线性回归方程中的相关系数r

线性回归方程中的相关系数rr=∑(Xi-X的平均数)(Yi-Y平均数)/根号下[∑(Xi-X平均数)^2*∑(Yi-Y平均数)^2]R2就是相关系数的平方，R在一元线性方程就直接是因变量自变量的相关系数，多元则是复相关系数判定系数R^2也叫拟合优度、可决系数。

表达式是:R^2=ESS/TSS=1-RSS/TSS该统计量越接近于1，模型的拟合优度越高。

问题：在应用过程中发现，如果在模型中增加一个解释变量，R2往往增大这就给人一个错觉：要使得模型拟合得好，只要增加解释变量即可。

——但是，现实情况往往是，由增加解释变量个数引起的R2的增大与拟合好坏无关，R2需调整。

这就有了调整的拟合优度:R1^2=1-(RSS/(n-k-1))/(TSS/(n-1))在样本容量一定的情况下，增加解释变量必定使得自由度减少，所以调整的思路是:将残差平方和与总离差平方和分别除以各自的自由度，以剔除变量个数对拟合优度的影响:其中：n-k-1为残差平方和的自由度，n-1为总体平方和的自由度。

总是来说，调整的判定系数比起判定系数，除去了因为变量个数增加对判定结果的影响。

R = R接近于1表明Y与X1，X2 ，…，Xk之间的线性关系程度密切；R接近于0表明Y与X1，X2 ，…，Xk之间的线性关系程度不密切相关系数就是线性相关度的大小，1为（100%）绝对正相关，0为0%，-1为（100%）绝对负相关相关系数绝对值越靠近1，线性相关性质越好，根据数据描点画出来的函数-自变量图线越趋近于一条平直线，拟合的直线与描点所得图线也更相近。

如果其绝对值越靠近0，那么就说明线性相关性越差，根据数据点描出的图线和拟合曲线相差越远（当相关系数太小时，本来拟合就已经没有意义，如果强行拟合一条直线，再把数据点在同一坐标纸上画出来，可以发现大部分的点偏离这条直线很远，所以用这个直线来拟合是会出现很大误差的或者说是根本错误的）。

分为一元线性回归和多元线性回归线性回归方程中,回归系数的含义一元：Y^=bX+a b表示X每变动（增加或减少）1个单位,Y平均变动（增加或减少）b各单位多元：Y^=b1X1+b2X2+b3X3+a 在其他变量不变的情况下，某变量变动1单位，引起y平均变动量以b2为例：b2表示在X1、X3（在其他变量不变的情况下）不变得情况下，X2每变动1单位，y平均变动b2单位就一个reg来说y=a+bx+ea+bx的误差称为explained sum of squaree的误差是不能解释的是residual sum of square总误差就是TSS所以TSS=RSS+ESS判定系数也叫拟合优度、可决系数。

线性回归方程中的相关系数rr=∑(Xi-X的平均数)(Yi-Y平均数)/根号下[∑(Xi-X平均数)^2*∑(Yi-Y平均数)^2]R2就是相关系数的平方，R在一元线性方程就直接是因变量自变量的相关系数，多元则是复相关系数判定系数R^2也叫拟合优度、可决系数。

表达式是:R^2=ESS/TSS=1-RSS/TSS该统计量越接近于1，模型的拟合优度越高。

问题：在应用过程中发现，如果在模型中增加一个解释变量，R2往往增大这就给人一个错觉：要使得模型拟合得好，只要增加解释变量即可。

——但是，现实情况往往是，由增加解释变量个数引起的R2的增大与拟合好坏无关，R2需调整。

这就有了调整的拟合优度:R1^2=1-(RSS/(n-k-1))/(TSS/(n-1))在样本容量一定的情况下，增加解释变量必定使得自由度减少，所以调整的思路是:将残差平方和与总离差平方和分别除以各自的自由度，以剔除变量个数对拟合优度的影响:其中：n-k-1为残差平方和的自由度，n-1为总体平方和的自由度。

总是来说，调整的判定系数比起判定系数，除去了因为变量个数增加对判定结果的影响。

R = R接近于1表明Y与X1，X2 ，…，Xk之间的线性关系程度密切；R接近于0表明Y与X1，X2 ，…，Xk之间的线性关系程度不密切相关系数就是线性相关度的大小，1为（100%）绝对正相关，0为0%，-1为（100%）绝对负相关相关系数绝对值越靠近1，线性相关性质越好，根据数据描点画出来的函数-自变量图线越趋近于一条平直线，拟合的直线与描点所得图线也更相近。

如果其绝对值越靠近0，那么就说明线性相关性越差，根据数据点描出的图线和拟合曲线相差越远（当相关系数太小时，本来拟合就已经没有意义，如果强行拟合一条直线，再把数据点在同一坐标纸上画出来，可以发现大部分的点偏离这条直线很远，所以用这个直线来拟合是会出现很大误差的或者说是根本错误的）。

分为一元线性回归和多元线性回归线性回归方程中,回归系数的含义一元：Y^=bX+a b表示X每变动（增加或减少）1个单位,Y平均变动（增加或减少）b各单位多元：Y^=b1X1+b2X2+b3X3+a 在其他变量不变的情况下，某变量变动1单位，引起y平均变动量以b2为例：b2表示在X1、X3（在其他变量不变的情况下）不变得情况下，X2每变动1单位，y平均变动b2单位就一个reg来说y=a+bx+ea+bx的误差称为explained sum of squaree的误差是不能解释的是residual sum of square总误差就是TSS所以TSS=RSS+ESS判定系数也叫拟合优度、可决系数。

线性回归方程相关系数r的计算公式线性回归方程的相关系数r是一个重要的统计概念，用来衡量实验数据之间的联系紧密程度。

r的值介于-1到1之间，其计算方式通常分为两类：通用线性回归（GLR）和秩和线性回归（RLR）。

GLR可用来检验任何形式的线性关系，而RLR只能检验正态分布的场景。

本文旨在分析并介绍线性回归方程r的计算方式，以便让读者更加了解这一内容。

# 二、GLR计算公式通用线性回归（GLR）的计算公式如下：$$ r = frac{sum (x - bar{x})(y - bar{y})}{sqrt{sum (x - bar{x})^2} sqrt{sum (y - bar{y})^2}} $$其中，$bar{x}$和$bar{y}$是相应变量的平均值。

## 2.1何理解GLR计算公式？在GLR公式中，第一个分子表示变量之间的协方差，第二个分母表示变量之间的标准差。

因此，GLR计算公式可以理解为：若变量之间的关系越紧密，则r的值越接近1，反之，若变量之间的关系越疏松，则r的值越接近-1。

# 三、RLR计算公式秩和线性回归（RLR）的计算公式如下：$$ r =frac{sum_{i=1}^n(x_i-bar{x})(y_i-bar{y})}{sqrt{sum_{i=1}^n( x_i-bar{x})^2 sum_{i=1}^n(y_i-bar{y})^2}} $$其中，$bar{x}$和$bar{y}$是相应变量的平均值，$x_i$和$y_i$分别是第i项的变量值。

## 3.1何理解RLR计算公式？RLR计算公式的分子中的第二个求和符号表示的是变量的秩和，第二个分母中的两个求和符号表示的是秩差和的平方，它们可以保证变量的分布是正态分布。

因此，RLR公式可以理解为：若变量之间的关系越紧密，则r的值越接近1，反之，若变量之间的关系越疏松，则r的值越接近-1。

#、结论线性回归方程的相关系数r是一个重要的统计概念，它可以衡量实验数据之间的联系紧密程度。

线性回归相关系数R线性回归（LinearRegression）是一种用来分析两种变量间关系的统计技术，其中一个变量是解释变量，另一个变量是结果变量。

在学习线性回归时，一个非常重要的指标是相关系数r，也叫作Pearson 相关系数。

本文将介绍线性回归相关系数R，以及它对线性回归的重要性以及如何计算它。

什么是线性回归相关系数R？线性回归相关系数R是一种有效的度量两个变量之间相关性的指标。

它是一种可以评估变量之间在回归方程中的度量，它可以告诉我们两个变量之间是否有线性关系或接近线性关系，以及它们之间的线性度。

线性回归相关系数R取值范围线性回归相关系数r的取值范围为-1到1。

当r的值等于1时，代表两个变量之间有很强的线性关系；当r的值等于0时，代表两个变量之间没有线性关系；当r的值等于-1时，代表两个变量之间有强烈的负线性关系。

线性回归相关系数R的重要性线性回归相关系数r是研究两个变量间相关性的重要指标，它能反映变量之间关系的强弱，并可用于确定线性回归方程的系数。

它可以帮助研究者识别出研究中变量之间有趣的关系，并可以用来把变量之间的线性关系转换成数学表达式。

如何计算线性回归相关系数R？线性回归相关系数R可以用下式来计算：R＝∑（xix）（yiy）/√（∑（xix）^2）（∑（yiy）^2）其中，x为x变量的平均值，y为y变量的平均值。

xi为x变量的实际值，yi为y变量的实际值。

总结线性回归相关系数R是评估变量之间关系强弱的一种重要指标，它的值可以在-1到1之间变化。

研究者可以通过上述公式计算线性回归相关系数R，从而分析出变量之间的关系。

而且，线性回归相关系数R也可以用来确定线性回归方程的系数以及变量之间的线性关系。

线性回归中的相关系数山东 胡大波线性回归问题在生活中应用广泛,求解回归直线方程时,应该先判断两个变量就是否就是线性相关,若相关再求其直线方程,判断两个变量有无相关关系的一种常用的简便方法就是绘制散点图;另外一种方法就是量化的检验法,即相关系数法.下面为同学们介绍相关系数法. 一、关于相关系数法统计中常用相关系数r 来衡量两个变量之间的线性相关的强弱,当i x 不全为零,y i 也不全为零时,则两个变量的相关系数的计算公式就是:()()nnii i ixx y y x ynx yr ---==∑∑r 就叫做变量y 与x 的相关系数(简称相关系数).说明:(1)对于相关系数r ,首先值得注意的就是它的符号,当r 为正数时,表示变量x ,y 正相关;当r 为负数时,表示两个变量x ,y 负相关;(2)另外注意r 的大小,如果[]0.751r ∈，,那么正相关很强;如果[]10.75r ∈--，,那么负相关很强;如果(]0.750.30r ∈--，或[)0.300.75r ∈，,那么相关性一般;如果[]0.250.25r ∈-，,那么相关性较弱.下面我们就用相关系数法来分析身边的问题,确定两个变量就是否相关,并且求出两个变量间的回归直线. 二、典型例题剖析(1)对变量y 与x 进行相关性检验;(2)如果y 与x 之间具有线性相关关系,求回归直线方程; (3)如果父亲的身高为73英寸,估计儿子身高.解:(1)66.8x =,67y =,102144794i i x ==∑,102144929.22i i y ==∑,4475.6x y =,24462.24x =,24489y =,10144836.4i i i x y ==∑,所以10i ix ynx yr -∑44836.4104475.6(4479444622.4)(44929.2244890)-⨯=--80.40.9882.04≈≈, 所以y 与x 之间具有线性相关关系. (2)设回归直线方程为y a bx =+,则101102211010i ii i i x yxyb x x==-=-∑∑44836.4447560.46854479444622.4-=≈-,670.468566.835.7042a y bx =-=-⨯=.故所求的回归直线方程为0.468535.7042y x =+. (3)当73x =英寸时,0.46857335.704269.9047y =⨯+=, 所以当父亲身高为73英寸时,估计儿子的身高约为69、9英寸.点评:回归直线就是对两个变量线性相关关系的定量描述,利用回归直线,可以对一些实际问题进行分析、预测,由一个变量的变化可以推测出另一个变量的变化.这就是此类问题常见题型.例2 10其中x 为高一数学成绩,y 为高二数学成绩. (1)y 与x 就是否具有相关关系;(2)如果y 与x 就是相关关系,求回归直线方程. 解:(1)由已知表格中的数据,利用计算器进行计算得 101710ii x==∑,101723i i y ==∑,71x =,72.3y =,10151467i i i x y ==∑.102150520ii x==∑,102152541i i y ==∑.1010i ix yx yr -=∑0.78=≈.由于0.78r ≈,由0.780.75>知,有很大的把握认为x 与y 之间具有线性相关关系. (2)y 与x 具有线性相关关系,设回归直线方程为y a bx =+,则1011022211051467107172.31.2250520107110i ii i i x yx yb x x==--⨯⨯==≈-⨯-∑∑,72.3 1.227114.32a y bx =-=-⨯=-.所以y 关于x 的回归直线方程为 1.2214.32y x =-.点评:通过以上两例可以瞧出,回归方程在生活中应用广泛,要明确这类问题的计算公式、解题步骤,并会通过计算确定两个变量就是否具有相关关系.。

线性回归中的相关系数 Prepared on 24 November 2020线性回归中的相关系数山东 胡大波线性回归问题在生活中应用广泛，求解回归直线方程时，应该先判断两个变量是否是线性相关，若相关再求其直线方程，判断两个变量有无相关关系的一种常用的简便方法是绘制散点图；另外一种方法是量化的检验法，即相关系数法．下面为同学们介绍相关系数法．一、关于相关系数法统计中常用相关系数r 来衡量两个变量之间的线性相关的强弱，当i x 不全为零，y i 也不全为零时，则两个变量的相关系数的计算公式是：()()n n i i i i x x y y x y nx y r ---==∑∑r 就叫做变量y 与x 的相关系数（简称相关系数）．说明：（1）对于相关系数r ，首先值得注意的是它的符号，当r 为正数时，表示变量x ，y 正相关；当r 为负数时，表示两个变量x ，y 负相关；（2）另外注意r 的大小，如果[]0.751r ∈，，那么正相关很强；如果[]10.75r ∈--，，那么负相关很强；如果(]0.750.30r ∈--，或[)0.300.75r ∈，，那么相关性一般；如果[]0.250.25r ∈-，，那么相关性较弱． 下面我们就用相关系数法来分析身边的问题，确定两个变量是否相关，并且求出两个变量间的回归直线．二、典型例题剖析例1 测得某国10对父子身高（单位：英寸）如下：（1）对变量y 与x 进行相关性检验；（2）如果y 与x 之间具有线性相关关系，求回归直线方程；（3）如果父亲的身高为73英寸，估计儿子身高．解：（1）66.8x =，67y =，102144794ii x ==∑，102144929.22i i y ==∑，4475.6x y =，24462.24x =， 24489y =，10144836.4i i i x y ==∑，所以10ii x y nx y r -=∑44836.4104475.6(4479444622.4)(44929.2244890)-⨯=--80.40.9882.04=≈≈， 所以y 与x 之间具有线性相关关系．（2）设回归直线方程为y a bx =+，则101102211010ii i i i x y xy b x x ==-=-∑∑44836.4447560.46854479444622.4-=≈-， 670.468566.835.7042a y bx =-=-⨯=．故所求的回归直线方程为0.468535.7042y x =+．（3）当73x =英寸时，0.46857335.704269.9047y =⨯+=，所以当父亲身高为73英寸时，估计儿子的身高约为英寸．点评：回归直线是对两个变量线性相关关系的定量描述，利用回归直线，可以对一些实际问题进行分析、预测，由一个变量的变化可以推测出另一个变量的变化．这是此类问题常见题型． 例2 10名同学在高一和高二的数学成绩如下表：其中x 为高一数学成绩，y 为高二数学成绩．（1）y 与x 是否具有相关关系；（2）如果y 与x 是相关关系，求回归直线方程．解：（1）由已知表格中的数据，利用计算器进行计算得101710i i x ==∑，101723i i y ==∑，71x =，72.3y =，10151467i i i x y ==∑． 102150520i i x ==∑，102152541i i y ==∑．1010ii x y x y r -=∑0.78=≈．由于0.78r ≈，由0.780.75>知，有很大的把握认为x 与y 之间具有线性相关关系．（2）y 与x 具有线性相关关系，设回归直线方程为y a bx =+，则1011022211051467107172.3 1.2250520107110ii i i i x y x y b x x ==--⨯⨯==≈-⨯-∑∑， 72.3 1.227114.32a y bx =-=-⨯=-．所以y 关于x 的回归直线方程为 1.2214.32y x =-．点评：通过以上两例可以看出，回归方程在生活中应用广泛，要明确这类问题的计算公式、解题步骤，并会通过计算确定两个变量是否具有相关关系．。

回归方程相关系数公式
回归方程相关系数是指用来衡量回归方程拟合程度的统计量，通常用R或R^2表示。

在简单线性回归中，相关系数R可以通过以下公式计算得出：
R = ±√(r^2)。

其中，r是样本相关系数，表示自变量和因变量之间的线性关系强度。

样本相关系数r的计算公式为：
r = Σ((X X̄)(Y Ȳ)) / √(Σ(X X̄)^2 Σ(Y Ȳ)^2)。

其中，Σ表示求和，X̄和Ȳ分别表示自变量X和因变量Y的样本均值。

在多元线性回归中，相关系数R^2的计算公式为：
R^2 = 1 (Σ(Yi Ŷi)^2) / Σ(Yi Ȳ)^2。

其中，Yi表示观测到的因变量值，Ŷi表示回归方程预测的因
变量值，Ȳ表示因变量的样本均值。

相关系数R或R^2的取值范围在0到1之间，越接近1表示回归方程对样本数据的拟合程度越好，越接近0表示拟合程度越差。

相关系数的正负号表示自变量和因变量之间的正负相关关系。

需要注意的是，相关系数虽然可以衡量回归方程的拟合程度，但并不能说明因果关系，因此在解释回归分析结果时，需要综合考虑其他因素和背景知识。

线性回归中的相关系数文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]线性回归中的相关系数山东胡大波线性回归问题在生活中应用广泛，求解回归直线方程时，应该先判断两个变量是否是线性相关，若相关再求其直线方程，判断两个变量有无相关关系的一种常用的简便方法是绘制散点图；另外一种方法是量化的检验法，即相关系数法．下面为同学们介绍相关系数法．一、关于相关系数法统计中常用相关系数r来衡量两个变量之间的线性相关的强弱，当x不全为零，y ii也不全为零时，则两个变量的相关系数的计算公式是：r就叫做变量y与x的相关系数（简称相关系数）．说明：（1）对于相关系数r，首先值得注意的是它的符号，当r为正数时，表示变量x，y正相关；当r为负数时，表示两个变量x，y负相关；（2）另外注意r的大小，如果[]r∈，，那么正相关很强；如果[]0.751r∈--，，那10.75么负相关很强；如果(]，或[)r∈，，那么相关性一般；如果0.300.75r∈--0.750.30[]r∈-，，那么相关性较弱．0.250.25下面我们就用相关系数法来分析身边的问题，确定两个变量是否相关，并且求出两个变量间的回归直线．二、典型例题剖析例1测得某国10对父子身高（单位：英寸）如下：（1）对变量y 与x 进行相关性检验；（2）如果y 与x 之间具有线性相关关系，求回归直线方程； （3）如果父亲的身高为73英寸，估计儿子身高．解：（1）66.8x =，67y =，102144794i i x ==∑，102144929.22i i y ==∑，4475.6x y =，24462.24x =，24489y =，10144836.4i i i x y ==∑，所以10i ix ynx yr -=∑80.40.9882.04≈≈， 所以y 与x 之间具有线性相关关系．（2）设回归直线方程为y a bx =+，则101102211010i ii i i x yxyb x x==-=-∑∑44836.4447560.46854479444622.4-=≈-，670.468566.835.7042a y bx =-=-⨯=．故所求的回归直线方程为0.468535.7042y x =+． （3）当73x =英寸时，0.46857335.704269.9047y =⨯+=， 所以当父亲身高为73英寸时，估计儿子的身高约为英寸．点评：回归直线是对两个变量线性相关关系的定量描述，利用回归直线，可以对一些实际问题进行分析、预测，由一个变量的变化可以推测出另一个变量的变化．这是此类问题常见题型．例2 10名同学在高一和高二的数学成绩如下表：其中x 为高一数学成绩，y 为高二数学成绩． （1）y 与x 是否具有相关关系；（2）如果y 与x 是相关关系，求回归直线方程． 解：（1）由已知表格中的数据，利用计算器进行计算得 101710i i x ==∑，101723i i y ==∑，71x =，72.3y =，10151467i i i x y ==∑．102150520ii x==∑，102152541i i y ==∑．0.78=≈．由于0.78r ≈，由0.780.75>知，有很大的把握认为x 与y 之间具有线性相关关系． （2）y 与x 具有线性相关关系，设回归直线方程为y a bx =+，则1011022211051467107172.31.2250520107110i ii i i x yx yb x x==--⨯⨯==≈-⨯-∑∑，72.3 1.227114.32a y bx =-=-⨯=-．所以y 关于x 的回归直线方程为 1.2214.32y x =-．点评：通过以上两例可以看出，回归方程在生活中应用广泛，要明确这类问题的计算公式、解题步骤，并会通过计算确定两个变量是否具有相关关系．。

在线性回归中，r值代表相关系数（Correlation Coefficient），用来衡量两个变量之间的线性关系强度。

相关系数的取值范围在-1到1之间。

-当r接近1时，表示两个变量之间存在强烈的正相关关系；
-当r接近-1时，表示两个变量之间存在强烈的负相关关系；
-当r接近0时，表示两个变量之间没有线性关系。

在线性回归分析中，我们通常希望r值尽可能接近1或-1，因为这表明我们的模型能够很好地解释数据的线性关系。

如果r值接近0，那么线性回归模型可能不是最佳选择，需要考虑其他类型的回归模型，如多项式回归、指数回归等。