导数及其应用教案

第 1 页 共 56 页 课题：变化率问题

教学目标：

1．理解平均变化率的概念；

2．了解平均变化率的几何意义；

3．会求函数在某点处附近的平均变化率

教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；

教学难点：平均变化率的概念．

教学过程：

一、情景导入

为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：

一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;

二、求曲线的切线;

三、求已知函数的最大值与最小值;

四、求长度、面积、体积和重心等。

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．

二、知识探究

探究一：气球膨胀率

我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?

 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是334)(rrV

 如果将半径r表示为体积V的函数,那么343)(VVr

⑴ 当V从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dmrr

气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(Ldmrr

⑵ 当V从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dmrr

气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(Ldmrr

可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．

思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?

1212)()(VVVrVr

探究二：高台跳水：

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v度粗略地描述

第 2 页 共 56 页 其运动状态?

思考计算：5.00t和21t的平均速度v

在5.00t这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(smhhv；

在21t这段时间里，)/(2.812)1()2(smhhv

探究：计算运动员在49650t这段时间里的平均速度，并思考以下问题：

⑴运动员在这段时间内使静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，)0()4965(hh，所以)/(004965)0()4965(mshhv，虽然运动员在49650t这段时间里的平均速度为)/(0ms，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态。

探究（三）：平均变化率

1、平均变化率概念：上述问题中的变化率可用式子1212)()(xxxfxf表示,

称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率

2．若设12xxx, 21()()yfxfx (这里x看作是对于x1的一个“增量”可用x1+x代替x2,同样)()(12xfxfyf)

则平均变化率为yxxxfxxfxxxfxf)()()()(111212

思考：观察函数f(x)的图象：平均变化率yx1212)()(xxxfxf表示什么?

直线AB的斜率

h

t ox2 △x= x2-x1 △y =f(x2)-f(x1)

x y

x1 O f(x1) f(x2) y=f(x)

第 3 页 共 56 页 3、函数f(x)从x0到x0＋△x的平均变化率怎么表示？ 00()()fxxfxx+-VV

三、典例分析

例1．已知函数f(x)=xx2的图象上的一点)2,1(A及临近一点)2,1(yxB,则xy ．

解：)1()1(22xxy，

∴xxxxxy32)1()1(2

例2、求2xy在0xx附近的平均变化率。

解：2020)(xxxy，所以xxxxxy2020)(

xxxxxxxx020202022

所以2xy在0xx附近的平均变化率为xx02

例3、求函数y＝5x2＋6在区间[2，2＋△x]内的平均变化率

例4、某盏路灯距离地面高8m，一个身 高1.7m的人从路灯的正底下出发，以1.4m/s的速度匀速沿某直线离开路灯，求人影长度的平均变化率.

解：略

四．课堂练习

1．质点运动规律为32ts，则在时间)3,3(t中相应的平均速度为 ．

2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.

3.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.

五．回顾总结

1．平均变化率的概念

2．函数在某点处附近的平均变化率

六．布置作业

课后记:

253t1.7 8

第 4 页 共 56 页 课题:导数的概念

教学目标：

1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；

2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；

3．会求函数在某点的导数

教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；

教学难点：导数的概念．

教学过程：

一、复习引入

1、函数平均变化率：2121()()fxfxyxxx11()()fxxfxx

2、函数平均变化率的几何意义：表示曲线上两点连线(割线)的斜率

3、在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映运动员在这段时间里运动状态.因为运动员从高台腾空到入水的过程中，不同时刻的速度是不同的。

二、知识探究

1、引例：计算运动员在49650t这段时间里的平均速度，并思考以下问题：

⑴运动员在这段时间内使静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，)0()4965(hh，所以)/(004965)0()4965(mshhv，

虽然运动员在49650t这段时间里的平均速度为)/(0ms，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．

2、．瞬时速度：我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，2t时的瞬时速度是多少？考察2t附近的情况： h

t o

第 5 页 共 56 页 ①、思考：当t趋近于0时，平均速度v有什么样的变化趋势？

②、结论：当t趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度v都趋近于一个确定的值13.1．

③、从物理的角度看，时间t间隔无限变小时，平均速度v就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在2t时的瞬时速度是13.1/ms

④、为了表述方便，我们用0(2)(2)lim13.1ththt表示“当2t，t趋近于0时，平均速度v趋近于定值13.1”

⑤、小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。

3、导数的概念：函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:0000()()limlimxxfxxfxyxx

我们称它为函数()yfx在0xx出的导数，记作'0()fx或0'|xxy，

即 0000()()()limxfxxfxfxx

说明：（1）导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率

（2）0xxx，当0x时，0xx，所以0000()()()limxfxfxfxxx

4、一般地，求函数f(x)在x＝x0处的导数有哪几个基本步骤？

第一步，求函数值增量：△y＝f(x＋△x)－f(x0)；

第二步，求平均变化率：00()()fxxfxyxx+-=VVVV

第三步，取极限，求导数：00()limxyfxx®¢=VVV

5、常见结论：（1）0000()()lim()xxfxfxfxxx®-¢=- （2） 0000()()lim()xfxxfxfxx®--¢=-VVV

（3）0000(2)()lim2()xfxxfxfxx®+-¢=VVV （4）0000()()lim()xfxmxfxmfxnxn®+-¢=VVV

三、典例分析

例1．（1）求函数y=3x2在x=1处的导数.

分析：先求Δy=f(１＋Δx)-f(１)=6Δx+(Δx)2

第 6 页 共 56 页 再求6yxx再求0lim6xfx

解：法一（略）

法二：222211113313(1)|limlimlim3(1)611xxxxxxyxxx

（2）求函数f(x)=xx2在1x附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．

解：xxxxxy32)1()1(2

200(1)(1)2(1)limlim(3)3xxyxxfxxx

例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh时，原油的温度（单位：C）为2()715(08)fxxxx，计算第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．

解：在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是'(2)f和'(6)f

根据导数定义，0(2)()fxfxfxx

22(2)7(2)15(27215)3xxxx

所以00(2)limlim(3)3xxffxx

同理可得:(6)5f

在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为3和5，说明在2h附近，原油温度大约以3/Ch的速率下降，在第6h附近，原油温度大约以5/Ch的速率上升．

注：一般地，'0()fx反映了原油温度在时刻0x附近的变化情况．

四．课堂练习

1．质点运动规律为32ts，求质点在3t的瞬时速度为．

2．求曲线y=f(x)=x3在1x时的导数．

3．例2中，计算第3h时和第5h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．

五．回顾总结

1．瞬时速度、瞬时变化率的概念

2．导数的概念

六．布置作业