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反比例函数两点关于原点对称
反比例函数两点关于原点对称，指的是在反比例函数图像上，存在两个点，它们关于原点对称。
以反比例函数y = k/x (k ≠0) 为例，当k>0时，函数图像在第一、三象限；当k<0时，函数图像在第二、四象限。
在第一、三象限内，假设有一点A(x1, y1)在反比例函数图像上，那么关于原点对称的点B(-x1, -y1)也在反比例函数图像上。
同理，在第二、四象限内，假设有一点C(x2, y2)在反比例函数图像上，那么关于原点对称的点D(-x2, -y2)也在反比例函数图像上。
例如，当k>0时，假设A(2, 3)在反比例函数图像上，那么B(-2, -3)也在反比例函数图像上；当k<0时，假设C(-2, 3)在反比例函数图像上，那么D(2, -3)也在反比例函数图像上。
总结来说，反比例函数两点关于原点对称，指的是在反比例函数图像上，存在两个关于原点对称的点。
幂函数关于原点对称幂函数是一类形如y = ax^p的函数，其中a为非零实数，p为实数。
幂函数的特点是有着不同的增减性及对称性，其中之一就是关于原点对称。
首先，我们来看一下幂函数关于原点的对称性。
对于任意实数x，当x=0时，有y=a*0^p=a*0=0。
这表示幂函数的图像一定经过原点(0,0)。
也就是说，幂函数的对称轴必然经过原点。
然后，我们考虑幂函数y=ax^p在原点对称时的性质。
假设对于任意实数x，有y = ax^p。
现在我们来看当x取负值时的情况。
当x<0时，可以表示为-x>0。
那么根据幂函数的性质，我们有y = a*(-x)^p = a*(-1)^p*x^p = (-1)^p * (ax^p)。
注意到(-1)^p可以看成一个常数，因此幂函数y = ax^p在经过原点对称后，其函数值变为原来的-(−1)^(p)倍。
接下来，我们分别讨论当p为偶数和奇数时的幂函数关于原点对称的性质。
当p为偶数时，设p=2k(k为整数)，则我们有y = ax^(2k)。
将x取负值代入，得到y = (-1)^{2k} * (ax^(2k)) = ax^(2k)。
我们可以看到原来函数值和对称后的函数值相等，即幂函数关于原点对称后，其图像不发生改变。
当p为奇数时，设p=2k+1(k为整数)，则我们有y = ax^(2k+1)。
将x取负值代入，得到y = (-1)^(2k+1) * (ax^(2k+1)) = -ax^(2k+1)。
我们可以看到原来函数值和对称后的函数值相差一个负号，即幂函数关于原点对称后，其函数值变为原来的相反数。
综上所述，幂函数关于原点对称的性质如下：1.幂函数的图像一定经过原点(0,0)，即对称轴经过原点；2.当幂函数的指数p为奇数时，对称后的函数值为原来函数值的相反数；3.当幂函数的指数p为偶数时，对称后的函数值不变。
以y=x^2为例，它是一个关于原点对称的幂函数。
对于任意实数x，有y=x^2、我们将x取负值代入，得到y=(-x)^2=x^2、可以看到原来函数值和对称后的函数值相等，即幂函数关于原点对称后，其图像不发生改变。
关于原点对称的点的坐标
关于原点对称的点的坐标的特点是：横纵坐标都互为相反数。
①关于X轴对称的点的坐标横坐标不变，纵坐标互为相反数。
②关于Y轴对称的点的坐标横坐标互为相反数，纵坐标不变。
具有对称原点的点的坐标的特点是水平坐标和垂直坐标相反。
1、探究点（x，y）关于原点对称点的坐标，会运用发现的规律作关于原点对称的图形。
2、能运用中心对称的知识猜想并验证关于原点对称的点的坐标的性质。
3、利用该对称性质在平面直角坐标系内关于原点对称的图形，形成观察、分析、探究用合作交流的学习习惯，体验事物的变化之间是有联系的。
能力要求：理解
课时要求：60
考试频率：选考
分值比重：2。
函数对称性的总结函数对称性是数学中一个重要的概念，可以帮助我们更好地理解和分析各种函数。
在本文中，我将总结函数对称性的基本概念、性质和应用，以及如何判断函数的对称性。
首先，什么是函数对称性？函数对称性指的是函数在某种变换下保持不变的性质。
具体来说，如果函数在某个变换下满足等式 f(x) = f(-x)，那么我们称这个函数具有对称性。
这个变换可以是关于原点对称、关于y轴对称、关于x轴对称等。
常见的函数对称性包括：1. 关于原点对称：如果一个函数满足 f(x) = f(-x)，则称该函数关于原点对称。
这意味着函数的图像在原点处对称，即图像的左右两侧是镜像关系。
2. 关于y轴对称：如果一个函数满足 f(x) = f(-x)，则称该函数关于y轴对称。
这意味着函数的图像在y轴上对称，即在图像的左右两侧相互重合。
3. 关于x轴对称：如果一个函数满足 f(x) = -f(-x)，则称该函数关于x轴对称。
这意味着函数的图像在x轴上对称，即图像关于x轴对称。
函数对称性的性质也值得我们注意：1. 对称性可以简化函数的分析和计算。
例如，如果一个函数是关于y轴对称的，那么我们只需要计算出函数在y轴右侧的部分，然后将结果镜像到左侧即可。
2. 对称性可以帮助我们发现函数的特点。
例如，如果一个函数是关于x轴对称的，那么当 x = a 是函数的零点时，可以确定 x = -a 也是函数的零点。
现在，让我们来看看如何判断一个函数是否具有对称性。
一般来说，我们可以通过一些简单的方法来进行判断。
1. 对称性的代数判断方法：通过代数运算，我们可以验证函数的对称性。
例如，对于关于原点对称的函数，我们可以将 x 替换为 -x，然后将两边进行比较来判断函数是否具有对称性。
2. 对称性的图形判断方法：通过函数的图形来判断函数是否具有对称性。
我们可以绘制函数的图像，并观察图像是否在某个变换下保持不变。
3. 对称性的性质判断方法：通过函数的性质来判断函数是否具有对称性。
关于原点对称的坐标
P（a，b）对称后P'（-a，-b）
与原点对称的点的坐标特点：纵坐标，横坐标都互为相反数。
例如，点A（3，-2）关于原点对称的点的坐标是（-3，2）。
原点是直角坐标系中的X轴与Y轴的交点。
当坐标轴上有一点（x,y）其对称点为同坐标系中的（- x,- y）这2个点就叫做原点对称，第一象限的点关于原点对称的点在第三象限上，第二象限的点关于原点对称的点在第四象限上。
扩展资料
判断一个函数的对称性
对称性f(x+a)=f(b-x)，这是对称性的一般形式。
只要x有一个正一个负，就有对称性。
至于对称轴可用公式求X=(a+b)/2。
其一，定义域必须对称（对于奇函数和偶函数而言）。
其二，奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y对称。
关于x对称的函数可以将函数中的y换成-y，如果其函数值不便则真。
其三，一个函数的反函数为其自身则关于x=y对称，如果
F(-x,y)=F(x,y)则是关于y轴对称；如果F(x,-y)=F(x,y)则是关于x 轴对称；如果F(-x,-y)=F(x,y)则是关于原点对称；如果
F(y,x)=F(x,y)则是关于x=y对称。
偶函数关于原点对称。
偶函数是一种具有关于原点对称性质的函数。
具体来说，如果函数f(x)满足对于任意的x，都有f(x) = f(-x)，那么我们称该函数为偶函数。
以下是对偶函数的相关内容进行详细阐述：一、定义和性质：偶函数是一种具有关于原点对称性质的函数。
对于任意的x，都有f(x) = f(-x)。
这意味着函数图像关于y轴对称。
例如，f(x) = x^2就是一个典型的偶函数，因为f(x) = f(-x) = x^2。
1. 对称性质：偶函数的特点就是关于原点对称，即函数图像关于y轴对称。
这意味着如果(x, y)在图像上，则(-x, y)也在图像上。
例如，当x=2时，f(2)=4，而当x=-2时，f(-2)=4，这两个点在函数图像上对称。
2. 奇偶关系：偶函数和奇函数是互补的概念。
如果一个函数既是偶函数又是奇函数，那么它必须是常值函数，即f(x) = 0。
因为偶函数要求f(x) = f(-x)，而奇函数要求f(x) = -f(-x)，两者同时满足只能是0。
3. 基本偶函数：一些常见的偶函数包括指数函数、幂函数、三角函数等。
例如，f(x) = e^x，f(x) = x^2，f(x) = cos(x)等都是偶函数。
这些函数的特点就是对于任意的x，都有f(x) = f(-x)。
二、偶函数的图像和性质：1. 对称性：偶函数的图像关于y轴对称。
例如，对于函数f(x) = x^2，当x>0时，y=x^2是一个上升的抛物线，而当x<0时，y=(-x)^2也是一个上升的抛物线，它们的图像关于y轴对称。
2. 奇偶点：偶函数的图像上的任意两个对称点的函数值相等。
例如，对于f(x) = x^2的图像，当x=2时，y=4；而当x=-2时，y=(-2)^2 = 4，这两个点在图像上是对称的，它们的函数值相等。
3. 零点：偶函数图像上的零点一定是对称的。
如果f(a) = 0，那么f(-a) = 0。
例如，对于函数f(x) = x^2，当x=0时，f(0) = 0，而当x=-0时，f(-0) = 0，这两个点在图像上是对称的。
定义域关于原点对称是什么意思
啊
原点左边的定义域和右边定义域的范围一样长就是对称嗷
类似的（-无穷，+无穷），[-9,+9]都是。
对称点
把一个图形绕着某一点旋转180度，如果它能够与另
一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点中心
对称，这个点叫做对称中心(the point of
symmetry)，两个图形关于点对称也称中心对称，这
两个图形中的对称点，叫做关于中心的对称点。
对于图像对称来说，看得出来对称图像直接有个性质是它两重合（即全等）
对定义域关于原点的对称性的简单理解是:定义域的左右端点必须是彼此相反的数，或者当它表示在数轴上时，一个区间的两个端点与原点之间的对应长度是相同的。
对称
对称，指物体或图形在某种变换条件（例如绕直线的旋转、对于平面的反映，等等）下，其相同部分间有规律重复的现象，亦即在一定变换条件下的不变现象。
关于原点对称的点的坐标一、基本目的【知识与技艺】1．了解点P与点P′关于原点对称时它们的横、纵坐标的关系．2．掌握点P(x，y)关于原点的对称点为P′(－x，－y)的运用．【进程与方法】经过研讨两个点关于原点对称时它们的横、纵坐标的关系，掌握其坐标变化的规律．【情感态度与价值观】经过对关于原点对称的点的坐标的探求，掌握点P(x，y)关于原点的对称点为P′(－x，－y)的运用，培育先生良好的研讨效果的习气，使先生逐渐提高自己的数学素养．二、重难点目的【教学重点】关于原点对称的点的坐标的关系．【教学难点】关于原点对称的点的坐标的性质及其运用它处置实践效果．环节1自学提纲，生成效果【5 min阅读】阅读教材P68～P69的内容，完成下面练习．【3 min反应】关于原点对称的两个点：(1)它们的横坐标与横坐标相对值什么关系？纵坐标与纵坐标的相对值又有什么关系？(2)坐标与坐标之间的符号又有什么特点？解：(1)横坐标与横坐标的相对值相等，纵坐标与纵坐标的相对值相等．(2)坐标符号相反，即P(x，y)关于原点O的对称点P′(－x，－y)．两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x，y)关于原点O的对称点为P′(－x，－y)．2．点P(－4，－3)关于原点对称的点的坐标是(A)A．(4,3)B．(－4,3)C．(－4，－3)D．(4，－3)环节2协作探求，处置效果【活动1】小组讨论(师生对学)【例1】如图，每个小正方形的边长为1个单位长度，作出△ABC关于原点对称的△A1B1C1并写出A1、B1、C1的坐标．【互动探求】(引发先生思索)找关于原点对称的点，实质上是对称中心为原点的中心对称作图，故也可以采用中心对称作图的方法确定对称点．【解答】如下图：依据图形可知：A 1(2，－2)、B 1(3,0)、C 1(1,1)．【互动总结】(先生总结，教员点评)在直角坐标系中，关于原点对称的两个点的坐标特点是：横坐标、纵坐标都互为相反数，依据点的坐标就可确定原图形的顶点的对应点，进而即可作出所求图形．【活动2】 稳固练习(先生独学)1．点P (3,2)关于原点对称的点在( C )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．点P (a ＋1,2a －3)关于原点的对称点在第二象限，那么a 的取值范围是( B )A ．a ＜－1B ．－1＜a ＜32C ．－32＜a ＜1D ．a ＞323．假定点A (a －1，－4)与点B (－3,1－b )关于原点对称，那么(a ＋b )2021的值为__1__.4．如图，△ABC 三个顶点的坐标区分是A (1,1)、B (4,2)、C (3,4)．(1)请画出△ABC 向左平移5个单位长度后失掉的△A 1B 1C 1；(2)请画出△ABC 关于原点对称的△A 2B 2C 2；(3)在x 轴上求作一点P ，使△P AB 周长最小，请画出△P AB ，并直接写出点P 的坐标． 解：(1)点A 、B 、C 向左平移5个单位后的坐标区分为(－4,1)，(－1,2)，(－2,4)，连结这三个点，得△A 1B 1C 1，如下图．(2)如图，点A 、B 、C 关于原点的对称点的坐标区分为(－1，－1)，(－4，－2)，(－3，－4)，连结这三个点，得△A 2B 2C 2.(3)如图，P (2,0)．作点A 关于x 轴的对称点A ′，连结A ′B 交x 轴于点P ，那么点P 即为所求作的点．【活动3】 拓展延伸(先生对学)【例2】如图，在平面直角坐标系中，△PQR 是△ABC 经过某种变换后失掉的图形，观察点A 与点P ，点B 与点Q ，点C 与点R 的坐标之间的关系．在这种变换下：(1)区分写出点A 与点P ，点B 与点Q ，点C 与点R 的坐标；(2)从中你发现了什么特征？请你用文字言语表达出来；(3)依据你发现的特征，解答以下效果：假定△ABC 内有一个点M (2a ＋5,1－3b )经过变换后，在△PRQ 内的坐标称为N (－3－a ，－b ＋3)，求关于x 的方程bx －32－2＋ax 3的解． 【互动探求】(引发先生思索)(1)要求点的坐标，结合直角坐标系可得出各点的坐标；(2)依据(1)的坐标特征可得△ABC 与△PQR 关于原点对称；(3)要求解题中的这个一元一次方程，先依据关于原点对称的点的坐标，横坐标、纵坐标互为相反数可得出a 、b 的值，代入解方程即可得出答案．【解答】(1)点A 的坐标为(4,3)，点P 的坐标为(－4，－3)；点B 的坐标为(3,1)，点Q 的坐标为(－3，－1)；点C 的坐标为(1,2)，点R 的坐标为(－1，－2)．(2)△ABC 与△PQR 关于原点对称．(3)由题意，得2a ＋5＝3＋a,1－3b ＝b －3.解得a ＝－2，b ＝1.那么方程可化为x ＋32－2－2x 3＝1，解得x ＝17. 【互动总结】(先生总结，教员点评)关于原点对称的点的性质，处置此题的关键是掌握好对称点的坐标规律：(1)关于x 轴对称的点，横坐标相反，纵坐标互为相反数；(2)关于y 轴对称的点，纵坐标相反，横坐标互为相反数；(3)关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．环节3 课堂小结，当堂达标(先生总结，教员点评)两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P (x ，y )关于原点的对称点P ′(－x ，－y )，及应用这些特点处置一些实践效果．请完本钱课时对应练习！。
函数对称性知识点归纳总结函数对称性是数学中一个重要的概念，它涉及到函数图像在某种变换下的性质和特点。
本文将针对函数对称性的相关知识进行归纳总结，包括函数关于x轴对称、y轴对称和原点对称的特点以及应用。
希望通过本文的介绍，读者能够全面了解函数对称性，并能够应用到实际问题中。
1. 函数关于x轴对称函数关于x轴对称是指函数图像在x轴旋转180度后重合。
具体表现为当函数中的每一个点(x, y)都对应于另一个点(x, -y)。
如果函数的表达式为f(x)，那么函数关于x轴对称可以表示为f(x) = f(-x)。
常见的函数关于x轴对称的例子有二次函数和正弦函数。
2. 函数关于y轴对称函数关于y轴对称是指函数图像在y轴旋转180度后重合。
具体表现为当函数中的每一个点(x, y)都对应于另一个点(-x, y)。
如果函数的表达式为f(x)，那么函数关于y轴对称可以表示为f(x) = f(-x)。
常见的函数关于y轴对称的例子有二次函数和余弦函数。
3. 函数关于原点对称函数关于原点对称是指函数图像以原点为对称中心，旋转180度后重合。
具体表现为当函数中的每一个点(x, y)都对应于另一个点(-x, -y)。
如果函数的表达式为f(x)，那么函数关于原点对称可以表示为f(x) = -f(-x)。
常见的函数关于原点对称的例子有奇次函数和正切函数。
除了以上三种常见的对称性，函数还可能具有其他特殊的对称性，比如关于直线y=x的对称性、关于直线y=-x的对称性等。
这些对称性在函数的研究和应用中都有重要的意义。
函数对称性的应用十分广泛。
其中一项重要的应用是利用对称性来求函数的零点。
如果函数关于x轴对称，也就是满足f(x) = f(-x)，那么我们可以通过找到函数图像上的一个零点，得到一个对称的零点。
这是因为如果f(x) = 0，则f(-x) = 0，对称点也是零点。
同样，对于关于y 轴对称或原点对称的函数，我们也可以利用对称性来求解零点。
关于原点对称的关系
新年到啦~祝大家新年快乐！！
其实点差法很多人也知道，参考书上一般也有，不过最后一道例题可以尝试一下~
前几天有个网友在一个评论里提到了这个性质，所以我准备写篇文章专门说一下。
例1 已知椭圆 C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ，
A_1(-a,0) ， A_2(a,0) 分别是椭圆的左右顶点， P 是椭圆上的动点，求证： k_{PA_1}\cdot k_{PA_2} 为定值。
解设 P(x_0,y_0) ，
\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1 ， y_0^2=b^2-
\frac{b^2}{a^2}x_0^2
k_{PA_1}=\frac{y_0}{x_0+a} ， k_{PA_2}=\frac{y_0}{x_0-a} ，相乘得：
k_{PA_1}\cdot k_{PA_2}=\frac{y_0^2}{x_0^2-
a^2}=\frac{b^2-\frac{b^2}{a^2}x_0^2}{x_0^2-a^2}
=\frac{-\frac{b^2}{a^2}(x_0^2-a^2)}{x_0^2-a^2}=-
\frac{b^2}{a^2} ，为定值
我们成功证明了 k_{PA_1}\cdot k_{PA_2} 为定值，其实在这里可以考虑椭圆的特殊情况：圆。
在圆上， a=b ，定值恰好是 -1 ，也就是 PA_1\bot PA_2 ，恰好就是圆的一个重要性质：直径所对的圆周角为90°。
直径所对的圆周角为直角
但是圆的这个性质对于直径也是成立的，也就是任何穿过圆心的弦。
那么对于椭圆，对于关于原点的任意两个对称点，是否有相同的结论？
例2 已知椭圆 C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 上两点A_1(x_0,y_0) ， A_2(-x_0,-y_0) 关于原点对称， P 是椭圆上的动点，求证： k_{PA_1}\cdot k_{PA_2} 为定值。
这里用的是差法，即代换点，做差。
设 P(x_1,y_1) ，则得到以下两组方程：
\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1 ，
\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1 ，作差得：
\frac{x_1^2-x_0^2}{a^2}+\frac{y_1^2-y_0^2}{b^2}=0 ，即
\frac{x_1^2-x_0^2}{a^2}=-\frac{y_1^2-y_0^2}{b^2} ，
\frac{(x_1+x_0)(x_1-x_0)}{a^2}=-\frac{(y_1+y_0)(y_1-y_0)}{b^2}
\frac{(y_1+y_0)(y_1-y_0)}{(x_1+x_0)(x_1-x_0)}=-
\frac{b^2}{a^2}
所以 k_{PA_1}\cdot k_{PA_2}=-\frac{b^2}{a^2} ，为定值
其实对于双曲线，也有类似的结论：
例3 已知双曲线 C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 上两点A_1(x_0,y_0) ， A_2(-x_0,-y_0) 关于原点对称， P 是双曲线上的动点，求证： k_{PA_1}\cdot k_{PA_2} 为定值。
解设 P(x_1,y_1) ，则得到以下两组方程：
\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}=1 ，
\frac{x_1^2}{a^2}-\frac{y_1^2}{b^2}=1 ，作差得：
\frac{x_1^2-x_0^2}{a^2}-\frac{y_1^2-y_0^2}{b^2}=0 ，即
\frac{(y_1+y_0)(y_1-y_0)}{(x_1+x_0)(x_1-
x_0)}=\frac{b^2}{a^2}
所以 k_{PA_1}\cdot k_{PA_2}=\frac{b^2}{a^2} ，为定值这个结论看上去好像没什么用，其实有一些题目可以用到：
例4 已知点 A(-1,1) ， B 与 A 关于原点对称，动点 M 满足： k_{MA}\cdot k_{MB}=-\frac{1}{3} ，求 M 点的轨迹方程。
分析题来源于一道大题的第一步，其实就是椭圆结论的概括。
看到题目可以清楚轨迹是椭圆，然后采用直译法，也就是直接表示 k_{MA}\cdot k_{MB}=-\frac{1}{3} ，再解出轨迹方程即可。
在这里就不给出解答了。
下面这道题是厦门高二质检考到的一道题，可以分为两大步骤，两个步骤都有很多不一样的方法可以做，但是不一样的方法花的时间差别很大，大家可以尝试一下~
给出的是最快的解答。
例5 已知椭圆 C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 的右焦点 F ，A 在椭圆上，且△OAF是等边三角形。
延长 AO 、AF 交椭圆于 M 、 N ，求直线 MN 的斜率。
分析利用条件△OAF是等边三角形可以得到椭圆的离心率，又发现 A 、 M 关于原点对称，利用结论求解会比较方便。
解先求出椭圆的离心率：取左焦点 F' ，连接 AF'
因为 |OA|=|OF|=|OF'| ， \angle AFO=60°
所以△AFF'是直角三角形， |AF|=c ， |AF'|=2a-c
由勾股定理： (2a-c)^2+c^2=(2c)^2 ，得 2c^2+4ac-4a^2=0
两边除以 2a^2 得： e^2+2e-2=0 ，解得 e=\sqrt{3}-1
所以 -\frac{b^2}{a^2}=e^2-1=3-2\sqrt{3}
因为 A 、 M 关于原点对称， k_{NA}\cdot k_{NM}=-
\frac{b^2}{a^2}=3-2\sqrt{3}
又因为直线 NA 的倾斜角是120°， k_{NA}=-\sqrt{3}
所以 k_{MN}=\frac{3-2\sqrt{3}}{-\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}。
