512垂线(第一课时)

§5.1.2垂线(第1课时)学习目标1.经历观察、操作、想像、归纳概括、交流等活动,进一步发展空间观念,用几何语言准确表达能力.2.了解垂直概念,能说出垂线的性质“经过一点,能画出已知直线的一条垂线, 并且只能画出一条垂线”,会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线.学习重点：两条直线互相垂直的概念、性质和画法.学习难点：推理能力和表达能力的培养一、学前准备1．如图∠1=60°，那么∠2、∠3、∠4的度数2. ∠1=90°，那么∠2、∠3、∠4的度数3.我们经常看到活动门，那么你注意到铁栅栏是如何分布的呢？4.我们再来看看这张图，图中的架管，他们的位置关系又是怎样的呢？5.学生观察教室里的课桌面、黑板面相邻的两条边, 方格纸的横线和竖线……,思考这些给大家什么印象?学习疑难摘要 二、实践探究：（一）我们来看小演示: b baO D C B A 1．出示相交线的模型,学生观察思考:固定木条a,转动木条, 当b 的位置变化时,a 、b 所成的角a 是如何变化的?其中会有特殊情况出现吗?当这种情况出现时,a 、b 所成的四个角有什么特殊关系?我们可以得出结论:当b 的位置变化时,角a 从锐角变为钝角,其中∠a 是_____角是特殊情况.其特殊之处还在于:当∠a 是_____角时,它的邻补角,对顶角都是_____角,即a 、b 所成的四个角都是_____角,都_____.2.师生共同给出垂直定义.这是两条直线相交的特殊情形。

我们给它取一个名字，________两条直线相交，所成四个角中有一个角是_____角时，我们称这两条直线__________其中一条直线是另一条的_____，他们的交点叫做_____。

3．表示方法： 垂直用符号“⊥”来表示，结合课本图5.1－5说明“直线AB垂直于直线CD ， 垂足为O”，则记为__________________，并在图中任意一个角处作上直角记号,如图.4.垂直应用： ∵∠AOD=90°（ ）∴AB ⊥CD （ ）∵ AB ⊥CD （ ）∴ ∠AOD=90° （ ）应用垂直的定义：∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°找一找：在你身边，你还能发现“垂直”吗？5．判断以下两条直线是否垂直:①两条直线相交所成的四个角中有一个是直角;②两条直线相交所成的四个角相等;③两条直线相交,有一组邻补角相等;④两条直线相交,对顶角互补.（二）画图实践,探究垂线的性质1.学生用三角尺或量角器画已知直线L 的垂线.(1)已知直线L(教师在黑板上画一条直线L),画出直线L 的垂线.待学生上黑板画出L 的垂线后,教师追问学生:还能画出L 的垂线吗?能画几条?L LA通过师生交流, 使学生明确直线L 的垂线有_________条,即存在,但有_________性.教师再问:怎样才能确定直线L 的垂线位置?在学生道出:在直线L 上取一点A,过点A 画L 的垂线,并且动手画出图形.教师板书学生的结论: ____________________________________________(2)经过直线L 外一点B 画直线L 的垂线,这样的垂线能画出几条?从中你又得出什么结论? B.L 教师板书学生的结论: ____________________________________________ 教师让学生通过画图操作所得两条结论合并成一条,并板书:垂线性质1:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.例学生画完图后,教师归结:画一条射线或线段的垂线, 就是画它们所在______的垂线.三、变式训练,巩固垂线的概念和画法,如图根据下列语句画图:(1)过点P画射线MN的垂线,Q为垂足;(2)过点P画射线BN的垂线,交射线BN反向延长线于Q点;(3)过点P画线段AB的垂线,交线AB延长线于Q点.PM A NPBPBA四、小结1.你有那些收获？2.你的学习疑难解决了吗？五、自我测试（一）、判断题.1.两条直线互相垂直,则所有的邻补角都相等.( )2.一条直线不可能与两条相交直线都垂直.( )3.两条直线相交所成的四个角中,如果有三个角相等,那么这两条直线互为垂直.( ) （二）、填空题.1.如图1,OA⊥OB,OD⊥OC,O为垂足,若∠AOC=35°,则∠BOD=________.2.如图2,AO⊥BO,O为垂足,直线CD过点O,且∠BOD=2∠AOC,则∠BOD=________.3.如图3,直线AB、CD相交于点O,若∠EOD=40°,∠BOC=130°,那么射线OE 与直线ABE (3)O D C B A (2)O D C B A (1)O D C B A 的位置关系是_________.（三）、解答题.1.已知钝角∠AOB,点D 在射线OB 上.(1)画直线DE⊥OB;(2)画直线DF⊥OA,垂足为F.2.已知:如图,直线AB,垂线OC 交于点O,OD 平分∠BOC,OE 平分∠AOC.试判断OD 与OE 的位置关系.3. 如下图，P 是∠AOB 的OB 边上的一点，请分别过P 点画 OA 、OB 的垂线 BP .教学后记：E D C B。

5.1 相交线5.1.2 垂线(第一课时)教学反思教学目标1.理解垂线的概念.2.理解垂线的性质——在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线.3.会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线.教学重难点重点：两条直线互相垂直的概念、性质和画法.难点：过一点作已知直线的垂线.课前准备相交线模型、多媒体课件教学过程导入新课导入一：教师：在前面我们学习了两条直线相交形成了四个角，这四个角会产生4对邻补角和2对对顶角.你们还记得它们的定义吗？学生回答，老师纠正.教师：如果两条直线相交，形成的四个角中有一个角是直角时，这两条直线有怎样的特殊关系？日常生活中有没有这方面的实例呢？今天我们就来研究这个问题.(板书课题：5.1.2垂线(第一课时))导入二：教师：同学们观察教室里的课桌面相邻的两边，黑板面相邻的两边，方格纸的横线和竖线……这些给大家什么印象？学生回答，教师指出：“垂直”这两个字对大家并不陌生，在小学，我们已经学习过“垂直”，对于“垂直”的知识我们已经了解了一些.今天，我们就在原有知识的基础上，继续探究“垂直”.(板书课题：5.1.2垂线(第一课时))设计意图通过生活中我们经常见到的现象引出垂直，通过新问题来激发学生的学习兴趣.探究新知探究点一：认识垂线和垂直教师：拿出相交线模型，如图1，演示模型，提问学生：固定木条a，转动木条b，当b的位置发生变化时，什么量随之发生变化？学生：当b 的位置变化时，a，b 所形成的四个夹角的度数随之发生变化. 教师：在b 转动的过程中，当a ，b 所形成的夹角∠α＝90°时(如图2所示)，木条a 与b 所形成的其他三个角的度数是多少？为什么？图2学生：另外三个角也是90°.教师：这种特殊的位置关系，即∠α＝90°时，我们就说a 与b 互相垂直.我们身边存在大量的形如两条直线相互垂直的实例，请同学们举一些例子.学生发言，教师肯定.教师追问：根据前面的活动，你们能说出什么样的两条直线互相垂直吗？ 师生活动鼓励学生大胆发表自己的见解，学生可能会说两条直线相交所构成的四个角都是直角时，两条直线互相垂直，这时可以引导学生认识到：两直线相交所构成的四个角中，只要有一个角是直角，就可以得出其他三个角也是直角.教师总结并板书垂直的概念：两条直线相交所构成的角中有一个角是直角时，我们就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.教师强调：“互相垂直”与“垂线”的区别与联系：“互相垂直”是指两条直线的位置关系；“垂线”是指其中一条直线对另一条直线的命名.如果两条直线“互相垂直”，那么其中一条直线必定是另一条直线的“垂线”；如果一条直线是另一条直线的“垂线”，那么它们必定“互相垂直”.设计意图垂直是两条直线相交的特殊情形，两条直线垂直所形成的四个角之间的关系，需要由“邻补角和为180°”“对顶角相等”得出.相交线模型的演示与有关问题的引导，使学生对垂直的认识由感性上升到理性，从而加深学生对垂直的理解.教师：许多几何图形都可以用符号来表示，例如，角用“∠”表示，三角形用“△”表示等等，垂直也有它自己的符号.教师：垂直用符号“⊥”表示，如图3所示，直线AB 垂直于直线CD ，垂足为O ，就可记为“AB ⊥CD ，垂足为O ”.(教师板书)图3教师：根据垂直的定义，结合图3，当AB⊥CD时，∠AOD是多少度？学生：∠AOD＝90°.教师：我们如何用几何推理语言来描述这个结论.学生大胆发言，教师引导并板书：因为AB⊥CD，所以∠AOC＝90°(垂直的定义).教师：把这个推理倒过来，当∠AOC＝90°，直线AB，CD具备什么特殊的位置关系？学生：垂直.教师：如何用几何推理语言描述这个结论.学生发言，教师板书：因为∠AOC ＝90°，所以AB⊥CD(垂直的定义).设计意图教学中在明确给出垂直的定义后，借助图形用符号语言来表示，让学生从文字语言、图形语言、符号语言等不同角度来认识垂直，实现了三种语言之间的转化，在此过程中，培养了学生用几何语言表达问题的能力，增强了学生的符号感.探究点二：垂线的画法及性质教师：根据垂直的定义，我们知道要想画垂线，必须有直角，我们的学习用具中有存在直角的吗？学生：三角尺、量角器中存在直角.教师：现在我们就开始研究用三角尺和直尺或者量角器画垂线的方法，出示课本探究.如图4所示.(1)用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条？(2)经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条？(3)经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条？(1) (2)图4学生独立尝试，小组合作交流，完成下面填空和思考：1.垂线的画法：第一步：靠，即三角尺的一条直角边紧靠；第二步：过，即三角尺的另一条直角边过；第三步：画，即画出垂线.2.(1)与直线l垂直的直线能画条.(2)经过直线上一点能画条直线与已知直线垂直.(3)经过直线外一点能画条直线与已知直线垂直.教师在学生合作交流的基础上组织两名学生用三角尺演示第(2)(3)问，并展示上述填空.教师：如果把(2)(3)两条结论合并在一起，你们认为应该怎样表达.学生发言，教师引导得出垂线的性质并板书.垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.设计意图在本环节的教学中有两个重要的任务，除了让学生掌握垂线的性质外，还应让学生在探究性质的过程中，掌握过一点作已知直线的垂线的方法，它是几何作图中的一种常用的基本作图，需要学生熟练掌握.虽然学生在小学已经接触过垂线的作法，但要在各种情境中熟练作图，对学生来说也是一个难点，尤其是过已知点作线段的垂线.因此在这一环节的教学中应给予学生充分的机会来感受、体会、总结、训练垂线的作法，教师也可以在此基础上演示总结用三角尺过一点画已知直线的垂线的方法：一靠，即三角尺的一条直角边紧靠已知直线也就是与已知直线重合；二过，即三角尺的另一条直角边过已知点；三画，即画出垂线.使学生能够顺利突破难点.新知应用例1 判断下列语句是否正确？(1)两条直线相交，若有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直.( )(2)若两条直线相交构成的四个角相等，则这两条直线互相垂直.( )(3)一条直线的垂线只能画一条.( )(4)过一点可以任意画已知直线的垂线.( )答案：(1)正确(2)正确(3)错误(4)错误师生活动教师读题，学生抢答.设计意图考查学生由角的关系来判断两直线的位置关系，强化对垂直概念的理解..或线段AB的垂线.图5师生活动找三位同学在黑板上板演，其他同学自己动手画图，画完之后请同学们点评.(1) (2) (3)图6教师引导学生归纳：画一条射线或线段的垂线，就是画它们所在直线的垂线.设计意图训练学生在各种情境中熟练作图，通过此练习，给学生充分的机会来感受、体会、总结、训练在各种条件下垂线的作法.课堂练习(见导学案“当堂达标”)参考答案1.C2.B3.D4.B5.C6.D7. 垂直 AB ⊥CD DOB BOC COA 8.30° 9.解：OD ⊥OE.理由：∵ OD 平分∠BOC ，∴ ∠COD ＝12∠BOC.∵ OE 平分∠AOC ，∴ ∠COE ＝12∠AOC. ∴ ∠EOD ＝∠COD+∠COE＝12(∠BOC+∠AOC)＝12×180°＝90°，即OD ⊥OE.10.解：(1)∠AOD ＝120°.(2)∠AOD ＝110°.(3)猜想∠AOD 与∠BOC 互补.理由如下：如题图①，∵ ∠AOD ＝∠AOC+∠COD ＝∠AOC+90°，∠BOC ＝∠AOB-∠AOC ＝90°-∠AOC ，所以∠AOD+∠BOC ＝180°，即∠AOD 与∠BOC 互补.(见导学案“课后提升”)参考答案1.解：∵ OE 平分∠BOD ，∴ ∠DOE ＝∠BOE. ∵ ∠AOD ∶∠DOE ＝4∶1，∴ ∠AOD ∶∠DOE ∶∠BOE ＝4∶1∶1.又∵ ∠AOB ＝180°，∴ ∠DOE ＝∠BOE ＝180°×16＝30°，∴ ∠COB ＝∠COD-∠DOE-∠BOE ＝180°-30°-30°＝120°. 又∵ OF 平分∠COB ，∴ ∠COF ＝∠BOF ＝12∠COB ＝60°，∴ ∠AOF ＝∠AOB-∠BOF ＝180°-60°＝120°. (此题解法多种，只提供一种)2.解：有可能有三个或两个或一个.如图7所示.课堂小结1.本节课主要学习了两条直线互相垂直、垂线以及垂足的概念和垂线的一条性质.2.会用三角尺或量角器过一点画已知直线、射线、线段的垂线.3.要关注三种语言，即文字语言、图形语言、符号语言之间的转化.布置作业教材第8页习题5.1第3，4，5题板书设计。

5.1.2垂线(第一课时含答案)work Information Technology Company.2020YEAR§5.1.2垂线定义、表示方法和几何语言一、填空题1、垂直是相交的一种特殊情况，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

2、两条直线互相垂直时，所得的四个角中有______4____个直角.3、如图1所示，直线AD与直线BD相交于点 D ，BE⊥ AD 垂足为点E 。

4、如图2，OA⊥OB，OC⊥OD，垂足为O，∠AOC = ∠BOD，理由是∠AOB+∠BOC =∠COD+∠BOC 。

D B CE OA B C A D图1 图25、如图3，已知直线AB、CD、EF相交于点O，AB⊥CD，∠DOE=127°，则∠COE=53 °，∠AOF= 37 °6、如图4，直线MN、PQ交于点O，OE⊥PQ于O，OQ平分∠MOF，若∠MOE=45°，则∠NOE=135 °，∠NOF= 90 °，∠PON= 45 °C E MEA OB P O QF D 图3 N 图4 F7、如图5，O是直线AB上一点OC⊥OD，有以下两个结论:①∠AOC与∠BOD互为余角；②∠AOC、∠COD、∠BOD互为邻补角.其中说法正确的是____①____(填序号).图5 图68、如图6，已知OC⊥AB，OE⊥OD，则图中互余的角共有____4____对.二、选择题9、如图7，直线AB，CD相交于点O，下列条件中，不能说明AB⊥CD的是(C )图7A．∠AOD＝90° B．∠AOC＝∠BOCC．∠BOC＋∠BOD＝180° D．∠AOC＋∠BOD＝180°10、下列语句正确的是( C)A．两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，那么这两条直线垂直B．两条直线相交成四个角，如果有两对角相等，那么这两条直线垂直C．两条直线相交成四个角，如果有三个角相等，那么这两条直线垂直D．两条直线相交成四个角，如果有四对角互补，那么这两条直线垂直11、①两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直；②两条直线相交，若有一组对顶角互补，则这条直线互相垂直；③两条直线相交，若所成的四个角相等，则这两条直线垂直；④两条直线相交，若有一组邻补角相等，则这两条直线垂直.其中说法正确的有( D )A.1个B.2个C. 3个D. 4个12、如图8所示，AO⊥BC，OM⊥ON，则图中互余的角有（ B ）对A、3B、4C、5D、613、如图9，在正方体中和AB垂直的边有（ D ）条A、1B、2C、3D、4A N A BMB O C图8 图914、如图10，直线a与b相交于点O，MO⊥a，垂足为O，若∠2＝35°，则∠1的度数为( D )图10A．75° B．65° C．60° D．55°三、解答题15、如图11，∠PQR等于138°，SQ⊥QR，TQ⊥PQ，求∠SQT等于多少度？图11解：∵SQ⊥QR，TQ⊥PQ∴∠SQR=∠PQT=90°又∵∠PQR=138°∴∠PQS=∠PQR－∠SQR=48°∴∠SQT=∠PQT－∠PQS=90°－48°=42°16、如图12，直线AB、CD、EF交于一点O，GO⊥EF且∠GOB=30°，∠AOC=40°，求∠COE的度数。

教学文档（垂线）〔第—课时〕教学反思（垂线）〔第—课时〕教学反思本堂课是继相交线的一般情况：对顶角、邻补角后的一种特别的情况。

教学的重点是会用数学言语来表示垂直的关系，并且对垂直关系的推断及运用，难点在于垂直关系的运用以及运用时的言语表达及书写的前因后果。

由复习回忆上节课所学的对顶角、邻补角的知识转移到两直线相交的特别情况——垂直。

再从生活中找出垂直线条，引入垂直的定义，既引起学生的学习兴趣，又简明扼要。

但在引入垂直的定义后，遗忘了突出定义中的关键字：“一个角是直角〞，就能有因为有直角，就垂直。

垂直的表示方法中通过语气的方法并且特别强调了简单遗漏的垂足这个点，引起学生的注意：“AB⊥CD于点O〞读作AB垂直CD于点O，垂足是点O，点O用垂足来表示。

其它，通过推断两条直线的垂直方法引出垂线的画法，过程连贯而不显突兀，并且总结垂线的画法：一贴、二画。

但在板演画图及板演画图的说明的问题上，显得略微随意，没有给学生树立好标准画图的好典范。

最后再通过例题、练习题的练习，由简入深，变式探究，让学生学会垂直关系的表示方法，以及掌握垂直的判定条件的运用、垂直关系的利用，并且，在解题、做题的过程中，标准解题的格式。

同时，引导学生从问题出发，培养学生分析问题、解决问题的能力。

由于时间的关系，在最后一道问题的解决上没能很好地板书分析，使学生接受情况参差不齐。

课堂的整个过程，学生踊跃地大胆地举手致辞，参与度很高，能够很好地跟上老师的教学进度，从而完成教学目标。

但简单出现自己理解学生意思，进而替代学生答复的毛病。

学生的自主学习、思考的时间还是不充分，没完全表达出学生的主体地位。

通过这堂课，发觉自己在教学上还有很多缺乏的地方，今后肯定会努力改良。

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