导数及其应用 教案

同济大学高等数学《导数及其应用》word教案(总35页)

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第 9 次课 2 学时

上次课复习：

第二章 导数与微分

导数和微分是高等数学中的重要内容之一，也是今后讨论一切问题的基础。导数反映出函数相对于自变量的变化快慢的程度，而微分则指明当自变量有微小变化时函数大体上变化多少，它从根本上反映了函数的变化情况。本章主要学习和讨论导数和微分的概念以及它们的计算方法，以后将陆续的介绍它们的用途。

§2、1 导数的概念

一、 引例

1、 切线问题：切线的概念在中学已见过。从几何上看，在某点的切线就是一直线，它在该点和曲线相切。准确地说，曲线在其上某点P的切线是割线PQ当Q沿该曲线无限地接近于P点的极限位置。 本次课题（或教材章节题目）：第二章 导数与微分

第一节 导数的概念

教学要求： 理解导数的定义，理解导数的几何意义，掌握函数在一点可导与连续的区别，会利用导数的定义求一些简单函数的导数

重 点：导数的定义，可导与连续的联系和区别

难 点：导数的定义及不同形式的掌握

教学手段及教具：板演式，使用电子教案

讲授内容及时间分配：

引例 15分钟

导数的定义 25分钟

倒数的几何意义 10分钟

连续与可导的关系 15分钟

高中数学-导数及其应用教案

1 / 17 个性化教学辅导教案

学科: 数学 任课教师： 老师 授课时间： 年 月 日(星期 )

姓名 年级：高三 教学课题 导数及其应用

阶段 基础（√） 提高（√） 巩固（√） 计划课时 第（ ）次课

共（ ）次课

教学

目标 知识点：

考点：

方法：

重点

难点 重点：

难点：

教

学

内

容

与

教

学

过

程

课前

检查 作业完成情况：优□ 良□ 中□ 差□ 建议__________________________________________

导数及其应用

（一） 主要知识及主要方法：

1.设函数)(xfy在0xx处附近有定义，当自变量在0xx处有增量x时，则函数()yfx相应地有增量)()(00xfxxfy，如果0x时，y与x的比xy（也叫函数的平均变化率）有极限即xy无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(xfy在0xx处的导数，记作0xxy，即0000()()()limxfxxfxfxx

在定义式中，设xxx0，则0xxx，当x趋近于0时，x趋近于0x，因此，导数的定义式可写成

000000()()()()()limlimxoxxfxxfxfxfxfxxxx.

2.导数的几何意义：

导数0000()()()limxfxxfxfxx是函数)(xfy在点0x的处瞬时变化率，它反映的函数)(xfy在点0x处变化．．的快慢程度.

它的几何意义是曲线)(xfy上点（)(,00xfx）处的切线的斜率.因此，如果)(xfy在点0x可导，则曲线)(xfy在点（)(,00xfx）处的切线方程为 000()()()yfxfxxx

3.导函数(导数):如果函数)(xfy在开区间),(ba内的每点处都有导数，此时对于每一个高中数学-导数及其应用教案

§3.1.1变化率问题

教学目标：

1．理解平均变化率的概念；

2．了解平均变化率的几何意义；

3．会求函数在某点处附近的平均变化率

教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；

教学难点：平均变化率的概念．

教学过程：

一．创设情景

为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：

一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;

二、求曲线的切线;

三、求已知函数的最大值与最小值;

四、求长度、面积、体积和重心等。

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。

导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．

二．新课讲授

（一）问题提出

问题1 气球膨胀率

我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?

 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是334)(rrV

 如果将半径r表示为体积V的函数,那么343)(VVr

分析: 343)(VVr，

⑴ 当V从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dmrr

气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(Ldmrr

⑵ 当V从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dmrr

气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(Ldmrr

可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．

思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?

1212)()(VVVrVr

问题2 高台跳水

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v度粗略地描述其运动状态? h

单元教学设计《导数及其应用》

导数及其应用是高中数学的重要内容，对于学生掌握高中数学的基本知识和解题能力起到了至关重要的作用。本单元教学旨在帮助学生系统学习导数的概念、性质和计算方法，并运用导数解决实际问题。

【教学目标】

1.理解导数的概念，并能灵活运用导数定义和导数性质进行计算；

2.掌握导数的运算法则，包括函数和常数的求导法则、和、积、商的求导法则等；

3.能够应用导数解决实际问题，如求函数的极值、函数曲线的切线方程等；

4.发现和理解导数在实际问题中的应用，培养学生的运算、分析和解决问题的能力。

【教学重难点】

1.导数的定义和性质的理解和运用；

2.导数的计算方法；

3.导数在实际问题中的应用。

【教学过程】

一、导入导学（20分钟）

1.引入：老师介绍导数的概念和定义，并举例说明导数的意义，如切线斜率、速度等。 2.学生思考：学生思考导数和函数之间的关系，总结函数连续的充要条件。

3.小组讨论：学生分成小组讨论导数的计算方法，并列举一些简单函数的导数计算结果。

二、导数的定义和性质（40分钟）

1.导数的定义：老师通过示意图等简单例子引导学生理解导数的定义，并推广给出导数的一般定义。

2.导数的性质：老师讲解导数的性质，如导数与函数的连续性、导数的代数运算法则等。

3.示例演练：老师通过例题演示导数的计算方法和性质运用。

三、导数的计算方法和运算法则（40分钟）

1.常见函数的导数计算：老师讲解常见函数（如幂函数、指数函数、对数函数等）的导数计算方法。

2.和、积、商的导数计算法则：老师讲解和、积、商的导数计算法则，并通过例题演示运用。

3.小组合作：学生分成小组，在教师指导下进行练习计算不同函数的导数。

四、导数的应用（40分钟）

1.极值的判定和求解：老师讲解如何利用导数判定函数的极值，并通过例题演示方法。 2.曲线的切线方程：老师引导学生思考如何求曲线的切线方程，并通过示例进行说明。