数字电路基础知识

数字电路基础知识第一节数制与码制一几种常用数制1.十进制基数为10，数码为：0～9；运算规律：逢十进一，即：9＋1＝10。

十进制数的权展开式：任意一个十进制数都可以表示为各个数位上的数码与其对应的权的乘积之和，称为位权展开式。

如：(5555)10＝5×103＋5×102＋5×101＋5×100又如：(209.04)10＝ 2×102＋0×101＋9×100＋0×10－1＋4 ×10－2二进制基数为2，数码为：0、1；运算规律：逢二进一，即：1＋1＝10。

二进制数的权展开式：如：(101.01)2＝1×22＋0×21＋1×20＋0×2－1＋1 ×2－2＝(5.25)102.八进制基数为8，数码为：0～7；运算规律：逢八进一。

八进制数的权展开式：如：(207.04)10＝2×82＋0×81＋7×80＋0×8－1＋4 ×8－2 ＝(135.0625)10十六进制基数为十六，数码为：0～9、A～F；运算规律：逢十六进一。

十六进制数的权展开式：如：(D8.A)2＝13×161＋8×160＋10 ×16－1＝(216.625)10二不同进制数的相互转换1.二进制数与十进制数的转换(1)二进制数转换成十进制数方法：把二进制数按位权展开式展开(2)十进制数转换成二进制数方法：整数部分除二取余，小数部分乘二取整．整数部分采用基数连除法，先得到的余数为低位，后得到的余数为高位。

小数部分采用基数连乘法，先得到的整数为高位，后得到的整数为低位。

例：所以：(44.375)10＝(101100.011)22.八进制数与十进制数的转换方法：整数部分除八取余，小数部分乘八取整。

3.十六进制数与十进制数的转换方法：整数部分除十六取余，小数部分乘十六取整。

4.八进制数与二进制数的转换（1）二进制数转换为八进制数： 将二进制数由小数点开始，整数部分向左，小数部分向右，每3位分成一组，不够3位补零，则每组二进制数便是一位八进制数。

（2）八进制数转换为二进制数：将每位八进制数用3位二进制数表示。

5.十六进制数与二进制数的转换二进制数与十六进制数的相互转换，按照每4位二进制数对应于一位十六进制数进行转换。

三 码制码制即骗码方式，编码即用按一定规则组合成的二进制码去表示数或字符等． 1.二-十进制编码(BCD 码)为使二进制和十进制之间转换更方便，常使用二进制编码的十进制代码，这种代码称为二－十进制码，简称BCD 码．由于去掉六种多余状态的方法不同，因而出现不同的BCD 码，如去掉最后六种状态得到的是8421码，去掉最前和最后三种状态得到的是余3码，另外还有格雷码，它是在任意相邻的两组代码中只有一位码不同，这样可使当连续变化时产生错误的可能性小，可靠性高。

格雷码又称反射码，一个N 位的格雷码可由N-1位格雷码按一定规律写出。

常用的BCD 码见Ｐ10表1-2，其中前三种为有权码，后两种为无权码．3.海明码二进制信息在传送时，可能会发生错误，利用海明码不但可以发现错误，还能校正错误，下面以8421海明校验码为例来说明．8421海明校验码是由8421码作信息位，再加3位校验位组成，它是一个七位代码，编码方式见Ｐ11表1-3．表中B1——B4是8421码的信息位，P1——P3是3位校验位，8421海明码可以检测并校正1位错误。

为了检测，在接收端预先求出三个校验和，设为S3、S2、S1。

32343P B B B S ⊕⊕⊕=21342P B B B S ⊕⊕⊕=11241P B B B S ⊕⊕⊕=只有当S3=S2=S1=0时，表明传的代码没有错误。

若传的代码有1位错误，则由三位校验位指出错在何处。

第二节 逻辑代数逻辑是指人们思维的一种规律性。

逻辑代数和普通代数一样，也是用字母代表变量，逻辑变量只有0和1两个取值。

0和1不表示数量的大小，只表示对立的两种逻辑状态。

数字电路从其工作过程上看，总是体现一定条件下的因果关系，即输出与输入之间一定的逻辑关系。

因此，逻辑代数是分析和设计数字电路的数学工具。

一、 三种基本逻辑关系和运算 1．“与”逻辑及运算：仅当决定事件（Y ）发生的所有条件（A ，B ，…）均满足时，事件（Y ）才能发生。

表达式为：B A Y •=或Y=AB“与”逻辑表达式为： B A Y •=或Y=AB2．“或”逻辑及运算“或”逻辑表达式为： Y=A+B 3．“非”逻辑及运算“非”逻辑表达式为： A Y = 二、 复合逻辑是由基本“与”、“或”、“非”逻辑组合而成的。

1．“与非”逻辑“与非”逻辑表达式为： AB Y = 2．“或非”逻辑“或非”逻辑表达式为： B A Y += 3．“与或非”逻辑“与或非”逻辑表达式为： CD AB Y += 4．“异或”逻辑与“同或”逻辑“异或”逻辑表达式为： B A Y ⊕=或B A B A Y +=“同或”逻辑表达式为：B A Y Θ= 或 B A AB Y += 三、 逻辑函数1． 逻辑函数的定义：若变量A 、B 、C …的取值确定以后，变量Y 的值也唯一地确定了，那么就称Y 是A 、B 、C …的逻辑函数。

记作：Y=F （A 、B 、C …） 2． 逻辑函数的表示法 （1） 真值表以列表的方式反映了逻辑函数各变量取值组合与函数值之间的关系。

对于一个确定的逻辑函数来说，它的真值表只有一个。

（2） 逻辑表达式是用“与”逻辑、“或”逻辑、“非”逻辑等基本逻辑运算符号来表示逻辑函数中各个变量之间逻辑关系的代数式。

在逻辑函数表达式的运算中，要注意以下几点： ① 运算顺序是先算括号内的式子，再算与，最后算或。

② 对一组变量进行非运算时，可以不用括号。

（3） 逻辑图是用逻辑符号表示逻辑函数的方法。

在数字电路中，对应各种逻辑符号，一般都有实现其功能的单元电路。

因此，要完成逻辑电路的设计，必须把逻辑函数以逻辑图的形式表示，以便确定电路结构。

（4） 卡诺图是由 个小方块按一定规律排列而成的图形。

3．逻辑函数不同表示法之间的互换① 由逻辑函数式求真值表只要把变量可能出现的各种取值组合，分别代入函数表达式，求出对应的函数值，再列表即可。

② 由真值表求逻辑函数式在给出的函数真值表中，取出函数值等于1所对应的变量取值组合，组合中变量值为1的写成原变量，为0的写成反变量，并把它们连乘起来构成乘积项。

这样，对于每一个函数值等于1的变量取值组合都可以写出一个乘积项，然后将这些乘积项相加，就得到相应的函数逻辑表达式了。

③ 由逻辑表达式画出逻辑图逻辑函数式是由与、或、非三种运算组合而成的，只要用这三种逻辑符号来表示这三种运算，就可以得到相应的逻辑图。

例：试画出函数B A AB Y +=的逻辑图或例：试画出函数AB B AB A Y += 的逻辑图④ 由逻辑图写出逻辑表达式根据已知的逻辑图，由变量端开始逐级写出逻辑表达式。

例：写出图示逻辑图的逻辑函数表达式。

四、 逻辑代数的基本公式与定律 1． 基本公式和基本定律自等律 A+0=A A A =•1 0-1律 A+1=1 00=•A 重叠律 A+A=A A A A =•互补律 1=+A A 0=•A A还原律 A A =交换律 A+B=B+A A B B A •=•结合律 （A+B ）+C=A+（B+C ） )()(C B A C B A ••=••分配律 C A B A C B A •+•=+•)( ))((C A B A C B A ++=•+ 反演律 B A B A •=+ B A B A +=• 反演律公式或以推广到多个变量： ΛΛC B A C B A ••=++ΛΛC B A C B A ++=••这些基本定律可以直接利用真值表证明，如果等式两边的真值表相同，则等式成立。

例：证明交换律。

2． 常用公式（1） A+AB=A证明：A A B A AB A =•=+•=+1)1(（2） A B A AB =+证明：A A B B A B A AB =•=+•=+1)(（3） A B A A =+•)(证明： A AB A B A A A B A A =+=•+•=+•)( （4） B A B A A +=+证明： B A B A B A A A B A A +=+•=++=+)(1))((（5） C A AB BC C A AB +=++ 证明：CA AB BC A C AB BC A ABC C A AB BC A A C A AB BC C A AB +=+++=+++=+++=++)(!)1()(（6） B A AB B A B A +=+证明：B A AB B B AB B A A A B A B A B A B A B A B A +=+++=++=•=+))((3． 逻辑代数的三个规则（1） 代入规则：在任何一个逻辑等式中，如果将某个变量用同一个函数式来代换，则等式成立。

例：已知等式A+AB=A ，若令Y=C+D 代替等式中的A ，则新等式（C+D ）+（C+D ）B=C+D 成立。

证明：（C+D ）+（C+D ）B=（C+D ）（1+B ）=（C+D ）*1=C+D（2） 反演规则对于任意一个逻辑函数Y ，如果要求其反函数Y 时，只要将Y 表达式中的所有“*”换成“+”，“+”换成“*”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，即可求出函数Y 的反函数。

注意： ① 要注意运算符号的优先顺序。

不应改变原式的运算顺序。

例：CD B A Y +=应写为))((D C B A Y ++= 证： ))((D C B A CD B A CD B A Y ++=•=+= ② 不是一个变量上的非号应保持不变。

例：)(E D C C B A Y •+•= 则[])()(E D C C B A Y ++•++=D C B A Y +•= 则 D C B A Y •++=（3） 对偶规则对于函数Y ，若把其表达式中的“*”换成“+”，“+”换成“*”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，就可得到一个新的逻辑函数Y ，Y 就是Y 的对偶式。

例如：)(C B A Z += 则C B A Z +=' C B A Z += )(C B A Z +=' AC B A Z += ))((C A B A Z ++=' C B A Z ++= C B A Z •='若两个逻辑式相等，它们的对偶式也一定相等。

例：))()((D A C A B A BCD A +++=+ 则：AD AC AB D C B A ++=++)(使用对偶规则时，同样要注意运算符号的先后顺序和不是一个变量上的“非”号应保持不变。