下载文档原格式
第一章函数极限与连续总结函数极限与连续是高等数学中的重要概念，对于函数的性质和特征有着深远的影响。
在第一章的学习中，我们主要学习了函数的极限以及连续的定义与性质。
本文将对第一章的内容进行总结。
函数的极限是研究函数在其中一点或其中一区间的变化趋势的工具。
当自变量趋近于其中一点或其中一区间时，函数的值也有可能趋近于其中一固定值，这个固定值就是函数的极限。
在函数的极限的概念中，我们主要学习了一些基本的性质和计算方法。
通过极限的四则运算法则，我们可以将复杂的函数进行简化和转化，从而更好地研究它们的性质。
我们还学习了一些常见的函数的极限值，如指数、对数、三角函数及其反函数的极限。
通过对函数的极限的学习，我们可以了解函数在其中一点或其中一区间的变化趋势，从而更好地理解函数的特征和性质。
极限的计算方法也有助于我们解决实际问题，比如利用极限来计算一些数列的极限，从而得到更加精确的近似值。
连续是函数的一个重要性质，它代表了函数图像的连贯性和平滑性。
连续函数的定义是：当自变量在其中一点或其中一区间内变化时，函数的值也会在同一点或同一区间内变化，并且不会有跳跃或断层的现象。
我们学习了一些常见的连续函数，并掌握了判断函数连续性的方法。
其中，我们主要研究了基本初等函数、分段函数和复合函数的连续性。
通过学习这些连续性的性质，我们可以更好地分析函数的行为和特点。
在函数极限和连续的学习中，我们还学习了一些重要的定理和概念。
例如，极限存在准则、函数极限的无穷大与无穷小、函数极限的唯一性等。
这些定理和概念帮助我们更好地理解和应用函数的极限和连续性。
总的来说，函数的极限和连续性是高等数学中重要的概念和工具。
通过学习函数的极限，我们可以更好地了解函数的性质和特征，对于求解实际问题和进行精确计算有着重要的作用。
而学习连续性则可以帮助我们判断函数的连贯性和平滑性，更好地分析函数的行为和特点。
对于进一步学习高等数学以及其他数学学科，函数的极限和连续性是必不可少的基础知识。
第一章：函数、极限与连续教学目的与要求1.解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。
2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
4.掌握基本初等函数的性质及其图形。
5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。
6.掌握极限的性质及四则运算法则。
7.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。
9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。
所需学时：18学时（包括：6学时讲授与2学时习题）第一节：集合与函数一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。
集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。
比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。
如果a是集合A 中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a∉A。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N+或N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R。
集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A）。
1第一章函数、极限与连续一、选择题1．函数)(x f 的定义域为[]10，，则函数51()51(-++x f x f 的定义域是（）.A．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-54,51B．⎥⎦⎤⎢⎣⎡56,51C．⎦⎤⎢⎣⎡54,51D．[]1,02．已知函数()62+x f 的定义域为[)4,3-，则函数)(x f 的定义域是（）.A．[)4,3-B．[)14,0C．[]14,0D．⎪⎭⎫⎢⎣⎡--1,293．函数211ln ++-=x xy 的定义域是（）.A．1≠x B．2-≥x C．2-≥x 且1≠x D．[)1,2-4．下列函数)(x f 与)(x g 是相同函数的是（）.A．11)(+⋅-=x x x f ，1)(2-=x x g B．2)(π=x f ，x x x g arccos arcsin )(+=C．x x x f 22tan sec )(-=，1)(=x g D．1)(=x f ，x x x g 22cos sin )(+=5．下列函数)(x f 与)(x g 是相同函数的是（）.A．x x g x x f lg 2)(,lg )(2==B．2)(,)(x x g x x f ==C．33341)(,)(-=-=x x x g x x x f D．xx x g x f 22tan sec )(,1)(-==6．若1)1(2-=-x x f ，则)(x f =（）.A．2)1(+x x B．2)1(-x x C．)2(+x x D．)1(2-x x 7．设xx f cos 2)(=，xx g sin 21)(⎪⎭⎫⎝⎛=，在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，内成立（）.A．)(x f 是增函数，)(x g 是减函数B．)(x f 是减函数，)(x g 是增函数C．)(x f 和)(x g 都是减函数D．)(x f 和)(x g 都是增函数28．函数)1lg()1lg(22x x x x y -++++=（）.A．是奇函数B．是偶函数C．是非奇非偶函数D．既是偶函数，也是奇函数9．下列函数中（）是奇函数.A．1cos sin +-=x x y B．2xx a a y -+=C．2211x x y +-=D．)1)(1(+-=x x x y 10．函数x x x f sin )(2=的图形（）.A．关于x 轴对称B．关于y 轴对称C．关于原点对称D．关于直线x y =对称11．下列函数中，（）是奇函数.A．2ln(1)x +B．)x C．sin x x D．x xe e-+12．若()f x 是奇函数，且对任意实数x ，有(2)()f x f x +=，则必有(1)f =（）.A．1-B．0C．1D．213．偶函数的定义域一定是（）.A．包含原点的区间B．关于原点对称 C.),(+∞-∞D．以上三种说法都不对14．若)(x f 是奇函数，)(x ϕ是偶函数，且)]([x f ϕ有意义，则)]([x f ϕ是（）.A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶函数D．奇函数或偶函数15．函数xx f 1sin )(=是其定义域内的什么函数（）.A．周期函数B．单调函数C．有界函数D．无界函数16．若()f x 在(,)-∞+∞内单调增加，()x ϕ是单调减少，则[()]f x ϕ在(,)-∞+∞内（）.A．单调增加B．单调减少C．不是单调函数D．无法判定单调性17．函数xxe e y -+=的图形对称于直线（）.A．y x=B．y x=-C．0x =D．0y =318．下列函数中周期为π的是（）.A．xy 2sin =B．xy 4cos = C.xy πsin 1+= D.()2cos -=x y 19．下列函数是周期函数的是（）.A．)sin()(2x x f =B．xx f 1cos)(=C．xx f πcos )(=D．xx f 1sin)(=20．设1cos )(-=x x f 的定义域和周期分别为（）.A．πππ2,,22=∈+=T Z k k x B．ππ2,,2=∈=T Z k k x C．ππ=∈=T Z k k x ,,D．πππ=∈+=T Z k k x ,,221．下列结论不正确的是（）.A．基本初等函数在其定义域内是连续的B．基本初等函数在其定义区间内是连续的C．初等函数在其定义域内是连续的D．初等函数在其定义区间内是连续的22．下列说法正确的是（）.A．无穷小的和仍为无穷小B．无穷大的和仍为无穷大C．有界函数与无穷大的乘积仍为无穷大D．收敛数列必有界23．下列说法不正确的是（）.A．两个无穷小的积仍为无穷小B．两个无穷小的商仍为无穷小C．有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小D．在同一变化过程中，无穷大的倒数为无穷小24．若无穷小量α与β是等价的无穷小，则αβ-是（）无穷小.A．与β同阶不等价的B．与β等价的C．比β低阶的D．比β高阶的25．当0→x 时，4x x +是32x x +的（）.A．高阶无穷小B．低阶无穷小C．同阶无穷小D．等价无穷小26．当0→x 时，x x sin 2-是x 的（）.A．高阶无穷小B．低阶无穷小C．同阶无穷小但不等价D．等价无穷小27．设232)(-+=xxx f ，则当0=x 时，有（）.4A．)(x f 与x 是等价无穷小B．)(x f 是x 同阶但非等价无穷小C．)(x f 是比x 高阶的无穷小D．)(x f 是比x 低阶的无穷小28．设x x f -=1)(，31)(x x g -=，则当1→x 时（）.A．)(x f 是比)(x g 高阶的无穷小B．)(x f 是比)(x g 低阶的无穷小C．)(x f 与)(x g 是同阶但不等价的无穷小D．)(x f 与)(x g 是等价无穷小29．当0→x 时，与x 不是等价无穷小量的是（）.A．2sin xx -B．xx 2sin -C．3tan x x -D．xx -sin 30．当0→x 时，下列函数为无穷小量的是（）.A．x x sin B．xx sin 2+C．)1ln(1x x+D．12-x 31．当0→x 时，是无穷大量的有（）.A．xx 1sin 1B．xx sin C．2xD．xx 21-32．当0→x 时，下列函数不是无穷小量的是（）.A．x x x x tan cos 2-B．21sin xx C．x x x sin 3+D．xx )1ln(2+33．下列等式正确的是（）.A．1sin lim=∞→x xx B．11sinlim =∞→xx C．11sinlim =∞→xx x D．11sin lim=∞→xx x 34．设函数()f x 在闭区间[1,1]-上连续，则下列说法正确的是（）.A．1lim ()x f x →+必存在B．1lim ()x f x →必存在C．1lim ()x f x →-必存在D．1lim ()x f x →-必存在35．=→xx 102lim （）.A.0B．∞+C．∞D．不存在36．下列各式中正确的是（）.A.0cos lim0=→xxx B．1cos lim0=→xxx C．0cos lim=∞→xxx D．1cos lim=∞→xxx537．若(sin )3cos 2f x x =-，则(cos )f x =（）.A．3sin 2x+B．32sin 2x-C．3cos 2x+D．3cos 2x -38．设21()arcsin 3lim ()1x x f x f x x x→∞=++，则lim ()x f x →∞等于（）.A．2B．21C．2-D．21-39．设x xx f )31()2(-=-，则=∞→)(lim x f x （）.A．1e-B．2e-C．3e-D．3e40．极限lim sinx x xπ→∞=（）.A．1B．πC．2eD．不存在41．当0x →时，1xe 的极限是（）.A．0B．+∞C．-∞D．不存在42．当5x →时，5()5x f x x -=-的极限是（）.A．0B．∞C．1D．不存在43．设x x x f 21)(-=，则=→)(lim 0x f x （）.A．1B．不存在C．2eD．2e-44．若0→x 时，kx x x ~2sin sin 2-，则=k （）.A．1B．2C．3D．445．若52lim22=-++→x bax x x ，则（）.A．1=a ，6=b B．1-=a ，6-=b C．1=a ，6-=b D．1-=a ，6=b 46．=+-∞→x x xx arctan 1lim （）.A．2πB．2π-C．1D．不存在647．=+→xx x )1ln(lim0（）.A．1-B．1C．∞D．不存在但非∞48．已知22lim 222=--++→x x bax x x ，则b a ,的值是（）.A．8,2-==b a B．b a ,2=为任意值C．2,8=-=b a D．b a ,均为任意值49．=-+-+++∞→11)2(3)2(3lim n n nn n （）.A．31B．31-C．∞D．050．xx x x 1011lim ⎪⎭⎫⎝⎛+-→的值等于（）.A．2eB．2e-C．1D．∞51．设xx g x3e 1)(2-=，当0≠x 时，)()(x g x f =，若)(x f 在0=x 处连续，则)0(f 的值是（）.A．0B．32-C．1D．3152．设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+=>-=0,1sin 0,10,1e )(2x a x x x x x x f x 在点0=x 处连续，则常数=a （）.A．1-B．1C．2-D．253．若)(x f 在点0x 点连续，则=+→)2(sin lim 00h x f h （）.A．)2(sin 0h x f +B．)(sin 0x f C．)(sin 0x f D．不存在54．函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=0,210,cos 1)(42x x x x xx f 的间断点有（）.7A．3个B．1个C．0个D．2个55．设0=x 是⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<+=0,1sin 0,00,11)(1x x x x x ex f x 的（）.A．跳跃间断点B．可去间断点C．第二类间断点D．连续点56．11)(11+-=xxe e xf ，则0=x 是)(x f 的（）.A．可去间断点B．跳跃间断点C．第二类间断点D．连续点二、填空题57．函数xxx f -+=11ln21)(的定义域是_________．58．函数2ln arcsin +=x xy 的定义域为_________．59．函数xx y 1arctan3+-=的定义域是_________．60．设)(x f 的定义域[]1,0=D ，则)(sin x f 的定义域_________．61．若函数()f x 的定义域为[1,0]-，则函数(cos )f x 的定义域为_________．62．若函数()f x 的定义域为[0,1]，则函数(arctan 2)f x 的定义域为_________．63．设2(1)32f x x x +=-+，则f =_________．64．函数nn x a y 12)(-=的反函数是_________．65．函数)0(≠-++=bc ad dcx bax y 的反函数是_________．66．函数x y 3sin 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤-66ππx 的反函数是_________．867．函数3arccos2xy =的反函数是_________．68．______28153lim 233=+-++∞→n n n n n n ．69．_______43867lim 22=+-+∞→n n n n ．70．⎪⎭⎫⎝⎛++++∞→n n 21...41211lim =_________．71．2)1(...321limnn n -++++∞→=_________．72．35)3)(2)(1(limn n n n n +++∞→=_________．73．_______lim 2210=+→x x x e．74．_______1lim432=-+++∞→nn n n n n ．75．_______43...21lim 2=++++∞→nn nn ．76．_______1!!sin lim=+∞→n n n ．77．=⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→πππn n n n n n 222...221lim _________．78.设012lim 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--++∞→b ax x x x x ，则=a _________，=b _________．79．_______4421lim 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛---→x x x ．80．_______2)2sin(lim22=---→x x x x ．81．_______63sin lim=∞→xxx ．982．m n x x x )(sin )sin(lim 0→（m n ,为正整数，且m n >）=．83．_______1cos 1lim 20=--→x e x x ．84．_______4tan 8arcsin lim0=→xxx ．85．_______81221lim 32=⎪⎭⎫ ⎝⎛---→x x x ．86．xxx x 30sin sin tan lim-→=．87．)1(lim 2x x x x -++∞→=．88．)1sin 1)(11(tan sin lim32-+-+-→x x xx x =．89．若2)1sin(1lim 21=--+→x ax x x ，则_________=a ．90．若0x →时函数tan sin x x -与nmx 是等价无穷小，则=m ，n =．91．当∞→x 时，函数)(x f 与21x是等价无穷小，则_______)(3lim 2=∞→x f x x ．92．当0→x 时，函数112-+ax 与x 2sin 是等价无穷小，则_______=a ．93．当∞→x 时，函数)(x f 与x4是等价无穷小，则_______)(2lim =∞→x xf x ．94．若1x →时，2(1)1mx x --是比1x -高阶的无穷小，则m 的取值范围是．95．11232lim +∞→⎪⎭⎫⎝⎛++x x x x =_________．96．40)21(lim -→=-e x x kx ，则_________=k ．1097．nn n x x f ⎪⎭⎫⎝⎛+=∞→sin 1lim )(，则=')(x f ．98．4lim e a x a x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+∞→，则_______=a ．99．_______1lim 23=⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→x x x x ．100．如果201cos ()3lim ()x xf x f x x→-=+，则0lim ()x f x →=．101．设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+≤+=1,10,0,2)(2x bx x a x x x x f 在),(+∞-∞内连续，则___________,==b a ．102．)(lim 2)sin 21()(031x f x x f x x→++=，求()=x f ．103．如果201cos ()3lim ()x xf x f x x→-=+，则0lim ()x f x →=．104．设2211xx x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-，则=)(x f ．105．函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=010,1sin 1)(x x xx x f 的连续区间是．106．若函数()⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+=0,21ln 0,)(12x x x x a x f x 在0=x 处连续，则=a ．107.极限02sin 3lim[sin]x x x x x→+=．108.极限3sin 2lim[sin ]x xx x x→∞+=．109．若⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=-0,0,316sin )(3x a x x e x x f ax 在0=x 连续，则_______=a ．110．函数⎪⎩⎪⎨⎧><<-±===2,420,42,0,2)(2x x x x x x f 的间断点有_________个．111．函数653)(2+--=x x x x f 的第二类间断点是_________．112．函数)5)(32(86)(22-----=x x x x x x f 的间断点是．113．设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=,0,,0,1sin )(2x x a x x x x f 要使)(x f 在),(+∞-∞内连续，则=a ．114．设⎪⎩⎪⎨⎧<+=>+=0,20,0,)(2x b x x a x e x x f 在点0=x 处连续，则=a ，=b ．115．设⎪⎩⎪⎨⎧≤>=0,0,3sin )(x x x x x x f ，则点0=x 是)(x f 的第类间断点．116．设⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-,01),1ln(,0,)(11x x x e x f x 则点0=x 是)(x f 的第类间断点；点1=x 是)(x f 的第类间断点．117．若函数=)(x ϕ，则函数)(x f 为奇函数这里⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=>++=0, )( 0, 0 0 ),1ln()(2x x x x x x x f ϕ118．⎩⎨⎧<-≥=00 )(22x x x x x f ，则)(x f 是（奇/偶）函数.119．⎩⎨⎧>+≤-=0 10 1)(x x x x x f ，则)(x f 是（奇/偶）函数.三、计算题120．设函数1)1(2++=x x x f 0>x ，求)(x f ．121．设函数2211xx x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，求)(x f ．122．设xx f -=11)(，求))((x f f ．123．设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f ．124．已知x x g xx f -==1)(,1)(，求))((x g f ．125．设x x x f 2)1(2-=-，求)1(+x f ．126．求函数321)(2-+=x x x f 的连续区间．127．设函数)(x f 的定义域为)0,1(-，求函数)1(2-x f 的定义域．128．设x xx f +=12arccos )(，求其定义域．129．设)(x f 的定义域为[]1,0，求)(cos x f 的定义域．130．已知⎩⎨⎧≤<≤≤=+21,210,)1(2x x x x x ϕ，求)(x ϕ．131．设⎩⎨⎧<+≥+=0,40,12)(2x x x x x f ，求)1(-x f ．132．判断函数x x x f 32(32()(-++=的奇偶性．133．判断11-+=x x a a x y 的奇偶性．134．设)21121)(()(-+=x x f x F ，已知)(x f 为奇函数，判断)(x F 的奇偶性．135．求函数x x y 44sin cos -=的周期．136．求函数2cos sin x x y +=的周期．137．求函数x y 3sin 2=)66(ππ<<-x 的反函数．138．求函数)1ln(2-+=x x y 的反函数．139．xx x 3113sin lim +-∞→．140．633lim 6--+→x x x ．141．2203)1ln(lim x x x +→．142．x xx 4cos 12sin 1lim 4-+→π．143．2321lim 4--+→x x x ．144．123lim 221-+-→x x x x ．145．25273lim 33+-++∞→x x x x x ．146．)cos 3(11lim 32x x x x +++∞→．147．2021cos lim x x x -→．148．2021lim x ex x -→．149．3222......21lim nn n +++∞→．150．)3(lim 2x x x x -++∞→．151．xx x ln 1lim 21-→．152．20cos 1lim x x x -→．153．38231lim x x x +---→．154．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⨯+⨯∞→)12)(12(1...531311lim n n n ．155．n n 11lim +∞→．156．114sin lim 0-+→x xx ．157．)(lim 22x x x x x --++∞→．158．156223lim 22+-++∞→n n n n n ．159．nx mxx sin sin lim 0→．160．⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x x ln ln 1lim 1．161．145lim 1---→x xx x ．162．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→11lim 31x x x ．163．xx x --→πππ1cos )(lim ．164．20cos 1lim x mx x -→．165．11sinlim -+∞→x x x x x ．166．)15(lim 323x x x x -+-∞→．167．)cos 1(cos 1lim 0x x x x --+→．168．28lim 38--→x x x ．169．n n n 31...9131121...41211lim ++++++++∞→．170．xx x x x 6sin 4cos lim ++∞→．171．)1(lim 2x x x x -+∞→．172．⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+→114sin lim 0x x x ．173．174lim 22++→x x x ．174．2220)1()41ln(lim x x e x -+→．175．115)2(5)2(lim ++∞→+-+-n n nn n ．176．xx e 1011lim +→．177．若123lim 22=-+-→x ax x x ，求a ．178．已知01lim 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+∞→b ax x x x ，其中a ，b 是常数，求a ，b ．179．已知),0()1(lim 2017∞≠≠=--∞→A n n n k k n ，求k 的值．180．计算⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++∞→n n n n n n n n n 2222211lim .181．已知5312)(22+++-=bx x ax x f ，当∞→x 时，求a 和b 的值使)(x f 为无穷小量．182．当0→x ，比较函数22)(-+=x x e x f 与x 是否为同阶无穷小．183．已知82lim 3=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→x x a x a x ，求a ．184．()xx x sec 32cos 1lim +→π．185．11212lim +∞→⎪⎭⎫⎝⎛-+x x x x ．186．26311lim -∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x 187．xx x x 311lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→．188．21232lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x x ．189．xx x tan 2)(sin lim π→．190．已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=>+=0,sin 10,0,1sin )(x x x x p x q x x x f 在点0=x 处极限存在，求p 和q 的值．191．求函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=0,210,cos 1)(42x x x x xx f 的间断点的个数．192．判断函数111)(--=x x ex f 的间断点及其类型．193．判断函数xx x f 1cos)(=的间断点及其类型．194．设)(x f 在点0=x 处连续，且⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,0,cos 1)(2x a x x x x f ，求a ．195．求函数xxy sin =的间断点及类型．196．求函数)1()(22--=x x xx x f 的间断点．197．证明方程019323=+--x x x 至少有一个小于1的正根．198．判断函数122+=x y 的单调性．199．已知⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=>+--=0,110,0,1)1(2sin )(2x x x b x a e e x f x x x 在点0=x 处连续，求a 和b 的值．200．设函数⎩⎨⎧≥+<=0,0,)(x x a x e x f x 在),(+∞-∞内连续，求a ．201．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤---+=>+=01,110,00,)1ln()(x x xx x x x x x f ，判断其间断点及类型．202．设xe xf x 1)(-=，判断其间断点及类型．203．设⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-01),1ln(0)(,11x x x e x f x ，判断)(x f 的间断点及其类型．204．求曲线65222+-=x x x y 的渐近线．205．求xex f -+=1111)(的间断点并判断其类型．206．设⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>++=<=0,)21ln(0,0,sin 1sin )(2x a xx x b x x x x x f ，求b a ,的值使其在),(+∞-∞内连续．207．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<=<<-=-21,1,210,1ln )(1x e x x x xx f x ，（1）求)(x f 的定义域（2）判断间断点1=x 的类型，如何改变定义使)(x f 在这点连续？208．判断函数x x y ln +=在区间),0(+∞内的单调性．第一章函数、极限与连续1..54,51:15101510⎥⎦⎤⎢⎣⎡⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≤≤+≤D x x 选C2.43<≤-x ，826<≤-x ，14620<+≤x 。
由Dubai君基于王光庆的专插本高等数学视频所写原则：常用定义域【注意这里的x是p】（2）n可以为0 ，也就是根号x也成立；x不小于0即可（3）lnx ：x要大于0；lnx^2：x不等于0即可，因为x取到负值时平方后还是大于0这里的x是p1.公母不等于0；2. 2n倍的根号内不能小于0，当不是2n时无限制；3.对数真数部分大于0；4.反函数as与ac的定义域区间注意一下，是闭区间；取交集（都有的地方）分母不能为0！！！！抽象函数求定义域重要求定义域指的是求x的范围，所以要得到x的范围重点，课外补充：复合函数定义域问题1.由单一函数定义域求复合函数定义域重要思想：括号内的范围，是不变的2.由复合函数定义域求单一函数定义域求得括号的范围是【2,3】3. 由复合函数定义域求复合函数定义域思路：先求单一再求复合注意事项补充：1.定义域指的是x2.前后定义域要一样，易错题已知f（x-1）的定义域为（0,1】，即是x的取值范围为（0,1】：0<x<=1分段函数：主要以选择题的形式出现y-值域-y的取值范围x-定义域-x的取值范围f-对应法则-functionf对x进行操作得到y判断两个函数是否相同：两个函数的值域，定义域相同即是函数相同A:分母不能为0B:两个x都是属于R，定义域相同；第一个y>=0,第二个y属于R，值域不相同C：第一个x能取到负无穷，x不等于0即可；第二个x只能大于0；D：两个x都属于R，两个y都大于等于0这种类型题目分为三种第一种类型：知道简单的（标准的）求复杂的：做法：直接代入观察f(x)=2x,可知f是将x操作成2x，那么x+1会被f操作成2（x+1）f(x)=2xf(p)=2pp=x+1f(x+1)=2(x+1)答案是：9x+1第二种类型：知道复杂的来求简单的，其实就是让你求f的操作是什么方法：凑或换元观察可知f是将p操作成p的倒数: P=x,f(x)=1/x 这就是凑‘’1.凑2换元，【很重要，必须掌握】第三种类型：知道一个复杂的，求一个复杂的。
第一章函数、极限、连续一、极限1.1数列极限的定义：∀ε>0，存在自然数N，使得当n＞N时，就有|x n−a|<ε，那么称数列{x n}收敛于a，记为limn→∞x n=a.称a为此数列的极限；极限不存在的数列称为发散数列.1.2函数极限的定义：设f(x)在a的某个去心领域有定义，A是一个实数。
如果对任一个ε>0，存在一个δ>0，使得当0<|x−a|<δ时，就有|f(x)−A|<ε，那么称f(x)在a处有极限A，记为limx→af(x)=A或f(x)→A(x→a).海涅定理：limx→af(x)=A的充分必要条件是，对任一满足x n→a(∀n,x n≠a)的数列，均有f(x n)→A.定理：limx→af(x)≠A成立的充分必要条件是，存在一个常数ε0>0，使得在a的任何去心邻域，都可以找到一点，满足|f(x)−A|≫ε0.1.3极限的性质及运算定理：如果f(x)在λ处极限存在，则f(x)比在λ的某去心邻域上有界。
定理：函数的极限若存在，则必唯一。
定理：若limx→λf(x)=A，limx→λf(x)=B，且A>B，则存在λ的某个去心邻域N̂λ(δ)，使得在N̂λ(δ)上，f(x)>g(x)成立。
（反之，也成立。
）定理（夹逼准则）：若f(x)≪ℎ(x)≪g(x)在λ的某个去心邻域上成立，且limx→λf(x)=limx→λg(x)=A，则limx→λℎ(x)=A。
注:（1） limx→af(x)=∞(±∞),函数f(x)为无穷大量；limx→af(x)=0，函数f(x)为无穷小量.（2）若函数极限存在，则函数的极限运算符合四则运算法则。
（3）limx→a f(x)=∞(±∞)，则limx→a1f(x)=0；lim x→af (x )=0，limx→a 1f (x )=∞(±∞).（4）若f (x )在λ的某个去心邻域上有界，g (x )当x →λ时为无穷小量，则f(x)g (x )当x →λ时也为无穷小量。
第一章函数、极限与连续 预备知识 集合与符号一、集合1．定义：由确定的一些对象汇集的总体称为集合；组成集合的这些对象被称为集合的元素． 2．表示：用大写字母A 、B 、C …表示集合；用小写字母a 、b 、c …表示集合的元素．x 是集合E 的元素，记为E x ∈(读作：x 属于E );y 不是集合E 的元素，记为E y ∉(读作：y 不属于E )．不含任何元素的集合称为空集合，记作Φ 3．集合间的关系（1）子集合：如果集合E 的任何元素都是集合F 的元素，那末我们就说E 是F 的子集合，简称为子集，记为(F E⊂读作E 包含于F ）,或者E F ⊃（读作F 包含E ）．（2）相等：如果集合E 的任何元素都是集合F 的元素，并且集合F 的任何元素也都是集合E 的元素（即F E ⊂并且E F ⊂），那末我们说集合E 与集合F 相等，记为FE =．我们约定：空集合Φ是任何集合E 的子集，即 Φ⊂E ．二、数集 1． N自然数集; Z整数集； Q ——有理数集; R ——实数集; C 复数集．把非负整数、非负有理数和非负实数的集合分别记为Z +，Q +和R +,显然有N⊂Z ⊂Q ⊂R ⊂C ．和N ⊂Z +⊂Q +⊂R +．2．区间 ——数轴上的一段所有点组成的集合3．邻域 设∈a R ，.0>δ数集{}δ<-a x x 称为a 的δ邻域，记为),(δa U ={}δ<-a x x =()δδ+-a a ,,a 称为邻域的中心；δ称为邻域的半径。
当不需要注明邻域的半径δ时，常把它表为)(a U ，简称a 的邻域． 数集{}δ<-<a x x 0表示在a 的δ邻域),(δa U 中去掉a 的集合，称为a 的δ去心邻域，记作 ),(δa U={}δ<-<a x x 0=()δδ+-a a ,-{}a ，当不需要注明邻域半径δ时，常将它表为)(a U，简称a 的去心邻域． 三、逻辑符号1．符号“⇒”表示“蕴涵”或“推得”，或“若…，则…”．A ⇒B ——若命题A 成立，则命题B 成立;或命题A 蕴涵命题B ;称A 是B 充分条件，同时也称B 是A 的必要条件；例如：n 是整数⇒n 是有理数符号“⇔”表示“必要充分”，或“等价”，或“当且仅当”．A ⇔B 表示命题A 与命题B 等价;或命题A 蕴涵命题B （A ⇒B ），同时命题B 也蕴涵命题A （B ⇒A ）例如：A ⊂B ⇔任意x ∈A ，有x ∈B ．2.量词符号符号“∀”表示“任意”，或“任意一个”，它是将英文字母A 倒过来．符号“∃”表示“存在”，或“能找到”，它是将英文字母E 反过来． 应用上述的数理逻辑符号表述定义、定理比较简练明确．例如，数集A 有上界、有下界和有界的定义：数集A 有上界⇔∃b ∈R ，∀x ∈A ，有x ≤b ．数集A 有下界⇔∃a ∈R ，∀x ∈A ，有a ≤x ．数集A 有界⇔∃0>M ，∀x ∈A ，有M x ≤．⇔A 既有上界，又有下界。
3． max 与min符号“max ”表示“最大”（它是maximum(最大)的缩写）． 符号“min ”表示“最小”（它是minimum(最小)的缩写）． 设n a a a ,,,21 是n 个数．例如：max{n a a a ,,,21 }——n 个数n a a a ,,,21 中最大数． min{n a a a ,,,21 }——n 个数n a a a ,,,21 中最小数． 4． n ！符号“n ！”表示“不超过n 的所有自然数的连乘积”，读作“n 的阶乘”即n ！=n （n -1）…3·2·1．如 7！= 7·6·5·4·3·2·1．5．连加符号Σ与连乘符号Π在数学中，常遇到一连串的数相加或一连串的数相乘，例如1+2+…+n或者)1()1(+--k m m m 等．为简便起见，人们引入连加符号Σ与连乘符号Π：n ni ix x x x+++=∑= 211，n i ni x x x x 211=∏=．这里的指标i 仅仅用以表示求和或求乘积的范围，把i 换成别的符号j ，k 等，也同样表示同一和或同一乘积，例如∑∑===+++=ni in nj jx x x x x1211，∏∏====ni in nj jx x x x x1211．人们通常把这样的指标称为“哑指标”．我们举几个例子说明连加符号Σ与连乘符号Π的应用． 例1 阶乘n !的定义可以写成n ！=∏=nj j 1．例2 二项式定理可以表示为∑∑==--==+nj nk kk n k n jn jjnnb a C ba Cb a 0)( ，其中)!(!!!)1()1(k n k n k k n n n C kn -=+--=．第一节 函数的概念，几种简单性态教学目的：理解函数的概念，掌握函数的性质 教学重点：函数的概念，函数的各种性质 教学难点：函数的性质 教学内容：1. 函数的定义：设x 和y 是两个变量，D 是一个给定的数集，如果对于给定的每个数D x ∈，变量y按照一定法则f总有确定的数值和它对应，则称y 是x 的函数，记作)(x f y =，数集D 叫做这个函数的定义域，x 叫做自变量，y 叫做因变量。
y 的取值范围叫函数的值域。
函数的两大要素：定义域和对应关系 例1 求函数2112++-=x xy 的定义域。
解：要使函数有意义，应满足⎩⎨⎧≥+≠-02012x x ⎩⎨⎧-≥±≠⇒21x x 即：函数定义域为：[)()()+∞⋃-⋃--,11,11,2例2判断以下函数是否是同一函数，为什么？ （1）y=lnx2与y=2lnx (2)ω=u 与y=x解 （1）中两函数的 定义域不同，因此不是相同的函数. （2）中两函数的 对应法则和定义域均相同，因此是同一函数. 2 .函数的性质（1）有界性若有正数M 存在，使函数()x f 在区间I上恒有()Mx f ≤，则称()x f 在区间I上是有界函数；否则，()x f 在区间I上是无界函数。
如果存在常数M （不一定局限于正数），使函数()x f 在区间I上恒有f(x)≤M ，则称()x f 在区间I上有上界，并且任意一个MN ≥的数N 都是()x f 在区间I上的一个上界；如果存在常数m ，使()x f 在区间I 上恒有()m x f ≥，则称()x f 在区间I上有下界，并且任意一个m l≤的数l 都是()x f 在区间I 上的一个下界。
显然，函数()x f 在区间I上有界的充分必要条件是()x f 在区间I上既有上界又有下界。
（2）单调性 设函数()x f 在区间I上的任意两点21x x <，都有()()21x f x f <（或()()21x f x f >），则称()x f y =在区间I上为严格单调增加（或严格单调减少）的函数。
如果函数()x f 在区间I上的任意两点21x x <，都有()()21x f x f ≤（或()()21x f x f ≥），则称()x f y =在区间I上为广义单调增加（或广义单调减少）的函数。
广义单调增加的函数，通常简称为单调增加的函数或非减函数；广义单调减少的函数则简称为单调减少的函数或非增函数。
例如，函数2x y =在区间()0，∞-内是严格单调减少的；在区间()∞+，0内是严格单调增加的。
而函数3x y x y ==、在区间()∞+∞-，内都是严格单调增加的。
（3）奇偶性 若函数()x f 的定义域D关于原点对称，对于任一Dx ∈满足()()x f x f =-（或()()x f x f -=-）则称()x f 为偶函数（或奇函数）。
注意：1）讨论函数奇偶性的前提是该函数定义域关于原点对称； 2）偶函数的图形是关于y 轴对称的；奇函数的图形是关于原点对称的。
例如，()()x x x g x x f sin 2==、在定义区间上都是偶函数。
而()x x F =、()x x x G cos =在定义区间上都是奇函数。
（4）周期性 对于函数()x f y =，定义域为D，如果存在一个非零常数T,对一切的Dx ∈均有()()x f T x f =+，则称函数()x f 为周期函数。
并把T称为()x f 的周期。
应当指出的是，通常讲的周期函数的周期是指最小的正周期。
对三角函数而言，x y x ycos sin ==、都是以π2为周期的周期函数，而x y tan =、xy cot =则是以π为周期的周期函数。
关于函数的性质，除了有界性与无界性之外，单调性、奇偶性、周期性都是函数的特殊性质，而不是每一个函数都一定具备的。
小结：本节复习了中学学过的各种函数，应该熟记六种基本初等函数的性态，为后继课的学习作好准备 作业：习题1-1:1（1）（3）（5）第二节 初等函数教学目的：认识初等函数、复合函数，为研究微积分做好准备 教学重点：复合函数 教学难点：复合函数的理解1初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数这5类函数叫做基本初等函数。
这些函数在中学的数学课程里已经学过。
（1）幂函数()R a x y a ∈=它的定义域和值域依a 的取值不同而不同，但是无论a 取何值，幂函数在()+∞∈,0x 内总有定义。
当Na ∈或N n n a ∈-=，121时，定义域为R 。
常见的幂函数的图形如图1-1所示。
（2）指数函数 ()10≠>=a a a y x ，它的定义域为()∞+∞-，，值域为()∞+，0。
指数函数的图形如图1-2所示．（3）对数函数()10l o g ≠>=a a xy a ，定义域为()∞+，0，值域为()∞+∞-，。
对数函数x y a log =是指数函数x a y =的反函数。
其图形见图1-3。
在工程中，常以无理数e ＝2.718 281 828…作为指数函数和对数函数的底，并且记x x x e e x ln log exp ==，，而后者称为自然对数函数。
（4）三角函数 三角函数有正弦函x y sin =、余弦函数数x y cos =、正切函数x y tan =、余切函数x y cot =、正割函数x y sec =和余割函数x y csc =。
其中正弦、余弦、正切和余切函数的图形见图1-4。
图1-1图1-2图1-3（5）反三角函数反三角函数主要包括反正弦函数x y a r c s i n=、反余弦函数x y a r c c o s =、反正切函数x y a r c t a n =和反余切函数x a r c y c o t =等．它们的图形如图1-5所示。
4.复合函数 设),(u f y =其中)(x u ϕ=，且)(x ϕ的值全部或部分落在)(u f 的定义域内，则称)]([x f y ϕ=为x 的复合函数，而u 称为中间变量.例3 将函数y 表示成x 的复合函数 （1）x u u y cos ,ln ==（2）1,sin ,2,+===x v v u e y u解：（1）,cos ln ln x u y ==即x y cos ln =（2）)1sin(2+==xu e e y ，即)1sin(2+=xe y图1-5图1-4例4 求下列函数的复合过程 （1）3)1(arccosxy = （2）2ln xe y =（3）y=2cotx解：（1）由xv v u u y 1,arccos ,3===这三个函数复合而成 （2）由xv v u e y u 1,ln ,===这三个函数复合而成 （3）由=u ，u=cosv ，v=2x 这三个函数复合而成注意：并非任意两个函数都可以复合成一个函数。
