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宝宝宝宝嘻嘻嘻椭圆的简单性质[ 基础达标 ]1. 椭圆 x 2＋ 8y 2＝ 1 的短轴的端点坐标是 () A ． (0 ，－2 2)，(0，)44B ．( －1，0) ，(1，0)C ．(2 2，0)，( －2 2， 0)D ．(0， 22) ，(0 ，－ 2 2)2y 221 2分析：选 A. 椭圆方程可化为 x ＋ 1 ＝1，焦点在 x 轴， b ＝ 8， b ＝ 4 ，故椭圆的短轴的8 端点坐标为 (0 ，－2 2)，(0，) ．442. 椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个极点是(0 ，13) ，另一个极点是 ( －10，0) ，则焦点坐标为()A ．( ±13， 0)B ． (0 ，± 10)C ． (0 ，± 13)D ． (0 ，± 69)分析：选 D. 由题意知焦点在y 轴上， a＝ 13， ＝ 10，∴ c 2＝ a 2－ b 2＝ 69，故焦点坐标为b(0 ，±69) ．3. 22椭圆 ( ＋1)x ＋my ＝ 1 的长轴长是 ()m2 m － 1 － 2 －m A.m － 1 B ．m2m2 1－mC. mD ．－ m － 1x 2y 2分析：选 C. 将椭圆化为标准方程为1 ＋ 1＝1，m ＋ 1 m则必有 m >0.1 1∵ m ＋ 1>m >0，∴< . m ＋1 m∴21＝m 2 ma ＝ ，m， 2＝.maam4. 若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为 18，一个焦点的坐标是 (3，0) ，则椭圆的标准方程为()x 2 y 2x 2 y 2A. 9＋16＝1B ．25＋ 16＝ 11x 2 y 2x 2 y 2C. 16＋ 25＝ 1D ．16＋ 9 ＝ 1分析：选 B.2a ＋ 2b ＝18，即 a ＋ b ＝ 9，又 c ＝ 3，∴ 9＝ a 2－ b 2，∴ a － b ＝1，∴ a ＝ 5， b＝4，又焦点在 x 轴，故椭圆的标准方程为x 2y 225＋ 16＝1. x 2 y 25. 如图， A 、 B 、C 分别为椭圆 a 2＋ b 2＝ 1( a >b >0) 的极点与焦点，若∠ ABC ＝90°，则该椭圆的离心率为 ()－ 1＋ 5A.B. 5－12C.2＋ 1 D ． 2＋12a b2分析：选 A.Rt △ AOB ∽ Rt △ BOC ，∴ b ＝ c ，即 b ＝ ac ，又 b 2＝ a 2－c 2，∴ a 2－ c 2＝ac ，即 c 2＋ ac － a 2＝ 0，∴ e 2＋ e －1＝ 0，又 e ∈(0 ， 1) ，∴ e ＝－ 1＋ 5.236. 已知椭圆的长轴长为 20，离心率为 5，则该椭圆的标准方程为 ________． 分析： 2a ＝ 20，a ＝ 10， e ＝ c ＝ 3，∴ c ＝ 6， b 2＝a 2－ c 2＝ 64.a 5x 2y 2 y 2x 2故椭圆的标准方程为100＋ 64＝ 1 或100＋ 64＝ 1.答案： x2＋ y 2＝ 1 或 y 2＋ x 2＝ 1 10064 100 647. 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．分析：由题意 2a ， 2b ， 2c 成等差数列，即 a ， b ， c 成等差数列， ∴ 2 ＝＋①，又222＋ )( － ) ，∴－ba cb ＝ a －c ＝(a＝ ②ba ca cc 25b由①②可得a ＝ 4c 3，∴ e ＝ ＝ .3ba 5c ＝42答案： 35y 2 x 2x 2 y 28. 已知与椭圆 ＋＝ 1 有同样的离心率且长轴长与＋ ＝ 1 的长轴长同样的椭圆的标438 3准方程为 ________．y 2 x 21x 2 y 2分析：易求得椭圆4＋ 3＝1 的离心率为 2，椭圆 8＋ 3 ＝1 的长轴长为 42，设所求椭圆的半长轴，半短轴，半焦距，离心率挨次为a ，b ，c ，e 则 a ＝ 2c 11 2， e ＝＝ ，∴ c ＝ aa 22＝ 2，∴ b 2＝ a 2－ c 2＝ 8－2＝ 6.x 2 y 2y 2x 2故所求椭圆的标准方程为8＋ 6＝1 或 8＋6＝1.x 2y 2y 2 x 2答案： ＋＝ 1 或＋ ＝ 186862239. 已知椭圆 x ＋ ( m ＋ 3) y ＝ m ( m >0) 的离心率 e ＝ 2 ，求 m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、极点坐标．x 2y 2解：椭圆方程可化为m ＋ m ＝ 1，m ＋ 3mm （m ＋ 2）∵ m －m ＋ 3＝ m ＋ 3 >0，∴ >m，即 2＝ ， 2＝ m， ＝2－ 2＝m （ m ＋ 2） . mm ＋ 3a m bm ＋3 ca bm ＋ 33＋ 23由 e ＝ 2 得mm ＋ 3＝ 2 ，∴ m ＝ 1.2y 2∴椭圆的标准方程的 x ＋＝1.1413∴ a ＝ 1， b ＝ 2，c ＝ 2 .3 3∴椭圆的长轴长为 2，短轴长为 1；两焦点坐标分别为 (－ 2 ，0) ，(2 ，0) ；四个极点坐标分别为1 1( －1，0) ，(1 ，0) ，(0 ，－ ) ，(0 ， ) ．2210.121已知椭圆 E 经过点 A (2 ， 3) ，对称轴为坐标轴，焦点 F ，F 在 x 轴上，离心率 e ＝ 2.求椭圆 E 的方程．x 2 y 2 1c 12222解：设椭圆 E 的方程为 a 2＋ b 2＝ 1( a >b >0) ．由 e ＝ 2，即 a ＝ 2，得 a ＝ 2c ，b ＝ a － c ＝3c ， ∴椭圆方程可化为x 2y 22＝1.4 2＋3 cc3将 A (2 ， 3) 代入上式，得 c12＋c32＝ 1，解得 c 2＝ 4，x 2y 2∴椭圆 E 的方程为 16＋ 12＝1.[ 能力提高 ]x 2 y 21. 椭圆 a 2＋ b 2＝ 1( a >b >0) ，B 为上极点， F 为左焦点， A 为右极点，且右极点 A 到直线 FB的距离为 2b ，则该椭圆的离心率为 ()A.2B ．2－ 22C. 2－ 1D ．3－2x y| ab ＋ bc |分析：选 C. A ( a ，0) ，直线 BF 的方程为 －c ＋ b ＝ 1，即 bx － cy ＋ bc ＝ 0，由题意得 b 2＋c 2a ＋ c c c＝ 2b ，即 a ＝ 2， 1＋ a ＝ 2 ， a ＝ 2－ 1，∴ e ＝ 2－ 1.x 2 y 22. 已知椭圆 C ： a 2＋ b 2＝ 1( a >b >0) 的左焦点为 F ，椭圆 C 与过原点的直线订交于 A ，B 两4点，连结 AF ， BF . 若| AB | ＝ 10，| AF | ＝ 6， cos ∠ ABF ＝ 5，则椭圆 C 的离心率 e ＝ ________．分析：设椭圆的右焦点为 F 1，由于直线过原点，因此 | AF | ＝ | BF 1| ＝ 6，| BO | ＝ | AO |. 在△中，设|| ＝ ，由余弦定理得 36＝ 100＋ x 2－2×10 x × 4 ，解得 x ＝8，即 | | ＝8. 所 ABF BF x 5 BF以∠ BFA ＝ 90°，因此△ ABF 是直角三角形， 因此 2a ＝ 6＋ 8＝ 14，即 a ＝ 7. 又由于在 Rt △ ABF 中， || ＝||，因此 |1| ＝5，即 c ＝5. 因此5| ＝ |＝ .BOAOOF 2 ABe 75答案：7x 2 y 23. 求经过点 M (1 ，2) ，且与椭圆 12＋ 6 ＝1 有同样离心率的椭圆的标准方程．x 2 y 2 y 2 x 21解：设所求椭圆方程为 12＋ 6 ＝ k 1( k 1>0) 或 12＋ 6 ＝ k 2( k 2>0) ，将点 M 的坐标代入可得 124 4 1 3 1x 2 y 2 3 y 2 x 2 1x 2 ＋ 6＝ k或 12＋6＝ k ，解得 k ＝4， k ＝2，故所求椭圆方程为 12＋ 6＝4或 12＋ 6＝2，即 9＋12 1 2y 2y 2 x 29＝1 或 6＋ 3＝1.24．已知 F 1， F 2 是椭圆的两个焦点， P 为椭圆上一点，∠ F 1PF 2＝60° .(1) 求椭圆离心率的范围；(2) 求证：△ F 1PF 2 的面积只与椭圆的短轴长相关．解： (1) x 2 y 2＝ 1( a >b >0) ，设椭圆方程为 a 2＋ b 2 | PF | ＝ m ， | PF | ＝ n ，则 m ＋ n ＝ 2a .124在△ PF1F2 中，由余弦定理可知，2 2 2 2 2 2＋2 2 m n 24c ＝ m＋ n － 2mn cos 60 °＝ ( m＋n) － 3mn＝ 4a － 3mn≥4a－3·(2 ) ＝ 4a － 3a＝a2(当且仅当 m＝ n 时取等号)．c2 1 1∴a2 ≥4，即 e≥2.又 0<e<1，∴e的取值范围是 [ 1，1) ．24 2(2) 证明：由 (1) 知 mn＝3b ，1 3 2∴ S△ F1PF2＝2mn sin 60°＝3 b ，即△ F1PF2的面积只与短轴长相关．5。
第三章 圆锥曲线与方程[A 组 基础巩固]1．若椭圆x 225＋y 29＝1上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为( )A ．5B ．6C ．4D ．1解析：由椭圆的定义知a ＝5，点P 到两个焦点的距离之和为2a ＝10.因为点P 到一个焦点的距离为5，所以到另一个焦点的距离为10－5＝5，故选A.答案：A2．已知△ABC 的两个顶点的坐标A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为( )A.x 225＋y 29＝1 B.y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.x 216＋y 29＝1(y ≠0) D.x 225＋y 29＝1(y ≠0) 解析：顶点C 到两个定点A ，B 的距离和为18－8＝10>8，由椭圆的定义可得轨迹方程． 答案：D3．已知椭圆的焦点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 是椭圆上的一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则该椭圆的标准方程为( )A.x 216＋y 29＝1 B.x 216＋y 212＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 23＋y 24＝1 解析：∵F 1(－1,0)，F 2(1,0)，∴|F 1F 2|＝2，又∵|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项．∴|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝4，即2a ＝4.又c ＝1，∴b 2＝3.∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.答案：C4．“5<m <7”是“方程x 27－m ＋y 2m －5＝1表示椭圆”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：若方程x 27－m ＋y 2m －5＝1表示椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧7－m >0m －5>07－m ≠m －5，解得5<m <7且m ≠6，所以“5<m <7”是“方程x 27－m ＋y 2m －5＝1表示椭圆”的必要不充分条件，故选C.答案：C5．已知P 是椭圆x 2100＋y 236＝1上一点，点F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 1交椭圆于另一点A ，则△PAF 2的周长为( )A ．10B ．16C ．20D ．40解析：设△PAF 2的周长为l ，则l ＝|PA |＋|PF 2|＋|AF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)＋(|AF 1|＋|AF 2|)＝2×10＋2×10＝40.答案：D6．已知椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为________．解析：由已知，2a ＝8,2c ＝215，∴a ＝4，c ＝15，∴b 2＝a 2－c 2＝16－15＝1，∴椭圆的标准方程为y 216＋x 2＝1.答案：y 216＋x 2＝1 7．若方程x 2a2－y 2a＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则a 的取值X 围是________；若该方程表示焦点在x 轴上的椭圆，则a 的取值X 围是________．解析：方程变形为x 2a 2＋y 2－a＝1，当焦点在y 轴上时，有－a >a 2，所以－1<a <0；当焦点在x 轴上时，有⎩⎪⎨⎪⎧a 2>－a ，－a >0，所以a <－1.答案：－1<a <0 a <－18．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________，∠F 1PF 2的大小为________．解析：由椭圆标准方程得a ＝3，b ＝2，则c ＝a 2－b 2＝7，|F 1F 2|＝2c ＝27.由椭圆的定义得|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2.在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝42＋22－(27)22×4×2＝－12，所以∠F 1PF 2＝120°.答案：2 120°9．写出适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，且过点(1，23)和(2,0)，求椭圆的方程．(2)焦点在x 轴上，焦距是4，且经过点M (3，－26)．解析：(1)由焦点在y 轴上，故设椭圆方程为x 2b 2＋y 2a 2＝1.∵点(1,23)和(2,0)在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＋12a2＝1，4b 2＋0a 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，b 2＝4.故所求的椭圆方程为x 24＋y 216＝1.(2)由焦点在x 轴上，焦距是4，得焦点坐标为(－2,0)，(2,0)，且c ＝2.因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由椭圆的定义知2a ＝(3＋2)2＋(－26)2＋(3－2)2＋(－26)2＝12，所以a ＝6.所以b 2＝a 2－c 2＝36－4＝32.因此，所求椭圆的标准方程为x 236＋y 232＝1. 10．如图所示，已知椭圆的两焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 为椭圆上一点，且2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|.(1)求该椭圆的方程；(2)若点P 在第二象限，∠F 2F 1P ＝120°，求△PF 1F 2的面积． 解析：(1)由已知得c ＝1，|F 1F 2|＝2， 所以4＝|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以a ＝2， 所以b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3， 所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)在△PF 1F 2中，|PF 2|＝2a －|PF 1|＝4－|PF 1|.由余弦定理，得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1|·|F 1F 2|·cos 120°，即(4－|PF 1|)2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|，所以|PF 1|＝65，所以S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|PF 1|·sin 120°＝12×2×65×32＝335.[B 组 能力提升]1．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列，则|AB |＝( )A.23 B ．1 C.43D.53解析：椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)中，a ＝1，∵|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝2，|BF 1|＋|BF 2|＝2，相加得|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝4，∴|AF 2|＋|BF 2|＝4－|AF 1|－|BF 1|＝4－|AB |.∵|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列，∴2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，于是2|AB |＝4－|AB |，∴|AB |＝43.答案：C2．两个焦点的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，并且经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－32的椭圆的标准方程是( )A.x 210＋y 26＝1B.y 210＋x 26＝1 C.x 294＋y 2254＝1 D.y 294＋x 2254＝1解析：由椭圆定义知：2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3102＋102＝210. ∴a ＝10.∴b ＝a 2－c 2＝ 6.答案：A3．如图所示，F 1、F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2的值是________．解析：因为F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，点P 在椭圆上，且正三角形POF 2的面积为3，所以S △POF 2＝12|OF 2|·|PO |·sin 60°＝34c 2＝3，所以c 2＝4.所以点P 的坐标为(c2，32c )，即(1，3)，所以1a 2＋3b 2＝1，又b 2＋c 2＝a 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧b 2＋3a 2＝a 2b 2a 2＝4＋b 2，解得b 2＝2 3.答案：234．设P 是椭圆 x 29＋y 25＝1上一点，F 1，F 2是其左、右两焦点，若|PF 1|·|PF 2|＝8，则|OP |＝________.解析：由题意，|PF 1|＋|PF 2|＝6，两边平方得|PF 1|2＋2|PF 1|·|PF 2|＋|PF 2|2＝36.因为|PF 1|·|PF 2|＝8，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝20.以PF 1，PF 2为邻边做平行四边形，则|OP |正好是该平行四边形对角线长的一半．由平行四边形的性质知，平行四边形对角线长的平方和等于四边长的平方和，即(2|OP |)2＋(2c )2＝2(|PF 1|2＋|PF 2|2)．所以4|OP |2＋(2×2)2＝2×20，所以|OP |＝6. 答案：65．在椭圆9x 2＋25y 2＝225上求点P ，使它到右焦点的距离等于它到左焦点距离的4倍． 解析：原方程可化为x 225＋y 29＝1.其中a ＝5，b ＝3，则c ＝4.∴F 1(－4,0)，F 2(4,0)．设P (x ，y )是椭圆上任一点，由椭圆的定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，又|PF 2|＝4|PF 1|，解得|PF 1|＝2，|PF 2|＝8，即{(x ＋4)2＋y 2＝2，(x －4)2＋y 2＝8，解得⎩⎨⎧ x ＝－154y ＝347或⎩⎨⎧x ＝－154，y ＝－347.故P 点坐标为(－154，347)或(－154，－347)．6．设P (x ，y )是椭圆x 225＋y 216＝1上的点且点P 的纵坐标y ≠0，点A (－5,0)、B (5,0)，试判断k PA ·k PB 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．解析：因为点P 的纵坐标y ≠0，所以x ≠±5.所以k PA ＝yx ＋5，k PB ＝yx －5.所以k PA ·k PB ＝y x ＋5·y x －5＝y 2x 2－25.因为点P 在椭圆x 225＋y 216＝1上，所以y 2＝16×(1－x 225)＝16×25－x 225.把y 2＝16×25－x 225代入k PA ·k PB ＝y 2x 2－25，得k PA ·k PB ＝16×25－x 225x 2－25＝－1625.所以k PA ·k PB 为定值，这个定值是－1625.。
1.1 椭圆及其标准方程课时目标 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．1．椭圆的概念：平面内到两个定点F 1，F 2的距离之和等于________(大于|F 1F 2|)的点的集合叫作________．这两个定点叫作椭圆的________，两焦点间的距离叫作椭圆的________．当|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|时，轨迹是__________，当|PF 1|＋|PF 2|<|F 1F 2|时________轨迹．2．椭圆的方程：焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为____________，焦点坐标为__________，焦距为________，其中c 2＝a 2－b 2；焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为________________．一、选择题1．设F 1，F 2为定点，|F 1F 2|＝6，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝6，则动点M 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．直线 C ．圆 D ．线段2．椭圆x 216＋y27＝1的左右焦点为F 1，F 2，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为( )A ．32B ．16C ．8D ．43．椭圆2x 2＋3y 2＝1的焦点坐标是( )A .⎝ ⎛⎭⎪⎫0，±66 B ．(0，±1) C ．(±1,0) D .⎝ ⎛⎭⎪⎫±66，0 4．方程x 2|a|－1＋y2a ＋3＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )A ．(－3，－1)B ．(－3，－2)C ．(1，＋∞)D ．(－3,1)5．若椭圆的两焦点为(－2,0)，(2,0)，且该椭圆过点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－32，则该椭圆的方程是( )A .y 28＋x 24＝1 B .y 210＋x26＝1 C .y 24＋x 28＝1 D .y 26＋x210＝1 6．设F 1、F 2是椭圆x 216＋y212＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且P 到两个焦点的距离之差为2，则△PF 1F 2是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．斜三角形D ．直角三角形二、填空题7．(2009·北京)椭圆x 29＋y22＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________，∠F 1PF 2的大小为________．8．P 是椭圆x 24＋y23＝1上的点，F 1和F 2是该椭圆的焦点，则k ＝|PF 1|·|PF 2|的最大值是______，最小值是______．9．“神舟六号”载人航天飞船的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，设其近地点距地面n 千米，远地点距地面m 千米，地球半径为R ，那么这个椭圆的焦距为________千米． 三、解答题10．根据下列条件，求椭圆的标准方程．(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上任意一点P 到两焦点的距离之和等于10；(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52.11．已知点A(0，3)和圆O 1：x 2＋(y ＋3)2＝16，点M 在圆O 1上运动，点P 在半径O 1M 上，且|PM|＝|PA|，求动点P 的轨迹方程．能力提升12．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．813.如图△ABC 中底边BC ＝12，其它两边AB 和AC 上中线的和为30，求此三角形重心G 的轨迹方程，并求顶点A 的轨迹方程．1．椭圆的定义中只有当距离之和2a>|F 1F 2|时轨迹才是椭圆，如果2a ＝|F 1F 2|，轨迹是线段F 1F 2，如果2a<|F 1F 2|，则不存在轨迹．2．椭圆的标准方程有两种表达式，但总有a>b>0，因此判断椭圆的焦点所在的坐标轴要看方程中的分母，焦点在分母大的对应轴上．3．求椭圆的标准方程常用待定系数法，一般是先判断焦点所在的坐标轴进而设出相应的标准方程，然后再计算；如果不能确定焦点的位置，有两种方法求解，一是分类讨论，二是设椭圆方程的一般形式，即mx 2＋ny 2＝1 (m ，n 为不相等的正数)． 4．在与椭圆有关的求轨迹方程的问题中要注意挖掘几何关系．第三章 圆锥曲线与方程§1 椭 圆1．1 椭圆及其标准方程知识梳理1．常数 椭圆 焦点 焦距 线段F 1F 2 不存在2.x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a>b>0) F 1(－c ，0)，F 2(c ，0) 2c y 2a 2＋x2b 2＝1 (a>b>0) 作业设计1．D [∵|MF 1|＋|MF 2|＝6＝|F 1F 2|， ∴动点M 的轨迹是线段．] 2．B [由椭圆方程知2a ＝8，由椭圆的定义知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ＝8，所以△ABF 2的周长为16.] 3．D4．B [|a|－1>a ＋3>0，解得－3<a<－2.] 5．D [椭圆的焦点在x 轴上，排除A 、B ，又过点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－32验证即可．]6．D [由椭圆的定义，知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8.由题可得||PF 1|－|PF 2||＝2，则|PF 1|＝5或3，|PF 2|＝3或5. 又|F 1F 2|＝2c ＝4，∴△PF 1F 2为直角三角形．] 7．2 120° 解析∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，∴|PF 2|＝6－|PF 1|＝2. 在△F 1PF 2中， cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝16＋4－282×4×2＝－12，∴∠F 1PF 2＝120°.8．4 3解析 设|PF 1|＝x ，则k ＝x(2a －x)， 因a －c≤|PF 1|≤a＋c ，即1≤x≤3.∴k＝－x 2＋2ax ＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4， ∴k max ＝4，k min ＝3. 9．m －n解析 设a ，c 分别是椭圆的长半轴长和半焦距， 则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝m ＋R a －c ＝n ＋R ，则2c ＝m －n.10．解 (1)∵椭圆的焦点在x 轴上，∴设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y2b2＝1 (a>b>0)．∵2a＝10，∴a＝5，又∵c＝4.∴b 2＝a 2－c 2＝52－42＝9.故所求椭圆的标准方程为x 225＋y29＝1.(2)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x2b 2＝1 (a>b>0)．由椭圆的定义知，2a ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52－22＝3102＋102＝210，∴a＝10.又∵c＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝10－4＝6.故所求椭圆的标准方程为y 210＋x26＝1.11．解 ∵|PM|＝|PA|，|PM|＋|PO 1|＝4， ∴|PO 1|＋|PA|＝4，又∵|O 1A|＝23<4， ∴点P 的轨迹是以A 、O 1为焦点的椭圆， ∴c＝3，a ＝2，b ＝1，∴动点P 的轨迹方程为x 2＋y 24＝1.12．C [由椭圆方程得F(－1,0)，设P(x 0，y 0)， 则OP →·FP →＝(x 0，y 0)·(x 0＋1，y 0)＝x 20＋x 0＋y 20.∵P 为椭圆上一点，∴x 204＋y 203＝1.∴OP →·FP →＝x 20＋x 0＋3(1－x 204)＝x 204＋x 0＋3＝14(x 0＋2)2＋2. ∵－2≤x 0≤2， ∴OP →·FP →的最大值在x 0＝2时取得，且最大值等于6.]13．解 以BC 边所在直线为x 轴，BC 边中点为原点，建立如图所示坐标系， 则B(6,0)，C(－6,0)，CE 、BD 为AB 、AC 边上的中线，则|BD|＋|CE|＝30. 由重心性质可知|GB|＋|GC| ＝23(|BD|＋|CE|)＝20. ∵B、C 是两个定点，G 点到B 、C 距离和等于定值20，且20>12， ∴G 点的轨迹是椭圆，B 、C 是椭圆焦点． ∴2c＝|BC|＝12，c ＝6,2a ＝20，a ＝10， b 2＝a 2－c 2＝102－62＝64，故G 点的轨迹方程为x 2100＋y264＝1 (x ≠±10)．又设G(x′，y′)，A(x ，y)，则有x′2100＋y′264＝1.由重心坐标公式知⎩⎪⎨⎪⎧x′＝x3，y′＝y3.故A 点轨迹方程为(x 3)2100＋(y 3)264＝1.即x 2900＋y2576＝1 (x≠±30)．。
1．1椭圆及其标准方程(一)明目标、知重点 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．1．椭圆的定义我们把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆．这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距．2．椭圆的标准方程探究点一椭圆的定义思考1给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板，能画出椭圆吗？答固定两个图钉，绳长大于图钉间的距离是画出椭圆的关键．思考2在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？答到两个定点的距离和等于常数．小结平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆．两个定点F1、F2称为焦点，两焦点之间的距离称为焦距，记为2c.若设M为椭圆上的任意一点，则|MF1|＋|MF2|＝2a.思考3在椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？答当距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹就是线段F1F2；当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．探究点二椭圆的标准方程思考1观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单？并写出求解过程．答(1)如图所示，以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy.(2)设点：设点M(x，y)是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为F1(－c，0)，F2(c,0)．(3)列式：依据椭圆的定义式|MF1|＋|MF2|＝2a列方程，并将其坐标化为(x＋c)2＋y2＋(x－c)2＋y2＝2a.①(4)化简：通过移项、两次平方后得到：(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)，为使方程简单、对称、和谐，引入字母b，令b2＝a2－c2，可得椭圆标准方程为x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)．②(5)从上述过程可以看到，椭圆上任意一点的坐标都满足方程②，以方程②的解(x，y)为坐标的点到椭圆的两个焦点F1(－c，0)，F2(c,0)的距离之和为2a，即以方程②的解为坐标的点都在椭圆上．由曲线与方程的关系可知，方程②是椭圆的方程，我们把它叫作椭圆的标准方程．思考2建系时如果焦点在y轴上会得到何种形式的椭圆方程？答焦点在y轴上，椭圆方程为y2a2＋x2b2＝1 (a>b>0)．思考3怎样判定给定的椭圆焦点在哪个坐标轴上？答看x2，y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上．较大的分母是a2，较小的分母是b2.如果x2项的分母大，焦点就在x轴上，如果y2项的分母大，则焦点就在y轴上．思考4椭圆方程中的a、b以及参数c有什么意义，它们满足什么关系？答椭圆方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆，a、b、c(都是正数)恰构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，c是焦距的一半，叫半焦距．a、b、c始终满足关系式a2＝b2＋c2.例1 (1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2,0)，(2,0)，并且经过点⎝⎛⎭⎫52，－32，求它的标准方程；(2)若椭圆经过两点(2,0)和(0,1)，求椭圆的标准方程． 解 (1)方法一 因为椭圆的焦点在x 轴上， 所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)．由椭圆的定义知 2a ＝⎝⎛⎭⎫52＋22＋⎝⎛⎭⎫－322＋ ⎝⎛⎭⎫52－22＋⎝⎛⎭⎫－322＝210， 所以a ＝10.又因为c ＝2， 所以b 2＝a 2－c 2＝10－4＝6.因此，所求椭圆的标准方程为x 210＋y 26＝1.方法二 设标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧254a 2＋94b 2＝1a 2－b 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝10b 2＝6.∴所求椭圆的标准方程为x 210＋y 26＝1.(2)方法一 当椭圆的焦点在x 轴上时，设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)．∵椭圆经过两点(2,0)，(0,1)，∴⎩⎨⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1；当椭圆的焦点在y 轴上时，设所求椭圆的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a >b >0)．∵椭圆经过两点(2,0)、(0,1)，∴⎩⎨⎧0a 2＋4b 2＝1，1a 2＋0b 2＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，与a >b 矛盾，故舍去．综上可知，所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.方法二 设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1 (m >0，n >0， m ≠n )．∵椭圆过(2,0)和(0,1)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧4m ＝1，n ＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14，n ＝1.综上可知，所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.反思与感悟 求椭圆标准方程的方法(1)定义法，即根据椭圆的定义，判断出轨迹是椭圆，然后写出其方程．(2)待定系数法，即设出椭圆的标准方程，再依据条件确定a 2、b 2的值，可归纳为“先定型，再定量”，其一般步骤是：①定类型：根据条件判断焦点在x 轴上还是在y 轴上，还是两种情况都有可能，并设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)；也可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1 (m >0，n >0，m ≠n )． ②确定未知量：根据已知条件列出关于a 、b 、c 的方程组，解方程组，可得a 、b 的值，然后代入所设方程即可．跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)、(4,0)，椭圆上一点P 到两焦点距离的和是10； (2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； (3)经过点(63，3)和点(223，1)． 解 (1)∵椭圆的焦点在x 轴上， ∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．∵2a ＝10，∴a ＝5，又∵c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝52－42＝9. ∴所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．∵椭圆经过点(0,2)和(1,0)，∴⎩⎨⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，故所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.(3)方法一 ①当椭圆的焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． ∵点(63，3)和点(223，1)在椭圆上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧(63)2a 2＋(3)2b2＝1，(223)2a 2＋12b2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝9.而a >b >0.∴a 2＝1，b 2＝9不合题意，即焦点在x 轴上的椭圆的方程不存在．②当椭圆的焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为 y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． ∵点(63，3)和点(223，1)在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧(3)2a 2＋(63)2b 2＝1，12a 2＋(223)2b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝1.∴所求椭圆的标准方程为y 29＋x 2＝1.方法二 设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )． ∵点(63，3)和点(223，1)都在椭圆上， ∴⎩⎨⎧m ·(63)2＋n ·(3)2＝1，m ·(223)2＋n ·12＝1，即⎩⎨⎧2m3＋3n ＝1，8m9＋n ＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝19.∴所求椭圆的标准方程为x 2＋y 29＝1. 例2 已知方程x 2k －4－y 2k －10＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为__________．答案 7<k <10解析 化成椭圆标准形式得x 2k －4＋y 210－k＝1，根据其表示焦点在x 轴上的椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧k －4>0，10－k >0，k －4>10－k ，解得7<k <10.反思与感悟 (1)利用椭圆方程解题时，一般首先要化成标准形式． (2)x 2m ＋y2n＝1表示椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n >0，m ≠n ；表示焦点在x 轴上的椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n >0，m >n ；表示焦点在y 轴上的椭圆的条件是⎩⎨⎧m >0，n >0，n >m .跟踪训练2 若方程x 2m －y 2m 2－2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数m 的取值范围是( )A ．m >0B ．0<m <1C ．－2<m <1D ．m >1且m ≠ 2答案 B解析 ∵方程x 2m －y 2m 2－2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，将方程改写为y 22－m 2＋x 2m＝1，∴有⎩⎪⎨⎪⎧2－m 2>m ，m >0，解得0<m <1.探究点三 椭圆的定义及标准方程的应用例3 已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，椭圆上有一点P 满足∠PF 1F 2＝90°(如图)．求△PF 1F 2的面积． 解 由已知得a ＝2，b ＝3， 所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1.从而|F 1F 2|＝2c ＝2.在△PF 1F 2中，由勾股定理可得 |PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2， 即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4.又由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2×2＝4， 所以|PF 2|＝4－|PF 1|.从而有(4－|PF 1|)2＝|PF 1|2＋4.解得|PF 1|＝32.所以△PF 1F 2的面积S ＝12·|PF 1|·|F 1F 2|＝12×32×2＝32，即△PF 1F 2的面积是32.反思与感悟 (1)椭圆上一点P 与椭圆的两焦点F 1、F 2构成的三角形称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识．对于求焦点三角形的面积，结合椭圆定义，建立关于|PF 1|(或|PF 2|)的方程求得|PF 1|(或|PF 2|)的长度；有时把|PF 1|·|PF 2|看成一个整体，运用公式|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|及余弦定理求出|PF 1|·|PF 2|，而无需单独求出，这样可以减少运算量． (2)焦点三角形的周长等于2a ＋2c .跟踪训练3 如图所示，点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上的一点，F 1和F 2是焦点，且∠F 1PF 2＝30°，求△F 1PF 2的面积． 解 在椭圆x 25＋y 24＝1中，a ＝5，b ＝2，∴c ＝a 2－b 2＝1.又∵P 在椭圆上，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝25，① 由余弦定理知：|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos 30° ＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4，② ①式两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝20，③ ③－②，得(2＋3)|PF 1|·|PF 2|＝16， ∴|PF 1|·|PF 2|＝16(2－3)，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 30°＝8－4 3.1．椭圆x 225＋y 2＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为( )A ．5B ．6C ．7D ．8 答案 D解析 由椭圆定义知点P 到另一个焦点的距离是10－2＝8.2．若方程x 225－m ＋y 2m ＋9＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是( )A ．－9<m <25B ．8<m <25C ．16<m <25D ．m >8答案 B解析 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧25－m >0m ＋9>0m ＋9>25－m，解得8<m <25，即实数m 的取值范围是8<m <25.3．已知F 1，F 2是定点，|F 1F 2|＝8，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝8，则动点M 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．直线 C ．圆 D ．线段答案 D解析 ∵|MF 1|＋|MF 2|＝8＝|F 1F 2|， ∴点M 的轨迹是线段F 1F 2，故选D.4．已知椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆两焦点F 1、F 2的连线夹角为直角，则|PF 1|·|PF 2|＝________. 答案 48解析 依题意a ＝7，b ＝26，c ＝49－24＝5， |F 1F 2|＝2c ＝10，由于PF 1⊥PF 2， 所以由勾股定理得|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， 即|PF 1|2＋|PF 2|2＝100.又由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝14， ∴(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|＝100， 即196－2|PF 1|·|PF 2|＝100. 解得|PF 1|·|PF 2|＝48. [呈重点、现规律]1．平面内到两定点F 1，F 2的距离之和为常数，即|MF 1|＋|MF 2|＝2a ， 当2a >|F 1F 2|时，轨迹是椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是一条线段F 1F 2；当2a <|F 1F 2|时，轨迹不存在．2．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：可以通过待定系数法求解，也可以通过椭圆的定义进行求解．3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解；也可设Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )求解，避免了分类讨论达到了简化运算的目的．一、基础过关1．已知焦点坐标为(0，－4)，(0,4)，且a ＝6的椭圆方程是( ) A.x 236＋y 220＝1 B.x 220＋y 236＝1 C.x 236＋y 216＝1 D.x 216＋y 236＝1 答案 B2．设F 1，F 2是椭圆x 225＋y 29＝1的焦点，P 为椭圆上一点，则△PF 1F 2的周长为( )A ．16B ．18C ．20D ．不确定 答案 B解析 △PF 1F 2的周长为|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|＝2a ＋2c .因为2a ＝10，c ＝25－9＝4，所以周长为10＋8＝18.3．“1<m <3”是“方程x 2m －1＋y 23－m ＝1表示椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 当方程x 2m －1＋y 23－m ＝1表示椭圆时，必有⎩⎪⎨⎪⎧m －1>0，3－m >0，所以1<m <3；但当1<m <3时，该方程不一定表示椭圆，例如当m ＝2时，方程变为x 2＋y 2＝1，它表示一个圆．4．设P 是椭圆 x 216＋y 212＝1上一点，P 到两焦点F 1，F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形答案 B 解析 由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8.又|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝5，|PF 2|＝3.又|F 1F 2|＝2c ＝216－12＝4，∴△PF 1F 2为直角三角形．5．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于______________． 答案 4或8解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ 10－m >0m －2>0，得2<m <10， 由题意知(10－m )－(m －2)＝4或(m －2)－(10－m )＝4，解得m ＝4或m ＝8.6．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是________． 答案 a >3或－6<a <－2解析 由于椭圆焦点在x 轴上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2>a ＋6，a ＋6>0，即⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋2)(a －3)>0，a >－6. ⇔a >3或－6<a <－2.7．已知椭圆两焦点为F 1、F 2，a ＝32，过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点，求△ABF 2的周长．解 如图所示，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)， 又∵a ＝32. ∴△ABF 2的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝6.二、能力提升8．设椭圆x 212＋y 23＝1的两个焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点Q 恰好在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的( )A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍答案 A9．设定点F 1(0，－3)、F 2(0,3)，动点P 满足条件|PF 1|＋|PF 2|＝a ＋9a(a >0)，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段答案 D解析 ∵a ＋9a ≥2a ·9a＝6， 当且仅当a ＝9a，a ＝3时取等号， ∴当a ＝3时，|PF 1|＋|PF 2|＝6＝|F 1F 2|，点P 的轨迹是线段F 1F 2；当a >0，且a ≠3时，|PF 1|＋|PF 2|>6＝|F 1F 2|，点P 的轨迹是椭圆． 10．已知椭圆x 225＋y 29＝1上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2，N 是MF 的中点，O 为坐标原点，那么线段ON 的长是________．答案 4解析 设椭圆的另一个焦点为E ，则|MF |＋|ME |＝10，∴|ME |＝8，又ON 为△MEF 的中位线，∴|ON |＝12|ME |＝4. 11．已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4,3)．若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程．解 设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)． 设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)．∵F 1A ⊥F 2A ，∴F 1A →·F 2A →＝0，而F 1A →＝(－4＋c,3)，F 2A →＝(－4－c,3)，∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0，∴c 2＝25，即c ＝5.∴F 1(－5,0)，F 2(5,0)．∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2| ＝(－4＋5)2＋32＋(－4－5)2＋32 ＝10＋90＝410.∴a ＝210，∴b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15.∴所求椭圆的标准方程为x 240＋y 215＝1. 12．椭圆x 29＋y 24＝1的焦点为F 1、F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，求点P 横坐标的取值范围．解 如图所示，以F 1F 2为直径的圆x 2＋y 2＝5与椭圆x 29＋y 24＝1交于A 、B 、C 、D 四点，则∠F 1AF 2＝∠F 1BF 2＝∠F 1CF 2＝∠F 1DF 2＝90°，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝54x 2＋9y 2＝36. 得x ＝±355，如果点P 在椭圆弧AB 及CD 上，即在圆的内部，那么∠F 1PF 2是钝角，故－355<x <355. 三、探究与拓展13．在Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，AB ＝2，AC ＝22，曲线E 过C 点，动点P 在E 上运动，且保持|P A |＋|PB |的值不变，求曲线E 的方程．解 如图，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，在Rt △ABC 中，BC ＝AC 2＋AB 2＝322， ∵|P A |＋|PB |＝|CA |＋|CB |＝22＋322＝22， 且|P A |＋|PB |>|AB |，∴由椭圆定义知，动点P 的轨迹E 为椭圆，且a ＝2，c ＝1，b ＝1.∴所求曲线E 的方程为x 22＋y 2＝1.。
2016-2017学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.1.1 椭圆及其标准方程课后演练提升 北师大版选修2-1一、选择题(每小题5分，共20分) 1．下列说法正确的是( )A ．已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，到F 1，F 2两点的距离之和为8的点的轨迹是椭圆B ．已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，到F 1，F 2两点的距离之和为6的点的轨迹是椭圆C ．到F 1(－4,0)，F 2(4,0)两点的距离之和等于点M (5,3)到F 1，F 2的距离之和的点的轨迹是椭圆D ．到F 1(－4,0)，F 2(4,0)两点距离相等的点的轨迹是椭圆解析： 椭圆是到两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹．A 中，|F 1F 2|＝8，故到F 1，F 2两点距离之和为常数8的点的轨迹是线段F 1F 2.B 中，到F 1，F 2的两点距离之和为6，小于|F 1F 2|的距离，故这样的轨迹不存在．C 中，点(5,3)到F 1，F 2两点的距离之和为＋2＋32＋－2＋32＝410>|F 1F 2|＝8，故轨迹是椭圆．D 中，轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线．故选C.答案： C 2．椭圆x 225＋y 2＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析： 因为P 到两焦点的距离和为2a ，a ＝5，所以2a ＝10，又因P 到一个焦点的距离为2，则到另一个焦点的距离为10－2＝8.答案： D3．已知椭圆x 2a 2＋y 22＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程为( )A.x 24＋y 22＝1 B.x 23＋y 22＝1 C ．x 2＋y 22＝1 D.x 26＋y 22＝1解析： 由题意焦点在x 轴上，c ＝2，b 2＝2，所以a 2＝b 2＋c 2＝2＋4＝6. 答案： D4．若△ABC 的两个顶点坐标为A (－4,0)、B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为( )A.x 225＋y 29＝1(y ≠0) B.y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.x 216＋y 29＝1(y ≠0) D.y 216＋x 29＝1(y ≠0) 解析： 因为|AB |＝8，|CA |＋|CB |＝18－8＝10，所以顶点C 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆(去掉长轴的两个端点)．因2a ＝10，2c ＝8，所以b 2＝9.所以顶点C 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．答案： A二、填空题(每小题5分，共10分)5．若方程x 2k －4＋y 29－k＝1表示椭圆，则参数k 的取值范围是____________．解析： 依题意⎩⎪⎨⎪⎧k －4＞09－k ＞0k －4≠9－k，∴4＜k ＜9且k ≠132.答案： 4＜k ＜9且k ≠1326．(2010～2011·银川一中高二期末)椭圆x 24＋k－y 23＋k ＝1⎝⎛⎭⎪⎫k ＜－72的焦点坐标为________．解析： 椭圆方程为x 24＋k ＋y 2－＋k＝1，∵k ＜－72，∴0＜4＋k ＜12，－(3＋k )＞12，∴椭圆焦点在y 轴上，a 2＝－(3＋k )，b 2＝4＋k ，∴c 2＝a 2－b 2＝－2k －7， ∴c ＝－2k －7，∴焦点坐标为(0，－－2k －7)，(0，－2k －7)． 答案： (0，－－2k －7)，(0，－2k －7) 三、解答题(每小题10分，共20分) 7．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在x 轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)；(2)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2.解析： (1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以可设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧22a 2＋0b 2＝10a 2＋1b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝1，故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)， ∵P (0，－10)在椭圆上，∴a ＝10.又∵P 到它较近的一个焦点的距离等于2，∴－c －(－10)＝2，故c ＝8，∴b 2＝a 2－c 2＝36.∴所求椭圆的标准方程是y 2100＋x 236＝1. 8．已知圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝100，圆A 内一定点B (3，0)，圆P 过B 点且与圆A 内切，求圆心P 的轨迹方程．解析： 设|PB |＝r .∵圆P 与圆A 内切，圆A 的半径为10， ∴两圆的圆心距|PA |＝10－r ， 即|PA |＋|PB |＝10(大于|AB |)．∴点P 的轨迹是以A 、B 两点为焦点的椭圆．∴2a ＝10,2c ＝|AB |＝6. ∴a ＝5，c ＝3.∴b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16， 即点P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知点P 是焦点在坐标轴上的椭圆上一点，点P 到两焦点的距离分别为453和253，过P 作焦点所在轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程． 解析： 设两焦点为F 1、F 2，∴2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝453＋253＝2 5.∴a ＝ 5.∵|PF 1|＞|PF 2|，∴由题意，△PF 1F 2为以PF 1为斜边的直角三角形．∴(2c )2＝|PF 1|2－|PF 2|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4532－⎝ ⎛⎭⎪⎫2532.∴c ＝53.∴b 2＝a 2－c 2＝(5)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫532＝103. 故所求椭圆方程为x 25＋3y 210＝1或3x 210＋y25＝1.。
1.1 椭圆及其标准方程课时目标 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．1．椭圆的概念：平面内到两个定点F 1，F 2的距离之和等于________(大于|F 1F 2|)的点的集合叫作________．这两个定点叫作椭圆的________，两焦点间的距离叫作椭圆的________．当|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|时，轨迹是__________，当|PF 1|＋|PF 2|<|F 1F 2|时________轨迹．2．椭圆的方程：焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为____________，焦点坐标为__________，焦距为________，其中c 2＝a 2－b 2；焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为________________．一、选择题1．设F 1，F 2为定点，|F 1F 2|＝6，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝6，则动点M 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．直线 C ．圆 D ．线段2．椭圆x 216＋y27＝1的左右焦点为F 1，F 2，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为( )A ．32B ．16C ．8D ．43．椭圆2x 2＋3y 2＝1的焦点坐标是( )A .⎝ ⎛⎭⎪⎫0，±66 B ．(0，±1) C ．(±1,0) D .⎝ ⎛⎭⎪⎫±66，0 4．方程x 2|a|－1＋y2a ＋3＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )A ．(－3，－1)B ．(－3，－2)C ．(1，＋∞)D ．(－3,1)5．若椭圆的两焦点为(－2,0)，(2,0)，且该椭圆过点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－32，则该椭圆的方程是( )A .y 28＋x 24＝1 B .y 210＋x26＝1 C .y 24＋x 28＝1 D .y 26＋x210＝1 6．设F 1、F 2是椭圆x 216＋y212＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且P 到两个焦点的距离之差为2，则△PF 1F 2是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．斜三角形D ．直角三角形二、填空题7．(2009·北京)椭圆x 29＋y22＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________，∠F 1PF 2的大小为________．8．P 是椭圆x 24＋y23＝1上的点，F 1和F 2是该椭圆的焦点，则k ＝|PF 1|·|PF 2|的最大值是______，最小值是______．9．“神舟六号”载人航天飞船的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，设其近地点距地面n 千米，远地点距地面m 千米，地球半径为R ，那么这个椭圆的焦距为________千米． 三、解答题10．根据下列条件，求椭圆的标准方程．(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上任意一点P 到两焦点的距离之和等于10；(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52.11．已知点A(0，3)和圆O 1：x 2＋(y ＋3)2＝16，点M 在圆O 1上运动，点P 在半径O 1M 上，且|PM|＝|PA|，求动点P 的轨迹方程．能力提升12．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．813.如图△ABC 中底边BC ＝12，其它两边AB 和AC 上中线的和为30，求此三角形重心G 的轨迹方程，并求顶点A 的轨迹方程．1．椭圆的定义中只有当距离之和2a>|F 1F 2|时轨迹才是椭圆，如果2a ＝|F 1F 2|，轨迹是线段F 1F 2，如果2a<|F 1F 2|，则不存在轨迹．2．椭圆的标准方程有两种表达式，但总有a>b>0，因此判断椭圆的焦点所在的坐标轴要看方程中的分母，焦点在分母大的对应轴上．3．求椭圆的标准方程常用待定系数法，一般是先判断焦点所在的坐标轴进而设出相应的标准方程，然后再计算；如果不能确定焦点的位置，有两种方法求解，一是分类讨论，二是设椭圆方程的一般形式，即mx 2＋ny 2＝1 (m ，n 为不相等的正数)． 4．在与椭圆有关的求轨迹方程的问题中要注意挖掘几何关系．第三章 圆锥曲线与方程§1 椭 圆1．1 椭圆及其标准方程知识梳理1．常数 椭圆 焦点 焦距 线段F 1F 2 不存在2.x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a>b>0) F 1(－c ，0)，F 2(c ，0) 2c y 2a 2＋x2b 2＝1 (a>b>0) 作业设计1．D [∵|MF 1|＋|MF 2|＝6＝|F 1F 2|， ∴动点M 的轨迹是线段．] 2．B [由椭圆方程知2a ＝8，由椭圆的定义知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ＝8，所以△ABF 2的周长为16.] 3．D4．B [|a|－1>a ＋3>0，解得－3<a<－2.] 5．D [椭圆的焦点在x 轴上，排除A 、B ，又过点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－32验证即可．]6．D [由椭圆的定义，知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8.由题可得||PF 1|－|PF 2||＝2，则|PF 1|＝5或3，|PF 2|＝3或5. 又|F 1F 2|＝2c ＝4，∴△PF 1F 2为直角三角形．] 7．2 120° 解析∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，∴|PF 2|＝6－|PF 1|＝2. 在△F 1PF 2中， cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝16＋4－282×4×2＝－12，∴∠F 1PF 2＝120°.8．4 3解析 设|PF 1|＝x ，则k ＝x(2a －x)， 因a －c≤|PF 1|≤a＋c ，即1≤x≤3.∴k＝－x 2＋2ax ＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4， ∴k max ＝4，k min ＝3. 9．m －n解析 设a ，c 分别是椭圆的长半轴长和半焦距， 则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝m ＋R a －c ＝n ＋R ，则2c ＝m －n.10．解 (1)∵椭圆的焦点在x 轴上，∴设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y2b2＝1 (a>b>0)．∵2a＝10，∴a＝5，又∵c＝4.∴b 2＝a 2－c 2＝52－42＝9.故所求椭圆的标准方程为x 225＋y29＝1.(2)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x2b 2＝1 (a>b>0)．由椭圆的定义知，2a ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52－22＝3102＋102＝210，∴a＝10.又∵c＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝10－4＝6.故所求椭圆的标准方程为y 210＋x26＝1.11．解 ∵|PM|＝|PA|，|PM|＋|PO 1|＝4， ∴|PO 1|＋|PA|＝4，又∵|O 1A|＝23<4， ∴点P 的轨迹是以A 、O 1为焦点的椭圆， ∴c＝3，a ＝2，b ＝1，∴动点P 的轨迹方程为x 2＋y 24＝1.12．C [由椭圆方程得F(－1,0)，设P(x 0，y 0)， 则OP →·FP →＝(x 0，y 0)·(x 0＋1，y 0)＝x 20＋x 0＋y 20.∵P 为椭圆上一点，∴x 204＋y 203＝1.∴OP →·FP →＝x 20＋x 0＋3(1－x 204)＝x 204＋x 0＋3＝14(x 0＋2)2＋2. ∵－2≤x 0≤2， ∴OP →·FP →的最大值在x 0＝2时取得，且最大值等于6.]13．解 以BC 边所在直线为x 轴，BC 边中点为原点，建立如图所示坐标系， 则B(6,0)，C(－6,0)，CE 、BD 为AB 、AC 边上的中线，则|BD|＋|CE|＝30. 由重心性质可知|GB|＋|GC| ＝23(|BD|＋|CE|)＝20. ∵B、C 是两个定点，G 点到B 、C 距离和等于定值20，且20>12， ∴G 点的轨迹是椭圆，B 、C 是椭圆焦点． ∴2c＝|BC|＝12，c ＝6,2a ＝20，a ＝10， b 2＝a 2－c 2＝102－62＝64，故G 点的轨迹方程为x 2100＋y264＝1 (x≠±10)．又设G(x′，y′)，A(x ，y)，则有x′2100＋y′264＝1.由重心坐标公式知⎩⎪⎨⎪⎧x′＝x3，y′＝y3.故A 点轨迹方程为(x 3)2100＋(y 3)264＝1.即x 2900＋y2576＝1 (x≠±30)．。
