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矩协方差矩阵简介

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矩阵的方差 协方差

矩阵的方差 协方差

矩阵的方差协方差矩阵方差与协方差是统计学中常用的两个概念，用于衡量变量之间的相关性以及数据的离散程度。

在数据分析和机器学习等领域中，矩阵方差与协方差的概念被广泛运用，成为了测量和建模数据之间关系的重要工具。

一、方差(Variance)方差是用来度量随机变量离其期望值的平均距离，衡量数据的离散程度和分布的散布程度。

对于一个样本集合X={X1,X2,...,Xn}，其方差定义为：Var(X) = E（(X-EX)²）其中，E表示期望值运算符，EX表示X的期望值。

方差越大，数据的分散程度越大。

对于一个n×d的矩阵X，如果将其看作是包含n个样本的d维向量，我们可以通过求解X在每个维度上的方差来得到矩阵的方差。

即，对于每个维度i，我们可以计算矩阵X在该维度上的样本方差：Var(X[:,i]) = Var([X₁,i; X₂,i; ...; Xn,i])其中，Var表示方差运算符，X[:,i]表示X矩阵中的第i列。

将每个维度上的样本方差组成一个向量Var(X)=[Var(X[:,1]),Var(X[:,2]),...,Var(X[:,d])]，即可得到矩阵X的方差。

二、协方差(Covariance)协方差用于度量两个变量之间的线性关系。

对于两个随机变量X和Y，其协方差定义为：Cov(X,Y) = E（(X-EX)*(Y-EY)）其中，EX和EY分别表示X和Y的期望值。

协方差可正可负，正值表示两个变量正相关，负值表示两个变量负相关，数值的绝对值表示相关程度的强弱。

对于一个n×d的矩阵X，我们可以通过协方差矩阵来度量各个维度之间的相关性。

协方差矩阵的定义如下：Cov(X) = E（(X-EX)(X-EX)ᵀ）其中，(X-EX)(X-EX)ᵀ是一个n×n的矩阵，表示X中每个样本向量与其均值向量之间的差值，ᵀ表示转置运算符。

协方差矩阵的对角线元素为各个维度上的方差，非对角线元素为不同维度之间的协方差。

概率论-4.4 矩和协方差矩阵

概率论-4.4 矩和协方差矩阵

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对n维随机变量来说，可作类似推广：
其中
c11 c12 L c1n
C
c21
c22
L
c2n
M M
M
Байду номын сангаас
cn1 cn2 L cnn
cij Cov(Xi , X j ) E Xi E(Xi ) X j E(X j ) ,i, j 1, 2,L , n
称C为n维随机变量 (X1, X 2,L , X n ) 的协方差矩阵。
2020年4月26日星期日
2
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令
X1 X2
它的转置为
E( )
X1, X2 这时ξ的数学期望为
E(X1)
E
(
X
2
)
类似于一维随机变量，可以对ξ定义二阶中心矩：
E[
E(
)][
E(
)]
E
X1 X2
E(X1) E(X2)
(
X1
E(
X1),
X
2
E(
X
2
))
E
X
2020年4月26日星期日
1
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注意到
D(X ) E X E(X )2
自然地推广到
E X E(X )k
称上式为X的k阶中心矩。
E(X kY l ), E X E(X )k Y E(Y )l
分别称为X的k+l阶混合矩和k+l阶混合中心矩。 特别地，当k=1，l=1时，二阶混合中心矩就是协方差。
第四节 矩和协方差矩阵
由于

矩与协方差矩阵

矩与协方差矩阵
第四章 数字特征
4.1 数学期望 4.2 方差 4.3 协方差与相关系数 4.4 矩与协方差矩阵
§4.3 矩与协方差矩阵
4.4.1 矩
设X和Y(Xk) 为X 的 k 阶原点矩； E{[X-E(X)]k} 为X的 k 阶中心矩。
E(Xk) 为X 的 k 阶原点矩； E{[X-E(X)]k} 为X的 k 阶中心矩。
E(X) 是 X 的一阶原点矩， Var(X) 是 X 的二阶中心矩。
E(XkYm) 为X与Y的 k+m 阶混合原点矩； E{[X-E(X)]k [Y-E(Y)]m} 为X与Y的 k+m 阶混合中心矩。
Cov(X,Y)=E{[X-E(X)] [Y-E(Y)]} 为X与Y的 2阶混合中心矩。
小结
本讲首先介绍二维随机向量 (X,Y) 的分量X与Y 的协方差及相关系数的概念、性质和计算；然后介 绍随机变量的各种矩(k 阶原点矩、 k 阶中心矩、 k+m 阶混合原点矩、k+m 阶混合中心矩)，n 维随机 向量的协方差阵的概念、性质和计算；最后简单介 绍了n 元正态分布的概念和三条重要性质。

《概率论》第4章矩、协方差矩阵

《概率论》第4章矩、协方差矩阵

为 k l 阶混合中心矩
E假(定X )其中各数学1 阶期原望点都矩存在
D“矩(X”) 是来自于2物阶理中学心中矩力矩的概念
Cov(X y,Y )
2 阶混合中心矩
y f (x)
O
x d第x 四章 随机x变量的数字特征
§4 矩、协方差矩阵
2/8
对于二维r.v ( X1,，X记2 )
c11 E[( X1 E( X1))2 ] D( X1) c12 E[(X1 E(X1))(X2 E(X2 ))] Cov(X1, X 2 )
7/8
(X1, X2 ,L , Xn ) ~ N(,C) X1, X2,, Xn 的任一线性
组合 l1X1 l2 X2 ln Xn 服从一维正态分布 正态r.v的线性变换不变性：设
(X1, X2 ,, Xn ) ~ N(,C) 令
Y1 a11 X1 a12 X2 a1n Xn
Y2
§4 矩、协方差矩阵
1/8
对于 r.v X ,Y , 称
E( X k ) ( k 1, 2,)
为 k阶原点矩，简称 k阶矩 .称
E[( X E( X ))k ] ( k 2,3,)
为 k阶中心矩 .称
E( X kY l ) (k,l 1, 2,)
为 k l 阶混合矩 .称
E[( X E(X ))k (Y E(Y ))l ] (k,l 1, 2,)
)e2 xp2{
12(x(X1)1( y)2TC21)(X
(y
)}2
2 2
)2
]}
与一维记再正记C态Xr.vcc12密11xyf度c(c,1x222)函数比11211较2, e2则xp{122(x2
)
2
}

4-4协方差矩阵

4-4协方差矩阵
2 dy = t 2
n
y= 2 t
=2
−1Leabharlann 1 n2 E( X t ) = 22
2σ = 2π
n +∞
∫y
0
y2 − n 2
e
dy
−
1 2 dt
1 1 − 2 t 2 dt
n 1 − 2 2
2σ E( X ) = 2π
=
n 22
n +∞
∫2
0
t
n 1 − 2 2
e dt
=
n 22
−t
n +∞ n+1 −1 σ t 2 e − t dt
矩与协方差矩阵
设有随机变量X 相互独立， 例3 设有随机变量 ，Y相互独立，X~N(1,4),Y~N(2,9) 相互独立 的分布. 求2X-Y的分布 的分布 随机变量X 服从正态分布,且 解 随机变量 ，Y服从正态分布 且相互独立,则 服从正态分布 相互独立, 2X-Y也服从正态分布 也服从正态分布
c12 称此矩阵为(X,Y)的 的 称此矩阵为 c 22
矩与协方差矩阵
将(X,Y)的协方差矩阵予以 推广，设有 维随机变量 的协方差矩阵予以 推广，设有n维随机变量 X1, X2,‥‥, n , 若记 ‥‥,X ‥‥,
c ij = COV ( X i , X j ) = E {[ X i − E ( X i )][ X j − E X j ]}
( )
(
)
ρσ 1σ 2 2 σ2
利用线性代数知识有
(c )
ij
−1
=
2 σ2 1 det( c ij ) − ρσ 1σ 2
− ρσ 1σ 2 σ 12

矩协方差矩阵

矩协方差矩阵



26 12
设(X1, X2,…, Xn) 是n 维随机变量, Xi与Xj的相关系数 ρij ( i , j =1,2,…,n )存在,
11 12 1n
则称矩阵
R
...2.1........2.2...............2
n
n1 n2 nn
为该随机变量的相关矩阵.
X+Y 与3X –Y 的相关系数为
Cov( X Y ,3X Y ) 2 1
D( X Y ) D(3X Y ) 4 16 4
(X+Y ,3X –Y)的协方差矩阵
C

4 2
2 16
(X+Y ,3X –Y)的相关矩阵
R


1 0.25
C C11 C21
C12 C22



2 1
1
2
1

2 2
2

例1 若 D( X ) 1, D(Y ) 4, XY 1 4,
求(X+Y ,3X –Y)的协方差矩阵和相关矩阵.
解:
Cov(X ,Y ) XY
D( X )
D(Y )
思考题答案：
协方差矩阵的主对角线上的元素Cii是相应的第i个 随机变量的方差;
相关矩阵的主对角线上的元素ρii都为1.
练习题：
1.已知随机变量X,Y 的联合分布为
XY 2 0 1 1 0.30 0.12 0.18
1 0.10 0.18分布随机变量 (X,Y) 的期望向量μ和协 方差矩阵V,分别是
C22 E{[X2 E( X2 )]2} D( X2 )

概率论课件矩、协方差矩阵

概率论课件矩、协方差矩阵
中心矩
中心矩是相对于均值（期望值）的矩，用于描述随机变量分布的形状和离散程 度。
标准化矩
标准化矩是对中心矩进行标准化处理后的矩，用于比较不同随机变量的分布特 性。
样本矩与总体矩
பைடு நூலகம்样本矩
样本矩是从总体中抽取样本后计算得到的矩，用于估计总体矩。
总体矩
总体矩是描述总体分布特性的矩，是样本矩的极限值。
03 协方差矩阵
详细描述
分析矩和协方差矩阵需要使用相关的统计方 法和技巧，如主成分分析、因子分析、聚类 分析等。通过对矩和协方差矩阵的分析，可 以提取数据集中的主要特征、发现变量之间 的潜在关系、对数据进行分类或聚类等。
实例三：数据集的矩和协方差矩阵应用
总结词
数据集的矩和协方差矩阵在概率论中有着广泛的应用 ，如统计推断、假设检验、回归分析等。
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第二阶原点矩（即方差）
协方差矩阵的对角线元素是各个随机变量 的方差，非对角线元素是各个随机变量的 协方差。
协方差矩阵与方差-协方差矩阵的关系
方差-协方差矩阵是一个包含各个随机 变量的方差和协方差信息的矩阵，而 协方差矩阵只包含各个随机变量的协 方差信息。
方差-协方差矩阵是协方差矩阵的一个 扩展，它同时包含了随机变量的方差 信息，而协方差矩阵只包含随机变量 的协方差信息。
详细描述
在统计推断中，矩和协方差矩阵可用于估计总体参数和 进行假设检验。例如，利用样本矩估计总体矩，然后使 用这些估计值进行假设检验或置信区间的计算。在回归 分析中，矩和协方差矩阵可用于估计回归系数和进行模 型诊断。通过分析回归模型的矩和协方差矩阵，可以检 验模型的假设是否成立、诊断模型的问题等。此外，在 时间序列分析和金融数据分析等领域，矩和协方差矩阵 也具有重要的应用价值。

协方差矩阵特点

协方差矩阵特点

协方差矩阵特点一、引言协方差矩阵是一种重要的统计学工具，用于描述一组随机变量的协方差关系。

在数据分析、统计推断、机器学习等领域中，协方差矩阵的应用十分广泛。

本文将对协方差矩阵的特点进行深入探讨，以期为相关领域的研究和应用提供有益的参考。

二、协方差矩阵的定义与性质1. 定义：设X是一个n×p的矩阵，其中每一行为一个样本，每一列为一个随机变量。

协方差矩阵Σ是一个p×p的矩阵，其元素Σij为随机变量X i和X j的协方差，即Σij=Cov(X i,X j)2. 性质：(1) 对称性：协方差矩阵是对称的，即Σ=ΣT。

(2) 非负定性：协方差矩阵是半正定的，即所有特征值非负。

这是因为协方差描述的是两个随机变量的共同波动性，其值不可能为负。

(3) 单位元：当随机变量之间相互独立时，协方差矩阵为单位矩阵。

三、协方差矩阵的应用1. 降维：通过协方差矩阵的特征值分解（EVD），我们可以将高维数据投影到低维空间，从而实现数据的降维处理。

这种方法在数据可视化、机器学习等领域中具有广泛应用。

2. 模型选择与假设检验：协方差矩阵在多元统计分析中发挥着重要作用。

例如，在多元线性回归和因子分析中，我们需要用到协方差矩阵来估计模型参数并进行假设检验。

3. 机器学习算法优化：许多机器学习算法（如k-均值聚类、kNN等）在处理高维数据时会出现维度诅咒问题。

通过利用协方差矩阵进行特征提取或降维，可以优化算法性能，提高分类或聚类的准确性。

4. 数据可视化：在数据可视化领域，我们经常使用散点图、平行坐标图等手段来展示多个随机变量之间的关系。

这些方法都需要用到协方差矩阵来进行坐标变换或降维处理。

四、协方差矩阵的数值稳定性在实际应用中，由于数据测量误差、样本量不足等原因，计算出的协方差矩阵可能存在数值不稳定性。

为了解决这一问题，可以采用一些数值稳定的方法，如样本协方差矩阵的估计、迭代算法等。

这些方法可以有效降低计算误差，提高协方差矩阵的精度和可靠性。

4-4协方差矩阵

4-4协方差矩阵

矩与协方差矩阵
二、协方差矩阵
为二元随机变量，其有四个二阶中心矩 设(X,Y)为二元随机变量，其有四个二阶中心矩. 为二元随机变量 主要针对多维随机变量的中心矩与混合中心矩来 以二元随机变量为例. 谈，以二元随机变量为例 ∆
E ( X − EX ) 2 = c11 = COV ( X , X )
2 ∆
E (Y − EY ) = c 22 = COV (Y ,Y ) E ( X − EX )(Y − EY ) = c12 = COV ( X ,Y )
∆
E (Y − EY )( X − EX ) = c 21 = COV (Y , X )
∆
c11 由c11,c12,c21,c22,有 有 c 21 协方差矩阵
n 2
2 σ n n−1 n− 3 n− 3 = ⋅ ⋅ Γ 2 2 π 2 n 22σ n n−1 n− 3 1 1 = ⋅ ⋅ ⋅ ⋯ ⋅ Γ 2 2 2 2 π
= 2 σn
n 2
π
(n − 1)!! ⋅
因而， 因而， E X n
( )
2
n 2
π
=σ
n
(n − 1)!!
σ n (n − 1)!! n为偶数, = n为奇数. 0
1 Γ = π 2
矩与协方差矩阵
E Xn 特别是,当X~N(0, 1),则有 特别是, 则有
( )
σ n (n − 1)!! n为偶数, = 0 n为奇数.
EX
( )
n
(n − 1)!! n为偶数 = , n为奇数 0
c12 称此矩阵为(X,Y)的 的 称此矩阵为 c 22
矩与协方差矩阵

协方差和相关系数矩和协方差矩阵

协方差和相关系数矩和协方差矩阵

-0.6630 (0.7850)2 -0.046
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4. 协方差的性质
（1） Cov(X,Y) = Cov(Y,X) （2） Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y), a,b 为常数 （3） Cov(X1+X2，Y) = Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y) （4）当X与Y相互独立时，有 Cov(X,Y) = 0
12 0 1/6
1/6 1/6 1/12 1/6
¼½
3 1/12 1/4 1/6 1/2
0 1/4
¼
求ρXY
解： E(X) = 2 , E(Y) = 2；
E(XY) =
i
j
xi y j
pij
23 6
Cov(X,Y) = 23/6 – 4 = - 1/6 ;
E(X2) = 9/2 , E(Y2) = 9/2； D(X) =1/2 D(Y) = 1/2 。
3.设Ｘ是随机变量，Ｙ=aX+b(a≠０),
证明
： XY
1 -1
a0 a0
４.设随机变量Ｘ的概率密度为 f (x) 1 e- x (- x ) 2
求Ｘ与|X|的协方差，问Ｘ和|X|是否不相关，是否相互独立．
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§4.4 矩和协方差矩阵
1．矩的概念 设X、Y为随机变量，k,l为自然数，即(k,l=1，2，…) 若 E（Xk）存在，则称它为X的k 阶原点矩。
1
xf (x, y)dxdy xdx
1 1- x2 dy
- -
-1
- 1-x2
同样 E（Y）=0
2

矩阵协方差

矩阵协方差

矩阵协方差
矩阵协方差是一种用来度量矩阵中每一对元素间的相关性的统计量。

它有时也被称为夹角协方差，经常用来分析一组数据中两个变量之间的关系。

## 一、什么是矩阵协方差
矩阵协方差（Cross-Covariance Matrix）是一种统计工具，可以用来衡量看两个集合数据之间的相关性。

将多维数据转换为一维数据后，通过计算它们所形成的相关矩阵来衡量这种相关性。

这种矩阵的维度通常为每个变量的数据点数乘以每个变量的数据点数，并表达两变量之间的联系，比如可以用于研究市场和历史股价的关系。

## 二、矩阵协方差的优点
矩阵协方差可以将多维数据转换成一维，从而使研究不同变量之间的关系更加容易。

使用矩阵协方差时，您可以在一个紧凑的矩阵中追踪数据，而不是进行复杂的计算来确定每一组数据之间的关系。

此外，使用矩阵协方差可以显着缩短常规的多变量计算的时间，也就是说，使用矩阵协方差可以在很短的时间内进行数据分析，而不需要大量的计算工作。

## 三、矩阵协方差的缺点
尽管矩阵协方差有一些优点，但它也有一些缺点。

使用矩阵协方差时，您必须是熟悉常规协方差分析的，以确保在计算结果中不会出现偏差或错误。

此外，由于矩阵协方差只能进行单次解释，因此它并不能解释复杂的关系，只能从几个变量中推断出一般性的关系。

## 四、矩阵协方差的应用
矩阵协方差可用于各种数据分析活动，其中包括预测市场行为并研究资产收益率。

此外，它还可用于市场研究，包括量化分析，因为它可以在给定的时间内迅速
提取复杂的数据关系。

此外，它还可用于其他行业，比如气候分析，预测病例，健康科学等。

第13讲 协方差及相关系数 矩及协方差矩阵

第13讲 协方差及相关系数 矩及协方差矩阵
2 2 i 2
因此
2 2 3 2 Eη E(ξ 2, 因ξ 而 i ξ ) 3 i ξ ~ N(0, ), 3 3 i1
2
1 1 cov(ξ ξ ) E[(ξ 0, i ξ , i ξ ) ξ ] E(ξ i ξ ) E ξ 3 3 即ξ 而它们都是正态分布, i ξ 与 ξ 互不相关,
则
ρ XY
Cov(X,Y) D(X) D(Y)
称为随机变量X与Y的相关系数. XY是一个无量纲的量.
现证明||1
令X'=X-EX,Y'=Y-EY, 则X',Y'都是期望值为0的随机变量. 对于任给的实数t, 相信E(X'+tY')20, 即 EX'2+2tE(X'Y')+t2EY'20, 即是说关于t的一元二次方程 EX'2+2tE(X'Y')+t2EY'2=0最多只有单个实根或者没有实根, 也就说明判别式 b2-4ac0
四、矩
定义 设X和Y是随机变量, 若 E(Xk), k=1,2,... 存在, 称它为X的k阶原点矩, 简称k阶矩. 若 若 E{[X-E(X)]k}, k=1,2,... E(XkYl), k,l=1,2,...
存在, 称它为X的k阶中心矩.
存在, 称它为X和Y的k+l阶混合矩.
若
E{[X-E(X)]k[Y-E(Y)]l}, k,l=1,2,...
定理
两个随机变量X和Y呈线性关系的充分必要条件,
是它们的相关系数的绝对值为1, 即 ||=1
而另一方面, 如果X与Y相互独立, 则它们的相关系数必为0,

概率论第四章随机变量的数字特征第4节矩和协方差矩阵

概率论第四章随机变量的数字特征第4节矩和协方差矩阵

特别，若 X ~ N 0， 1 , 则
E X n
n 1!!
0
n为偶数 n为奇数 ,
n 4时， EX 4 3.
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练习一下
• 已知随机变量的X和Y的联合分布为
Y X
-2
0
1
-1
0.30
0.12
0.18
1
0.10
0.18
0.12
求X和Y的协差矩阵.
0.96 0.24
0.24 1 .65
DX
所以，
E X n nE Y n
n yn fY
y dy
n
y
n
e
y2 2
dy
2
⑴．当 n为奇数时，由于被积函 数是奇函数，所以
E X n 0 ．
返回主目5 录
第四章 随机变量的数字特征
(2)．当n为偶数时，由于被积函 数是偶函数，所以
EX n
2 n
y
n
e
y2 2
E X n
n
22
n
n
1
n
1
n
22
n
n
1
n
3
n
3
2 2 2 2 2
n
22
n
n
1
n
3
1
1
22
2 2
n
22
n
n 1!!
n
22
n n 1!!
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第四章 随机变量的数字特征
因而，
§5 矩
E X n
n n 1!!
0
n为偶数 n为奇数
其中，
135 n n为奇数 n!! 2 4 6 n n为偶数

4.4 矩、协方差矩阵

4.4 矩、协方差矩阵
f ( x1 , x2 )
1 1 T 1 exp ( X μ ) C ( X μ ) . 22 12 ( 2 π ) (det C ) 2
引入列矩阵
X
x1 μ1 E ( X 1 ) x2 μ2 E ( X 2 ) 和 μ , xn μ E ( X ) n n
x1 X , x2
μ1 μ . μ2
( X1 , X 2 ) 的协方差矩阵为
c11 C c 21
2 c12 σ1 c 22 ρσ1σ 2
ρσ1σ 2 2 , σ2
ρσ1σ 2 2 σ1
存在, 称它为 X 的 k 阶中心矩 .
若
E ( X kY l ),
k , l 1,2, 存在,
称它为 X 和 Y 的k l 阶混合矩 .
若
E{[ X E ( X )]k [Y E (Y )]l }, k , l 1,2,
存在 , 称它为 X 和 Y 的 k l 阶混合中心矩 .
c11 C c 21
c12 c 22
其中 c1c12 E{[ X 1 E ( X 1 )][ X 2 E ( X 2 )]},
c 21 E{[ X 2 E ( X 2 )][ X 1 E ( X 1 )]}, c 22 E{[ X 2 E ( X 2 )]2 }.
说明
(1) 以上数字特征都是随机 变量函数的数学期望； ( 2) 随机变量 X 的数学期望 E ( X ) 是 X 的一阶原
点矩, 方差为二阶中心矩 , 协方差 Cov( X ,Y )是 X

协方差和相关系数矩和协方差矩阵

协方差和相关系数矩和协方差矩阵
P{[X—E(X)]t0+[Y—E(Y)]=0}=1， 即 P{Y=aX+b}=1．
其中a= -t0，b=t0E(X)+E(Y)为常数．
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结束
例4．已知（X，Y）的概率密度，试证X与Y既不相关，也不相互
独立。
f
( x,
y)
1
,
证明：(1) 因为
0,
x2 y2 1 其它
E(X )
因 q（t） ≥0，D（X） ≥0，
即 方程 q（t）= 0 或者没有实根或者有重根，
于是，判别式 △= ４[Cov(X,Y)]2 – ４D(X)·D（Y）≤0
2 XY
[Cov( X ,Y )]2 D( X ) D(Y )
1
，故 |ρXY | ≤1．
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结束
(2) |ρXY |=1相当于[Cov(X,Y)]2=D(X)·D(Y) ，
D(X ) 1
2
2 0
0 -
x2
cos(x
y)dxdy
-[E(X
)]2
0.1880,
2
同理可得 E(Y) -0.7850, D(Y) 0.1880,
E(XY ) 1
2
2 0
0
- xy cos(x y)dxdy -0.6630, 2
cov(X ,Y ) E(XY ) - E(X )E(Y )
协方差离散型随机向量其中pxx连续型随机向量covxy上页下页结束返回首页协方差计算公式covxyexy1611216161611216141214上页下页结束返回首页xyxy因为同理可得06630078500046设二维xy随机变量的密度函数为上页下页结束返回首页协方差的性质4当x与y相互独立时有covxyabcovxy4covxy2求3x4y8的方差

矩阵的方差 协方差

矩阵的方差 协方差

矩阵的方差协方差矩阵的方差和协方差是统计学中常用的概念，用于衡量随机变量之间的关系。

以下是对这两个概念的详细阐述：1. 矩阵的方差（Matrix Variance）：矩阵的方差表示一个矩阵中元素的变异程度，用于衡量矩阵中各个元素与矩阵均值之间的差异。

设X 为一个n×m 的矩阵，其中每个元素x_ij 表示第i 行第j 列的值，矩阵的均值记作μ。

则矩阵的方差定义为：Var(X) = E[(X - μ)(X - μ)^T]其中，E 表示期望运算，(X - μ) 是一个n×m 的矩阵，(X - μ)^T 表示其转置矩阵。

矩阵的方差描述了矩阵中各个元素与矩阵均值之间的差异程度，值越大表示差异越大。

2. 矩阵的协方差（Matrix Covariance）：矩阵的协方差用于衡量两个随机向量之间的线性关系。

同样设X 和Y 是两个n 维向量，矩阵的协方差定义为：Cov(X, Y) = E[(X - μ_X)(Y - μ_Y)^T]其中，E 表示期望运算，(X - μ_X) 和(Y - μ_Y) 分别是X 和Y 的中心化向量（即减去均值），(Y - μ_Y)^T 表示其转置矩阵。

协方差描述了两个随机向量之间的关系，当协方差为0 时，表示两个向量是相互独立的。

在实际应用中，矩阵的方差和协方差被广泛用于统计推断、机器学习和金融领域等。

它们提供了对矩阵和向量之间变异程度和关系的量化度量，对于数据分析和建模非常有用。

在实际应用中，矩阵的方差和协方差可以用于解决许多问题。

以下是一些应用实例：1. 数据分析：在数据分析中，矩阵的方差和协方差可以用于衡量数据集中各个变量之间的关系，并可以用于探索变量之间的模式和趋势。

例如，可以使用协方差矩阵来确定两个变量之间的相关性或者使用方差来了解变量的变化幅度。

2. 机器学习：在机器学习中，矩阵的方差和协方差可以用于监督学习算法中的特征选择和降维。

通过计算协方差矩阵，可以确认哪些特征与输出变量有较强的相关性，进而筛选重要的特征变量。

矩、协方差矩阵【概率论与数理统计+浙江大学】

矩、协方差矩阵【概率论与数理统计+浙江大学】

E(Z)=2E(X)-E(Y)&#(Y)=8+1=9
Z~N(5, 32)
故 Z 的概率密度是
fZ (z)
3
1
2
( z5)2
e 18 ,
z
例 设随机变量X,Y独立,均服从正态分布 N (, 2)
令U=aX+bY, V=aX-bY,问常数a,b满足什么条件时 随机变量U,V相互独立？
若它的概率密度为
f
(x1,x2,
…,xn)

(2
1 )n 2
|
C
|1
2
exp{
1 2
(X

)C 1( X

)}
则称 X 服从 n 元正态分布.
其中C是(X1,X2, …,Xn) 的协方差矩阵.
|C|是它的行列式，C 1表示C的逆矩阵，
X 和 是 n 维列向量，X 表示X 的转置.
概率论与数理统计
第四节 矩、协方差矩阵
原点矩 中心矩 协方差矩阵 n 元正态分布的概率密度
一、 原点矩 中心矩
定义 设X和Y是随机变量，若 E( X k ), k 1,2,
存在，称它为X的k阶原点矩，简称 k阶矩. 若 E{[ X E( X )]k}, k 2,3,
存在，称它为X的k阶中心矩.
2. 正态变量的线性变换不变性.
若 X=(X1, X2 , … , Xn) 服从 n 元正态分布， Y1,Y2, …，Yk是Xj（j=1,2,…,n）的线性函数， 则 (Y1,Y2, …，Yk) 也服从多元正态分布.
3. 设(X1,X2, …,Xn)服从n元正态分布，则 “X1,X2, …,Xn相互独立”
可见，均值 E(X)是X一阶原点矩，方差D(X)
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解: X~N(1,2),Y~N(0,1)，且X与Y独立, 故X和Y的联合分布为正态分布，X和Y的 任意线性组合是正态分布. 即 Z~N(E(Z), Var(Z))
E(Z)=2E(X)-E(Y)+3=2+3=5 Var(Z)=4Var(X)+Var(Y)=8+1=9
Z~N(5, 32)
Z~N(5, 32) 故Z的概率密度是
这一讲我们介绍了协方差和相关系数
相关系数是刻划两个变量间线性相关程度 的一个重要的数字特征.
注意独立与不相关并不是等价的.
当(X,Y)服从二维正态分布时，有
X与Y独立
X与Y不相关
这一性质称为正态变量的线性变换不变性.
n元正态分布的几条重要性质 3. 设(X1,X2, …,Xn)服从n元正态分布，则
“X1,X2, …,Xn相互独立” 等价于
“X1,X2, …,Xn两两不相关”
例2 设随机变量X和Y相互独立且X~N(1,2), Y~N(0,1). 试求Z=2X-Y+3的概率密度.
n元正态分布的几条重要性质 1. X=(X1,X2, …,Xn)服从n元正态分布
对一切不全为0的实数a1,a2,…,an， a1X1+ a2 X2+ …+ an Xn均服从正态分布.
n元正态分布的几条重要性质 2. 若 X=(X1,X2, …,Xn)服从n元正态分布，
Y1,Y2, …，Yk是Xj（j=1,2,…,n）的线性函数， 则(Y1,Y2, …，Yk)也服从多元正态分布.
设X和Y是随机变量，若 k,L=1,2,…
存在，
称它为X和Y的k+L阶混合（原点）矩.
若
存在，
称它为X和Y的k+L阶混合中心矩.
可见， 协方差Cov(X,Y)是X和Y的 二阶混合中心矩.
协方差矩阵的定义 将二维随机变量（X1,X2）的四个二此矩阵为（X1,X2）的协方差矩阵.
类似定义n维随机变量(X1,X2, …,Xn) 的协方差矩阵.
若
都存在, 称矩阵
i, j=1,2,…,n
为(X1,X2, …,Xn) 的 协方差矩阵
下面给出n元正态分布的概率密度的定义.
设 =(X1,X2, …,Xn)是一个n维随机向量, 若它的概率密度为 f (x1,x2, …,xn)
则称X服从n元正态分布. 其中C是(X1,X2, …,Xn) 的协方差矩阵. |C|是它的行列式， 表示C的逆矩阵， X和 是n维列向量， 表示X的转置.