆时针旋转最小 度时,四边形ACDE 成为以ED 为底的梯形如图⑵．求此梯形的高图（2）AB DFGECEGF （D ）CBA图（1）答案⑴∵∠EFB ＝90°,∠ABC ＝30°∴∠EBG ＝30° ∵∠E ＝30° ∴∠E ＝∠EBG ∴EG ＝BG∴△EGB 是等腰三角形⑵在Rt △ABC 中,∠C ＝90°,∠ABC ＝30°,AB ＝4∴BC ＝32；在Rt △DEF 中,∠EFD ＝90°,∠E ＝30°,DE ＝4 ∴DF ＝2∴CF ＝232-．∵四边形ACDE 成为以ED 为底的梯形 ∴ED ∥AC ∵∠ACB ＝90° ∴ED ⊥CB∵∠EFB ＝90°,∠E ＝30° ∴∠EBF ＝60° ∵DE ＝4∴DF ＝2 ∴F 到ED 的距离为3∴梯形的高为2333232-=+- 25．2010江苏 镇江探索发现本小题满分9分如图,在直角坐标系OCD Rt OAB Rt xOy ∆∆和中,的直角顶点A,C 始终在x 轴的正半轴上,B,D 在第一象限内,点B 在直线OD 上方,OC=CD,OD=2,M 为OD 的中点,AB 与OD 相交于E,当点B 位置变化时,.21的面积恒为OAB Rt ∆试解决下列问题：1填空：点D 坐标为 ；2设点B 横坐标为t,请把BD 长表示成关于t 的函数关系式,并化简；3等式BO=BD 能否成立为什么4设CM 与AB 相交于F,当△BDE 为直角三角形时,判断四边形BDCF 的形状,并证明你的结论.答案1)2,2(；1分2),1,(,21tt B OAB Rt 得的面积为由∆,)(222CD AB AC BD -+=4)1(221)21()2(22222++-+=-+==∴t t tt t t BD ① 2分.)21(2)1(22)1(22-+=++-+=tt t t t t 3分.21|21|-+=-+=∴tt t t BD ② 4分注：不去绝对值符号不扣分3法一若OB=BD,则.22BD OB =,1,22222tt AB OA OB OAB Rt +=+=∆中在 由①得,4)1(2212222++-1+=+t t t t t t 5分)6(..,024)2(,012,2122分此方程无解得BD OB t t tt ≠∴∴<-=-=∆=+-∴=+法二若OB=BD,则B 点在OD 的中垂线CM 上.),22,22(,),0,2(M OCM Rt C 可求得中在等腰∆ ∴直线CM 的函数关系式为2+-=x y , ③ 5分,1,21xy B OAB Rt =∆点坐标满足函数关系式得的面积为由 ④联立③,④得：0122=+-x x ,)6(..,024)2(2分此方程无解BD OB ≠∴∴<-=-=∆法三若OB=BD,则B 点在OD 的中垂线CM 上,如图27 – 1 过点B 作,,H y CM G y BG 轴于交轴于⊥)6(..)5(,2121222121,210分矛盾显然与分而BD OB S S S S S S S BG HNO DOC MOC OMH OAB OBG ≠∴>=⨯⨯⨯=====∆∆∆∆∆∆∆4如果45,=∠∆BED BDE 因为为直角三角形,①当三点重合此时时M E F EBD ,,,90=∠,如图27 – 2.//,,DC BF x DC x BF ∴⊥⊥轴轴∴此时四边形BDCF 为直角梯形.7分 ②当,90时=∠EBD 如图27 – 3.//,,.//,DC BF x DC x AB CF BD OD CF ∴⊥⊥∴⊥轴轴又∴此时四边形BDCF 为平行四边形.8分 下证平行四边形BDCF 为菱形：法一在222,BD OD OB BDO +=∆中,,221,4)1(221412222=+∴++-++=+∴t t t t tt t t 方法①OD BD t t 在 ,01222=+-上方121,12;21,12-=+=+=-=tt t t 或解得舍去.得),12,12(+-B方法②由②得：.222221=-=-+=tt BD此时,2==CD BD∴此时四边形BDCF 为菱形9分 法二在等腰EDB Rt OAE Rt ∆∆与等腰中)9(.,2].[.221,122,22)22(2.22,2,分为菱形此时四边形此时法一以下同即则BDCF CD BD tt t t t t t BE AE AB T BD ED t OE t AE OA ∴===+=-∴-=-+=+=∴-=====26．2010 广东汕头已知两个全等的直角三角形纸片ABC 、DEF ,如图1放置,点B 、D 重合,点F 在BC 上,AB 与EF 交于点G ．∠C ＝∠EFB ＝90o,∠E ＝∠ABC ＝30o,AB ＝DE ＝4． 1求证：△EGB 是等腰三角形；2若纸片DEF 不动,问△ABC 绕点F 逆时针旋转最小_____度时,四边形ACDE 成为以ED 为底的梯形如图2．求此梯形的高．答案1证明：∵∠C ＝∠EFB ＝90o,∠E ＝∠ABC ＝30o,∴∠EDF ＝60o,∠GBE ＝∠E ＝30o, ∴GB ＝GE∴△EGB 是等腰三角形．第20题图1 A B C E F F BD G G A E D 第20题图22解：在Rt △BEF 中,由∠E ＝30o 得BF ＝21BE ＝2,EF ＝BC ＝4,BC ＝32 ∴CF ＝232-∵四边形ACDE 是以ED 为底的梯形 ∴AC ∥DE ∵AC ⊥BC∴DE ⊥BC∴∠DFB ＝90o －∠EDF ＝30o ∴旋转的最小角是30o设图2中CB 交DE 于点M ,则FM ＝3∴CM ＝CF ＋FM ＝232-＋3＝233-,即此梯形的高为233-．27．2010 四川泸州在△ABC 中,D 、E 分别是AB 、AC 的中点,DE=4,则BC= ． 答案828．2010 湖南湘潭如图,在直角梯形ABCD 中,AB ∥DC ,∠D =90o ,AC ⊥BC ,AB =10cm,BC =6cm,F 点以2cm ／秒的速度在线段AB 上由A 向B 匀速运动,E 点同时以1cm ／秒的速度在线段BC 上由B 向C 匀速运动,设运动时间为t 秒0<t<5． 1求证：△ACD ∽△BAC ； 2求DC 的长；3设四边形AFEC 的面积为y ,求y 关于t 的函数关系式,并求出y 的最小值．B答案 解：1∵CD ∥AB ,∴∠ BAC =∠DCA ……………………1分又AC ⊥BC , ∠ACB =90o∴∠D =∠ACB = 90o……………………2分 ∴△ACD ∽△BAC ……………………3分 2822=-=∆BC AB ，AC ABC Rt 中 ……………………4分∵△ACD ∽△BAC ∴ABAC ACDC = ……………………5分 即1088=DC 解得：4.6=DC ……………………6分（3） 过点E 作AB 的垂线,垂足为G ,O ACB EGB 90,B ∠=∠=∠公共∴△ACB ∽△EGB ……………………7分∴ EG BE AC AB= 即108t EG = 故t EG 54= …………………8分BEF ABC S S y ∆∆-==()24454542102186212+-=⋅--⨯⨯t t t t ……………………9分 25题图=19)25(542+-t 故当t=５２时,y 的最小值为19 ………………10分29．2010 广西玉林、防城港等腰梯形ABCD 中,DC ∥AB,对角线AC 与BD 交于点O ,AD ＝DC,AC ＝BD ＝AB ; 1若∠ABD ＝α,求α的度数； 2求证：OB 2＝ OD ⋅BD答案1∵DC ∥AB ∴∠BDC ＝∠ABD 又ABCD 是等腰梯形∴∠BDC ＝∠DB C ∴∠BDC ＝∠ABD ＝∠DB C 又AC ＝BD ＝AB ∴∠ABC ＝∠ACB ＝2α又AD ＝BC,AB ＝AB AC ＝BD ∴△ABD ≌△BAC ∠BAC ＝∠ABD 在三角形ABC 中有：α＋2α＋2α＝180°,解得：α＝36° 2∵∠COB ＝2α＝＝∠BCO ∴OB ＝BC ＝CD在△COD 和△BCD 中,∠BDC ＝∠BDC ∠DCA ＝∠CAB ＝∠DBC ＝α∴△COD ∽△BCD ∴CD BDOD CD= 又OB ＝BC ＝CD ∴OB 2＝ OD ⋅BD30．2010 湖北咸宁如图,直角梯形ABCD 中,AB ∥DC ,90DAB ∠=︒,24AD DC ==,6AB =．动点M 以每秒1个单位长的速度,从点A 沿线段AB 向点B 运动；同时点P 以相同的速度,从点C 沿折线C -D -A 向点A 运动．当点M 到达点B 时,两点同时停止运动．过点M 作直线l ∥AD ,与线段CD 的交点为E ,与折线A -C -B 的交点为Q ．点M 运动的时间为t 秒．1当0.5t =时,求线段QM 的长；2当0＜t ＜2时,如果以C 、P 、Q 为顶点的三角形为直角三角形,求t 的值；3当t ＞2时,连接PQ 交线段AC 于点R ．请探究CQRQ是否为定值,若是,试求这个定值；若不是,请说明理由．答案解：1过点C 作CF AB ⊥于F ,则四边形AFCD 为矩形．∴4CF =,2AF =．此时,Rt △AQM ∽Rt △ACF ．……2分∴QM CFAM AF =． 即40.52QM =,∴1QM =．……3分 2∵DCA ∠为锐角,故有两种情况：①当90CPQ ∠=︒时,点P 与点E 重合．此时DE CP CD +=,即2t t +=,∴1t =．……5分 ②当90PQC ∠=︒时,如备用图1,ABCD备用图1ABCD备用图2Q ABCDl MP 第24题E CD QP E lQ ABCDl M P 第24题E F此时Rt △PEQ ∽Rt △QMA ,∴EQ MAPE QM=． 由1知,42EQ EM QM t =-=-,而()(2)22PE PC CE PC DC DE t t t =-=--=--=-, ∴421222t t -=-． ∴53t =． 综上所述,1t =或53．……8分说明：未综述,不扣分3CQ RQ为定值．……9分 当t ＞2时,如备用图2,4(2)6PA DA DP t t =-=--=-．由1得,4BF AB AF =-=． ∴CF BF =． ∴45CBF ∠=︒． ∴6QM MB t ==-． ∴QM PA =．∴四边形AMQP 为矩形． ∴PQ ∥AB ．……11分 ∴△CRQ ∽△CAB ．∴22422263CQ BC CF BF RQ AB AB +====．……12分 31．2010鄂尔多斯如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC,∠C=90°,E 为CD 的中点,EF ∥AB 交于点F; 1求证：BF=AD+CF;2当AD=1,BC=7,且BE 平分∠ABC 时,求EF 的长;答案1证法一：如图1,延长AD 交FE 的延长线于N∵∠NDE=∠FCE=90° ∠DEN=∠FEC DE=EC∴△NDE ≌△FCE ∴DN=CF∵AB ∥FN,AN ∥BF∴四边形ABFN 是平行四边形 ∴BF=AD+DN=AD+FC （1） 解：∵AB ∥FN∴∠1=∠BEFABCD 备用图2M QRFP∵∠1=∠2 ∴∠2=∠BEF∴EF=BE ∴EF=AD+CF=42712=+=+BC AD 1证法2：如图2过D 点作DN ∥AB 交BC 于N ∵ADBN,AB ∥DN ∴AD=BN ∵EF ∥AB,∴DN ∥EF ∴△CEF ∽△CDN∴CN CFDC CE =∵,21=DC CE ∴21=CN CF 即NF=CF ∴BF=BN+NF=AD+FC=432．2010年山西在直角梯形OABC中,CB 90=∠COA 。

第19讲梯形及等腰梯形知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初二，基础较好；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习梯形及等腰梯形。

梯形和等腰梯形属于四边形章节，选择填空中会涉及到，也经常出现在几何大题中，是中考考查范围内的一个重要知识点，熟练掌握一般梯形、直角梯形和等腰梯形及它们的性质和判定，灵活运用并处理含梯形的综合类型题目.知识梳理讲解用时：20分钟梯形的认识1、定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形（概念记清楚哦）一般梯形梯形标注：梯形是特殊的四边形，有且只有一组对边平行哦梯形的分类2、梯形的分类：一般梯形、特殊梯形（直角梯形、等腰梯形）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形直角梯形等腰梯形AB//CD AB//CDAD≠BC AD=BCAD⊥CD AD不平行BC梯形的中位线3、梯形的中位线：连接梯形两腰上的中点的线段叫做梯形的中位线. 梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半你知道怎么证明吗？EF//AB//CDEF=12（AB+CD）等腰梯形的性质和判定1、等腰梯形的性质定理性质定理1：等腰梯形同一底边上的两个角相等性质定理2：等腰梯形的两条对角线相等性质3：等腰梯形既是轴对称图形，只有一条对称轴（底边的垂直平分线）∠A=∠B AC=BD 虚线为等腰梯形的对称轴∠C=∠D2、等腰梯形的判定定理判定定理1：同一底边上两个内角相等的梯形是等腰梯形判定定理2：对角线相等的梯形是等腰梯形判定3：利用定义课堂精讲精练【例题1】已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4，AB=CD=6，∠B=60°，那么下底BC的长为．【答案】10【解析】首先过A作AE∥DC交BC与E，可以证明四边形ADCE是平行四边形，进而得到CE=AD=4，再证明△ABE是等边三角形，进而得到BE=AB=6，从而得到答案．解：如图，过A作AE∥DC交BC与E，∵AD∥BC，∴四边形AECD是平行四边形，∴AD=EC=4，AE=CD，∵AB=CD=6，∴AE=AB=6，∵∠B=60°，∴△ABE是等边三角形，∴BE=AB=6，∴BC=6+4=10．故答案为：10．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了梯形，关键是掌握梯形中的重要辅助线，过一个顶点作一腰的平行线得到一个平行四边形．教学建议：利用梯形的知识作辅助线构造出平行四边形和等边三角形.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：普陀区期中年份：2017【练习1.1】如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=30°，∠C=75°，AD=2，BC=7，那么AB= ．【答案】5【解析】过点D作DE∥AB交BC于E，根据平行线的性质，得∠DEC=∠B=30°，根据三角形的内角和定理，得∠EDC=75°，再根据等角对等边，得DE=CE．根据两组对边分别平行，知四边形ABED是平行四边形，则AB=DE=CE=7﹣2=5，从而求解．解：过点D作DE∥AB交BC于E，∴∠DEC=∠B=30°．又∵∠C=75°，∴∠CDE=75°．∴DE=CE．∵AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形．∴AD=BE=2．﹣BE=BC﹣AD=7﹣2=5．∴AB=DE=CE=BC故答案为：5．讲解用时：3分钟解题思路：此题综合考查了平行四边形的判定及性质、平行线的性质、等角对等边的性质，解题的关键是作平行线构造平行四边形．教学建议：利用梯形的知识作辅助线构造出平行四边形进行求解.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：潍坊三模年份：2016【例题2】如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，如果AB=5，BC=4，CD=3，那么AD= ．【答案】2【解析】试题分析：过点D作DE⊥AB于点E，后根据勾股定理即可得出答案．解：过点D作DE⊥AB于点E，如下图所示：则DE=BC=4，AE=AB﹣EB=AB﹣DC=2，AD==2．故答案为：2．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了梯形及勾股定理的知识，难度不大，属于基础题．教学建议：利用梯形和勾股定理的知识进行求解.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：普陀区期末年份：2016【练习2.1】如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E为AB中点，DE⊥EC．求证：（1）DE平分∠ADC；（2）AD+BC=DC．【答案】（1）DE平分∠ADC；（2）AD+BC=DC【解析】试题分析：（1）延长DE交CB的延长线于F，可证得△AED≌△BEF，根据三线合一的性质可得出CD=CF，推出∠CDF=∠F，由∠ADF=∠F即可证明；（2）由△AED≌△BEF，根据三线合一的性质可得出CD=CF，进而利用等线段的代换可证得结论；证明：（1）延长DE交CB的延长线于F，∵AD∥CF，∴∠A=∠ABF，∠ADE=∠F．在△AED与△BEF中，，∴△AED≌△BEF，∴AD=BF，DE=EF，∵CE⊥DF，∴∠CDF=∠F，∵AD∥CF，∴∠ADE=∠F，∴∠ADE=∠CDF，∴ED平分∠ADC．（2）∵△AED≌△BEF，∴AD=BF，DE=EF，∵CE⊥DF，∴CD=CF=BC+BF，∴AD+BC=DC．讲解用时：4分钟解题思路：本题考查梯形、全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是因为点E是中点，所以应该联想到构造全等三角形，这是经常用到的解题思路，同学们要注意掌握．教学建议：学会运用梯形、全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质进行解题.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：松江区期末年份：2017【例题3】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线BD与中位线EF交于点G，若AD=2，EF=5，那么FG= ．【答案】4【解析】试题分析：根据梯形中位线性质得出EF∥AD∥BC，推出DG=BG，则EG 是△ABD的中位线，即可求得EG的长，则FG即可求得．解：∵EF是梯形ABCD的中位线，∴EF∥AD∥BC，∴DG=BG，∴EG=AD=×2=1，∴FG=EF﹣EG=5﹣1=4．故答案是：4．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了梯形的中位线，三角形的中位线的应用，主要考查学生的推理能力和计算能力．教学建议：熟练掌握梯形的中位线、三角形的中位线知识并灵活运用.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习3.1】边长为8的正方形ABCD中，E、F是边AD、AB的中点，连接CE，取CE中点G，那么FG= ．【答案】6【解析】试题分析：根据题意，正方形ABCD的边长为8，E边AD的中点，可得出AE、BC的长；又由点F、G分别是AB、CE的中点，根据梯形的中位线定理，可得出FG的长；解：如图，∵正方形ABCD的边长为8，E、F是边AD、AB的中点，∴AE=4，BC=8，又∵点G是CE的中点，∴FG为梯形ABCE的中位线，∴EF==×（4+8）=6．故答案为：6．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查了梯形的中位线定理，熟练掌握梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．教学建议：学会应用梯形的中位线定理.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题4】在梯形ABCD中．AB∥CD，EF为中位线，则△AEF的面积与梯形ABCD的面积之比是．【答案】1：4【解析】试题分析：过A作AG⊥BC于G，交EF于H，再根据梯形的中位线定理及面积公式解答即可．解：过A作AG⊥BC于G，交EF于H，∵EF是梯形ABCD的中位线，∴AD+BC=2EF，AG=2AH，设△AEF的面积为xcm2，即EF?AH=xcm2，∴EF?AH=2xcm2，∴S梯形ABCD=（AD+BC）？AG=×2EF×2AH=2EF?AH=2×2xcm2=4xcm2．∴△AEF的面积与梯形ABCD的面积之比为：1：4．故答案为：1：4．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了梯形的中位线定理，比较简单，注意掌握梯形的中位线定理即是梯形的中位线等于上下底和的一半．教学建议：学会应用梯形的中位线定理.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：六安期末年份：2013【练习4.1】在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是边AB、CD的中点．如果AD=5，EF=11，那么BC= ．【答案】17【解析】试题分析：根据梯形中位线定理“梯形的中位线长是上下底和的一半”，进行计算．解：根据梯形中位线定理，得EF=（AD+BC），则BC=2EF﹣AD=2×11﹣5=17．讲解用时：2分钟解题思路：考查了梯形的中位线定理．教学建议：熟练掌握并应用梯形的中位线定理.难度： 2 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题5】已知：如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC=2，BD平分∠ABC，∠A=60°．求：梯形ABCD的周长．【答案】10【解析】试题分析：由等腰梯形的性质得出∴∠ABC=∠A=60°．周长∠ABD=∠CBD=30°，∠ADB=90°，由直角三角形的性质得出AD=AB．AB=2AD=4．证出∠CDB=∠CBD．得出CD=BC=2．即可求出梯形ABCD的周长．解：在梯形ABCD中，∵DC∥AB，AD=BC=2，∠A=60°．∴∠ABC=∠A=60°．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=30°，∴∠ADB=90°，∴AD=AB．∴AB=2AD=4．又 DC∥AB，∴∠CDB=∠ABD，又∠ABD=∠CBD，∴∠CDB=∠CBD．∴CD=BC=2．．∴梯形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=4+2+2+2=10讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查对等腰梯形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识点的理解和掌握，能求出DC=BC是解此题的关键．教学建议：掌握等腰梯形的性质和判定并灵活运用.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习5.1】已知：如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC=2，∠A=60°，对角线BD平分∠ABC．（1）求对角线BD的长；（2）求梯形ABCD的面积．【答案】（1）2√3；（2）3√3【解析】试题分析：（1）根据等腰梯形的同一底上的两个底角相等，即可求得∠B的度数，根据三角形的内角和定理证明△ABD是直角三角形，利用直角三角形的性质以及勾股定理即可求解；（2）过点D、C分别作DH⊥AB，CG⊥AB，垂足为点H、G，在直角△ADB中求得DH和AH的长，则AB即可求得，然后利用梯形的面积公式求解．解：（1）∵DC∥AB，AD=BC，∴∠A=∠ABC．∵BD平分∠ABC，∠A=60°，∴∠ABD=∠ABC=30°．∴∠ADB=90°．∵AD=2，∴AB=2AD=4．∴BD=．（2）过点D、C分别作DH⊥AB，CG⊥AB，垂足为点H、G．∵DC∥AB，BD平分∠ABC，∴∠CDB=∠ABD=∠CBD．∵BC=2，∴DC=BC=2．在RT△ADH和RT△BCG中，，∴RT△ADH≌RT△BCG．∴AH=BG．∵∠A=60°，∴∠ADH=30°．∴AH=AD=1，DH=．∵DC=HG=2，∴AB=4．∴．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查对等腰梯形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识点的理解和掌握，能求出DC=BC是解此题的关键．教学建议：掌握等腰梯形的性质并灵活应用.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题6】如图，在等腰梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC=2，BD平分∠ABC．∠A=60°，求对角线BD的长和梯形ABCD的面积．【答案】3√3【解析】根据等腰梯形的同一底上的两个底角相等，即可求得∠B的度数，根据三角形的内角和定理证明△ABD是直角三角形，利用直角三角形的性质以及勾股定理即可求解，过点D、C分别作DH⊥AB，CG⊥AB，垂足为点H、G，在直角△ADB中求得DH和AH的长，则AB即可求得，然后利用梯形的面积公式求解．解：∵DC∥AB，AD=BC，∴∠A=∠ABC．∵BD平分∠ABC，∠A=60°，∴∠ABD=∠ABC=30°．∴∠ADB=90°．∵AD=2，∴AB=2AD=4．∴BD=．过点D、C分别作DH⊥AB，CG⊥AB，垂足为点H、G．∵DC∥AB，BD平分∠ABC，∴∠CDB=∠ABD=∠CBD．∵BC=2，∴DC=BC=2．在Rt△ADH和Rt△BCG中，，∴Rt△ADH≌Rt△BCG．∴AH=BG．∵∠A=60°，∴∠ADH=30°．∴AH=AD=1，DH=．∵DC=HG=2，∴AB=4．∴梯形ABCD的面积=．讲解用时：4分钟解题思路：本题主要考查对等腰梯形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识点的理解和掌握，能求出DC=BC是解此题的关键．教学建议：熟练地运用等腰梯形、平行线、等腰三角形的性质进行解题.难度： 4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习6.1】已知：如图，等腰梯形ABCD的中位线EF的长为6cm，对角线BD平分∠ADC，下底BC的长比等腰梯形的周长小20cm，求上底AD的长．【答案】4cm【解析】试题分析：由等腰梯形的性质得出AB=DC，AD∥BC，得出∠ADB=∠CBD，，由已知再由已知条件得出BC=DC=AB，由梯形中位线定理得出AD+BC=2EF=12cm条件求出BC，即可得出AD的长．解：∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=DC，AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∵BD平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB，∴∠CBD=∠CDB，∴BC=DC=AB，∵EF是等腰梯形的中位线，，∴AD+BC=2EF=12cm∵下底BC的长比等腰梯形的周长小20cm，﹣20，∴BC=AB+BC+CD+AD即BC=AB+DC﹣8，∴BC=8cm，∴AD=4cm．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了等腰梯形的性质、等腰三角形的判定、梯形中位线定理；熟练掌握等腰梯形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．教学建议：利用等腰梯形、等腰三角形的判定、梯形中位线等知识点进行解题.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题7】已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点E为边BC上一点，且AE=DC．（1）求证：四边形AECD是平行四边形；（2）当∠B=2∠DCA时，求证：四边形AECD是菱形．【答案】（1）四边形AECD是平行四边形；（2）四边形AECD是菱形【解析】试题分析：（1）由等腰梯形的性质（等腰梯形同一底上的角相等），可得∠B=∠DCB，又由等腰三角形的性质（等边对等角）证得∠DCB=∠AEB，即可得AE∥DC，则四边形AECD为平行四边形；（2）根据平行线的性质，易得∠EAC=∠DCA，又由已知，由等量代换即可证得∠EAC=∠ECA，根据等角对等边，即可得AE=CE，则四边形AECD为菱形．证明：（1）∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∴∠B=∠DCB，∵AE=DC，∴AE=AB，∴∠B=∠AEB，∴∠DCB=∠AEB，∴AE∥DC，∴四边形AECD为平行四边形；（2）∵AE∥DC，∴∠EAC=∠DCA，∵∠B=2∠DCA，∠B=∠DCB，∴∠DCB=2∠DCA，∴∠ECA=∠DCA，∴∠EAC=∠ECA，∴AE=CE，∵四边形AECD为平行四边形，∴四边形AECD为菱形．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了等腰梯形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定以及等腰三角形的判定与性质．解题的关键是仔细识图，应用数形结合思想解答．教学建议：利用等腰梯形、平行四边形的判定、菱形的判定等知识点进行解题.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：连云港校级模拟年份：2010【练习7.1】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BA=AD=DC，点E在边CB的延长线上，并且BE=AD，点F在边BC上．（1）求证：AC=AE；（2）如果∠AFB=2∠AEF，求证：四边形AFCD是菱形．【答案】（1）AC=AE；（2）四边形AFCD是菱形【解析】试题分析：（1）由已知条件可判定四边形ABCD是等腰梯形，利用等腰梯形的性质以及给出的条件利用SAS可判定△ABE≌△ADC，从而可证得结论；，所以四边形AFCD是菱形．（2）由（1）和外角和定理可证得AD=DC=AF=CF证明：（1）∵AD∥BC，BA=AD=DC，∴梯形ABCD是等腰梯形，∴∠ABC=∠DCE，∵∠ABE+∠ABC=180°，∠DCE+∠D=180°，∴∠D=∠ABE，又∵BE=AD，∴△ABE≌△ADC，∴AC=AE．（2）∵∠AFB=∠CAF+∠FCA，∠AFB=2∠E，∴2∠E=∠CAF+∠FCA，∵∠E=∠DAC=∠DCA，又∵AD∥BC，∴∠DAC=∠FCA，，∴AD=DC=AF=CF∴四边形AFCD是菱形．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查等腰梯形的性质及全等三角形的判定方法的综合运用，难度较大，解答此类综合题目还需从基本做起，掌握一些基本性质是解答此类题目必备的．教学建议：利用等腰梯形的性质、全等三角形的判定等知识点进行解题.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018课后作业【作业1】如果梯形的中位线长为6，一条底边长为8，那么另一条底边长等于．【答案】4【解析】只需根据梯形的中位线定理“梯形的中位线等于两底和的一半”，进行计算．解：根据梯形的中位线定理，得另一底边长=中位线×2﹣一底边长=2×6﹣8=4．故答案为：4难度：2 适应场景：练习题例题来源：金山区二模年份：2018【作业2】如图，等腰梯形ABCD的面积为144，AD∥BC，AB=DC，且AC⊥BD．求等腰梯形ABCD的高．【答案】12【解析】过点D 分别作DE∥AC与BC的延长线交于点E，DF⊥BC，垂足为点F，将等腰梯形的面积转化为△DBE的面积，从而求得三角形的高即可得到等腰梯形的高．解：过点D 分别作DE∥AC与BC的延长线交于点E，DF⊥BC，垂足为点F．∵AD∥BC，∴四边形ACED是平行四边形．∴AD=CE，AC=DE．又∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC=BD．∴BD=DE．∴BF=FE．∵AC⊥BD，∴∠BGC=∠BDE=90°．∴．又∵AB=CD，∴△ADB≌△CED．∴S△BED=S梯形ABCD=144，∵BE?DF=144，∴×2DF2=144∴等腰梯形ABCD的高等于12．难度： 3 适应场景：练习题例题来源：普陀区期末年份：2014【作业3】如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AC、BD是对角线，△ABD≌△ABE．求证：四边形AEBC是平行四边形．【答案】四边形AEBC是平行四边形【解析】根据等腰梯形的对角线相等，易得AC=BD，又由△ABD≌△ABE，易得AD=AE，BD=BE，则可证得AE=BC，AC=BE，根据有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可证得四边形AEBC是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AD=BC，AC=BD，又∵△ABD≌△ABE，∴AD=AE，BD=BE，∴AE=BC，AC=BE，∴四边形AEBC是平行四边形．难度： 3 适应场景：练习题例题来源：香坊区期末年份：2011。

梯形一、选择题1. （2014•贺州，第9题3分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD，∠B=60°，若AD=3，则梯形ABCD的周长为（）A．12B．15C．12 D．15考点：等腰梯形的性质．分析：过点A作AE∥CD，交BC于点E，可得出四边形ADCE是平行四边形，再根据等腰梯形的性质及平行线的性质得出∠AEB=∠BCD=60°，由三角形外角的定义求出∠EAC的度数，故可得出四边形ADEC是菱形，再由等边三角形的判定定理得出△ABE是等边三角形，由此可得出结论．解答：解：过点A作AE∥CD，交BC于点E，∵梯形ABCD是等腰梯形，∠B=60°，∴AD∥BC，∴四边形ADCE是平行四边形，∴∠AEB=∠BCD=60°，∵CA平分∠BCD，∴∠ACE=∠BCD=30°，∵∠AEB是△ACE的外角，∴∠AEB=∠ACE+∠EAC，即60°=30°+∠EAC，∴∠EAC=30°，∴AE=CE=3，∴四边形ADEC是菱形，∵△ABE中，∠B=∠AEB=60°，∴△ABE是等边三角形，∴AB=BE=AE=3，∴梯形ABCD的周长=AB+（BE+CE）+CD+AD=3+3+3+3+3=15．故选D．点评：本题考查的是等腰梯形的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行四边形是解答此题的关键．2.（2014•襄阳，第10题3分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，DE=DC，∠C=80°，则∠A等于（）A．80°B．90°C．100°D．110°考点：梯形；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质．分析：根据等边对等角可得∠DEC=80°，再根据平行线的性质可得∠B=∠DEC=80°，∠A=180°﹣80°=100°．解答：解：∵DE=DC，∠C=80°，∴∠DEC=80°，∵AB∥DE，∴∠B=∠DEC=80°，∵AD∥BC，∴∠A=180°﹣80°=100°，故选：C．点评：此题主要考查了等腰三角形的性质，以及平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等，同旁角互补．3．（2014·，第3题3分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E点在BC上，且AE⊥B C．若AB ＝10，BE＝8，DE＝6，则AD的长度为何？( )A．8 B．9 C．6 2 D．6 3分析：利用勾股定理列式求出AE，再根据两直线平行，错角相等可得∠DAE＝90°，然后利用勾股定理列式计算即可得解．解：∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∵AB＝10，BE＝8，∴AE＝AB2－BE2＝102－82＝6，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB＝90°，∴AD＝DE2－AE2＝(63)2－62＝62．故选C．点评：本题考查了梯形，勾股定理，是基础题，熟记定理并确定出所求的边所在的直角三角形是解题的关键．4．（2014•，第8题4分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠ACD=90°，AB=2，DC=3，则△ABC与△DCA的面积比为（）A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．：考点：相似三角形的判定与性质．分析：先求出△CBA∽△ACD，求出=，COS∠ACB•COS∠DAC=，得出△ABC与△DCA的面积比=．解答：解：∵AD∥BC，∴∠ACB=∠DAC又∵∠B=∠ACD=90°，∴△CBA∽△ACD==，AB=2，DC=3，∴===，∴=，∴COS∠ACB==，COS∠DAC==∴•=×=，∴=，∵△ABC与△DCA的面积比=，∴△ABC与△DCA的面积比=，故选：C．点评：本题主要考查了三角形相似的判定及性质，解决本题的关键是明确△ABC与△DCA的面积比=．5. （2014•，第3题，3分）如图，AB是池塘两端，设计一方法测量AB的距离，取点C，连接AC、BC，再取它们的中点D、E，测得DE=15米，则AB=（）米．（第1题图）A．7.5 B．15 C．22.5 D．30考点：三角形中位线定理分析：根据三角形的中位线得出AB=2DE，代入即可求出答案．解答：解：∵D、E分别是AC、BC的中点，DE=15米，∴AB=2DE=30米，故选D．点评：本题考查了三角形的中位线的应用，注意：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．6.（2014•，第7题3分）如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为（）A．4米B．6米C．12米D．24米考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：先根据坡度的定义得出BC的长，进而利用勾股定理得出AB的长．解答：解：在Rt△ABC中，∵=i=，AC=12米，∴BC=6米，根据勾股定理得：AB==6米，故选B．点评：此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，勾股定理，难度适中．根据坡度的定义求出BC的长是解题的关键．二.填空题1. （ 2014•市、市，第17题3分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，∠A=120°，AD=2，BD平分∠ABC，则梯形ABCD的周长是7+．考点：直角梯形．分析：根据题意得出AB=AD，进而得出BD的长，再利用在直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半，进而求出CD以及利用勾股定理求出BC的长，即可得出梯形ABCD的周长．解答：解：过点A作AE⊥BD于点E，∵AD∥BC，∠A=120°，∴∠ABC=60°，∠ADB=∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=30°，∴∠ABE=∠ADE=30°，∴AB=AD，∴AE=AD=1，∴DE=，则BD=2，∵∠C=90°，∠DBC=30°，∴DC=BD=，∴BC===3，∴梯形ABCD的周长是：AB+AD+CD+BC=2+2++3=7+．故答案为：7+．点评：此题主要考查了直角梯形的性质以及勾股定理和直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半等知识，得出∠DBC的度数是解题关键．2. （2014•，第13题，3分）如图，若该图案是由8个全等的等腰梯形拼成的，则图中的∠1=67.5°．（第1题图）考点：等腰梯形的性质；多边形角与外角分析：首先求得正八边形的角的度数，则∠1的度数是正八边形的度数的一半．解答：解：正八边形的角和是：（8﹣2）×180°=1080°，则正八边形的角是：1080÷8=135°，则∠1=×135°=67.5°．故答案是：67.5°．点评：本题考查了正多边形的角和的计算，正确求得正八边形的角的度数是关键．3. （2014•，第14题，3分）如图，△ABC的中位线DE=5cm，把△ABC沿DE折叠，使点A 落在边BC上的点F处，若A、F两点间的距离是8cm，则△ABC的面积为40 cm3．（第2题图）考点：翻折变换（折叠问题）；三角形中位线定理分析：根据对称轴垂直平分对应点连线，可得AF即是△ABC的高，再由中位线的性质求出BC，继而可得△ABC的面积．解答：解：∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，BC=2DE=10cm；由折叠的性质可得：AF⊥DE，∴AF⊥BC，∴S△ABC=BC×AF=×10×8=40cm2．故答案为：40．点评：本题考查了翻折变换的性质及三角形的中位线定理，解答本题的关键是得出AF是△ABC的高．三.解答题1. （2014年，第19题）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F．（1）求证：四边形DBFE是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DBEF是菱形？为什么？（第1题图）考点：三角形的中位线、菱形的判定分析：（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明；（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明．（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，又∵EF∥AB，∴四边形DBFE是平行四边形；（2）解答：当AB=BC时，四边形DBEF是菱形．理由如下：∵D是AB的中点，∴BD=AB，∵DE是△ABC的中位线，∴DE=BC，∵AB=BC，∴BD=DE，又∵四边形DBFE是平行四边形，∴四边形DBFE是菱形．点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，菱形的判定以及菱形与平行四边形的关系，熟记性质与判定方法是解题的关键．。

考纲要求命题趋势1．了解梯形的有关概念与分类，掌握梯形的性质，会进行梯形的有关计算．2．掌握等腰梯形的性质与判定．3．能灵活添加辅助线，把梯形问题转化为三角形、平行四边形的问题来解决.等腰梯形的性质和判定是中考考查的内容，实际问题中往往和特殊三角形、特殊四边形的知识结合在一起综合运用.知识梳理一、梯形的有关概念及分类1．一组对边平行，另一组对边不平行的________叫做梯形．平行的两边叫做______，两底间的________叫做梯形的高．2．________相等的梯形叫做等腰梯形，有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．3．梯形的分类：梯形⎩⎨⎧一般梯形特殊梯形⎩⎪⎨⎪⎧直角梯形等腰梯形4．梯形的面积＝12(上底＋下底)×高＝中位线×高．二、等腰梯形的性质与判定1．性质：(1)等腰梯形的两腰相等，两底平行．(2)等腰梯形同一底上的两个角________．(3)等腰梯形的对角线________．(4)等腰梯形是轴对称图形，过两底中点的直线是它的对称轴．2．判定：(1)两腰相等的梯形是等腰梯形．(2)同一底上的两个角相等的________是等腰梯形．(3)对角线相等的________是等腰梯形．三、梯形的中位线1．定义：连接梯形两腰________的线段叫做梯形的中位线．2．性质：梯形的中位线平行于两底，且等于________的一半．四、梯形问题的解决方法梯形问题常通过――→转化辅助线三角形问题或平行四边形问题来解答，转化时常用的辅助线有：1．平移一腰，即从梯形的一个顶点作另一腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形．2．过顶点作高，即从同一底的两端作另一底所在直线的垂线，把梯形转化成一个矩形和两个直角三角形．3．平移一条对角线，即从梯形的一个顶点作一条对角线的平行线，把梯形转化成平行四边形和三角形．4．延长梯形两腰使它们相交于一点，把梯形转化成三角形．5．过一腰中点作辅助线．(1)过此中点作另一腰的平行线，把梯形转化成平行四边形；(2)连接一底的端点与一腰中点，并延长与另一底的延长线相交，把梯形转化成三角形．自主测试1．若等腰梯形ABCD的上底长AD＝2，下底长BC＝4，高为2，那么梯形的腰DC的长为( )A．2 B． 3 C．3 D． 52．如图，在一块形状为直角梯形的草坪中，修建了一条由A→M→N→C的小路(M，N分别是AB，CD中点)．极少数同学为了走“捷径”，沿线段AC行走，破坏了草坪，实际上他们仅少走了( )A．7米 B．6米 C．5米 D．4米3．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E为AB上一点，且ED平分∠ADC，EC平分∠BCD，则下列结论中，错误的是( )A．∠ADE＝∠CDEB．DE⊥ECC．AD·BC＝BE·DED．CD＝AD＋BC4．已知梯形的上底长为2，下底长为5，一腰长为4，则另一腰长x的取值范围是__________．考点一、一般梯形的性质【例1】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD＝CD，∠BDC＝90°，AD＝3，BC＝8，求AB的长．解：如图，作AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F.∴AE∥DF，∠AEF＝90°.∵AD∥BC，∴四边形AEFD是矩形．∴EF＝AD＝3，AE＝DF.∵BD ＝CD ，DF ⊥BC ，∴DF 是△BDC 边BC 上的中线．∵∠BDC ＝90°，∴DF ＝12BC ＝BF ＝4.∴AE ＝4，BE ＝BF －EF ＝4－3＝1.在Rt △ABE 中，AB 2＝AE 2＋BE 2，∴AB ＝42＋12＝17.方法总结 遇到梯形问题，一般情况下通过作腰或对角线的平行线、高线、连对角线、延长两腰转化为三角形、平行四边形、直角三角形、矩形等问题来解决．触类旁通1 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ∥DE ，AF ∥DC ，E ，F 两点在边BC 上，且四边形AEFD 是平行四边形．(1)AD 与BC 有何等量关系？请说明理由．(2)当AB ＝DC 时，求证：四边形AEFD 是矩形． 考点二、等腰梯形的性质与判定【例2】如图，在等腰△ABC 中，点D ，E 分别是两腰AC ，BC 上的点，连接AE ，BD 相交于点O ，∠1＝∠2.(1)求证：OD ＝OE ；(2)求证：四边形ABED 是等腰梯形．分析：(1)根据已知条件可知利用全等三角形证明BD ＝AE ，根据∠1＝∠2可以证明OA ＝OB ，根据等式性质可知OD ＝OE ；(2)先证明四边形ABED 是梯形，然后证明两腰相等即可．证明：(1)∵△ABC 是等腰三角形，∴AC ＝BC . ∴∠BAD ＝∠ABE .又∵AB ＝BA ，∠2＝∠1，∴△ABD ≌△BAE ，∴BD ＝AE . 又∵∠1＝∠2，∴OA ＝OB .∴BD －OB ＝AE －OA ，即OD ＝OE .(2)由(1)知，OD ＝OE ，∴∠OED ＝∠ODE .∴∠OED ＝12(180°－∠DOE )．同理，∠1＝12(180°－∠AOB )．∵∠DOE ＝∠AOB ，∴∠1＝∠OED ，∴DE ∥AB . ∵AD 不平行于BE ，∴四边形ABED 是梯形， ∵AE ＝BD ，∴梯形ABED 是等腰梯形．方法总结 在证明一个四边形是等腰梯形时，必须先证明它是梯形，然后再通过两腰相等或同一底上的两个角相等，或者是对角线相等来证明梯形是等腰梯形．触类旁通2 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，M ，N 分别为AO ，DO 的中点，四边形BCNM是等腰梯形吗？为什么？考点三、有关梯形的计算【例3】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B＝45°，AD＝2，BC＝42，求DC的长．分析：由于△ABC是等腰直角三角形，且BC＝42，可得出BC边上的高．只要通过平移腰CD，就可与BC边上的高构成直角三角形，从而求出CD.解：过点A作AE∥DC交BC于点E，过点A作AF⊥BC于点F，如图所示．∵AD∥BC，AE∥DC，∴四边形AECD为平行四边形．∴AE＝DC，AD＝EC＝ 2.又∵AB⊥AC，∠B＝45°，BC＝42，∴AB＝AC＝4.∴AF＝BF＝2 2.∴EF＝BC－BF－EC＝ 2.在Rt△AFE中，AE＝AF2＋EF2＝222＋22＝10，即DC＝10.方法总结解决梯形问题作辅助线的方法要结合题目的条件和要证结论的需要灵活运用．若题中已知两对角线的条件，可考虑平移对角线，使两对角线在同一个三角形中；若已知两腰的某些条件，可考虑平移一腰；若已知两底角互余，可平移一腰或延长两腰构成直角三角形；若要求梯形的面积，常作出梯形的高．触类旁通3 如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，AC⊥BC，∠B＝60°，BC＝2 cm，则上底DC的长是__________cm.1．(2012山东临沂)如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，下列结论不一定正确的是( )A．AC＝BDB．OB＝OCC．∠BCD＝∠BDCD．∠ABD＝∠ACD2．(2012湖南长沙)下列四边形中，对角线一定不相等的是( )A．正方形 B．矩形C．等腰梯形 D．直角梯形3．(2012安徽)在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2,4,3，则原直角三角形纸片的斜边长是( )A．10 B．4 5C．10或4 5 D．10或2174．(2012湖南长沙)如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝2，∠B＝60°，则BC 的长为__________．5．(2012四川内江)如图，四边形ABCD是梯形，BD＝AC且BD⊥AC，若AB＝2，CD＝4，则S梯形ABCD＝____________.6．(2012四川南充)如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是AD延长线上的一点，且CE＝CD.求证：∠B＝∠E.1．梯形的上底长为5，下底长为9，则梯形的中位线长等于( )A．6 B．7C．8 D．102．在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC平分∠BAD，∠B＝60°，CD＝2 cm，则梯形ABCD的面积为( )A．33cm2 B．6 cm2C．63cm2 D．12 cm23．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠D＝90°，AD＝DC＝4，AB＝1，F为AD的中点，则点F到BC的距离是( )A ．4B ．3C ．2D ．14．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC ，BD 相交于O ，∠ABD ＝30°，AC ⊥BC ，AB ＝8 cm ，则△COD 的面积为( )A ．433cm 2B ．43cm 2C ．233cm 2D ．23cm 25．如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ∥DE ，梯形ABCD 的周长为26，BE ＝4，则△DEC 的周长为__________．(第5题图)6．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠ADC 的平分线与∠BCD 的平分线的交点E 恰在AB 上．若AD ＝7 cm ，BC ＝8 cm ，则AB 的长度是__________ cm.(第6题图)7．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝2，AB ＝3，BC ＝4，则梯形ABCD 的面积是__________．(第7题图)8．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD 于点O ，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，AD ＝4，BC ＝8，则AE ＋EF ＝__________.(第8题图)9．如图，在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，过点C 作CE ⊥AC 且与AB 的延长线交于点E ，求证：四边形AECD 是等腰梯形．参考答案导学必备知识 自主测试1．D 2．B 3．C 4．1＜x ＜7 探究考点方法触类旁通1．解：(1)AD ＝13BC .理由如下：∵AD ∥BC ，AB ∥DE ，AF ∥DC ，∴四边形ABED 和四边形AFCD 都是平行四边形， ∴AD ＝BE ，AD ＝FC .又∵四边形AEFD 是平行四边形， ∴AD ＝EF ，∴AD ＝BE ＝EF ＝FC ，∴AD ＝13BC .(2)证明：∵四边形ABED 和四边形AFCD 都是平行四边形，∴DE ＝AB ，AF ＝DC . ∵AB ＝DC ，∴DE ＝AF .又∵四边形AEFD 是平行四边形， ∴四边形AEFD 是矩形．触类旁通2．解：是等腰梯形．根据三角形中位线定理有，MN ∥AD ∥BC ，且MN ≠BC ，∴四边形BCNM 为梯形．在矩形ABCD 中，AO ＝DO ，又M ，N 分别是AO ，DO 的中点，∴OM ＝ON ，∴CM ＝BN ，∴四边形BCNM 是等腰梯形．触类旁通3．2 ∠CAB ＝90°－60°＝30°，∵等腰梯形ABCD 中，∠BAD ＝∠B ＝60°， ∴∠CAD ＝∠BAD －∠BAC ＝30°.又∵CD ∥AB ，∴∠DCA ＝∠CAB ＝30°＝∠DAC . ∴CD ＝AD ＝BC ＝2 cm. 品鉴经典考题1．C 对于A ，∵四边形ABCD 是等腰梯形，∴AC ＝BD ，故本选项正确；对于B ，∵四边形ABCD 是等腰梯形，∴AB ＝DC ，∠ABC ＝∠DCB ，在△ABC 和△DCB 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DC ，∠ABC ＝∠DCB ，BC ＝CB ，∴△ABC ≌△DCB (SAS)，∴∠ACB ＝∠DBC ，∴OB ＝OC ，故本选项正确；对于C ，∵无法判定BC ＝BD ，∴∠BCD 与∠BDC 不一定相等，故本选项错误；对于D，∵∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，∴∠ABD＝∠ACD，故本选项正确．故选C.2．D 根据正方形、矩形、等腰梯形的性质，它们的两条对角线一定相等，只有直角梯形的对角线一定不相等．故选D.3．C 考虑两种情况．①如图：因为CD＝22＋42＝25，点D是斜边AB的中点，所以AB＝2CD＝4 5.②如图：因为CE＝32＋42＝5，点E是斜边AB的中点，所以AB＝2CE＝10，故原直角三角形纸片的斜边长是10或4 5.4．4 过点A作AE∥CD交BC于点E，∵AD∥BC，∴四边形AECD是平行四边形，∴AE＝CD＝2，AD＝EC＝2.∵∠B＝60°，∴BE＝AB＝AE＝2，∴BC＝BE＋CE＝2＋2＝4.5．9 过点B作BE∥AC，交DC的延长线于点E，则AB＝CE，BE＝AC＝BD.∵BD⊥AC，AB＝2，CD＝4，∴BD⊥BE，DE＝6，∴梯形高为3，∴S梯形ABCD＝(2＋4)×3÷2＝9.6．证明：∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E.∵AD∥BC，∴∠CDE＝∠DCB.∴∠E＝∠DCB.∵AB＝DC，∴∠B＝∠DCB.∴∠B＝∠E.研习预测试题1．B 2．A 3．C 4．A 5．18 6．15 7．98．10 如图，过点D作DG∥AC，交BC的延长线于点G.易得四边形ACGD 为平行四边形，∴CG ＝AD ＝4，BG ＝BC ＋CG ＝8＋4＝12. ∵AC ⊥BD ，AC ∥DG ，∴BD ⊥DG .∵梯形ABCD 是等腰梯形，∴AC ＝BD ＝DG . ∴△BDG 为等腰直角三角形．又∵DF ⊥BC ，∴DF ＝12BG ＝6.∴AE ＋EF ＝DF ＋AD ＝6＋4＝10.9．证明：∵四边形ABCD 是菱形，∠DAB ＝60°，∴∠CAE ＝12∠DAB ＝30°.又∵CE ⊥AC ，∴∠E ＝60°＝∠CBE .∴CE ＝BC ＝AD . ∵CD ∥AE ，AE ＝AB ＋BE ＝DC ＋BE ≠DC ， ∴四边形AECD 是等腰梯形．。

全国各地100份中考数学试卷分类汇编第27章 梯形一、选择题A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B 2. （山东滨州，12，3分）如图,在一张△ABC 纸片中, ∠C=90°, ∠B=60°,DE 是中位线,现把纸片沿中位线DE 剪开,计划拼出以下四个图形:①邻边不等的矩形;②等腰梯形;③有一个角为锐角的菱形;④正方形.那么以上图形一定能被拼成的个数为( )A.1B.2C.3D.4【答案】C3. （山东烟台，6,4分）如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，点E 、F 、G 分别是BD 、AC 、DC 的中点.已知两底差是6，两腰和是12，则△EFG 的周长是（ ）A.8B.9C.10D.12【答案】B4. （浙江台州，7,4分）如图，在梯形ABCCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90º，对角线BD 、AC 相交于点O 。

下列条件中，不能判断对角线互相垂直的是（ ）A . ∠1=∠4B . ∠1=∠3C . ∠2=∠3D .OB 2+OC 2=BC 2【答案】B5. （台湾台北，15）图(五)为梯形纸片ABCD ，E点在BC 上，且︒=∠=∠=∠90D C AEC ，AD ＝3，BC＝9，CD ＝8。

若以AE 为折线，将C 折至BE 上，使得CD 与AB 交于F 点，则BF 长度为何？ED CB A（第12题图）A B CDEF（第6题图）A ． 4.5B 。

5C 。

5.5D ．6【答案】B6. （2011山东潍坊，11，3分）已知直角梯形ABCD 中， A D ∥BC ，∠BCD=90°, BC = CD=2AD , E 、F 分别是BC 、CD 边的中点，连接BF 、DE 交于点P ，连接CP 并延长交AB 于点Q ，连接AF ，则下列结论不正．．确．的是（） A . CP 平分∠BCDB. 四边形 ABED 为平行四边形C. CQ 将直角梯形 ABCD 分为面积相等的两部分D. △ABF 为等腰三角形【答案】C7. （山东临沂，12，3分）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，AD ＝2，BC ＝6，∠B ＝60°，则梯形ABCD 的周长是（ ）A ．12B ．14C ．16D ．18 【答案】CA.2B. 243cmAC. 2233cm D. 223cm【答案】A9. （湖北武汉市，7，3分）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=DC=CB，若∠ABD＝25°，则∠BAD的大小是A．40°．B．45°．C．50°．D．60°．【答案】C10．（湖北宜昌，12，3分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，点E,F,G,H分别是AB,BC，CD，DA的中点，则下列结论一定正确的是( ).A. ∠HGF = ∠GHEB. ∠GHE = ∠HEFC. ∠HEF = ∠EFGD. ∠HGF = ∠HEF（第12题图）【答案】D12.二、填空题1.（福建福州，13，4分）如图4,直角梯形ABCD中,AD∥BC,90C∠=,则A B C∠+∠+∠=度.【答案】2702. ( 浙江湖州，14，4)如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，△AOD与△BOC的面积之比为1：9，若AD=1，则BC的长是．【答案】33. （湖南邵阳，16，3分）如图（六）所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，AC⊥BC，∠B=60°，BC=2cm，则上底DC的长是_______cm。

中考数学专题复习第二十二讲梯形【基础知识回顾】一、 梯形的定义、分类、和面积：1、定义：一组对边平行，而另一组对边的四边形，叫做梯形。

其中，平行的两边叫做两底间的距离叫做梯形的2、分类：梯形3、梯形的面积：梯形= （上底+下底） X 高【赵老师提醒：要判定一个四边形是梯形，除了要注明它有一组对边外，还需注明另一组对边不平行或的这组对边不相等】二、等腰梯形的性质和判定：1、性质：⑴等腰梯形的两腰相等，相等⑵等腰梯形的对角线⑶等腰梯形是对称图形一般梯形特殊梯形等腰梯形：两腰 的梯形叫做等腰梯形直角梯形：一腰与底 的梯形叫做直角梯形2、判定：⑴用定义：先证明四边形是梯形，再证明其两腰相等⑵同一底上两个角的梯形是等腰梯形⑶对角线的梯形是等腰梯形【赵老师提醒：1、梯形的性质和判定中同一底上的两个角相等“不被成”两底角相等2、等腰梯形所有的判定方法都必须先证它是梯形3、解决梯形问题的基本思路是通过做辅助线将梯形转化为形式常见的辅助线作法有要注意根据题目的特点灵活选用辅助线】【重点考点例析】考点一：梯形的基本概念和性质例1 （2012•内江）如图，四边形ABCD是梯形，BD=AC且BD⊥AC，若AB=2，CD=4，则S梯形ABCD= 9．思路分析：过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，过点B 作BF⊥DC于点F，判断出△BDE是等腰直角三角形，求出BF，继而利用梯形的面积公式即可求解．解答：解：过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，过点B 作BF⊥DC于点F，则AC=BE，DE=DC+CE=DC+AB=6，又∵BD=AC 且BD⊥AC，∴△BDE是等腰直角三角形，∴BF=DE=3，故可得梯形ABCD的面积为（AB+CD）×BF=9．故答案为：9．点评：此题考查了梯形的知识，平移一条对角线是经常用到的一种辅助线的作法，同学们要注意掌握，解答本题也要熟练等腰直角三角形的性质，难度一般．对应训练1.（2012•无锡）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=5，BC=9，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED 的周长等于（）A．17B．18C．19D．201．考点：；．分析：由CD的垂直平分线交BC于E，根据线段垂直平分线的性质，即可得DE=CE，即可得四边形ABED的周长为AB+BC+AD，继而求得答案．解答：解：∵CD的垂直平分线交BC于E，∴DE=CE，∵AD=3，AB=5，BC=9，∴四边形ABED的周长为：AB+BE+DE+AD=AB+BE+EC+AD=AB+BC+AD=5+9+3=17．故选A．点评：此题考查了线段垂直平分线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用是解此题的关键．考点二：等腰梯形的性质例2 （2012•呼和浩特）已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD=3，BC=7，则梯形的面积是（）A．25B．50C．25 D．思路分析：过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，作DF⊥BC 于F，证平行四边形ADEC，推出AC=DE=BD，∠BDE=90°，根据等腰三角形性质推出BF=DF=EF= BE，求出DF，根据梯形的面积公式求出即可．解答：解：过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，∵AD∥BC （已知），即AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形，∴AD=CE=3，AC=DE，在等腰梯形ABCD中，AC=DB，∴DB=DE （等量代换），∵AC⊥BD，AC∥DE，∴DB⊥DE，∴△BDE是等腰直角三角形，作DF⊥BC于F，则DF=BE=5，S梯形ABCD=（AD+BC）•DF=（3+7）×5=25，故选A．点评：本题主要考查对等腰三角形性质，平行四边形的性质和判定，等腰梯形的性质，等腰直角三角形等知识点的理解和掌握，能求出高DF的长是解此题的关键．对应训练2．（2012•厦门）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，若OB=3，则OC= 3．2．3考点：．分析：先根据梯形是等腰梯形可知，AB=CD，∠BCD=∠ABC，再由全等三角形的判定定理得出△ABC≌△DCB，由全等三角形的对应角相等即可得出∠DBC=∠ACB，由等角对等边即可得出OB=OC=3．解答：解：∵梯形ABCD是等腰梯形，∴AB=CD，∠BCD=∠ABC，在△ABC与△DCB中，∵,∴△ABC≌△DCB，∴∠DBC=∠ACB，∴OB=OC=3．故答案为：3．点评：本题考查的是等腰梯形的性质及全等三角形的判定与性质，熟知在三角形中，等角对等边是解答此题的关键．考点三：等腰梯形的判定例3 （2012•襄阳）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC=2AD，EA=ED=2，AC与ED相交于点F．（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；（2）当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．考点：；；．分析：（1）由AD∥BC，由平行线的性质，可证得∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，又由EA=ED，由等腰三角形的性质，可得∠EAD=∠EDA，则可得∠DEC=∠AEB，继而证得△DEC≌△AEB，即可得梯形ABCD是等腰梯形；（2）由AD∥BC，BE=EC=AD，可得四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形，又由AB⊥AC，AE=BE=EC，易证得四边形AECD是菱形；过A作AG⊥BE 于点G，易得△ABE是等边三角形，即可求得答案AG的长，继而求得菱形AECD的面积．解答：（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，又∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA，∴∠DEC=∠AEB，又∵EB=EC，∴△DEC≌△AEB，∴AB=CD，∴梯形ABCD是等腰梯形．（2）当AB⊥AC时，四边形AECD是菱形．证明：∵AD∥BC，BE=EC=AD，∴四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形．∴AB=ED，∵AB⊥AC，∴AE=BE=EC，∴四边形AECD是菱形．过A作AG⊥BE于点G，∵AE=BE=AB=2，∴△ABE是等边三角形，∴∠AEB=60°，∴AG=，∴S菱形AECD=EC•AG=2×=2。