数列与三角函数练习题_难题

［例1］已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x )=(x －1)2，且a 1=f (d －1)，a 3=f (d +1)，b 1=f (q +1)，b 3=f (q －1)，(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；解：(1)∵a 1=f (d －1)=(d －2)2，a 3=f (d +1)=d 2， ∴a 3－a 1=d 2－(d －2)2=2d ，∵d =2，∴a n =a 1+(n －1)d =2(n －1)；又b 1=f (q +1)=q 2，b 3=f (q －1)=(q －2)2， ∴2213)2(qq b b -==q 2，由q ∈R ，且q ≠1，得q =－2，∴b n =b ·q n －1=4·(－2)n －1［例2］设A n 为数列{a n }的前n 项和，A n =23 (a n －1)，数列{b n }的通项公式为b n =4n +3;(1)求数列{a n }的通项公式；(2)把数列{a n }与{b n }的公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列，证明：数列{d n }的通项公式为d n =32n +1;解：(1)由A n =23(a n －1)，可知A n +1=23(a n +1－1)，∴a n +1－a n =23 (a n +1－a n )，即nn a a 1+=3，而a 1=A 1=23 (a 1－1)，得a 1=3，所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列，数列{a n }的通项公式a n =3n .(2)∵32n +1=3·32n =3·(4－1)2n =3·［42n +C 12n ·42n －1(－1)+…+C 122-n n·4·(－1)+(－1)2n ］=4n +3，∴32n +1∈{b n }.而数32n =(4－1)2n =42n +C 12n ·42n －1·(－1)+…+C 122-n n·4·(－1)+(－1)2n =(4k +1)， ∴32n ∉{b n }，而数列{a n }={a 2n +1}∪{a 2n }，∴d n =32n +1.［例3］数列{a n }满足a 1=2，对于任意的n ∈N *都有a n ＞0,且(n +1)a n 2+a n ·a n +1－na n +12=0，又知数列{b n }的通项为b n =2n －1+1.(1)求数列{a n }的通项a n 及它的前n 项和S n ； (2)求数列{b n }的前n 项和T n ；(3)猜想S n 与T n 的大小关系，并说明理由. .解：(1）可解得11+=+n n a a nn ，从而a n =2n ，有S n =n 2+n ，(2)T n =2n+n －1.(3)T n －S n =2n －n 2－1，验证可知，n =1时，T 1=S 1，n =2时T 2＜S 2；n =3时，T 3＜S 3;n =4时，T 4＜S 4；n =5时，T 5＞S 5；n =6时T 6＞S 6.猜想当n ≥5时，T n ＞S n ，即2n ＞n 2+1可用数学归纳法证明(略）.［例4］数列{a n }中，a 1=8,a 4=2且满足a n +2=2a n +1－a n ,(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n =｜a 1｜+｜a 2｜+…+｜a n ｜,求S n ; (3)设b n =)12(1n a n -(n ∈N *),T n =b 1+b 2+……+b n (n ∈N *),是否存在最大的整数m ，使得对任意n ∈N *均有T n ＞32m 成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.解：(1）由a n +2=2a n +1－a n ⇒a n +2－a n +1=a n +1－a n 可知{a n }成等差数列，d =1414--a a =－2,∴a n =10－2n .(2)由a n =10－2n ≥0可得n ≤5，当n ≤5时，S n =－n 2+9n ，当n ＞5时，S n =n 2－9n +40，故S n =⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤≤+-5 40951 922n n n n n n(3)b n =)111(21)22(1)12(1+-=+=-n n n n a n n )1(2)]111()3121()211[(2121+=+-++-+-=+++=∴n n n n b b b T n n ；要使T n ＞32m 总成立，需32m ＜T 1=41成立，即m ＜8且m ∈Z ，故适合条件的m 的最大值为7.［例5］已知数列{b n }是等差数列，b 1=1,b 1+b 2+…+b 10=145.(1)求数列{b n }的通项b n ； (2)设数列{a n }的通项a n =log a (1+nb 1)(其中a ＞0且a ≠1),记S n 是数列{a n }的前n 项和，试比较S n 与31log a b n +1的大小，并证明你的结论.解：(1)设数列{b n }的公差为d ，由题意得：⎪⎩⎪⎨⎧=-+=1452)110(1010111d b b 解得b 1=1,d =3, ∴b n =3n －2.(2)由b n =3n －2,知S n =log a (1+1)+log a (1+41)+…+log a (1+231-n )=log a ［(1+1)(1+41) (1)231-n )］，31log a b n +1=log a 313+n .因此要比较S n 与31log a b n +1的大小，可先比较(1+1)(1+41) (1)231-n )与313+n 的大小，取n =1时，有(1+1)＞3113+⋅ 取n =2时，有(1+1)(1+41)＞3123+⋅…由此推测(1+1)(1+41)…(1+231-n )＞313+n ①若①式成立，则由对数函数性质可判定： 当a ＞1时，S n ＞31log a b n +1，② 当0＜a ＜1时，S n ＜31log a b n +1，③［例1］已知△ABC 的三内角A 、B 、C 满足A +C =2B ，设x =cos 2C A -，f (x )=cos B (CAcos 1cos 1+).(1)试求函数f (x )的解析式及其定义域； (2)判断其单调性，并加以证明； (3)求这个函数的值域.解：(1)∵A +C =2B ，∴B =60°，A +C =120°,3421221)cos()cos(2cos2cos2cos cos cos cos 21)(22-=-+-=-++-+=⋅+⋅=x x x x C A C A CA CA C A C A x f∵0°≤|2C A -|＜60°，∴x =cos2C A -∈(21，1]又4x 2－3≠0，∴x ≠23，∴定义域为(21，23)∪(23，1］.(2)设x 1＜x 2，∴f (x 2)－f (x 1)=342342211222---x x x x=)34)(34()34)((222212121--+-x x x x x x ，若x 1，x 2∈(23,21)，则4x 12－3＜0，4x 22－3＜0，4x 1x 2+3＞0，x 1－x 2＜0，∴f (x 2)－f (x 1)＜0即f (x 2)＜f (x 1)，若x 1，x 2∈(23，1］，则4x 12－3＞0.4x 22－3＞0，4x 1x 2+3＞0，x 1－x 2＜0，∴f (x 2)－f (x 1)＜0. 即f (x 2)＜f (x 1)，∴f (x )在(21,23)和(23，1]上都是减函数.(3)由(2)知，f (x )＜f (21)=－21或f (x )≥f (1)=2.故f (x )的值域为(－∞，－21)∪［2，+∞). [例2]在△ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列，则2tan2tan32tan2tan C A C A ++的值为__________..解析：∵A+B+C =π，A+C=2B ，.32tan2tan32tan2tan)2tan2tan1(32tan 2tan ,3)2tan(,32=++-=+=+=+∴C A C A C A C A C A C A 故π3、已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足A +C =2B .BCAcos 2cos 1cos 1-=+，求cos2C A -的值.解法一：由题设条件知B =60°，A +C =120°. 设α=2C A -，则A －C =2α，可得A =60°+α，C =60°－α，,43cos cos sin 43cos 41cos sin 23cos 211sin 23cos 211)60cos(1)60cos(1cos 1cos 1222-αα=α-αα=α+α+α-α=α-︒+α+︒=+CA所以依题设条件有,cos 243cos cos 2B-=-αα.2243cos cos ,21cos 2-=-αα∴=B整理得42cos 2α+2cos α－32=0(M )(2cos α－2)(22cos α+3)=0，∵22cos α+3≠0， ∴2cos α－2=0.从而得cos222=-C A .解法二：由题设条件知B =60°，A +C =120°22cos 1cos 1,2260cos 2-=+∴-=︒-CA①，把①式化为cos A +cos C =－22cos A cos C②，利用和差化积及积化和差公式，②式可化为)]cos()[cos(22cos2cos2C A C A C A C A -++-=-+③，将cos2CA +=cos60°=21，cos(A +C )=－21代入③式得：)cos(2222cosC A C A --=-④ 将cos(A －C )=2cos 2(2C A -)－1代入 ④：42cos 2(2C A -)+2cos 2C A -－32=0，(*)，.222cos:,022cos2,032cos22,0)32cos22)(222cos2(=-=--∴=+-=+---C A CA C A C A C A 从而得例4、在△ABC 中，A 为最小角，C 为最大角，已知cos(2A +C )=－34，sin B =54，则cos2(B +C )=__________.解析：∵A 为最小角∴2A +C =A +A +C ＜A+B+C =180°. ∵cos(2A +C )=－54，∴sin(2A+C )=53.∵C 为最大角，∴B 为锐角，又sin B =54.故cos B =53.即sin(A+C )=54，cos(A +C )=－53.∵cos(B+C )=－cos A =－cos ［(2A+C )－(A+C )］=－2524，∴cos2(B+C )=2cos 2(B+C )－1=625527.5、已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB =2，BC =6，CD =DA =4，求四边形ABCD 的面积.解：如图：连结BD ，则有四边形ABCD 的面积：S =S △ABD +S △CDB =21·AB ·AD sin A +21·BC ·CD ·sin C∵A+C =180°，∴sin A =sin C 故S =21(AB ·AD +BC ·CD )sin A =21(2×4+6×4)sin A =16sin A由余弦定理，在△ABD 中，BD 2=AB 2+AD 2－2AB ·AD ·cos A =20－16cos A 在△CDB 中，BD 2=CB 2+CD 2－2CB ·CD ·cos C =52－48cos C ∴20－16cos A =52－48cos C ，∵cos C =－cos A ，∴64cos A =－32，cos A =－21，又0°＜A ＜180°，∴A =120°故S =16sin120°=83.6、如右图，在半径为R 的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角θ的正弦成正比，角和这一点到光源的距离 r 的平方成反比，即I =k ·2sin rθ，其中 k 是一个和灯光强度有关的常数，那么怎样选择电灯悬挂的高度h ，才能使桌子边缘处最亮？ 解：R =r cos θ，由此得：20,cos 1π<θ<θ=Rr ，RR h Rk I RkRkIRk Rk r k I 22tan ,33sin ,392)32()()sin 1)(sin 1(sin 2)(2)cos (sin cos sin sin 232222222222222=θ==θ⋅≤⋅≤θ-θ-⋅θ⋅=θ⋅θ⋅=θ⋅θ⋅=θ⋅=此时时成立等号在由此得7、在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，27cos22sin 42=-+A C B .(1)求角A 的度数； (2)若a =3，b +c =3，求b 和c 的值..1221:23 2:3,3.3)(21221cos 2cos :)2(60,1800,21cos ,01cos 4cos45cos 4)cos 1(4,271cos 2)]cos(1[2:,180272cos 2sin4)1(:.222222222222⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==+==+==-+∴=-+∴=-+=︒=∴︒<<︒=∴=+-=-+=+-+-︒=++=-+c b c b bc c b bc c b a bc ac b bcac b A bc ac b A A A A A A A A A C B C B A A C B 或得由代入上式得将由余弦定理得即得及由解8、在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a 、b 、3c 成等比数列，又∠A －∠C =2π，试求∠A 、∠B 、∠C 的值解：由a 、b 、3c 成等比数列，得：b 2=3ac ∴sin 2B =3sin C ·sin A =3(－21)［cos(A +C )－cos(A －C )］∵B =π－(A+C ).∴sin 2(A+C )=－23［cos(A+C )－cos 2π］即1－cos 2(A+C )=－23cos(A+C )，解得cos(A+C )=－21. ∵0＜A+C ＜π，∴A+C =32π.又A －C =2π∴A =127π，B =3π，C =12π.9、在正三角形ABC 的边AB 、AC 上分别取D 、E 两点，使沿线段DE 折叠三角形时，顶点A 正好落在边BC 上，在这种情况下，若要使AD 最小，求AD ∶AB 的值.. .解：按题意，设折叠后A 点落在边BC 上改称P 点，显然A 、P 两点关于折线DE 对称，又设∠BAP =θ，∴∠DPA =θ，∠BDP =2θ，再设AB =a ，AD =x ，∴DP =x .在△ABC 中，∠APB =180°－∠ABP －∠BAP =120°－θ， 由正弦定理知：APB AB BAP BP sin sin =.∴BP =)120sin(sin θθ-︒a在△PBD 中，︒=-︒︒⋅==60sin 2sin )120sin(sin ,60sin sin ,sin sin θθθθx a x BP BDPBPDBPDP 从而所以,.3)260sin(23)120sin(2sin 60sin sin ++︒=-︒⋅︒⋅=∴θθθθaa x∵0°≤θ≤60°，∴60°≤60°+2θ≤180°，∴当60°+2θ=90即θ=15°时， sin(60°+2θ)=1，此时x 取得最小值)332(323-=+a a ，即AD 最小，∴AD ∶DB =23－3.。

试卷2（总分：201 考试时间：197分钟）学校___________________ 班级____________ 姓名___________ 得分___________一、选择题 ( 本大题共 12 题, 共计 60 分)1、(5分) 设等比数列的公比，前n项和为，则（）A. 2B. 4C.D.2、(5分) 记等差数列{a n}的前n项和为S n.若S2=4,S4=20,则该数列的公差d等于( )A.2B.3C.6D.73、(5分) 已知等差数列满足，，则它的前10项的和（）A．138 B．135 C．95 D．23 4、(5分) 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A.289B.1 024C.1225 D.1 3785、(5分) 等差数列{a n}的公差不为零，首项a1=1,a2是a1和a5的等比中项，则数列{a n}的前10项之和是( )A.90B.100 C .145 D.1906、(5分) 已知{a n }为等差数列,a 1+a 3+a 5＝105,a 2+a 4+a 6＝99,则a 20等于( )A.-1B.1C.3D.77、(5分) 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若,则等于( )A.2B.C.D.38、(5分) 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,已知a 2=3,a 6=11,则S 7等于( )A.13B.35C.49D.639、(5分) {a n }为等差数列,且a 7－2a 4＝－1,a 3＝0,则公差d 等于( )A.－2 B. C.D.210、(5分) 已知等比数列{a n }满足a n ＞0,n ＝1,2,…,且a 5·a 2n -5＝22n (n≥3)，则当n≥1时，log 2a 1+log 2a 3+…+log 2a 2n-1＝( )A.n(2n-1)B.(n+1)2C.n 2D.(n-1)211、(5分) 函数=()cosx 的最小正周期为( )A.2πB.C.πD.12、(5分) 函数y ＝2cos 2()-1是( )A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为的奇函数D.最小正周期为的偶函数二、填空题 ( 本大题 共 4 题, 共计 20 分)1、(5分) 已知函数f(x)=2x ,等差数列{a n }的公差为2.若f(a 2+a 4+a 6+a 8+a 10)=4,则log2[f(a 1)·f(a 2)·f(a 3)·…·f(a 10)]= .2、(5分) 设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 9=72,则a 2+a 4+a 9=___________.3、(5分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且6S 5－5S 3＝5,则a 4＝__________.4、(5分) 设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1=1,S 6=4S 3,则a 4=__________.三、解答题 ( 本大题 共 10 题, 共计 121 分)1、(12分) 已知等差数列{a n }的公差d 不为0,设S n ＝a 1+a 2q+…+a n q n －1,T n ＝a 1－a 2q+…+(－1)n －1a n q n－1,q≠0,n∈N *.(1)若q ＝1,a 1＝1,S 3＝15,求数列{a n }的通项公式; (2)若a 1＝d 且S 1,S 2,S 3成等比数列,求q 的值;(3)若q≠±1,证明(1－q)S 2n －(1+q)T 2n ,n∈N *.2、(10分) 已知等差数列{a n}中,a3a7=-16,a4+a6=0,求{a n}的前n项和S n.3、(12分) 已知数列{a n}满足a1=1,a2=2,,n∈N*.(1)令bn =an+1-an,证明{bn}是等比数列;(2)求{an}的通项公式.4、(12分) 已知数列{a n}的前n项和S n＝2n2+2n,数列{b n}的前n项和T n＝2-b n.(1)求数列{an }与{bn}的通项公式;(2)设cn ＝an2·bn,证明当且仅当n≥3时,cn+1＜cn.5、(14分) 已知等差数列{a n }的公差为d(d≠0),等比数列{b n }的公比为q(q ＞1).设S n ＝a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n ,T n ＝a 1b 1－a 2b 2+…+(－1)n －1a n b n ,n∈N *. (1)若a 1＝b 1＝1,d ＝2,q ＝3,求S 3的值;(2)若b 1＝1,证明,n∈N *;(3)若正整数n 满足2≤n≤q,设k 1,k 2,…,k n 和l 1,l 2,…,l n 是1,2,…,n 的两个不同的排列,,,证明c 1≠c 2.6、(12分) 在△ABC 中, ,.(1)求sinA 的值; (2)设,求△ABC 的面积.7、(12分) 已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),c=(-1,0).（1）求向量b+c的长度的最大值；（2）设，且a⊥(b+c)，求cosβ的值.8、(12分) 在△ABC中,sin(C-A)＝1,.(1)求sinA的值;(2)设,求△ABC的面积.9、(13分) 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,,,. (Ⅰ)求sinC的值;(Ⅱ)求△ABC的面积.10、(12分) 在△ABC中,,AC ＝3,sinC ＝2sinA.(1)求AB 的值;(2)求sin()的值.试卷2（总分：201 考试时间：197分钟）学校___________________ 班级____________ 姓名___________ 得分___________一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)1、(5分)C 解法一:由等比数列定义,S 4=a 1+a 2+a 3+a 4=+a 2+a 2q+a 2q 2,得解法二:S 4=,a 2=a 1q,∴.2、(5分)答案：B 由条件a 1+a 2=4,a 1+a 2+a 3+a 4=20, ∴a 3+a 4=16. ∴a 1+2d+a 2+2d=16. ∴4d=12.∴d=3.3、(5分)C 解析:∵a 2+a 4=4=2a 3,∴a 3=2.又∵a3+a5=10=2a4,∴a4=5.∴公差d=a4-a3=3,a1=-4.∴S10=10×(-4)+×3=95.4、(5分)C解析:正方形数即为n2(n∈N*).又三角形数满足:a1=1,a2=3,an-an-1=n,故可得,经验证可得, 5、(5分)B解析：设等差数列{an }的公差为d(d≠0),由题意可建立方程a22=a1a5,即(a1+d)2=a1(a1+4d),由a 1=1可以解出d=2,∴数列{an}的前10项之和.6、(5分)B解析:设其公差为d,∵a1+a3+a5＝105,∴3a3＝105.∴a3＝35.同理,由a2+a4+a6＝99得a4＝33,∴d＝a4-a3＝-2.a 20＝a4+16d＝33+16×(-2)＝1.7、(5分)B解析:设其公比为q.由已知可得, ∴q3＝2..另解:可知S3,S6－S3,S9－S6成等比数列,则可设S6＝3,S3＝1,则(S6－S3)2＝S3×(S9－S6),解得S9＝7,故.8、(5分)C解析：.9、(5分)B解析:本题考查等差数列的通项公式,a7－2a4＝a3+4d－2a3－2d＝a3+2d＝－1,所以.10、(5分) C解析:由{an }为等比数列,则a5·a2n-5＝a1·a2n-1＝,则(a1·a3·a5·…·a2n-1)2＝(22n)n a1·a3·…·a2n-1＝,故log2a1+log2a3+…+log2a2n-1＝log2(a1·a3·…·a2n-1)＝n2.11、(5分)A解析:=()cosx==2sin(),∴T=2π,选A.12、(5分)A解析:y＝2cos2()-1＝cos()＝sin2x.∴f(x)的最小正周期为π,且为奇函数.二、填空题 ( 本大题共 4 题, 共计 20 分)1、(5分)-6 解析：∵f(x)=2x,∴log2［f(a1)f(a2)…f(a10)］=log2=a1+a2+…+a10.∵a2+a4+a6+a8+a10=2,∵{an}为d=2的等差数列,∴a1+a3+a5+a7+a9=-8.∴a1+a2+…+a10=-6.2、(5分)24解析:∵ ,∴a1+a9=16.∵a1+a9=2a5,∴a5=8.3、(5分)解析:设等差数列的首项为a1,公差为d,则由6S5－5S3＝5,6×(5a1+10d)－5(3a1+3d)＝5,得6(a1+3d)＝2,∴a4＝.4、(5分) 3解析:S6=4S3.∴a4=a1·q3=1×3=3.三、解答题 ( 本大题共 10 题, 共计 121 分)1、(12分)本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识,考查运算能力和推理论证能力.满分12分.(1)解:由题设知,S3＝a1+(a1+d)q+(a1+2d)q2.将q＝1,a1＝1,S3＝15代入上式,解得d＝4.所以,an＝4n－3,n∈N*.(2)解:当a1＝d时,S1＝d,S2＝d+2dq,S3＝d+2dq+3dq2.因为S1,S2,S3成等比数列,所以S22＝S1S3,即(d+2dq)2＝d(d+2dq+3dq2). 注意到d≠0,整理得q2+2q＝0. 因为q≠0,解得q＝－2.(3)证明:由题设知,S 2n ＝a1+a2q+a3q2+a4q3+…+a2nq2n－1,①T 2n ＝a1－a2q+a3q2－a4q3+…－a2nq2n－1.②①式减去②式,得S 2n －T2n＝2(a2q+a4q3+…+a2nq2n－1).①式加上②式,得S 2n +T2n＝2(a1+a3q2+…+a2n－1q上标2n－2).③③式两边同乘q,得q(S2n +T2n)＝2(a1q+a3q3+…+a2n－1q2n－1).所以,(1－q)S2n －(1+q)T2n＝(S2n－T2n)－q(S2n+T2n)＝2d(q+q3+…+q2n－1),n∈N*.2、(10分)分析：考查等差数列的基本性质及求和公式.解：设{an}的公差为d,则即解得或因此,Sn =-8n+n(n-1)=n(n-9),或Sn=8n-n(n-1)=-n(n-9).3、(12分)分析:第(1)问利用等比数列的定义(q≠0).第(2)问利用迭加法求通项a n =(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1.解:(1)证明:b1=a2-a1=1,当n≥2时,b n =a n+1-a n =,∴{b n }是以1为首项,为公比的等比数列.(2)由(1)知b n =a n+1-a n =()n-1,当n≥2时,a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n-1)=1+1+()+…+()n-2===,当n=1时,,∴(n∈N *).4、(12分)本小题主要考查等差数列,等比数列,不等式等有关知识,考查数列的通项与其前n 项和之间的关系,考查抽象概括和运算求解能力. 解:(1)a 1＝S 1＝4.对于n≥2,有a n ＝S n -S n-1＝2n(n+1)-2(n-1)n ＝4n.综上,{a n }的通项公式a n ＝4n.将n ＝1代入T n ＝2-b n ,得b 1＝2-b 1,故T 1＝b 1＝1. (求b n 方法一)对于n≥2,由T n-1＝2-b n-1,T n ＝2-b n ,得b n ＝T n -T n-1＝-(b n -b n-1), ,b n ＝21-n .(求b n 方法二)对于n≥2,由T n ＝2-b n 得T n ＝2-(T n -T n-1),2T n ＝2+T n-1, ,T n -2＝21-n (T 1-2)＝-21-n ,T n ＝2-21-n ,b n ＝T n -T n-1＝(2-21-n )-(2-22-n )＝21-n . 综上,{b n }的通项公式b n ＝21-n .(2)方法一:由c n ＝a n 2·b n ＝n 225-n ,得.当且仅当n≥3时，,即c n+1＜c n .方法二:由c n ＝a n 2·b n ＝n 225-n ,得c n+1-c n ＝24-n ［（n+1)2-2n 2］＝24-n ［-(n-1)2+2］. 当且仅当n≥3时，c n+1-c n ＜0,即c n+1＜c n .5、(14分)分析:本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前n 项和公式等基础知识,考查运算能力、推理论证能力及综合分析和解决问题的能力. (1)解:由题设,可得a n ＝2n －1,b n ＝3n －1,n∈N *. 所以,S 3＝a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3＝1×1+3×3+5×9＝55. (2)证明:由题设,可得b n ＝q n －1,则 S 2n ＝a 1+a 2q+a 3q 2+a 4q 3+…+a 2n q 2n －1,① T 2n ＝a 1－a 2q+a 3q 2－a 4q 3+…－a 2n q 2n －1.②①式减去②式,得S 2n －T 2n ＝2(a 2q+a 4q 3+…+a 2n q 2n －1). ①式加上②式,得S 2n +T 2n ＝2(a 1+a 3q 2+…+a 2n －1q 2n －2).③ ③式两边同乘q,得q(S 2n +T 2n )＝2(a 1q+a 3q 3+…+a 2n －1q 2n －1). 所以,(1－q)S 2n －(1+q)T 2n ＝(S 2n －T 2n )－q(S 2n +T 2n ) ＝2d(q+q 3+…+q 2n －1),n∈N *.(3)证明:＝(k 1－l 1)db 1+(k 2－l 2)db 1q+…+(k n －l n )db 1q n －1. 因为d≠0,b 1≠0,所以.①若k n ≠l n ,取i ＝n.②若k n ＝l n ,取i 满足k i ≠l i ,且k j ＝l j ,i+1≤j≤n. 由①,②及题设知,1＜i≤n,且.(ⅰ)当k i ＜l i 时,得k i －l i ≤－1.由q≥n,得k t －l t ≤q－1,t ＝1,2,…,i－1, 即k 1－l 1≤q－1,(k 2－l 2)q≤(q －1)q,…,(k i －1－l i －1)q i －2≤(q－1)q i －2. 又(k i －l i )q i －1≤－q i －1,所以.因此c1－c2≠0,即c1≠c2.(ⅱ)当ki ＞li时,同理可得≤－1,因此c1≠c2.综上,c1≠c2.6、(12分)本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识,考查运算求解能力.解:(1)由和A+B+C＝π,得,0＜A＜.故cos2A＝sinB,即,.(2)由(1)得.又由正弦定理,得,,所以.7、(12分)分析：本小题主要考查平面向量、三角函数的概念、三角变换和向量运算等基础知识,考查基本运算能力.(1)解法一:b+c=(cosβ-1,sinβ),则|b+c|2=(cosβ-1)2+sin2β=2(1-cosβ).∵-1≤cosβ≤1,∴0≤|b+c|2≤4,即0≤|b+c|≤2.当cosβ=-1时,有|b+c|=2,∴向量b+c的长度的最大值为2.解法二:∵|b|=1,|c|=1,|b+c|≤|b|+|c|=2.当cosβ=-1时,有b+c=(-2,0),即|b+c|=2,∴向量b+c的长度的最大值为2.(2)解法一:由已知可得b+c=(cosβ-1,sinβ),a·(b+c)=cosαcosβ+sinαsinβ-cosα=cos(α-β)-cosα.∵a⊥(b+c),∴a·(b+c)=0,即cos(α-β)=cosα.由,得cos()=,即(k∈Z).∴或β=2kπ,k∈Z.于是cosβ=0或cosβ=1.解法二:若,则a=(,).又由b=(cosβ,sinβ),c=(-1,0),得a·(b+c)=(,)·(cosβ-1,sinβ)=. ∵a⊥(b+c),∴a·(b+c)=0,即cosβ+sinβ=1.∴sinβ=1-cosβ,平方后化简得cosβ(cosβ-1)=0,解得cosβ=0或cosβ=1.经检验,cosβ=0或cosβ=1即为所求.8、(12分)本题主要考查了正弦定理,以及与三角形有关的知识,考查运算求解能力. 解:(1)由sin(C-A)＝1,-π＜C-A＜π,知.又A+B+C＝π,所以,即,0＜A＜.故cos2A＝sinB,即,.(2)由(1)得.又由正弦定理,得,,所以.9、(13分)分析：第(Ⅰ)小问利用A+B+C=π,将C转化为即可,第(Ⅱ)小问利用面积公式易解.解:(Ⅰ)因为角A,B,C为△ABC的内角,且,,所以，.于是)=.(Ⅱ)由（Ⅰ)知,.又因为,所以在△ABC中，由正弦定理得.。

高中数学学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos 2cos 0c B b C ab +-=. (1)求b ；(2)若AD AB ⊥交BC 于点D ，6ACB π∠=，ABCS，求CD 边长.2．如图，某景区拟开辟一个平面示意图为五边形ABCDE 的观光步行道，BE 为电瓶车专用道，120BCD BAE CDE ∠=∠=∠=︒，11km DE =，5km BC CD ==．(1)求BE 的长；(2)若sin ABE ∠=ABCDE 的周长． 3．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，ccos b B =+． (1)求A ； (2)若31,cos 5a C ==，求ABC 的面积．4．在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2sin a C ． (1)求角A 的大小；(2)若2b =，a =△ABC 的面积．5．已知函数()sin 2cos 22sin cos .36f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)求函数()f x 的最小正周期及对称轴方程； (2)将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变､横坐标伸长为原来的2倍，得到函数()y g x =的图象，求()y g x =在[0，2π]上的单调递减区间.6．已知函数()sin 22f x x x =，R x ∈． (1)求函数()f x 的最小正周期；(2)求函数()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的单调区间．7．已知函数()2sin 22sin 6x f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）若将()f x 的图象向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值； （3）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若322A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，7b c +=，ABC ∆的面积为a 的长.8．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，简车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将简车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为4m ，筒车转轮的中心O 到水面的距离为2m ，筒车每分钟沿逆时针方向转动4圈.规定：盛水筒M 对应的点P 从水中浮现（即P 0时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心O 为坐标原点，过点O 的水平直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy .设盛水筒M 从点P 0运动到点P 时所经过的时间为t （单位：s ），且此时点P 距离水面的高度为h （单位：m ）（在水面下则h 为负数）.(1)求点P 距离水面的高度为h 关于时间为t 的函数解析式； (2)求点P 第一次到达最高点需要的时间（单位：s ）.9．记n S 是正项数列{}n a 的前n 项和，1n a +是4和n S 的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记11(1)(1)n n n b a a +=++，求数列{}n b 的前n 项和n T .10．已知等差数列{an }的前n 项和为Sn ＝n 2+r ，其中r 为常数． (1)求r 的值； (2)设()112n n b a =+，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和Tn ．11．某公司2021年年初花费25万元引进一种新的设备，设备投入后每年的收益均为21万元.若2021年为第1年，且该公司第()n n *∈N 年需要支付的设备维修和工人工资等费用总和n a （单位：万元）的情况如图所示.（1）求n a ；（2）引进这种设备后，第几年该公司开始获利？12．已知数列{an }的前n 项和为Sn ，且Sn ＝n －5an －85，n △N *. (1)证明：{an －1}是等比数列； (2)求数列{an }的通项公式.13．已知数列{}n a 满足12a =，132n n a a +=+.（1）证明{}1n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()3log 1n nb a =+,n T 为数列1n n b a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和，求n T ． 14．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且51430a a S -==. (1)求数列{}n a 的通项公式n a ； (2)若______，求数列{}n b 的前n 项和n T .在△21log n n n b a a +=+，△()()2211log 1log 1n n n b a a +=+⋅+，△n n b n a =⋅这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.15．某企业2021年第一季度的营业额为1.1亿，以后每个季度的营业额比上个季度增加0.05亿；该企业第一季度的利润为0.16亿，以后每季度比前一季度增长4％． （1）求2021年起前20季度营业额的总和；（2）请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的18％．16．在△q d =△4q d ⋅=△4q d +=这三个条件中选择一个补充在下面的问题中，并求解.设等差数列{}n a 的公差为d (*d N ∈)，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q .已知11b a =，22b =，___________，10100S =.（1）请写出你的选择，并求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）若数列{}n c 满足nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n T . 17．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，124AA AB ==，点E 在1CC 上且13C E EC =．(1)证明：1A C ⊥平面BED ；(2)求异面直线BE 与1A C 所成角的大小； (3)求二面角1A DE B --的余弦值．18．已知E ，F 分别是正方形ABCD 边AD ，AB 的中点，EF 交AC 于P ，GC 垂直于ABCD 所在平面．(1)求证：EF ⊥平面GPC ．(2)若4AB =，2GC =，求点B 到平面EFG 的距离．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，且侧棱P A △底面ABCD ，P A ＝2AD ．E ，F ，H 分别是P A ，PD ，AB 的中点，G 为DF 的中点．(1)证明：//GH 平面BEF ；(2)求PC 与平面BEF 所成角的正弦值．20．如图在三棱锥O ABC -中，OA OC ==2AB OB BC ===且OA OC ⊥．(1)求证：平面OAC ⊥平面ABC(2)若E 为OC 中点，求平面ABC 与平面EAB 所成锐二面角的余弦值．21．直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，边长为2，侧棱13A A =，M N 、分别为1111A B A D 、的中点，E F 、分别是1111B C C D 、的中点．(1)求证：平面AMN //平面EFDB ； (2)求平面AMN 与平面EFDB 的距离．22．如图，在正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AA 1＝2，点E 为CC 1中点，点F 为BD 1中点．（1）求异面直线BD 1与CC 1的距离；（2）求直线BD 1与平面BDE 所成角的正弦值； （3）求点F 到平面BDE 的距离．23．以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.曲线1C 的极坐标方程为：1ρ=.在平面直角坐标系中，曲线2C 的参数方程为3cos 33sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数，02θπ≤<）.(1)求曲线1C 和曲线2C 的直角坐标方程； (2)在极坐标系中，射线()03πθρ=>与曲线1C ，2C 分别交于A ，B 两点，求AB .24．已知直线 l的参数方程为1,x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2223sin 4ρρθ+=．(1)求直线 l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)已知直线 l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，点M 的直角坐标为(1,0)-，求||||MP MQ +．25．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为132x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=.(1)写出C 的直角坐标方程；(2)设点Q 的坐标为()3,0，直线l 与C 交于A ，B ，求QA QB ⋅的值.26．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为()2213sin 4ρθ+=．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为240x y +-=．(1)若点M 为曲线1C 上的动点，求点M 到直线l 的距离的最小值； (2)倾斜角为3π的曲线2C 过点()1,0P -，交曲线1C 于A ，B 两点，求11PA PB +． 27．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为4,5315x t y t⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin 0ρθ-=. (1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)设曲线C 与直线l 交于A ，B 两点，求AB .28．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为241x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为222124sin 3cos ρθθ=+．（1）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）若点P 为曲线C 上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值．29．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1,x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()2213sin 4ρθ+=．(1)求直线l 的一般式方程和曲线C 的标准方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点()1,0P ，求PA PB ⋅的值． 30．直线l 过点()2,0A ，倾斜角为4π． (1)以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．过O 作l 的垂线，垂足为B ，求点B 的极坐标()0,02ρθπ≥≤<；(2)直线l 与曲线22:2x t C y t⎧=⎨=⎩（t 为参数）交于M 、N 两点，求MN ．31．在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α（α为常数）的直线l 过点()2,4M --，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos ρθθ=.(1)写出直线l 的一个参数方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)当3πα=时，直线l 与曲线C 能否交于两点？若能，记两交点为A ，B ，求出11MA MB+的值；若不能，说明理由. 32．若a ，b ，c △R ＋，且满足a ＋b ＋c ＝2. （1）求abc 的最大值； （2）证明：11192a b c ++≥.33．已知函数()21f x x x =+--. (1)求max ()f x 及当()(0)f x f ≥时的解集；(2)若关于x 的不等式()12f x m ≥-有解，求正数m 的取值范围.34．已知函数()()223f x x a x a =-+-+．(1)当2a =时，求不等式()6f x ≥的解集 (2)若()6f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．35．已知0m >，函数()2f x x x m =++-的最小值为3，()25g x x m =+． (1)求m 的值；(2)求不等式()()f x g x ≤的解集. 36．已知函数()112f x x x =-+-的值域为M . (1)求M ；(2)证明：当,a b M ∈时，214a b ab -≤-. 37．已知,,a b c 均为正数，且满足 1.abc =证明： （1）3ab bc ca ++；（2）333a b c ab bc ac ++++．38．设a ，b ，c 均为正数，且a b +=1． (1)求12a b+的最小值；(2)≤39．已知函数()||2||(0,0)f x x a x b a b =+-->>. （1）当1a b ==时，解不等式()0f x >；（2）若函数()()||g x f x x b =+-的最大值为2，求14a b+的最小值.40.如图，在四棱锥P-ABCD 中，平面PAD ⊥ 平面ABCD ，PA ⊥PD ,PA=PD,AB ⊥,（I ）求证：PD ⊥平面PAB;（II ）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；（II I ）在棱PA 上是否存在点M ，使得BMll 平面PCD?若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由。

理解三角函数与数列的关系的练习题三角函数与数列是高中数学中的两个重要概念，它们之间存在着紧密的关联。

理解三角函数与数列的关系对于学习和解题都是至关重要的。

下面是一些练习题，帮助我们更好地理解三角函数与数列的关系。

练习题1：已知数列 {An} 的通项公式为 An = 2n，其中 n = 1，2，3，...。

试写出数列的前五项。

解答1：根据给定的通项公式 An = 2n，我们可以计算出数列的前五项：A1 = 2 × 1 = 2A2 = 2 × 2 = 4A3 = 2 × 3 = 6A4 = 2 × 4 = 8A5 = 2 × 5 = 10因此，数列的前五项分别为 2，4，6，8，10。

练习题2：已知三角函数sinθ 的值可以通过数列 {Bn} 来近似表示，其通项公式为 Bn = (-1)^(n+1)/(2n-1)，其中 n = 1，2，3，...。

试写出数列的前五项，并计算sinπ/4 的值。

解答2：根据给定的通项公式 Bn = (-1)^(n+1)/(2n-1)，我们可以计算出数列的前五项：B1 = (-1)^(1+1)/(2×1-1) = 1B2 = (-1)^(2+1)/(2×2-1) = -1/3B3 = (-1)^(3+1)/(2×3-1) = 1/5B4 = (-1)^(4+1)/(2×4-1) = -1/7B5 = (-1)^(5+1)/(2×5-1) = 1/9因此，数列的前五项分别为 1，-1/3，1/5，-1/7，1/9。

sinπ/4 的值可以通过数列 {Bn} 的前 n 项和来近似计算。

当 n 趋向于无穷大时，数列的前 n 项和将趋近于sinπ/4。

我们可以计算出前五项的和 S5，来近似计算sinπ/4 的值：S5 = 1 + (-1/3) + (1/5) + (-1/7) + (1/9) ≈ 0.89因此，sinπ/4 的值约为 0.89。

三角函数与数列（高考题）1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＋＝. (1)证明：sin A sin B＝sin C；(2)若b2＋c2－a2＝bc，求tan B.2.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(a cos B＋b cos A)＝c. (1)求C； (2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．3.在△ABC中，a2＋c2＝b2＋ac.(1)求∠B的大小； (2)求cos A＋cos C的最大值．4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a sin 2B＝b sin A. (1)求B； (2)若cos A＝，求sin C的值．5.设f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g的值．6.设f(x)＝sin x cos x－cos2.(1)求f(x)的单调区间；(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．7.△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．(1)求；(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．8.已知向量＝，＝(sinx，cos2x)，x∈R,设函数f(x)＝·.(1) 求f(x)的最小正周期. (2) 求f(x) 在上的最大值和最小值．9.已知ΔABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量，，．（1）若//，求证：ΔABC为等腰三角形；（2）若⊥，边长c= 2，角C=，求ΔABC的面积．10.已知数列{a n}的前n项和S n＝3n2＋8n，{b n}是等差数列，且a n＝b n＋b n＋1.(1)求数列{b n}的通项公式；(2)令c n＝.求数列{c n}的前n项和T n.11.设数列{a n}的前n项和为S n，已知S2＝4，a n＋1＝2S n＋1，n∈N*.(1)求通项公式a n；(2)求数列{|a n－n－2|}的前n项和．12.已知数列的前项和为，且对一切正整数都成立。

最新高一下数学难题汇编：数列、立体几何、三角函数、向量一．选择题（共26小题）1．函数，若对于任意的x∈N*，f（x）≥3恒成立，则a的取值范围是（）A．B．C．D．[﹣1，+∞）2．已知数列{a n}为等差数列，公差d不为0，{a n}中的部分项组成的数列恰为等比数列，其中k1＝1，k2＝5，k3＝17，则数列{k n}的前n项和为（）A．3n B．3n﹣1C．3n+n﹣1D．3n﹣n﹣13．17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC中，．根据这些信息，可得sin234°＝（）A．B．C．D．4．若函数有两个不同零点则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．5．已知锐角α、β满足，则的最小值为（）A．20B．18C．16D．126．已知{a n}是等比数列，且a1+a2+a3+a4+a5＝10，a12+a22+a32+a42+a52＝60，则a2+a4＝（）A．2B．3C．4D．57．在矩形ABCD中，AB＝2BC＝2，点P在CD边上运动（如图甲），现以AP为折痕将△DAP折起，使得点D在平面ABCP内的射影O恰好落在AB边上（如图乙）．设CP＝x（0＜x＜1），二面角D﹣AP﹣B 的余弦值为y，则函数y＝f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．8．若不等式ax2+bx+c＞0的解为m＜x＜n（其中m＜0＜n），则不等式cx2﹣bx+a＞0的解为（）A．x＞﹣m或x＜﹣n B．﹣n＜x＜﹣mC．x＞﹣或x D．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2B．4C．D．1210．如图，矩形ABCD（AD＜AB）的周长为4，把△ABC沿AC向△ADC折叠后成△AB'C，AB折过去后交DC于点P．则△B′PC的最大面积为（）A．3﹣2B．3﹣C．﹣1D．+111．如果满足∠ABC＝60°，AC＝12，BC＝k的△ABC恰有一个，那么k的取值为（）A．B．0＜k≤12C．k≥12D．0＜k≤12或12．已知一个几何体的三视图如图所示，俯视图为等腰三角形，则该几何体的外接球表面积为（）A．8πB．C．D．13．如图，圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|＝2．过点A任作一条直线与圆O：x2+y2＝1相交于M，N两点，的值为（）A．2B．3C．D．14．若数列{a n}满足a n＝（n≥2，n∈N*），且a1＝，则a n＝（）A．B．C．D．15．夏季是暴雨和洪水高发季节，需要做好各项防汛工作．为更好地考察防汛工作实际情况，某校高一数学兴趣小组前往某水库实地测量其大坝相关数据．如图所示，CE是该大坝的坡面，该小组在坝底所在水平地面的A处测得坝顶E的仰角为θ，对着大坝在水平地面上前进30m后到达B处，测得仰角为原来的2倍，继续在水平地面上前进10m后到达坡底C处，测得仰角为原来的4倍，则该大坝的高度为（）A．10m B．15m C．20m D．5m16．下列四个说法中，错误的是（）①若a，b均为正数，则；②若x∈（0，），则sin x+的最小值为2；③若a＞b＞1，则；④a＞b＞0，则a+＞b+．A．①②③B．①③C．②③D．②④17．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，M，N为线段BC，CC1上的动点，过点A1，M，N的平面截该正方体的截面记为S，则下列命题正确的个数是（）①当BM＝0且0＜CN＜1时，S为等腰梯形；②当M，N分别为BC，CC1的中点时，几何体A1D1MN的体积为；③当M为BC中点且CN＝时，S与C1D1的交点为R，满足C1R＝；④当M为BC中点且0≤CN≤1时，S为五边形．A．1B．2C．3D．418．在△ABC中，D为AB的中点，E为AC边上靠近点A的三等分点，且BE⊥CD，则cos2A的最小值为（）A．B．C．﹣D．﹣19．在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若直线3x+4y﹣5＝0恰好与以AB为直径的圆C相切，则圆C面积的最小值为（）A．B．C．D．π20．已知数列{a n}的前n项和为S n，直线与圆O：x2+y2＝2a n+2交于两点，且．记b n＝na n，其前n项和为T n，若存在n∈N*，使得有解，则实数λ取值范围是（）A．B．C．D．（0，+∞）21．在数列{a n}中，若a1＝，且对任意的n∈N*有，则数列{a n}前10项的和为（）A．B．C．D．22．已知函数f（x）＝sin2+sinωx﹣（ω＞0），x∈R，若f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]∪[，1）C．（0，]D．（0，]∪[，]23．已知直线l的方程为2x+3y＝5，点P（a，b）在l上位于第一象限内的点，则的最小值为（）A．B．C．D．24．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1﹣m，2m﹣1），点B（﹣2，1），直线l：ax+by＝0．如果对任意的m∈R点A到直线l的距离均为定值，则点B关于直线l的对称点B1的坐标为（）A．（0，2）B．C．（2，3）D．25．若正项数列{a n}的前n项和为S n，满足，则＝（）A．B．C．D．26．如图是某三棱锥的三视图，则此三棱锥内切球的体积为（）A．B．C．D．二．填空题（共14小题）27．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若•＝6•，则的值是．28．在下列所给的结论中：①在△ABC中，若sin2A＝sin2B，则△ABC是等腰三角形；②在△ABC中，角A、B、C均不等于，则tan A+tan B+tan C＝tan A tan B tan C；③等比数列{a n}的前n项和S n＝3n+m，m为常数，则m＝﹣1；④如果锐角α、β、γ满足cos2α+cos2β+cos2γ＝1，那么tanαtanβtanγ的最小值为2．其中正确命题的序号为．29．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝2（θ∈R）．①圆C与圆O：x2+y2＝1的位置关系是；（选填：相离，外切，相交，内切或内含）②记圆C与直线l1：x+2y＝0和l2：2x﹣y＝0分别交于A、C和B、D四点，当θ变化时，凸四边形ABCD面积的最大值是．30．设a1，a2，…，a50是从﹣1，0，1这三个整数中取值的数列，若a1+a2+…+a50＝9，且（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a50+1）2＝107，则a1，a2，…，a50中数字0的个数为．31．如图所示，体积为16的长方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点均在球O的表面上，且AA1＝4，则球O 的表面积的最小值为．32．已知x＝是函数f（x）＝2sin（πx+φ），（0＜φ＜π）的一个零点，令a n＝f（）+|2n﹣5|，（n∈N*），S n为数列{a n}的前n项和，则S21＝．33．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且＝﹣若b＝，a+c＝4，则a的值为．34．过点P（1，﹣2）引圆x2+y2﹣2x﹣4y＝0的切线，其中一个切点为Q，则|PQ|长度为．35．已知A、B、C为△ABC的三内角，且角A为锐角，若tan B＝2tan A，则的最小值为．36．已知函数f（x）＝A sin（x+φ），x∈R，A＞0，0＜φ＜．y＝f（x）的部分图象，如图所示，P，Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为（1，A），点R的坐标为（1，0），∠PRQ＝，则sin∠PQR＝．37．已知边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，沿对角边BD折成二面角A﹣BD﹣C为120°的四面体ABCD，则四面体的外接球的表面积为．38．在△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，点G为△ABC的重心，若CG⊥BG，则cos C的取值范围为．39．若A为△ABC的最小内角，则函数f（A）＝的值域为．40．已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长为2，则该正三棱锥外接球的表面积为．三．解答题（共20小题）41．在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处（﹣1）海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°的方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的时间．42．已知数列{a n}的前n项和为S n，，且4S n+1＝3S n﹣9．（1）求数列{a n}的通项；（2）设数列{b n}满足，记{b n}的前n项和为T n．①求T n；②若T n≤λb n对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．43．设函数f（x）＝mx2﹣mx﹣1．（1）若对于一切的实数x，f（x）＜0恒成立，求实数m的取值范围；（2）设m＞0，则关于x的不等式f（x）＜x﹣2．44．已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足＝．（1）证明：b，a，c成等差数列；（2）如图，若b＝c，点O是△ABC外一点，设∠AOB＝θ（0＜θ＜π），OA＝2OB＝2，求平面四边形OACB面积的最大值．45．已知α是锐角，tanα＝﹣1，函数f（x）＝x2tan2α+x•sin（2α+），数列{a n}的前n项和为S n，且2S n＝f（n）．数列{b n}是等比数列，b1＝1，a5﹣b2＝3．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为T n，若T n≤M对一切的正整数n都成立，求M的最小值；（3）设数列{c n}满足c n＝3﹣2λb n，且{c n}是递增数列，求实数λ的取值范围．46．已知定义在R上的函数f（x）＝x2﹣x+k，其中k为常数．（1）求解关于x的不等式f（x）＜kx的解集；（2）若f（2）是f（a）与f（b）的等差中项，求a+b的取值范围．47．已知数列{a n}的前n项和S n满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设点列P n（a n，b n）都在函数y＝log3x的图象上，依次连结P1、P2、P3…P n+1形成折线L．记折线L对应的函数为y＝f（x），求不等式组所表示的平面区域的面积．48．已知圆C经过坐标原点O和点G（﹣2，2），且圆心C在直线x+y﹣2＝0上．（1）求圆C的方程；（2）设P A、PB是圆C的两条切线，其中A、B为切点．①若点P在直线x﹣y﹣2＝0上运动，求证：直线AB经过定点；②若点P在曲线y＝（其中x＞4）上运动，记直线P A、PB与x轴的交点分别为M、N，求△PMN面积的最小值．49．边长为1的正方形ABCD的边BC上有一点P，边CD上有一点Q．满足△CPQ的周长为2．（1）求∠QAP的大小；（2）求△APQ面积的最小值．50．已知S n是数列{a n}的前n项和，且a n＝S n+2n（n∈N*）．（Ⅰ）求a1，a2的值；（Ⅱ）令b n＝，求证：数列{b n}是等差数列；（Ⅲ）若数列{∁n}满足∁n＝1+，对任意的p、q∈N*，λ≥|∁p﹣∁q|恒成立，求实数λ的取值范围．51．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且满足bc sin2A+20cos（B+C）＝0．（1）求△ABC的面积S；（2）若a2＝4S，求的最大值．52．已知数列{a n}满足a1＝2，（1）求a2，a3的值；（2）求证：数列是等比数列，并求{a n}的通项公式；（3）设，若不等式对于任意n∈N*都成立，求正数k的最大值．53．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足2S n＝3a n﹣3．（1）证明数列{a n}是等比数列；（2）若数列{b n}满足b n＝log3a n，记数列{}的前n项和为T n，证明：≤T n＜．54．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，BC⊥PB，AB⊥BC，AD∥BC，AD＝3，P A＝BC＝2AB＝2，．（1）求二面角P﹣CD﹣A的余弦值；（2）若点E在棱P A上，且BE∥平面PCD，求线段BE的长．55．已知数列{a n}的首项为1，且na n+1＝（n+1）a n，数列{b n}满足，，对任意n∈N*，都有．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）令T n＝a1b1+a2b2+…+a n b n，数列{a n}的前n项和为S n．若对任意的n∈N*，不等式λnT n+2b n S n＞2（λn+3b n）恒成立，试求实数λ的取值范围．56．已知函数f（x）＝的图象上有一点列P n（x n，y n）（n∈N*），点P n在x轴上的射影是Q n（x n，0），且x n＝3x n﹣1+2（n≥2且n∈N*），x1＝2．（1）求证：{x n+1}是等比数列，并求出数列{x n}的通项公式；（2）对任意的正整数n，当m∈[﹣1，1]时，不等式3t2﹣6mt+恒成立，求实数t的取值范围．（3）设四边形P n Q n Q n+1P n+1的面积是S n，求证：＜3．57．如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝c（sin B+cos B）．（1）求∠ACB的大小；（2）若∠ABC＝∠ACB，D为△ABC外一点，DB＝2，DC＝1，求四边形ABDC面积的最大值．58．已知函数f（x）＝为奇函数，且f（2）＝．（1）求实数a与b的值；（2）若函数g（x）＝，数列{a n}为正项数列，，且当n≥2，n∈N*时，[g（a n）•g（a n﹣1）+f（a n2）f（a n﹣12）（f2（a n）+f2（a n﹣1）﹣f2（a n）f2（a n﹣1））]a n4＝4，设b n＝，记数列{a n}和{b n}的前n项和分别为A n，B n，且对∀n∈N*有A n≥（﹣1）n（λ﹣7B n）恒成立，求实数λ的取值范围．59．如图1，ABCD为菱形，∠ABC＝60°，△P AB是边长为2的等边三角形，点M为AB的中点，将△P AB 沿AB边折起，使平面P AB⊥平面ABCD，连接PC、PD，如图2，（1）证明：AB⊥PC；（2）求PD与平面ABCD所成角的正弦值（3）在线段PD上是否存在点N，使得PB∥平面MC？若存在，请找出N点的位置；若不存在，请说明理由60．动直线m：3x+8y+3λx+λy+21＝0（λ∈R）过定点M，直线l过点M且倾斜角α满足cosα＝，数列{a n}的前n项和为S n，点P（S n，a n+1）在直线l上．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）设b n﹣＝，数列{b n}的前n项和T n，如果存在任意一个n∈N*，不等式成立，求整数k的最大值．参考答案一．选择题（共26小题）1．A；2．D；3．C；4．B；5．B；6．A；7．D；8．C；9．B；10．A；11．D；12．B；13．C；14．A；15．B；16．C；17．B；18．D；19．A；20．D；21．A；22．D；23．C；24．B；25．A；26．C；二．填空题（共14小题）27．；28．②③④；29．相交；3；30．11；31．24π；32．363；33．1或3；34．；35．；36．；37．28π；38．；39．[，）；40．；三．解答题（共20小题）41．在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处（﹣1）海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°的方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的时间．【解答】解：如图所示，设缉私船追上走私船需t小时，则有CD＝，BD＝10t．在△ABC中，∵AB＝﹣1，AC＝2，∠BAC＝45°+75°＝120°．根据余弦定理可求得BC＝，∠CBA＝60°，∠CBD＝90°+30°＝120°．在△BCD中，根据正弦定理可得sin∠BCD＝，∵∠CBD＝120°，∴∠BCD＝30°，∠BDC＝30°，∴BD＝BC＝，则有10t＝，t＝＝0.245（小时）＝14.7（分钟）．所以缉私船沿北偏东60°方向，需14.7分钟才能追上走私船．42．已知数列{a n}的前n项和为S n，，且4S n+1＝3S n﹣9．（1）求数列{a n}的通项；（2）设数列{b n}满足，记{b n}的前n项和为T n．①求T n；②若T n≤λb n对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．【解答】解：当n＝1时，4（a1+a2）＝3a1﹣9，，∴，当n≥2时，由4S n+1＝3S n﹣9①，得4S n＝3S n﹣1﹣9②，①﹣②得4a n+1＝3a n，，∵a n≠0，∴，又，∴{a n}是首项为，公比为的等比数列，∴；（2）①由3b n+（n﹣4）a n＝0，得，所以，，两式相减得＝＝，所以②由T n≤λb n，得恒成立，即λ（n﹣4）+3n≥0恒成立，当n＝4时，不等式恒成立；当n＜4时，有，得λ≤1；当n＞4时，有，得λ≥﹣3；综上，实数λ的取值范围为[﹣3，1]．43．设函数f（x）＝mx2﹣mx﹣1．（1）若对于一切的实数x，f（x）＜0恒成立，求实数m的取值范围；（2）设m＞0，则关于x的不等式f（x）＜x﹣2．【解答】解：（1）要使mx2﹣mx﹣1＜0恒成立，当m＝0时，不等式化为﹣1＜0，显然满足题意，故m＝0符合题意；当m≠0时，只需成立，解得﹣4＜m＜0．综上可知，m的取值范围是（﹣4，0]．（2）原不等式可化为：mx2﹣（m+1）x+1＜0，m＞0．即m，当0＜m＜1时，，原不等式的解为：；当m＝1时，，原不等式无解；当m＞1时，，原不等式的解为：．综上可知：当0＜m＜1时，原不等式的解集为{x|}；当m＝1时，原不等式的解集为Φ；当m ＞1时，原不等式的解集为{x|}．44．已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足＝．（1）证明：b，a，c成等差数列；（2）如图，若b＝c，点O是△ABC外一点，设∠AOB＝θ（0＜θ＜π），OA＝2OB＝2，求平面四边形OACB面积的最大值．【解答】（1）证明：由．可得：sin B cos A+sin C cos A＝2sin A﹣sin A cos B﹣cos C sin A即sin A cos B+sin B cos A+sin C cos A+cos C sin A＝2sin A∴sin（A+B）+sin（A+C）＝2sin A∵A+B+C＝π∴sin C+sin B＝2sin A由正弦定理：b+c＝2a，故得b，a，c成等差数列；（2）解：由（1）可知b+c＝2a，b＝c，则a＝b＝c．∴△ABC是等边三角形．由题意∠AOB＝θ（0＜θ＜π），OA＝2OB＝2，则．余弦定理可得：c2＝AO+OB﹣2•AO•BO•cosθ＝5﹣4cosθ则＝＝．故四边形OACB面积S＝sinθ﹣cosθ+＝2sin（）．∵0＜θ＜π，∴＜，∴当＝时，S取得最大值为2＝故平面四边形OACB面积的最大值为．45．已知α是锐角，tanα＝﹣1，函数f（x）＝x2tan2α+x•sin（2α+），数列{a n}的前n项和为S n，且2S n＝f（n）．数列{b n}是等比数列，b1＝1，a5﹣b2＝3．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为T n，若T n≤M对一切的正整数n都成立，求M的最小值；（3）设数列{c n}满足c n＝3﹣2λb n，且{c n}是递增数列，求实数λ的取值范围．【解答】解：（1）∵α是锐角，tanα＝﹣1，∴tan2α＝＝1，2α＝，sin（2α+）＝1，∴f（x）＝x2+x，2S n＝f（n）＝n2+n，∴S n＝．∴①当n＝1时，a1＝S1＝1，②当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝﹣＝n，综合①②得：a n＝n．设数列{b n}的公比为q，∵b1＝1，a5﹣b2＝3，∴b2＝a5﹣3＝5﹣3＝2＝q，∴b n＝2n﹣1，∴a n＝n，b n＝2n﹣1；（2）由（1）可得＝，又T n＝1×（）0+2×（）1+3×（）2+…+，T n＝1×（）1+2×（）2+…+（n﹣1）•（）n﹣1+，两式相减得：T n＝1+（）1+（）2+（）3+…+（）n﹣1﹣＝﹣＝2﹣（n+2）•（）n，∴T n＝4﹣，∵T n随n的增大而增大，且T n＜4，∴M min＝4；（3）由（1）可得：c n＝3n﹣2λ•2n﹣1＝3n﹣λ•2n，∵{c n}是递增数列，∴c n+1﹣c n＝3n+1﹣λ•2n+1﹣3n+λ•2n＝2×3n﹣λ•2n＞0，∴λ＜2×（）n，又（2×（）n）min＝2×＝3，∴λ＜3．46．已知定义在R上的函数f（x）＝x2﹣x+k，其中k为常数．（1）求解关于x的不等式f（x）＜kx的解集；（2）若f（2）是f（a）与f（b）的等差中项，求a+b的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）＜kx，可得x2﹣x+k＜kx，即（x﹣k）（x﹣1）＜0，当k＝1时，不等式的解集为∅；当k＜1时，不等式的解集为（k，1）；当k＞1时，不等式的解集为（1，k）．（2）若f（2）是f（a）与f（b）的等差中项，则2（2+k）＝（a2﹣a+k）+（b2﹣b+k），整理得a2+b2﹣（a+b）＝4，∴4＝a2+b2﹣（a+b）＝（a+b）2﹣（a+b）﹣2ab≥（a+b）2﹣（a+b）﹣2（）2，解得﹣2≤a+b≤4，所以a+b的取值范围为[﹣2，4]．47．已知数列{a n}的前n项和S n满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设点列P n（a n，b n）都在函数y＝log3x的图象上，依次连结P1、P2、P3…P n+1形成折线L．记折线L对应的函数为y＝f（x），求不等式组所表示的平面区域的面积．【解答】解：（1）当n＝1时，2S1＝3（a1﹣1）＝2a1，得a1＝3，当n≥2时，2S n＝3（a n﹣1），2S n﹣1＝3（a n﹣1﹣1），两式作差可得2 a n＝3a n﹣3a n﹣1，即a n＝3a n﹣1，所以数列{a n}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以a n＝3n；（2）因为P n（a n，b n）都在函数y＝log3x的图象上，所以b n＝log3a n＝n，即P n（3n，n），此时形成的平面区域由n个不同的梯形构成，且第n个梯形面积为c n＝（2n+1）（3n+1﹣3n）＝（2n+1）3n，所以不等式组所表示的平面区域的面积为数列{c n}的前n项和，所以令T n＝c1+c2+c3+…+c n，T n＝3×3+5×32+7×33+…+（2n+1）3n，3T n＝3×32+5×33+7×34+…+（2n﹣1）3n+（2n+1）3n+1，作差整理得﹣2T n＝9+2×32+2×33+…+2×3n﹣（2n+1）3n+1＝9+2×﹣（2n+1）3n+1，整理得T n＝n•3n+1，即不等式组所表示的平面区域的面积为n•3n+1．48．已知圆C经过坐标原点O和点G（﹣2，2），且圆心C在直线x+y﹣2＝0上．（1）求圆C的方程；（2）设P A、PB是圆C的两条切线，其中A、B为切点．①若点P在直线x﹣y﹣2＝0上运动，求证：直线AB经过定点；②若点P在曲线y＝（其中x＞4）上运动，记直线P A、PB与x轴的交点分别为M、N，求△PMN面积的最小值．【解答】解：（1）由题意设圆C的圆心坐标（m，2﹣m），由题意|OC|2＝|CG|2，即m2+（2﹣m）2＝（m+2）2+（2﹣m﹣2）2，解得m＝0，即C（0，2），所以可得半径r＝|OC|＝2，所以圆的方程为x2+（y﹣2）2＝4；（2）①由点P在直线x﹣y﹣2＝0上运动，可设P（t，t﹣2），由P A和PB为圆C的两条切线，可得AC⊥P A，BC⊥PB，则P，A，C，B四点共圆，且圆心为PC的中点（，），半径为|PC|＝，则以PC为直径的圆的方程为（x﹣）2+（y﹣）2＝[t2+（t﹣4）2]，又圆C的方程为x2+（y﹣2）2＝4，上面两圆的方程相减可得tx+（t﹣4）y+4﹣2t＝0，上式即为直线AB的方程，由t（x+y﹣2）+（4﹣4y）＝0，可得，解得x＝y＝1，则直线AB恒过定点（1，1）；②若点P在曲线y＝（其中x＞4）上运动，可设P（u，u2），u＞4，显然切线P A，PB的斜率存在，设为k，可得切线方程设为y﹣u2＝k（x﹣u），即kx﹣y+u2﹣ku＝0，由直线和圆相切的条件可得＝2，化为k2（u2﹣4）+2ku（2﹣）+﹣u2＝0，△＝4u2（2﹣）2﹣4（u2﹣4）（﹣u2）＞0在u＞4恒成立，k1+k2＝，k1k2＝，|k1﹣k2|＝＝＝，而M（u﹣，0），N（u﹣，0），|MN|＝•||＝•＝，所以△PMN面积S＝••＝•，可设s＝u2﹣16，s＞0，则S＝•＝（s++32）≥（2+32）＝32，当且仅当s＝16，即u＝4时，△PMN的面积取得最小值32．49．边长为1的正方形ABCD的边BC上有一点P，边CD上有一点Q．满足△CPQ的周长为2．（1）求∠QAP的大小；（2）求△APQ面积的最小值．【解答】解：（1）△CPQ的周长为2，可得PQ＝BP+DQ，设∠P AB＝α，∠DAQ＝β，则PB＝tanα，QD＝tanβ，且PC＝1﹣tanα，QC＝1﹣tanβ，PQ＝tanα+tanβ，…2分由勾股定理可得，（1﹣tanα）2+（1﹣tanβ）2＝（tanα+tanβ）2，展开整理可得，2﹣2tanα﹣2tanβ＝2tanα•tanβ，…4分变形可得＝1，即tan（α+β）＝1，…5分因为α+β为锐角，α+β＝45°，∠QAP＝90°﹣45°＝45°…6分（2）S△APQ＝AQ•AP•sin45°＝，…8分又2cosαcosβ＝2cosαcos（45°﹣α）＝2cos2α+2cosαsinα，2cosαcosβ＝1+cos2α+sin2α＝1+cos（45°﹣2α），…10分当α＝22.5°时，上式有最大值1+，…11分此时S△APQ＝有最小值﹣1．…12分50．已知S n是数列{a n}的前n项和，且a n＝S n+2n（n∈N*）．（Ⅰ）求a1，a2的值；（Ⅱ）令b n＝，求证：数列{b n}是等差数列；（Ⅲ）若数列{∁n}满足∁n＝1+，对任意的p、q∈N*，λ≥|∁p﹣∁q|恒成立，求实数λ的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由a n＝S n+2n（n∈N*），可得a1＝S1+2＝a1+2，即有a1＝4；由a2＝S2+4＝（2+a2）+4，解得a2＝12；（Ⅱ）证明：当n≥2时，2a n﹣1＝S n﹣1+2n，又2a n＝S n+2n+1，相减可得2a n﹣2a n﹣1＝S n﹣S n﹣1+2n+1﹣2n，即为a n＝2a n﹣1+2n，可得＝+1，即有b n＝b n﹣1+1，可得数列{b n}是首项为2，公差为1的等差数列；（Ⅲ）由（Ⅱ）可得＝n+1，即a n＝（n+1）•2n，可得S n＝2a n﹣2n+1＝n•2n+1，∁n＝1+＝1+（﹣）n+1，当n为偶数时，∁n＝1﹣递增，可得≤∁n＜1；当n为奇数时，∁n＝1+递减，可得1＜∁n≤，则|∁p﹣∁q|的最大值为﹣＝，可得λ≥．51．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且满足bc sin2A+20cos（B+C）＝0．（1）求△ABC的面积S；（2）若a2＝4S，求的最大值．【解答】解：（1）∵在△ABC中，B+C＝π﹣A，且bc sin2A+20cos（B+C）＝0，∴bc sin2A﹣20cos A＝0，∴2bc sin A cos A＝20cos A，∵，cos A≠0，∴bc sin A＝10，∴△ABC的面积S＝bc sin A＝＝5．（2）∵a2＝4S，∴b2+c2﹣2bc cos A＝2bc sin A，∴b2+c2＝2bc cos A+2bc sin A，∴＝＝2sin A+2cos A＝2sin（A+）≤2，当A＝时，的最大值为2．52．已知数列{a n}满足a1＝2，（1）求a2，a3的值；（2）求证：数列是等比数列，并求{a n}的通项公式；（3）设，若不等式对于任意n∈N*都成立，求正数k的最大值．【解答】解：（1）解：∵数列{a n}满足a1＝2，，∴a2＝3×2+21﹣1＝7，a3＝3×7+22﹣1＝23．（2）证明：，可得a n+1+2n＝3（a n+2n﹣1），∴{a n+2n﹣1}是以3为首项、3为公比的等比数列，∴a n+2n﹣1＝3n，∴a n＝3n﹣2n﹣1，n∈N*．（3）解：b n＝log（3n﹣2n﹣1+2n﹣1）+1＝log3n+1＝2n+1，不等式，即•••，设f（n）＝•••，则＝•＝1，∴f（n+1）＞f（n），即当n增大时，f（n）也增大，∴只需≤f（n）min即可．∵f（n）min＝f（1）＝•，∴，即k≤4，∴正数k的最大值为4．53．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足2S n＝3a n﹣3．（1）证明数列{a n}是等比数列；（2）若数列{b n}满足b n＝log3a n，记数列{}的前n项和为T n，证明：≤T n＜．【解答】证明：（1）因为2S n＝3a n﹣3，所以2S n﹣1＝3a n﹣1﹣3，两式相减得，2a n＝3a n﹣3a n﹣1（n≥2），即a n＝3a n﹣1（n≥2），在2S n＝3a n﹣3中，令n＝1，则2a1＝2S1＝3a1﹣3，解得a1＝3≠0，故数列{a n}是以3为首项，3为公比的等比数列．（2）由（1）可知a n＝3n．所以b n＝log3a n＝log33n＝n，所以＝．所以T n＝+++……++，T n＝+++……++，两式相减得，T n＝+++……+﹣＝﹣＝，所以T n＝＝＜，当n≥2时，T n﹣T n﹣1＝＝＞0，此时，数列{T n}为递增数列，T n＞T1＝，当n＝1时，T1＝，综上所述，≤T n＜．54．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，BC⊥PB，AB⊥BC，AD∥BC，AD＝3，P A＝BC＝2AB＝2，．（1）求二面角P﹣CD﹣A的余弦值；（2）若点E在棱P A上，且BE∥平面PCD，求线段BE的长．【解答】解：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，由P A＝2AB＝2，，得PB2+AB2＝P A2，则PB⊥AB，又BC⊥PB，AB⊥BC，∴以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BP为z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），A（1，0，0），C（0，2，0），D（1，3，0），P（0，0，），＝（0，1，0），＝（0，2，﹣），由图可知，平面ABCD的一个法向量为＝（0，0，1），设平面PCD的法向量为，则，取z＝2，得，设二面角P﹣CD﹣A的平面角为α，则cosα＝|cos＜＞|＝．∴二面角P﹣CD﹣A的余弦值为；（2）∵点E在P A上，∴，λ∈[0，1]，∵，∴，＝（1﹣λ，0，），又∵BE∥平面PCD，为平面PCD的法向量，∴，即，解得，∴，则BE＝||＝．55．已知数列{a n}的首项为1，且na n+1＝（n+1）a n，数列{b n}满足，，对任意n∈N*，都有．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）令T n＝a1b1+a2b2+…+a n b n，数列{a n}的前n项和为S n．若对任意的n∈N*，不等式λnT n+2b n S n＞2（λn+3b n）恒成立，试求实数λ的取值范围．【解答】解：（1）∵na n+1＝（n+1）a n，即，∴．∴（n≥2），又a1＝1也满足上式，故数列{a n}的通项公式a n＝n（n∈N*）；由，知数列{b n}是等比数列，其首项、公比均为，∴数列{b n}的通项公式．（2）①∴②由①﹣②，得＝，∴．又．不等式λnT n+2b n S n＞2（λn+3b n）即，即（1﹣λ）n2+（1﹣2λ）n﹣6＞0（n∈N*）恒成立．即（n∈N*）恒成立，令．则，由n+6≥7，单调递增且大于0，∴f（n）单调递增，当n＝1时，为最小值，故，∴实数λ的取值范围是．56．已知函数f（x）＝的图象上有一点列P n（x n，y n）（n∈N*），点P n在x轴上的射影是Q n（x n，0），且x n＝3x n﹣1+2（n≥2且n∈N*），x1＝2．（1）求证：{x n+1}是等比数列，并求出数列{x n}的通项公式；（2）对任意的正整数n，当m∈[﹣1，1]时，不等式3t2﹣6mt+恒成立，求实数t的取值范围．（3）设四边形P n Q n Q n+1P n+1的面积是S n，求证：＜3．【解答】（1）证明：由x n＝3x n﹣1+2（n≥2且n∈N*）得x n+1＝3（x n﹣1+1）（n≥2且n∈N*）∵x1+1＝3，∴x n+1≠0，∴，（n≥2且n∈N*），∴{x n+1}是首项为3，公比为3的等比数列．∴．∴，n∈N*．（2）解：∵，∵，n∈N*，又3n＝n+1+2n﹣1＞n+1＞1，∴，故数列{y n}单调递减，（此处也可作差y n+1﹣y n＜0证明数列{y n}单调递减）∴当n＝1时，y n取得最大值为．要使对任意的正整数n，当m∈[﹣1，1]时，不等式恒成立，则须使，即t2﹣2mt＞0，对任意m∈[﹣1，1]恒成立，∴，解得t＞2或t＜﹣2，∴实数t的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．（3）证明：，而，∴四边形P n Q n Q n+1P n+1的面积为＝，，，∴．57．如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝c（sin B+cos B）．（1）求∠ACB的大小；（2）若∠ABC＝∠ACB，D为△ABC外一点，DB＝2，DC＝1，求四边形ABDC面积的最大值．【解答】解：（1）在△ABC中，∵a＝c（sin B+cos B），∴sin A＝sin C（sin B+cos B），…（1分）∴sin（π﹣B﹣C）＝sin C（sin B+cos B），∴sin（B+C）＝sin C（sin B+cos B），…（2分）∴sin B cos C+cos B sin C＝sin B sin C+sin C cos B，…（3分）∴cos C sin B＝sin B sin C，又∵B∈（0，π），故sin B≠0，…（4分）∴cos C＝sin C，即tan C＝1．…（5分）又∵C∈（0，π），∴C＝．…（6分）（2）在△BCD中，DB＝2，DC＝1，∴BC2＝12+22﹣2×1×2×cos D＝5﹣4cos D．…（7分）又∠ABC＝∠ACB，由（1）可知∠ACB＝，∴△ABC为等腰直角三角形，…（8分）∴S△ABC＝×BC××BC＝BC2＝﹣cos D，…（9分）又∵S△BDC＝×BD×DC×sin D＝sin D，…（10分）∴S四边形ABDC＝﹣cos D+sin D＝+sin（D﹣）．…（11分）∴当D＝时，四边形ABDC的面积有最大值，最大值为+．…（12分）58．已知函数f（x）＝为奇函数，且f（2）＝．（1）求实数a与b的值；（2）若函数g（x）＝，数列{a n}为正项数列，，且当n≥2，n∈N*时，[g（a n）•g （a n﹣1）+f（a n2）f（a n﹣12）（f2（a n）+f2（a n﹣1）﹣f2（a n）f2（a n﹣1））]a n4＝4，设b n＝，记数列{a n}和{b n}的前n项和分别为A n，B n，且对∀n∈N*有A n≥（﹣1）n（λ﹣7B n）恒成立，求实数λ的取值范围．【解答】解：（1）因为f（x）为奇函数，，得b＝0，又，得a＝0．（2）由（1）知，得，又，∴，又a n＞0，所以，又，故，则数列{a n}的前n项和；又，则数列{b n}的前n项和为：＝，对∀n∈N*恒成立对∀n∈N*恒成立对∀n∈N*恒成立，令t＝2n+1﹣1，则当n为奇数时，原不等式，对∀n∈N*恒成立.对∀n∈N*恒成立，又函数在上单增，故有；当n为偶数时，原不等式，对∀n∈N*恒成立.对∀n∈N*恒成立，又函数在（0，+∞）上单增，故有7﹣1+6≥λ⇒λ≤12．综上得．59．如图1，ABCD为菱形，∠ABC＝60°，△P AB是边长为2的等边三角形，点M为AB的中点，将△P AB 沿AB边折起，使平面P AB⊥平面ABCD，连接PC、PD，如图2，（1）证明：AB⊥PC；（2）求PD与平面ABCD所成角的正弦值（3）在线段PD上是否存在点N，使得PB∥平面MC？若存在，请找出N点的位置；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）证明：∵△P AB是边长为2的等边三角形，点M为AB的中点，∴PM⊥AB．∵ABCD为菱形，∠ABC＝60°．∴CM⊥AB，且PM∩MC＝M，∴AB⊥面PMC，∵PC⊂面PMC，∴AB⊥PC；（2）∵平面P AB⊥平面ABCD，平面P AB∩平面ABCD＝AB，PM⊥AB．∴PM⊥面ABCD，∴∠PMD就是PD与平面ABCD所成角．PM＝，MD＝，PD＝sin∠PMD＝＝，即PD与平面ABCD所成角的正弦值为．（3）设DB∩MC＝E，连接NE，则有面PBD∩面MNC＝NE，∵PB∥平面MNC，∴PB∥NE．∴．线段PD上是否存在点N，使得PB∥平面MNC，且PN＝．60．动直线m：3x+8y+3λx+λy+21＝0（λ∈R）过定点M，直线l过点M且倾斜角α满足cosα＝，数列{a n}的前n项和为S n，点P（S n，a n+1）在直线l上．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）设b n﹣＝，数列{b n}的前n项和T n，如果存在任意一个n∈N*，不等式成立，求整数k的最大值．【解答】解：（1）3x+8y+3λx+λy+21＝0即为（3x+8y+21）+λ（3x+y）＝0，由3x+y＝0且3x+8y+21＝0，解得x＝1，y＝﹣3，可得M（1，﹣3），可得直线l的斜率为tanα＝＝2，即直线l的方程为y+3＝2（x﹣1），即有y＝2x﹣5，即有a n+1＝2S n﹣5，即a n+6＝2S n，当n＝1时，可得a1+6＝2S1＝2a1，即a1＝6，n≥2时，a n﹣1+6＝2S n﹣1，又a n+6＝2S n，相减可得2a n＝a n﹣a n﹣1，即a n＝﹣a n﹣1，可得数列{a n}的通项公式a n＝6•（﹣1）n﹣1；（2）b n﹣＝，即b n＝+•（﹣1）n﹣1，当n为偶数时，T n＝n；当n为奇数时，T n＝n+，当n为偶数时，不等式成立，即为≤2n﹣7即k≤2n﹣2，可得k≤2；当n为奇数时，不等式成立，即为≤2n﹣7即4k≤6n﹣1，可得k≤，综上可得k≤2，即k的最大值为2．。

1．(2016·山东，17)(本小题满分12分)设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g ⎝⎛⎭⎫π6的值．2．(2016·全国Ⅲ，，17)(本小题满分12分)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0.(1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．3．(2016·全国Ⅲ，17)(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0.(1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式；(2)若S 5＝3132，求λ.4．(2016·全国卷Ⅱ文，17)(本小题满分12分)等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.5．(2016·全国Ⅱ理，17)(本题满分12分)S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 7＝28.记b n ＝[lg a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.(1)求b 1，b 11，b 101；(2)求数列{b n }的前1 000项和．6．(2016·全国Ⅰ，17)(本小题满分12分)已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13，a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n . (1)求{a n }的通项公式；(2)求{b n }的前n 项和．7．(2016·全国Ⅰ理，17)(本小题满分12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长．8．(2016·北京，15)(本小题13分)已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和．9．(2016·北京，16)(本小题13分)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间．10．(2016·北京，15)(本小题满分13分)在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac .(1)求∠B 的大小；(2)求2cos A ＋cos C 的最大值．11.（本题满分14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知tan(A)24π+=. （1）求2sin 2sin 2cos A A A +的值； （2）若B ,34a π==，求ABC ∆的面积.12.（本题满分15分）已知数列{}n a 和{}n b 满足，*1112,1,2(n N ),n n a b a a +===∈*12311111(n N )23n n b b b b b n+++++=-∈. （1）求n a 与n b ; （2）记数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，求n T .13在三角形ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A=4π，22b a -=122c .（1）求t a nC 的值；（2）若ABC 的面积为7，求b 的值。

2018高一数学三角函数难题练习一．选择题（共19小题）1．若log a x1=log（a+1）x2=log（a+2）x3＞0，则x1，x2，x3之间的大小关系为（）A．x1＜x3＜x2B．x2＜x1＜x3C．x1＜x2＜x3D．x3＜x2＜x12．设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0），若f（）=f（）=﹣f（），且f（x）在区间[，]上单调，则f（x）的最小正周期是（）A．B．C．D．π3．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象过点B（0，﹣1），且在（，）上单调，同时f（x）的图象向左平移π个单位之后与原来的图象重合，当x1，x2∈（﹣，﹣），且x1≠x2时，f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）=（）A．﹣B．﹣1 C．1 D．4．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．55．已知函数f（x）=2sin（2x+φ）+1（|φ|＜），若f（x）＜1，对x∈（﹣，﹣）恒成立，则f（）的最小值是（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣+16．已知△ABC，若对任意k∈R，有||≥，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．以上均有可能7．已知O为△ABC内一点，若对任意k∈R有|+（k﹣1）﹣k|≥|﹣|，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．以上均有可能8．已知△ABC中，AB=4，且满足BC=CA，则△ABC的面积的最大值为（）A．B．3 C．2 D．49．设等差数列{a n}满足，公差d∈（﹣1，0），当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，求该数列首项a1的取值范围（）A．B．[，]C．（，）D．f（x）10．已知数列{a n}中，a1=1，a2k=a2k﹣1+（﹣1）k，a2k+1=a2k+2k（k∈N*），则{a n}的前60项的和S60=（）A．231﹣154 B．231﹣124C．232﹣94 D．232﹣12411．已知数列{a n}满足：a1=，a n+2﹣a n≤3n，a n+6﹣a n≥91•3n，则a2015=（）A．+B．C．+D．12．正整数按如图的规律排列，则上起第2011行，左起第2012列的数为（）A．20112B．20122C．2011+2012 D．2011×201213．对于有限数列A：{a1，a2，a3，…，a n}S i为数列A的前i项和，称为数列A的“平均和”，将数字1，2，3，4，5，6，7任意排列，所对应数列的“平均和”的最大值是（）A．12 B．16 C．20 D．2214．有限数列A={a1，a2，…，a n}的前k项和为S k（k=1，2，…，n），定义为A的“凯森和”，如果有99项的数列{a1，a2，…，a99}，此数列的“凯森和”为1000，那么有100项的数列{1，a1，a2，…，a99}的“凯森和”为（）A．1001 B．999 C．991 D．99015．若关于x的不等式x2+|x﹣a|＜2至少有一个正数解，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，2）B．（﹣，）C．（﹣2，）D．（﹣2，2）16．在锐角△ABC中，∠A=，∠BAC的平分线交边BC于点D，|AD|=1，则△ABC面积的取值范围是（）A．[，]B．[，] C．[，）D．[，）17．已知△ABC中，BC=1，AB=，AC=，点P是△ABC的外接圆上的一个动点，则•的最大值是（）A．2 B．C．D．18．设△ABC的角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2+b2=abcosC+absinC，则△ABC的形状为（）A．直角非等腰三角形B．等腰非等边三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形19．在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若这样的△ABC有两个，则实数x的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（0，2） C．（2，2）D．（，2）二．解答题（共11小题）20．已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=1+，记b n=（1）求证：数列{b n}是等比数列，并求b n；（2）求数列{a n}的通项公式a n；（3）记c n=nb n，S n=c1+c2+…+c n，对任意正整数n，不等式+S n+n（﹣）n+1﹣（﹣）n＞0恒成立，求最小正整数m．21．已知数列{a n}满足a1=1，且a n+12+a n2=2（a n+1a n+a n+1﹣a n﹣）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：++…+＜；（3）记S n=++…+，证明：对于一切n≥2，都有S n2＞2（++…+）．22．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=，n∈N*．（1）求证：≤a n≤1；（2）求证：|a2n﹣a n|≤．23．设{a n}和{b n}是两个等差数列，记c n=max{b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n﹣a n n}（n=1，2，3，…），其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s个数中最大的数．（1）若a n=n，b n=2n﹣1，求c1，c2，c3的值，并证明{c n}是等差数列；（2）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，＞M；或者存在正整数m，使得c m，c m+1，c m+2，…是等差数列．24．已知数列{x n}满足：x1=1，x n=x n+1+ln（1+x n+1）（n∈N*），证明：当n∈N*时，（Ⅰ）0＜x n＜x n；+1﹣x n≤；（Ⅱ）2x n+1（Ⅲ）≤x n≤．25．已知{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，q≠±1，正整数组E=（m，p，r）（m＜p＜r）（1）若a1+b2=a2+b3=a3+b1，求q的值；（2）若数组E中的三个数构成公差大于1的等差数列，且a m+b p=a p+b r=a r+b m，求q的最大值．（3）若b n=（﹣）n﹣1，a m+b m=a p+b p=a r+b r=0，试写出满足条件的一个数组E 和对应的通项公式a n．（注：本小问不必写出解答过程）26．已知数列{a n}和{b n}满足（n∈N*）．若{a n}是各项为正数的等比数列，且a1=4，b3=b2+6．（Ⅰ）求a n与b n；（Ⅱ）设c n=，记数列{c n}的前n项和为S n．①求S n；②求正整数k．使得对任意n∈N*，均有S k≥S n．27．已知正项数列{a n}满足+=﹣2（n≥2，n∈N*），且a6=11，前9项和为81．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{lgb n}的前n项和为lg（2n+1），记c n=，求数列{c n}的前n 项和T n．28．已知数列{a n}的各项均为正数，且a1=1，对任意的n∈N*，均有a n+12﹣1=4a n （a n+1），b n=2log2（1+a n）﹣1．（1）求证：{1+a n}是等比数列，并求出{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}中去掉{a n}的项后，余下的项组成数列{c n}，求c1+c2+…+c100；（3）设d n=，数列{d n}的前n项和为T n，是否存在正整数m（1＜m＜n），使得T1、T m、T n成等比数列，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．29．已知数列{a n}中，a1=4，a n+1=，n∈N*，S n为{a n}的前n项和．（Ⅰ）求证：n∈N*时，a n＞a n+1；（Ⅱ）求证：n∈N*时，2≤S n﹣2n＜．30．数列{a n}的各项均为正数，且a n+1=a n+﹣1（n∈N*），{a n}的前n项和是S n．（Ⅰ）若{a n}是递增数列，求a1的取值范围；（Ⅱ）若a1＞2，且对任意n∈N*，都有S n≥na1﹣（n﹣1），证明：S n＜2n+1．参考答案与试题解析一．选择题（共19小题）1．（2016春•宁夏校级月考）若log a x1=log（a+1）x2=log（a+2）x3＞0，则x1，x2，x3之间的大小关系为（）A．x1＜x3＜x2B．x2＜x1＜x3C．x1＜x2＜x3D．x3＜x2＜x1【解答】解：①当a＞1时，如图所示，分别作出函数y1=log a x，y2=log（a+1）x，y3=log（a+2）x，并且作出直线y=1，可得x1＜x2＜x3．②当0＜a＜1时，可得0＜x1＜1＜x2＜x3．综上可得：x1＜x2＜x3．故选：C．2．（2017•泉州模拟）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0），若f（）=f（）=﹣f（），且f（x）在区间[，]上单调，则f（x）的最小正周期是（）A．B．C．D．π【解答】解：由f（）=f（）得函数关于x==对称，则x=离最近对称轴距离为．又f（）=﹣f（），则f（x）有对称中心（，0），由于f（x）在区间[，]上具有单调性，则≤T⇒T≥，从而=⇒T=π．故选：D．3．（2017•许昌三模）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象过点B（0，﹣1），且在（，）上单调，同时f（x）的图象向左平移π个单位之后与原来的图象重合，当x1，x2∈（﹣，﹣），且x1≠x2时，f （x1）=f（x2），则f（x1+x2）=（）A．﹣B．﹣1 C．1 D．【解答】解：由函数f（x）=2sin（ωx+φ）的图象过点B（0，﹣1），∴2sinφ=﹣1，解得sinφ=﹣，又|φ|＜，∴φ=﹣，∴f（x）=2sin（ωx﹣）；又f（x）的图象向左平移π个单位之后为g（x）=2sin[ω（x+π）﹣]=2sin（ωx+ωπ﹣），由两函数图象完全重合知ωπ=2kπ，∴ω=2k，k∈Z；又﹣≤=，∴ω≤，∴ω=2；∴f（x）=2sin（2x﹣），其图象的对称轴为x=+，k∈Z；当x1，x2∈（﹣，﹣），其对称轴为x=﹣3×+=﹣，∴x1+x2=2×（﹣）=﹣，∴f（x1+x2）=f（﹣）=2sin[2×（﹣）﹣]=2sin（﹣）=﹣2sin=﹣2sin=﹣1．应选：B．4．（2016•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B5．（2016•郴州四模）已知函数f（x）=2sin（2x+φ）+1（|φ|＜），若f（x）＜1，对x∈（﹣，﹣）恒成立，则f（）的最小值是（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣+1【解答】解：∵函数f（x）=2sin（2x+φ）+1＜1，∴sin（2x+φ）＜0，∴﹣π+2kπ＜2x+φ＜2kπ，k∈Z；又x∈（﹣，﹣），∴﹣＜2x＜﹣，∴﹣+φ＜2x+φ＜﹣+φ；又∵|φ|＜，∴，∴﹣≤φ≤，∴≤2×+φ≤，∴≤sin（2×+φ）≤1，∴2≤2sin（2×+φ）+1≤3，∴f（）的最小值是2．故选：B．6．（2011•滨江区校级模拟）已知△ABC，若对任意k∈R，有||≥，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．以上均有可能【解答】解：当k为任意实数时，那么k的方向有可能向左，也可能向右．长度也是不确定的，图中BC′的长度就是||，可以看出，当BC′垂直CB时，||有最小值，要使不等式成立，则|AC|必须是BC′的最小值，即AC垂直BC，故角C为直角，故选A．7．（2011•杭州校级模拟）已知O为△ABC内一点，若对任意k∈R有|+（k﹣1）﹣k|≥|﹣|，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．以上均有可能【解答】解：从几何图形考虑：|﹣k|≥||的几何意义表示：在BC上任取一点E，可得k=，∴|﹣k|=|﹣|=||≥||，又点E不论在任何位置都有不等式成立，∴由垂线段最短可得AC⊥EC，即∠C=90°，则△ABC一定是直角三角形．故选A8．（2016•新乡模拟）已知△ABC中，AB=4，且满足BC=CA，则△ABC的面积的最大值为（）A．B．3 C．2 D．4【解答】解：依题意，设CA=b，则BC=b，又AB=4，由余弦定理得：cosA===﹣，∴cos2A=（﹣）2=+﹣1，∴sin2A=1﹣cos2A=2﹣﹣．=AB•ACsinA=×4bsinA=2bsinA，∵S△ABC=4b2sin2A=4b2（2﹣﹣）=48﹣（b2﹣16）2，∴S2△ABC当b2=16，即b=4时，4、4、4能组成三角形，∴S2max=48，∴S max=4．故选：D．9．（2017春•陆川县校级期中）设等差数列{a n}满足，公差d∈（﹣1，0），当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，求该数列首项a1的取值范围（）A．B．[，]C．（，）D．f（x）【解答】解：∵等差数列{a n}满足，∴（sina4cosa7﹣sina7cosa4）（sina4cosa7+sina7cosa4）=sin（a5+a6）=sin（a4+a7）=sina4cosa7+sina7cosa4，∴sina4cosa7﹣sina7cosa4=1，或sina4cosa7+sina7cosa4=0即sin（a4﹣a7）=1，或sin（a4+a7）=0（舍）当sin（a4﹣a7）=1时，∵a4﹣a7=﹣3d∈（0，3），a4﹣a7=2kπ+，k∈Z，∴﹣3d=2kπ+，d=﹣﹣π．∴d=﹣∵S n=na1+=n2+（a1﹣）n，且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，∴8.5＜﹣＜9.5，∴π＜a1＜故选：C10．（2016春•衡水校级月考）已知数列{a n}中，a1=1，a2k=a2k﹣1+（﹣1）k，a2k+1=a2k+2k （k∈N*），则{a n}的前60项的和S60=（）A．231﹣154 B．231﹣124C．232﹣94 D．232﹣124=a2k+2k=a2k﹣1+（﹣1）k+2k，【解答】解：a2k+1﹣a2k﹣1=2k+（﹣1）k，所以a2k+1﹣a2k﹣3=2k﹣1+（﹣1）k﹣1，同理a2k﹣1…a3﹣a1=2+（﹣1），所以（a2k﹣a2k﹣1）+（a2k﹣1﹣a2k﹣3）+…+（a3﹣a1）+1=（2k+2k﹣1+…+2）+[（﹣1）k+（﹣1）k﹣1+…+（﹣1）]，﹣a1=2（2k﹣1）+[（﹣1）k﹣1]，由此得a2k+1=2k+1+（﹣1）k﹣，于是a2k+1a2k=a2k﹣1+（﹣1）k=2k+（﹣1）k﹣1﹣+（﹣1）k=2k+（﹣1）k﹣，{a n}的通项公式为：当n为奇数时，a n=2+（﹣1）﹣；当n为偶数时，a n=2+（﹣1）﹣；则S60=（a1+a3+a5+…+a59）+（a2+a4+a6+..+a60）=[（2+22+23+…+230）+（﹣++…﹣）﹣×30]+[（2+22+23+…+230）+（﹣+﹣+…+）﹣×30]=2×+0﹣90=232﹣94．故选：C．11．（2015秋•石家庄校级期末）已知数列{a n}满足：a1=，a n+2﹣a n≤3n，a n+6﹣a n≥91•3n，则a2015=（）A．+B．C．+D．﹣a n≤3n，∴，a n+6﹣a n+4≤3n+4，【解答】解：∵a n+2﹣a n≤91•3n，∴a n+6﹣a n≥91•3n，又a n+6∴a n﹣a n=91•3n，+6﹣a n=3n，∴a n+4﹣a n+2=3n+2，a n+6﹣a n+4=3n+4，由题意可得a n+2﹣a n=3n，∵a n+2∴a2n﹣a1=31+33+35+…+32n﹣1，+1=+33+35+…+32n﹣1，∴a2n+1a2015=+31+33+35+…+32013=+=，故选：B．12．（2012•岳麓区校级模拟）正整数按如图的规律排列，则上起第2011行，左起第2012列的数为（）A．20112B．20122C．2011+2012 D．2011×2012【解答】解：这些数字排成的是一个正方形上起2011，左起2012列的数是一个2012乘以2012的正方形的倒数第二行的最后一个数字所以这个数是2012×（2012﹣1）=2011×2012．故选D．13．（2012•浙江模拟）对于有限数列A：{a1，a2，a3，…，a n}S i为数列A的前i 项和，称为数列A的“平均和”，将数字1，2，3，4，5，6，7任意排列，所对应数列的“平均和”的最大值是（）A．12 B．16 C．20 D．22【解答】解：根据题意可知，将数字1，2，3，4，5，6，7的排列为7，6，5，4，3，2，1时，，所对应数列的“平均和”最大此时====20故答案为：2014．（2011•下陆区校级模拟）有限数列A={a1，a2，…，a n}的前k项和为S k（k=1，2，…，n），定义为A的“凯森和”，如果有99项的数列{a1，a2，…，a99}，此数列的“凯森和”为1000，那么有100项的数列{1，a1，a2，…，a99}的“凯森和”为（）A．1001 B．999 C．991 D．990【解答】解：A={a1，a2，…，a n}的凯森和由T n来表示，由题意知，，所以S1+S2+…+S99=1000×99，数列{1，a1，a2，…，a99}的“凯森和”为：=，故选C．15．（2011•临海市校级模拟）若关于x的不等式x2+|x﹣a|＜2至少有一个正数解，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，2）B．（﹣，）C．（﹣2，）D．（﹣2，2）【解答】解：原不等式变形为：|x﹣a|＜2﹣x2且0＜2﹣x2在同一坐标系画出y=2﹣x2（Y＞0，X＞0）和y=|x|两个图象将绝对值函数y=|x|向左移动当右支经过（0，2）点，a=﹣2将绝对值函数y=|x|向右移动让左支与抛物线相切（1/2，7/4）点，a=故实数a的取值范围是（﹣2，）故选C16．（2016秋•武侯区校级期中）在锐角△ABC中，∠A=，∠BAC的平分线交边BC于点D，|AD|=1，则△ABC面积的取值范围是（）A．[，]B．[，] C．[，）D．[，）【解答】解：如图所示，锐角△ABC中，∠A=，∠BAC的平分线交边BC于点D，|AD|=1，根据余弦定理，BD2=c2+1﹣2c•cos=c2﹣c+1，CD2=b2+1﹣2b•cos=b2﹣b+1；根据角平分线定理，=，即=；∴b2c2﹣b2c+b2=b2c2﹣bc2+c2，即bc（c﹣b）=（c﹣b）（c+b）；当b=c时，△ABC是正三角形，由|AD|=1，得AB=AC=，则S=bcsin=；△ABC当b≠c时，bc=b+c≥2，当且仅当b=c时“=”成立，取得最小值为；所以bc≥，即b=c=时S△ABC又当AB⊥BC时，BD=，AB=，DC=AD=1，S△ABC=××（1+）=为最大值，△ABC面积的取值范围是[，]．故选：D．17．（2016秋•南岸区校级月考）已知△ABC中，BC=1，AB=，AC=，点P 是△ABC的外接圆上的一个动点，则•的最大值是（）A．2 B．C．D．【解答】解：如图所示，•=||•||cos∠PBC=||cos∠PBC．设OP为⊙O的半径，则当OP∥BC且同向时，向量在方向上的投影最大，则•取得最大值．由余弦定理可得：cosA==，∴sinA=．∴2R==3．∴||cos∠PBC=|BD|=|BC|+R=2．∴•取得最大值为2．故选：A18．（2012•重庆模拟）设△ABC的角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2+b2=abcosC+absinC，则△ABC的形状为（）A．直角非等腰三角形B．等腰非等边三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形【解答】解：∵≤sin（C+）≤1，∴a2+b2=abcosC+absinC=2ab（cosC+sinC）=2absin（C+）≤2ab，当且仅当C+=，即C=时取等号，又a2+b2≥2ab，且当且仅当a=b时取等号，则a=b且C=，即△ABC为等边三角形．故选D19．（2010•云南模拟）在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若这样的△ABC有两个，则实数x的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（0，2） C．（2，2）D．（，2）【解答】解：由正弦定理可知，求得x=2sinAA+C=180°﹣45°=135°有两解，即A有两个值这两个值互补若A≤45°则由正弦定理得A只有一解，舍去．∴45°＜A＜135°又若A=90°，这样补角也是90度，一解，A不为90°所以＜sinA＜1∵x=2sinA∴2＜x＜2故选C二．解答题（共11小题）20．（2017•吉州区校级一模）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=1+，记b n=（1）求证：数列{b n}是等比数列，并求b n；（2）求数列{a n}的通项公式a n；（3）记c n=nb n，S n=c1+c2+…+c n，对任意正整数n，不等式+S n+n（﹣）n+1﹣（﹣）n＞0恒成立，求最小正整数m．【解答】（1）证明：∵b n=，a n+1=1+，===﹣=﹣．∴b n+1∴数列{b n}是等比数列，公比为﹣，且首项为﹣．∴b n=．（2）由b n==，得a n=．（3）c n=nb n=n，∴S n=﹣+2×+3×+…+n，=+…++n，两式相减得S n=﹣﹣n，∴不等式+S n+n（﹣）n+1﹣（﹣）n＞0，即＞0，解得m，因此m≥11．因此最小的正整数m=11．21．（2017•浙江模拟）已知数列{a n}满足a1=1，且a n+12+a n2=2（a n+1a n+a n+1﹣a n﹣）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：++…+＜；（3）记S n=++…+，证明：对于一切n≥2，都有S n2＞2（++…+）．【解答】解：（1）a1=1，且a n+12+a n2=2（a n+1a n+a n+1﹣a n﹣），可得a n+12+a n2﹣2a n+1a n﹣2a n+1+2a n+1=0，即有（a n+1﹣a n）2﹣2（a n+1﹣a n）+1=0，即为（a n+1﹣a n﹣1）2=0，可得a n+1﹣a n=1，则a n=a1+n﹣1=n，n∈N*；（2）证明：由=＜=﹣，n≥2．则++…+=1+++…+＜1++﹣+﹣+…+﹣=﹣＜，故原不等式成立；（3）证明：S n=++…+=1++…+，当n=2时，S22=（1+）2=＞2•=成立；假设n=k≥2，都有S k2＞2（++…+）．则n=k+1时，S k+12=（S k+）2，S k+12﹣2（++…++）=（S k+）2﹣2（++…+）﹣2•=S k2﹣2（++…+）++2•﹣2•=S k2﹣2（++…+）+，由k＞1可得＞0，且S k2＞2（++…+）．可得S k2﹣2（++…+）＞0，2＞2（++…++）恒成立．则S k+1综上可得，对于一切n≥2，都有S n2＞2（++…+）．22．（2017•宁波模拟）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=，n∈N*．（1）求证：≤a n≤1；（2）求证：|a2n﹣a n|≤．【解答】证明：（1）用数学归纳法证明：①当n=1时，=，成立；②假设当n=k时，有成立，则当n=k+1时，≤≤1，≥=，∴当n=k+1时，，命题也成立．由①②得≤a n≤1．（2）当n=1时，|a2﹣a1|=，当n≥2时，∵（）（）=（）=1+=，﹣a n|=||=≤|a n﹣a n﹣1|＜…＜（）∴|a n+1n﹣1|a2﹣a1|=，∴|a2n﹣a2n﹣1|≤|a2n﹣a2n﹣1|+|a2n﹣1﹣a2n﹣2|+…+|a n+1﹣a n|≤==（）n﹣1﹣（）2n﹣1≤，综上：|a2n﹣a n|≤．23．（2017•北京）设{a n}和{b n}是两个等差数列，记c n=max{b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n﹣a n n}（n=1，2，3，…），其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s个数中最大的数．（1）若a n=n，b n=2n﹣1，求c1，c2，c3的值，并证明{c n}是等差数列；（2）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，＞M；或者存在正整数m，使得c m，c m+1，c m+2，…是等差数列．【解答】解：（1）a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，当n=1时，c1=max{b1﹣a1}=max{0}=0，当n=2时，c2=max{b1﹣2a1，b2﹣2a2}=max{﹣1，﹣1}=﹣1，当n=3时，c3=max{b1﹣3a1，b2﹣3a2，b3﹣3a3}=max{﹣2，﹣3，﹣4}=﹣2，下面证明：对∀n∈N*，且n≥2，都有c n=b1﹣na1，当n∈N*，且2≤k≤n时，则（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1），=[（2k﹣1）﹣nk]﹣1+n，=（2k﹣2）﹣n（k﹣1），=（k﹣1）（2﹣n），由k﹣1＞0，且2﹣n≤0，则（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1）≤0，则b1﹣na1≥b k﹣na k，因此，对∀n∈N*，且n≥2，c n=b1﹣na1=1﹣n，c n+1﹣c n=﹣1，∴c2﹣c1=﹣1，∴c n﹣c n=﹣1对∀n∈N*均成立，+1∴数列{c n}是等差数列；（2）证明：设数列{a n}和{b n}的公差分别为d1，d2，下面考虑的c n取值，由b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n﹣a n n，考虑其中任意b i﹣a i n，（i∈N*，且1≤i≤n），则b i﹣a i n=[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n，=（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n），下面分d1=0，d1＞0，d1＜0三种情况进行讨论，①若d1=0，则b i﹣a i n═（b1﹣a1n）+（i﹣1）d2，当若d2≤0，则（b i﹣a i n）﹣（b1﹣a1n）=（i﹣1）d2≤0，则对于给定的正整数n而言，c n=b1﹣a1n，此时c n+1﹣c n=﹣a1，∴数列{c n}是等差数列；当d2＞0，（b i﹣a i n）﹣（b n﹣a n n）=（i﹣n）d2＞0，则对于给定的正整数n而言，c n=b n﹣a n n=b n﹣a1n，﹣c n=d2﹣a1，此时c n+1∴数列{c n}是等差数列；此时取m=1，则c1，c2，…，是等差数列，命题成立；②若d1＞0，则此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为负数的一次函数，故必存在m∈N*，使得n≥m时，﹣d1n+d2＜0，则当n≥m时，（b i﹣a i n）﹣（b1﹣a1n）=（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i∈N*，1≤i≤n），因此当n≥m时，c n=b1﹣a1n，﹣c n=﹣a1，故数列{c n}从第m项开始为等差数列，命题成立；此时c n+1③若d1＜0，此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为正数的一次函数，故必存在s∈N*，使得n≥s时，﹣d1n+d2＞0，则当n≥s时，（b i﹣a i n）﹣（b n﹣a n n）=（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i∈N*，1≤i ≤n），因此，当n≥s时，c n=b n﹣a n n，此时==﹣a n+，=﹣d2n+（d1﹣a1+d2）+，令﹣d1=A＞0，d1﹣a1+d2=B，b1﹣d2=C，下面证明：=An+B+对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m，＞M，若C≥0，取m=[+1]，[x]表示不大于x的最大整数，当n≥m时，≥An+B≥Am+B=A[+1]+B＞A•+B=M，此时命题成立；若C＜0，取m=[]+1，当n≥m时，≥An+B+≥Am+B+C＞A•+B+C≥M﹣C﹣B+B+C=M，此时命题成立，因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时，＞M；综合以上三种情况，命题得证．24．（2017•浙江）已知数列{x n}满足：x1=1，x n=x n+1+ln（1+x n+1）（n∈N*），证明：当n∈N*时，＜x n；（Ⅰ）0＜x n+1﹣x n≤；（Ⅱ）2x n+1（Ⅲ）≤x n≤．【解答】解：（Ⅰ）用数学归纳法证明：x n＞0，当n=1时，x1=1＞0，成立，假设当n=k时成立，则x k＞0，＜0，则0＜x k=x k+1+ln（1+x k+1）＜0，矛盾，那么n=k+1时，若x k+1故x n＞0，+1因此x n＞0，（n∈N*）∴x n=x n+1+ln（1+x n+1）＞x n+1，＜x n（n∈N*），因此0＜x n+1（Ⅱ）由x n=x n+1+ln（1+x n+1）得x n x n+1﹣4x n+1+2x n=x n+12﹣2x n+1+（x n+1+2）ln（1+x n+1），记函数f（x）=x2﹣2x+（x+2）ln（1+x），x≥0∴f′（x）=+ln（1+x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴f（x）≥f（0）=0，因此x n+12﹣2x n+1+（x n+1+2）ln（1+x n+1）≥0，故2x n+1﹣x n≤；（Ⅲ）∵x n=x n+1+ln（1+x n+1）≤x n+1+x n+1=2x n+1，∴x n≥，由≥2x n+1﹣x n得﹣≥2（﹣）＞0，∴﹣≥2（﹣）≥…≥2n﹣1（﹣）=2n﹣2，∴x n≤，综上所述≤x n≤．25．（2017•淮安四模）已知{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，q≠±1，正整数组E=（m，p，r）（m＜p＜r）（1）若a1+b2=a2+b3=a3+b1，求q的值；（2）若数组E中的三个数构成公差大于1的等差数列，且a m+b p=a p+b r=a r+b m，求q的最大值．（3）若b n=（﹣）n﹣1，a m+b m=a p+b p=a r+b r=0，试写出满足条件的一个数组E 和对应的通项公式a n．（注：本小问不必写出解答过程）【解答】解：（1）∵a1+b2=a2+b3=a3+b1，∴a1+b1q==a1+2d+b1，化为：2q2﹣q﹣1=0，q≠±1．解得q=﹣．（2）a m+b p=a p+b r=a r+b m，即a p﹣a m=b p﹣b r，∴（p﹣m）d=b m（q p﹣m﹣q r﹣m），同理可得：（r﹣p）d=b m（q r﹣m﹣1）．∵m，p，r成等差数列，∴p﹣m=r﹣p=（r﹣m），记q p﹣m=t，则2t2﹣t﹣1=0，∵q≠±1，t≠±1，解得t=．即q p﹣m=，∴﹣1＜q＜0，记p﹣m=α，α为奇数，由公差大于1，∴α≥3．∴|q|=≥，即q，当α=3时，q取得最大值为﹣．（3）满足题意的数组为E=（m，m+2，m+3），此时通项公式为：a n=，m∈N*．例如E=（1，3，4），a n=．26．（2017•淄博模拟）已知数列{a n}和{b n}满足（n∈N*）．若{a n}是各项为正数的等比数列，且a1=4，b3=b2+6．（Ⅰ）求a n与b n；（Ⅱ）设c n=，记数列{c n}的前n项和为S n．①求S n；②求正整数k．使得对任意n∈N*，均有S k≥S n．【解答】解：（Ⅰ）由题意（n∈N*）．b3=b2+6．知，又由a1=4，得公比q=4（q=﹣4，舍去），所以数列{a n}的通项为…（3分）所以．故数列{b n}的通项为…（5分）（Ⅱ）①由（Ⅰ）知…（7分）所以…（9分）②因为c1=0，c2＞0，c3＞0，c4＞0；当n≥5时，而得所以，当n≥5时，c n＜0；综上，对任意n∈N*恒有S4≥S n，故k=4…（12分）27．（2017•天津一模）已知正项数列{a n}满足+=﹣2（n≥2，n∈N*），且a6=11，前9项和为81．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{lgb n}的前n项和为lg（2n+1），记c n=，求数列{c n}的前n 项和T n．【解答】解：（Ⅰ）由正项数列{a n}满足+=﹣2（n≥2，n∈N*），得，整理得a n+a n﹣1=2a n，所以{a n}为等差数列．+1由a6=11，前9项和为81，得a1+5d=11，d=81，解得a1=1，d=2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（II）当n=1时，lgb1=lg3，即b1=3．当n≥2时，lgb1+lgb2+…+lgb n=lg（2n+1）…①，lgb1+lgb2+…+lgb n﹣1=lg（2n﹣1）…②①﹣②，得，∴b n=，（n≥2）．b1=3满足上式，因此b n=，（n≥2）．c n==，∴数列{c n}的前n项和T n=+…++，又2T n=+…+，以上两式作差，得T n=+2﹣，，因此，T n=﹣．28．（2017•普陀区一模）已知数列{a n}的各项均为正数，且a1=1，对任意的n∈N*，均有a n+12﹣1=4a n（a n+1），b n=2log2（1+a n）﹣1．（1）求证：{1+a n}是等比数列，并求出{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}中去掉{a n}的项后，余下的项组成数列{c n}，求c1+c2+…+c100；（3）设d n=，数列{d n}的前n项和为T n，是否存在正整数m（1＜m＜n），使得T1、T m、T n成等比数列，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．2﹣1=4a n（a n+1），【解答】（1）证明：∵对任意的n∈N*，均有a n+12=，又数列{a n}的各项均为正数，∴a n+1=2a n+1，变形为a n+1+1=2（a n+1），∴a n+1∴{1+a n}是等比数列，公比为2，首项为2，∴1+a n=2n，即a n=2n﹣1．（2）解：b n=2log2（1+a n）﹣1=2n﹣1．∵n=7时，a7=127；n=8时，a8=255＞213=b107．∴c1+c2+…+c100=b1+b2+…+b106+b107（a1+…+a6+a7）=﹣+7=11449﹣256+9=11202．（3）解：d n===，∴数列{d n}的前n项和为T n=+…+==．假设存在正整数m（1＜m＜n），使得T1、T m、T n成等比数列，则=T1T n，即=，即=＞0，即2m2﹣4m﹣1＜0，解得1﹣＜m＜1+．∵m是正整数且m＞1，∴m=2，此时n=12当且仅当m=2，n=12时，T1、T m、T n成等比数列．29．（2017•宁波模拟）已知数列{a n}中，a1=4，a n+1=，n∈N*，S n为{a n}的前n项和．（Ⅰ）求证：n∈N*时，a n＞a n+1；（Ⅱ）求证：n∈N*时，2≤S n﹣2n＜．﹣a n=﹣=【解答】证明：（I）n≥2时，作差：a n+1，﹣a n与a n﹣a n﹣1同号，∴a n+1由a1=4，可得a2==，可得a2﹣a1＜0，∴n∈N*时，a n＞a n+1．（II）∵2=6+a n，∴=a n﹣2，即2（a n+1﹣2）（a n+1+2）=a n﹣2，①∴a n﹣2与a n﹣2同号，+1又∵a1﹣2=2＞0，∴a n＞2．∴S n=a1+a2+…+a n≥4+2（n﹣1）=2n+2．∴S n﹣2n≥2．由①可得：=，因此a n﹣2≤（a1﹣2），即a n≤2+2×．∴S n=a1+a2+…+a n≤2n+2×＜2n+．综上可得：n∈N*时，2≤S n﹣2n＜．30．（2017•温州模拟）数列{a n}的各项均为正数，且a n+1=a n+﹣1（n∈N*），{a n}的前n项和是S n．（Ⅰ）若{a n}是递增数列，求a1的取值范围；（Ⅱ）若a1＞2，且对任意n∈N*，都有S n≥na1﹣（n﹣1），证明：S n＜2n+1．【解答】（I）解：由a2＞a1＞0⇔﹣1＞a1＞0，解得0＜a1＜2，①．又a3＞a2＞0，⇔＞a2，⇔0＜a2＜2⇔﹣1＜2，解得1＜a1＜2，②．由①②可得：1＜a1＜2．下面利用数学归纳法证明：当1＜a1＜2时，∀n∈N*，1＜a n＜2成立．（1）当n=1时，1＜a1＜2成立．（2）假设当n=k∈N*时，1＜a n＜2成立．则当n=k+1时，a k=a k+﹣1∈⊊（1，2），+1即n=k+1时，不等式成立．综上（1）（2）可得：∀n∈N*，1＜a n＜2成立．于是a n﹣a n=﹣1＞0，即a n+1＞a n，+1∴{a n}是递增数列，a1的取值范围是（1，2）．（II）证明：∵a1＞2，可用数学归纳法证明：a n＞2对∀n∈N*都成立．﹣a n=﹣1＜2，即数列{a n}是递减数列．于是：a n+1在S n≥na1﹣（n﹣1）中，令n=2，可得：2a1+﹣1=S2≥2a1﹣，解得a1≤3，因此2＜a1≤3．下证：（1）当时，S n≥na1﹣（n﹣1）恒成立．事实上，当时，由a n=a1+（a n﹣a1）≥a1+（2﹣）=．于是S n=a1+a2+…+a n≥a1+（n﹣1）=na1﹣．再证明：（2）时不合题意．事实上，当时，设a n=b n+2，可得≤1．由a n=a n+﹣1（n∈N*），可得：b n+1=b n+﹣1，可得=≤≤+1．于是数列{b n}的前n和T n≤＜3b1≤3．故S n=2n+T n＜2n+3=na1+（2﹣a1）n+3，③．令a1=+t（t＞0），由③可得：S n＜na1+（2﹣a1）n+3=na1﹣﹣tn+．只要n充分大，可得：S n＜na1﹣．这与S n≥na1﹣（n﹣1）恒成立矛盾．∴时不合题意．综上（1）（2）可得：，于是可得=≤≤．（由可得：）．故数列{b n}的前n项和T n≤＜b1＜1，∴S n=2n+T n＜2n+1．。

学习好资料欢迎下载姓名：4月21日课后作业与1、求由曲线所围成的封闭图形的面积。

1答案：2、求由直线2y=2x与抛物线y=3－x所围成的阴影部分的面积。

D.【解析】，故选、求函数处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积。

3，所以切线方程为，所以在处的切线斜率为【解析】，所以所求三角形的面积，得，令，令，得为4，求点取自阴影部分的概率。

、已知从如图所示的长方形区域内任取一个点，长方形的面积为【答案】【解析】，阴影部分的面积为欢迎下载学习好资料。

所以点取自阴影部分的概率为、求定积分5【解析】,21,S?S?6，、已知数列6{a}是等差数列，{a}的前n项和为S nnn63n a2.项和{T}的前na(1)求数列{}的通项公式；(2)求数列nnn n=答案：a n)ba,m?(Δ7、已知ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，，设向量2)a2,(A i p?b?n?n?(si B,s，.nm为等腰三角形；ABC//（1）若，求证：Δ?m p C =c = 2⊥，角（2ABC的面积. ）若，边长，求Δ3vvu ba?ba??,?Bb sin//n,?a sin A Q m外接圆半ABC，其中R即证明：（1）是三角形RR22ABCa?b??为等腰三角形径，vuvu abb??a?0b(a?2)?m//p?0,即a(b?2)?解（2）由题意可知22221)??4(舍去ab?ab?0??ab)3ab?4ab?(a?b)?3ab即(?4?a?b余弦定理?113sin?C sin??S??4?ab 322关于导数中切线问题的专题训练能力提升（选做）2的图象在a∈R)f)函数(x)＝2ln x＋x>0－bx＋a(b，1. (2014·北大附中河南分校高考押题() 处的切线斜率的最小值是点(b，f(b))1．D 2 C.3 2A．2 B．2222A. ，(b)≥2 ·2b＝2b(2x)＝＋x－b，∴f′b)＝＋2b－＝＋b，∵b，∴>0f′f解∵′(bxbb23的取值α－3x＋上的任意一点，P点处的切线倾斜角为α，则2. 设点P是曲线y＝x3)范围为(πππ5252????????????ππ，πππ，ππ，，0，，0 B. C. D.∪∪A.????????????623623222，x＝3x′∵)y，P解析答案[]A []设(x，f()＝＝x切线的斜率－3，∴k33－000．欢迎下载学习好资料π2????2π，π，0A. .故应选∈∴≥α－∪α＝3x3.－3∴tan????0323.（云南省昆明市2013届高三复习适应性检测数学（理）试题）若函数11x?x??)??e?x?3xy?e(?的最小值是则的图象上任意点处切线的倾斜角为 ,22????35(A)(B)(C)(D) 4664【答案】 B2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线＝(2010·福州高二期末)设P为曲线C：yx4.π倾斜角的取值范围为[0，]，则点P横坐标的取值范围为()411D．[，1]1,0] C．[0,1] －A．[1，－]B．[－22π[答案]A [解析]∵y′＝2x＋2，且切线倾斜角θ∈[0，]，∴切线的斜率k满足0≤k≤1，41即0≤2x＋2≤1，∴－1≤x≤－.2关于导数其他问题的专题训练132＋2xx－[0,4]内任取的一个数，那么函数f(x)＝江西八校联考1. (2014·)已知m是区间32x ＋3在x∈R上是增函数的概率是()m1112A. B. C. D. 4323132222≥0在x＋m(x)＝x4xx)＝－－2x′＋mx＋3在R上是增函数，∴f(C答案：解析：∵f32≤0，解得m≤－2或m≥2.又∵0≤m≤4，∴2≤m≤4.m＝R上恒成立，∴Δ16－421故所求的概率为P＝＝.422．(2014·贵阳二中模拟)已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么函数f(x)的图象最有可能的是()，)>0x(′f时，<0x2<单调递减；当－)x(f，)<0x(′f时，>0x或2－<x当解析：A答案：欢迎下载学习好资料A.单调递增．故选f(x)x2的一个极值点，则下)e(x＝－1为函数f＋bx＋c(a，b，c∈R)，若x(3．设函数fx)＝ax)(x)的图象的是(＝列图象不可能为yfx2xx2x x)e由.ax＋bx＋)e＋，则h′(x)＝(2axb)e b＋(ax＋＋bx＋c)e ax＝(c＋2)解析：设h(x＝f(x2x＝x)＝ca.∴f(x)e(的极值点，当x＝－1时，ax2＋ax＋bx＋b＋c＝c－a＝0，∴＝－1为函数fa22＝＝1，D中图象一定不满足该条件．axa＋bx＋.若ax，则＋bx＋a＝0有两根x，xxx2112a的取值范围是k单调递增,则 4.(2014新课标Ⅱ,文11)若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)) () +∞∞,-1] C.[2,+∞)D.[1,-A.(-∞,-2]B.(,,则f'(x)≥0在x)上恒成立∈(1,+∞在)D答案：解析:由f'(x=k-,又f(x)(1,+∞)上单调递增D.≥<<1,故k1.故选∞)k即≥在x∈(1,+∞上恒成立.又当x∈(1,+)时,02t的值为则当|MN|达到最小时,x 5. 设直线x=t与函数f()=x),g(x=ln x图象分别交于点M,N212.A1BD.C ..222212t=令ln t(t>0),F'(t)=20,得t-=t|MN|=F:答案.或t=-(舍去)易知D解析由题意,设(t)=-22t2222??也为,t> t(t(Ft)在0)取得极小值t,上单调递减在t故上单调递增,时t=,F()=t-ln 222.故选D达到最小最小值,即|MN|,数函若）题试）理（学数测检性应适习复三高届2013市明昆省南云（ 6.欢迎下载学习好资料11x?x??)x??3x(?y?e??e ,则的图象上任意点处切线的倾斜角为的最小值是22????35 (D)(A)(B)(C)4664B【答案】??)(?fxfy(x))f(x)(xf1)?f(4R的的导函数，已知为上的函数，定义在 7.满足b?2a b1)?f(2a?b的取值范围是满足、，则图象如图所示，若两个正数a?21111)??)(,3((,)??,)?(3,)(??,3 D B． CA．．．2232C 【答案】ππ2________.sin x，则f′())的导函数为f′(x)且f(x＝x＝f′()＋y8.已知函数＝f(x)33ππππ32×2′()＝)′(x＝2xf′()＋cos 答案x．所以f)因为f(x＝x＋f′()sin x，所以f33334π－6πππ3f′()＋cos.所以f′()＝.3336－4π12＋4x－3ln x在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是____________．＝－9.已知函数f(x)x22?x－1??x－3?－x＋4x－33答案0<t<1或2<t<3解析f′(x)＝－x＋4－＝＝－，由f′(x)＝0xxx得函数的两个极值点1,3，则只要这两个极值点在区间(t，t＋1)内，函数在区间[t，t＋1]上就不单调，由t<1<t＋1或t<3<t＋1，解得0<t<1或2<t<3. ?)100(?x????x1)(x2)(x3)(x(0)?f____________ f已知函数(＝x)，则10.答案：100！=1×2×3×…×100。