多元线性回归方程的建立

多元线性回归方程的建立建立多元线性回归方程，实际上是对多元线性模型（2-2-4）进行估计，寻求估计式（2-2-3）的过程。

与一元线性回归分析相同，其基本思想是根据最小二乘原理，求解使全部观测值与回归值的残差平方和达到最小值。

由于残差平方和（2-2-5）是的非负二次式，所以它的最小值一定存在。

根据极值原理，当Q取得极值时，应满足由（2-2-5）式，即满足（2-2-6）(2-2-6）式称为正规方程组。

它可以化为以下形式（2-2-7）如果用A表示上述方程组的系数矩阵可以看出A是对称矩阵。

则有（2-2-8）式中X是多元线性回归模型中数据的结构矩阵，是结构矩阵X 的转置矩阵。

(2-2-7)式右端常数项也可用矩阵D来表示即因此(2-2-7)式可写成Ab=D （2-2-10）或（2-2-11）如果A满秩（即A的行列式）那么A的逆矩阵A-1存在，则由(2-10)式和(2-11)式得的最小二乘估计为（2-2-12）也就是多元线性回归方程的回归系数。

为了计算方便往往并不先求，再求b，而是通过解线性方程组(2-2-7)来求b。

(2-2-7)是一个有p+1个未知量的线性方程组，它的第一个方程可化为（2-2-13）式中（2-2-14）将（2-2-13）式代入（2-2-7）式中的其余各方程，得（2-2-15）其中（2-2-16）将方程组（2-2-15）式用矩阵表示，则有Lb=F （2-2-17）其中于是b=L-1F （2-2-18）因此求解多元线性回归方程的系数可由（2-2-16）式先求出L，然后将其代回（2-2-17）式中求解。

求b时，可用克莱姆法则求解，也可通过高斯变换求解。

如果把b直接代入（2-2-18）式，由于要先求出L 的逆矩阵，因而相对复杂一些。

例2-2-1 表2-2-1为某地区土壤内含植物可给态磷(y)与土壤内所含无机磷浓度(x1)、土壤内溶于K2CO3溶液并受溴化物水解的有机磷浓度(x2)以及土壤内溶于K2CO3溶液但不溶于溴化物的有机磷(x3)的观察数据。

二、多元线性回归模型在多要素的地理环境系统中，多个（多于两个）要素之间也存在着相互影响、相互关联的情况。

因此，多元地理回归模型更带有普遍性的意义。

（一）多元线性回归模型的建立假设某一因变量y 受k 个自变量k x x x ,...,,21的影响，其n 组观测值为（ka a a a x x x y ,...,,,21），n a ,...,2,1=。

那么，多元线性回归模型的结构形式为：a ka k a a a x x x y εββββ+++++=...22110（3.2.11）式中：k βββ,...,1,0为待定参数； a ε为随机变量。

如果k b b b ,...,,10分别为k ββββ...,,,210的拟合值，则回归方程为ŷ=k k x b x b x b b ++++...22110（3.2.12）式中：0b 为常数；k b b b ,...,,21称为偏回归系数。

偏回归系数i b （k i ,...,2,1=）的意义是，当其他自变量j x （i j ≠）都固定时，自变量i x 每变化一个单位而使因变量y 平均改变的数值。

根据最小二乘法原理，i β（k i ,...,2,1,0=）的估计值i b （k i ,...,2,1,0=）应该使()[]min (2)12211012→++++-=⎪⎭⎫⎝⎛-=∑∑==∧n a ka k a a a na a a xb x b x b b y y y Q （3.2.13）有求极值的必要条件得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∂∂=⎪⎭⎫⎝⎛--=∂∂∑∑=∧=∧n a ja a a jn a a a k j x y y b Q y y b Q 110),...,2,1(0202（3.2.14） 将方程组（3.2.14）式展开整理后得：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++=++++∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑===================na a ka k n a ka n a ka a n a ka a n a ka n a aa k n a ka a n a a n a a a na a na aa k n a ka a n a a a n a a n a a na ak n a ka n a a n a a y x b x b x x b x x b x y x b x x b x b x x b x y x b x x b x x b x b x y b x b x b x nb 11221211101121221221121012111121211121011112121110)(...)()()(...)(...)()()()(...)()()()(...)()( （3.2.15）方程组（3.2.15）式，被称为正规方程组。

多元线性回归模型过程
多元线性回归是一种常用的回归分析模型，它可以用来分析两个或多个自变量之间的线性关系。

下面介绍多元线性回归模型的过程：
一、建立模型
1、观察原始数据：首先要收集需要分析的原始数据，从数据中观察现象背后
的规律来获取有效信息；
2、定义自变量与因变量：根据原始数据形成假设，确定要分析的自变量和因
变量，从而确定要分析的模型；
3、归纳回归方程式：运用最小二乘法解决回归方程，归纳出多元线性回归模型；
二、检验模型
1、显著性检验：检验所选变量是否对因变量有显著影响；
2、线性有效性检验：检验多元线性回归模型的线性有效性，确定拟合数据的完整性；
3、自相关性检验：检验各个自变量间的线性关系是否存在自相关现象；
4、影响因素较差检验：检验因变量的预测值与实际值之间的相对关系；
三、参数估计
1、极大似然估计：根据已建立的多元线性回归模型，可以运用极大似然估计，得出模型中未知参数的点估计值；
2、大致估计：利用已经进行检验的多元线性回归模型，对模型参数进行大致
估计，求出平均偏差平方根，从而估计模型的精确度；
四、分析模型
1、确定因子影响：根据已建立多元线性回归模型，可以求出每个自变量的系数，从而确定影响因变量的主要因素；
2、决定系数：可以利用模型求出每个自变量的决定系数，从而求得因变量对自变量的百分比影响；
3、对因变量施加假设：多元线性回归模型可以根据模型参数影响程度和数据情况，在每个自变量上施加多种假设，以确定模型最合理的假设；
4、模型检验：根据已建立的多元线性回归模型，可以运用张量分析，根据模型的指标，检验模型的被解释力水平，判断模型的有效性。

回归方程是如何建立的？一、回归分析的基本概念回归分析是一种常用的统计工具，用于探究变量之间的关系以及预测未来的趋势。

它通过建立数学模型，研究自变量与因变量之间的函数关系，从而实现对未知数据的预测。

回归方程便是其中最为重要的数学模型，它描述了自变量与因变量之间的关系，并可以据此进行预测和解释。

二、回归方程的建立过程1. 数据收集与整理在建立回归方程之前，首先需要收集相关的数据。

这些数据应当全面、真实地反映自变量和因变量之间的关系，以确保回归分析结果的准确性和可靠性。

之后，需要对数据进行整理和清洗，排除异常值、缺失值等干扰因素，使得数据具备一定的可靠性和精确性。

2. 变量选择与处理在建立回归方程时，需要明确自变量和因变量。

在选择自变量时，应根据实际问题和研究目的进行合理的选择，避免自变量之间的相关性过高，以免产生多重共线性问题。

同时，还可以进行变量的处理，如变量变换、指标构建等，以充分利用数据的信息。

3. 建立回归模型在选择好自变量和因变量之后，可以根据实际问题和数据情况选择适合的回归模型。

常见的回归模型有线性回归、多元线性回归、非线性回归等。

线性回归是最简单和常用的回归模型，它可以通过最小二乘估计法来估计模型参数，进而得到回归方程。

4. 模型评估与拟合完成回归模型的建立后，需要对模型进行评估和拟合。

通过检验回归模型的显著性、解释度和拟合度，可以评判回归模型的合理性和可靠性。

常用的模型评估指标有残差分析、决定系数、方差分析等。

三、回归方程的应用和限制1. 应用范围回归方程可以应用于各个领域，如经济学、社会学、医学等。

它可以用于预测未来的趋势和变化，为决策提供科学依据。

同时，回归方程还可以用于解释因果关系和探究变量之间的关系。

2. 限制与注意事项在应用回归方程时，需要注意以下几个问题。

首先，回归方程是基于当前数据建立的，对于未来数据的预测存在一定的不确定性。

其次，回归方程建立的前提是自变量和因变量之间存在一定的相关性，如果相关性较弱，则回归分析的结果可能不够可靠。