2021版高考数学()一轮复习攻略大题规范满分练(六)

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大题规范满分练(六)

统计与概率综合问题

1.(2018·全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品,检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验,设每件产品为不合格品的概率都为

p,且各件产品是否为不合格品相互独立.

(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f,求f的最大值点p0.

(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.

①若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用

的和记为X,求E(X);

②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下

的所有产品作检验?

【解析】(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=p2(1-p)18.

因此f′

(p)=[2p(1-p)18-18p2(1-p)17]=2p(1-p)17(1-10p)(0

令f′(p)=0,得p=0.1.

当p∈(0,0.1)时,f′(p)>0;

当p∈(0.1,1)时,f′(p)<0.

所以f(p)的最大值点为p0=0.1.

(2)由(1)知,p=0.1.

①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知Y～

B(180,0.1),X=20×2+25Y,即X=40+25Y.

所以E(X)=E(40+25Y)=40+25E(Y)=490.

②如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元.由于E(X)>400,故应该对余下的所有产品作检验.

2.(2018·临沂模拟)共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务,由于其依托“互联网+”,符合“低碳出行”的理念,已越来越多地引起了人们的关注.某部门为了对该城市共享单车加强监管,随机选取了50人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查,并将问卷中的这50人根据其满意度评分值(百分制)按照[50,60),[60,70),…,[90,100]分成5组,请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图所示)来解决下列问题:

频率分布表

组别分组频数频率

第1组[50,60) 8 0.16

第2组[60,70) a ■

第3组[70,80) 20 0.40

第4组[80,90) ■0.08

第5组[90,100] 2 b

合计■■

(1)求出a,b,x的值.

(2)若在满意度评分值为[80,100]的人中随机抽取2人进行座谈,设所抽取的2人中来自第5组的人数记为ξ,求ξ的分布列和数学期望. 【解析】(1)由题意可知,=,解得b=0.04;所以[80,90)内的频数为2×2=4,所以样本容量n==50,a=50-8-20-4-2=16;

又[60,70)内的频率为=0.32,

所以x==0.032.

(2)由题意可知,第4组共有4人,第5组共有2人,所以随机变量ξ的可能取值为0,1,2,

P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,

P(ξ=2)==.

所以ξ的分布列为:

ξ0 1 2

P

所以E(ξ)=0×+1×+2×=.

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