微积分第八章多元函数笔记

多元函数积分知识点总结1. 多元函数的概念多元函数是指至少含有两个自变量的函数，它是自变量的多项式和、积、商或者反函数的复合函数。

多元函数的自变量可以是实数，也可以是复数。

例如，z=f(x,y)表示一个含有两个自变量的函数，其中x和y称为自变量，z称为因变量。

多元函数的图形通常是在三维坐标系中表示的，它描述了自变量之间的关系和对因变量的影响。

2. 多元函数的积分多元函数的积分是对多元函数在给定区域上的积分运算，它可以表示为对函数在该区域上的所有微小部分进行求和。

多元函数的积分具有广泛的应用，例如在物理学、工程学、经济学等领域中都有重要应用。

多元函数的积分包括二重积分和三重积分两种重要形式。

3. 二重积分二重积分是对二元函数在给定区域上的积分运算，它可以表示为对函数在该区域上的面积进行求和。

二重积分的计算通常涉及到对区域进行分割、确定积分范围、选择合适的坐标系等步骤。

二重积分的求解可以利用极坐标、直角坐标等不同坐标系进行计算，根据具体问题的情况选择合适的坐标系可以简化计算过程。

4. 三重积分三重积分是对三元函数在给定区域上的积分运算，它可以表示为对函数在该区域上的体积进行求和。

三重积分的计算通常涉及到对区域进行分割、确定积分范围、选择合适的坐标系等步骤。

三重积分的求解可以利用柱面坐标、球面坐标等不同坐标系进行计算，根据具体问题的情况选择合适的坐标系可以简化计算过程。

5. 多元函数的积分性质多元函数的积分具有一些重要的性质，包括线性性质、可加性、区域可加性等。

其中线性性质指的是积分运算满足线性运算规律，可加性指的是积分在不同区域的和等于对整个区域的积分，区域可加性指的是积分在求和区域上的分割等价性。

这些性质在多元函数积分的计算中起着重要的作用，可以帮助简化计算过程和求得精确解。

6. 多元函数的变限积分多元函数的变限积分是对多元函数在变化区域上的积分运算，它可以表示为对函数在变限区域上的所有微小部分进行求和。

第八章 多元函数微分法及其应用 复习要点多元函数的微积分的概念、理论、方法是一元微积分中相应概念、理论、方法的推广和发展，它们既有相似之处（概念及处理问题的思想方法）又有许多本质的不同，要善于进行比较，既要认识到它们的共同点和相互联系，更要注意它们的区别，深刻理解，融会贯通。

1. 会求多元函数的偏导数对二元函数),(y x f z =， x y x f y x x f x z f x ∆-∆+=∂∂='→∆),(),(lim 01，yy x f y y x f y z f y ∆-∆+=∂∂='→∆),(),(lim 02 因此求x z ∂∂时，暂时将y 看作常数，对x 求导; 求y z ∂∂时，暂时将x 看作常数，对y 求导.同理，会求三元函数的偏导数。

2. 会求多元函数的高阶偏导数对二元函数),(y x f z =，有)(2211x z x x z f ∂∂∂∂=∂∂=''， )(212xz y y x z f ∂∂∂∂=∂∂∂=''， )(221y z x x y z f ∂∂∂∂=∂∂∂=''， )(2222y z y yz f ∂∂∂∂=∂∂=''. 定理：xy z y x z x y z y x z ∂∂∂∂∂∂⇔∂∂∂=∂∂∂2222, 连续 3. 会求多元函数的全微分对二元函数),(y x f z =，dy yz dx x z dz ∂∂+∂∂= 对三元函数),,(z y x f u =，dz z u dy y u dx x u du ∂∂+∂∂+∂∂=4. 掌握多元复合函数的求导法则设)],(),,([),(),,(),,(y x v y x u f z y x v v y x u u v u f z =⇒===则 xv f x u f x v v z x u u z x z ∂∂⋅'+∂∂⋅'=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂21yv f y u f y v v z y u u z y z ∂∂⋅'+∂∂⋅'=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂21 重点：会求复合函数的二阶偏导数。

多元函数微积分知识点一、知识概述《多元函数微积分知识点》①基本定义：多元函数呢，就是一个函数里有好几个变量，不像一元函数只有一个变量。

打个比方，一元函数就像是一个人在一条笔直的跑道上跑步，变量就是他跑的距离。

而多元函数就像是一群人在一个操场上到处跑，每个方向的位置就是不同的变量。

多元函数微积分就是对这种有多个变量的函数进行微分和积分的一套数学方法。

②重要程度：在数学里，多元函数微积分可是相当重要的哦。

在物理学、工程学、经济学等好多学科都要用到它。

比如说，在物理中计算物体在多个力作用下的运动情况，或者经济里分析多个经济因素对某个指标的影响，没有多元函数微积分就很麻烦。

③前置知识：你得先掌握好一元函数微积分的知识，像函数的概念、极限、导数、积分这些。

还有简单的代数知识，像多元方程之类的。

④应用价值：实际中的应用太多了。

比如在建筑设计里，考虑到很多因素影响建筑物的稳定性，像风力、地质条件等，就可以用多元函数微积分来分析和设计；在计算机图形学里，可以用来处理三维模型的各种参数。

二、知识体系①知识图谱：多元函数微积分就坐落在多元函数这一块内容里，它就像是多元函数大厦里的核心支柱，很多关于多元函数性质和变化的研究都离不开它。

②关联知识：和线性代数有联系，因为多元函数里变量之间的关系有时候可以用矩阵等线性代数的知识来表示；还和概率论有关联，在处理多变量的概率分布时，多元函数微积分能派上用场。

③重难点分析：掌握的难度在于要同时处理好几个变量的关系，这很容易让人脑子乱。

关键就是要理解各个变量在函数中的角色和相互影响。

比如说，在求多元函数的偏导数时，要清楚是对哪个变量求导，而把其他变量暂时当作常数。

④考点分析：在数学考试里可是个重点。

考查方式多种多样，可能会让你求多元函数的极限、偏导数、全微分，也可能是多元函数的积分计算等。

三、详细讲解【理论概念类】①概念辨析：多元函数的核心概念是有多个自变量的函数。

就好比确定一个地点需要经度、纬度和海拔三个因素，这就是三个自变量组成的多元函数，可以表示为z = f(x,y)这种形式（这里假设是两个自变量x、y的情况，实际上可以有更多自变量）。

多元函数微积分知识点多元函数微积分是微积分学中的一个重要分支，主要研究有多个自变量的函数的导数、偏导数、微分、积分等问题。

它是单变量函数微积分的拓展与推广，涉及涉及多元函数的极限、连续性、可微性、可导性、偏导数与全微分、多元复合函数的求导、隐函数的求导、多重积分等内容。

本文将从多元函数的定义与性质、偏导数与全微分、多元复合函数的求导、隐函数的求导、多重积分等几个方面介绍多元函数微积分的知识点。

1.多元函数的定义与性质多元函数是指有多个自变量的函数，一般形式为f(x1, x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn是自变量，f是因变量。

多元函数的定义域是自变量可能取值的集合。

在多元函数中，可以分别将每个自变量视为其他自变量的常数，对应单变量函数的概念。

多元函数的性质包括定义域、值域、可视化、极值等。

2.偏导数与全微分偏导数是多元函数在其中一变量上的导数，其他变量视为常数。

偏导数的计算与单变量函数的导数计算类似，可以通过极限或者求偏导数的定义计算。

全微分是多元函数在特定点的一个线性逼近，可以用于计算函数值的近似值。

全微分的表示为df = (∂f/∂x1)dx1 + (∂f/∂x2)dx2 + ... + (∂f/∂xn)dxn，其中∂f/∂xi表示对变量xi的偏导数。

3.多元复合函数的求导多元复合函数是指多个函数通过复合而成的函数，其中一个函数的导数是另一个函数的自变量。

类似于链式法则，多元复合函数的求导需要使用偏导数和全导数的概念。

对于函数z = f(g(x, y)),链式法则可以表示为dz = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy = (∂f/∂g)(dg/dx)dx +(∂f/∂g)(dg/dy)dy。

4.隐函数的求导5.多重积分多重积分是多元函数的积分形式，与单变量函数的定积分类似。

多重积分有二重积分、三重积分等，分别对应二元函数、三元函数等的积分。

多重积分可以用于计算函数在区域内的面积、体积等。

多元函数微分学笔记手写多元函数微分学是微积分的一个重要分支，研究的是多元函数的导数和微分。

在单变量函数微积分中，我们学习了如何计算函数在某一点的导数，以及导数的几何意义。

而在多元函数微积分中，我们将这些概念推广到多个变量的函数上。

在多元函数微积分中，我们首先需要了解偏导数的概念。

偏导数表示函数在某一点沿着某个变量的变化率，其他变量保持不变。

对于一个具有两个变量的函数f(x, y)，我们可以分别计算关于x和y的偏导数，表示函数f在某一点分别关于x和y的变化率。

偏导数的计算方法与单变量函数的导数计算类似，只需要将其他变量视为常数，对某个变量进行求导即可。

例如，对于函数f(x, y) = x^2 + xy + y^2，我们可以计算出关于x和y的偏导数分别为f/x = 2x + y和f/y = x + 2y。

除了偏导数，我们还需要了解函数的全微分的概念。

函数的全微分表示函数在某一点处的微小变化量与自变量的微小变化量之间的关系。

全微分可以用矩阵的形式表示，即df = (f/x)dx + (f/y)dy。

其中，dx和dy表示自变量x和y的微小变化量。

函数的全微分具有很多重要的性质。

首先，全微分是线性的，即对于任意常数a和b，有d(af + bg) = adf + bdf。

其次，全微分可以用来近似计算函数在某一点的变化量。

当自变量的变化量很小时，可以用全微分来近似表示函数的微小变化量。

在多元函数微分学中，我们还需要了解链式法则的应用。

链式法则是用来计算复合函数的导数的重要工具。

对于复合函数f(g(x))，链式法则可以表示为(df/dx) = (df/dg) * (dg/dx)。

其中，(df/dg)表示f对于g的导数，(dg/dx)表示g对于x的导数。

综上所述，多元函数微分学是研究多元函数导数和微分的学科。

通过了解偏导数、全微分和链式法则等概念和方法，我们可以更好地理解多元函数的变化规律，并应用于实际问题的求解中。

文档说明：本文档为作者自己整理的微积分（下）有关多元函数微分学的复习笔记，包含三部分——反例总结（基于自己的做题经验）、基本公式（基于华中科技大学微积分课本）和题型汇总（基于华中科技大学微积分学习辅导），请勿用作商用，若文中有打错的字还请多多包涵。

反例总结1.在（0,0）不连续，但fx和fy都存在且为0，所以用它可以组很多反例。

，在（0,0）。

满足以下命题：1）一元函数f(x,y0)与f(x0,y)分别在x0与y0连续，但f(x,y)在(x0,y0)不连续。

2）偏导数存在但原函数不连续。

3）偏导数存在但不可微。

4）偏导数存在，但除了沿坐标轴的正负方向，其余方向导数均不存在。

2.f(x,y)=|x+y|在（0,0）连续，但是偏导数不存在。

可以满足以下命题：1）原函数连续但偏导不存在。

2）沿任意方向的方向导数均存在，但偏导数不存在。

3.其他反例：1）f(x,y)在(x0,y0)连续，则一元函数f(x,y0)与f(x0,y)分别在x0与y0连续，但反过来不成立。

，在(0,0)点不成立。

2）可微推不出偏导数连续。

复杂式子比较记1.在f(x0,y0)连续f(x0,y0)- f(x0,y0)=02.偏导数f x(x0,y0)===3.验证在定点可微, - f(x0,y0)4.复合函数相关公式1）求导链式法则：全导数；比如z=(x,y),y=(x),2）微分的链规则：df(u1,u2 … u n)=…;比如z=f(u1(x,y),u2(x,y))，dz=z x dx+z y dy=z u1du1+z u2du25.方向导数和梯度1）方向导数a.几何意义：指的是函数在n方向上切线的斜率，即描述了在n方向上函数的增长速度。

b.条件：f在P。

点可微c.公式：其中，此事梯度指向函数值增长最快的方向，也指向法矢的方向。

d.定义公式：e.特殊地，梯度方向的方向导数是2）梯度a.几何意义：本质是一个向量，在这个方向上方向导数取最大，即梯度指向函数增长最快的方向，也即法矢。

多元函数微分知识点总结一、多元函数的梯度在多元函数微分学中，梯度是一个非常重要的概念。

梯度是一个向量，表示函数在某一点的变化率最快的方向。

对于一个二元函数f(x, y)，梯度可以表示为：∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y)其中，∂f/∂x和∂f/∂y分别表示函数f对x和y的偏导数。

梯度的方向即为函数在该点变化率最快的方向，而梯度的模即为函数在该点的变化率。

因此，梯度可以帮助我们确定函数在某一点的最大变化率和变化的方向。

在实际应用中，梯度可以帮助我们求解多元函数的最值问题。

通过求解梯度为0的点，可以找到函数的极值点。

梯度的方向还可以告诉我们函数在某一点的最快下降方向，从而帮助我们优化函数的取值。

二、多元函数的链式法则链式法则是多元函数微分学中的一个重要概念。

链式法则是用来计算复合函数的导数的方法。

对于一个复合函数f(g(x)), 链式法则可以表示为：(d(f(g))/dx) = (dg/dx)*(df/dg)链式法则的应用十分广泛。

在实际问题中，我们经常会遇到复合函数，通过链式法则，我们可以求解复合函数的导数，从而解决实际问题。

三、多元函数的偏导数多元函数的偏导数是多元函数微分学中的一个基本概念。

对于一个二元函数f(x, y)，其关于变量x的偏导数可以表示为∂f/∂x，而关于变量y的偏导数可以表示为∂f/∂y。

偏导数表示了函数在某一点的变化率。

通过偏导数，我们可以确定函数在某一点的变化率和变化的方向，从而帮助我们解决实际问题。

四、多元函数的泰勒展开泰勒展开是多元函数微分学中的一个重要概念。

泰勒展开可以将一个函数在某一点处展开为一个无穷级数。

对于一个n次可导的函数f(x)，它在点a处的泰勒展开可以表示为：f(x) = f(a) + f'(a)*(x-a) + f''(a)*(x-a)^2/2! + ... + f^(n)(a)*(x-a)^n/n!泰勒展开的应用非常广泛。

通过泰勒展开，我们可以将一个函数在某一点处近似为一个多项式，从而方便我们进行数值计算和求解。

一、多元函数的微分学二元函数的定义设有两个独立的变量*与y在其给定的变域中D中，任取一组数值时，第三个变量z就以*一确定的法则有唯一确定的值与其对应，那末变量z称为变量*与y的二元函数。

记作：z=f(*,y). 其中*与y称为自变量，函数z也叫做因变量，自变量*与y的变域D称为函数的定义域。

关于二元函数的定义域的问题我们知道一元函数的定义域一般来说是一个或几个区间.二元函数的定义域通常是由平面上一条或几段光滑曲线所围成的连通的局部平面.这样的局部在平面称为区域.围成区域的曲线称为区域的边界，边界上的点称为边界点，包括边界在的区域称为闭域，不包括边界在的区域称为开域。

如果一个区域D(开域或闭域)中任意两点之间的距离都不超过*一常数M，则称D为有界区域；否则称D为无界区域。

常见的区域有矩形域和圆形域。

如以以下图所示：例题：求的定义域.解答：该函数的定义域为：*≥,y≥0.二元函数的几何表示把自变量*、y及因变量z当作空间点的直角坐标，先在*Oy平面作出函数z=f(*,y)的定义域D；再过D域中得任一点M(*,y)作垂直于*Oy平面的有向线段MP,使其值为与(*,y)对应的函数值z；当M点在D中变动时，对应的P点的轨迹就是函数z=f(*,y)的几何图形.它通常是一曲面，其定义域D就是此曲面在*Oy平面上的投影。

二元函数的极限及其连续性在一元函数中，我们曾学习过当自变量趋向于有限值时函数的极限。

对于二元函数z=f(*,y)我们同样可以学习当自变量*与y 趋向于有限值ξ与η时，函数z的变化状态。

在平面*Oy上，(*,y)趋向(ξ,η)的方式可以时多种多样的，因此二元函数的情况要比一元函数复杂得多。

如果当点(*,y)以任意方式趋向点(ξ,η)时，f(*,y)总是趋向于一个确定的常数A，那末就称A是二元函数f(*,y)当(*,y)→(ξ,η)时的极限。

这种极限通常称为二重极限。

下面我们用ε-δ语言给出二重极限的严格定义：二重极限的定义如果定义于(ξ,η)的*一去心邻域的一个二元函数f(*,y)跟一个确定的常数A有如下关系：对于任意给定的正数ε，无论怎样小，相应的必有另一个正数δ，但凡满足的一切(*,y)都使不等式成立，那末常数A称为函数f(*,y)当(*,y)→(ξ,η)时的二重极限。

高等数学第八章笔记一、多元函数的基本概念。

1. 多元函数的定义。

- 设D是n维空间R^n中的一个非空子集，映射f:D→ R称为定义在D 上的n元函数，记为z = f(x_1,x_2,·s,x_n)，(x_1,x_2,·s,x_n)∈ D。

- 当n = 2时，z=f(x,y)，(x,y)∈ D，D是xy-平面上的一个区域。

2. 多元函数的极限。

- 设函数z = f(x,y)在点(x_0,y_0)的某去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数varepsilon，总存在正数δ，使得当0<√((x - x_0))^2+(y - y_{0)^2}<δ时，都有| f(x,y)-A|成立，则称常数A为函数z = f(x,y)当(x,y)to(x_0,y_0)时的极限，记作lim_(x,y)to(x_{0,y_0)}f(x,y)=A。

- 注意：(x,y)to(x_0,y_0)是指(x,y)以任何方式趋向于(x_0,y_0)。

3. 多元函数的连续性。

- 设函数z = f(x,y)在点(x_0,y_0)的某邻域内有定义，如果lim_(x,y)to(x_{0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)，则称函数z = f(x,y)在点(x_0,y_0)处连续。

- 如果函数z = f(x,y)在区域D内的每一点都连续，则称函数z = f(x,y)在区域D内连续。

二、偏导数。

1. 偏导数的定义。

- 设函数z = f(x,y)在点(x_0,y_0)的某邻域内有定义，固定y = y_0，函数z = f(x,y_0)在x = x_0处的导数，称为函数z = f(x,y)在点(x_0,y_0)对x的偏导数，记作f_x(x_0,y_0)或(∂ z)/(∂ x)|_(x_{0,y_0)}，即f_x(x_0,y_0)=lim_Δ xto0frac{f(x_0+Δ x,y_0) - f(x_0,y_0)}{Δ x}。