1.2.2“非”（否定）
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1．命题p的否定⌝p
(1)“非”命题的表示及读法：对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“⌝p”，读作“非p”或“p的否定”．
(2)含有“非”的命题的真假判定：
思考1对一个命题p
提示：对一个命题p进行否定，否定的是此命题的结论．
2．存在性命题的否定
提示：存在性命题的否定是全称命题，其真假性与存在性命题相反，只需判断出原存在性命题的真假即可作出判断．
3．全称命题的否定
思考 3全称命题的否定描述是否唯一？
提示：不唯一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”．思考4省略全称量词的全称命题如何进行否定？
提示：有的全称命题省略了全称量词，否定时要特别注意．例如，q：实数的绝对值是正数．将⌝q写成：“实数的绝对值不是正数”就错了．原因是q是假命题，⌝q也是假命题，这与q，⌝q一个为真一个为假相矛盾．正确的否定应为：“存在一个实数的绝对值不是正数．”为了避免出错，可用真值表加以验证．。
1.2.2“非”（否定）课堂探究探究一“⌝p”形式的命题及其真假判断“非”是由日常用语中的“不是”“全盘否定”“问题的反面”等抽象而A＝{x∈U|⌝(x∈A)}＝来的，可以用“非”定义集合A在全集U中的补集．U{x∈U|x A}．“p”与“⌝p”真假不同，一个为真，另一个必定为假，它们互为否定，且有⌝(⌝p)＝p.【典型例题1】写出下列命题p的否定，并判断其真假：(1)p：周期函数都是三角函数；(2)p：偶函数的图象关于y轴对称；(3)p：若x2－x≠0，则x≠0，且x≠1.思路分析：要写出命题的非(否定)，需要对其正面叙述的词语进行否定，然后根据真值表进行真假判断．解：(1)⌝p：周期函数不都是三角函数．命题p是假命题，⌝p是真命题．(2)⌝p：偶函数的图象不关于y轴对称，命题p是真命题，⌝p是假命题．(3)⌝p：若x2－x≠0，则x＝0或x＝1.命题p是真命题，⌝p是假命题．规律小结下表是一些常用词语和它们的否定词语，理解它们对于今后解决问题大有帮助.原词语等于大于(＞) 小于(＜) 是都是否定词语不等于不大于不小于不是不都是原词语至多有一个至少有一个至多有n个否定词语至少有两个一个也没有至少有n＋1个原词语任意的任意两个所有的能否定词语某个某两个某些不能探究二 存在性命题与全称命题的否定解答存在性命题与全称命题的否定问题：(1)改变量词，把存在量词改为恰当的全称量词或把全称量词改为恰当的存在量词；(2)否定性质，把原命题中的“p(x)成立”改为“⌝p(x)成立”．【典型例题2】 写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)p ：∃x∈R，x 2＋1＜0；(2)q ：每一个对角互补的四边形有外接圆； (3)r ：有些菱形的对角线互相垂直； (4)s ：所有能被3整除的整数是奇数．思路分析：命题p ，r 是存在性命题，按存在性命题的否定形式进行否定即可．命题q ，s 是全称命题，按全称命题的否定形式进行否定即可． 解：(1) ⌝p ：∀x∈R，x 2＋1≥0.(真)(2)⌝q ：有些对角互补的四边形没有外接圆．(假) (3)⌝r ：所有菱形的对角线不互相垂直．(假) (4)⌝s ：有些能被3整除的整数不是奇数．(真) 探究三易错辨析 易错点 否定不全面【典型例题3】 若“∃x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，sin x ＋3cos x ＜m”为假命题，则实数m 的取值范围是__________．错解：由于“∃x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，sin x ＋3cos x ＜m”为假命题，则其否定“∀x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，sin x ＋3cos x ＞m”为真命题．令f(x)＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，可知f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上是增函数，在⎝⎛⎦⎥⎤π6，π2上是减函数，且f(0)＝3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，所以f(x)min ＝1.故有m ＜1，即实数m 的取值范围是(－∞，1)．答案：(－∞，1)错因分析：原命题的否定应为“∀x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，sin x ＋3cos x≥m”，漏掉了等号成立的情况，导致m 的范围被缩小．正解：令f(x)＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，可知f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上为增函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，π2上为减函数．由于f(0)＝3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，所以1≤f(x)≤2.由于“∃x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，sin x ＋3cos x ＜m”为假命题，则其否定“∀x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，sin x ＋3cos x≥m”为真命题，所以m≤f(x)min ＝1. 答案：(－∞，1]。
