计量经济学多元线性回归模型

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§4.1 多元线性回归模型的两个例子
一、例题1：CD生产函数
Qt AKt 1 Lt 2 et
这是一个非线性函数，但取对数可以转变为一个 对参数线性的模型
ln Qt 0 1 ln Kt 2 ln Lt t
t ~ iid(0, 2 )
注意：“线性”的含义是指方程对参数而言是线 性的
R 2 1 RSS /(N K 1) TSS /(N 1)
调整思想： 对 R2 进行自由度调整。
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基本统计量TSS、RSS、ESS的自由度：
1.
TSS的自由度为N-1。基于样本容量N，TSS

N i1
(Yi
Y
)2
因为线性约束 Y 1 N
Y N
i1 i
而损失一个自由度。
分布的多个独立统计量平方加总，所得到的新统计量就服从
2 分布。
《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著
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双侧检验
概 率 密 度
概率1－
0
2 1 / 2
2 /2
图4.3.1

2
（N-K-1）的双侧临界值
双侧检验：统计值如果落入两尾中的任何一个则拒绝原假设
《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著
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单侧检验
概 率 密 度
概率 概率
0
2 1
2
图4.3.2 （2 N-K-1）的单侧临界值
H0：
2


2，
0
HA :

2


2 0

多元线性回归模型的表达式
Y=β0+β1X1+β2X2+...+βkXk+ε，其中Y为因变 量，X1, X2,..., Xk为自变量，β0, β1,..., βk为回归 系数，ε为随机误差项。
多元线性回归模型的假设条件
包括线性关系假设、误差项独立同分布假设、无 多重共线性假设等。
研究目的与意义
研究目的
政策与其他因素的交互作用
多元线性回归模型可以引入交互项，分析政策与其他因素（如技 术进步、国际贸易等）的交互作用，更全面地评估政策效应。
实例分析：基于多元线性回归模型的实证分析
实例一
预测某国GDP增长率：收集该国历史数据，包括GDP、投资、消费、出口等变量，建立 多元线性回归模型进行预测，并根据预测结果提出政策建议。
最小二乘法原理
最小二乘法是一种数学优化技术，用 于找到最佳函数匹配数据。
残差是观测值与预测值之间的差，即 e=y−(β0+β1x1+⋯+βkxk)e = y (beta_0 + beta_1 x_1 + cdots + beta_k x_k)e=y−(β0+β1x1+⋯+βkxk)。
在多元线性回归中，最小二乘法的目 标是使残差平方和最小。
t检验
用于检验单个解释变量对被解释变量的影响 是否显著。
F检验
用于检验所有解释变量对被解释变量的联合 影响是否显著。
拟合优度检验
通过计算可决系数（R-squared）等指标， 评估模型对数据的拟合程度。
残差诊断
检查残差是否满足独立同分布等假设，以验 证模型的合理性。
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多元线性回归模型的检验与 诊断

矩阵X的秩为K(注意X为n行K列)。
Ran(X)= k
Rak(X'X)=k
即 (X'X) 可逆 假定6:正态性假定
ui ~ N (0, 2 )
u ~ N (0, 2I)
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第二节 多元线性回归模型的估计
一、普通最小二乘法（OLS）
原则：寻求剩余平方和最小的参数估计式 min : ei2 (Yi Yˆi )2
1
X 22
Xk
2
2
u2
Yn
1 X 2n
X
kn
k
un
Y
X
βu
n 1
nk
k 1 n1
9
9
矩阵表示方式
总体回归函数 E(Y) = Xβ 或 Y = Xβ + u
样本回归函数 Yˆ = Xβˆ 或 Y = Xβˆ + e
其中： Y,Yˆ,u,e 都是有n个元素的列向量
β, βˆ 是有k 个 元素的列向量
多重可决系数：在多元回归模型中，由各个解释
变量联合起来解释了的Y的变差，在Y的总变差中占
的比重，用 R2表示 与简单线性回归中可决系数 r的2 区别只是 不Yˆi 同
多元回归中
Yˆi ˆ1 ˆ2 X2i ˆ3 X3i ˆk Xki
多重可决系数可表示为
R2 ESS TSS
(Yˆi Y )2 (Yi Y )2
0
2
X 2i
Yi
(ˆ1
ˆ2
X 2i
ˆ3
X 3i
ˆki
X ki )
0
(i 1, 2, n)
( j 1, 2, n)
ei 0
X2iei 0
2

多元线性回归模型一．概述当今农村农民人均纯收入与多个因素存在着紧密的联系，例如人均工资收入，人均农林牧渔产值人均生产费用支出，人均转移性和财产性收入等。

本次将以安徽1995－2009年农村居民纯收入与人均工资收入，人均生产费用支出，人均转移性和财产性收入等因素的数据，通过建立计量经济模型来分析上述变量之间的关系，强调农村居民生活的重要性，从而促进全国经济的发展。

二、模型构建过程⒈变量的定义被解释变量：农民人均纯收入y解释变量：人均工资收入x1, 人均农林牧渔产值x2人均生产费用支出x3 人均转移性和财产性收入x4。

建立计量经济模型：解释农民人均纯收入与人均工资收入，人均生产费用支出，人均转移性和财产性收入的关系⒉模型的数学形式设定农民人均纯收入与五个解释变量相关关系模型，样本回归模型为：∧Y i=∧β+∧β1X i1+∧β2X i2+∧β3X i3+∧β4X i4+e i⒊数据的收集该模型的构建过程中共有四个变量,分别是中国从1995－2009年人均工资收入，人均农林牧渔产值人均生产费用支出，人均转移性和财产性收入，因此为时间序列数据，最后一个即2009年的数据作为预测对比数据，收集的数据如下所示：⒋用OLS法估计模型回归结果,散点图分别如下:iYˆ=33.632+0.659X1+0.59X2-0.274X3+0.152X4d.f.=10 ,R2=0.997116 ,Se=(186.261) (0.1815 (0.1245) (0.2037) (0.5699)t=(0.1805) (3.632) (4.741) (-1.347) (2.674)三、模型的检验及结果的解释、评价⒉拟合优度检验及统计检验R2＝0.997，可以看到模型的拟合优度非常高，说明农民人均纯收入与上述四个解释变量之间总体线性关系显着。

● 模型总体性检验（F 检验）：给定显着水平α＝0.05，查自由度为(4,10)的F 分布表，得F(4,10)=3.48,可见该模型的F 值远大于临界值，因此该回归方程很明显是显着的。