高考数学套用18个规范答题模板-2020版

模板一求函数值例1【2018年理数全国卷II】已知是定义域为的奇函数，满足．若，则A. B. 0 C. 2 D. 50【答案】C【解析】▲模板构建已知函数解析式求函数值,常伴随对函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性的考查,其解题思路如下:【变式训练】【2018年江苏卷】函数满足，且在区间上，则的值为________．模板二函数的图象例2【2018年理数全国卷II】函数的图像大致为A. AB. BC. CD. D【答案】B【解析】为奇函数，舍去A,舍去D;，所以舍去C；因此选B.▲模板构建有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．结合导数解答此类问题的基本要点如下:【变式训练】【2018年全国卷Ⅲ文】函数的图像大致为模板三 函数的零点问题例3 【2018届北京市十一学校3月零模】已知函数()131,2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭那么在下列区间中含有函数()f x 零点的是（ ） A. 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. 2,13⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B▲模板构建 利用零点存在性定理可以根据函数y=f(x)在某个区间端点处函数值的符号来确定零点所在区间.这种方法适用于不需要确定零点的具体值,只需确定其大致范围的问题.基本的解题要点为:【变式训练】【2018年江苏卷】若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________．模板四三角函数的性质例4【2018届福建省漳州市5月测试】已知函数（，），满足，且对任意，都有．当取最小值时，函数的单调递减区间为（）A. ，Z B. ，ZC. ，ZD. ，Z【答案】A【解析】那么，函数，当时，取得最小值，，，即函数，令，得，所以，函数的单调递减区间为：，,故选A.▲模板构建 在利用三角函数的性质求最值或值域时,要注意:(1)先确定函数的定义域;(2)将已知函数化简为y=Asin(ωx+φ)+k 的形式时,尽量化成A>0,ω>0的情况;(3)将ωx+φ视为一个整体.解题思路为:【变式训练】【2018辽宁省凌源市模拟】已知函数()2cos 3sin sin 2f x x x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最小值与最大值之和为__________． 模板五 三角函数的图象变换 例5.将函数()2sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标缩小为原来的12，再向右平移φ(φ>0)个单位后得到的图象关于直线2x π=对称，则φ的最小值是( )A. 4πB. 3πC. 34πD. 38π【答案】D▲模板构建 三角函数图象变换的主要类型:在x 轴方向上的左、右平移变换,在y 轴方向上的上、下平移变换,在x 轴或y 轴方向上的伸缩变换.其基本步骤如下:【变式训练】【2018湖南省长郡中学模拟】为了得到函数2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需把函数cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（ ）A. 向左平移2π个单位长度 B. 向右平移2π个单位长度C. 向左平移4π个单位长度D. 向右平移4π个单位长度模板六 解三角形例6【2018年理数全国卷II 】在中，，，，则A.B.C.D.【答案】A▲模板构建 利用正弦定理、余弦定理都可以进行三角形的边、角之间的互化,当已知三角形的两边及一边的对角,或已知两角及一角的对边时,可以利用正弦定理求解三角形中的有关量;如果已知三边或两边及其夹角,则可利用余弦定理进行求解.其基本思路如下:【变式训练】【2018河南省南阳市第一中学模拟】在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为(),,,sin cos cos 3cos a b c B a B b A c B +=.（1）求B ；（2）若23,b ABC =∆的面积为23，求ABC ∆的周长. 模板七 利用函数性质解不等式例7已知定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞上递减且()10f =，则不等式()414log log 0f x f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭的解集为__________． 【答案】1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦▲模板构建 函数性质法主要适用于解决抽象函数对应的不等式问题.其解题要点如下:【变式训练】【2018届广东省模拟（二）】已知函数，当时，关于的不等式的解集为__________．模板八 利用基本不等式求最值 例8．【2018广西钦州质量检测】已知（，为正实数），则的最小值为__________． 【答案】【解析】∵a ，b ∈R+，a+4b=1 ∴=≥，当且仅当，即a=2b 时上述等号成立，故答案为：9▲模板构建 拼凑法就是将函数解析式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求最值.应用此法求最值的基本思路如下:【变式训练】已知,x y +∈R ,且满足22x y xy +=,那么34x y +的最小值为____. 模板九 不等式恒成立问题例9【2018年天津卷文】已知a∈R，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a 的取值范围是__________． 【答案】［，2］ 【解析】▲模板构建 分离参数法是求解不等式恒成立问题的常用方法,其解题要点如下:【变式训练】【2018河南省中原名校联考】已知函数()()1ln ,0mf x x m x m x=-+->，当[]1,x e ∈时， ()0f x >恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A.10,2⎛⎫⎪⎝⎭B. ()1,+∞ C. ()0,1 D.1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭模板十简单的线性规划问题例10【2018年理北京卷】若x,y满足，则2y−x的最小值是_________.【答案】3【解析】不等式可转化为，即，满足条件的在平面直角坐标系中的可行域如下图令，由图象可知，当过点时，取最小值，此时，的最小值为.▲模板构建线性规划问题是指在线性约束条件下求解线性目标函数的最值问题,解决此类问题最基本的方法是数形结合法.其基本的解题步骤如下:【变式训练】【河南省2018年高考一模】设不等式组表示的平面区域为D，若圆C：不经过区域D上的点，则r的取值范围为A． B．C． D．模板十一数列的通项与求和例11【2018年专家猜题卷】数列的前项和为，已知，.（Ⅰ）证明：数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的前项和.【答案】(1)见解析;(2).【解析】（1）证明：∵，∴，∴，又，∴，∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）知，，∴，∴，①. ②①-②得，∴.▲模板构建数列的通项与求和问题的解题步骤如下:【变式训练】【2018年理数天津卷】设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，.（I）求和的通项公式；（II）设数列的前n项和为，（i）求；（ii）证明.模板十二空间中的平行与垂直例12【2018年江苏卷】在平行六面体中，．求证：（1）；（2）．【答案】见解析【解析】证明：（1）在平行六面体ABCD-A 1B1C1D1中，AB∥A1B1．因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C．▲模板构建 证明空间中的平行与垂直的步骤如下:【变式训练】【2018南京市、盐城市一模】如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中， CA CB =，点,M N 分别是11,AB A B 的中点.（1）求证： BN ∥平面1A MC ； （2）若11A M AB ⊥，求证： 11AB A C ⊥.模板十三 求空间角例13【2018吉林省实验中学模拟】如图， AB 为圆O 的直径，点E ， F 在圆O 上， //AB EF ，矩形ABCD 和圆O 所在的平面互相垂直，已知2AB =， 1EF =． （Ⅰ）求证：平面DAF ⊥平面CBF ；（Ⅱ）当AD 的长为何值时，二面角D FE B --的大小为60︒．（Ⅱ）设EF 中点为G ，以O 为坐标原点， OA OG AD 、、方向分别为x 轴、y 轴、z 轴方向建立空间直角坐标系（如图）．设(0)AD t t =>，则点D 的坐标为()1,0,t ，则()1,0,C t -，又()()131,0,0,1,0,0,,,022A B F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，∴，因此，当AD 的长为64时，平面DFC 与平面FCB 所成的锐二面角的大小为60°.▲模板构建 空间角的求解可以用向量法.向量法是通过建立空间直角坐标系把空间图形的几何特征代数化,避免寻找角和垂线段等诸多麻烦,使空间点、线、面的位置关系的判定和计算程序化、简单化,具体步骤如下:【变式训练】在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是正方形，且12BC BB ==， 1160A AB A AD ∠=∠=︒．（1）求证： 1BD CC ⊥；（2）若动点E 在棱11C D 上，试确定点E 的位置，使得直线DE 与平面1BDB 所成角的正弦值为714． 模板十四 直线与圆的位置关系例14【2018四川省绵阳市南山中学模拟】若圆2244100x y x y ++--=上至少有三个不同的点到直线:0l ax by +=的距离为22，则直线l 的斜率的取值范围是（ ） A. 23,23⎡⎤-+⎣⎦ B. 23,32⎡⎤---⎣⎦C. 23,23⎡⎤--+⎣⎦D. 23,23⎡⎤---⎣⎦【答案】B【解析】圆2244100x y x y ++--=可化为()()222218x y ++-= 则圆心为（-2，2），半径为32，1+240b b a a ⎛⎫⎛⎫-⨯≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由直线l 的斜率k=-a b 则上式可化为k 2+4k+1≤0解得2323k --≤≤-+ 故选B▲模板构建 几何法是通过比较圆心到直线的距离与圆的半径的大小来确定直线和圆的位置关系的方法,其基本步骤如下:【变式训练】【2018北京市丰台区模拟】已知直线210x y --=和圆()2211x y -+=交于,A B 两点，则AB =__________．模板十五 圆锥曲线中的最值与范围问题例15【2018辽宁省凌源模拟】知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为3，且过点33,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.过椭圆C 右焦点且不与x 轴重合的直线l 与椭圆C 交于()()1122,,,P x y Q x y 两点，且120y y +≠. （1）求椭圆C 的方程；（2）若点1Q 与点Q 关于x 轴对称，且直线1Q P 与x 轴交于点R ，求RPQ ∆面积的最大值.【解析】（I )依题意， 22222393{1, 4,c a a ba b c =+==+解得3,3,3a b c ===，故椭圆C 的方程为221123x y +=； （2）依题意，椭圆右焦点F 坐标为()3,0，设直线():30l x my m =+≠，直线l 与椭圆C 方程联立223,{ 1,123x my x y =++= 化简并整理得()224630m y my ++-=， ∴12122263,44m y y y y m m +=-=-++， 由题设知直线1Q P 的方程为()121112y y y y x x x x +-=--，令0y =得()()()11212211221112121233y x x my y my y x y x y x x y y y y y y -++++=-==+++ 22643464m m m m -+=+=-+，∴点(当且仅当22911m m +=+即2m =±时等号成立) ∴RPQ ∆的面积存在最大值，最大值为1.▲模板构建 与圆锥曲线有关的最值问题的变化因素多,解题时需要在变化的过程中掌握运动规律,抓住主变元,目标函数法是避免此类问题出错的法宝,应注意目标函数式中自变量的限制条件(如直线与椭圆相交,Δ>0等).解题步骤如下:【变式训练】【2018·合肥市质检】已知点F 为椭圆E ： 22221x y a b+= (a >b >0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线142x y+=与椭圆E 有且仅有一个交点M . (1)求椭圆E 的方程； (2)设直线142x y +=与y 轴交于P ，过点P 的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，若λ|PM |2＝|PA |·|PB |，求实数λ的取值范围．模板十六 圆锥曲线中的探索性问题例16【2018届河南省师范大学附属中学高三8月开学】已知椭圆的右焦点为，为椭圆的上顶点，为坐标原点，且是等腰直角三角形.（1）求椭圆的方程；（2）是否存在直线交椭圆于两点，且使为的垂心（垂心：三角形三条高的交点）？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）【解析】（1）由△OMF是等腰直角三角形得b=1，a =故椭圆方程为（2）假设存在直线l交椭圆于P,Q两点，且使F为△PQM的垂心设P（,）,Q（,）因为M（0,1），F（1,0），故，故直线l的斜率于是设直线l的方程为由得由题意知△＞0，即＜3，且由题意应有，又故解得或经检验，当时，△PQM不存在，故舍去；当时，所求直线满足题意综上，存在直线l，且直线l的方程为▲模板构建圆锥曲线中的探索性问题在高考中多以解答题的形式呈现,常用假设存在法求解,其解题要点如下:【变式训练】【2018届广西柳州市高三上学期摸底】已知过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F ，斜率为2的直线交抛物线于()()()112212,,,A x y B x y x x <两点，且6AB =.（1）求该抛物线C 的方程；（2）已知抛物线上一点(),4M t ，过点M 作抛物线的两条弦MD 和ME ，且MD ME ⊥，判断直线DE 是否过定点？并说明理由. 模板十七 离散型随机变量例17【2018辽宁省凌源市模拟】共享单车因绿色、环保、健康的出行方式，在国内得到迅速推广.最近，某机构在某地区随机采访了10名男士和10名女士，结果男士、女士中分别有7人、6人表示“经常骑共享单车出行”，其他人表示“较少或不选择骑共享单车出行”.（1）从这些男士和女士中各抽取一人，求至少有一人“经常骑共享单车出行”的概率；（2）从这些男士中抽取一人，女士中抽取两人，记这三人中“经常骑共享单车出行”的人数为X ，求X 的分布列与数学期望.▲模板构建 公式法就是直接利用古典概型、互斥事件、对立事件、相互独立事件以及独立重复试验、条件概率等的求解方法或计算公式求解离散型随机变量的概率的方法.其基本步骤如下:【变式训练】某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API （Air Pollution Index ）的监测数据，结果统计如下：API[0,50] (50,100] (100,150] (150,200] (200,250] (250,300] 大于300空气质量 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染中度重污染重度污染天数 10 15 20 30 7 6 12（Ⅰ）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有7天为重度污染，完成下面22⨯列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？ 非重度污染 重度污染 合计 供暖季 非供暖季 合计10020P(K )k ≥ 0.250.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k1.3232.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828附： ()()()()()22K n ad bc a b c d a c b d -=++++（Ⅱ）政府要治理污染，决定对某些企业生产进行管控，当API 在区间[]0,100时企业正常生产；当API 在区间(]100,200时对企业限产30%（即关闭30%的产能），当API 在区间(]200,300时对企业限产50%，当API在300以上时对企业限产80%，企业甲是被管控的企业之一，若企业甲正常生产一天可得利润2万元，若以频率当概率，不考虑其他因素：①在这一年中随意抽取5天，求5天中企业被限产达到或超过50%的恰为2天的概率；②求企业甲这一年因限产减少的利润的期望值．模板十八线性回归方程例18【2018年理数全国卷II】下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型①：；根据2010年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型②：．（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．【答案】（1）利用模型①预测值为226.1，利用模型②预测值为256.5，（2）利用模型②得到的预测值更可靠．【解析】（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为=–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为=99+17.5×9=256.5（亿元）．（2）利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下：（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30.4+13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．▲模板构建线性回归方程常用来预估某变量的值,因此选择恰当的拟合函数是解题的关键,一般解题要点如下:(1)作图.依据样本数据画出散点图,确定两个变量具有线性相关关系.(2)计算.计算出,,,xiyi的值;计算回归系数,.(3)求方程.写出线性回归直线方程y=x+.【变式训练】【2018湖南省长沙市第一中学模拟】2017年4月1日，新华通讯社发布：国务院决定设立河北雄安新区.消息一出，河北省雄县、容城、安新3县及周边部分区域迅速成为海内外高度关注的焦点.（1）为了响应国家号召，北京市某高校立即在所属的8个学院的教职员工中作了“是否愿意将学校整体搬迁至雄安新区”的问卷调查，8个学院的调查人数及统计数据如下：调查人数(x)1020304050607080愿意整体搬迁人数817253139475566(y)=+（b保留小数点后请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量y关于变量x的线性回归方程y bx a两位有效数字）；若该校共有教职员工2500人，请预测该校愿意将学校整体搬迁至雄安新区的人数；（2）若该校的8位院长中有5位院长愿意将学校整体搬迁至雄安新区，现该校拟在这8位院长中随机选取4位院长组成考察团赴雄安新区进行实地考察，记X为考察团中愿意将学校整体搬迁至雄安新区的院长人数，求X的分布列及数学期望.参考公式及数据：882122111,ˆˆ,16310,20400·ni iiii ini iiix y n x yb a y b x x y xx n x====-⋅⋅==-⋅==-∑∑∑∑.答案部分模板一求函数值【变式训练】【答案】【解析】分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果.详解：由得函数的周期为4，所以因此模板二函数的图象【变式训练】【答案】D【解析】当时，，排除A,B.,当时，,排除C故正确答案选D.模板三函数的零点问题【变式训练】【答案】–3【解析】分析：先结合三次函数图象确定在上有且仅有一个零点的条件，求出参数a,再根据单调性确定函数最值，即得结果.详解：由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以，模板四三角函数的性质【变式训练】【答案】1 2 -模板五三角函数的图象变换【变式训练】【答案】C【解析】故选C模板六解三角形【变式训练】【解析】（1）由题意及正弦定理得()sin sin cos sin cos3sin cosB A B B AC B+=，()sin sin sin sin3sin cosB A B BC C B ∴+==，()0,Cπ∈，sin0C∴>，sin3cosB B∴=，∴tan3B=∴2220a c +=，∴()222236a c a c ac +=++=，6a c ∴+=，又23b =，ABC ∴∆的周长为623+.模板七 利用函数性质解不等式 【变式训练】【答案】【解析】 当时，是上的增函数，且，所以可以转化为，结合函数的单调性，可以将不等式转化为，解得，从而得答案为.模板八 利用基本不等式求最值 【变式训练】【答案】526+ 【解析】由22x y xy +=，得1112x y+=． ∴()1134342x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭=4355262y x x y ++≥+．当且仅当432y xx y =且22x y xy +=时等号成立．∴34x y +的最小值为526+模板九 不等式恒成立问题 【变式训练】【答案】C【解析】记函数()f x 在[]1,e 上的最小值为()g m : ()()1ln mf x x m x x=-+-的定义域为()0,+∞. ()211m mf x x x++'=-. 令()0f x '=，得m x =或1x =.①0m 1<≤时，对任意的1x e <<,()0f x '>， ()f x 在[]1,e 上单调递增， ()f x 的最小值为()11m f =-②当1m e <<时，()f x 的最小值为()()m m 1m 1lnm f =--+;故实数m 的取值范围为()0,1. 故选C.模板十 简单的线性规划问题 【变式训练】【答案】A 【解析】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的及其内部，其中，，圆：表示以为圆心，半径为的圆，由图可得，当半径满足或时，圆不经过区域上的点，，当或时，圆不经过区域上的点，故选模板十一数列的通项与求和【变式训练】【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)（i）.（ii）证明见解析.【解析】（I）设等比数列的公比为q.由可得.因为，可得，故.设等差数列的公差为d，由，可得由，可得从而故所以数列的通项公式为，数列的通项公式为（II）（i）由（I），有，故.（ii）因为，所以.模板十二空间中的平行与垂直【变式训练】【答案】见解析【解析】证明：（1）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以11//AB A B ，且11AB A B =， 又点,M N 分别是11,AB A B 的中点，所以1MB A N =，且1//MB A N ．则由侧面11ABB A ⊥底面ABC ，侧面11ABB A ⋂底面ABC AB =，CM AB ⊥，且CM ⊂底面ABC ，得CM ⊥侧面11ABB A ．又1AB ⊂侧面11ABB A ，所以1AB CM ⊥． 又11AB A M ⊥， 1,A M MC ⊂平面1A MC ，且1A M MC M ⋂=，所以1AB ⊥平面1A MC ．又1AC ⊂平面1A MC ，所以11AB A C ⊥． 模板十三 求空间角【变式训练】【解析】（1）连接1A B ， 1A D ， AC ， 因为1AB AA AD ==， 1160A AB A AD ∠=∠=︒， 所以1A AB ∆和1A AD ∆均为正三角形， 于是11A B A D =．设AC 与BD 的交点为O ，连接1A O ，则1A O BD ⊥， 又四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥， 而1AO AC O ⋂=，所以BD ⊥平面1A AC ．所以OA 、OB 、1OA 两两垂直．如图，以点O 为坐标原点， OA 的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -， 则()1,0,0A ， ()0,1,0B ， ()0,1,0D -， ()10,0,1A ， ()1,0,0C -， ()0,2,0DB =， ()111,0,1BB AA ==-， ()111,1,0D C DC ==-，由()111,0,1DD AA ==-，易求得()11,1,1D --． 设111D E DC λ=（[]0,1λ∈）， 则()()1,1,11,1,0E E E x y z λ++-=-，即()1,1,1E λλ---， 所以()1,,1DE λλ=--．模板十四 直线与圆的位置关系【变式训练】【答案】2模板十五 圆锥曲线中的最值与范围问题【变式训练】【解析】 (1)由题意，得a ＝2c ，b ＝3c ，则椭圆E 为2222143x y c c+=.∵直线142x y+=与y 轴交于P (0,2)， ∴|PM |2＝54，当直线l 与x 轴垂直时，|PA |·|PB |＝(2＋3)×(2－3)＝1， ∴λ|PM |2＝|PA |·|PB |⇒λ＝45， 当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由222{ 34120y kx x y =++-=⇒(3＋4k 2)x 2＋16kx ＋4＝0， 依题意得，x 1x 2＝2434k+，且Δ＝48(4k 2－1)>0，∴|PA |·|PB |＝(1＋k 2)x 1x 2＝(1＋k 2)·2434k +＝1＋2134k +＝54λ， ∴λ＝45 (1＋2134k+)， ∵k 2>14，∴45<λ<1.综上所述，λ的取值范围是[45，1)． 模板十六 圆锥曲线中的探索性问题【变式训练】【答案】（1）24y x =（2）()8,4-【解析】（1）拋物线的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭ ，∴直线AB 的方程为: 2p y x ⎫=-⎪⎭.联立方程组22{ 2y pxp y x =⎫=-⎪⎭，消元得: 22204p x px -+=， ∴212122,4p x x p x x +==.∴6AB ===解得2p =.∴抛物线C 的方程为： 24y x =.（2）由（1）可得点()4,4M ，可得直线DE 的斜率不为0， 设直线DE 的方程为： x my t =+， 联立2{4x my ty x=+=，得2440y my t --=， 则216160m t ∆=+>①.设()()1122,,,D x y E x y ，则12124,4y y m y y t +==-. ∵()()11224,44,4MD ME x y x y ⋅=--⋅--()()12121212416416x x x x y y y y =-+++-++()2222121212124164164444y y y y y y y y ⎛⎫=⋅-+++-++ ⎪⎝⎭ ()()()2212121212343216y y y y y y y y =-++-++22161232160t m t m =--+-=即2212321616t t m m -+=+，得： ()()226421t m -=+， ∴()6221t m -=±+，即48t m =+或44t m =-+， 代人①式检验均满足0∆>，∴直线DE 的方程为： ()4848x my m m y =++=++或()44x m y =-+. ∴直线过定点()8,4-（定点()4,4不满足题意，故舍去）. 模板十七 离散型随机变量 【变式训练】【解析】（Ⅰ）根据以上数据得到如下列联表： 非重度污染 重度污染 合计 供暖季 23 7 30 非供暖季 65 5 70 合计 8812100()22100657235 5.213 3.84188127030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，②企业甲这一年的利润的期望值为25750365(2210010100⨯⨯+⨯⨯ 11311222)502.9721005100+⨯⨯+⨯⨯=万元，故企业甲这一年因限产减少的利润的期望值是3652502.97227.03⨯-=万元． 模板十八 线性回归方程 【变式训练】【解析】（1）由已知有 1221163108453645,36,0.820400845ˆ54ni i i n i i x y n x y x y b x n x==-⋅⋅-⨯⨯====≈-⨯⨯-⋅∑∑， 360.80450a =-⨯=,故变量 y 关于变量 x 的线性回归方程为0.8y x =，所以当 2500x =时，25000.802000y =⨯=.（2）由题意可知X 的可能取值有1，2,3,4.()()132253534488131,2147C C C C P X P X C C ⋅⋅======，()()2145354488313,4714C C C P X P X C C ⋅======. 所以 X 的分布列为()1331512341477142E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。