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2020年高考数学圆锥曲线中的最值问题(共16张PPT)

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人教版数学选择性必修第一册综合复习：圆锥曲线中的最值、范围、证明问题课件

人教版数学选择性必修第一册综合复习：圆锥曲线中的最值、范围、证明问题课件

(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,PE⊥x轴,垂足为E,连接
QE并延长交C于点G.
(i)证明:△PQG是直角三角形;
(ii)求△PQG面积的最大值.
[例1] (课标全国Ⅱ,21,12分)已知点A(-2,0), B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM
1
2
的斜率之积为− .记M的轨迹为曲线C.
2
=1.
1. (洛阳统考)已知椭圆C:
2
2
+
2
2
=1(a>b>0), O为坐标原点, F(- 2,0)为椭圆C
2
2
的左焦点,离心率为 , 直线l与椭圆相交于A,B两点.
(2)若M(1,1)是弦AB的中点, P是椭圆C上一点, 求△PAB面积的最大值.
设A(x1,y1), B(x2,y2).
,
y1y2=k x1x2+2k(x1+x2)+4=
,
3+4 2
3+4 2
1 +2 2 +2 1 2 +2 1 +2 +4
所以k1·k2=
·
=
=k2+12,
1
2
1 2
1
49
因为k2∈ , +∞ , 所以k2+12∈
, +∞ ,
4
4
49
所以k1·k2的取值范围是 , +∞ .
4
考向三
令Δ1=16m2-24(m2-4)=0,得m=±2 3.
∵P是椭圆C上一点,
∴P点到AB的最大距离即直线x+2y+2 3 =0到直线l的距离d.

专题50圆锥曲线的综合应用问题范围与最值问题ppt课件

专题50圆锥曲线的综合应用问题范围与最值问题ppt课件

第1轮 ·数学
第八章 为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能
解析几何
解 (1)设椭圆的半焦距长为c，
则由题设有ac＝ 36， a－c＝ 3－ 2，
解得a＝ 3，c＝ 2，∴b2＝1， 故椭圆C的方程为y32＋x2＝1．
第1轮 ·数学
第1轮 ·数学
第八章 为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能
解析几何
考向1：建立函数关系利用基本不等式或二次函数求最值
(2019·山东滨州检测)已知椭圆C：x2＋2y2＝4． (1)求椭圆C的离心率； (2)设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长 度的最小值． 解 (1)由题意，椭圆C的标准方程为x42＋y22＝1， 所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2． 因此a＝2，c＝ 2．
综上所述，O→E·O→F的取值范围是[－8,2].
第1轮 ·数学
第八章 为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能
解析几何
自主 完成
圆锥曲线中的最值问题是高考中的常考题型，难度一般较大，常常把不等式、 函数、圆及圆锥曲线等知识结合在一起，注重数学思想方法的考查，尤其是函数思 想、数形结合思想、分类讨论思想的考查.
第1轮 ·数学
第八章 为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能
解析几何
所以
O→E
·O→F
＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝

圆锥曲线中的最值问题

圆锥曲线中的最值问题

面积最值问题
总结词
面积最值问题主要研究圆锥曲线与其 内部区域的面积的最小或最大值。
详细描述
求解面积最值问题通常需要利用曲线 的参数方程或极坐标方程，转化为关 于角度或参数的定积分，通过求积分 得到面积表达式，再求最值。
周长最值问题
总结词
周长最值问题主要研究圆锥曲线 上的点的轨迹形成的曲线的周长 的最小或最大值。
圆锥曲线中的最值问
• 引言 • 圆锥曲线中的最值问题类型 • 解决圆锥曲线中最大值最线中的最值问题的实例分析
01
引言
圆锥曲线的定义与性质
圆锥曲线是由平面与圆锥的侧面或顶 点相交形成的几何图形，包括椭圆、 抛物线和双曲线等。
圆锥曲线具有多种性质，如对称性、 焦点、准线等，这些性质在解决最值 问题时具有重要作用。
详细描述
解决周长最值问题通常需要利用 曲线的参数方程，通过求导数找 到曲线的拐点，从而确定周长的 最大或最小值。
角度最值问题
总结词
角度最值问题主要研究圆锥曲线上的点与坐标轴形成的角度 的最小或最大值。
详细描述
解决角度最值问题通常需要利用曲线的极坐标方程，通过求 导数找到曲线的极值点，从而确定角度的最小或最大值。
在实际生活中的应用
航天器轨道设计
在航天领域，卫星和行星的轨道通常呈现为某种圆锥曲线 的形状，通过研究这些轨道的最值问题，可以优化航天器 的发射和运行轨迹。
物流运输
在物流和运输行业中，货物的运输路径通常受到多种因素 的限制，呈现出某种圆锥曲线的轨迹，通过求解最值问题， 可以找到最优的运输路径和最低的成本。
03
解决圆锥曲线中最大值最小值问题的
方法
利用导数求最值
导数可以帮助我们找到函数的极值点 ，通过求导并令导数为零，我们可以 找到可能的极值点。

圆锥曲线中定点分弦所得两线段乘积的最值问题

圆锥曲线中定点分弦所得两线段乘积的最值问题

圆锥曲线中定点分弦所得两线段乘积的最值问题
圆锥曲线是一类在三维空间中表示的曲线，圆锥曲线中定点分弦所得两线段乘积的最值问题是一个较复杂的数学问题，对熟悉比较丰富的数学知识的学生来说是比较困难的问题。

圆锥曲线是三维空间中的曲线，它可以通过圆锥上一点给定一个序列的参数来确定曲线，我们可以用参数方程向量表示圆锥曲线。

参数方程向量表示是用三个方程以及三个参数，分别表示圆锥曲线上点的x，y，z三个方向的位置。

乘积的最值问题也就是在当前曲线上求得最大值，乘积的最大值就是圆锥曲线中定点分弦所得两线段乘积的最值。

要求的乘积的最值，我们可以把它表示为一个比较简单的函数，用极坐标来表示，这里，r表示从圆锥曲线原点出发，经过曲线上某点时到该点的距离。

下面将用求解多元函数的泰勒级数的方法来求解圆锥曲线中定点分弦所得两线段乘积的最值。

要求乘积的最值，我们可以考虑圆锥曲线上的每一点，可以将其组成一个完整的圆，假设这个圆的中心在原点，考虑每个点的位置，我们可以根据其位置的极坐标确定每个点的坐标，即求出每个点的乘积。

根据全部点的乘积，我们可以比较出每点的乘积值，然后可以求出最终的乘积最值。

因此，圆锥曲线中定点分弦所得两线段乘积的最值问题，可以用求解多元函数的泰勒级数的方法来计算，即考虑每个点的坐标，根据每个点的位置的极坐标确定每个点的坐标，并求出每个点的乘积，最后求出最终的乘积最值。

圆锥曲线中的范围与最值问题

圆锥曲线中的范围与最值问题
ABF 1 F 2面积的最大值.
解：(2)由 2 ＝λ 1 ，
延长 BF 1， AF 2交椭圆于 C ， D 两点，根据椭圆的对
称性可知，四边形 ABCБайду номын сангаас 为平行四边形，且四边形
ABF 1 F 2的面积为四边形 ABCD 的面积的一半.
由题知， BF 1的斜率不为零，
故设 BF 1的方程为 x ＝ my － 2 ，
= 4，
(*)， x 1
＋ x 2＝4 k ， x 1 x 2＝－4 b ，所以｜ AB ｜＝ 1 + 2 ｜ x 1－ x 2｜＝
1 + 2 · (1 ＋2 )2 − 41 2 ＝4 1 + 2 · 2 ＋ .因为 x 2＝4 y ，即 y ＝
2

1
，所以y'＝ ，则抛物线在点 A 处的切线斜率为 ，在点 A 处的切线方

3
3
2 2
1 2
2
2
2
2
∴b ＝a －c ＝a － a ＝ a ，
3
3
∴椭圆的标准方程为 x 2＋3 y 2＝ a 2.
2 + 3 2 ＝2 ，
2 −2
由൝
⇒ y ＝±
.
3
＝ 2
2 −2
2 3
由题可知2
＝
，解得 a 2＝3，
3
3
2
∴椭圆 C 的方程为 ＋ y 2＝1.
3
(2)若 A 和 B 为椭圆 C 上在 x 轴同侧的两点，且 2 ＝λ 1 ，求四边形
的纵坐标的最小值为( A )
D. 1
(2)设 A ( x 1， y 1)， B ( x 2， y 2)， M ( x 0， y 0)，直线 AB 的方程为 y ＝ kx ＋

圆锥曲线中的最值问题

圆锥曲线中的最值问题

1 AB (d P AB d Q AB ) 2
设P (2 cos , sin ), 则Q(2 cos , sin )
5 2 cos 2 sin 2 2 cos 2 sin 2 S ( ) 2 5 5 0 0 45 ) 2 2 2 sin( 45 ) 2 5 2 2 sin( ( ) 2 5 5 5 4 2 2 2 S Max 2 2 2 5
所以设与AB平行的直线方程为:x+2y+m=0 (m 2)
x 2y m 0 联立: x 2 4 y 2 4 2 x 2
2mx m 4 0
2
4m 2 8(m 2 4) 由 0 m 2 2 所以与AB平行且和椭圆相切的两直线方程分别为:
课堂演练 形成技能
x y 练习 1.如 图A( 3,2)、F1 ( 4,0), P是 椭圆 1 25 9 上 一点 ， 则 PA PF1 的 最大 值为 ____
y
P
2
2
A
10 5
x
F1
O
F2
策略:几何法
x 2 例2.如 图 直 线y kx( k 0)与 椭 圆 y 1交 于 4 P，Q 两 点, A、B分 别 是 椭 圆 的 右 ,上 顶 点 ， 则 四边形 APBQ 面 积 的 最 大 值 为 _____
2
24k 32 x1 x2 2 (1); x1 x2 2 ( 2) 4k 1 4k 1
如图，过P、Q分别作PF、QE垂直于y轴， 则 x 1 x2 (3)
联立(1)、(2)、(3)得：
(1 )2
y
M

2020版高考数学第8章平面解析几何第9节圆锥曲线中的定点定值范围最值问题课件理新人教A版


(2)当直线 l 的斜率不存在时，直线方程为 x＝－1， 此时△ABD 与△ABC 面积相等，|S1－S2|＝0； 当直线 l 的斜率存在时，设直线方程为 y＝k(x＋1)(k≠0)，联立方程，得
y1y2＝k2(x1－m)(x2－m)＝k2x1x2－k2m(x1＋x2)＋k2m2＝3k42km2＋2－34，
∴|GA|2＋|GB|2＝(x1－m)2＋y21＋(x2－m)2＋y22＝(x1＋x2)2－2x1x2－2m(x1＋ x2)＋2m2＋(y1＋y2)2－2y1y2＝(k2＋1)[－6m24k24－k23＋＋32243＋4k2]. 要使 ω＝|GA|2＋|GB|2 的值与 m 无关，需使 4k2－3＝0， 解得 k＝± 23，此时 ω＝|GA|2＋|GB|2＝7.
解析答案
[解] (1)由已知 A，B 在椭圆上，可得|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a， 又△ABF1 的周长为 8， 所以|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝8，即 a＝2. 由椭圆的对称性可得，△AF1F2 为正三角形当且仅当 A 为椭圆短轴顶点， 则 a＝2c，即 c＝1，b2＝a2－c2＝3， 则椭圆 C 的方程为x42＋y32＝1.
[规律方法] 圆锥曲线中定点问题的两种解法 1引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研 究变化的量与参数何时没有关系，找到定点. 2特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定 点与变量无关.
过抛物线 C：y2＝4x 的焦点 F 且斜率为 k 的直线 l 交抛物线 C 于 A，B 两点，且|AB|＝8. (1)求 l 的方程； (2)若 A 关于 x 轴的对称点为 D，求证：直线 BD 过定点，并求出该点的 坐标．

圆锥曲线中的最值及范围问题(PPT)2-2


•
热点题型1：重要不等式求最值
（05浙江•理17）如图，已知椭圆的中心在坐标
原点，焦点 F1, F2 在x轴上，长轴 A1A2 的长为4，左 准线 l 与x轴的交点为M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)若直线l1 ：x＝m(|m|＞1)，P l
y
P为l1上的动点，使F1PF2 最大 的点P记为Q，求点Q的坐标
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
l M A1F1
1
o
F2 A2 x
(用m表示)．
变式新题型1：
已知椭圆C的方程是
x2 a2

y2 b2
1(a
b 0，) 双曲线
x2 a2
y2 b2
1
的两条渐近线为 l1,l，2 过椭圆C的右
焦点F作直线 l ，使l l1 ，又 l 与l2 的交于P点， 设 l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B.
（1）当l1 与l2 的夹角为60，
双曲线的焦距为4时，求
椭圆C的方程及离心率；
（2）若 FA AP ，求的最大值.
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今日本色在此癫，无人过眼无人厌。 我笑他人伤醉酒，何不学我来发癫。 一笑无人回我语，二笑我心已癫狂。 今夜寒风呼啸，北国风雪飘飘。 顿时举国上下，美梦睡中突醒。 风呼啸，鸡飞狗跳。 一曲清幽，一夜无眠。 万里山水，数亿生灵，尽皆殆灭。 一夜癫狂后清醒，人生能得几回癫。 今朝痛楚随疯去，明日依旧笑人生。 三笑放下心中事，四笑心静如止水。 天降倾盆大雨，地落涛涛江水。 我独一人望月 雨嚎嚎，乱水成荒。 天初晓，鸡鸣不在；日初升，生机不存。 此世独我存！心孤寥，人已亡。

圆锥曲线中的定点 定值 最值 范围问题 公开课一等奖课件


(2)双曲线中的最值 x2 y2 F1，F2 分别为双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P 为 双曲线上的任一点，O 为坐标原点，则有 ①|OP|≥a； ②|PF1|≥c－a. (3)抛物线中的最值 点 P 为抛物线 y2＝2px(p＞0)上的任一点，F 为焦点，则有 p ①|PF|≥2； ②A(m，n)为一定点，则|PA|＋|PF|有最小值.Βιβλιοθήκη (1)求C1，C2的方程；
(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点．当直线OM 与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．
解 a2－b2 a2＋b2 3 3 3 4 4 (1)因为 e1e2＝ 2 ，所以 a · a ＝ 2 ，即 a －b ＝4
a4，因此 a2＝2b2，从而 F2(b,0)，F4( 3b,0)．于是 3b－b＝|F2F4|
2 2 2· 1 ＋ m 又 因 为 |y1 － y2| ＝ y1＋y22－4y1y2 ＝ ， 所 以 2d ＝ 2 m ＋2
2 2· 1＋m2 . 2 m ＋4
故四边形 APBQ 的面积 2 2· 1＋m2 1 S＝2|PQ|· 2d＝ 2－m2 3 ＝2 2· －1＋ . 2－m2 而 0<2－m2≤2，故当 m＝0 时，S 取得最小值 2. 综上所述，四边形 APBQ 面积的最小值 2.
第2讲 圆锥曲线中的定点、定值、最值、范围问题
高考定位 圆锥曲线的综合问题包括：探索性问题、定点与定 值问题、范围与最值问题等，一般试题难度较大．这类问题以 直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，需要
综合运用函数与方程、不等式、平面向量等诸多知识以及数形
结合、分类讨论等多种数学思想方法进行求解，对考生的代数 恒等变形能力、计算能力等有较高的要求．

圆锥曲线中的最值范围证明问题


突 破 点 一 突 破 点 二 突 破 点 三 课时达标检测
圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 结 束
解：(1)由题意知 2a＝4，则 a＝2. 又ac＝ 23，a2－c2＝b2，可得 b＝1， 所以椭圆 C 的方程为x42＋y2＝1.
突 破 点 一 突 破 点 二 突 破 点 三 课时达标检测
圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 结 束
突 破 点 一 突 破 点 二 突 破 点 三 课时达标检测
圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 结 束
由x20＝4y0得k2＝－15m＋145，
由Δ>0，k2≥0，得－13<m≤43.
又因为|AB|＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1x2＝4 1＋k2· k2＋m， 点F(0,1)到直线AB的距离为d＝ |m1－＋1k|2，
圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 结 束
第九节 圆锥曲线中的 最值、范围、 证明问题
本节主要包括3个知识点： 1.圆锥曲线中的最值问题； 2.圆锥曲线中的范围问题； 3.圆锥曲线中的几何证明问题.
突 破 点 一 突 破 点 二 突 破 点 三 课时达标检测
圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 结 束
突破点(一) 圆锥曲线中的最值问题
突 破 点 一 突 破 点 二 突 破 点 三 课时达标检测
圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 结 束
②设 A(x1，y1)，B(x2, y2)． 将 y＝kx＋m 代入椭圆 E 的方程， 可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0， 由 Δ>0，可得 m2<4＋16k2.(*) 则有 x1＋x2＝－1＋8k4mk2，x1x2＝41m＋2－4k126.
圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 结 考虑用
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x
y
t cos 1 t sin
代入
2x2
y2
2
0
得
(1 cos2 )t2 2sin t 1 0
设
P, Q
对应的参数为 t1, t2
，则 t1
t2
2 cos 1 cos2
, t1t2
1
1 cos2
所以| PQ || t1 t2 |
(t1
t2 )2
4t1t2
1
22 cos2
因为
PQ
的最大值为__________.
解析：题目中点 P 是一动点，点 B 是椭圆的右焦点，因此在椭圆上的一个动点和焦点的 连线经常需要考虑这个点和另外一个焦点，即把动点放到焦点三角形中考虑，因
为 PF PB 2a 10，所以 PB 10 PF, PA PB PA PF 10 ，接下来需 要求 PA PF 10 的最大值。 因为如果 P, A, F 能构成三角形， PA PF AF ，因此当取得最大值时 P, A, F 三点共线， PA PF 10 AF 10 15
例 3：已知 P(x, y) 是抛物线上的点，则 (x 3)2 ( y 2)2 x 的最大值是________.
解析： (x 3)2 ( y 2)2 x (x 3)2 ( y 2)2 (x 1)2 y2 1 题目转化为点 P(x, y) 到点 A(3, 2) 的距离减去到点 M (1, 0) 的距离加 1 因此当 A, M , P 三点共线时取得最大值，最大值为| AM | 1，剩余步骤省
4x
2b
0
令 0，则b 2
则直线 y 2x 2 与 y 2x 2 之间的距离即为高的最大值，因此可以求出面积 的最大值。
例 7：点 P 在抛物线 y2 x 上，点 Q 在圆 (x 1)2 ( y 4)2 1，则| PQ |的最小值为 2
_________.
解析：设圆心为 O，| PQ || OP | | OQ || OP | 1 ，所以 OP 最小时，| PQ |最小。
积公式为
S
1 2
|
x1 y2
x2
y1
|
，如果圆锥曲线与过原点的直线交于两点（对称），则求
面积时常用这个公式，但是设的时候最好设为含有角的形式，然后用三角函数有界性来
求最值，公式的证明结合向量数量积和解三角形中面积公式很容易求证，此处不再给出
证明过程。
例 9：已知点 A(1, 2) ，椭圆方程为 x2 y2 1，过原点 O 的直线交椭圆于点 B,C ，求 4
所以面积最大值为 2
总结
圆锥曲线中的最值或范围问题并无特定解法，无非是见招拆招，所谓见招拆招即根据题 目中给出的条件选择最优方法即可，但是在高考中最常用的最值方法是函数法，导数法， 不等式法，以上给出的方法仅供参考，另外高考中的大题最值问题考察的并非是各种技 巧，而是耐心和细心，只有耐心和细心方能把一个简单但复杂的问题解出来。
解析：当直线 4x 3y 8 0 平移到与抛物线相切时，这两天直线之间的距离就是抛物 线上的点到直线 4x 3y 8 0 的最小距离，此时求切线的方法可用导数求切点， 也可用直线和圆锥曲线的位置关系求出最短距离为 4 。 3
例 6：直线 y 2x 2 与抛物线 x2 2 y 交于 A, B 两点，抛物线上一动点 P 从点 A 运动 到点 B 时，求三角形 ABP 面积的最大值。
16 9
，
此时 k 1，又 S(u) 2 ，所以 16 S 2 9
②当 k 0 时， MN 为椭圆长轴，| MN | 2 2 ，| PQ | 2 ，
SPMQN
1 2
|
PQ ||
MN
|
2
综合①②知，四边形 PMQN 的面积的最大值为 2 ，最小值为 16 9
方法二：参数法
设直线
PQ
的参数方程为
MN
，所以
将换成
2
得|
MN
|
22 1 sin2
所以 SPMQN
1 2
|
PQ || MN
|
4 (1 cos2 )(1 sin2 )
9
4 (sin2
1)2
4
2
因为 0 sin2 1 ，所以 16 S 2 9
四、推荐用三角函数解决圆锥曲线中三角形面积问题
uuur
uuur
另类求三角形面积公式：在 ABC 中，若 AB (x1, y1), AC (x2, y2) ，则三角形面
略。
例
4：椭圆 x2 16
y2 15
1，F1, F2
是椭圆的左右焦点，P
是椭圆上一动点，求|
PF1
||
PF2
|
的最大值和最小值。
解析：
PF1
PF2
2a
8
，和为定值，积有最大值，
PF1
PF2
( PF1
2
PF2
)2
16
当且仅当 PF1 PF2 时等号成立。
至于如何求得最小值，因为 PF1 PF2 8 ，因此 PF1 8 PF2
k
2 ( 1)2
k
故 SPMQN
1 2
|
PQ ||
MN
|
4(2 k 2 5 2k 2
1 k2
)
2
k2
令 u k 2 1 ，得 S(u) 4(2 u) 2(1 1 )
k2
5 2u
5 2u
因为 u
k2
1 k2
2 ，且 S(u)
是以 u
为自变量的增函数，则 S(u)
S(2) ，S(2)
三角形 ABC 面积的最大值。
解析：设
B(2
cos
,
sin
),
C(2 cos
,
sin
)，因此Biblioteka uuur AB(2
cos
1,
sin
1)
2
uuur AC
(2
cos
1,
sin
1
)
，所以
2
SABC
1 2
|
(2 cos
1) (sin
1) 2
(sin
1) (2cos 2
1)
|
2 | sin( ) | 4
最小值和最大值。
方法一：代数法
uuur uuur 因为 PF MF 0 ，所以 PQ MN ，直线 PQ, MN 中至少一条存在斜率，设 PQ 的斜率为 k ，又 PQ 过点 F(0,1) ，故 PQ 的方程为 y kx 1
y kx 1
设 P(x1,
y1), Q(x2 ,
y2
)
，联立
三、一般类最值问题的解法（代数法和参数法）
例 8：如图，P,Q, M , N 四点都在椭圆 x2 y2 1上，F 为椭圆在 y 轴正半轴上的焦点，
uuur uuur
uuur uuur
2 uuur uuur
已知 PF, FQ 共线， MF , FN 共线，且 PF MF 0 ，求四边形 PMQN 的面积的
PF1 PF2 PF2 (8 PF2 ) PF22 8PF2 ，其中 a c PF2 a c
因此根据二次函数可求出最小值。
注意：本题用到了第二定义中的焦半径的取值范围，故也归类为几何法。
二、切线法求距离最值问题
例 5：求抛物线 y x2 上的点到直线 4x 3y 8 0 的距离的最小值为_________.
圆锥曲线中的最值问题
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1 几何法求距离最值问题
目 2 切线法求距离最值问题 录
3 一般类最值问题的解法
4 用三角函数解决面积最值问题
一、几何法求距离最值问题
例 1：已知椭圆 x2 y2 1 内有两点 A(1,3), B(3, 0) ,P 是椭圆上的一点，则| PA | | PB | 25 16
解析：如图，点 A, B 为定点，P 为动点且在两点之间运动，求 ABP 的面积，如果将 AB 看做底边时，高最大，则面积最大，当高最大时即点 P 到直线 AB 的距离最大， 此时的点 P 应该处于直线 y 2x 2 与抛物线相切的点。
设切线为 y 2x b
联立
y 2x b
x2
2 y
x2
x2
y2 2
(2 k2)x2 1
2kx 1 0
x1
x2
2k 2 k2
, x1x2
1 2 k2
，从而
| PQ |
(1 k 2 )
(x1 x2 )2 4x1x2 2
2(1 k 2 ) 2 k2
①当 k 0 时， MN 对手斜率为 1 ，同上可得| MN | 2
2(1 ( 1)2 ) k
所以只有当圆平移下来和抛物线相切时，此时的点即为 P 点，也就是说圆和抛物
线应该有相同的切线即可（说法不严谨），所以当 P 处的切线与 OP 垂直时距离
最短。
设 P(t,
t ) ，抛物线在该点处的切线斜率为
1 2t
，所以
1 2t
4
1
t t
1
2
解得 t 1， P(1,1)
所以| PQ |的最小值为 3 5 1 2
例
2：已知
F
是双曲线
x2 4
y2 12
1的左焦点，
A(1, 4) ,P
是双曲线右支上的动点，则
| PF | | PA | 的最小值为________.
解析：类似上题，找另外一个焦点 F1, PF PF1 2a 4 ，所以 PF 4 PF1
因此 PA PF PA PF1 4 ，当 P, A, F1 三点共线时 PA PF1 4 最小为 AF1 4 9