2020届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期第二次月考数学(理)试题及答案
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第 1 页 共 24 页 2020届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期第二次月考数学（理）试题及答案
一、单选题
1．集合202,1,1AaBaAB，，，若，则a的值为（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．
【答案】C
【解析】221,02,1,ABAaa， 又1,Ba ，1a ，故选C.
2．已知向量2,1,,2ab，若ab，则实数 （ ）
A．4 B．1 C．1 D．4
【答案】B
【解析】由题得=0ab，解方程即得解.
【详解】
因为ab，所以=220,1ab.
故选B
【点睛】
本题主要考查向量垂直的坐标表示，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
3．已知ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C三点对应的复数分别是2i，1i，22i，则点D对应的复数为（ ）
A．4i B．32i C．5 D．14i 第 2 页 共 24 页 【答案】D
【解析】分析：利用平行四边形的性质得到ABDC,再把点的坐标代入计算即得点D的坐标，再写出点D对应的复数.
详解：由题得A(-2，1),B(1，-1),C(2，2),
设D(x,y)，
则(3,2),(2,2),ABDCxy
因为ABDC，
所以2322xy，
解之得x=-1,y=4.
所以点D的坐标为（-1，4），
所以点D对应的复数为-1+4i,
故选D.
点睛：本题方法比较多，但是根据ABDC求点D的坐标，是比较简单高效的一种方法，大家解题时，注意简洁高效.
4．已知集合2{|0}1xAxx，{|}Bxxa，若“1a”是“BA”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件
【答案】A
【解析】化简两个集合，分别讨论充分性和必要性，可选第 3 页 共 24 页 出答案.
【详解】
由题意，集合2{|0}{|120}{|12}1xAxxxxxxx，
先来判断充分性，
若1a，则{|11}Bxx，满足BA，即“1a”是“BA”的充分条件；
再来判断必要性，
若BA，①集合B，0a，此时符合BA；②集合B，此时21aaaa，解得01a.
故BA时，1a，即“1a”不是“BA”的必要条件.
所以“1a”是“BA”的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】
本题考查不等式的解法，考查集合的包含关系，考查充分性与必要性，考查学生的计算能力与逻辑推理能力，属于基础题.
5．若关于x的不等式2420xxa在区间1,4内有解,则实数a的取值范围是
A．2a B．2a C．6a D．6a
【答案】A
【解析】由题意可得224axx在区间(1,4)内成立，由224(2)4yxxx，求得顶点处的函数值和端点处的函数值，即可得到所求范围． 第 4 页 共 24 页 【详解】
解：关于x的不等式2420xxa在区间(1,4)内有解，
即为224axx在区间(1,4)内成立，
由224(2)4yxxx，
可得2x处函数y取得最小值4；1x时，3y；4x时，0y；
则函数24yxx的值域为4,0，
可得20a，
解得2a．
故选：A．
【点睛】
本题考查不等式成立的条件，注意运用转化思想和二次函数的值域求法，考查运算能力，属于中档题．
6．将函数sin6fxx的图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2倍，所得函数gx图象的一个对称中心可以是（ ）
A．,012 B．5,012 C．,03 D．2,03
【答案】C
【解析】试题分析：1sin26gxx，,2,263xkxkkZ，令0,3kx，∴gx图象的一个对称中心是,03．
【考点】三角函数图象的平移、三角函数的对称中心． 第 5 页 共 24 页 7．在正方体1111ABCDABCD中，E为棱1BB的中点，则异面直线DE与AB所成角的正切．．值为（ ）
A．22 B．32 C．52 D．72
【答案】C
【解析】依据异面直线所成角的定义，结合//ABDC，就得到异面直线DE与AB所成角，解三角形，即可求出异面直线DE与AB所成角的正切值.
【详解】
如图，因为//ABDC，所以EDC（或其补角）即为异面直线DE与AB所成角，
连接EC，设正方体棱长为2，利用勾股定理可以求得：2CD，5CE，3DE，因此三角形DEC是直角三角形，∴5tan2EDC.
故选：C
【点睛】
本题考查了异面直线所成的角，属于基础题.
8．已知以双曲线的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为，则双曲线的离心率为（ ） 第 6 页 共 24 页 A． B． C． D．
【答案】B
【解析】试题分析：由于，由题意知，，，
因此，双曲线的离心率为，故选B.
【考点】双曲线的离心率
9．已知直线1:(3)10lmxmy，直线2:(1)10lmxmy，若12ll则m（ ）
A．0m或1m B．1m
C．32m D．0m或32m
【答案】A
【解析】根据直线垂直的充要条件，列出等式，求解，即可得出结果.
【详解】
因为直线1:(3)10lmxmy与直线2:(1)10lmxmy垂直，
所以(1)(3)0mmmm，即(1)0mm，解得0m或1m.
故选A
【点睛】
本题主要考查根据直线垂直求参数的问题，熟记直线垂直的充要条件即可，属于常考题型.
10．已知函数2()log(46)xxfxab，满足2(1)1,(2)log6ff，,ab为正实数，则()fx的最小值为（ ）
A．6 B．3 C．0 D．1
【答案】D 第 7 页 共 24 页 【解析】试题分析：22462{466abab，解得2{4ba，
∴222()log(44?26)log[(22)2]xxxfx，当1x时，min()1fx，故选D.
【考点】对数函数的性质
11．直线l是抛物线22xy在点2,2处的切线，点P是圆22420xyxy上的动点，则点P到直线l的距离的最小值等于（ ）
A．52 B．5 C．255 D．65
【答案】C
【解析】先由题意求出直线l的方程，再求出圆22420xyxy的圆心到直线的距离，减去半径，即为所求结果.
【详解】
因为22xy，所以yx，
因此抛物线22xy在点2,2处的切线斜率为22xyx，
所以直线l的方程为22(2)yx，即22yx，
又圆22420xyxy可化为22(2)(1)5xy，
所以圆心为(2,1)，半径5r；
则圆心到直线的距离为221275541d
又因点P是圆22420xyxy上的动点，
所以点P到直线l的距离的最小值等于255dr.
故选C
【点睛】 第 8 页 共 24 页 本题主要考查圆上的点到直线距离的最值问题，熟记直线与圆位置关系即可，属于常考题型.
12．若对任意的1,xee，不等式22ln30xxxmx恒成立，则实数m的最大值为（ ）
A．132ee B．32ee C．2e1 D．4
【答案】D
【解析】通过分离变量将恒成立的不等式变为32lnmxxx，由此可知当1,xee时，min32lnmxxx，通过导数求解出右侧函数在区间内的最小值，从而得到结果.
【详解】
22ln30xxxmx 22ln3mxxxx 32lnmxxx
22ln30xxxmx在1,xee上恒成立等价于min32lnmxxx，1,xee
令32lngxxxx，则22223231xxgxxxx
令0gx，解得13x，21x
则1,1xe时，0gx，gx单调递减；1,xe时，0gx，gx单调递增
则1,xee时，min12ln1134gxg 4m
即m的最大值为4 第 9 页 共 24 页 本题正确选项：D
【点睛】
本题考查利用恒成立问题的求解，解题关键是能够通过分离变量的方式将问题转化为所求变量与某一函数的最值比较的问题，通过求解函数最值得到所求参数的取值范围，属于恒成立问题中的常规题型.
二、填空题
13．已知抛物线24yx的准线经过椭圆2221(0)4xybb的焦点，则b________．
【答案】3
【解析】先根据抛物线的方程求得准线方程，根据椭圆的方程求得焦点，代入抛物线的准线方程求得b．
【详解】
解：依题意可得抛物线24yx的准线为1x，又因为椭圆焦点为240b，
所以有241b．即b2＝3故b3．
故答案为3．
【点睛】
本题主要考查了椭圆和抛物线的简单性质，椭圆的标准方程．考查了学生对圆锥曲线基础知识的掌握．
14．若实数x，y满足，则的取值范围是
