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专题14圆锥曲线中的范围、最值问题圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值，以及当这些元素存在最值时，求解与之有关的一些问题．对于最值问题，一般可以用数形结合的方法或转化为函数的最值问题加以解决；解决最值范围问题时，应重视曲线的定义、曲线的几何特征、方程的代数特征在解题中的作用题型一转化为斜率由代数式的结构特征联想县其斜率公式，将代数问题转化为斜率问题，利用图形的直见性使问题得到简化．1．试求函数()f x =的最大值、最小值．【解答】解：设CA ，CB 是椭圆22154x y +=的两条切线，如图所示，C 点坐标为(3,1)--,由椭圆的参数方程可得2sin x ty x=⎧⎪⎨=⎪⎩故()f x 的最大值为CA k ，()f x 的最小值为CB k ，设过C 与椭圆22154x y +=相切的切线方程为y kx m =+．由22154y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得222(45)105200k x kmx m +++-=，由△0=得m =，所以切线方程为y kx =±因为切线过点(3,1)C --，所以13k -=-所以12k k ==，所以()f x的最大值3()4f x +的最小值为34-．题型二转化为截距利用直线在y 轴上的截距的直观性，可求有关参数的取值范围，进而得到最值．2．已知x ，y 满足2211625x y +，则3z y x =-的最大值为13，最小值为．【解答】解：将所给的函数式改写为3y x z =+，则z 表示直线3y x z =+在y 轴上的截距，x ，y 满足2211625x y +，∴可行域为椭圆2211625x y +=的边界及其内部，画出图形，如图所示，由图可知，z 的最大值，最小值在直线与椭圆相切时取得，联立方程22311625y x z x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：2216996164000x zx z ++-=，由△0=得：22(96)4169(16400)0z z -⨯⨯-=，解得13z =±，z ∴的最大值为13，最小值为13-，故答案为：13，13-．题型三转化为三角函数3．设A 、B 分别是椭圆22:12y C x+=的左顶点和上顶点，点P 在C 上，则点P 到直线AB 的距离的最大值为()ABCD 【解答】解：椭圆22:12y C x +=的焦点在y轴上，22a =，21b =，可得a=1b =．∴椭圆的左顶点为(1,0)A-，上顶点为B ，则AB 所在直线方程为11x=-0y -=．P 在椭圆22:12y C x +=上，∴设(cos )P θθ，P ∴到直线AB 的距离d =|2cos()4πθ++=，∴点P 到直线AB3=．故选：D ．4．过点(0,)B b -作椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的弦，求这些弦长的最大值.【解答】设椭圆上任意一点M 的坐标为(cos ,sin )a b αα则||BM ===因为a>b>0，所以220b a -<①当2210b b a ω-≤<-，即a ≥时，取22sin ,b b a ωα=-得2max ||a BM c==②当2221b b a <--，即b a <<时，取sin 1,α=-得max ||2.BM b =题型四利用基本不等式5．函数3(0,1)xy aa a -=>≠的图象恒过定点A ，若点A 在双曲线221(0,0)x y m n m n-=>>上，则m n -的最大值为()A ．6B ．4C ．2D ．1【解答】解：由题意可知，函数3(0,1)xy a a a -=>≠的图象恒过定点(3,1)A ，又 点A 在双曲线221(0,0)x y m n m n-=>>上，∴911(0,0)m n m n-=>>，919()()()10()104n m m n m n m n m n -=--=-+-=，当且仅当9n m m n =时，即2n =，6m =时，等号成立．故选：B ．6．设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若C 的焦距为12，则OAB ∆面积的最大值为()A ．72B ．36C ．18D ．9【解答】解：双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为b y x a =±，C 的焦距为12，212c ∴=，即6c =，22236a b c ∴+==，直线x a =与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，∴不妨取(,)A a b ，B (,)a b -，OAB ∴∆面积221136||2182222a b S a AB a b ab+=⋅=⋅⋅===，当且仅当a b ==时，等号成立，OAB ∴∆面积的最大值为18．故选：C ．7．设O 为坐标原点，点(1,0)A ，动点P 在抛物线24y x =上，且位于第一象限，M 是线段PA的中点，则直线OM 的斜率的取值范围为()A ．(0，1]B ．(0,1)C ．(1,)+∞D ．[1，)+∞【解答】解：设点P 的坐标为2(4P m ，4)(0)m m >，很明显直线的斜率为正数，则：2221244(2,2),111241242OM m m M m m k m m m m+====+++，当且仅当12m =时等号成立即直线OM 的斜率的取值范围为(0，1]．故选：A ．8．椭圆2222:1(0,0)x y M a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆M 上任一点，且12||||PF PF ⋅最大值取值范围为2[2c ，23]c （其中222)c a b =-，则椭圆M 的离心率的取值范围是()A ．32[32B ．2[2C ．3[3D ．11[,32【解答】解：由题意的定义可得：12||||2PF PF a +=，再由均值不等式可得：2221212||||2||||(()22PF PF aPF PF a +⋅==，12||||PF PF ⋅的最大值为2a ，由题意可得22223c a c 可得21132e ，解得3232e，故选：A ．9．已知函数log (1)1(0a y x a =-+>，且1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在椭圆221x y m n+=上，则m n +的最小值为()A ．12B ．10C ．9D ．8【解答】解：对于函数log (1)1(0a y x a =-+>，且1)a ≠的图象，令11x -=，求得2x =，1y =，可得它的图象恒过定点(2,1)A ．因为点(2,1)A 在椭圆221(0x y m m n+=>，0n >，)m n ≠上，则411m n +=，则414()(559n m m n m n m n m n +=+⋅+=+++=，当且仅当2m n =时，等号成立，故m n +的最小值为9，故选：C ．10．抛物线2:4E y x =的焦点为F ，E 的准线l 与x 轴交于点A ，M 为E 上的动点．则||||MF MA 的最小值为()A ．1B ．32C ．22D ．12【解答】解：由题意可得焦点(,0)F a ，准线x a =-，过点M 作MH ⊥准线，所以||||cos ||||MF MH AMH MA MA ==∠，因为//HM AF ，所以cos cos ((0,))2AMH MAF MAF π∠=∠∠∈，求cos MAF ∠的最小值等价于求MAF ∠的最大值，设(,)M x y，21tan 144y y MAF y a y x a a a y a∠====+++，所以tan (0MAF ∠∈，1]，所以(0MAF ∠∈，4π．当4MAF π∠=时，cos MAF ∠最小值为22，所以||||MF MA最小值为2．故选：C ．题型五构造二次函数利用解析几何中的代数和识，把问题转化为关于某个变量的二次函数，利用二次函数的有关知识来求最值．11．抛物线22y x =上的点到直线50x ++=距离的最小值是()A ．3B ．85C ．74D ．43【解答】解：因为点P 在抛物线22y x =上，设200(,)2y P y ，则点P到直线50x ++=的距离20220000|5||10||(7|244y y y d +++++===0y R ∈ ，∴当0y =74min d =．故选：C ．12．已知点P 在椭圆22193x y +=上运动，点Q 在圆225(1)8x y -+=上运动，则||PQ 的最小为()A ．2B ．102C ．1024-D ．104【解答】解：设圆225(1)8x y -+=的圆心为A ，则(1,0)A ，设(,)P x y ，则222||(1)AP x y =-+，椭圆22193x y +=，∴2233x y =-，∴22222||2132433x AP x x x x =-++-=-+，[3x ∈-，3]，令22()243h x x x =-+，求导4()203h x x '=-=，解得32x =，()h x ∴在[3-，3)2单调递减，3(,3]2单调递增，()h x ∴在32x =时最小，即2||AP 最小值为52，10||2min AP ∴=，101010||||244min min PQ AP r =-=-=．故选：D ．13．已知抛物线21:4C y x =，过抛物线焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，若直线AO ，BO 分别交直线2y x =-于E ，F 两点，则||EF 的最小值()A ．253BC ．12825D【解答】设AB 的方程为1y kx =+代入214y x =，得2440x kx --=，所以124x x k +=，124x x =-，12||x x -=联立1112,84E y x x y y x x x =-⎧⎪⇒=⎨=-⎪⎩；同理可得284F x x =-，所以||EF ==，令43(0)k t t -=≠，34t k +=，||EF =，当0t >时，||EF =，当0t >时，82||5EF =，故||EF故选：D ．14．已知直线l 与抛物线24y x =交于A ，B 两点（点A 在第一象限，点B 在第四象限），与x 轴交于点(,0)M m ，若线段AB 的中点的横坐标为3，则m 的取值范围是()A ．(0，3]B ．(-∞，3]C ．(0，6]D ．(1，6]【解答】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，直线方程为(0)x ty m m =+>．联立24x ty m y x=+⎧⎨=⎩，消去x ，得2440y ty m --=，所以124y y t +=．所以21212()242x x t y y m t m +=++=+，因为A 、B 中点横坐标为3，所以126x x +=，故2323m t =-，又0m >，所以m 的取值范围(0，3]．故选：A ．15．P 为双曲线221x y -=左支上任意一点，EF 为圆22:(2)4C x y -+=的任意一条直径，则PE PF ⋅的最小值为()A ．3B ．4C ．5D ．9【解答】解：设(,)P x y ，且1x -，则221x y -=，设直线EF 的方程为2x my =+，222(2)4x my x y =+⎧⎨-+=⎩整理可得：22(1)4m y +=，解得y =设2E +，(2F +，，则2PE PF x ⋅=-，)(2y x ⋅+-，)y -222222244(2)2412(1)311m x y x x x m m=-+--+=--=--++，因为1x -，所以2(1)4x -，所以可得22(1)32435x --⨯-=，当直线的斜率为0时，则设(0,0)E ，(4,0)F ，这时(PE PF x ⋅=- ，)(4y x --，22)(4)241y x x y x x -=--+=-+，与上面类似，综上所述：5PE PF ⋅，故选：C ．16．在过动直线2x y t +=（其中(0,3])t a ∈与定直线2x y a -=的交点Q 的等轴双曲线系：22x y λ-=中，当t 取何值时，λ达到最大值与最小值？【解答】解：由22x y ax y t -=⎧⎨+=⎩得交点22(,)55t a t a Q +-，交点Q 坐标代入双曲线，222222142522()()[3(]552533t a t a a a x y t λ+-=-=-=--+，(0t ∈，3]a ，当43a t =，13max λ=又因为(0t ∈，3]a ，所以445333a aat -<-，所以45||33a a t -；当3t a =时，0min λ=，故43at =，达到最大值，3t a =时，达到最小值．17．已知抛物线2:C y x =，M 为x 轴负半轴上的动点，MA ，MB 为抛物线的切线，A ，B分别为切点，则MA MB的最小值为()A ．14-B ．18-C ．116-D ．12-【解答】解：设切线MA 的方程为x ty m =+，代入抛物线方程得20y ty m --=，由直线与抛物线相切可得△240t m =+=，则2(4t A ，)2t ，2(4t B ，)2t -，将点A 的坐标代入x ty m =+，得24t m =-，2(4t M ∴-，0)，∴2(2t MA MB = ，2)(22t t ，4222111)(2444216t t t t -=-=--，则当212t =，即2t =±时，MA MB 的最小值为116-故选：C ．题型六利用几何图形的性质18．已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，点R 是含抛物线顶点O 的弧AB 上一点，求RAB ∆的最大面积．【解答】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，AB 所在的直线方程为2py x =-，将其代入抛物线22y px =，得22304p x px -+=，∴212123,4p x x p x x +==，12|||4AB x x p ∴=-=，当过R 的直线l 平行于AB 且与抛物线相切时RAB ∆的面积有最大值．设直线l 方程为y x b =+，代入抛物线方程得2220y py pb -+=，由△2480p pb =-=，得2p b =，这时(,)2pR p ，它到AB 的距离为22h p =，RAB ∴∆的最大面积为21||2AB h = ．19．已知平行四边形ABCD 内接于椭圆2222:1(0)x y a b a b Ω+=>>，且AB ，AD 斜率之积的取值范围为43(,54--，则椭圆Ω的离心率的取值范围为()A．1)2B．22C．1(4D ．11(,54【解答】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由平行四边形对角线互相平分可得A 与C ，B 与D 关于原点对称，所以可得2(D x -，2)y -，所以2221121222211212AB ADy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-，将A ，B 的坐标代入可得22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩相减可得22221212220x x y y a b --+=，可得2221222212y y b x x a-=--，由题意可得：224354b a -<-<-，即223445b a <<，可得：2234145c a <-<，解得：5(5c e a =∈，1)2，故选：A ．20．设(,)P x y 是双曲线22154x y -=的右支上的点，则代数式-的最小值为()AB．-C-D3-【解答】解：表示点(,)P x y 到点(0,1)的距离与点(,)P x y 到点2(3,0)F 的距离之差，又双曲线22154x y -=的左右焦点左右焦点分别为1(3,0)F -，2(3,0)F ，根据双曲线定义可得212PF PF a =-，212PA PF PA PF a ∴-=-+，(,)P x y 是双曲线22154x y -=的右支上的点，1122PA PF a AF a ∴-+-+=，故选：B ．21．已知点P 是抛物线24y x =上的一个动点，点P 到点的距离与P 到y 轴的距离之和的最小值为()A ．1B C ．2D ．1【解答】解：抛物线24y x =，抛物线的焦点坐标(1,0)．依题点P 到点A 的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值，就是P 到与P 到该抛物线准线的距离的和减去1．由抛物线的定义，可得则点P 到点A 的距离与P 到该抛物线焦点坐标的距离之和减1，11=．故选：A ．22．已知抛物线2y ax =的焦点为(0,1)，直线1y kx =+与该抛物线相交于A ，B 两点，则线段AB 的最小值为()A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：由2y ax =，可得21x y a =，则114a =，即14a =，易知直线1y kx =+过该抛物线的焦点(0,1)，因为过焦点的弦中通径最短，所以线段AB 的最小值为14a=，故选：D ．23．已知双曲线22:18x C y -=的左焦点为F ，点M 在双曲线C 的右支上，(0,3)A ，当MAF∆的周长最小时，MAF ∆的面积为()A ．607B ．9C ．37D ．4【解答】解：如图，设C 的右焦点为F '，由题意可得a =，3c =，因为||||2MF MF a '-==，所以||||MF MF '=+，||AF =．MAF ∆的周长为||||||||||||10MA MF AF MA MF AF ''++=+++，即当A ，M ，F '三点共线时，MAF ∆的周长最小，此时直线AF '的方程为3y x =-+，联立方程组22318y x x y =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得17y =或1y =-，即此时M 的纵坐标为17，故MAF ∆的面积为111160||||||||6(322277M FF OA FF y ''⋅-⋅=⨯⨯-=．故选：A．题型七利用圆锥曲线的定义24．已知椭圆22143x y +=，F 是椭圆的左焦点，P 是椭圆上一点，若椭圆内一点(1,1)A ，则||||PA PF +的最小值为()A ．3BC12D1【解答】解：由椭圆的方程可得24a =，焦点(1,0)F -，因为A 在椭圆内部，设右焦点F '，则(1,0)F '，则||||||2||2||||413PA PF PA a PF a PA PF ''+=+-+-=-=，当且仅当P ，A ，F '三点共线时取等号，故选：A ．25．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，设A 和B 是C 上的两点，且M 是线段AB 的中点，若||6AB =，则M 到y 轴的距离的最小值是()A ．2B ．4C ．6D ．8【解答】解：因为C 的方程为24y x =，所以(1,0)F ，过A 作准线1x =-的垂线，垂足为E ，过B 作准线的垂线，垂足为D ，过M 作准线的垂线，垂足为K ，根据抛物线定义可得：||||||||||6AF BF AE BD AB +=+=，则1||(||||)32MK AE BD =+，所以，线段MN 的中点M 到C 的准线1x =-的距离最小值为3，故点M 到y 轴的距离最小值为312-=．故选：A．26．双曲线22:148x y C -=，已知O 是坐标原点，A 是双曲线C 的斜率为正的渐近线与直线233x =的交点，F 是双曲线C 的右焦点，D 是线段OF 的中点，若B 是圆221x y +=上的一点，则ABD ∆的面积的最小值为()A．2-B．33-C ．2D．13-【解答】解：由双曲线22:148x y C -=的方程知24a =，28b =，2a ∴=，b =c ==，所以斜率为正的渐近线方程为y =，与直线233x =的交点A 的坐标为2326((,33，AD点D的坐标为，所以直线AD的方程为y x =--，AD ==点B 是圆221x y +=的动点，当点B 到直线AD 的距离最小时ABD ∆的面积的最小，又点B 到直线AD113=-，所以ABD ∆的面积的最小值为126223(1)232S ==．故选：A ．27．已知M 为抛物线2:4C y x =上一点，过抛物线C 的焦点F 作直线(1)52x m y m +-=-的垂线，垂足为N ，则||||MF MN +的最小值为()A．3B．2-C．2+D．3【解答】解：由题可得抛物线焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-，过点M 作MD 与准线垂直，交于点D ，直线(1)52x m y m +-=-整理得(2)5m y y x +=-+，联立2050y y x +=⎧⎨-+=⎩可得32x y =⎧⎨=-⎩，即该直线过定点(3,2)-，设(3,2)P -，连接FP ，取FP 中点E ，则(2,1)E -，||EP =，若FN l ⊥，则N 在以FP 为直径的圆上，该圆方程为(2)2(1)22x y -++=，又由||||MF MD =，得||||||||MF MN MD MN +=+，如图，||||MD MN +的最小值为圆(2)2(1)22x y -++=上的点到准线的距离的最小值，过点E 作ED '与准线1x =-垂直并交于点D '，与圆E 交于点N '，与抛物线交于点M ’，则||D N ''即为||||MD MN +的最小值，即||||MD MN +的最小值为||3ED r '-=．故选：D ．28．已知双曲线2221(0)4x y b b -=>0y -=，右焦点为F ，点M 在双曲线左支上运动，点N 在圆22(3)1x y ++=上运动，则||||MN MF +的最小值为()A ．6B ．7C ．8D ．9【解答】解：由题意双曲线2221(0)4x y b b-=>0y -=，可得2a =，则b =可得双曲线221412x y -=，焦点为(4,0)F ，(4,0)F '-，由双曲线的定义可得||2||4||MF a MF MF =+'=+'，由圆22(3)1x y ++=可得圆心(0,3)C -，半径1r =，||||4||||MN MF MN MF +=++'，连接CF '，交双曲线于M ，圆于N ，可得||||MN MF +取得最小值，且为||5CF '==，则||||MN MF +的最小值为4518+-=．故选：C ．。
2019-2020年高三数学圆锥曲线中的最值问题复习教案新人教A版教学目的：1．掌握求圆锥曲线中的有关最值的基本方法2..学会用联系的观点、运动的观点看问题教学重点：求圆锥曲线中的有关最值教学难点：求圆锥曲线中的有关最值教学方法：引导探究法教具：多媒体过程；一、练习，并思考求圆锥曲线中的有关最值的基本方法1、椭圆22221(0)x ya ba b+=>>上的点到焦点F（C,0）的最大距离为______A、a-cB、a+cC、b+cD、b-c2、已知平面内有一固定线段AB，其长度为4，动点满足|PA|-|PB|=3，O为AB的中点，则|OP|的最小值为_________A、1B、C、2D、33、以椭圆短轴的一端点和椭圆的两焦点为顶点的三角形的面积为1，则椭圆长轴的最小值为__________A、B、C、2 D、4、P为抛物线x2=4y上的一动点，定点A（8,7）,则P到x轴与到A点的距离之和的最小值为________二、范例例1、设实数x、y满足，则3x+4y的最大值是______最小值是_____变题如图，已知A、B是椭圆的两个顶点，C、D是椭圆上两点，且分别在AB两侧，则四边形ACBD面积的最大值是_____x例2、设椭圆C 1：的左焦点为F ，左准线为，动直线l 2垂直于点P ，线段PF 的垂直平分线交于点M⑴试求点M 的轨迹方程；⑵求点M 到圆O 上的点的最短距离。
点评：用代数法需要较强的代数变形能力，而充分运用图形的几何性质可以使问题得到简化三、小结：1．掌握求圆锥曲线中的有关最值的基本方法：2. 解析几何是研究“形”的科学，在求圆锥曲线的最值问题时要善于结合图形，通过数形结合将抽象的问题、繁杂的问题化归为动态的形的问题，从而使问题顺利解决.3. 涉及焦点、准线、离心率的问题要灵活地利用圆锥曲线的定义或焦半径去解决. 课后练习：121.(3,0)(3,0)90.F F x y --+=已知点、，求与直线有公共点的椭圆中长轴最短的椭圆方程222.1(2,1)31||||.2y x P A F PA PF -=+已知双曲线上动点和定点，且为双曲线的右焦点，求的最小值 23.3.AB y x AB M M y d =长度为的线段的两个端点在抛物线上移动，线段的中点为，求点到轴距离的最小值22222224.:1(0):.x y C a b P O x y b a bPA PB A B AB x y M N MON +=>>+=∆过椭圆上的动点向圆引两条切线、，切点分别是、，直线与轴、轴分别交于、两点，求的面积的最小值。
一、椭圆的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这 叫做椭圆的焦点， 叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为 ．(1)当动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝常数>|F 1F 2|时，动点M 的轨迹为 ． (2)当动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝常数＝|F 1F 2|时，动点M 的轨迹为 ． (3)当动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝常数<|F 1F 2|时，动点M 的轨迹不存在．二、椭圆的标准方程焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 标准方程x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0) y 2a 2＋x2b2＝1(a ＞b ＞0) 图形焦点 与与a ，b ，c 的关系c 2＝1．椭圆的简单几何性质 焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准 方程 x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0) y 2a 2＋x2b2＝1(a>b>0) 轴长 短轴长|B 1B 2|＝ ，长轴长|A 1A 2|＝ 焦点 F 1 ，F 2F 1 ，F 2焦距 |F 1F 2|＝2c范围对称性 对称轴为 ，对称中心为 顶点离心率e ＝ca(0<e<1) 第三章 圆锥曲线的方程第一部分 椭圆2.离心率的性质四、直线与椭圆的位置关系1.直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)的位置关系：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y2b2＝1，消去y 得一个关于x 的一元二次方程.位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 解 Δ 0 相切 解 Δ 0 相离解Δ 02.弦长公式当直线的斜率存在时，斜率为k 的直线l 与椭圆相交于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两个不同的长点，则弦公式的常见形式有如下几种：(1)|AB|＝1＋k 2|x 1－x 2|； (2)|AB|＝ 1＋1k 2|y 1－y 2|(k ≠0)；(3)|AB|＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2]； (4)|AB|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[y 1＋y 22－4y 1y 2]（k ≠0）.3.中点弦斜率公式：设M(x 0,y 0)为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的弦AB 的中点(弦AB 斜率存在)，请利用“点差法”推导k AB = - b 2x 0a 2y 0.结论：焦点在x 轴上: x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0) ，弦中点M(x 0,y 0)，中点弦斜率公式： k AB= - b 2x 0a 2y 0焦点在y 轴上:y 2a 2+x 2b 2=1(a ＞b ＞0) ，弦中点M(x 0,y 0)，中点弦斜率公式： k AB = - a 2x 0b 2y 04.焦半径： 焦点弦：通径：一、双曲线的定义1.定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的 等于非零常数( )的点的轨迹叫做双曲线．焦点：两个定点 ；焦距： 的距离，表示为|F 1F 2|.2.双曲线就是下列点的集合：P ＝{M|||MF 1|－|MF 2||＝2a,0<2a<|F 1F 2|}．注意：平面内到两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值为非零常数，即||MF 1|－|MF 2||＝2a 。
圆锥曲线最值问题1 常见的几何模型①圆外点到圆上点的距离圆⊙O外一点A与圆上一点B的距离AB最小值是AB1=AO−r，最大值AB2=AO+r(r是圆的半径).②圆上点到圆外直线的距离圆上一动点P到圆外一定直线l的距离最小值是d−r，最大值d+r(r是圆的半径，d是圆心到直线l的距离)；③三点共线模型一动点P到两定点A、B的距离分别为PA、PB，当P、A、B共线，且点P在A、B之间时，PA+PB取到最小值P1A+P1B=AB；当P、A、B共线，且点P在A、B同侧时，|PA−PB|取到最大值|P1A−P1B|=AB；其本质是三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；④将军饮马模型点A、B在直线l同侧，点P在直线l上，那(AP+BP)min=AP1+BP1；⑤垂线段最值模型点A是∠MON内外的一点，点P在OM上，PA与点P到射线ON的距离之和为PA+PB．(1) 点A是∠MON外，(PA+PB)min=AB1(2) 点A是∠MON内，(PA+PB)min=A′B1⑥胡不归模型如图，求k∙AC+BC(0<k<1)，构造射线AE，使得角度sinα=k，则k∙AC+BC=CD+BC，问题转化为“垂线段模型”，则(k∙AC+BC)min=BF.⑦阿氏圆模型如图，圆O半径是r，点A，B在圆O外，点P是圆O上一动点，已知r=k∙OB，求k∙BP+AP的最小值.在线段OB上截取OC=k∙r，则COOP =OPOB=k⇒∆BPO∽∆PCO，即k∙PB=PC，则k∙BP+AP的最小值转化为PC+PA的最小值，当然是AC，即(k∙BP+AP)min=AC.2最值问题常见处理方法①几何法通过观察掌握几何量的变化规律，利用几何知识点找到几何量取到最值的位置，从而求出最值，这需要熟悉常见的几何模型.②代数法理解几何量之间的变化规律，找到“变化源头”，通过引入恰当的参数(一般与源头有关)，把所求几何量表示成参数的式子，再利用求函数最值的方法（基本不等式、换元法、数形结合等）求得几何量的最值.【方法一】几何法【典题1】已知椭圆C：x225+y216=1内有一点M(2 ,3)，F1 ,F2为椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上的一点，求：(1)|PM|－|PF1|的最大值与最小值；(2)|PM|+|PF1|的最大值与最小值．【解析】(1)由椭圆C：x 225+y216=1可知a=5 ,b=4 ,c=3，则F1(－3 ,0) ,F2(3 ,0)，则||PM|－|PF1||≤|MF1|=√34，当且仅当P、M、F1三点共线时成立，所以−√34≤|PM|－|PF1|≤√34，所以|PM|－|PF1|的最大值与最小值分别为√34和−√34；(2)2a=10 ,F2(3 ,0) ,|MF2|=√10，设P是椭圆上任一点，由|PF1|+|PF2|=2a=10 ,|PM|≥|PF2|－|MF2|，∴|PM|+|PF1|≥|PF2|－|MF2|+|PF1|≥2a－|MF2|=10−√10，等号仅当|PM|=|PF2|－|MF2|时成立，此时P、M、F2共线，由|PM|≤|PF2|+|MF2|，∴|PM|+|PF1|≤|PF2|+|MF2|+|PF1|=2a+|MF2|=10+√10，等号仅当|PM|=|PF2|+|MF2|时成立，此时P、M、F2共线，故|PM|+|PF1|的最大值10+√10与最小值为10−√10．【点拨】本题采取几何法，通过三点共线模型与椭圆的定义进行求解.【典题2】设P是抛物线y2=4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，记点P到点A(－1 ,1)的距离与点P到直线x=－1的距离之和的最小值为M，若B(3 ,2)，记|PB|+|PF|的最小值为N，则M+N=．【解析】如图所示，过点P作PG垂直于直线x=－1，垂足为点G，由抛物线的定义可得|PG|=|PF|，所以点P到直线x=－1的距离为|PG|，所以|PA|+|PG|=|PA|+|PF|≥|AF|=√5，(三点共线模型)当且仅当A、P、F三点共线时，|PA|+|PG|取到最小值，即M=√5．如图所示，过点P作直线PH垂直于直线x=－1，垂足为点H，由抛物线的定义可得|PH|=|PF| ,点B到直线x=－1的距离为d=4，所以|PB|+|PF|=|PB|+|PH|≥4，当且仅当B、P、H三点共线时，等号成立，即N=4，(垂线段最值模型)因此M+N=√5+4．【点拨】①本题采取几何法，通过几何模型与抛物线的定义进行求解；②处理抛物线类似的题目，注意点在抛物线之内还是之外，比如本题点A在抛物线外，点B在抛物线内.=1，如图，点A的坐标为(−√5 ,0)，B是圆x2+(y−√5)2=1上的点，【典题3】已知双曲线方程为x2−y24点M在双曲线的右支上，求|MA|+|MB|的最小值．【解析】设点D的坐标为(√5，0)，则点A ,D是双曲线的焦点，由双曲线的定义，得|MA|－|MD|=2a=2．∴|MA|+|MB|=2+|MB|+|MD|≥2+|BD|，(此时相当于把点B看成“定点”看待，当M,B,D三点共线时|MB|+|MD|取到最小值，这是处理两动点的常规方法)又B 是圆x 2+(y −√5)2=1上的点，圆心为C(0，√5)， 半径为1，故|BD|≥|CD|－1=√10−1， 从而|MA|+|MB|≥2+|BD|≥√10+1，当点M ,B 在线段CD 上时取等号，即|MA|+|MB|的最小值为√10+1．【点拨】本题眨眼一看，存在两动点M 、B ，有些头疼.题中通过双曲线的定义把|MA|+|MB|的最小值转化为|BD|最小值问题，这就是圆外一点到圆上最短距离问题，即|BD|≥|CD|－1=√10−1.注意两动点最值问题处理的方式.【典题4】 椭圆x 24+y 23=1上的点到直线l ：2x +√3y －9=0的距离的最大值为 .【解析】 设与直线2x +√3y －9=0平行的直线2x +√3y +m =0与椭圆x 24+y 23=1相切，由{2x +√3y +m =0x 24+y 23=1得25x 2+16mx +4m 2−36=0， 由∆=0得m =±5，设直线2x +√3y +m =0与直线2x +√3y －9=0的距离为d ， 当m =5时，d =4√77； 当m =−5时，d =2√7.椭圆x 24+y 23=1上的点到直线2x +√3y －9=0的距离的最大值为2√7.【点拨】通过观察，可知与直线l 平行且与椭圆相切的直线与椭圆的切点即是取到最小距离的点，最小距离为两平行线的距离.【方法二】代数法【典题1】 求点A(a ,0)到椭圆x 22+y 2=1上的点之间的最短距离． 【解析】设椭圆x 22+y 2=1上的点P(x ,y)，其中−√2≤x ≤√2，则PA 2=(x −a )2+y 2=(x −a)2+1−x 22=x 22−2ax +a 2+1 (曲线消元)设f (x )=x 22−2ax +a 2+1， −√2≤x ≤√2，其对称轴为x =2a ，(构造函数，问题转化为二次函数定区间动轴最值问题) ① 当2a <−√2，即a <−√22时，y =f(x)在[−√2 ,√2]上递增，则f (x )min =f(−√2)=a 2+2√2a +2=(a +√2)2，即PA 的最小值为|a +√2|； ②当−√2≤2a ≤ √2，即−√22≤a ≤√22时，y =f(x)在[−√2 ,√2]上先递减再递增，则f (x )min =f (2a )=2a 2−4a 2+a 2+1=1−a 2，即PA 的最小值为√1−a 2； ③当2a > −√2，即a >−√22时，y =f(x)在[−√2 ,√2]上递减，则f (x )min =f(√2)=a 2−2√2a +2=(a −√2)2，即PA 的最小值为|a −√2|； 综上，当a <−√22时，|PA|最小为|a +√2|；−√22≤a ≤√22时，|PA|最小为√1−a 2；a >−√22时，|PA|最小为|a −√2|．【点拨】① 两点A 、B 距离AB 往往用两点距离公式√(x A −x B )2+(y A −y B )2表示；② 本题把求距离最值问题转化为函数的最值问题，函数问题优先讨论定义域x ∈[−√2 ,√2]，函数含有参数a ，则按照“二次函数动轴定区间最值问题”的解题套路根据对称轴x =2a 与区间[−√2 ,√2]的相对位置进行分类讨论；③ 本题还是利用椭圆的参数方程{x =acosθy =bsinθ，设椭圆上点P(√2cosθ ,sinθ)，从而构造函数|PA|=√cos 2θ−2√2acosθ+a 2+1进行分析，相当引入变量θ表示PA ，而解析中是引入变量x .【典题2】 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，左顶点为A ，离心率为√22，点B 是椭圆上的动点，△ABF 1的面积的最大值为√2−12． (1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点F 1的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，线段MN 的中垂线为l′．若直线l′与直线l 相交于点P ，与直线x =2相交于点Q ，求|PQ||MN|的最小值．【解析】(1)过程略，椭圆C 的方程为x 22+y 2=1． (2)(采取代数法，思路很直接，引入变量表示|PQ||MN|再求其最值，而|PQ |,|MN|是线段，用两点距离公式和弦长公式求出，由于它们是由直线l 引起，故该变量与直线方程有关) 由题意知直线l 的斜率不为0，故设直线l 的方程为x =my －1， 设M(x 1 ,y 1) ,N(x 2 ,y 2) ,P(x P ,y P ) ,Q(2 ,y Q )． 联立{x 2+2y 2=2x =my −1，得(m 2+2)y 2－2my －1=0．此时△=8(m 2+1)>0．∴y 1+y 2=2mm 2+2，y 1y 2=−1m 2+2．由弦长公式，得|MN |=√1+m 2|y 1−y 2|=√1+m 2√4m 2+4m 2+8m 2+2=2√2⋅m 2+1m 2+2，(用m 表示|MN |，弦长公式求得) 又y P =y 1+y 22=m m 2+2，∴x P =my P －1=−2m 2+2．∴P(−2m 2+2,mm 2+2)，∵直线l 与直线l′相互垂直，∴k PQ ∙k l =−1 ∴y Q −m m 2+22+2m 2+2⋅1m=−1⇒y Q =−2m −mm 2+2, 即Q(2 ,−2m −mm 2+2)，∴|PQ|=√1+m 2⋅2m 2+6m 2+2，∴|PQ||MN|=22√2√m 2+1=√22⋅2√m 2+1=√22(√m 2+1√m 2+1)≥2，当且仅当√m 2+1=√m 2+1m =±1时等号成立．∴当m =±1，即直线l 的斜率为±1时，|PQ||MN|取得最小值2． 【点拨】 ① 本题中求|PQ||MN|的最小值，用代数法，则可把|PQ|、|MN|表示出来，|MN|用到了弦长公式，而|PQ|用两点距离公式，最后|PQ||MN|=√222√m 2+1，则问题就转化为求函数f (m )=√22⋅2√m 2+1的最小值，利用了基本不等式求解；② 求|PQ|时，也可以|PQ |=√1+m 2|x P −2|=√1+m 2⋅2m 2+6m 2+2.【典题3】P是抛物线x2=2y上的动点，过P(x0 ,y0)作圆C：x2+(y－1)2=1的两条切线l1，l2交x轴于A，B 两点，(1)若两条切线l1，l2的斜率乘积为1，求P点的纵坐标；(2)求当4<y0<8时，△PAB面积的取值范围．【解析】(1)设点直线PA ,PB的斜率分别为k1 ,k2，记P(x0 ,y0)∴PA的方程：y－y0=k1(x－x0)，则由直线l1与圆相切得：010√1+k1=1⇒(x02−1)k12+2x0(1−y0)k1+y02−2y0=0同理直线l2与圆相切可得(x02−1)k22+2x0(1−y0)k2+y02−2y0=0所以k1 ,k2是(x02−1)k2+2x0(1−y0)k+y02−2y0=0的两根，∴k1k2=y02−2y0 x02−1又∵k1k2=1．∴y02−2y0=x02−1，又x02=2y0，∴y02−4y0+1=0，∴y0=2±√3．(2)由(1)得x A=x0−y0k1，x B=x0−y0k2，∴S△PAB=12|AB||y P|=12y02|1k1−1k2|=12y02|k2−k1k1k2|由(1)知：|k1k2|=|y02−2y0x02−1| ,|k1−k2|=|2√y02−2y0+x02x02−1|=|2√y02x02−1|=|2y0x02−1|；∴S△PAB=12y02|k2−k1k1k2|=12y02|2y0y02−2y0|=y02|y0−2|=y02y0−2，故令t=y0－2∈(2 ,6)，∴S△PAB=y02y0−2=(t+2)2t=t+4t+4∵f(t)=t+4t+4在(2 ,6)上递增，故函数值域为(8 ,323)，即△PAB 面积的取值范围为(8 ,323)．【点拨】① 若x 1、x 2满足ax 12+bx 2+c =0 ,ax 22+bx 2+c =0(a ≠0)，则x 1、x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根；② 本题求△PAB 面积的取值范围，则先求出S △PAB =y 02y 0−2(本题给出了y 0的范围，用y 0作为变量表示面积很自然)，则问题就变成求函数f (y 0)=y 02y 0−2， y 0∈(4 ,8)的值域问题，用到了换元法与对勾函数f (t )=t +4t的性质.【典题4】 如图，已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)，G 为圆H ：(x +2)2+y 2=1上一动点，由G 向C 引切线，切点分别为E ，F ，当G 点坐标为(－1 ,0)时，△GEF 的面积为4． (1)求C 的方程；(2)当点G 在圆H ：(x +2)2+y 2=1上运动时，记k 1，k 2，分别为切线GE ，GF 的斜率，求|1k 1−1k 2|的取值范围．【解析】(1)设切线方程为：y =k(x +1)，不妨设k >0． 联立{y =k(x +1)y 2=2px ，化为k 2x 2+(2k 2－2p)x +k 2=0，则△=(2k 2－2p)2－4k 4=0，化为p =2k 2．方程k 2x 2+(2k 2－2p)x +k 2=0化为(x －1)2=0，解得x =1． ∴E(1 ,2k)，由对称性可知F(1,−2k)，∵△GEF 的面积为4，∴12×2×4k =4，解得k =1． ∴p =2．∴C 的方程为：y 2=4x ．(2)设G(x 0 ,y 0) ,(－3≤x 0≤－1)，则y 02=1−(x 0+2)2．设切线方程为：y －y 0=k(x －x 0)，联立{y −y 0=k(x −x 0)y 2=4x ，化为ky 2－4y +4(y 0－kx 0)=0，△1=16－16k(y 0－kx 0)=0．∴x 0k 2－ky 0+1=0，∴k 1+k 2=y 0x 0,k 1k 2=1x 0，∴|k 1－k 2|=√(k 1+k 2)2−4k 1k 2=√y 02x 02−4x 0=√y 02−4x 0|x 0|．∴|1k 1−1k 2|=|k 1−k 2||k 1k 2|=√y 02−4x 0=√1−(x 0+2)2−4x 0=√−(x 0+4)2+13∈[2 ,2√3].∴|1k 1−1k 2|的取值范围是[2 ,2√3]．【点拨】理解到本题的变化源头在点G(x 0 ,y 0)，利用直线与抛物线相切把|1k 1−1k 2|用x 0 ,y 0表示，由于y 02+(x 0+2)2=1，想到消元y 0，得到|1k 1−1k 2|=√−(x 0+4)2+13，把问题转化为求函数f (x 0)=√−(x 0+4)2+13的值域，注意到x 0的取值范围. 巩固练习1(★★) 已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，定点A(2 ,2)，在此抛物线上求一点P ，使|PA|+|PF|最小，则P 点坐标为( ) A ．(－2,2) B ．(1，√2)C ．(1,2)D ．(1,－2)【答案】 C【解析】根据抛物线的定义，点P 到焦点F 的距离等于它到准线l 的距离， 设点P 到准线l ：x =－1的距离为PQ,则所求的|PA|+|PF|最小值，即|PA|+|PQ|的最小值；根据平面几何知识，可得当P 、A 、Q 三点共线时|PA|+|PQ|最小， ∴|PA|+|PQ|的最小值为A 到准线l 的距离；此时P 的纵坐标为2，代入抛物线方程得P 的横坐标为1，得P(1,2) 故选：C ．2(★★) F 是椭圆x 29+y 25=1的左焦点，P 是椭圆上的动点，A(1 ,1)为定点，则|PA|+|PF|的最小值是( ) A ．9−√2B ．3+√2C ．6−√2D ．6+√2 【答案】 C【解析】椭圆x 29+y 25=1的a =3，b =√5，c =2，如图，设椭圆的右焦点为F′(2,0)，则|PF|+|PF′|=2a =6；∴|PA|+|PF|=|PA|+6－|PF′| =6+|PA|－|PF′|；由图形知，当P 在直线AF′上时，||PA |－|PF ′||=|AF ′|=√2，当P 不在直线AF′上时，根据三角形的两边之差小于第三边有，||PA|－|PF′||<|AF′|=√2；∴当P 在F′A 的延长线上时，|PA|－|PF′|取得最小值−√2，∴|PA|+|PF|的最小值为6−√2．故选：C ．3(★★) 点P 是双曲线x 24−y 2=1的右支上一点，M 、N 分别是(x +√5)2+y 2=1和(x −√5)2+y 2=1上的点，则|PM|－|PN|的最大值是( )A ．2B ．4C ．6D ．8 【答案】C【解析】双曲线x 24−y 2=1中，如图：∵a =2,b =1,c =√5，∴F 1(−√5,0),F 2(√5,0)，∴|MP|≤|PF 1|+|MF 1|，…①∵|PN|≥|PF 2|－|NF 2|，可得－|PN|≤－|PF 2|+|NF 2|，…②∴①②相加，得|PM|－|PN|≤|PF 1|+|MF 1|－|PF 2|+|NF 2|=(|PF 1|－|PF 2|)+|MF 1|+|NF 2|∵|PF 1|－|PF 2|=2a =2×2=4,|MF 1|=|NF 2|=1∴|PM|－|PN|≤4+1+1=6故选：C ．4(★★★) 【多选题】已知抛物线x 2=2py(p >0)的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆交x 轴于M ，N 两点，设线段AB 的中点为Q ．若抛物线C 上存在一点E(t ,2)到焦点F 的距离等于3．则下列说法正确的是( )A ．抛物线的方程是x 2=2yB ．抛物线的准线是y =－1C ．sin∠QMN 的最小值是12D ．线段AB 的最小值是6【答案】BC【解析】(1)抛物线C ：x 2=2py(p >0)的焦点为F (0，p 2)，得抛物线的准线方程为y =−p 2， 点点E(t,2)到焦点F 的距离等于3，可得2+p 2=3，解得p =2， 则抛物线C 的方程为x 2=4y ；所以A 不正确；抛物线的准线方程：y =－1，所以B 正确；(2)由题知直线l 的斜率存在，F(0,1)，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线l 的方程为y =kx +1，由{y =kx +1x 2=4y，消去y 得x 2－4kx －4=0，所以x 1+x 2=4k,x 1x 2=－4，所以y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2=4k 2+2，所以AB 的中点Q 的坐标为(2k,2k 2+1)，|AB|=y 1+y 2+p =4k 2+2+2=4k 2+4，所以圆Q 的半径为r =2k 2+2，在等腰△QMN 中，sin∠QMN =|y Q |r =2k 2+12k 2+2=1−12k 2+2≥1−12=12， 当且仅当k =0时取等号．所以sin∠QMN 的最小值为12．所以C 正确； 线段AB 的最小值是：y 1+y 2+2=4k 2+4≥4．所以D 不正确；故选：BC ．5(★★) 设P ,Q 分别为圆x 2+(y −6)2=2和椭圆x 210+y 2=1上的点，则P ,Q 两点间的最大距离是 ．【答案】 6√2【解析】设椭圆上的点为(x,y)，则∵圆x 2+(y －6)2=2的圆心为(0,6)，半径为√2， ∴椭圆上的点(x,y)到圆心(0,6)的距离为√x 2+(y −6)2=√10(1−y)2+(y −6)2=√−9(y +23)2+50≤5√2∴P,Q 两点间的最大距离是5√2+√2=6√2．6(★★★) E 、F 是椭圆x 24+y 22=1的左、右焦点，点P 在直线x =2√2上，则∠EPF 的最大值是 ．【答案】π6 【解析】设P(2√2，t)(t >0)，则tan∠EPF =tan(∠EPM －∠FPM)=3√2t −√2t 1+3√2×√2t 2=2√2t+6t ≤√33(当且仅当t =√6时取等号) 此时tan∠EPF =√33，∠EPF =π6. 7(★★★) 已知过抛物线C ：y 2=4x 焦点的直线交抛物线C 于P,Q 两点，交圆x 2+y 2－2x =0于M ，N 两点，其中P ，M 位于第一象限，则1|PM|+4|QN|的最小值为 ．【答案】4【解析】设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)，再设PQ 的方程为x =my +1，联立{x =my +1y 2=4x，得y 2－4my －4=0． ∴y 1+y 2=4m ，y 1y 2=－4，则x 1x 2=(y 1y 2)216=1．|PM|∙|QN|=(|PF|－1)(|QF|－1)=(x 1+1－1)(x 2+1－1)=x 1x 2=1，则1|PM|+4|QN|≥2√1|PM|⋅4|QN|=4． ∴1|PM|+4|QN|的最小值为4．8(★★★) 如图，抛物线C ：x 2=2py(p >0)的焦点为F ，以A(x 1 ,y 1)(x 1≥0)为直角顶点的等腰直角△ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线C 上．(1)过Q(0 ,－3)作抛物线C 的切线l ，切点为R ，点F 到切线l 的距离为2，求抛物线C 的方程；(2)求△ABC 面积的最小值．【答案】 (1) x 2=4y (2) 4p 2【解析】(1)设过点Q(0,－3)的抛物线C 的切线l ：y =kx －3，联立抛物线C ：x 2=2py(p >0)，得x 2－2pkx +6p =0，则△=4p 2k 2－4×6p =0，得pk 2=6，∵F(0，p 2)，F 到切线l 的距离为d =|p 2+3|√k 2+1=2， 化简得(p +6)2=16(k 2+1)，∴(p +6)2=16(6p +1)=16(p+6)p∵p >0，∴p +6>0，得p 2+6p －16=(p +8)(p －2)=0，∴p=2．∴抛物线方程为x2=4y．(2)已知直线AB不会与坐标轴平行，设直线AB：y－y1=t(x－x1)(t>0)，联立抛物线方程，得x2－2ptx+2p(tx1－y1)=0，则x1+x B=2pt，则x B=2pt－x1，同理可得x C=−2pt−x1．∵|AB|=|AC|，即√1+t2|x B－x1|=√1+1t2|x C－x1|，∴t(x B－x1)=x1－x C，即x1=p(t 2−1t)t+1．∴|AB|=√1+t2|x B－x1|=√1+t2(2pt－2x1)=2p√1+t2(t2+1)t(t+1)．∵t2+1t≥2(当且仅当t=1时，等号成立)，√t2+1 t+1=√t2+1t2+2t+1≥√t2+1t2+1+(t2+1)=√22(当且仅当t=1时等号成立)，所以|AB|≥2√2p，△ABC面积的最小值为4p2．9(★★★★) 已知抛物线C:y2=2px(p>0)，焦点为F，直线l交抛物线C于A(x1 ,y1)，B(x2 ,y2)两点，D(x0 ,y0)为AB的中点，且|AF|+|BF|=1+2x0．(1)求抛物线C的方程；(2)若x1x2+y1y2=－1，求x0|AB|的最小值．【答案】(1) y2=2x(2) √24【解析】(1)根据抛物线的定义知|AF|+|BF|=x1+x2+p，x1+x3=2x D，∵|AF|+|BF|=1+2x D，∴p=1，∴y2=2x．(2)设直线l的方程为x=my+b，代入抛物线方程，得y2－2my－2b=0，∵x1x2+y1y2=－1，即y12y124+y1y2=−1，∴y1y2=－2，即y1y2=－2b=－2，∴b=1，∴y1+y2=2m，y1y2=－2，|AB|=√1+m2|y1−y2|=√1+m2⋅√(y1+y2)2−4y1y2=2√1+m2⋅√m2+2x D=x1+x22=y12+y124=14[(y1+y2)2−2y1y2]=m2+1，∴x0|AB|=22√m2+1⋅√m2+2令t=m2+1，t∈[1,+∞)，则x0|AB|=2√t⋅√t+1=2√1+1t≥√24；即x0|AB|的最小值为√24．。
