2020届高三文科数学总复习习题：6.2 等差数列及其前n项和 Word版含答案

二、等差数列1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母d 表示．递推式表示为1n n a a d +-=或1(2)n n a a d n --=≥．例如：数列{}n a 满足12n n a a +=+，则数列{}n a 是公差为2的等差数列． 注：0d >时，为递增数列；0d <时，为递减数列；0d =时，为常数列． 2．等差中项若三个数a ，A ，b 成等差数列，则A 叫作a 与b 的等差中项． 此时2a b A +=3．等差数列的通项公式等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则1(1)n a a n d =+-．4．等差数列的性质（1）等差数列{}n a 的第m 项为m a ，则()n m a a n m d =+-．★ 例如：8123107652a a d a d a d a d =+=+=+=-=L ．（2）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+，若2m n p +=，则2m n p a a a +=．★ 例如：1928374652a a a a a a a a a +=+=+=+=，12132n n n a a a a a a --+=+=+=L ． （3）下标成等差数列且公差为m 的项k a ,k m a +,2k m a +,L 组成公差为md 的等差数列． 例如：135721,,,,,,n a a a a a -L L 组成公差为2d 的等差数列；51015205,,,,,,n a a a a a L L 组成公差为5d 的等差数列．（4）{}n a 是公差为d 的等差数列，则{}n ka b +也是等差数列，公差为kd ． （5）{}n a ,{}n b 都是等差数列，则{}n n a b ±,{}n n pa qb ±也是等差数列．5．判断一个数列是等差数列的方法 （1）定义法：1n n a a d +-=（常数）．（2）等差中项法：122++=+n n n a a a 或112-+=+n n n a a a ．★ （3）通项公式法：=n a kn b +（公差为k ）．（4）前n 项和公式法：2n S An Bn =+（不含常数项的二次函数）．★三、等差数列的前n 项和1．等差数列前n 项和公式n a 通项公式得到）★ 21()22n d dS n a n =+-（以n 为变量，体现二次函数） 2n S An Bn =+（简化写法，不含常数项的二次函数）2．和的有关性质等差数列{}n a ，公差为d ，前n 项和为n S ，那么： （1）{}n S n也成等差数列，其首项与{}n a 首项相同，公差是{}n a 公差的12．（2）等差数列{}n b ，前n 项和为n T （21(21)n n S n a -=-）．★ （3）数列232,,,k k k k k S S S S S --L 是等差数列，公差为2k d ．★ （4）S 奇表示奇数项的和，S 偶表示偶数项的和，则有：①当项数为偶数2n 时，S S nd -=偶奇，1nn S a S a +=奇偶； ②当项数为奇数21n -时，n S S a -=奇偶，1S nS n =-奇偶．3．和与函数的关系及和的最值 21()22n d dS n a n =+-简写为2()n S An Bn n =+∈*N ，可以把(,)n n S 看作是二次函数图像上孤立的点，因此可以用二次函数的性质来研究和的性质，比如对称和求最值．例15等差数列{}na中，120S=，且1015S S=，求当n取何值时，nS有最大值，并求出这个最大值．解析：由二次函数对称性，及1015S S=，可知对称轴为101512.52+=距离12.5最近的整数为12和13，即当12n=或13时，nS有最大值即1213S S=，所以13a=，1131313()1302a aS+==．答案：1213130S S==例16等差数列{}na中，17a=，公差为d，前n项和为nS，当且仅当8n=时，nS取得最大值，则d的取值范围为______．解析：由题意可知89770780a da d=+>⎧⎨=+<⎩，解得718d-<<-．答案：7(1,)8--数学浪子整理制作，侵权必究。

专题6-2等差数列及其前n 项和（讲）【考纲解读】【知识清单】一．等差数列的有关概念1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示.用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥.2.等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-；说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列.3.等差中项的概念：定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项,其中2a bA +=. a ，A ，b 成等差数列⇔2a bA +=. 4.等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+. 5.要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．6.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．对点练习：已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,242,14a S == , 则6S 等于 （ ）A ．32B ．39C ．42D ．45 【答案】B二．等差数列的相关性质1.等差数列的性质：（1）在等差数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列， 如：1a ，3a ，5a ，7a ，……；3a ，8a ，13a ，18a ，……；（3）在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n ma a d n m-=-()m n ≠；（4）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+,特殊地，错误！未找到引用源。

2课时跟踪检测（三十七） 等差数列及其前n 项和A 级 --- 保大分专练1在数列｛a n ｝中，a i = 2, a n +1 = a n + 2, S n 为｛a n ｝的前n 项和，贝U S 10等于（ ）A . 90B . 100C . 110D . 13010 V 9解析：选C 由递推公式可知该数列是公差为 2的等差数列，S 10= 10V 2 + —^― V 2=110.故选 C.2. （2018北京东城区二模）已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n , a 3= 3, a 5= 5,贝V S 7的 值是（）A . 30B . 29C . 28D . 27解析：选C 由题意，设等差数列的公差为d,贝U d = a5一 = 1,故a 4= a 3+ d = 4,所5- 37 a 1 + a 7 7 V 2a 4以 S 7= 2 = 2 = 7 V 4= 28.故选 C.3. （2019 山西五校联考）在数列｛a n ｝中，a n = 28 — 5n , S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，当S n最大时，n =（）A . 2B . 3C . 5D . 6解析：选C •/ a n = 28 — 5n ,「.数列 仙｝为递减数列.令 a n = 28 — 5n > 0,贝U n W 药，又 n € N * ,二5的前11项和为（）A . — 45 C . — 55解析：选D •/ a n =— 2n + 1,二数列｛a n ｝是以—1为首项，—2为公差的等差数列,n W5.••• S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，.••当n = 5时, S n 最大.故选C. 4. （2019广东中山一中统测）设数列｛a n ｝的n 项和为S n ，且a n = — 2n + 1,则数列半B .— 50 D . — 66S n =n[ — 1 + (— 2n + 1]= 2 ==—n 2, =—nn2•••数Sn的前 11 项和为 11V (— 1)+ 11V 102 V (— 1)=— 66,故选 D.•••数列半是以-1为首项，-1为公差的等差数列,5. （2018南昌模拟）已知等差数列｛a n｝的n 项和为S n,且S5= 50, S10 = 200,则a®A. 20B40.C. 6080+ an的值为（解析：选 D 设等差数列｛a n ｝的公差为 d ,5 X 4S 5= 5a 1 + - d = 50,由已知得10X 9S 10 = 10a 1+ — d = 200,问+ 2d = 10, 即 9a 1+ 2d = 20, ]ai = 2,解得d = 4.■_a i°+ an =26. （2019广州高中综合测试）等差数列｛a n ｝的各项均不为零，其前 n 项和为S n .若a n +1 =a n + 2+an ,则 S 2n +1 =()A . 4n + 2B . 4nC . 2n + 1D . 2n解析：选A 因为｛a n ｝为等差数列，所以a n +2+ a n = 2a n +1,又a ；；+1 = a “+ 2+ a n ,所以a JJ +1 =2a n + 1.因为数列 ｛a n ｝的各项均不为零，所以 a n +1 = 2，所以 S 2n + 1= a 1 +切11； "+ 1 = 2X a n + 1X 2n + 1 ,,2_= 4n + 2.故选 A.2 47.已知等差数列 5,47, 3尸，…，则前n 项和S n = __________ .解析：由题知公差d =-5，所以S n = na 1 +弋丄d =寻（伽-『）.答案：±（15n — n 2）8.已知｛a n ｝为等差数列，S n 为其前n 项和•若a 1= 6, a 3+ a 5= 0，则S 6= 解a 3 + a 5 = 2a 4,・• a 4= 0.• S 6= 6a 1 + 屮 d = 6 X 6— 30= 6.答案：69.等差数列｛a n ｝中，已知a 5>0, a 4+ a 7<0,则｛a n ｝的前n 项和S n 的最大值为解析：•a4+ a7= a5+a6<0 ,a5>0 , ^5>0 ,a 6<0,=6, a 4= a 1 + 3d ,「. d =— 2.••• S n 的最大值为S 5. 答案：S 5110.在等差数列｛a n ｝中，公差d = 2，前100项的和S ioo = 45,则a i + a 3 + a 5+…+ a 99则 a i + a 3+ a 5+ …+ a 99= 50(a i + a 99)=2= 10.2 2 5答案：io11. (2oi8全国卷n )记S n 为等差数列｛a n ｝的前n 项和，已知a i = — 7, S 3=— i5. (1) 求｛a n ｝的通项公式；⑵求S n ,并求S n 的最小值.解：(i)设｛a n ｝的公差为d , 由题意得3a i + 3d =— i5. 又 a i =— 7，所以 d = 2.所以｛a n ｝的通项公式为a n = 2n — 9.n(a i + a n \ 2 2 (2) 由(i)得 S n = "2 一 = n 2— 8n = (n — 4)2 — i6, 所以当n = 4时，S n 取得最小值，最小值为—i6.12. (2oi9山东五校联考)已知等差数列｛a n ｝为递增数列，其前 3项的和为一3,前3项 的积为8.(1) 求数列｛a n ｝的通项公式； (2) 求数列｛a n ｝的前n 项和S n .解: (i)设等差数列｛a n ｝的公差为d, d>o ,•••等差数列｛每｝的前3项的和为一3，前3项的积为8, 3a i + 3d =—3, • <l ai a i + d a i + 2d = 8,rra i = 2, a i = — 4, • r或= d = — 3 d = 3.T d>o ,• a ( = — 4, d = 3,「. a n = 3n — 7.解析：ioo 9因为 S ioo — 2(a i + a ioo )= 45,所以 a i + a ioo =佃,」2+ a 99 = a i + a ioo — d = ~5 a i(2) T a n= 3n —7,.. a i = 3 —7 = —4, S n =nf —4 + 3n —7 = n伽一ii)2 = 2 .B 级一一创高分自选99 *1.设a n = (n + 1) , b n = n —n(n € N )，则下列命题中不正确的是()A . ｛a n +1— a n ｝是等差数列B . ｛b n + 1— b n ｝是等差数列C . ｛a n — b n ｝是等差数列D . ｛a n + b n ｝是等差数列解析：选D 对于A ，因为a n = (n +1)2, 所以 a n +1 — a n = (n + 2) — (n +1) = 2n + 3,设 C n = 2n + 3, 所以 c n +1 — c n = 2.所以｛a n +1— a n ｝是等差数列，故 A 正确；对于 B ,因为 b n = n — n(n € N ),所以 b n +1— b n = 2n ,设 C n = 2n ,所以 C n + 1 — C n = 2,所以｛b n +1— b n ｝是等差数列，故 B 正确； 对于 C ,因为 a n = (n + 1)2, b n = n 2— n(n € N ), 所以 a n — b n = (n + 1)2— (n 2 — n) = 3n + 1, 设 C n = 3n + 1，所以 C n +1 — C n = 3 , 所以｛a n — b n ｝是等差数列，故 C 正确；对于 D , a n + b n = 2n 2+ n +1，设 c n = a n + b n , q+1— C n 不是常数，故 D 错误.2. (2019武汉调研)设等差数列｛a n ｝满足a s + a ?= 36, a 4a e = 275，且a n a n +1有最小值, 则这个最小值为 _________ .a 4 + a 6= 36, 又 a 4a 6= 275,时，a n <0，当 n > 3 时，a n >0 ,•- a ?a 3=— 12 为 a n a n +1 的最小值;时，a n >0，当 n > 8 时，a n <0 ,解析：设等差数列｛a n ｝的公差为d , ■/ a 3+ a y = 36,a 4= 11,联立，解得护25a4= 25, 或 a 6= 11,i a411,时，可得a 6= 25a 1=— 10,d = 7,此时 a n = 7n —17, a 2=— 3, a 3= 4,易知当 n < 2当］ 425,a 6= 11 a 1 = 46,时，可得’d = — 7,此时 a = — 7n + 53, a 7 = 4, a 8= — 3,易知当 n w 7• a7a8 =—12 为a n a n+1 的最小值. 综上，a n3n+ 1的最小值为一12.答案：—123. (2018 •宁五校协作体模考)已知数列｛a n ｝是等差数列，且 a i , a 2(a i <a 2)分别为方程 6x + 5= 0的两个实根.(1) 求数列｛a n ｝的前n 项和S n ； S i(2) 在(1)中,；，求证：当C 一空时，数列｛b n ｝是等差数列.解：(1)•/ a i , a 2(a i va 2)分别为方程x 2— 6x + 5 = 0的两个实根，--a 1 = 1, a2= 5,•••等差数列｛a n ｝的公差为4,2n 2-n =i = n—2• b n +1 — b n = 2(n + 1) — 2n = 2, b | = 2. ••数列｛b n ｝是以2为首项，2为公差的等差数列.S n = n x 1 + 冒 x 4 = 2n 2n . S n n + c2n ,(2)证明：当。

第二节等差数列及其前n项和A组基础题组1.(2019广东惠州模拟)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且a2+a3+a4=15,a7=13,则S5=( )A.28B.25C.20D.18答案 B 由{a n}是等差数列,可得a2+a4=2a3,所以a3=5,所以S5===25,故选B.2.若等差数列{a n}的前n项和为S n,且满足a2+S3=4,a3+S5=12,则a4+S7的值是( )A.20B.36C.24D.72答案 C 由a2+S3=4及a3+S5=12,得解得∴a4+S7=8a1+24d=24.故选C.3.记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{a n}的公差为( )A.1B.2C.4D.8答案 C 设数列的公差为d,由已知条件和等差数列的通项公式与前n项和公式可列方程组,-故选C.即解得4.若数列{a n}满足a1=15,且3a n+1=3a n-2,则使a k·a k+1<0的k值为( )A.22B.21C.24D.23答案 D 因为3a n+1=3a n-2,所以a n+1-a n=-,所以数列{a n}是首项为15,公差为-的等差数列,所以a n=15-(n-1)=-n+,令a n=-n+>0,得n<23.5,因为n∈N*,所以使a k·a k+1<0的k值为23.5.(2019广东广州联考)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a m=4,S m=0,S m+2= m≥ 且m∈N*),则a2 017的值为( )A.2 018B.4 028C.5 037D.3 019答案 B 由题意得mmm m解得-∴a n=-4+(n- × = n-6,∴a2 017= × -6=4 028.故选B.6.若等差数列{a n}的前17项和S17=51,则a5-a7+a9-a11+a13等于.答案3解析因为S17=× = a9=51,所以a9=3.根据等差数列的性质知a5+a13=a7+a11,所以a5-a7+a9-a11+a13=3.7.在等差数列{a n}中,公差d=,前100项的和S100=45,则a1+a3+a5+…+a99= .答案10解析S100=(a1+a100)=45,a1+a100=,a1+a99=a1+a100-d=,则a1+a3+a5+…+a99=(a1+a99)=×=10.8.设数列{a n}的前n项和为S n,且S n=2n-1.数列{b n}满足b1=2,b n+1-2b n=8a n.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)证明数列为等差数列,并求{b n}的通项公式.解析(1)当n=1时,a1=S1=21-1=1;当n≥ 时,a n=S n-S n-1=(2n-1)-(2n-1-1)=2n-1.因为a1=1适合上式,所以a n=2n-1 n∈N*).(2)因为b n+1-2b n=8a n,所以b n+1-2b n=2n+2,即-=2.又=1,所以是首项为1,公差为2的等差数列,得证.所以=1+2(n-1)=2n-1.所以b n=(2n- × n.9.(2016课标全国Ⅱ 分)等差数列{a n}中,a3+a4=4,a5+a7=6.(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n=[a n],求数列{b n}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2. 解析(1)设数列{a n}的公差为d,由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3.解得a1=1,d=.所以{a n}的通项公式为a n=.(2)由(1)知,b n=.当n=1,2,3时 ≤<2,b n=1;当n=4,5时 ≤<3,b n=2;当n=6,7,8时 ≤<4,b n=3;当n=9,10时 ≤<5,b n=4.所以数列{b n}的前10项和为 × + × + × + × = .B组提升题组1.《九章算术》是我国古代第一部数学专著,全书收集了246个问题及其解法,其中一个问题为“现有一根九节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面四节容积之和为3升,下面三节的容积之和为4升,求中间两节的容积各为多少?”该问题中的第2节,第3节,第8节竹子的容积之和为( )A.升B.升C.升D.升答案 A 自上而下设各节竹子的容积为a1,a2 … a9,依题意有因为a2+a3=a1+a4,a7+a9=2a8,故a2+a3+a8=+=.选A.2.(2019吉林长春质量检测(一))在等差数列{a n}中,已知a6+a10=0,且公差d>0,则其前n项和取最小值时的n的值为( )A.6B.7或8C.8D.9答案 B 等差数列{a n}中,由a6+a10=0可得a1=-7d,则S n=(n2-15n),当n==7.5时,S n最小,又n∈N*,所以当n=7或n=8时前n项和最小,故选B.3.已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n≠ a n a n+1=λS n-1,其中λ为常数.(1)证明:a n+2-a n=λ;(2)是否存在λ,使得{a n}为等差数列?并说明理由.解析(1)证明:由a n a n+1=λS n-1,知a n+1a n+2=λS n+1-1.两式相减得,a n+1(a n+2-a n)=λa n+1.由于a n+1≠ 所以a n+2-a n=λ.(2)存在.由a1=1,a1a2=λa1-1,可得a2=λ-1,由(1)知,a3=λ+1.令2a2=a1+a3,解得λ=4.故a n+2-a n=4,由此可得,{a2n-1}是首项为1,公差为4的等差数列,所以a2n-1=1+(n- × = n-3;{a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=3+(n- × = n-1.所以a n=2n-1,因为a n+1-a n=2,为常数.所以存在λ=4,使得{a n}为等差数列.4.设数列{a n}的各项都为正数,其前n项和为S n,已知对任意n∈N*,S n是和a n的等差中项.(1)证明:数列{a n}为等差数列;(2)若b n=-n+5,求{a n·b n}的最大项的值并求出取最大值时n的值.解析(1)证明:由已知可得2S n=+a n,且a n>0,当n=1时,2a1=+a1,解得a1=1.当n≥ 时,有2S n-1=+a n-1,-+a n-a n-1,所以2a n=2S n-2S n-1=--=a n+a n-1,所以--又因为(a n+a n-1)>0,所以a n-a n-1= n≥ .故数列{a n}是首项为1,公差为1的等差数列.(2)由(1)可知a n=n.设c n=a n·b n,则c n=n(-n+5)=-n2+5n=--+,因为n∈N*,所以当n=2或n=3时,a n·b n取最大值,最大值为6.。

专题6.2等差数列及其前n 项和1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．知识点一等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，或a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)．知识点二等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ．通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (m ，n ∈N *)．(2)等差数列的前n 项和公式S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d (其中n ∈N *，a 1为首项，d 为公差，a n 为第n 项)．知识点三等差数列及前n 项和的性质(1)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b 2．(2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列．(5)S 2n －1＝(2n －1)a n .(6)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd 2；若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)．知识点四等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d 2n 21.数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．知识点五等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值．【必会结论】等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .若m ＋n ＝2p (m ，n ，p ∈N *)，则a m ＋a n ＝2a p .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d .(4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d,则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(6)等差数列{a n }的前n 项和为S n,则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等差数列，其公差为n 2d.考点一等差数列基本量的运算【典例1】（2019年全国I 卷）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则()A ．25n a n =-B ． 310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =-【答案】A 【解析】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，24n S n n =-，故选A 。

等差数列与前n项和练习试题（可编辑修改word版）第1 讲等差数列及其前n 项和⼀、填空题1．在等差数列{a n}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝.2.设等差数列{a }的前n 项和为S ，若S4 －S3＝1，则公差为．n n12 93.在等差数列{a n}中，a1＞0，S4＝S9，则S n取最⼤值时，n＝.4．在等差数列{a n}中，若a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则S9＝. 5．设等差数列{a n}的公差为正数，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13＝.6.已知数列{a n}的前n 项和为S n＝2n2＋pn，a7＝11.若a k＋a k＋1＞12，则正整数k 的最⼩值为．7.已知数列{a n}满⾜递推关系式a n＝2a n＋2n－1(n∈N*)，且a n＋λ为等差数{ 2n }＋1列，则λ的值是．8.已知数列{a n}为等差数列，S n为其前n 项和，a7－a5＝4，a11＝21，S k＝9，则k＝.10.已知f(x)是定义在R 上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f(x·y)＝xf(y)＋yf(x)成⽴．数列{a n}满⾜a n＝f(2n)(n∈N*)，且a1＝2.则数列的通项公式a n＝.⼆、解答题1.已知等差数列{a n}的前三项为a－1,4,2a，记前n 项和为S n.(1)设S k＝2 550，求a 和k 的值；(2)设b n＝S n，求b ＋b ＋b ＋…＋b 的值．3 7 114n－1n12.已知数列{a n}的通项公式为a n＝2n，若a3，a5分别为等差数列{b n}的第3 项和第5 项，试求数列{b n}的通项公式及前n 项和S n.13.在等差数列{a n}中，公差d＞0，前n 项和为S n，a2·a3＝45，a1＋a5＝18.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n＝S n(n∈N*)，是否存在⼀个⾮零常数c，使数列{b n}也为等差数列？n＋c若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由．第2 讲等⽐数列及其前n 项和⼀、填空题1.设数列{a n2}前n项和为S n，a1＝t，a2＝t2，S n＋2－(t＋1)S n＋1＋tS n＝0，则{a n}是数列，通项a n＝.解析由S n＋2－(t＋1)S n＋1＋tS n＝0，得S n＋2－S n＋1＝t(S n＋1－S n)，所以a n＋2＝ta，所以a n＋2＝t，⼜a2＝t，n＋1a n＋1 a1所以{a n}成等⽐数列，且a n＝t·t n－1＝t n.答案等⽐t n2.等⽐数列{a }的前n 项和为S 8a ＋a ＝0，则S6＝.n n, 2 5S34 2 2 2 8 8 解∵8a 2＋a 5＝8a 1q ＋a 1q 4＝a 1q (8＋q 3)＝0 ∴q ＝－2∴S 6＝1－q 6＝1＋q 3＝－7.S 3 1－q 3 答案－73. 数列{a n }为正项等⽐数列，若 a 2＝2，且 a n ＋a n ＋1＝6a n －1(n ∈N ，n ≥2)，则此数列的前 4 项和 S 4＝ .解析由 a 1q ＝2，a 1q n －1＋a 1q n ＝6a 1q n －2，得 q n －1＋q n ＝6q n －2，所以 q 2＋q ＝6.⼜ q ＞0，所以 q ＝2，a 1＝1.所以 S ＝a 11－q 4＝1－24＝15.1－q 1－2答案 154. 已知等⽐数列{a n }的前 n 项和 S n ＝t ·5n －2－1，则实数 t 的值为．5解析∵a 1＝S 1＝1t －1，a 2＝S 2－S 1＝4t ，a 3＝S 3－S 2＝4t ，∴由{a n }是等⽐数 5 5 5 列知 4t 2＝ 1t 1 ×4t ，显然 t≠0，所以 t ＝5.(5 ) (5－ )5答案 55. 已知各项都为正数的等⽐数列{a n }中，a 2·a 4＝4，a 1＋a 2＋a 3＝14，则满⾜ a n ·a n ＋1·a n ＋2≥1的最⼤正整数 n 的值为．8解析由等⽐数列的性质，得 4＝a 2·a 4＝a 32(a 3＞0)，所以 a 3＝2，所以 a 1＋a 2＝14－a 3＝12，于是由Error!解得Error!所以 a n ＝8·(1)n －1＝(1)n －4. 于是由 a n ·a n ＋1·a n ＋2＝a n ＋3 1＝(1)3(n －3)＝(1)n －3≥1，得 n －3≤1，即 n ≤4.33答案 46．在等⽐数列{a n }中，a n >0，若 a 1·a 2·…·a 7·a 8＝16，则 a 4＋a 5 的最⼩值为．解析由已知 a 1a 2·…·a 7a 8＝(a 4a 5)4＝16，所以 a 4a 5＝2，⼜ a 4＋a 5≥2 a 4a 5＝2 2(当且仅当 a 4＝a 5＝答案 2 2时取等号)．所以 a 4＋a 5 的最⼩值为 2 2.7. 已知递增的等⽐数列{a }中，a ＋a ＝3，a ·a ＝2，则a 13＝.n 2 8 3 7a 10解析∵{a n }是递增的等⽐数列，∴a 3a 7＝a 2a 8＝2，⼜∵a 2＋a 8＝3，∴a 2，a 8 是⽅程 x 2－3x ＋2＝0 的两根，则 a 2＝1，a 8＝2，∴q 6＝ a 8＝2，∴q 3＝a 22，∴a 13＝q 3＝ 2.a 10答案8. 设 1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中 a 1，a 3，a 5，a 7 成公⽐为 q 的等⽐数列，a 2，a 4，a 6成公差为 1 的等差数列，则 q 的最⼩值为．解析由题意知 a 3＝q ，a 5＝q 2，a 7＝q 3 且 q ≥1，a 4＝a 2＋1，a 6＝a 2＋2 且a 2≥1，那么有 q 2≥2 且 q 3≥3.故 q ≥3 3，即 q 的最⼩值为3 3. 答案⼆、解答题11．在等差数列{a n }中，a 2＋a 7＝－23，a 3＋a 8＝－29.(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 设数列{a n ＋b n }是⾸项为 1，公⽐为 c 的等⽐数列，求{b n }的前 n 项和 S n .解 (1)设等差数列{a n }的公差是 d .依题意 a 3＋a 8－(a 2＋a 7)＝2d ＝－6，从⽽ d ＝－3.22nn由 a 2＋a 7＝2a 1＋7d ＝－23，解得 a 1＝－1. 所以数列{a n }的通项公式为 a n ＝－3n ＋2.(2)由数列{a n ＋b n }是⾸项为 1，公⽐为 c 的等⽐数列，得 a n ＋b n ＝c n －1，即－3n ＋2＋b n ＝c n －1，所以 b n ＝3n －2＋c n －1.所以 S n ＝[1＋4＋7＋…＋(3n －2)]＋(1＋c ＋c 2＋…＋c n －1) ＝n3n －1＋(1＋c ＋c 2＋…＋c n －1)． 2从⽽当 c ＝1 时，S ＝n 3n －1＋n ＝3n 2＋n . 2 2当 c ≠1 时，S n ＝n3n －1＋1－c n . 2 1－c12. 设各项均为正数的等⽐数列{a n }的前 n 项和为 S n ，S 4＝1，S 8＝17.(1)求数列{a n }的通项公式；( 2)是否存在最⼩的正整数 m ，使得 n ≥m 时，a n >2 011恒成⽴？若存在，求15出 m ；若不存在，请说明理由．解 (1)设{a }的公⽐为 q ，由 S ＝1，S ＝17 知 q ≠1，所以得a1q 4－1＝1， n48a 1q 8－1＝17. q－1q －1相除得q 8－1＝17，解得 q 4＝16.所以 q ＝2 或 q ＝－2(舍去)． q 4－1由 q ＝2 可得 a ＝ 1 ，所以 a ＝2n －1.1n15 15 (2)由 a ＝2n －1>2 011，得 2n －1>2 011，⽽ 210<2 011<211，所以 n －1≥11， 1515即 n ≥12.2 011恒成⽴．因此，存在最⼩的正整数m＝12，使得n≥m 时，a n>1513.已知公差⼤于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满⾜a2·a4＝65，a1＋a5＝18.(1)求数列{a n}的通项公式a n.(2)若1＜i＜21，a1，a i，a21是某等⽐数列的连续三项，求i 的值；(3)是否存在常数k，使得数列{S n＋kn}为等差数列？若存在，求出常数k；若不存在，请说明理由．解(1)因为a1＋a5＝a2＋a4＝18，⼜a2·a4＝65，所以a2，a4是⽅程x2－18x＋65＝0 的两个根．⼜公差d＞0，所以a2＜a4.所以a2＝5，a4＝13. 所以Error!解得a1＝1，d＝4.所以a n＝4n－3.(2)由1＜i＜21，a1，a i，a21是某等⽐数列的连续三项，所以a1·a21＝a2i，即1·81＝(4i－3)2，解得i＝3.(3)由(1)知，S n＝n·1＋n n－1·4＝2n2－n.2假设存在常数k，使数列{ S n＋kn}为等差数列，由等差数列通项公式，可设S n＋kn＝an＋b，得2n2＋(k－1)n＝an2＋2abn＋b 恒成⽴，可得a＝2，b＝0，k＝1.所以存在k＝1 使得{ S n＋kn}为等差数列．第3 讲等差数列、等⽐数列与数列求和⼀、填空题1.设{a n}是公差不为0 的等差数列，a1＝2 且a1，a3，a6成等⽐数列，则{a n}的前 n 项和 S n ＝ .解析由题意设等差数列公差为 d ，则 a 1＝2，a 3＝2＋2d ，a 6＝2＋5d .⼜∵a 1，a 3，a 6 成等⽐数列，∴a 32＝a 1a 6，即(2＋2d )2＝2(2＋5d )，整理得 2d 2－d ＝0.∵ d ≠0，∴d ＝1，∴S ＝na ＋n n －1d ＝n 2＋7n .n 12 2 4 4答案 n 24 42. 数列{a n }的通项公式a n＝1，若前 n 项的和为 10，则项数为．n ＋ n ＋1解析∵a n ＝答案 1201＝ n ＋ n ＋1n ＋1－ n ，∴S n ＝ n ＋1－1＝10，∴n ＝120.3. 已知等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列{ 1}的前 100a n a n ＋1项和为．解析∵a ＝5，S ＝15，∴5a 1＋a 5＝15，即 a ＝1.5512 ∴d ＝a 5－a 1＝1，∴a ＝n .∴ 1 ＝1 ＝1－ 1 .设数列 1 的前5－1n 项和为 T n .na n a n ＋1 n n ＋1 nn ＋1{a n a n ＋1}∴T 100＝(1－1)＋(1＋…＋(1 )＝1－ 1 ＝100.2 3 答案 100101100 101 101 1014．已知数列{a n }，{b n }都是等差数列，a 1＝5，b 1＝7，且 a 20＋b 20＝60.则{a n ＋b n } 的前 20 项的和为．解析由题意知{a n ＋b n }也为等差数列，所以{a n ＋b n }的前 20 项和为：S 20＝ 20a 1＋b 1＋a 20＋b 20＝20 × 5＋7＋60＝720.2 22 －－ 1c d n22 1 an a n＋1答案7205．已知等⽐数列{a n}的前n项和S n＝2n－1，则a12＋a2＋…＋a n2＝.解析当n＝1 时，a1＝S1＝1，当n≥2 时，a n＝S n－S n－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1，⼜∵a1＝1 适合上式．∴a n＝2n－1，∴a n2＝4n－1.∴数列{a n2}是以a21＝1 为⾸项，以4 为公⽐的等⽐数列．∴a12＋a2＋…＋a n2＝1·1－4n＝1(4n－1)．答案1(4n－1)31－4 36．定义运算：|a b|＝ad－bc，若数列{a}满⾜|a1 1|＝1 且| 3 3 |＝12(n∈N*)，则a3＝，数列{a n}的通项公式为a n＝.解析由题意得a1－1＝1,3a n＋1－3a n＝12 即a1＝2，a n＋1－a n＝4.∴{a n}是以2 为⾸项，4 为公差的等差数列，∴a n＝2＋4(n－1)＝4n－2，a3＝4×3－2＝10.答案10 4n－27．在等⽐数列{a n}中，a1＝1，a4＝－4，则公⽐q＝；|a1|＋|a2|＋…＋|a n|＝2.解析∵a 4＝q3＝－8，∴q＝－2.∴a ＝1·(－2)n－1，na1 21n1－2∴|a n|＝2n－2，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a n|＝2 ＝2n－1－1.1－2 2 答案－2 2n－1－128.已知S n是等差数列{a n}的前n 项和，且S11＝35＋S6，则S17的值为．解析因S11＝35＋S6，得11a1＋11 × 10d＝35＋6a1＋6 × 5d，即a1＋8d＝2 27，所以S17＝17a1＋17 × 16d＝17(a1＋8d)＝17×7＝119.2答案1199.等差数列{a n}的公差不为零，a4＝7，a1，a2，a5成等⽐数列，数列{T n}满⾜条件T n＝a2＋a4＋a8＋…＋a2n，则T n＝.解析设{a n}的公差为d≠0，由a1，a2，a5成等⽐数列，得a2＝a1a5，即(7－2d)2＝(7－3d)(7＋d)所以d＝2 或d＝0(舍去)．所以a n＝7＋(n－4)×2＝2n－1.⼜a2n＝2·2n－1＝2n＋1－1，故T n＝(22－1)＋(23－1)＋(24－1)＋…＋(2n＋1－1)＝(22＋23＋…＋2n＋1)－n＝2n＋2－n－4.答案2n＋2－n－410.数列{a n}的通项公式a n＝2n－1，如果b n＝2n，那么{b n}的前n 项和a n＋a n＋1为．解析b n＝2n n＝2n＋1－1－2n－1，a n＋a n＋1所以b1＋b2＋…＋b n＝22－1－2－1＋23－1－22－1＋…＋－2n－1＝2n＋1－1－1.答案⼆、解答题2n＋1－1－111.已知{a n}为等差数列，且a3＝－6，a6＝0.2n＋1－1n (1) 求{a n }的通项公式；(2) 若等⽐数列{b n }满⾜ b 1＝－8，b 2＝a 1＋a 2＋a 3，求{b n }的前 n 项和公式．解 (1)设等差数列{a n }的公差为 d . 因为 a 3＝－6，a 6＝0，所以Error!解得 a 1＝－10，d ＝2. 所以 a n ＝－10＋(n －1)·2＝2n －12. (2)设等⽐数列{b n }的公⽐为 q .因为 b 2＝a 1＋a 2＋a 3＝－24，b 1＝－8，所以－8q ＝－24，即 q ＝3. 所以{b }的前 n 项和公式为 S ＝b 1 1－q n ＝4(1－3n )．n n 1－q13.记公差 d ≠0 的等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ，已知 a 1＝2＋ 2，S 3＝12＋3(1) 求数列{a n }的通项公式 a n 及前 n 项和 S n .(2) 已知等⽐数列{b nk }，b n ＋ 2＝a n ，n 1＝1，n 2＝3，求 n k .(3) 问数列{a n }中是否存在互不相同的三项构成等⽐数列，说明理由．解 (1)因为 a 1＝2＋所以 d ＝2.2，S 3＝3a 1＋3d ＝12＋3 2，所以 a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋ 2，S ＝n a 1＋a n ＝n 2＋( 22＋1)n . (2) 因为 b n ＝a n －所以 bn k ＝2n k .2＝2n ，2.⼜因为数列{bn }的⾸项bn ＝b ＝2，公⽐q＝b 3＝3，k 1 1b1 所以bn k＝2·3k－1.所以2n k＝2·3k－1，则n k＝3k－1.(3)假设存在三项a r，a s，a t成等⽐数列，则a2s＝a r·a t，即有(2s＋2)2＝(2r＋2)(2t＋2)，整理得(rt－s2) 2＝2s－r－t.若rt－s2≠0，则2＝2s－r－t，rt－s2因为r，s，t∈N*，所以2s－r－t是有理数，这与rt－s22为⽆理数⽭盾；若rt－s2＝0，则2s－r－t＝0，从⽽可得r＝s＝t，这与r综上可知，不存在满⾜题意的三项a r，a s，a t.。