2017-2018学年中考数学压轴题分类练习 动点相似(全等)专题(无答案)

1．如图，把一块含45°的直角三角板AOB放置在以O为原点的直角坐标系中，A点的坐标为（0，2），直线x=2交x轴于点B．P为线段AB上一动点，作直线PC⊥PO，交直线x=2于点C．过P点作直线MN平行于x轴，交y轴于点M，交直线x=2于点N．（1）填空：∠NPB=度；（2）当点C在第一象限时，①试判断PO与PC的大小关系，并加以证明；②设AP长为m，四边形POBC的面积为S，请求出S与m间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）设点P的横坐标为t，当点P在线段AB上移动时，点C也随之在直线x=2上移动，以点B为圆心，BC长为半径作⊙B，求线段PN与⊙B有一个交点时，t的范围．2．（10•徐州）如图①，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠（点E、F分别在边AB、CD上），使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连接EP．（1）如图②，若M为AD边的中点，①△AEM的周长=cm；②求证：EP=AE+DP；（2）随着落点M在AD边上取遍所有的位置（点M不与A、D重合），△PDM的周长是否发生变化？请说明理由．3．（15•无锡校级一模）如图①，直线l：y=mx+n（m＜0，n＞0）与x，y轴分别相交于A，B 两点，将△AOB 绕点O逆时针旋转90°，得到△COD，（1）若l：y=﹣3x+3，E为AD的中点①在CD上有一动点F，求当△DEF与△COD相似时点F的坐标；②如图②，过E作x轴的垂线a，在直线a上是否存在一点Q，使∠CQO=∠CDO？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由（2）如图③，若l：y=mx﹣4m，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM．若OM=，直接写出l的函数解析式．4．（15•无锡校级一模）已知矩形纸片ABCD中，AB=24厘米，BC=10厘米．（1）按如下操作：先将矩形纸片上下对折，而后左右对折，再沿对角线对折，而后展开得到图中的折痕四边形EFGH（如图1），求菱形EFGH的面积．（2）如图2，将矩形纸片ABCD先沿对角线AC对折，再将纸片折叠使点A与点C重合得折痕EF，则四边形AECF必为菱形，请加以证明．（3）请通过一定的操作，构造一个菱形EFGH（不同于第（1）题中的特殊图形），使菱形的四个顶点分别落在矩形ABCD的四条边上（E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，且不与矩形ABCD的顶点重合）．①请简述操作的方法，并在图3中画出菱形EFGH．②求菱形EFGH的面积的取值范围．（1）如图1，设∠BOD=α（0°＜α＜60°），点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点．连接FM、EM．请问：随着α的变化，试判断的值是否发生变化？若不变，请求出的值；若变化，请说明理由；（2）如图2，若BO=3，点N在线段OD上，且NO=1，点P是线段AB上的一个动点，将△COD固定，△AOB 绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最大值是；最小值是．6．（15•滨湖区一模）已知矩形OABC在如图所示平面直角坐标系中，点B的坐标为（4，3），连接AC．动点P从点B出发，以2cm/s的速度，沿直线BC方向运动，运动到C为止，过点P作PQ∥AC交线段BA于点Q，以PQ为边向下作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ABC重叠部分图形面积为S（cm2），设点P的运动时间为t（s）．（1）请用含t的代数式表示N点的坐标；（2）求S与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围；（3）如图②，点G在边OC上，且OG=1cm，在点P从点B出发的同时，另有一动点E从点O出发，以2cm/s的速度，沿x轴正方向运动，以OG、OE为一组邻边作矩形OEFG．试求当点F落在正方形PQMN的内部（不含边界）时t的取值范围．7．（15•北塘区一模）如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣6，0），点B（0，8），点C在y轴上，将△OAB沿直线AC对折，使点O落在边AB上的点D处．（2）如图2，过B作BE⊥AC，垂足为E，若F为AB边上一动点，是否存在点F，使C为△EOF内心？若存在，请求出F点坐标；若不存在，请说明理由．8．（14•绍兴）如图，在平面直角坐标系中，直线l平行x轴，交y轴于点A，第一象限内的点B在l上，连结OB，动点P满足∠APQ=90°，PQ交x轴于点C．（1）当动点P与点B重合时，若点B的坐标是（2，1），求PA的长．（2）当动点P在线段OB的延长线上时，若点A的纵坐标与点B的横坐标相等，求PA：PC的值．（3）当动点P在直线OB上时，点D是直线OB与直线CA的交点，点E是直线CP与y轴的交点，若∠ACE=∠AEC，PD=2OD，求PA：PC的值．9．（13•梅州）用如图①，②所示的两个直角三角形（部分边长及角的度数在图中已标出），完成以下两个探究问题：探究一：将以上两个三角形如图③拼接（BC和ED重合），在BC边上有一动点P．（1）当点P运动到∠CFB的角平分线上时，连接AP，求线段AP的长；（2）当点P在运动的过程中出现PA=FC时，求∠PAB的度数．探究二：如图④，将△DEF的顶点D放在△ABC的BC边上的中点处，并以点D为旋转中心旋转△DEF，使△DEF的两直角边与△ABC的两直角边分别交于M、N两点，连接MN．在旋转△DEF的过程中，△AMN 的周长是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由．10．（15春•无锡期中）如图①，将▱ABCD置于直角坐标系中，其中BC边在x轴上（B在C的左边），点D 坐标为（0，4），直线MN：y=x﹣6沿着x轴的负方向以每秒1个单位的长度平移，设在平移过程中该直线被▱ABCD截得的线段长度为m，平移时间为t，m与t的函数图象如图②所示．（1）填空：点C的坐标为；在平移过程中，该直线先经过B、D中的哪一点？；（填“B”或“D”）（2）点B的坐标为，n=，a=；（3）在平移过程中，求该直线扫过▱ABCD的面积y与t的函数关系式．11．（2013秋•周口期末）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=20cm，BC=15cm，动点P从点A出发，以每秒4cm的速度沿AB方向运动，到达点B时停止运动．过点P作AB的垂线交斜边AC于点E，将△APE绕点P顺时针旋转90°得到△DPF．设点P在边AB上运动的时间为t（秒）．（1）当点F与点B重合时，求t的值；（2）当△DPF与△ABC重叠部分的图形为四边形时，设此四边形的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）若点M是DF的中点，当点M恰好在Rt△ABC的内角角平分线上时，求t的值；（4）在点P的运动过程中，图中出现多少个彼此相似但互不全等的三角形，并写出相应的t值．12．（15•惠山区一模）如图，点A（0，2）、B（4，0），点P从（8，0）出发，以每秒2个单位长度沿x轴向坐标原点O匀速运动，同时，点Q从B点出发，以每秒1个单位长度沿x轴向坐标原点O匀速运动，过点P作x轴的垂线l，过点Q作AB的垂线l2，它们的交点为M．设运动的时间为t（0＜t＜4）秒（1）写出点M的坐标（用含t的代数式表示）；（2）设△MPQ与△OAB重叠部分的面积为S①试求S关于t的函数关系式；②在整个运动过程中，S是否存在最大值？若有，写出S的最大值；若没有，请说明理由．13．（14•无锡模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标为（6，0），点C的坐标为（0，6），tan∠CBO=，E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连结CE．（1）求AC和OB的长；（2）设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下试说明S是否存在最大值？若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标．14．（14•惠山区校级模拟）数学课上，张老师出示图1和下面的条件：如图1，两块都含有30°角的直角三角板ABC和DEF有一条边在同一直线L上，∠ABC=∠DEF=90°，AB=1，DE=2．将直线EB绕点E逆时针旋转30°，交直线AD于点M．将图中的三角板ABC沿直线L向右平移．请你和小明同学一起尝试探究下列问题：（1）当点C与点F重合时，如图2所示，AM与DM是否相等？；（填”是”或”否”）；（2）小明同学将图2中的三角板ABC绕点C逆时针旋转90°，将直线EB绕点E逆时针旋转30°，交直线AD于点M，如图3，过点B作EB的垂线交直线EM于G，连结AG，①求证：△ABG∽△CBE；②求AG 的长．（3）小明同学又将图1中的三角板ABC绕点C逆时针旋转m度，0＜m≤90，原题中的其他条件保持不变，如图4，设CE=x，计算的值（用含x的代数式表示）．15．（12•安徽模拟）如图，△ABC是边长为4cm的等边三角形，AD为BC边上的高，点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s，点Q沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s，若点P、Q两点同时出发，设它们的运动时间为x（s）．（l）求x为何值时，PQ⊥AC；x为何值时，PQ⊥AB？（2）当O＜x＜2时，AD是否能平分△PQD的面积？若能，说出理由；（3）探索以PQ为直径的圆与AC的位置关系，请写出相应位置关系的x的取值范围（不要求写出过程）．16．（2010•南京校级模拟）如图，直线l与x轴、y轴分别交于点M（8，0）点N（0，6），点P以每秒3个单位长度的速度沿NO由N向O运动，点Q以每秒5个单位长度的速度沿MN由M向N运动．已知点P，Q同时出发，且当一点运动到终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．（1）当四边形PQMO为梯形时，求t的值；（2）当△PQO为等腰三角形时，求t的值；（3）在整个运动中，以PQ为直径的圆能否与x轴相切？若能，请求出运动时间t；若不能，请说明理由．17．（11•浙江校级自主招生）如图，已知AB⊥MN，垂足为点B，P是射线BN上的一个动点，AC⊥AP，∠ACP=∠BAP，AB=4，BP=x，CP=y，点C到MN的距离为线段CD的长．（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）在点P的运动过程中，点C到MN的距离是否会发生变化？如果发生变化，请用x的代数式表示这段距离；如果不发生变化，请求出这段距离；（3）如果圆C与直线MN相切，且与以BP为半径的圆P也相切，求BP：PD的值．18．（11•确山县校级模拟）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，∠ABC=30°．D是CB上一点，DC=1cm．P、Q是直线CB上的两个动点，点P从C点出发，以1cm/s的速度沿直线CB向右运动，同时，点Q从D点出发，以2cm/s的速度沿直线CB向右运动，以PQ为一边在CB的上方作等边三角形PQR，如图是其运动过程中的某一位置．设运动的时间是t（s）．（1）△PQR的边长是cm（用含有t的代数式表示）；当t=时，点R落在AB上．（2）若等边△PQR与△ABC重叠部分的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．（3）在P、Q移动的同时，以点A为圆心、tcm为半径的⊙A也在不断变化，请直接写出⊙A与△PQR的三边所在的直线相切时t的值．19．（10•泰兴市校级一模）如图，将直角梯形ABCD置于直角坐标系中，点A和点C分别在x轴和y轴的正半轴上，点D和坐标原点O重合．已知：BC∥AD，BC=2，AD=AB=5，M（7，1），点P从点M出发，以每秒2个单位长度的速度水平向左平移，同时点Q从点A沿AB以每秒1个单位长度的速度向点B移动，设移动时间为t秒．（1）直接写出点Q和点P的坐标（用t的代数式表示）．（2）以点P为圆心，t个单位长度为半径画圆．①当⊙P与直线AB第一次相切时，求出点P坐标，并判断此时⊙P与x轴的位置关系，并说明理由．②设⊙P与直线MP交于E、F（E左F右）两点，当△QEF为直角三角形时，求t的值．20．（2008•上海）已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC（如图），E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点．（1）设BE=x，△ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长；（3）连接BD，交线段AM于点N，如果以A，N，D为顶点的三角形与△BME相似，求线段BE的长．1.（1）解：∵MN∥OB，OA∥BN，∠AOB=90°，∴四边形MOBN是矩形，∴MN∥OB，∴∠NPB=∠ABO=45°，故答案为：45．（2）①PO=PC；证明：∵OM∥BN，MN∥OB，∴四边形OBNM是矩形，∵∠AOB=90°，OA=OB，∴△AOB、△AMP、△PNB是等腰直角三角形，∴PN=BN=OM，∵∠MPO+∠NPC=90°，∠MPO+∠MOP=90°，∴∠NPC=∠MOP，又∠OMP=∠PNC=90°，∴△OPM≌△PCN，∴PO=PC．②依题意可得：，∴．∴=（3）①当点P与点A重合时，点P、M、A三点重合，点C、N重合，由PC⊥BC，则线段PN与⊙B相切，即PN与⊙B有交点，此时PC=2，P（0，2）；②当点P恰好在⊙B上时，点C在第四象限，此时BP=BC，∴，即∴m=2，∴，∴当MN与⊙B相切时，此时BC=BN=PN，同理可证得：△OPM≌△PCN，则PC=OP，PN=OM，NC=MP，则MP+PN=CN+PN=3PN=MN，故，，∴综上，当t=0或时，线段PN与⊙B有一个交点．2.解：（1）由折叠知BE=EM，∠B=∠EMP=90°．①△AEM的周长=AE+EM+AM=AE+EB+AM=AB+AM．∵AB=4，M是AD中点，∴△AEM的周长=4+2=6（cm）；②现证明EP=AE+PD方法一：取EP的中点G，则在梯形AEPD中，MG为中位线，∴MG=（AE+PD），在Rt△EMP中，MG为斜边EP的中线，∴MG=EP，∴EP=AE+PD．方法二：延长EM交CD延长线于Q点．∵∠A=∠MDQ=90°，AM=DM，∠AME=∠DMQ，∴△AME≌△DMQ．∴AE=DQ，EM=MQ．又∵∠EMP=∠B=90°，∴PM垂直平分EQ，有EP=PQ．∵PQ=PD+DQ，∴EP=AE+PD．（2）△PDM的周长保持不变．设AM=x，则MD=4﹣x．由折叠性质可知，EM=4﹣AE，在Rt△AEM中，AE2+AM2=EM2，即AE2+x2=（4﹣AE）2，整理得：AE2+x2=16﹣8AE+AE2，∴AE=（16﹣x2），又∵∠EMP=90°，∴∠AME+∠DMP=90°．∵∠AME+∠AEM=90°，∴∠AEM=∠DMP．又∵∠A=∠D，∴△PDM∽△MAE．∴∴C△PDM=C△MAE•=（4+x）•=8．∴△PDM的周长保持不变．3解：（1）①A（1，0），B（0，3），C（0，1），D（﹣3，0），，如图1，当△DEF∽△COD时，，∴EF=，∴F（﹣1，）；当△DEF∽△COD时，DF=DEcos∠CDO=，作FK⊥OD于K，则FK=DFsin∠CDO=，DK=DFcos∠CDO=，∴F（﹣，）；②如图2，以CD为直径作圆，设其圆心为P，交直线a于点Q、Q′，连接PQ，P Q′，，由圆周角定理，可得∠CQO=∠CQ′O=∠CDO，在Rt△CDO中，由勾股定理可得CD=，则PQ=CD=，又∵P为CD中点，P（，），设Q（﹣1，a），则（）2+（a﹣）2=，解得a=2或﹣1，∴Q（﹣1，2）或（﹣1，﹣1）．（2）如图3，，连接OG、OH，∵点G为直角三角形OAB的AB边上的中点，∴OG=AB；∵点H为直角三角形OCD的CD边上的中点，∴OH=CD；∵AB=CD，OG=AB，OH=CD，∴OG=OH，OG⊥OH，∴△OGH为等腰直角三角形；∵M为GH中点，∴OM=OG，OM⊥OG，∴△OMG为等腰直角三角形，∴OG=OM=，∴AB=2OG=2=4；∵l：y=mx﹣4m，∴A（4，0），B（0，﹣4m）．因为OA2+OB2=AB2，所以42+（﹣4m）2=（4）2，解得m=﹣2或m=2，根据图示，可得点B的纵坐标大于0，∴m=﹣2，﹣4m=（﹣4）×（﹣2）=8，∴l的函数解析式是：y=﹣2x+8．4解：（1）如图1，由折叠可得：HF=AB=24，GE=BC=10．∴S菱形EFGH=HF•GE=×24×10=120．∴菱形EFGH的面积为120cm2．（2）证明：如图2，由折叠可得：EF⊥AC．OA=OC．∵四边形ABCD是矩形，∴DC∥AB．∴∠ECO=∠FAO．在△EOC和△FOA中，．∴△EOC≌△FOA（ASA）．∴OE=OF．∵OE=OF，OC=OA，∴四边形AECF是平行四边形．∵EF⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形．（3）①将矩形纸片分别沿着AC、BD折叠，设两折痕的交点为0，展开后沿经过点O的线FH折叠，展开后再沿经过点O且与FH垂直的线EG折叠，则图3中的四边形EFGH就是符合要求的菱形EFGH．②∵四边形ABCD是矩形，四边形EFGH是菱形，∴∠GDH=∠GOH=90°．∴O、G、D、H四点共圆．∴∠GHO=∠GDO．∴tan∠GHO=tan∠GDO．∴===．设OG=5k，则OH=12k．∴FH=24k，GE=10k．∴S菱形EFGH=FH•GE=120k2．在Rt△ABC中，AC===26．∴OA=AC=13．当OH⊥AD时，OH=AB=12．∴12＜OH＜13．∴12＜12k＜13．∴1＜k＜．∴1＜k2＜．∴120＜120k2＜．∴120＜S菱形EFGH＜．即菱形EFGH的面积大于120cm2且小于cm2．5解：（1）不变；=，如图1，连接AD、BC交于一点Q，AD交BO于P，∵∠AOB=∠COD=90°，∠ABO=∠DCO=30°，∵，∠AOD=∠BOC，∴△AOD∽△BOC，∴∠OAD=∠CBO，，∵∠APO=∠BPO，∴∠BQP=∠AOB=90°，∴AD⊥BC，∵点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，∴EF∥AD，EF=AD，∴MF∥BC，MF=BC，在Rt△EFM中，=；（2）如图2，过O作OE⊥AB于E，∵BO=3，∠ABO=30°，∴AO=，AB=，∴AB•OE=OA•OB，∴OE=，∴当P在点E处时，点P到O点的距离最近为，这时当旋转到OE与OD重合是，NP取最小值为：OP﹣ON=；如图4，当点P在点B处时，且当旋转到OB在DO的延长线时，NP取最大值OB+ON=3+1=4，∴线段PN长度的最小值为，最大值为4．故答案为：4，．6解：（1）作NH⊥BC于点H．∵PQ∥CA，∴△BPQ∽△BCA，∴，即，解得：BQ=t，∵在△BPQ和△HNP，∴，∴△BPQ≌△HNP，∴HP=BQ=t，NH=BP=2t，则BH=2t+=，则N点坐标（4﹣t，3﹣2t）；（2）当MN在AC上时，如图②．∵△BPQ∽△BCA，∴，即，解得：PQ=t，当MN在AC上时，PN=PQ=，△ABC∽△PNC，即，即，解得：t=．则S=t2．其中，0≤t≤．当t＞时，设PN交AC于点E，如图③．则△ABC∽△PEC，则，即，解得：PE=，则S=﹣3t2+6t．其中，＜t≤2．（3）设AC的解析式是y=kx+b，则，解得：，则设直线MN的解析式是y=﹣x+c，则﹣（4﹣t）+c=3﹣2t，解得：c=，则直线的解析式是y=﹣x+（）．同理，直线PQ的解析式是y=﹣x+（﹣t），F的坐标是（2t，1）．当点F落在MN上时，t=．当点F落在PQ上时，∴t=．∴＜t＜．7解：（1）设直线AB解析式为y=kx+b，把A、B两点坐标代入可得，解得，∴直线AB解析式为y=x+8；设C点坐标为（0，x），则OC=CD=x，又A（﹣6，0），B（0，8），∴AO=6，BO=8，AB=10，∴AD=AO=6，BD=AB﹣AD=10﹣6=4，BC=OB﹣OC=8﹣x，在Rt△BCD中，由勾股定理可得BD2+CD2=BC2，即42+x2=（8﹣x）2，解得x=3，∴点C坐标为（0，3），设直线AC的解析式为y=mx+n，把A、C坐标代入可得，解得，∴直线AC的解析式为y=x+3；（2）由题意可知∠BAE=∠OAC，且∠BEA=∠∠COA=90°，∴△ABE∽△ACO，∴=，又由（1）可知AB=10，AC=3，AO=6，∴=，解得AE=4，∵E在直线AC上，∴可设点E坐标为（x，x+3），∴AE=，∴=4，解得x=2或x=﹣14（舍去），∴E点坐标为（2，4），若C为△EOF的内心，则∠FEA=∠OEA，且∠FAE=∠OAE，在△AOE和△AFE中∴△AOE≌△AFE（ASA），∴AF=AO=6，∵点F在直线AB上，∴可设F点坐标为（a，a+8），∴AF==6，解得a=﹣或a=﹣（舍去），∴F（﹣，），分别过F、E作x轴的垂线，垂足分别为M、N，如图，则FM=，OM=，且NE=4，ON=2，∴=，且∠FMO=∠ENO=90°，∴△FMO∽△ENO，∴∠FOM=∠EON，∴∠FOB=∠EOB，即OB平分∠FOE，∴C为△EOF的内心，综上可知存在点F（﹣，），使点C为△EOF的内心．8解：（1）∵点P与点B重合，点B的坐标是（2，1），∴点P的坐标是（2，1）．∴PA的长为2；（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为M，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，如图1所示．∵点A的纵坐标与点B的横坐标相等，∴OA=AB．∵∠OAB=90°，∴∠AOB=∠ABO=45°．∵∠AOC=90°，∴∠POC=45°．∵PM⊥x轴，PN⊥y轴，∴PM=PN，∠ANP=∠CMP=90°．∴∠NPM=90°．∵∠APC=90°．∴∠APN=90°﹣∠APM=∠CPM．在△ANP和△CMP中，，∴△ANP≌△CMP．∴PA=PC．∴PA：PC的值为1：1；（3）①若点P在线段OB的延长线上，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，PM与直线AC的交点为F，如图2所示．∵∠APN=∠CPM，∠ANP=∠CMP，∴△ANP∽△CMP．∴．∵∠ACE=∠AEC，∴AC=AE．∵AP⊥PC，∴EP=CP．∵PM∥y轴，∴AF=CF，OM=CM．∴FM=OA．设OA=x，∵PF∥OA，∴△PDF∽△ODA．∴，∵PD=2OD，∴PF=2OA=2x，FM=x．∴PM=x．∵∠APC=90°，AF=CF，∴AC=2PF=4x．∵∠AOC=90°，∴OC=x．∵∠PNO=∠NOM=∠OMP=90°，∴四边形PMON是矩形．∴PN=OM=x．∴PA：PC=PN：PM=x：x=．②若点P在线段OB的反向延长线上，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，PM与直线AC的交点为F，如图3所示．同理可得：PM=x，CA=2PF=4x，OC=x．∴PN=OM=OC=x．∴PA：PC=PN：PM=x：x=．综上所述：PA：PC的值为或．9解：探究一：（1）依题意画出图形，如答图1所示：由题意，得∠CFB=60°，FP为角平分线，则∠CFP=30°，∴CF=BC•tan30°=3×=，∴CP=CF•tan∠CFP=×=1．过点A作AG⊥BC于点G，则AG=BC=，∴PG=CG﹣CP=﹣1=．在Rt△APG中，由勾股定理得：AP===．（2）由（1）可知，FC=．如答图2所示，以点A为圆心，以FC=长为半径画弧，与BC交于点P1、P2，则AP1=AP2=．过点A过AG⊥BC于点G，则AG=BC=．在Rt△AGP1中，cos∠P1AG===，∴∠P1AG=30°，∴∠P1AB=45°﹣30°=15°；同理求得，∠P2AG=30°，∠P2AB=45°+30°=75°．∴∠PAB的度数为15°或75°．探究二：△AMN的周长存在有最小值．如答图3所示，连接AD．∵△ABC为等腰直角三角形，点D为斜边BC的中点，∴AD=CD，∠C=∠MAD=45°．∵∠EDF=90°，∠ADC=90°，∴∠MDA=∠NDC．∵在△AMD与△CND中，∴△AMD≌△CND（ASA）．∴AM=CN．设AM=x，则CN=x，AN=AC﹣CN=BC﹣CN=﹣x．在Rt△AMN中，由勾股定理得：MN====．△AMN的周长为：AM+AN+MN=+，当x=时，有最小值，最小值为+=．∴△AMN周长的最小值为．10解：（1）令y=0，则x﹣6=0，解得x=8，令x=0，则y=﹣6，∴点M（8，0），N（0，﹣6）∴OM=8，ON=6，由图2可知5秒后直线经过点C，∴CM=5，OC=OM﹣CM=8﹣5=3，∴C（3，0），∵10秒～a秒被截线段长度不变，∴先经过点B；故填：（3，0）；B（2）由图2可知BM=10，∴OB=BM﹣OM=10﹣8=2，∴B（﹣2，0），在Rt△OCD中，由勾股定理得，CD==5，∴BC=CD=5，∴▱ABCD是菱形，∵，∴MN⊥CD，∴n=DO=4∵设直线MN向x轴负方向平移的速度为每秒1个单位的长度，平移后的直线解析式为y=（x+t）﹣6，把点D（0，4）代入得，（0+t）﹣6=4，解得t=，∴a=；故答案为：（1）（3，0），B；（2）（﹣2，0），4，；（3）当0≤t≤5时，y=0；当5＜t≤10，如图1，该直线与BC、CD分别交于F、E，FC=t﹣5，∵直线CD的解析式为：y=﹣x+4，∴EF⊥CD，∴△CEF∽△COD，∴，∴，∴EF=，CE=，∴y=××==t2﹣12t+30，当10＜t≤，如图2，直线与AB、CD分别交于G、E，与射线CB交于F，FB=t﹣10，∵△BGF∽△COD，∴∴FG=，BG=，y=S△CEF﹣S△BGF=﹣=（10t﹣75）=12t﹣90，当时，如图3，BG=，AG=5﹣，∵△EAG∽△DCO，∵=，∴DG=×（5﹣），∴y=20﹣（5﹣）××（5﹣）=，当t≥时y=20．综上所述：y=．11.解：（1）如图1，∵△APE绕点P顺时针旋转90°得到△DPF，∴∠D=∠A，∠DFP=∠AEP，∠DPB=∠APE=90°，AP=DP，EP=FP，AE=DF．∵点F与点B重合，∴PB=PF．∴EP=BP．∵AB=20，AP=4t，∴EP=BP=20﹣4t．∵∠APE=∠ABC=90°，∴PE∥BC．∴△APE∽△ABC，∴，∵BC=15，AP=4t，AB=20，∴PE=3t．∵EP=BP=20﹣4t，∴3t=20﹣4t．解得：t=．∴t的值为（秒）．（2）当△DPF与△ABC重叠部分的图形为四边形时，如图2，此时．∵PE∥BC，∴∠DEG=∠C．又∵∠D=∠A，∴△DGE∽△ABC．∴=（）2．∵∠B=90°，AB=20，BC=15，∴AC=25，S△ABC=×20×15=150．∵DE=DP﹣EP=AP﹣EP=4t﹣3t=t，∴=（）2．∴S△DGE=．∵S△DPF=S△APE=AP•EP=×4t×3t=6t2，∴S=S△DPF﹣S△DGE=6t2﹣=．∴S与t的函数关系式为S=．其中．（3）设DF交AC于点G，过点M作MH⊥AB于点H，过点M作MN⊥BC于点N，如图3，∵△DEG∽△ACB，∴∠DGE=∠B=90°，=．∵DE=t，AB=20，AC=25，∴DG=．∵∠APE=90°，AP=4t，PE=3t，∴AE=5t．∴DF=AE=5t∵点M是DF的中点，∴DM=FM=DF=．∴MG=DM﹣DG=﹣=．∵∠MHF=∠DPF=90°，∴MH∥DP．∴△FNM∽△FPD．∴=．∴MH=DP=2t，FH=FP=EP=．∴PH=FH=．∴HB=AB﹣AP﹣PH=20﹣4t﹣=20﹣．∵∠MHB=∠B=∠MNB=90°，∴四边形MNBH是矩形．∴MN=HB=20﹣．①当点M在∠A的角平分线上时，∵MG⊥AC，MH⊥AB，∴MG=MH．∴=2t．解得：t=0．（舍去）②当点M在∠B的角平分线上时，∵MH⊥AB，MN⊥BC，∴MH=MN．∴2t=20﹣．解得：t=．③当点M在∠C的角平分线上时，∵MG⊥AC，MN⊥BC，∴MG=MN．∴=20﹣．解得：t=．12解：（1）由题意得：P（8﹣2t，0），Q（4﹣t，0），∴PQ=4﹣t，∵△OAB∽△QPM，∴===2，∴PM=2PQ=8﹣2t，∴M（8﹣2t，8﹣2t）；（2）①设l2与AB的交点为C，l1与AB的交点为D，易得直线AB对应的解析式为y=﹣x+2，∴8﹣2t=﹣（8﹣2t）+2，解得：t=；（i）当0＜t≤2时，如图1所示，在Rt△OAB中，AB=2，由△OAB∽△CQB，得到=（）2，∴S=S△CQB=××2×4=t2；（ii）当2＜t＜时，如图2所示，PD=2t﹣4，由△OAB∽△PDB，得到PD=t﹣2，∴S=S四边形CQPD=S△CQB﹣S△PDB=S△CQB﹣PD•PB=t2﹣•（2t﹣4）•（t﹣2）=﹣t2+4t﹣4；（iii）当≤t＜4时，S=S△POM=PQ•PM=•（4﹣t）•（8﹣2t）=（4﹣t）2=t2﹣8t+16；②（i）当0＜t≤2时，S=t2，此时当t=2时，S最大=；（ii）当2＜t＜时，S=﹣t2+4t﹣4=﹣（t﹣）2+1，此时当t=时，S最大=1；（iii）当≤t＜4时，S=（4﹣t）2，此时当t=时，S最大=，综上，当t=时，S最大=1．13解：（1）∵点A的坐标为（6，0），点C的坐标为（0，6），∴OA=6，OC=6，由勾股定理得到AC=，在Rt△BOC中，tan∠CBO=∴BO=2；（2）依题意，AE=m，则BE=4﹣m，∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC．∴，即，∵S△ABC=AB•OC==12，∴S△BEF=（4﹣m）2，∴，自变量m的取值范围是0＜m＜4．（3）S存在最大值．∵，∴当m=2时，S有最大值，S最大值=3，∵AE=m=2，∴OE=OA﹣AE=4，∴点E的坐标为（4，0）．14.（1）解：是，如图2，∵∠MEB=∠ACB=30°，∴AC∥EM，∴=∵∠MEB=∠DFE=30°，∴OE=OF，∵∠DEF=90°，∠MEB=30°，∴∠DEM=∠EDF=60°，∴OD=OE，∴OD=OF，∴AM=DM；（2）①证明：∵∠EBG=90°，∠ABC=90°，∴∠EBG=∠ABC，∴∠EBG﹣∠ABE=∠ABC﹣∠ABE，即∠ABG=∠EBF，∵∠GEB=30°∠EBG=90°，∴tan30°=，在RT△ABC中，∠ACB=30°，∴tan30°=，∴=，∴△ABG∽△CBE；②解：如图3，在RT△DEF中，DE=2，∠DFE=30°，∴EF==2，在RT△ABF中，AB=1，∠AFB=30°，∴BF==，∵△ABG∽△CBE，∴=，即=，∴AG=2；（3）解：如图4，过B点作BG⊥BE，交EM的延长线于G，连接AG，同（2）即可证明△ABG∽△CBE，∴∠BEF=∠AGB，==，∴AG=EC=x，∴∠MEB=30°，∴∠DEM+∠BEF=60°，∠EGA+∠AGB=60°∵∠BEF=∠AGB，∴∠DEM=∠EGA，∴DE∥AG，∴△AGM∽△DEM，∴===x．15.解：（1）当Q在AB上时，显然PQ不垂直于AC，当Q在AC上时，由题意得，BP=x，CQ=2x，PC=4﹣x；∵AB=BC=CA=4，∴∠C=60°；若PQ⊥AC，则有∠QPC=30°，∴PC=2CQ，∴4﹣x=2×2x，∴x=；当x=（Q在AC上）时，PQ⊥AC；如图：①当PQ⊥AB时，BP=x，BQ=x，AC+AQ=2x；∵AC=4，∴AQ=2x﹣4，∴2x﹣4+x=4，∴x=，故x=时PQ⊥AB；（2）过点QN⊥BC于点N，当0＜x＜2时，在Rt△QNC中，QC=2x，∠C=60°；∴NC=x，∴BP=NC，∵BD=CD，∴DP=DN；∵AD⊥BC，QN⊥BC，∴DP=DN；∵AD⊥BC，QN⊥BC，∴AD∥QN，∴OP=OQ，∴S△PDO=S△DQO，∴AD平分△PQD的面积；（3）显然，不存在x的值，使得以PQ为直径的圆与AC相离，当x=或时，以PQ为直径的圆与AC相切，当0≤x＜或＜x＜或＜x≤4时，以PQ为直径的圆与AC相交．16.解：（1）当PQ∥OM时，四边形PQMO为梯形此时有，即，解得：t=1，所以，当t=1秒时，四边形PQMO为梯形．（2）P点的坐标为（0，6﹣3t），Q点的坐标为（8﹣4t，3t），△PQO为等腰三角形；当PO=OQ时，作OH⊥x轴于点H，在Rt△OQH中，有（6﹣3t）2=（8﹣4t）2+（3t）2，此时方程无实数根，故此种情况不存在；当PQ=OQ时，此时Q在OP的垂直平分线上，所以P点的纵坐标是Q点纵坐标的2倍，即有6﹣3t=2×3t，解得t=，当t=秒时，△PQO为等腰三角形；当PO=PQ时，作QG⊥y轴于点G．在Rt△PGQ中，有（6﹣3t）2=（8﹣4t）2+（6﹣3t﹣3t）2，此时方程无实数根，故此种情况不存在（3）若以PQ为直径的⊙A与x轴相切点T，连接AT，作QB⊥x轴于点B，则A T=R=（OP+QB）=PQ，即OP+QB=PQ，所以[（6﹣3t）+3t]2=（8﹣4t）2+（6﹣3t﹣3t）2，解得：t1=，t2=2，所以当t1=，t2=2时，以PQ为直径的圆与x轴相切．17.解：（1）∵AB⊥MN，AC⊥AP，∴∠ABP=∠CAP=90°．又∵∠ACP=∠BAP，∴△ABP∽△CAP．∴．即．∴所求的函数解析式为（x＞0）（2）CD的长不会发生变化．延长CA交直线MN于点E．∵AC⊥AP，∴∠PAE=∠PAC=90°．∵∠ACP=∠BAP，∴∠APC=∠APE．∴∠AEP=∠ACP．∴PE=PC．∴AE=AC．∵AB⊥MN，CD⊥MN，∴AB∥CD．∴．∵AB=4，∴CD=8．（3）∵圆C与直线MN相切，∴圆C的半径为8．（i）当圆C与圆P外切时，CP=PB+CD，即y=x+8，∴，∴x=2，∴BP=2，∴CP=y=2+8=10，根据勾股定理得PD=6 ∴BP：PD=．（ii）当圆C与圆P内切时，CP=|PB﹣CD|，即y=|x﹣8|，∴．∴或．∴x=﹣2（不合题意，舍去）或无实数解．∴综上所述BP：PD=．18.解：（1）△PQR的边长PQ=CQ﹣CP=（CD+DQ）﹣CP=（1+2t）﹣t=（t+1）cm；∵当t为某值时，点R落在AB上，三角形RPQ是等边三角形，∴QB=QR=QP=t+1，∠RQD=60°，∴∠RQB=120°，∠QRB=30°，∴△QRB为等腰三角形，∵QB=CB﹣CP﹣PQ=6﹣t﹣（t+1）=5﹣2t，∴5﹣2t=t+1，解得：t=s；（2）分为四种情况：①当0≤t＜时，如图1：重叠部分是△RPQ，∵△RPQ的边长为t+1，∴高为（t+1）cm，∴y=×（t+1）×（t+1）=（t+1）2；②当≤t＜时，如图2：重叠部分为四边形MNQP，∵∠B=30°，且△RPQ为等边三角形，∴∠RPQ=∠R=60°，∴∠PMN=90°，且PB=BC﹣CP=6﹣t，∠RNM=30°，∴PM=（6﹣t），∴MR=PR﹣PM=（t+1）﹣（6﹣t）=（3t﹣4），∴MN=MR•tan60°=（3t﹣4），∴y=（t+1）2﹣（3t﹣4）2=﹣t2+t﹣=﹣（t﹣2）2+；③当≤t＜6时，如图3：同理可得y=（6﹣t）2；④当t≥6时，如图4：此时y=0．（3）（一）如图a，⊙A与RQ所在的直线相切时，切点为N，N在QR的延长线上，AB与NQ交于L点，AN=t，得到AL=2t，QB=5﹣2t，得到BL=（5﹣2t），AB=4=BL﹣AL=（5﹣2t）﹣2t，得到t=．即t=．如图b，若NR交AB与E，∵⊙A半径=AN=t，则AE=2t，QE=QB=5﹣2t，BE=（5﹣2t），AB=4=BE+AE=（5﹣2t）+2t，∴t=，（二）如图c：当⊙A与PQ所在的直线相切时，∵AC⊥PQ所在的直线，∴⊙A半径=AC=t=2．此时，若设AB与PR相交于M，则AM=⊙A半径=2，∴BM=4﹣2=2，∴∠PMB=90°，∴⊙A 也同时与PR相切．（三）如图d：⊙A与PR所在的直线相切时，切点为M，可知道点M在AB延长线上，在Rt△PBM中，∠ABC=30°，有AM=t，BM=AM﹣AB=t﹣4，斜边PB=CP﹣BC=t﹣6，所以PB=BM，有（t﹣6）=t﹣4，得到t=4+6；19.解：（1）点P（7﹣2t，1），Q（5﹣t，t）；（2）①当⊙P与直线AB第一次相切时，则点P到直线AB的距离（7﹣2t﹣5+t）=t，解得t=，则点P（，1），此时⊙P与x轴相离；②根据题意，得E（7﹣3t，1），F（7﹣t，1）．要使△QEF为直角三角形，①若EF是斜边：根据勾股定理，得（2﹣t）2+2（1﹣t）2+（2﹣t）2=4t2，解得t=．②若QE是斜边：（﹣4）2+4t2=（t﹣4）2，解得t=；③若QF是斜边：4t2+（﹣4）2=（﹣4）2，解得t=5．20.解：（1）取AB的中点H，连接MH，∵M是线段DE的中点∴MH=（BE+AD），MH∥AD，∵∠DAB=90°，∴AD⊥AB，∴MH⊥AB，∴S△ABM=AB•MH得y=x+2；（x＞0）（2）过点D作DF⊥BC交于F，由图形可得DE=，又∵MH=AD+BE=（AD+BE），即（x+4）=[2+]．解得x=．即线段BE的长为．（3）因为如果三角形ADN和BME相似，一定不相等的角是∠ADN和∠MBE，因为AD∥BC，如果两角相等，那么M与D重合，显然不合题意，故应分两种情况进行讨论．①当∠ADN=∠BEM时，那么∠ADB=∠BEM，作DF⊥BE，垂足为F，tan∠ADB=tan∠BEM．AB：AD=DF：FE=AB：（BE﹣AD）．即2：4=2：（x﹣4）．解得x=8．即BE=8．②当∠ADB=∠BME，而∠ADB=∠DBE，∴∠DBE=∠BME，∵∠E是公共角，∴△BED∽△MEB，∵，即BE2=DE•EM，∴BE2=DE2，∴x2=[22+（x﹣4）2]，∴x1=2，x2=﹣10（舍去），∴BE=2．综上所述线段BE为8或2．。

课前导学:相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验．如果已知∠A＝∠D，探求△ABC与△DEF相似，只要把夹∠A和∠D的两边表示出来，按照对应边成比例，分和两种情况列方程．应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题．求线段的长，要用到两点间的距离公式，而这个公式容易记错．理解记忆比较好．如图1，如果已知A、B两点的坐标，怎样求A、B两点间的距离呢？我们以AB为斜边构造直角三角形，直角边与坐标轴平行，这样用勾股定理就可以求斜边AB的长了．水平距离BC的长就是A、B两点间的水平距离，等于A、B两点的横坐标相减；竖直距离AC就是A、B两点间的竖直距离，等于A、B两点的纵坐标相减．九年级数学试题因动点产生的相似三角形问题1.如图，在平面直角坐标系中，双曲线kyx=（k≠0）与直线y＝x＋2都经过点A(2,m)．（1）求k与m的值；（2）此双曲线又经过点B(n,2)，过点B的直线BC与直线y＝x＋2平行交y轴于点C，联结AB、AC，求△ABC的面积；（3）在（2）的条件下，设直线y＝x＋2与y轴交于点D，在射线CB上有一点E，如果以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似，且相似比不为1，求点E的坐标．满分解答:（1）将点A(2,m)代入y＝x＋2，得m＝4．所以点A的坐标为(2,4)．将点A(2,4)代入kyx=，得k＝8．（2）将点B (n ,2)，代入8y x=，得n ＝4．所以点B 的坐标为(4,2)．设直线BC 为y ＝x ＋b ，代入点B (4,2)，得b ＝－2．所以点C 的坐标为(0,－2)．由A (2,4)、B (4,2)、C (0,－2)，可知A 、B 两点间的水平距离和竖直距离都是2，B 、C 两点间的水平距离和竖直距离都是4．所以AB＝BC＝，∠ABC ＝90°．所以S △ABC ＝12BA BC ⋅＝12⨯＝8．（3）由A (2,4)、D (0,2)、C (0,－2)，得AD＝AC＝．由于∠DAC ＋∠ACD ＝45°，∠ACE ＋∠ACD ＝45°，所以∠DAC ＝∠ACE ．所以△ACE 与△ACD 相似，分两种情况：①如图3，当CE AD CA AC=时，CE ＝AD＝此时△ACD ≌△CAE ，相似比为1．②如图4，当CE AC CA AD ==CE＝．此时C 、E 两点间的水平距离和竖直距离都是10，所以E (10,8)．图3图4图22.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点D的坐标为（1，﹣），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为（4，0）．P点是抛物线上的一个动点，且横坐标为m．（l）求抛物线所对应的二次函数的表达式；（2）若动点P满足∠PAO不大于45°，求P点的横坐标m的取值范围；（3）当P点的横坐标m＜0时，过P点作y轴的垂线PQ，垂足为Q．问：是否存在P点，使∠QPO=∠BCO？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．3.如图，已知抛物线y=ax2﹣5ax+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于点A（1，0）和点B．（1）求抛物线的解析式；（2）求直线BC的解析式；（3）若点N是抛物线上的动点，过点N作NH⊥x轴，垂足为H，以B，N，H为顶点的三角形是否能够与△OBC相似？若能，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不能，请说明理由．4.如图1，已知抛物线的方程C 1：1(2)()y x x m m=-+-(m ＞0)与x 轴交于点B 、C ，与y 轴交于点E ，且点B 在点C 的左侧．（1）若抛物线C 1过点M (2,2)，求实数m 的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE 的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H ，使得BH ＋EH 最小，求出点H 的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C 1上是否存在点F ，使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．满分解答（1）将M (2,2)代入1(2)()y x x m m =-+-，得124(2)m m=-⨯-．解得m ＝4．（2）当m ＝4时，2111(2)(4)2442y x x x x =-+-=-++．所以C (4,0)，E (0,2)．所以S △BCE ＝1162622BC OE ⋅=⨯⨯=．（3）如图2，抛物线的对称轴是直线x ＝1，当H 落在线段EC 上时，BH ＋EH 最小．设对称轴与x 轴的交点为P ，那么HP EO CP CO=．因此234HP =．解得32HP =．所以点H 的坐标为3(1,)2．（4）①如图3，过点B 作EC 的平行线交抛物线于F ，过点F 作FF ′⊥x 轴于F ′．由于∠BCE ＝∠FBC ，所以当CE BC CB BF =，即2BC CE BF =⋅时，△BCE ∽△FBC ．设点F 的坐标为1(,(2)())x x x m m -+-，由''FF EO BF CO =，得1(2)()22x x m m x m+-=+．解得x ＝m ＋2．所以F ′(m ＋2,0)．由'CO BF CE BF =4m BF +=．所以(m BF m +=．由2BC CE BF =⋅，得2(2)m +=．整理，得0＝16．此方程无解．图2图3图4②如图4，作∠CBF ＝45°交抛物线于F ，过点F 作FF ′⊥x 轴于F ′，由于∠EBC ＝∠CBF ，所以BE BC BC BF=，即2BC BE BF =⋅时，△BCE ∽△BFC ．在Rt △BFF′中，由FF ′＝BF ′，得1(2)()2x x m x m +-=+．解得x ＝2m ．所以F ′(2,0)m ．所以BF′＝2m ＋2，2)BF m =+．由2BC BE BF =⋅，得2(2)2)m m +=+．解得2m =±综合①、②，符合题意的m为2+．5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2﹣8mx+4m+2（m＞2）与y轴的交点为A，与x轴的交点分别为B（x1，0），C（x2，0），且x2﹣x1=4，直线AD∥x轴，在x轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q．（1）求抛物线的解析式；（2）当0＜t≤8时，求△APC面积的最大值；（3）当t＞2时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．6．如图，抛物线y=x2+mx+n与直线y=﹣x+3交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？7．如图，已知二次函数(其中0＜m＜1)的图像与x轴交于A、B两点(点A在点B 的左侧)，与y轴交于点C，对称轴为直线l．设P为对称轴l上的点，连接PA、PC，PA=P C．(1)∠ABC的度数为°；(2)求P点坐标(用含m的代数式表示)；(3)在坐标轴上是否存在点Q(与原点O不重合)，使得以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，且线段PQ的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．8.如图，抛物线与x轴交于点A（﹣，0）、点B（2，0），与y轴交于点C（0，1），连接B C．（1）求抛物线的函数关系式；（2）点N为抛物线上的一个动点，过点N作NP⊥x轴于点P，设点N的横坐标为t（﹣＜t＜2），求△ABN的面积S与t的函数关系式；（3）若﹣＜t＜2且t≠0时△OPN∽△COB，求点N的坐标．9.如图1，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx （a ＞0）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO ＝BO ＝2，∠AOB ＝120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM ，求∠AOM 的大小；（3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标．10.如图1，已知抛物线211(1)444b y x b x =-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．图1满分解答（1）B 的坐标为(b ,0)，点C 的坐标为(0,4b )．（2）如图2，过点P 作PD ⊥x 轴，PE ⊥y 轴，垂足分别为D 、E ，那么△PDB ≌△PEC ．因此PD ＝PE ．设点P 的坐标为(x,x)．如图3，联结OP ．所以S 四边形PCOB ＝S △PCO ＋S △PBO ＝1152428b x b x bx ⨯⋅+⨯⋅=＝2b ．解得165x =．所以点P 的坐标为(1616,55)．图2图3（3）由2111(1)(1)()4444b y x b x x x b =-++=--，得A (1,0)，OA ＝1．①如图4，以OA 、OC 为邻边构造矩形OAQC ，那么△OQC ≌△QOA ．当BA QA QA OA=，即2QA BA OA =⋅时，△BQA ∽△QOA ．所以2()14b b =-．解得843b =±Q 为(1,23+)．②如图5，以OC 为直径的圆与直线x ＝1交于点Q ，那么∠OQC ＝90°。

三角形综合题归类考点：利用角相等证明垂直1. 已知BE ，CF 是△ABC 的高，且BP=AC ，CQ=AB ，试确定AP 与AQ 的数量关系和位置关系2. 如图，在等腰R t△ABC 中，∠ACB =90°，D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF ．(1)求证：CD=BF ；(2)求证：AD ⊥CF ；(3)连接AF ，试判断△ACF 的形状.拓展巩固：如图9所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：∠ADC ＝∠BDE ．3. 如图1，已知正方形ABCD 的边CD 在正方形DEFG 的边DE 上，连接AE ，GC . （1）试猜想AE 与GC 有怎样的位置关系，并证明你的结论；（2）将正方形DEFG 绕点D 按顺时针方向旋转，使E 点落在BC 边上，如图2，连接AE 和GC .你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.BAC E FQPD A BCDEF图9ABCDE F4.如图1，ABC ∆的边BC 在直线l 上，,AC BC ⊥且,AC BC =EFP ∆的边FP 也 在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF FP =（1） 在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB 与AP 所满足的 数量关系和位置关系；（2） 将EFP ∆沿直线l 向左平移到图2的位置时，EP 交AC 于点Q ,连接 ,AP BQ .猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； （3）将EFP ∆沿直线l 向左平移到图3的位置时，EP 的延长线交AC 的延长 线于点Q,连结,AP BQ ,你认为（2）中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.等腰三角形（中考重难点之一） 考点1：等腰三角形性质的应用1. 两个全等的含30，60角的三角板ADE 和三角板ABC ，如图所示放置，,,E A C 三点在一条直线上，连结BD ，取BD 的中点M ，连结,ME MC ．试判断EMC ∆的形状，并说明理由． MED CBA压轴题拓展：（三线合一性质的应用）已知Rt ABC ∆中，AC BC =，90C ∠=︒，D 为AB 边的中点，90EDF ∠=︒，EDF ∠绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ．l(1)A B(F) (E)C PABECFPQ (2) lABEC FP l(3)Q当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时（如图1），易证12DEF CEF ABC S S S ∆∆∆+=．当EDF ∠绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立? 若成立，请给予证明；若不成立，DEF S ∆，CEF S ∆，ABC S ∆又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．FEDCBA图1AECF BD图2AECFBD图32. 已知：如图，△ABC 中，∠ABC =45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G 。

2018年最新中考数学压轴精选15题(2)四边形动点和证明类1.（2018·荆州）阅读理解：在平面直角坐标系中，若两点P 、Q 的坐标分别是、P(x 1,y 1)，则P 、Q 这两点间的距离为如，，则Q(x 2,y 2)|PQ|=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2.P(1,2)Q(3,4)|．PQ|=(1-3)2+(2-4)2=22对于某种几何图形给出如下定义：符合一定条件的动点形成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹如平面内到线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线．.解决问题：如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直线交y 轴于点A ，点A y =kx +12关于x 轴的对称点为点B ，过点B 作直线l 平行于x 轴．到点A 的距离等于线段AB 长度的点的轨迹是______；(1)若动点满足到直线l 的距离等于线段CA 的长度，求动点C 轨迹的函数表达式；(2)C(x,y)问题拓展：若中的动点C 的轨迹与直线交于E 、F 两点，分别过E 、F (3)(2)y =kx +12作直线l 的垂线，垂足分别是M 、N ，求证：是外接圆的切线；①EF △AMN ②1AE +1AF 为定值．2.（2018·常州）如图1，已知EK垂直平分BC，垂足为D，AB与EK相交于点F，(1)连接求证：．CF.∠AFE=∠CFD如图2，在中，，P为MN的中点．(2)Rt△GMN∠M=90∘用直尺和圆规在GN边上求作点Q，使得保留作图痕迹，不要求写①∠GQM=∠PQN(作法；)在的条件下，如果，那么Q是GN的中点吗？为什么？②①∠G=60∘3.（2018·十堰）已知正方形ABCD与正方形CEFG，M是AF的中点，连接DM，EM．如图1，点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断DM，EM的数量关系与位(1)置关系，并直接写出结论；如图2，点E在DC的延长线上，点G在BC上，中结论是否仍然成立？请证明(2)(1)你的结论；将图1中的正方形CEFG绕点C旋转，使D，E，F三点在一条直线上，若，(3)AB=13CE，请画出图形，并直接写出MF的长．=5△ABC∠BAC=90∘AB=AC AD⊥BC4.（2018·阜新）如图，在中，，，于点D．如图1，点E，F在AB，AC上，且求证：；(1)∠EDF=90∘.BE=AF点M，N分别在直线AD，AC上，且．(2)∠BMN=90∘如图2，当点M在AD的延长线上时，求证：；①AB+AN=2AM当点M在点A，D之间，且时，已知，直接写出线段AM的长．②∠AMN=30∘AB=25.（2018·乐山）已知中，，点D、E分别在BC、AC边上，连结Rt△ABC∠ACB=90∘BE、AD交于点P，设，，k为常数，试探究的度数：AC=kBD CD=kAE∠APE如图1，若，则的度数为______；(1)k=1∠APE如图2，若，试问中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，求(2)k=3(1)∠APE出的度数．如图3，若，且D、E分别在CB、CA的延长线上，中的结论是否成立，请(3)k=3(2)说明理由．6.（2018·大连）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：△ABC∠ACB=90∘∠BAC=2∠DCB AC=AD 如图1，中，，点D在AB上，且，求证：．小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法：∠CAB方法1：如图2，作AE平分，与CD相交于点E．∠DCF=∠DCB方法2：如图3，作，与AB相交于点F．根据阅读材料，任选一种方法，证明．(1)AC=AD用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题：如图4，中，点D在AB上，点E在BC上，且，点F在BD (2)△ABC∠BDE=2∠ABC∠AFE=∠BAC∠DGF=∠BDE上，且，延长DC、FE，相交于点G，且．在图中找出与相等的角，并加以证明；①∠DEF若，猜想线段DE与DB的数量关系，并证明你的猜想．②AB=kDF7.（2018·攀枝花）如图，在中，，，动点P 从A 点出△ABC AB =7.5AC =9S △ABC =814.发，沿AB 方向以每秒5个单位长度的速度向B 点匀速运动，动点Q 从C 点同时出发，以相同的速度沿CA 方向向A 点匀速运动，当点P 运动到B 点时，P 、Q 两点同时停止运动，以PQ 为边作正、Q 、M 按逆时针排序，以QC 为边在AC 上方作△PQM(P )正，设点P 运动时间为t 秒．△QCN 求的值；(1)cosA 当与的面积满足时，求t 的值；(2)△PQM △QCN S △PQM =95S △QCN 当t 为何值时，的某个顶点点除外落在的边上．(3)△PQM (Q )△QCN△ABC CA=CB0∘<∠ACB≤90∘.8.（2018·沈阳）已知：是等腰三角形，，点M在边AC上，点N在边BC上点M、点N不与所在线段端点重合，，连接AN，()BN=AM BM，射线，延长BM交射线AG于点D，点E在直线AN上，且．AG//BC AE=DE 如图，当时(1)∠ACB=90∘求证：≌；①△BCM△ACN求的度数；②∠BDE当，其它多件不变时，的度数是______用含的代数式表示(2)∠ACB=α∠BDE(α)若是等边三角形，，点N是BC边上的三等分点，直线ED与直线(3)△ABC AB=33BC交于点F，请直接写出线段CF的长．9.（2018·北京）对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作．d(M,N)已知点，，．A(-2,6)B(-2,-2)C(6,-2)求点O，；(1)d(△ABC)记函数的图象为图形若，直接写出k的取值(2)y=kx(-1≤x≤1,k≠0)G.d(G,△ABC)=1范围；的圆心为，半径为若，直接写出t的取值范围．(3)⊙T T(t,0) 1.d(⊙T,△ABC)=110.（2018·衡阳）如图，在中，，，动点P从点C出发Rt△ABC∠C=90∘AC=BC=4cm以的速度沿CA匀速运动，同时动点Q从点A出发以的速度沿AB匀速运1cm/s2cm/s动，当点P到达点A时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为．t(s)当t为何值时，点B在线段PQ的垂直平分线上？(1)是否存在某一时刻t，使是以PQ为腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；(2)△APQ若不存在，请说明理由；以PC为边，往CB方向作正方形CPMN，设四边形QNCP的面积为S，求S关于t(3)的函数关系式．11.（2018·常德）已知正方形ABCD中AC与BD交于O点，点M在线段BD上，作直线AM交直线DC于E，过D作于H，设直线DH交AC于N．DH⊥AE如图1，当M在线段BO上时，求证：；(1)MO=NO如图2，当M在线段OD上，连接NE，当时，求证：；(2)EN//BD BM=AB在图3，当M在线段OD上，连接NE，当时，求证：．(3)NE⊥EC AN2=NC⋅AC12.（2018·菏泽）问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动如图1，.△ABC△ACD.AB=2cm 将：矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开，得到和并且量得，．AC=4cm操作发现：将图1中的以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使，得到(1)△ACD∠α∠α=∠BAC△AC'D AC'如图2所示的，过点C作的平行线，与的延长线交于点E，则四边形的形状是______．ACEC'创新小组将图1中的以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使B、A、D(2)△ACD△AC'D CC'三点在同一条直线上，得到如图3所示的，连接，取的中点F，连接AF并延长至点G，使，连接CG、，得到四边形，发现它是正方形，FG=AF C'G ACGC'请你证明这个结论．实践探究：缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作：将沿着BD方向平(3)△ABC移，使点B与点A重合，此时A点平移至点，与相交于点H，如图4所示，BC'连接，试求的值．CC'tan∠C'CH13.（2018·南充）如图，矩形ABCD中，，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AC=2AB，使点B的对应点落在AC上，交AD于点E，在上取点F，使AB'C'D'．求证：．(1)AE=C'E求的度数．(2)已知，求BF的长．(3)AB=214.（2018·黄冈）如图，在直角坐标系xOy中，菱形OABC的边OA在x轴正半轴上，∠C=120∘OA=8.点B，C在第一象限，，边长点M从原点O出发沿x轴正半轴以每秒1个单位长的速度作匀速运动，点N从A出发沿边以每秒2个单位长AB-BC-CO的速度作匀速运动，过点M作直线MP垂直于x轴并交折线OCB于P，交对角线OB 于Q，点M和点N同时出发，分别沿各自路线运动，点N运动到原点O时，M和N 两点同时停止运动．当时，求线段PQ的长；(1)t=2求t为何值时，点P与N重合；(2)设的面积为S，求S与t的函数关系式及t的取值范围．(3)△APN15.（2018·杭州）如图，在正方形ABCD 中，点G 在边BC 上不与点B ，C 重合，连结()AG ，作于点E ，于点F ，设．DE ⊥AG BF ⊥AG BG BC =k 求证：．(1)AE =BF 连结BE ，DF ，设，求证：．(2)∠EDF =α∠EBF =β.tan α=ktan β设线段AG 与对角线BD 交于点H ，和四边形CDHG 的面积分别为和，(3)△AHD S 1S 2求的最大值．S 2S 12018年最新中考数学压轴精选15题(2)四边形动点和证明类 答案和解析【答案】1.x 2+(y -12)2=12. 证明：如图1中，(1)垂直平分线段BC ，∵EK ，∴FC =FB ，∴∠CFD =∠BFD ，∵∠BFD =∠AFE ．∴∠AFE =∠CFD 作点P 关于GN 的对称点，连接交GN 于Q ，连接PQ ，点Q 即为所求．(2)①P'P'M结论：Q 是GN 的中点．②理由：设交GN 于K ．PP'，，∵∠G =60∘∠GMN =90∘，∴∠N =30∘，∵PK ⊥KN ，∴PK =KP'=12PN ，∴PP'=PN =PM ，∴∠P'=∠PMP'，∵∠NPK =∠P'+∠PMP'=60∘∴∠PMP'=30∘，∴∠N=∠QMN=30∘∠G=∠GMQ=60∘，，∴QM=QN QM=QG，，∴QG=QN，∴Q是GN的中点．3. 解：结论：，．(1)DM⊥EM DM=EM理由：如图1中，延长EM交AD于H．∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，∴∠ADE=∠DEF=90∘AD=CD，，∴AD//EF，∴∠MAH=∠MFE，∵AM=MF∠AMH=∠FME，，∴△AMH△FME≌，∴MH=ME AH=EF=EC，，∴DH=DE，∵∠EDH=90∘，∴DM⊥EM DM=ME，．如图2中，结论不变，．(2).DM⊥EM DM=EM理由：如图2中，延长EM交DA的延长线于H．∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，∴∠ADE=∠DEF=90∘AD=CD，，∴AD//EF，∴∠MAH=∠MFE，∵AM=MF∠AMH=∠FME，，∴△AMH△FME≌，∴MH=ME AH=EF=EC，，，∴DH =DE ，∵∠EDH =90∘，．∴DM ⊥EM DM =ME 如图3中，作于R ．(3)MR ⊥DE在中，，Rt △CDE DE =132-52=12，，∵DM =NE DM ⊥ME ，，，∴MR =⊥DE MR =12DE =6DR =RE =6在中，Rt △FMR FM =MR 2+FR 2=62+112=157如图4中，作于R ．MR ⊥DE在中，，Rt △MRF FM =12+62=37故满足条件的MF 的值为或．371574. 解：，，(1)∵∠BAC =90∘AB =AC ，∴∠B =∠C =45∘，∵AD ⊥BC ，，∴BD =CD ∠BAD =∠CAD =45∘，，∴∠CAD =∠B AD =BD ，∵∠EDF =∠ADC =90∘，∴∠BDE =∠ADF ≌，∴△BDE △ADF(ASA)；∴DE =DF如图1，过点M 作，交AB 的延长线于点P ，(2)①MP ⊥AM ，∴∠AMP =90∘，∵∠PAM =45∘，∴∠P =∠PAM =45∘，∴AM =PM ，∵∠BMN =∠AMP =90∘，∴∠BMP =∠AMN ，∵∠DAC =∠P =45∘≌，∴△AMN △PMB(ASA)，∴AN =PB ，∴AP =AB +BP =AB +AN 在中，，，Rt △AMP ∠AMP =90∘AM =MP ，∴AP =2AM ；∴AB +AN =2AM 在中，，②Rt △ABD AD =BD =22AB =2，，∵∠BMN =90∘∠AMN =30∘，∴∠BMD =90∘-30∘=60∘在中，，Rt △BDM DM =BD tan ∠BMD =63． ∴AM =AD -DM =2-635. 45∘6. 解：方法一：如图2中，作AE 平分，与CD 相交于点E ．(1)∠CAB，，∵∠CAE =∠DAE ∠CAB =2∠DCB ，∴∠CAE =∠CDB ，∵∠CDB +∠ACD =90∘，∴∠CAE +∠ACD =90∘，∴∠AEC =90∘，，∵AE =AE ∠AEC =∠AED =90∘≌，∴△AEC △AED ．∴AC =AD 方法二：如图3中，作，与AB 相交于点F ．∠DCF =∠DCB，，∵∠DCF =∠DCB ∠A =2∠DCB ，∴∠A =∠BCF ，∵∠BCF +∠ACF =90∘，∴∠A +∠ACF =90∘，∴∠AFC =90∘，，∵∠ACF +∠BCF =90∘∠BCF +∠B =90∘，∴∠ACF =∠B ，∵∠ADC =∠DCB +∠B =∠DCF +∠ACF =∠ACD ．∴AC =AD 如图4中，结论：．(2)①∠DEF =∠FDG理由：在中，，△DEF ∵∠DEF +∠EFD +∠EDF =180∘在中，，△DFG ∵∠GFD +∠G +∠FDG =180∘，，∵∠EFD =∠GFD ∠G =∠EDF ．∴∠DEF =∠FDG 结论：．②BD =k ⋅DE 理由：如图4中，如图延长AC 到K ，使得．∠CBK =∠ABC ，，∵∠ABK =2∠ABC ∠EDF =2∠ABC ，∴∠EDF =∠ABK ，∵∠DFE =∠A ∽，∴△DFE △BAK ，∴DF AB =DE BK =1k ，∴BK =k ⋅DE ，∴∠AKB =∠DEF =∠FDG ，，∵BC =BC ∠CBD =∠CBK≌，∴△BCD △BCK ，∴BD =BK∴BD =k ⋅DE 7. 解：如图1中，作于E ．(1)BE ⊥AC，∵S △ABC =12⋅AC ⋅BE =814，∴BE =92在中，，Rt △ABE AE =AB 2-BE 2=6．∴coaA =AE AB =67.5=45如图2中，作于H ．(2)PH ⊥AC，，，，∵PA =5t PH =3t AH =4t HQ =AC -AH -CQ =9-9t ，∴PQ 2=PH 2+HQ 2=9t 2+(9-9t)2，∵S △PQM =95S △QCN ，∴34⋅PQ 2=95×34⋅CQ 2，∴9t 2+(9-9t)2=95×(5t)2整理得：，5t 2-18t +9=0解得舍弃或．t =3()35当时，满足．∴t =35S △PQM =95S △QCN 如图3中，当点M 落在QN 上时，作于H ．(3)①PH ⊥AC易知：，PM//AC ，∴∠MPQ =∠PQH =60∘，∴PH =3HQ ，∴3t =3(9-9t)．∴t =27-3326如图4中，当点M 在CQ 上时，作于H ．②PH ⊥AC同法可得，PH =3QH ，∴3t =3(9t -9)，∴t =27+3326综上所述，当或时，的某个顶点点除外落在的边上．t =27-3326s 27+3326s △PQM (Q )△QCN 8. 或α180∘-α9. 解：如图所示，点O 到的距离的最小值为2，(1)△ABC点O ，；∴d(△ABC)=1经过原点，在范围内，函数图象为线段，(2)y =kx(k ≠0)-1≤x ≤1当经过时，，此时；y =kx(-1≤x ≤1,k ≠0)(1,-1)k =-1d(G,△ABC)=1当经过时，，此时；y =kx(-1≤x ≤1,k ≠0)(-1,-1)k =1d(G,△ABC)=1，∴-1≤k ≤1，∵k ≠0且；∴-1≤k ≤1k ≠0与的位置关系分三种情况：(3)⊙T △ABC 当在的左侧时，由知此时；①⊙T △ABC d(⊙T,△ABC)=1t =-4当在内部时，②⊙T △ABC 当点T 与原点重合时，，知此时；d(⊙T,△ABC)=1t =0当点T 位于位置时，由知，T 3d(⊙T,△ABC)=1T 3M =2、，∵AB =BC =8∠ABC =90∘，∴∠C =∠T 3DM =45∘则，T3D =T 3M cos45∘=222=22，∴t =4-22故此时；0≤t ≤4-22当在右边时，由知，③⊙T △ABC d(⊙T,△ABC)=1T 4N =2，∵∠T 4DC =∠C =45∘，∴T 4D =T 4Ncos45∘=222=22；∴t =4+22综上，或或．t =-40≤t ≤4-22t =4+2210. 解：如图1中，连接BP ．(1)在中，，，Rt △ACB ∵AC =BC =4∠C =90∘点B 在线段PQ 的垂直平分线上，∴AB =42∵，∴BP =BQ ，，∵AQ =2t CP =t ，，∴BQ =42-2t PB 2=42+t 2，∴(42-2t)2=16+t 2解得或舍弃，t =12-8212+82()时，点B 在线段PQ 的垂直平分线上．∴t =12-82s 如图2中，当时，易知是等腰直角三角形，．(2)①PQ =QA △APQ ∠AQP =90∘则有，PA =2AQ ，∴4-t =2⋅2t 解得．t =43如图3中，当时，易知是等腰直角三角形，．②AP =PQ △APQ ∠APQ =90∘则有：，AQ =2AP ，∴2t =2(4-t)解得，t =2综上所述：或2s 时，是以PQ 为腰的等腰三角形．t =43s △APQ 如图4中，连接QC ，作于E ，作于则，，可得(3)QE ⊥AC QF ⊥BC F.QE =AE QF =EC QE +．QF =AE +EC =AC =4． ∵S =S △QNC +S △PCQ =12⋅CN ⋅QF +12⋅PC ⋅QE =12t(QE +QF)=2t(0<t <4)11. 解：正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于O ，(1)∵，，∴OD =OA ∠AOM =∠DON =90∘，∴∠OND +∠ODN =90∘，∵∠ANH =∠OND ，∴∠ANH +∠ODN =90∘，∵DH ⊥AE ，∴∠DHM =90∘，∴∠ANH +∠OAM =90∘，∴∠ODN =∠OAM ≌，∴△DON △AOM ；∴OM =ON连接MN ，(2)，∵EN//BD ，，∴∠ENC =∠DOC =90∘∠NEC =∠BDC =45∘=∠ACD ，同的方法得，，∴EN =CN (1)OM =ON ，∵OD =OD ，∴DM =CN =EN ，∵EN//DM 四边形DENM 是平行四边形，∴，∵DN ⊥AE ▱DENM 是菱形，∴，∴DE =EN ，∴∠EDN =∠END ，∵EN//BD ，∴∠END =∠BDN ，∴∠EDN =∠BDN ，∵∠BDC =45∘，∴∠BDN =22.5∘，∵∠AHD =90∘，∴∠AMB =∠DME =90∘-∠BDN =67.5∘，∵∠ABM =45∘，∴∠BAM =67.5∘=∠AMB ；∴BM =AB 设(3)CE =a(a >0)，∵EN ⊥CD ，∴∠CEN =90∘，∵∠ACD =45∘，∴∠CNE =45∘=∠ACD ，∴EN =CE =a ，∴CN =2a 设，DE =b(b >0)，∴AD =CD =DE +CE =a +b 根据勾股定理得，，AC =2AD =2(a +b)同的方法得，，(1)∠OAM =∠ODN ，∵∠OAD =∠ODC =45∘，，∴∠EDN =∠DAE ∵∠DEN =∠ADE =90∘∽，∴△DEN △ADE ，∴DE AD =EN DE，∴b a +b =a b 已舍去不符合题意的∴a =5-12b()，，∴CN =2a =10-22b AC =2(a +b)=10+22b ，∴AN =AC -CN =2b ，∴AN 2=2b 2AC ⋅CN =10+22b ⋅10-22b =2b 2．∴AN 2=AC ⋅CN 12. 菱形13. 证明：在中，，(1)∵Rt △ABC AC =2AB ，，∴∠ACB =∠AC'B'=30∘∠BAC =60∘由旋转可得：，，AB'=AB ∠B'AC =∠BAC =60∘，∴∠EAC'=∠AC'B'=30∘；∴AE =C'E 解：由得到为等边三角形，(2)(1)△ABB'，∴∠AB'B =60∘；∴∠FBB'=150∘解：由，得到，，(3)AB =2B'B =B'F =2∠B'BF =15∘过B 作，BH ⊥BF 在中，，即，Rt △BB'H BH =2×6+24=6+22则．BF =2BH =6+214. 解：当时，，(1)t =2OM =2在中，，Rt △OPM ∠POM =60∘，∴PM =OM ⋅tan60∘=23在中，，Rt △OMQ ∠QOM =30∘，∴QM =OM ⋅tan30∘=233．∴PQ =CN -QM =23-233=433由题意：，(2)8+(t -4)+2t =24解得．t =203当时，(3)①0<x <4S =12⋅2t ⋅43=43t.当时，②4≤x <203S =12×[8-(t -4)-(2t -8)]×43=403-63t.当时．③203≤x <8.S =12×[(t -4)+(2t -8)-8]×43=63t -403当时，④8≤x ≤12S =S 菱形ABCO -S △AON -S △ABP =323-12⋅(24-2t)⋅43-12⋅[8-(t -4)]⋅43．=63t -40315. 解：四边形ABCD 是正方形，(1)∵，，∴AD =AB ∠BAD =90∘，∴∠BAG +∠DAG =90∘，，∵DE ⊥AG BF ⊥AG ，∴∠AED =∠BFA =90∘，∴∠ADE +∠DAG =90∘，∴∠BAG =∠DAE ≌，∴△ADE △BAF(AAS)，∴AE =BF 由知，，(2)(1)∠BAG =∠EDA ，∵∠ABG =∠DEA ∽，∴△ABG △DEA ，∴AB DE =BG AE ∴AE DE =BG AB =BGBC =k在中，，Rt △DEF EF =DE ⋅tan α在中，，Rt △BEF EF =BF ⋅tan β，∴DE ⋅tan α=BF ⋅tan β；∴tan α=BF DE ⋅tan β=AEDE ⋅tan β=ktan β如图，(3)四边形ABCD 是正方形，∵，，∴BC//AD AD =BC ，∵BGBC =k ，∴BGAD =k ，∵AD//BC ∽，∴△ADH △GBH ，∴S 1S △BHG =S △ADH S △BHG =(AD BG )2=1k 2，∴S 1=1k 2⋅S △BHG设的边BG 上的高为h ，的边AD 上的高为，△BHG △ADH ，，∵S △BHG =12BG ⋅h ，，∴S △BHG S△BCD =12BG ⋅h 12BC ⋅h'=k 2，∴S △BHG S 2=k 21-k 2，∴S 2=1-k 2k 2⋅S △BHG ．∴S 1S 2=1-k 2【解析】1. 解：设到点A 的距离等于线段AB 长度的点D 坐标为，(1)(x,y)，∴AD 2=x 2+(y -12)2直线交y 轴于点A ，∵y =kx +12，∴A(0,12)点A 关于x 轴的对称点为点B ，∵，∴B(0,-12)，∴AB =1点D 到点A 的距离等于线段AB 长度，∵，∴x 2+(y -12)2=1故答案为：；x 2+(y -12)2=1过点B 作直线l 平行于x 轴，(2)∵直线l 的解析式为，∴y =-12，，∵C(x,y)A(0,12)，点C 到直线l 的距离为：，∴AC 2=x 2+(y -12)2(y +12)动点满足到直线l 的距离等于线段CA 的长度，∵C(x,y)，∴x 2+(y -12)2=(y +12)2动点C 轨迹的函数表达式，∴y =12x 2如图，(3)①设点点，E(m,a)F(n,b)动点C 的轨迹与直线交于E 、F 两点，∵y =kx +12，∴{y =12x 2y =kx +12，∴x 2-2kx -1=0，，∴m +n =2k mn =-1过E 、F 作直线l 的垂线，垂足分别是M 、N ，∵，，∴M(m,-12)N(n,-12)，∵A(0,12)，∴AM 2+AN 2=m 2+1+n 2+1=m 2+n 2+2=(m +n)2-2mn +2=4k 2+4，MN 2=(m -n)2=(m +n)2-4mn =4k 2+4，∴AM 2+AN 2=MN 2是直角三角形，MN 为斜边，∴△AMN 取MN 的中点Q ，点Q 是的外接圆的圆心，∴△AMN ，∴Q(k,-12)，∵A(0,12)直线AQ 的解析式为，∴y =-1k x +12直线EF 的解析式为，∵y =kx +12，∴AQ ⊥EF 是外接圆的切线；∴EF △AMN 证明：点点在直线上，②∵E(m,a)F(n,b)y =kx +12，，∴a =mk +12b =nk +12，NF ，EF 是的外接圆的切线，∵ME △AMN ，，∴AE =ME =a +12=mk +1AF =NF =b +12=nk +1，∴1AE +1AF =1mk +1+1nk +1=(m +n)k +2mnk 2+(m +n)k +1=2k 2+2-k 2+2k ⋅k +1=2(k 2+1)k 2+1=2即：为定值，定值为2．1AE +1AF 利用两点间的距离公式即可得出结论；(1)利用两点间的距离公式即可得出结论；(2)先确定出，，再确定出，，进而判断出是直角(3)①m +n =2k mn =-1M(m,-12)N(n,-12)△AMN 三角形，再求出直线AQ 的解析式为，即可得出结论；y =-1k x +12先确定出，，再求出，，②a =mk +12b =nk +12AE =ME =a +12=mk +1AF =NF =b +12=nk +1即可得出结论．此题是圆的综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，直角三角形的判定和性质，根与系数的关系，圆的切线的判定和性质，利用根与系数的确定出，m +n =2k mn =-1是解本题是关键．2. 只要证明即可解决问题；(1)FC =FB 作点P 关于GN 的对称点，连接交GN 于Q ，连接PQ ，点Q 即为所求．(2)①P'P'M 结论：Q 是GN 的中点想办法证明，，可得②.∠N =∠QMN =30∘∠G =∠GMQ =60∘QM =，；QN QM =QG 本题考查作图复杂作图、线段的垂直平分线的性质、直角三角形斜边中线的性质等知识，-解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．3. 结论：，只要证明≌，推出，，(1)DM ⊥EM DM =EM.△AMH △FME MH =ME AH =EF =EC 推出，因为，可得，；DH =DE ∠EDH =90∘DM ⊥EM DM =ME 结论不变，证明方法类似；(2)分两种情形画出图形，理由勾股定理以及等腰直角三角形的性质解决问题即可；(3)本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理以及直角三角形的性质，灵活运用相关的定理、正确作出辅助线是解题的关键．4. 先判断出，进而得出，再判断出，进而(1)∠BAD =∠CAD =45∘∠CAD =∠B ∠BDE =∠ADF 判断出≌，即可得出结论；△BDE △ADF 先判断出，进而判断出，判断出≌，即可判断(2)①AM =PM ∠BMP =∠AMN △AMN △PMB 出，再判断出，即可得出结论；AP =AB +AN AP =2AM 先求出BD ，再求出，最后用三角函数求出DM ，即可得出结论．②∠BMD =60∘此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，判断出≌是解的关键，构造出全等三角形是解的关键．△BDE △ADF (1)(2)5. 解：如图1，过点A 作，过点B 作相交于(1)AF//CB BF//AD F ，连接EF ，，，∴∠FBE =∠APE ∠FAC =∠C =90∘四边形ADBF 是平行四边形，，，∴BD =AF BF =AD，，∵AC =BD CD =AE ，∴AF =AC ，∵∠FAC =∠C =90∘≌，∴△FAE △ACD ，，∴EF =AD =BF ∠FEA =∠ADC ，∵∠ADC +∠CAD =90∘，∴∠FEA +∠CAD =90∘=∠EHD ，∵AD//BF ，∴∠EFB =90∘，∵EF =BF ，∴∠FBE =45∘，∴∠APE =45∘故答案为：．45∘中结论不成立，理由如下：(2)(1)如图2，过点A 作，过点B 作相交于F ，连接EF ，AF//CB BF//AD ，，∴∠FBE =∠APE ∠FAC =∠C =90∘四边形ADBF 是平行四边形，，，∴BD =AF BF =AD ，，∵AC =3BD CD =3AE ，∴AC BD =CDAE =3，∵BD =AF ，∴AC AF =CDAE =3，∵∠FAC =∠C =90∘∽，∴△FAE △ACD ，，∴AC AF =ADEF =BFEF =3∠FEA =∠ADC ，∵∠ADC +∠CAD =90∘，，∴∠FEA +∠CAD =90∘=∠EMD ∵AD//BF ，∴∠EFB =90∘在中，，Rt △EFB tan ∠FBE =EF BF =33，∴∠FBE =30∘，∴∠APE =30∘中结论成立，如图3，作，，EH ，DH 相(3)(2)EH//CD DH//BE 交于H ，连接AH ，，，四边形EBDH 是平行四边形，∴∠APE =∠ADH ∠HEC =∠C =90∘，，∴BE =DH EH =BD ，，∵AC =3BD CD =3AE ，∴AC BD =CDAE =3，∵∠HEA =∠C =90∘∽，∴△ACD △HEA ，，∴AD AH =AC EH =3∠ADC =∠HAE ，∵∠CAD +∠ADC =90∘，∴∠HAE +∠CAD =90∘，∴∠HAD =90∘在中，，Rt △DAH tan ∠ADH =AHAD =3，∴∠ADH =30∘．∴∠APE =30∘先判断出四边形ADBF 是平行四边形，得出，，进而判断出≌(1)BD =AF BF =AD △FAE △，得出，再判断出，即可得出结论；ACD EF =AD =BF ∠EFB =90∘先判断出四边形ADBF 是平行四边形，得出，，进而判断出∽(2)BD =AF BF =AD △FAE △，再判断出，即可得出结论；ACD ∠EFB =90∘先判断出四边形ADBF 是平行四边形，得出，，进而判断出∽(3)BD =AF BF =AD △ACD △，再判断出，即可得出结论；HEA ∠EFB =90∘此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，构造全等三角形和相似三角形的判定和性质．6. 方法一：如图2中，作AE 平分，与CD 相交于点想办法证明≌(1)∠CAB E.△AEC △AED 即可；方法二：如图3中，作，与AB 相交于点想办法证明即可；∠DCF =∠DCB F.∠ACD =∠ADC 如图4中，结论：理由三角形内角和定理证明即可；(2)①∠DEF =∠FDG.结论：如图4中，如图延长AC 到K ，使得首先证明∽②BD =k ⋅DE.∠CBK =∠ABC.△DFE ，推出，推出，再证明≌，可得；△BAK DF AB =DE BK =1k BK =k ⋅DE △BCD △BCK BD =BK 本题考查三角形综合题、三角形内角和定理、三角形外角的性质、全等三角形的判定和性质相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形.解决问题，属于中考压轴题．7. 如图1中，作于利用三角形的面积公式求出BE ，利用勾股定理求出AE 即(1)BE ⊥AC E.可解决问题；如图2中，作于利用构建方程即可解决问题；(2)PH ⊥AC H.S △PQM =95S △QCN 分两种情形如图3中，当点M 落在QN 上时，作于如图4中，当点M 在(3)①PH ⊥AC H.②CQ 上时，作于分别构建方程求解即可；PH ⊥AC H.本题考查三角形综合题、等边三角形的性质、勾股定理锐角三角函数、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．8. 证明：如图1中，(1)①，，∵CA =CB BN =AM 即，∴CB ‒BN =CA ‒AM CN =CM ≌．∵∠ACN =∠BCM ∴△BCM△ACN 解：如图1中，②≌，∵△BCM △ACN ，∴∠MBC =∠NAC ，∵EA =ED ，∴∠EAD =∠EDA ，∵AG//BC ，，∴∠GAC =∠ACB =90∘∠ADB =∠DBC ，∴∠ADB =∠NAC ，∴∠ADB +∠EDA =∠NAC +∠EAD ，∵∠ADB +∠EDA =180∘-90∘=90∘．∴∠BDE =90∘解：如图2中，当点E 在AN 的延长线上时，(2)易证：，，∠CBM =∠ADB =∠CAN ∠ACB =∠CAD ，∵EA =ED ，∴∠EAD =∠EDA ，∴∠CAN +∠CAD =∠BDE +∠ADB ．∴∠BDE =∠ACB =α如图3中，当点E 在NA 的延长线上时，易证：，∠1+∠2=∠CAN +∠DAC ，∵∠2=∠ADM =∠CBD =∠CAN ，∴∠1=∠CAD =∠ACB =α．∴∠BDE =180∘-α综上所述，或．∠BDE =α180∘-α故答案为或．α180∘-α解：如图4中，当时，作于K ．(3)BN =13BC =3AK ⊥BC，∵AD//BC ，∴AD BC =AM CM =12，，易证是直角三角形，则四边形ADCK 是矩形，≌∴AD =332AC =33△ADC △AKN △，DCF ．∴CF =NK =BK -BN =332-3=32如图5中，当时，作于K ，于H ．CN =13BC =3AK ⊥BC DH ⊥BC，∵AD//BC ，∴AD BC =AM MC =2，易证是直角三角形，∴AD =63△ACD 由∽，可得，△ACK △CDH CH =3AK =932由≌，可得，△AKN △DHF KN =FH =32．∴CF =CH -FH =43综上所述，CF 的长为或．3243根据SAS 证明即可；(1)①想办法证明即可；②∠ADE +∠ADB =90∘分两种情形讨论求解即可，如图2中，当点E 在AN 的延长线上时，如图3中，当(2)①②点E 在NA 的延长线上时，分两种情形求解即可，如图4中，当时，作于解直角三角形(3)①BN =13BC =3AK ⊥BC K.即可如图5中，当时，作于K ，于H ．.②CN =13BC =3AK ⊥BC DH ⊥BC 本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．9. 根据点A 、B 、C 三点的坐标作出，利用“闭距离”的定义即可得；(1)△ABC 由题意知在范围内函数图象为过原点的线段，再分别求得经过和(2)y =kx -1≤x ≤1(1,-1)时k 的值即可得；(-1,-1)分在的左侧、内部和右侧三种情况，利用“闭距离”的定义逐一判断即可得．(3)⊙T △ABC 本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是理解并掌握“闭距离”的定义与直线与圆的位置关系和分类讨论思想的运用．10. 连接PB ，由点B 在线段PQ 的垂直平分线上，推出，由此构建方程即可解(1)BP =BQ 决问题；分两种情形分别构建方程求解即可；(2)如图4中，连接QC ，作于E ，作于则，，可得(3)QE ⊥AC QF ⊥BC F.QE =AE QF =EC QE +根据，计算即可；QF =AE +EC =AC =4.S =S △QNC +S △PCQ =12⋅CN ⋅QF +12⋅PC ⋅QE 本题考查四边形综合题、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．11. 先判断出，，再利用同角的余角相等判断出，(1)OD =OA ∠AOM =∠DON ∠ODN =∠OAM 判断出≌即可得出结论；△DON △AOM 先判断出四边形DENM 是菱形，进而判断出，即可判断出，(2)∠BDN =22.5∘∠AMB =67.5∘即可得出结论；设，进而表示出，，设，进而表示，根据勾股(3)CE =a EN =CE =a CN =2a DE =b AD =a +b 定理得，，AC =2(a +b)同的方法得，，得出，进而判断出∽，得出(1)∠OAM =∠ODN ∠EDN =∠DAE △DEN △ADE ，进而得出，即可表示出，，，DE AD =EN DE a =5-12b CN =10-22b AC =10+22b AN =AC -CN =2b 即可得出结论．此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，平行四边形，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出四边形DENM是菱形是解(2)△DEN△ADE(3)的关键，判断出∽是解的关键．12. 解：在如图1中，(1)∵AC是矩形ABCD的对角线，∴∠B=∠D=90∘AB//CD，，∴∠ACD=∠BAC，在如图2中，由旋转知，，，，，，，，∴四边形是平行四边形，，∴▱是菱形，故答案为：菱形；在图1中，四边形ABCD是矩形，(2)∵∴AB//CD，∴∠CAD=∠ACB∠B=90∘，，∴∠BAC+∠ACB=90∘在图3中，由旋转知，，，，∵点D，A，B在同一条直线上，，由旋转知，，∵点F是的中点，，，∵AF=FG，∴四边形是平行四边形，，∴▱是菱形，，菱形是正方形；∴在中，，，(3)Rt △ABC AB =2AC =4，，，BD =BC =23sin ∠ACB =AB AC =12，∴∠ACB =30∘由结合平移知，，(2)在中，，Rt △BCH ∠ACB =30∘，∴BH =BC ⋅sin30∘=3，在中，，Rt △ABH AH =12AB =1，∴CH =AC -AH =4-1=3在中，．tan ∠C'CH =C'H CH =4-33先判断出，进而判断出，进而判断出，(1)∠ACD =∠BAC 即可的结论；先判断出，再判断出，，进而判断出四边形是(2)平行四边形，即可得出结论；先判断出，进而求出BH ，AH ，即可求出CH ，，即可得出结论．(3)∠ACB =30∘此题是四边形综合题，主要考查了矩形是性质，平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，旋转的性质，判断出是解本题的关键．13. 在直角三角形ABC 中，由，得到，再由折叠的性质得到一对(1)AC =2AB ∠ACB =30∘角相等，利用等角对等边即可得证；由得到为等边三角形，利用矩形的性质及等边三角形的内角为，即可求出(2)(1)△ABB'60∘所求角度数；由，得到，，过B 作，在直角三角形中，利(3)AB =2B'B =B'F =2∠B'BF =15∘BH ⊥BF BB'H 用锐角三角函数定义求出BH 的长，由即可求出BF 的长．BF =2BH 此题考查了旋转的性质，矩形的性质，锐角三角函数定义，等边三角形、直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．14. 解直角三角形求出PM ，QM 即可解决问题；(1)根据点P 、N 的路程之和，构建方程即可解决问题，；(2)=24分三种情形考虑问题即可解决问题；(3)本题考查四边形综合题、解直角三角形、三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．15. 利用同角的余角相等判断出，进而得出≌，即可得出结(1)∠BAG =∠DAE △ADE △BAF 论；先判断出∽，进而得出，再根据锐角三角函数即可得出结论；(2)△ABG △DEA AE AD =k 先判断出，再判断出，即可得出结论．(3)S 1=1k 2⋅S △BHG S 2=1-k2k 2⋅S △BHG 此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，比例的性质，判断出是解本题的关键．S 2=1-k2k 2⋅S △BHG。

2017 挑战压轴题中考数学精讲解读篇因动点产生的相似三角形问题1．如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2的对称轴绕着点P（0，2）顺时针旋转45°后与该抛物线交于A、B两点，点Q是该抛物线上一点．（1）求直线AB的函数表达式；（2）如图①，若点Q在直线AB的下方，求点Q到直线AB的距离的最大值；（3）如图②，若点Q在y轴左侧，且点T（0，t）（t＜2）是射线PO上一点，当以P、B、Q为顶点的三角形与△PAT相似时，求所有满足条件的t的值．2．如图，已知BC是半圆O的直径，BC=8，过线段BO上一动点D，作AD⊥BC 交半圆O于点A，联结AO，过点B作BH⊥AO，垂足为点H，BH的延长线交半圆O于点F．（1）求证：AH=BD；（2）设BD=x，BE•BF=y，求y关于x的函数关系式；（3）如图2，若联结FA并延长交CB的延长线于点G，当△FAE与△FBG相似时，求BD的长度．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A（3，0）、B（0，m）（m＞0），tan∠BAO=2．（1）求直线AB的表达式；（2）反比例函数y=的图象与直线AB交于第一象限内的C、D两点（BD＜BC），当AD=2DB时，求k1的值；（3）设线段AB的中点为E，过点E作x轴的垂线，垂足为点M，交反比例函数y=的图象于点F，分别联结OE、OF，当△OEF∽△OBE时，请直接写出满足条件的所有k2的值．4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=7，点D是边CA延长线的一点，AE⊥BD，垂足为点E，AE的延长线交CA的平行线BF于点F，连结CE交AB于点G．（1）当点E是BD的中点时，求tan∠AFB的值；（2）CE•AF的值是否随线段AD长度的改变而变化？如果不变，求出CE•AF的值；如果变化，请说明理由；（3）当△BGE和△BAF相似时，求线段AF的长．5．如图，平面直角坐标系xOy中，已知B（﹣1，0），一次函数y=﹣x+5的图象与x轴、y轴分别交于点A、C两点，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过点A、点B．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P是该二次函数图象的顶点，求△APC的面积；（3）如果点Q在线段AC上，且△ABC与△AOQ相似，求点Q的坐标．6．已知：半圆O的直径AB=6，点C在半圆O上，且tan∠ABC=2，点D为弧AC上一点，联结DC（如图）（1）求BC的长；（2）若射线DC交射线AB于点M，且△MBC与△MOC相似，求CD的长；（3）联结OD，当OD∥BC时，作∠DOB的平分线交线段DC于点N，求ON的长．7．如图，已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，﹣1），点C（0，﹣4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴与点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；（2）若将该二次函数图象向上平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包含△ABC的边界），求m的取值范围；（3）点P时直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．因动点产生的等腰三角形问题8．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，点E是∠BAC角平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF．（1）如图1，若点H是AC的中点，AC=2，求AB，BD的长；（2）如图1，求证：HF=EF；（3）如图2，连接CF，CE．猜想：△CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，说明理由．9．已知，一条抛物线的顶点为E（﹣1，4），且过点A（﹣3，0），与y轴交于点C，点D是这条抛物线上一点，它的横坐标为m，且﹣3＜m＜﹣1，过点D作DK ⊥x轴，垂足为K，DK分别交线段AE、AC于点G、H．（1）求这条抛物线的解析式；（2）求证：GH=HK；（3）当△CGH是等腰三角形时，求m的值．10．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，sinA=，点P是边BC上的一点，PE⊥AB，垂足为E，以点P为圆心，PC为半径的圆与射线PE相交于点Q，线段CQ与边AB交于点D．（1）求AD的长；（2）设CP=x，△PCQ的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）过点C作CF⊥AB，垂足为F，联结PF、QF，如果△PQF是以PF为腰的等腰三角形，求CP的长．11．如图（1），直线y=﹣x+n交x轴于点A，交y轴于点C（0，4），抛物线y=x2+bx+c 经过点A，交y轴于点B（0，﹣2）．点P为抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，连接PB，设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长；（3）如图（2），将△BDP绕点B逆时针旋转，得到△BD′P′，当旋转角∠PBP′=∠OAC，且点P的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标．12．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（﹣2，0），（6，﹣8）．（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；（2）试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE？若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q，试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．13．已知，如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，BC=11，CD=6，tan ∠ABC=2，点E在AD边上，且AE=3ED，EF∥AB交BC于点F，点M、N分别在射线FE和线段CD上．（1）求线段CF的长；（2）如图2，当点M在线段FE上，且AM⊥MN，设FM•cos∠EFC=x，CN=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果△AMN为等腰直角三角形，求线段FM的长．14．如图，在矩形ABCD中，点O为坐标原点，点B的坐标为（4，3），点A、C 在坐标轴上，点P在BC边上，直线l1：y=2x+3，直线l2：y=2x﹣3．（1）分别求直线l1与x轴，直线l2与AB的交点坐标；（2）已知点M在第一象限，且是直线l2上的点，若△APM是等腰直角三角形，求点M的坐标；（3）我们把直线l1和直线l2上的点所组成的图形为图形F．已知矩形ANPQ的顶点N在图形F上，Q是坐标平面内的点，且N点的横坐标为x，请直接写出x的取值范围（不用说明理由）．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为，求a 的值；（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．16．如图，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在OA边上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x 轴，y轴建立平面直角坐标系．（1）求点E坐标及经过O，D，C三点的抛物线的解析式；（2）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2 个单位长的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，DP=DQ；（3）若点N在（2）中的抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使得以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴交于点E．（1）求直线AD的解析式；（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；（3）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形．若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标．18．如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，AQ：AB=3：4，作△ABQ的外接圆O．点C在点P 右侧，PC=4，过点C作直线m⊥l，过点O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上取点F，使DF=CD，以DE，DF为邻边作矩形DEGF．设AQ=3x．（1）用关于x的代数式表示BQ，DF．（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长．（3）在点P的整个运动过程中，①当AP为何值时，矩形DEGF是正方形？②作直线BG交⊙O于点N，若BN的弦心距为1，求AP的长（直接写出答案）．19．在平面直角坐标系xOy（如图）中，经过点A（﹣1，0）的抛物线y=﹣x2+bx+3与y轴交于点C，点B与点A、点D与点C分别关于该抛物线的对称轴对称．（1）求b的值以及直线AD与x轴正方向的夹角；（2）如果点E是抛物线上一动点，过E作EF平行于x轴交直线AD于点F，且F 在E的右边，过点E作EG⊥AD与点G，设E的横坐标为m，△EFG的周长为l，试用m表示l；（3）点M是该抛物线的顶点，点P是y轴上一点，Q是坐标平面内一点，如果以点A、M、P、Q为顶点的四边形是矩形，求该矩形的顶点Q的坐标．20．如图，直线y=mx+4与反比例函数y=（k＞0）的图象交于点A、B，与x 轴、y轴分别交于D、C，tan∠CDO=2，AC：CD=1：2．（1）求反比例函数解析式；（2）联结BO，求∠DBO的正切值；（3）点M在直线x=﹣1上，点N在反比例函数图象上，如果以点A、B、M、N 为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P 在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD 的面积最大？并求出最大面积；（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M、N的坐标．因动点产生的梯形问题22．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=+bx+c的图象与y轴交于点A，与双曲线y=有一个公共点B，它的横坐标为4，过点B作直线l∥x轴，与该二次函数图象交于另一个点C，直线AC在y轴上的截距是﹣6．（1）求二次函数的解析式；（2）求直线AC的表达式；（3）平面内是否存在点D，使A、B、C、D为顶点的四边形是等腰梯形？如果存在，求出点D坐标；如果不存在，说明理由．23．如图，矩形OMPN的顶点O在原点，M、N分别在x轴和y轴的正半轴上，OM=6，ON=3，反比例函数y=的图象与PN交于C，与PM交于D，过点C作CA⊥x轴于点A，过点D作DB⊥y轴于点B，AC与BD交于点G．（1）求证：AB∥CD；（2）在直角坐标平面内是否若存在点E，使以B、C、D、E为顶点，BC为腰的梯形是等腰梯形？若存在，求点E的坐标；若不存在请说明理由．因动点产生的面积问题24．如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC 于点F，点D、E的坐标分别为（0，6），（﹣4，0），连接PD、PE、DE．（1）请直接写出抛物线的解析式；（2）小明探究点P的位置发现：当P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值，进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值，请你判断该猜想是否正确，并说明理由；（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标．25．如图，四边形OABC是边长为4的正方形，点P为OA边上任意一点（与点O、A不重合），连接CP，过点P作PM⊥CP交AB于点D，且PM=CP，过点M 作MN∥OA，交BO于点N，连接ND、BM，设OP=t．（1）求点M的坐标（用含t的代数式表示）．（2）试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变？并说明理由．（3）当t为何值时，四边形BNDM的面积最小．26．在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD 与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．（1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由．（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG 上时，请你帮他求出此时BE的长．（3）如图3，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE将相交，交点为H，写出△GHE与△BHD面积之和的最大值，并简要说明理由．27．在平面直角坐标系中，O为原点，直线y=﹣2x﹣1与y轴交于点A，与直线y=﹣x交于点B，点B关于原点的对称点为点C．（1）求过A，B，C三点的抛物线的解析式；（2）P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q．①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；②若点P的横坐标为t（﹣1＜t＜1），当t为何值时，四边形PBQC面积最大？并说明理由．28．如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，连接AB并延长至C，使BC=AB，过C作CD⊥x轴于点D，交线段OB于点E，已知CD=8，抛物线经过O、E、A三点．（1）∠OBA=°．（2）求抛物线的函数表达式．（3）若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P、O、A、E为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，相应的点P有且只有3个？29．如图1，关于x的二次函数y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0），点C（0，3），点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等？若存在求出点P，若不存在请说明理由；（3）如图2，DE的左侧抛物线上是否存在点F，使2S△FBC =3S△EBC？若存在求出点F的坐标，若不存在请说明理由．30．已知抛物线y=mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m与x轴相交于不同的两点A、B （1）求m的取值范围；（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P，并求出点P的坐标；（3）当＜m≤8时，由（2）求出的点P和点A，B构成的△ABP的面积是否有最值？若有，求出该最值及相对应的m值．31．问题提出（1）如图①，已知△ABC，请画出△ABC关于直线AC对称的三角形．问题探究（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在边BC、CD 上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．问题解决（3）如图③，有一矩形板材ABCD，AB=3米，AD=6米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使∠EFG=90°，EF=FG=米，∠EHG=45°，经研究，只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上，且AF＜BF，并满足点H 在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由．32．如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的顶点C和E分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上，OC=8，OE=17，抛物线y=x2﹣3x+m与y轴相交于点A，抛物线的对称轴与x轴相交于点B，与CD交于点K．（1）将矩形OCDE沿AB折叠，点O恰好落在边CD上的点F处．①点B的坐标为（、），BK的长是，CK的长是；②求点F的坐标；③请直接写出抛物线的函数表达式；（2）将矩形OCDE沿着经过点E的直线折叠，点O恰好落在边CD上的点G处，连接OG，折痕与OG相交于点H，点M是线段EH上的一个动点（不与点H重合），连接MG，MO，过点G作GP⊥OM于点P，交EH于点N，连接ON，点M 从点E开始沿线段EH向点H运动，至与点N重合时停止，△MOG和△NOG的面积分别表示为S1和S2，在点M的运动过程中，S1•S2（即S1与S2的积）的值是否发生变化？若变化，请直接写出变化范围；若不变，请直接写出这个值．温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．33．如图，已知▱ABCD的三个顶点A（n，0）、B（m，0）、D（0，2n）（m＞n＞0），作▱ABCD关于直线AD的对称图形AB1C1D（1）若m=3，试求四边形CC1B1B面积S的最大值；（2）若点B1恰好落在y轴上，试求的值．因动点产生的相切问题34．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），抛物线的对称轴为直线l．（1）求这条抛物线的关系式，并写出其对称轴和顶点M的坐标；（2）如果直线y=kx+b经过C、M两点，且与x轴交于点D，点C关于直线l的对称点为N，试证明四边形CDAN是平行四边形；（3）点P在直线l上，且以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，求点P的坐标．35．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=14，tanA=，点D是边AC上一点，AD=8，点E是边AB上一点，以点E为圆心，EA为半径作圆，经过点D，点F是边AC 上一动点（点F不与A、C重合），作FG⊥EF，交射线BC于点G．（1）用直尺圆规作出圆心E，并求圆E的半径长（保留作图痕迹）；（2）当点G的边BC上时，设AF=x，CG=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结EG，当△EFG与△FCG相似时，推理判断以点G为圆心、CG为半径的圆G与圆E可能产生的各种位置关系．36．如图，线段PA=1，点D是线段PA延长线上的点，AD=a（a＞1），点O是线段AP延长线上的点，OA2=OP•OD，以O为圆心，OA为半径作扇形OAB，∠BOA=90°．点C是弧AB上的点，联结PC、DC．（1）联结BD交弧AB于E，当a=2时，求BE的长；（2）当以PC为半径的⊙P和以CD为半径的⊙C相切时，求a的值；（3）当直线DC经过点B，且满足PC•OA=BC•OP时，求扇形OAB的半径长．37．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，点P从点B出发，沿对角线BD 向点D匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ⊥BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上，点O从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为3cm/s，以O为圆心，0.8cm为半径作⊙O，点P与点O同时出发，设它们的运动时间为t（单位：s）（0＜t＜）．（1）如图1，连接DQ平分∠BDC时，t的值为；（2）如图2，连接CM，若△CMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值；（3）请你继续进行探究，并解答下列问题：①证明：在运动过程中，点O始终在QM所在直线的左侧；②如图3，在运动过程中，当QM与⊙O相切时，求t的值；并判断此时PM与⊙O是否也相切？说明理由．38．如图，抛物线y=﹣x2+mx+n的图象经过点A（2，3），对称轴为直线x=1，一次函数y=kx+b的图象经过点A，交x轴于点P，交抛物线于另一点B，点A、B 位于点P的同侧．（1）求抛物线的解析式；（2）若PA：PB=3：1，求一次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，当k＞0时，抛物线的对称轴上是否存在点C，使得⊙C 同时与x轴和直线AP都相切，如果存在，请求出点C的坐标，如果不存在，请说明理由．因动点产生的线段和差问题39．如图，抛物线y=x 2﹣4x 与x 轴交于O ，A 两点，P 为抛物线上一点，过点P 的直线y=x +m 与对称轴交于点Q ．（1）这条抛物线的对称轴是 ，直线PQ 与x 轴所夹锐角的度数是 ；（2）若两个三角形面积满足S △POQ =S △PAQ ，求m 的值；（3）当点P 在x 轴下方的抛物线上时，过点C （2，2）的直线AC 与直线PQ 交于点D ，求：①PD +DQ 的最大值；②PD•DQ 的最大值．40．抛物线y=ax 2+bx +4（a ≠0）过点A （1，﹣1），B （5，﹣1），与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，连接CB ，以CB 为边作▱CBPQ ，若点P 在直线BC 上方的抛物线上，Q 为坐标平面内的一点，且▱CBPQ 的面积为30，求点P 的坐标；（3）如图2，⊙O 1过点A 、B 、C 三点，AE 为直径，点M 为上的一动点（不与点A ，E 重合），∠MBN 为直角，边BN 与ME 的延长线交于N ，求线段BN 长度的最大值．41．如图，在每一个四边形ABCD中，均有AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC=60°，AD=8，BC=12．（1）如图①，点M是四边形ABCD边AD上的一点，则△BMC的面积为；（2）如图②，点N是四边形ABCD边AD上的任意一点，请你求出△BNC周长的最小值；（3）如图③，在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P，使得cos∠BPC的值最小？若存在，求出此时cos∠BPC的值；若不存在，请说明理由．42．如图，把△EFP按图示方式放置在菱形ABCD中，使得顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上，已知EP=FP=4，EF=4，∠BAD=60°，且AB＞4．（1）求∠EPF的大小；（2）若AP=6，求AE+AF的值；（3）若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值．43．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A，抛物线的顶点为D．（1）填空：点A的坐标为（，），点B的坐标为（，），点C的坐标为（，），点D的坐标为（，）；（2）点P是线段BC上的动点（点P不与点B、C重合）①过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，若PE=PC，求点E的坐标；②在①的条件下，点F是坐标轴上的点，且点F到EA和ED的距离相等，请直接写出线段EF的长；③若点Q是线段AB上的动点（点Q不与点A、B重合），点R是线段AC上的动点（点R不与点A、C重合），请直接写出△PQR周长的最小值．44．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；（2）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．45．如图，半圆O的直径AB=4，以长为2的弦PQ为直径，向点O方向作半圆M，其中P点在上且不与A点重合，但Q点可与B点重合．发现：的长与的长之和为定值l，求l：思考：点M与AB的最大距离为，此时点P，A间的距离为；点M与AB的最小距离为，此时半圆M的弧与AB所围成的封闭图形面积为；探究：当半圆M与AB相切时，求的长．（注：结果保留π，cos35°=，cos55°=）46．（1）发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b．填空：当点A位于时，线段AC的长取得最大值，且最大值为（用含a，b的式子表示）（2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC=3，AB=1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值．（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．47．如图，直线l：y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S 的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′．①写出点M′的坐标；②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l′，当直线l′与直线AM′重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l′与线段BM′交于点C，设点B、M′到直线l′的距离分别为d1、d2，当d1+d2最大时，求直线l′旋转的角度（即∠BAC的度数）．48．如图，在平面直角坐标系xOy中，将二次函数y=x2﹣1的图象M沿x轴翻折，把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度，得到二次函数图象N．（1）求N的函数表达式；（2）设点P（m，n）是以点C（1，4）为圆心、1为半径的圆上一动点，二次函数的图象M与x轴相交于两点A、B，求PA2+PB2的最大值；（3）若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点称为整点．求M与N所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数．49．如图，顶点为A（，1）的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B．（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；（2）过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证：△OCD≌△OAB；（3）在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标．2017 挑战压轴题中考数学精讲解读篇参考答案与试题解析一．解答题（共36小题）1．如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2的对称轴绕着点P（0，2）顺时针旋转45°后与该抛物线交于A、B两点，点Q是该抛物线上一点．（1）求直线AB的函数表达式；（2）如图①，若点Q在直线AB的下方，求点Q到直线AB的距离的最大值；（3）如图②，若点Q在y轴左侧，且点T（0，t）（t＜2）是射线PO上一点，当以P、B、Q为顶点的三角形与△PAT相似时，求所有满足条件的t的值．【分析】（1）根据题意易得点M、P的坐标，利用待定系数法来求直线AB的解析式；（2）如图①，过点Q作x轴的垂线QC，交AB于点C，再过点Q作直线AB的垂线，垂足为D，构建等腰直角△QDC，利用二次函数图象上点的坐标特征和二次函数最值的求法进行解答；（3）根据相似三角形的对应角相等推知：△PBQ中必有一个内角为45°；需要分类讨论：∠PBQ=45°和∠PQB=45°；然后对这两种情况下的△PAT是否是直角三角形分别进行解答．另外，以P、B、Q为顶点的三角形与△PAT相似也有两种情况：△Q″PB∽△PAT、△Q″BP∽△PAT．【解答】解：（1）如图①，设直线AB与x轴的交点为M．∵∠OPA=45°，∴OM=OP=2，即M（﹣2，0）．设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），将M（﹣2，0），P（0，2）两点坐标代入，得，解得．故直线AB的解析式为y=x+2；（2）如图①，过点Q作x轴的垂线QC，交AB于点C，再过点Q作直线AB的垂线，垂足为D，根据条件可知△QDC为等腰直角三角形，则QD=QC．设Q（m，m2），则C（m，m+2）．∴QC=m+2﹣m2=﹣（m﹣）2+，QD=QC=[﹣（m﹣）2+]．故当m=时，点Q到直线AB的距离最大，最大值为；（3）∵∠APT=45°，∴△PBQ中必有一个内角为45°，由图知，∠BPQ=45°不合题意．①如图②，若∠PBQ=45°，过点B作x轴的平行线，与抛物线和y轴分别交于点Q′、F．此时满足∠PBQ′=45°．∵Q′（﹣2，4），F（0，4），∴此时△BPQ′是等腰直角三角形，由题意知△PAT也是等腰直角三角形．（i）当∠PTA=90°时，得到：PT=AT=1，此时t=1；（ii）当∠PAT=90°时，得到：PT=2，此时t=0．②如图③，若∠PQB=45°，①中是情况之一，答案同上；先以点F为圆心，FB为半径作圆，则P、B、Q′都在圆F上，设圆F与y轴左侧的抛物线交于另一点Q″．则∠PQ″B=∠PQ′B=45°（同弧所对的圆周角相等），即这里的交点Q″也是符合要求．设Q″（n，n2）（﹣2＜n＜0），由FQ″=2，得n2+（4﹣n2）2=22，即n4﹣7n2+12=0．解得n2=3或n2=4，而﹣2＜n＜0，故n=﹣，即Q″（﹣，3）．可证△PFQ″为等边三角形，所以∠PFQ″=60°，又PQ″=PQ″，所以∠PBQ″=∠PFQ″=30°．则在△PQ″B中，∠PQ″B=45°，∠PBQ″=30°．（i）若△Q″PB∽△PAT，则过点A作y轴的垂线，垂足为E．则ET=AE=，OE=1，所以OT=﹣1，解得t=1﹣；（ii）若△Q″BP∽△PAT，则过点T作直线AB垂线，垂足为G．设TG=a，则PG=TG=a，AG=TG=a，AP=，∴a+a=，解得PT=a=﹣1，∴OT=OP﹣PT=3﹣，∴t=3﹣．综上所述，所求的t的值为t=1或t=0或t=1﹣或t=3﹣．2．如图，已知BC是半圆O的直径，BC=8，过线段BO上一动点D，作AD⊥BC 交半圆O于点A，联结AO，过点B作BH⊥AO，垂足为点H，BH的延长线交半圆O于点F．（1）求证：AH=BD；（2）设BD=x，BE•BF=y，求y关于x的函数关系式；（3）如图2，若联结FA并延长交CB的延长线于点G，当△FAE与△FBG相似时，求BD的长度．【分析】（1）由AD⊥BC，BH⊥AO，利用垂直的定义得到一对直角相等，再由一对公共角，且半径相等，利用AAS得到三角形ADO与三角形BHO全等，利用全等三角形对应边相等得到OH=OD，利用等式的性质化简即可得证；（2）连接AB，AF，如图1所示，利用HL得到直角三角形ADB与直角三角形BHA全等，利用全等三角形对应角相等得到一对角相等，再由公共角相等得到三角形ABE与三角形AFB相似，由相似得比例即可确定出y与x的函数解析式；（3）连接OF，如图2所示，利用两对角相等的三角形相似得到三角形AFO与三角形FOG相似，由相似得比例求出BD的长即可．【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，BH⊥AO，∴∠ADO=∠BHO=90°，在△ADO与△BHO中，，∴△ADO≌△BHO（AAS），∴OH=OD，又∵OA=OB，∴AH=BD；（2）解：连接AB、AF，如图1所示，∵AO是半径，AO⊥弦BF，∴∴AB=AF，∴∠ABF=∠AFB，在Rt△ADB与Rt△BHA中，，∴Rt△ADB≌Rt△BHA（HL），∴∠ABF=∠BAD，∴∠BAD=∠AFB，又∵∠ABF=∠EBA，∴△BEA∽△BAF，∴=，。

【类型综述】函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径①求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。

根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。

②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。

③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。

【方法揭秘】相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验．如果已知∠A ＝∠D ，探求△ABC 与△DEF 相似，只要把夹∠A 和∠D 的两边表示出来，按照对应边成比例，分和两种情况列方程．AB DE ACDF AB DF AC DE 应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题．求线段的长，要用到两点间的距离公式，而这个公式容易记错．理解记忆比较好．如图1，如果已知A 、B 两点的坐标，怎样求A 、B 两点间的距离呢？我们以AB 为斜边构造直角三角形，直角边与坐标轴平行，这样用勾股定理就可以求斜边AB 的长了．水平距离BC 的长就是A 、B 两点间的水平距离，等于A 、B 两点的横坐标相减；竖直距离AC 就是A、B两点间的竖直距离，等于A、B两点的纵坐标相减．图1【典例分析】例1 如图1，已知直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A、B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以每秒1个单位的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以每秒个单位的速度匀速运动，连结PQ，设运动时间为t秒．2（1）求抛物线的解析式；（2）问：当t为何值时，△APQ为直角三角形；（3）过点P作PE//y轴，交AB于点E，过点Q作QF//y轴，交抛物线于点F，连结EF，当EF//PQ时，求点F的坐标；（4）设抛物线顶点为M，连结BP、BM、MQ，问：是否存在t的值，使以B、Q、M为顶点的三角形与以O、B、P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．思路点拨1．在△APQ中，∠A＝45°，夹∠A的两条边AP、AQ都可以用t表示，分两种情况讨论直角三角形APQ．2．先用含t的式子表示点P、Q的坐标，进而表示点E、F的坐标，根据PE＝QF列方程就好了．3．△MBQ与△BOP都是直角三角形，根据直角边对应成比例分两种情况讨论．满分解答图2 图3（3）如图4，因为PE//QF，当EF//PQ时，四边形EPQF是平行四边形．所以EP＝FQ．所以y E－y P＝y F－y Q．因为x P＝t，x Q＝3－t，所以y E＝3－t，y Q＝t，y F＝－(3－t)2＋2(3－t)＋3＝－t2＋4t．因为y E－y P＝y F－y Q，解方程3－t＝(－t2＋4t)－t，得t＝1，或t＝3（舍去）．所以点F的坐标为(2, 3)．图4 图5（4）由y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，得M(1, 4)．考点伸展第（3）题也可以用坐标平移的方法：由P(t, 0)，E(t, 3－t)，Q(3－t, t)，按照P→E方向，将点Q 向上平移，得F(3－t, 3)．再将F(3－t, 3)代入y＝－x2＋2x＋3，得t＝1，或t＝3．例2 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交于A(－3, 0)、B(1, 0)两点，与y轴交于点C(0,－3m)（m＞0），顶点为D．（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；（2）如图1，当m＝2时，点P为第三象限内抛物线上的一个动点，设△APC的面积为S，试求出S 与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；（3）如图2，当m取何值时，以A、D、C三点为顶点的三角形与△OBC相似？图1 图2思路点拨1．用交点式求抛物线的解析式比较简便．2．连结OP，△APC可以割补为：△AOP与△COP的和，再减去△AOC．3．讨论△ACD与△OBC相似，先确定△ACD是直角三角形，再验证两个直角三角形是否相似．4．直角三角形ACD 存在两种情况．满分解答图3 图4 图5（3）如图4，过点D 作y 轴的垂线，垂足为E ．过点A 作x 轴的垂线交DE 于F ．由y ＝m(x ＋3)(x －1)＝m(x ＋1)2－4m ，得D(－1,－4m)．在Rt △OBC 中，OB ∶OC ＝1∶3m ．如果△ADC 与△OBC 相似，那么△ADC 是直角三角形，而且两条直角边的比为1∶3m ．①如图4，当∠ACD ＝90°时，．所以．解得m ＝1．OA OC ECED 331m m 此时，．所以．所以△CDA ∽△OBC ．3CA OC CD ED 3OCOB CAOC CD OB考点伸展第（2）题还可以这样割补：如图6，过点P 作x 轴的垂线与AC 交于点H ．由直线AC ：y ＝－2x －6，可得H(x,－2x －6)．又因为P(x, 2x 2＋4x －6)，所以HP ＝－2x 2－6x ．因为△PAH 与△PCH 有公共底边HP ，高的和为A 、C 两点间的水平距离3，所以S ＝S △APC ＝S △APH ＋S △CPH＝(－2x 2－6x)＝．3223273()24x 例3如图1，在平面直角坐标系中，双曲线（k ≠0）与直线y ＝x ＋2都经过点A(2, m)．（1）求k 与m 的值；（2）此双曲线又经过点B(n, 2)，过点B 的直线BC 与直线y ＝x ＋2平行交y 轴于点C ，联结AB 、AC ，求△ABC 的面积；（3）在（2）的条件下，设直线y ＝x ＋2与y 轴交于点D ，在射线CB 上有一点E ，如果以点A 、C 、E 所组成的三角形与△ACD 相似，且相似比不为1，求点E 的坐标．。

2018压轴题-动点问题1、（2018包头）如图，已知ABC△中，10AB AC==厘米，8BC=厘米，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD△与CQP△是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD△与CQP△全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC△三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在ABC△的哪条边上相遇？2、（2018齐齐哈尔）直线364y x=-+与坐标轴分别交于A B、两点，动点P Q、同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动．（1）直接写出A B、两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ△的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；（3）当485S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点O P Q、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．3（2018深圳）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.（1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？4（2018哈尔滨）如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式；（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．5（2018河北）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C 出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是；（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；（4）当DE经过点C 时，请直接．．写出t的值．6（2018河南））如图，在Rt ABC°，°，2BC=．点ACB B∠=∠=△中，9060O是AC的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D．过点C作CE AB∥交直线l于点E，设直线l的旋转角为α．（1）①当α=度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为；②当α=度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为；α=°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．（2）当90（备用图）7（2018济南）如图，在梯形ABCD 中，3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒． （1）求BC 的长．（2）当MN AB ∥时，求t 的值． （3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．8（2018江西）如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠. （1）求点E 到BC 的距离；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.①当点N 在线段AD 上时（如图2），PMN △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.CMA D E BF C图4（备用）ADE BF C图5（备用）A D E BF C图1 图2A D EBF C PNM 图3A D EBFCPN M（第25题）9（2018兰州）如图①，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C →D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；(2)求正方形边长及顶点C的坐标；(3)在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；(4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．10（2018临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD∠的是正方形，点E是边BC的中点．90∠=，且EF交正方形外角DCGAEF平行线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM =EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．11（2018天津）已知一个直角三角形纸片OAB ，其中9024AOB OA OB ∠===°，，．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB 交于点C ，与边AB 交于点D ．（Ⅰ）若折叠后使点B 与点A 重合，求点C 的坐标；（Ⅱ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，设OB x '=，OC y =，试写出y 关于x 的函数解析式，并确定y 的取值范围；（Ⅲ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，且使B D OB '∥，求此时点C 的坐标．ADFC GE 图1ADF C GE 图2 ADFC GE B图312（2018太原）问题解决 如图（1），将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．当12CE CD =时，求AMBN 的值．类比归纳在图（1）中，若13CE CD =，则AM BN 的值等于 ；若14CE CD =，则AMBN 的值等于 ；若1CE CD n =（n 为整数），则AMBN的值等于 ．（用含n 的式子表示） 联系拓广如图（2），将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C D ，重合），压平后得到折痕MN ，设()111AB CE m BC m CD n =>=，，则AMBN的值等于 ．（用含m n ，的式子表示）方法指导： 为了求得AMBN 的值，可先求BN 、AM 的长，不妨设：AB =2图（2）N A BCDEFM 图（1） A B CDEFMN。

2017-2018--中考压轴题汇编--1.2因动点产生的等腰三角形问题D例2 2017年长沙市中考第26题如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过(0,0)和1a(,)16两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A(0, 2)．（1）求a、b、c的值；（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；（3）设⊙P与x轴相交于M(x1, 0)、N(x2, 0)两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．图1例3 2018年上海市虹口区中考模拟第25题如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB ＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC 交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．（1）求ED、EC的长；（2）若BP＝2，求CQ的长；（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．图1 备用图例4 2017年扬州市中考第27题如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．图1例5 2017年临沂市中考第26题如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．图1例6 2017年盐城市中考第28题如图1，已知一次函数y ＝－x ＋7与正比例函数43y x 的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ． （1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l //y 轴．动点P 从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒．①当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．图11.2因动点产生的等腰三角形问题答案例1 2017年重庆市中考第25题如图1，在△ABC中， ACB＝90°，∠BAC ＝60°，点E是∠BAC的平分线上一点，过点E 作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF．（1）如图1，若点H是AC的中点，AC＝23，求AB、BD的长；（2）如图1，求证：HF＝EF．（3）如图2，连接CF、CE，猜想：△CEF 是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“15重庆25”，拖动点E运动，可以体验到，△FAE与△FDH保持全等，△CMF与△CAE保持全等，△CEF保持等边三角形的形状．思路点拨1．把图形中所有30°的角都标注出来，便于寻找等角和等边．2．中点F有哪些用处呢？联想到斜边上的中线和中位线就有思路构造辅助线了．满分解答（1）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AC＝23，所以AB＝43．在Rt△ADH中，∠DAH＝30°，AH＝3，所以DH＝1，AD＝2．在Rt△ADB中，AD＝2，AB＝43，由勾股定理，得BD＝213．（2）如图4，由∠DAB＝90°，∠BAC＝60°，AE平分∠BAC，得∠DAE＝60°，∠DAH＝30°．在Rt△ADE中，AE＝1AD．在Rt△ADH中，2DH＝1AD．所以AE＝DH．2因为点F是Rt△ABD的斜边上的中线，所以FA＝FD，∠FAD＝∠FDA．所以∠FAE＝∠FDH．所以△FAE≌△FDH．所以EF＝HF．图3 图4 图5（3）如图5，作FM⊥AB于M，联结CM．由FM//DA，F是DB的中点，得M是AB 的中点．因此FM＝1AD，△ACM是等边三角形．2又因为AE＝1AD，所以FM＝EA．2又因为CM＝CA，∠CMF＝∠CAE＝30°，所以△CMF≌△CAE．所以∠MCF＝∠ACE，CF＝CE．所以∠ECF＝∠ACM＝60°．所以△CEF 是等边三角形．考点伸展我们再看几个特殊位置时的效果图，看看有没有熟悉的感觉．如图6，如图7，当点F落在BC边上时，点H与点C重合．图6 图7 如图8，图9，点E落在BC边上．如图10，图11，等腰梯形ABEC．图8 图9 图10 图11例2 2017年长沙市中考第26题如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过(0,0)和1a(,)16两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A(0, 2)．（1）求a、b、c的值；（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；（3）设⊙P与x轴相交于M(x1, 0)、N(x2, 0)两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“14长沙26”，拖动圆心P 在抛物线上运动，可以体验到，圆与x 轴总是相交的，等腰三角形AMN 存在三种情况．思路点拨1．不算不知道，一算真奇妙，原来⊙P 在x 轴上截得的弦长MN ＝4是定值．2．等腰三角形AMN 存在三种情况，其中MA ＝MN 和NA ＝NM 两种情况时，点P 的纵坐标是相等的．满分解答（1）已知抛物线的顶点为(0,0)，所以y ＝ax 2．所以b ＝0，c ＝0． 将1(,)16a 代入y ＝ax 2，得2116a =．解得14a =（舍去了负值）．（2）抛物线的解析式为214y x =，设点P 的坐标为21(,)4x x ． 已知A (0, 2)，所以222411(2)4416PA x x x =+-=+＞214x ． 而圆心P 到x 轴的距离为214x ，所以半径PA ＞圆心P 到x 轴的距离．所以在点P 运动的过程中，⊙P 始终与x 轴相交．（3）如图2，设MN 的中点为H ，那么PH 垂直平分MN ．在Rt △PMH 中，2241416PMPA x ==+，22411()416PH x x ==，所以MH 2＝4．所以MH ＝2．因此MN ＝4，为定值．等腰△AMN 存在三种情况：①如图3，当AM ＝AN 时，点P 为原点O 重合，此时点P 的纵坐标为0．图2图3 ②如图4，当MA ＝MN 时，在Rt △AOM 中，OA ＝2，AM ＝4，所以OM ＝23． 此时x ＝OH ＝232+．所以点P 的纵坐标为22211(232)(31)42344x =+=+=+． ③如图5，当NA ＝NM 时，点P 的纵坐标为也为423+．图4图5考点伸展 如果点P 在抛物线214y x =上运动，以点P 为圆心的⊙P 总经过定点B (0, 1)，那么在点P 运动的过程中，⊙P 始终与直线y ＝－1相切．这是因为：设点P 的坐标为21(,)4x x ． 已知B (0, 1)，所以222222111(1)(1)1444PB x x x x =+-+=+． 而圆心P 到直线y ＝－1的距离也为2114x +，所以半径PB ＝圆心P 到直线y ＝－1的距离．所以在点P运动的过程中，⊙P始终与直线y＝－1相切．例3 2018年上海市虹口区中考模拟第25题如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB ＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC 交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．（1）求ED、EC的长；（2）若BP＝2，求CQ的长；（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“13虹口25”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，△PDM 与△QDN保持相似．观察△PDF，可以看到，P、F 可以落在对边的垂直平分线上，不存在DF ＝DP 的情况．请打开超级画板文件名“13虹口25”，拖动点P 在射线AB 上运动，可以体验到，△PDM 与△QDN 保持相似．观察△PDF ，可以看到，P 、F 可以落在对边的垂直平分线上，不存在DF ＝DP 的情况．思路点拨1．第（2）题BP ＝2分两种情况．2．解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系．3．第（3）题探求等腰三角形PDF 时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形CDQ ．满分解答（1）在Rt △ABC 中， AB ＝6，AC ＝8，所以BC ＝10．在Rt △CDE 中，CD ＝5，所以315tan 544ED CD C =⋅∠=⨯=，254EC =． （2）如图2，过点D 作DM ⊥AB ，DN ⊥AC ，垂足分别为M 、N ，那么DM 、DN 是△ABC 的两条中位线，DM ＝4，DN ＝3．由∠PDQ ＝90°，∠MDN ＝90°，可得∠PDM ＝∠QDN ．因此△PDM ∽△QDN ． 所以43PM DM QN DN ==．所以34QN PM =，43PM QN =．图 2 图 3图4①如图3，当BP ＝2，P 在BM 上时，PM ＝1．此时3344QN PM ==．所以319444CQ CN QN =+=+=． ②如图4，当BP ＝2，P 在MB 的延长线上时，PM ＝5．此时31544QN PM ==．所以1531444CQ CN QN =+=+=． （3）如图5，如图2，在Rt △PDQ 中，3tan 4QD DN QPD PD DM ∠===．在Rt △ABC 中，3tan 4BA C CA ∠==．所以∠QPD ＝∠C ．由∠PDQ ＝90°，∠CDE ＝90°，可得∠PDF ＝∠CDQ ．因此△PDF ∽△CDQ ．当△PDF 是等腰三角形时，△CDQ 也是等腰三角形．①如图5，当CQ ＝CD ＝5时，QN ＝CQ －CN ＝5－4＝1（如图3所示）． 此时4433PM QN ==．所以45333BP BM PM =-=-=． ②如图6，当QC ＝QD 时，由cos CH C CQ=，可得5425258CQ =÷=．所以QN ＝CN －CQ ＝257488-=（如图2所示）． 此时4736PM QN ==．所以725366BP BM PM =+=+=． ③不存在DP ＝DF 的情况．这是因为∠DFP ≥∠DQP ＞∠DPQ （如图5，图6所示）．图5图6考点伸展如图6，当△CDQ是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到△BDP也是等腰三角形，PB＝PD．在△BDP中可以直接求解25BP ．6例4 2017年扬州市中考第27题如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“12扬州27”，拖动点P在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，当点P落在线段BC上时，PA＋PC最小，△PAC 的周长最小．拖动点M在抛物线的对称轴上运动，观察△MAC的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以看到，点M有1次机会落在AC的垂直平分线上；点A有2次机会落在MC的垂直平分线上；点C有2次机会落在MA 的垂直平分线上，但是有1次M、A、C三点共线．思路点拨1．第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P在线段BC上时△PAC的周长最小．2．第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性．满分解答（1）因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3, 0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)，代入点C(0 ,3)，得－3a＝3．解得a＝－1．所以抛物线的函数关系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3．（2）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1．当点P落在线段BC上时，PA＋PC最小，△PAC的周长最小．设抛物线的对称轴与x轴的交点为H．由BH PH=，BO＝CO，得PH＝BH＝2．BO CO所以点P的坐标为(1, 2)．2（3）点M的坐标为(1, 1)、(1,6)、(1,6-)或(1,0)．考点伸展第（3）题的解题过程是这样的：设点M的坐标为(1,m)．在△MAC中，AC2＝10，MC2＝1＋(m－3)2，MA2＝4＋m2．①如图3，当MA＝MC时，MA2＝MC2．解方程4＋m2＝1＋(m－3)2，得m＝1．此时点M的坐标为(1, 1)．②如图4，当AM＝AC时，AM2＝AC2．解方程4＋m2＝10，得6m=±．此时点M的坐标为(1,6)或(1,6-)．③如图5，当CM＝CA时，CM2＝CA2．解方程1＋(m－3)2＝10，得m＝0或6．当M(1, 6)时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0)．图3 图4 图5例5 2017年临沂市中考第26题如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“12临沂26”，拖动点P在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，⊙O和⊙B以及OB的垂直平分线与抛物线的对称轴有一个共同的交点，当点P运动到⊙O与对称轴的另一个交点时，B、O、P三点共线．请打开超级画板文件名“12临沂26”，拖动点P，发现存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形思路点拨1．用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验．2．本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P重合在一起．满分解答（1）如图2，过点B作BC⊥y轴，垂足为C．在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，23OC=所以点B的坐标为(2,23)--．（2）因为抛物线与x轴交于O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)，代入点B(2,23)--⨯-．解得3--，232(6)aa=．所以抛物线的解析式为23323=--=-+．y x x x x(4)（3）抛物线的对称轴是直线x＝2，设点P的坐标为(2, y)．①当OP＝OB＝4时，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得23y=±．当P在(2,23)时，B、O、P三点共线（如图2）．②当BP＝BO＝4时，BP2＝16．所以22++=．解得1223y4(23)16==-．y y③当PB＝PO时，PB2＝PO2．所以2222++=+．解得23y=-．y y4(23)2综合①、②、③，点P的坐标为(2,23)-，如图2所示．图2 图3 考点伸展如图3，在本题中，设抛物线的顶点为D，那么△DOA与△OAB是两个相似的等腰三角形．由23323(4)(2)y x x x =--=--+，得抛物线的顶点为23(2,)D ．因此23tan DOA ∠=．所以∠DOA ＝30°，∠ODA ＝120°．例6 2017年盐城市中考第28题如图1，已知一次函数y ＝－x ＋7与正比例函数43y x =的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ． （1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l //y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“11盐城28”，拖动点R由B向O运动，从图象中可以看到，△APR 的面积有一个时刻等于8．观察△APQ，可以体验到，P在OC上时，只存在AP＝AQ的情况；P在CA上时，有三个时刻，△APQ是等腰三角形．思路点拨1．把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题．2．求△APR 的面积等于8，按照点P 的位置分两种情况讨论．事实上，P 在CA 上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8的可能．3．讨论等腰三角形APQ ，按照点P 的位置分两种情况讨论，点P 的每一种位置又要讨论三种情况．满分解答（1）解方程组7,4,3y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩得3,4.x y =⎧⎨=⎩ 所以点A 的坐标是(3，4)．令70y x =-+=，得7x =．所以点B 的坐标是(7，0)．（2）①如图2，当P 在OC 上运动时，0≤t ＜4．由8APR ACP POR CORA S S S S =--=△△△梯形，得1113+7)44(4)(7)8222t t t t -⨯-⨯⨯--⨯-=（．整理，得28120tt -+=．解得t ＝2或t ＝6（舍去）．如图3，当P 在CA 上运动时，△APR 的最大面积为6．因此，当t ＝2时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8．图 2 图3 图4②我们先讨论P 在OC 上运动时的情形，0≤t ＜4．如图1，在△AOB 中，∠B ＝45°，∠AOB ＞45°，OB ＝7，42AB =OB ＞AB ．因此∠OAB ＞∠AOB ＞∠B ．如图4，点P 由O 向C 运动的过程中，OP ＝BR ＝RQ ，所以PQ //x 轴．因此∠AQP ＝45°保持不变，∠PAQ 越来越大，所以只存在∠APQ ＝∠AQP 的情况．此时点A 在PQ 的垂直平分线上，OR ＝2CA ＝6．所以BR ＝1，t ＝1．我们再来讨论P 在CA 上运动时的情形，4≤t ＜7．在△APQ 中，3cos 5A ∠=为定值，7AP t =-，5520333AQ OA OQ OA OR t =-=-=-．如图5，当AP ＝AQ 时，解方程520733t t -=-，得418t =．如图6，当QP ＝QA 时，点Q 在PA 的垂直平分线上，AP ＝2(OR －OP )．解方程72[(7)(4)]t t t -=---，得5t =．如7，当PA ＝PQ 时，那么12cos AQA AP∠=．因此2cos AQ AP A=⋅∠．解方程52032(7)335t t -=-⨯，得22643t =． 综上所述，t ＝1或418或5或22643时，△APQ 是等腰三角形．图5 图6图7考点伸展当P 在CA 上，QP ＝QA 时，也可以用2cos AP AQ A =⋅∠来求解．。

动点相似（全等）专题1.如图，已知抛物线的对称轴是y轴，且点（2，2），（1，）在抛物线上，点P是抛物线上不与顶点N重合的一动点，过P作PA⊥x轴于A，PC⊥y轴于C，延长PC交抛物线于E，设M是O关于抛物线顶点N的对称点，D是C点关于N 的对称点．（1）求抛物线的解析式及顶点N的坐标；（2）求证：四边形PMDA是平行四边形；（3）求证：△DPE∽△PAM，并求出当它们的相似比为时的点P的坐标．2.已知二次函数y=﹣x2+bx+c+1，①当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程；②若c=b2﹣2b，问：b为何值时，二次函数的图象与x轴相切？③若二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，与y轴的正半轴交于点M，以AB为直径的半圆恰好过点M，二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F，且满足，求二次函数的表达式．3．如图所示，在平面直角坐标系中，⊙C经过坐标原点O，且与x轴，y轴分别相交于M（4，0），N（0，3）两点．已知抛物线开口向上，与⊙C交于N，H，P三点，P为抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点C且垂直x轴于点D．（1）求线段CD的长及顶点P的坐标；（2）求抛物线的函数表达式；（3）设抛物线交x轴于A，B两点，在抛物线上是否存在点Q，使得S四边形OPMN=8S△QAB，且△QAB∽△OBN成立？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且，直线与轴交于点，点是抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交直线l于点.（1）试求该抛物线的表达式；（2）如图（1），若点在第三象限，四边形是平行四边形，求点的坐标；（3）如图（2），过点作轴，垂足为，连接，①求证：是直角三角形；②试问当点横坐标为何值时，使得以点为顶点的三角形与相似？5．已知抛物线，其中，且.（1）直接写出关于的一元二次方程的一个根；（2）证明：抛物线的顶点在第三象限；（3）直线与轴分别相交于两点，与抛物线相交于两点.设抛物线的对称轴与轴相交于,如果在对称轴左侧的抛物线上存在点,使得与相似.并且，求此时抛物线的表达式.6．定义：点P是△ABC内部或边上的点（顶点除外），在△PAB，△PBC，△PCA中，若至少有一个三角形与△ABC 相似，则称点P是△ABC的自相似点．例如：如图1，点P在△ABC的内部，∠PBC=∠A，∠PCB=∠ABC，则△BCP∽△ABC，故点P是△ABC的自相似点．请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：在平面直角坐标系中，点M是曲线（x＞0）上的任意一点，点N是x轴正半轴上的任意一点．（1）如图2，点P是OM上一点，∠ONP=∠M，试说明点P是△MON的自相似点；当点M的坐标是（，3），点N的坐标是（，0）时，求点P的坐标；（2）如图3，当点M的坐标是（3，），点N的坐标是（2，0）时，求△MON的自相似点的坐标；（3）是否存在点M和点N，使△MON无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，.（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）M（m，0）为x轴上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N，①点在线段上运动，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标；②点在轴上自由运动，若三个点，，中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称，，三点为“共谐点”.请直接写出使得，，三点成为“共谐点”的的值.8．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知A（3，0），且M（1，）是抛物线上另一点．（1）求a、b的值；（2）连结AC，设点P是y轴上任一点，若以P、A、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P点的坐标；（3）若点N是x轴正半轴上且在抛物线内的一动点（不与O、A重合），过点N作NH∥AC交抛物线的对称轴于H点．设ON=t，△ONH的面积为S，求S与t之间的函数关系式．9.抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（5，0）．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）该抛物线与直线相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N．①连结PC、PD，如图1，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；②连结PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．。