电子科大微波第三章传输线和波导

3.1.2 TE波
由亥姆霍兹方程：
3.1.3 TM 波由亥姆霍兹方程：
因为：
因为：
上式简化为 ：
(3.2 1)
上式简化为 ：
(3.2 5)
对于TE，TM波而言， ,传播常数
是频率和传输线或波导的几何尺寸
的函数，反映了由波源进入的微波信号在某一确定传输系统中的传输情况，即导行
波的传播特征。
需要根据特定的边界条件求解 截止波数 kc决。定了电磁场在传输系统中的模型或场型，这反映了传输系统的 物质，形状和尺寸对电磁能量的束缚作用。
分析TE、TM波的过程 ：
1. 求解关于hz或ez的亥姆霍兹方程（3.21）或（3.25）。解包含若干未知量和 未知的截止波数kc 。
2. 利用式（3.19）和（3.23），由hz或ez计算横向场。
3. 把边界条件应用于相应的场分量，求出未知常数和kc。
4. 传播常数由式（3.6）给出，波阻抗由式（3.22）或（3.26）给出。
➢早期的微波系统主要使用波导和同轴线作为传输线，波导功率容量高，损耗低， 但体积大，价格昂贵；同轴线工作频带宽，但难于制作微波元件。
➢于是有了第二次世界大战中带状同轴线和1952年微带线的出现以及后来更多平 面传输线（槽线、鳍线、共面波导）的出现。
3.1 TEM、TE和TM波的通解
TEM波： Transverse Electronicmagnetic Wave TE 波： Transverse Electric Wave TM 波： Transverse Magnetic Wave
本节思路 ：
1.利用麦克斯韦方程，得到由纵向分量表示的电磁场横向分量 。
2.根据TEM、TE和TM波纵向场的特征，根据1中的关系式写 出
这三种电磁波沿z方向传播时的电磁场表达式。
普
封
通
闭
双
式
导
波
体
导
具有平行于z轴方向导体边界的任意传输线和波导结构，假设z方向均
匀且无限长，导体为理想导体。沿z方向传播的时谐电磁场（ejωt）可写
为：
＋z方向传播，
(3.1a)
－β→β可得－z方向传播
(3.1b)
存在损耗时
γ=α+jβ → jβ
对于无源传输线或波导而言，麦克斯韦方程可写为：
(3.2a) (3.2b )
思路：
利用纵向场表 示横向场
(3.3a)
(3.3b )
(3.3c )
(3.4a)
(3.4b )
(3.4c )
利用Ez和Hz，四个横向场分量可表示为：
（3.35）
（3.36）
上板相对于下板的电压 ：
因此，特性阻抗 为：
相 速：
上板的总电流：
依赖于波导几何尺 寸和材料参数的常数 。
与光在材料媒质中 的速度相同。
3.2.2 TM波
Hz=0，Ez≠0，W>>d, 认为在x方向电场无变化
波方程简化为 ：
（3.41）
其通解 ：
（3.42）
边界条 件：
则 ：
3.1.2 TE波
横电波(H波)
3.1.3 TM 波 横磁波(E波
)
式（3.5）简化为 ：
(3.19a)
(3.23a)
(3.19b)
(3.23b)
(3.19c)
(3.23c)
(3.19d)
波阻抗为：
(3.23d)
(3.2 2)
(3.2 6)
与频率有关，可以存在于封闭导体内，也可在两个或更多导体之间形成。
(3.5a)
(3.5b )
(3.5c )
(3.5d )
其中
截止波
，
数
式（3.5a~d）对于边界条件平行于z轴的时谐系统而言具有普适性
。
3.1.1 TEM波
横电磁波(Transverse Electromagnetic Wave)
(3.3a) (3.4b )
消去Hx
对于Ex的亥姆霍兹方程而言：
对于 的依赖关系 ：
本征 值
本征函 数
传播模式和场型
决定了电磁场在传输系统中的模式或场型。这反映了传输系统的物质、 形状和几何尺寸对电磁能量的束缚作用。
➢
意义:（传播状态）
方程中β由
和k决定，这反映了由波源进入的微波信号（ω、λ），
在某一确定传输系统中的传输情况，即反映了导行波的传播特征。如：纵 向场的分布和信号能量纵向推进的快慢。
(3.9)式简化 为：
同理可得：
(3.9)
(3.10 )
根Fra Baidu bibliotek（3.1a）
得 ： 其中，
(3.11
) 是横向二维拉普拉斯算子。
TEM波的 横向电场满 足拉普拉斯 方程。
同理横向磁场也满足拉普拉斯方程
：
(3.12
TEM波的横向场与存在于导体间的静电)场相同。
若采用静电情况 下的标势来表示电 场：
其中，
电子科大微波第三章传输线 和波导
引言：
➢低耗传输微波功率的波导和其它传输线的出现是微波工程早期的里程碑之一。
➢瑞利于1897年建立了金属波导管内电磁波的传播理论，纠正了亥维赛关于没有 内导体的空心金属管内不能传播电磁波的错误理论。
➢40年后的1936年，索思沃思和巴罗等人发表了有关波导传播模式的激励和测量 方面的文章后，波导才有了重大的发展。
是二维梯度算子。
标 势(3.13
)
可以证明， 也满足拉普拉斯方程。
(3.14
) 由于闭合导体各部分的静电势相同，根据式（3.13）可知，电 场为零，因此单一导体不能支持TEM波。只有当两个或更多的导 体存在时，TEM波才能够存在。
因此，对于TEM波的求解可以转换为对静电场问题的求解 ：
(3.15) (3.16)
y = 0，d B=0，kcd = nπ，n = 0,1,2,3…
因此 ，
传播常数β
离散 值
（3.45）
则纵向场 ：
横向场分布 ：
（3.46）
（3.47）
（3.48a ）
（3.48b ）
（3.48c ）
➢ 意义： 特定边界条件下偏微分方程
本征值对应的一系列本征函数
的本征 值。 ， 是纵向电场的场分布函数。
3.1.4 由电介质损耗引起的衰 减
有时，为了减小波导的体积尺寸，将会在其内部填充介质。 由介质引起的衰减可写为：
对于TEM波也适用，此时
若导体损耗引起的衰减 为
总的衰减常数为：
3.2 平行平板波导
W >> d,
填充材料：μ ，ε
3.2.1 TEM波
求解静电势的拉普拉斯方程并由边界条件得出电场和磁场 ：
(3.17)
(3.18)
分析TEM波的过程：
1. 求解拉普拉斯方程（3.14）得到标势。解包含若干未知量。 2. 对于导体上的电压应用边界条件，求得未知量。 3. 由式（3.13）和（3.1a）计算电场，由式（3.18）和（3.1b）计算磁场。 4. 由式（3.15）计算V，由式（3.16）计算I。 5. 传播常数由式（3.8）给出，特征阻抗由Z0=V/I给出