频率特性和时域性能指标的关系

5.7 频域性能指标和时域性能指标的关系频率响应法是通过系统的开环频率特性和闭环频率特性的一些特征量间接地表征系统的瞬(暂)态响应的性能，因而这些特征量又被称为频域性能指标。

常用的频域性能指标有幅值裕度、相位裕度、谐振峰值、谐振频率和频带宽度等。

虽然这些指标没有时域性能指标那样直观，但在二阶系统中，它们与时域性能指标有着确定的对应关系，对于高阶系统，也有近似的关系。

5.7.1频域指标和二阶系统的过渡过程指标设二阶单位反馈系统的方框图如图5-80所示。

图 5-80 二阶单位反馈系统的方框图此系统的闭环传递函数为2222)()(nn n s s s X s Y ωξωω++= 其中ξ为阻尼比，n ω为无阻尼自然振荡频率。

令s j =ω代入上式，可得系统的闭环频率响应为:ja n nM j j X j Y e 2)1(1)()(22=+-=ωωξωωωω式中 M nn =-+1122222()()ωωξωω2212a r c t a n nn ωωωωξα--= 根据式(5-67)可知，当00707≤≤ξ.时，在谐振频率ωr 处，M 出现峰值ωωξr n =-122M r =-1212ξξ二阶系统的闭环频率特性如图5-81所示。

图 5-81 图5-80所示系统的闭环频率特性对于二阶系统，在012≤<ξ时，频率特性的谐振峰值M r 可以反映系统的阻尼系数ξ，而其谐振频率ωr 可以反映给定ξ对应的自然频率ωn ,从而也能反映响应速度。

这样就可把二阶系统闭环频率特性的M r 和ωr 当作性能指标用。

系统的频带宽度(带宽)由图5-81可见，当ωω>r 时，闭环频率特性的幅值M 单调下降。

当闭环频率特性的幅值下降到707.021==M 时，或者说，当闭环频率特性的分贝值下降到零频率时分贝值以下3分贝时，对应的频率ωb 称为截止频率，又称带宽频率。

此时有b j M j M ωωω>-<3)0(lg 20)(lg 20对于0)0(lg 20=j M ，有b j M ωωω>-<3)(lg 20系统对频率高于ωb 的输入衰减很大，只允许频率低于ωb 的输入通过。

1. 简述频域和时域的关系
频域和时域是信号处理中两个非常重要的概念。

时域描述信号的时间特性，而频域描述信号的频率特性。

频域和时域之间有密切的关系，通过一定的变换可以将时域信号转换到频域，或将频域信号转换为时域信号。

时域信号是指信号在时间域上的变化。

它可以用函数表示，在时域上，函数的取值代表信号随时间变化时的幅度和相位。

时域序列具有很高的信息密度，可以用于对时间和相位的细微变化进行分析。

频域信号是指信号在频域上的变化。

在频域上，信号可以表示为复数形式的幅度和相位。

频域信号的频率分量可以通过傅里叶变换转换为时域信号。

频域序列可以在不同的频率范围内分析各种性质。

例如，谐波分析可以通过傅里叶变换来识别频域信号中存在的特定频率成分。

时域和频域之间的关系可以通过快速傅里叶变换（FFT）来描述。

FFT可以将时域信号转换为频域信号，并根据相同的时间域样本大小从频域中抽取频率分量。

转换后，在频域的每个频率值上都有一个振幅和相位。

类似地，通过逆傅里叶变换（IFFT），可以将频域信号转换回时域。

在实际的应用中，频域和时域经常被同时使用。

进行频域分析可以帮助确定系统的频率响应、传递函数以及其他系统特性。

时域分析通常用于调节系统，例如调整增益、滤波器参数等等。

因此，了解频域和时域的关系非常重要，可以帮助我们更深入的理解信号处理技术的原理以及它们的应用。

5-6 开环对数频率特性和时域指标根据系统开环对数频率特性对系统性能的不同影响，将系统开环对数频率特性分为三个频段。

即低频段、中频段和高频段。

一、 低频段低频段通常是指开环对数幅频特性的渐近曲线在第一个交接频率以前的频段，这一频段完全由开环传递函数中的积分环节和放大环节所决定。

低频段的对数幅频为ωωωωlg 20lg 20lg 20)()(lg 20⨯-==v K Kj H j G v (5-32)式中v 为开环传递函数中的积分环节数。

根据式(5-32)及积分环节数，就可作出开环对数幅频特性曲线的低频段，如图5-39所示。

若已知低频段的开环对数幅频特性曲线，则很容易得到K 值和积分环节数v ，故低频段的频率特性决定了系统的稳态性能。

二、中频段中频段是指开环对数幅频特性曲线截止频率c ω附近的频段。

这决定系统的稳定程度，即决定系统的动态性能。

设有二个系统，均为最小相位系统，它们的开环对数幅频特性曲线除中频段的斜率不同(即一个为20-dB/dec,另一个为40-dB/dec) 之外， 其余低频、 高频段均相同。

并且中频段相当长，如图5-40 所示。

显然，系统(a)有将近90°的相裕量，而系统(b)则相裕量很小。

假定另有二个系统， 均为最小相位系统， 开环对数幅频特性曲线除中频段 (斜率为 -20 dB/dec ) 线段的长度不同外， 其余部分完全相同， 如图 5-41 所示。

显然， 中频段线段较长的系统 (a) 的相裕量将大于中频段线短的系统(b)。

可见，开环对数幅频特性中频段斜率最好为20-dB/dec ，而且希望其长度尽可能长些，以确保系统有足够的相角裕量。

如果中频段的斜率为40-dB/dec 时，中频段占据的频率范围不宜过长，否则相裕量会很小；若中频段斜率更小(如60-dB/dec)，系统就难以稳定。

另外，截止频率c ω越高，系统复现信号能力越强，系统快速性也就越好。

三、 高频段高频段是指开环对数幅频特性曲线在中频段以后的频段(一般c ωω10>的频段)。

控制系统时域与频域性能指标的联系经典控制理论中,系统分析与校正方法一般有时域法、复域法、频域法.时域响应法是一种直接法，它以传递函数为系统的数学模型,以拉氏变换为数学工具，直接可以求出变量的解析解.这种方法虽然直观，分析时域性能十分有用，但是方法的应用需要两个前提,一是必须已知控制系统的闭环传递函数,另外系统的阶次不能很高。

如果系统的开环传递函数未知，或者系统的阶次较高,就需采用频域分析法。

频域分析法不仅是一种通过开环传递函数研究系统闭环传递函数性能的分析方法,而且当系统的数学模型未知时，还可以通过实验的方法建立。

此外，大量丰富的图形方法使得频域分析法分析高阶系统时，分析的复杂性并不随阶次的增加而显著增加。

在进行控制系统分析时，可以根据实际情况，针对不同数学模型选用最简洁、最合适的方法,从而使用相应的分析方法，达到预期的实验目的.系统的时域性能指标与频域性能指标有着很大的关系，研究其内在联系在工程中有着很大的意义.一、系统的时域性能指标延迟时间t d阶跃响应第一次达到终值h （∞）的50％所需的时间上升时间t r阶跃响应从终值的10%上升到终值的90%所需的时间;对有振荡的系统，也可定义为从0到第一次达到终值所需的时间峰值时间tp阶跃响应越过终值h （∞)达到第一个峰值所需的时间调节时间ts阶跃响应到达并保持在终值h （∞)的±5％误差带内所需的最短时间超调量%σ 峰值h(tp）超出终值h(∞）的百分比，即%σ=()()()∞∞-h h h t p ⨯100%二、系统频率特性的性能指标采用频域方法进行线性控制系统设计时,时域内采用的诸如超调量,调整时间等描述系统性能的指标不能直接使用，需要在频域内定义频域性能指标。

1、零频振幅比M （0)：即ω为0时闭环幅频特性值。

它反映了系统 的稳态精度， M(0）越接近于1，系统的精度越高.M(0）≠1时，表明系统有稳态误差。

2、谐振峰值Mr ：为幅频特性曲线的A （ω）的最大值.一般说来，Mr 的大小表明闭环控制系统相对稳定性的好坏。