三角函数与数列高考题

高中数学学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos 2cos 0c B b C ab +-=. (1)求b ；(2)若AD AB ⊥交BC 于点D ，6ACB π∠=，ABCS，求CD 边长.2．如图，某景区拟开辟一个平面示意图为五边形ABCDE 的观光步行道，BE 为电瓶车专用道，120BCD BAE CDE ∠=∠=∠=︒，11km DE =，5km BC CD ==．(1)求BE 的长；(2)若sin ABE ∠=ABCDE 的周长． 3．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，ccos b B =+． (1)求A ； (2)若31,cos 5a C ==，求ABC 的面积．4．在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2sin a C ． (1)求角A 的大小；(2)若2b =，a =△ABC 的面积．5．已知函数()sin 2cos 22sin cos .36f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)求函数()f x 的最小正周期及对称轴方程； (2)将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变､横坐标伸长为原来的2倍，得到函数()y g x =的图象，求()y g x =在[0，2π]上的单调递减区间.6．已知函数()sin 22f x x x =，R x ∈． (1)求函数()f x 的最小正周期；(2)求函数()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的单调区间．7．已知函数()2sin 22sin 6x f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）若将()f x 的图象向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值； （3）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若322A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，7b c +=，ABC ∆的面积为a 的长.8．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，简车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将简车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为4m ，筒车转轮的中心O 到水面的距离为2m ，筒车每分钟沿逆时针方向转动4圈.规定：盛水筒M 对应的点P 从水中浮现（即P 0时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心O 为坐标原点，过点O 的水平直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy .设盛水筒M 从点P 0运动到点P 时所经过的时间为t （单位：s ），且此时点P 距离水面的高度为h （单位：m ）（在水面下则h 为负数）.(1)求点P 距离水面的高度为h 关于时间为t 的函数解析式； (2)求点P 第一次到达最高点需要的时间（单位：s ）.9．记n S 是正项数列{}n a 的前n 项和，1n a +是4和n S 的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记11(1)(1)n n n b a a +=++，求数列{}n b 的前n 项和n T .10．已知等差数列{an }的前n 项和为Sn ＝n 2+r ，其中r 为常数． (1)求r 的值； (2)设()112n n b a =+，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和Tn ．11．某公司2021年年初花费25万元引进一种新的设备，设备投入后每年的收益均为21万元.若2021年为第1年，且该公司第()n n *∈N 年需要支付的设备维修和工人工资等费用总和n a （单位：万元）的情况如图所示.（1）求n a ；（2）引进这种设备后，第几年该公司开始获利？12．已知数列{an }的前n 项和为Sn ，且Sn ＝n －5an －85，n △N *. (1)证明：{an －1}是等比数列； (2)求数列{an }的通项公式.13．已知数列{}n a 满足12a =，132n n a a +=+.（1）证明{}1n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()3log 1n nb a =+,n T 为数列1n n b a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和，求n T ． 14．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且51430a a S -==. (1)求数列{}n a 的通项公式n a ； (2)若______，求数列{}n b 的前n 项和n T .在△21log n n n b a a +=+，△()()2211log 1log 1n n n b a a +=+⋅+，△n n b n a =⋅这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.15．某企业2021年第一季度的营业额为1.1亿，以后每个季度的营业额比上个季度增加0.05亿；该企业第一季度的利润为0.16亿，以后每季度比前一季度增长4％． （1）求2021年起前20季度营业额的总和；（2）请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的18％．16．在△q d =△4q d ⋅=△4q d +=这三个条件中选择一个补充在下面的问题中，并求解.设等差数列{}n a 的公差为d (*d N ∈)，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q .已知11b a =，22b =，___________，10100S =.（1）请写出你的选择，并求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）若数列{}n c 满足nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n T . 17．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，124AA AB ==，点E 在1CC 上且13C E EC =．(1)证明：1A C ⊥平面BED ；(2)求异面直线BE 与1A C 所成角的大小； (3)求二面角1A DE B --的余弦值．18．已知E ，F 分别是正方形ABCD 边AD ，AB 的中点，EF 交AC 于P ，GC 垂直于ABCD 所在平面．(1)求证：EF ⊥平面GPC ．(2)若4AB =，2GC =，求点B 到平面EFG 的距离．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，且侧棱P A △底面ABCD ，P A ＝2AD ．E ，F ，H 分别是P A ，PD ，AB 的中点，G 为DF 的中点．(1)证明：//GH 平面BEF ；(2)求PC 与平面BEF 所成角的正弦值．20．如图在三棱锥O ABC -中，OA OC ==2AB OB BC ===且OA OC ⊥．(1)求证：平面OAC ⊥平面ABC(2)若E 为OC 中点，求平面ABC 与平面EAB 所成锐二面角的余弦值．21．直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，边长为2，侧棱13A A =，M N 、分别为1111A B A D 、的中点，E F 、分别是1111B C C D 、的中点．(1)求证：平面AMN //平面EFDB ； (2)求平面AMN 与平面EFDB 的距离．22．如图，在正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AA 1＝2，点E 为CC 1中点，点F 为BD 1中点．（1）求异面直线BD 1与CC 1的距离；（2）求直线BD 1与平面BDE 所成角的正弦值； （3）求点F 到平面BDE 的距离．23．以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.曲线1C 的极坐标方程为：1ρ=.在平面直角坐标系中，曲线2C 的参数方程为3cos 33sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数，02θπ≤<）.(1)求曲线1C 和曲线2C 的直角坐标方程； (2)在极坐标系中，射线()03πθρ=>与曲线1C ，2C 分别交于A ，B 两点，求AB .24．已知直线 l的参数方程为1,x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2223sin 4ρρθ+=．(1)求直线 l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)已知直线 l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，点M 的直角坐标为(1,0)-，求||||MP MQ +．25．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为132x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=.(1)写出C 的直角坐标方程；(2)设点Q 的坐标为()3,0，直线l 与C 交于A ，B ，求QA QB ⋅的值.26．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为()2213sin 4ρθ+=．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为240x y +-=．(1)若点M 为曲线1C 上的动点，求点M 到直线l 的距离的最小值； (2)倾斜角为3π的曲线2C 过点()1,0P -，交曲线1C 于A ，B 两点，求11PA PB +． 27．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为4,5315x t y t⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin 0ρθ-=. (1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)设曲线C 与直线l 交于A ，B 两点，求AB .28．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为241x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为222124sin 3cos ρθθ=+．（1）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）若点P 为曲线C 上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值．29．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1,x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()2213sin 4ρθ+=．(1)求直线l 的一般式方程和曲线C 的标准方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点()1,0P ，求PA PB ⋅的值． 30．直线l 过点()2,0A ，倾斜角为4π． (1)以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．过O 作l 的垂线，垂足为B ，求点B 的极坐标()0,02ρθπ≥≤<；(2)直线l 与曲线22:2x t C y t⎧=⎨=⎩（t 为参数）交于M 、N 两点，求MN ．31．在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α（α为常数）的直线l 过点()2,4M --，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos ρθθ=.(1)写出直线l 的一个参数方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)当3πα=时，直线l 与曲线C 能否交于两点？若能，记两交点为A ，B ，求出11MA MB+的值；若不能，说明理由. 32．若a ，b ，c △R ＋，且满足a ＋b ＋c ＝2. （1）求abc 的最大值； （2）证明：11192a b c ++≥.33．已知函数()21f x x x =+--. (1)求max ()f x 及当()(0)f x f ≥时的解集；(2)若关于x 的不等式()12f x m ≥-有解，求正数m 的取值范围.34．已知函数()()223f x x a x a =-+-+．(1)当2a =时，求不等式()6f x ≥的解集 (2)若()6f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．35．已知0m >，函数()2f x x x m =++-的最小值为3，()25g x x m =+． (1)求m 的值；(2)求不等式()()f x g x ≤的解集. 36．已知函数()112f x x x =-+-的值域为M . (1)求M ；(2)证明：当,a b M ∈时，214a b ab -≤-. 37．已知,,a b c 均为正数，且满足 1.abc =证明： （1）3ab bc ca ++；（2）333a b c ab bc ac ++++．38．设a ，b ，c 均为正数，且a b +=1． (1)求12a b+的最小值；(2)≤39．已知函数()||2||(0,0)f x x a x b a b =+-->>. （1）当1a b ==时，解不等式()0f x >；（2）若函数()()||g x f x x b =+-的最大值为2，求14a b+的最小值.40.如图，在四棱锥P-ABCD 中，平面PAD ⊥ 平面ABCD ，PA ⊥PD ,PA=PD,AB ⊥,（I ）求证：PD ⊥平面PAB;（II ）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；（II I ）在棱PA 上是否存在点M ，使得BMll 平面PCD?若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由。

以下是一个综合题，涉及到数列和三角函数的应用：
题目：已知数列 {an} 的通项公式为 an = 2n + 1，其中 n 为正整数。

求证：当 n 为正整数时，三角函数 sin⁡(π/2 - an) = cos⁡(πn/2)。

解答：
根据已知数列 {an} 的通项公式 an = 2n + 1，我们可以将三角函数中的角度表示进行替换，即将 an 替换为 2n + 1。

首先，我们将左边的三角函数进行展开：
sin⁡(π/2 - an) = sin⁡(π/2 - (2n + 1))
根据三角函数的差化积公式，我们可以将 sin⁡(π/2 - (2n + 1)) 转化为 cos⁡((2n + 1) - π/2)：
sin⁡(π/2 - (2n + 1)) = cos⁡((2n + 1) - π/2)
进一步化简右边的式子：
cos⁡((2n + 1) - π/2) = cos⁡(2n + 1 - π/2)
我们知道，cos⁡(π/2 - θ) = sin⁡θ，将上式进行变换得到：
cos⁡(2n + 1 - π/2) = sin⁡(π/2 - (2n + 1))
最后，我们得到：
sin⁡(π/2 - (2n + 1)) = cos⁡(2n + 1 - π/2) = sin ⁡(π/2 - (2n + 1))
由此可证，当 n 为正整数时，三角函数 sin⁡(π/2 - an) = cos⁡(πn/2) 成立。

这道题结合了数列的通项公式和三角函数的差化积公式，考查了学生对数列和三角函数概念的理解，并要求学生进行符号替换和化简推导。

三角函数、数列导数测试题及详解一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． 1．已知点A （-1，1），点B （2，y ），向量a=（l ，2），若//AB a ，则实数y 的值为 A ．5B ．6C ．7D ．82．已知等比数列123456{},40,20,n a a a a a a a ++=++=中则前9项之和等于 A ．50B ．70C ．80D ．903．2(sin cos )1y x x =+-是A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数 4．在右图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么x+y+z 的值为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量*1(,),(,1),n n n n c a a b n n n N +==+∈，下列命题中真命题是A ．若*,//n n n N c b ∀∈总有成立，则数列{}n a 是等差数列 B ．若*,//n n n N c b ∀∈总有成立，则数列{}n a 是等比数列 C ．若*,n n n N c b ∀∈⊥总有成立，则数列{}n a 是等差数列 D ．若*,n n n N c b ∀∈⊥总有成立，则数列{}n a 是等比数列6．若sin2x 、sinx 分别是sin θ与cos θ的等差中项和等比中项，则cos2x 的值为A ．18+ B ．18C ．18± D ．14-7．如图是函数sin()y x ωϕ=+的图象的一部分，A ，B 是图象上的一个最高点和一个最低点，O 为坐标原点，则OA OB ⋅的值为 A ．12π B ．2119π+C ．2119π-D ．2113π-8．已知函数()cos ((0,2))f x x x π=∈有两个不同的零点x 1，x 2，且方程()f x m =有两个不同的实根x 3，x 4．若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m 的值为A ．12B ．12-C．2D．—29．设函数f （x ） =e x （sinx —cosx ），若0≤x ≤2012π，则函数f （x ）的各极大值之和为A ．1006(1)1e e e πππ--B ．20122(1)1e e e πππ-- C ．10062(1)1e e e πππ-- D ．2012(1)1e e eπππ-- 10．设函数011()(),21xf x x A x =++为坐标原点，A 为函数()y f x =图象上横坐标为*()n n N ∈ 的点，向量11,(1,0),nn k k n n k a A A i a i θ-===∑向量设为向量与向量的夹角，满足15tan 3nkk θ=<∑的最大整数n 是 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，题两空的题，其答案按先后次序填写，填错位置，书写不清，模棱两可均不得分． 11．设1(sin cos )sin 2,()3f f ααα+=则的值为 ． 12．已知曲线1*()()n f x xn N +=∈与直线1x =交于点P ，若设曲线y=f （x ）在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为201212012220122011,log log log n x x x x +++则的值为____．13．已知22sin sin ,cos cos ,33x y x y -=--=且x ，y 为锐角，则tan （x -y ）= ． 14．如图放置的正方形ABCD ，AB =1．A ，D 分别在x 轴、y 轴的正半轴（含原点）上滑动，则OC OB ⋅的最大值是____．15．由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项，将每个图形的层数增加可得到这四个数列的后继项，按图中多边形的边数依次称 这些数列为“三角形数列”、“四边形数列”…，将构图边数增加到n 可 得到“n 边形数列”，记它的第r 项为P （n ，r ），则（1）使得P （3，r ）>36的最 小r 的取值是 ；（2）试推导P （n ，r ）关于，n 、r 的解析式是____．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）已知2(2sin ,),(1,cos 1)OA a x a OB x x ==-+，O 为坐标原点，0,a ≠设(),.f x OA OB b b a =⋅+>（I ）若0a >，写出函数()y f x =的单调速增区间； （Ⅱ）若函数y=f （x ）的定义域为[,2ππ]，值域为[2，5]，求实数a 与b 的值，17．（本小题满分12分）如图，某测量人员，为了测量西江北岸不能到达的两点A ，B 之间的距离，她在西江南岸找到一个点C ，从C 点可以观察到点A ，B ；找到一个点D,从D 点可以观察到点A ，C ；到一个点E ，从E 点可以观察到点B ，C ；并测量得到数据：∠ACD=90°,∠ADC= 60°,∠ACB =15°，∠BCE =105°，∠CEB =45°，DC=CE =1（百米）． （I ）求△CDE 的面积； （Ⅱ）求A ，B 之间的距离．18．（本小题满分12分）国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款，旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费．每一年度申请总额不超过6000元．某大学2010届毕业生李顺在本科期间共申请了24000元助学贷款，并承诺在毕业后3年内（按36个月计）全部还清．签约的单位提供的工资标准为第一年内每月1500元，第13个月开始，每月工资比前一个月增加5%直到4000元．李顺同学计划前12个月每个月还款额为500元，第13个月开始，每月还款额比前一月多x 元．（I ）若李顺恰好在第36个月（即毕业后三年）还清贷款，求x 的值；（II ）当x=50时，李顺同学将在第几个月还清最后一笔贷款？他还清贷款的那一个月的工资余额是多少？（参考数据：1.0518 =2.406,1.0519=2.526，1.0520 =2.653，1.0521=2.786） 19．（本小题满分12分）已知函数()sin .f x x x =+ （I ）当[0,],()x f x π∈时求的值域；（II ）设2()()1,()1[0,)g x f x g x ax '=-≥++∞若在恒成立，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分13分）已知211()(1),()10(1),{}2,()()()0,n n n n n f x x g x x a a a a g a f a +=-=-=-+=数列满足9(2)(1).10n n b n a =+- （I ）求证：数列{a n ，-1）是等比数列；（Ⅱ）当n 取何值时，b n 取最大值，并求出最大值；（Ⅲ）若1*1m m m m t t m N b b ++<∈对任意恒成立，求实数t 的取值范围．21．（本小题满分14分）设曲线C ：()ln ( 2.71828),()()f x x ex e f x f x '=-=表示导函数．（I ）求函数f （x ）的极值；（Ⅱ）数列{a n }满足111,2(3)n na e a f e a +'==+．求证：数列{a n }中不存在成等差数列的三项；（Ⅲ）对于曲线C 上的不同两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），x 1<x 2，求证：存在唯一的012(,)x x x ∈，使直线AB 的斜率等于0().f x '参考答案一、选择题： 1．【考点分析】本题主要考查平面向量的运算和向量平行充要条件的基本运用．【参考答案】 C【解题思路】AB →＝（3，y －1），∵AB →∥a ，∴31＝y －12，∴y ＝7．2． 【考点分析】本题主要考查等比数列的基本运算性质．【参考答案】 B ．【解题思路】3321654)(q a a a a a a ++=++，∴213=q ，3654987)(q a a a a a a ++=++=10，即9s =70．3．【考点分析】本题考查三角函数的性质和同角三角函数的基本关系式的运用，考查基本运算能力． 【参考答案】D【解题思路】2(sin cos )12sin cos sin 2y x x x x x =+-==，所以函数2(sin cos )1y x x =+-是最小正周期为π的奇函数。

三角函数与数列（高考题）1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＋＝. (1)证明：sin A sin B＝sin C；(2)若b2＋c2－a2＝bc，求tan B.2.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(a cos B＋b cos A)＝c. (1)求C； (2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．3.在△ABC中，a2＋c2＝b2＋ac.(1)求∠B的大小； (2)求cos A＋cos C的最大值．4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a sin 2B＝b sin A. (1)求B； (2)若cos A＝，求sin C的值．5.设f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g的值．6.设f(x)＝sin x cos x－cos2.(1)求f(x)的单调区间；(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．7.△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．(1)求；(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．8.已知向量＝，＝(sinx，cos2x)，x∈R,设函数f(x)＝·.(1) 求f(x)的最小正周期. (2) 求f(x) 在上的最大值和最小值．9.已知ΔABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量，，．（1）若//，求证：ΔABC为等腰三角形；（2）若⊥，边长c= 2，角C=，求ΔABC的面积．10.已知数列{a n}的前n项和S n＝3n2＋8n，{b n}是等差数列，且a n＝b n＋b n＋1.(1)求数列{b n}的通项公式；(2)令c n＝.求数列{c n}的前n项和T n.11.设数列{a n}的前n项和为S n，已知S2＝4，a n＋1＝2S n＋1，n∈N*.(1)求通项公式a n；(2)求数列{|a n－n－2|}的前n项和．12.已知数列的前项和为，且对一切正整数都成立。

高三文科数学三角函数数列与导数试卷（完卷时间：120分钟，满分：150分）命题及审题：周建梅一、选择题（每小题5分，共60分）： 1.sin15cos75cos15sin105+等于（ ）Ａ．0Ｂ．12Ｄ．12．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n 2－1（n ≥1），则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5等于（ ）A ．－1B ．1C ．0D ．23．{a n }是等差数列，且a 1＋a 4＋a 7＝45，a 2＋a 5＋a 8＝39，则a 3＋a 6＋a 9的值是（ ）A ．24B ．27C ．30D ．33 4．函数y ＝Asin(ωx ＋φ) (A ＞0，ω＞0，|φ|＜2π＝的图象如图所示，则y 的表达式为（ ） A ．y ＝2sin(611x 10π+) B ．y ＝2sin(611x 10π-)C ．y ＝2sin(2x ＋6π)D ．y ＝2sin(2x －6π)5.函数y ＝f(x)的图象在点P （1，f(1)）处的切线方程为y ＝－2x ＋10, 导函数为()f x '，则f(1)＋(1)f '的值为 ( )A. －2B.2 C .6 D. 86．已知等差数列{a n }的公差为正数，且a 3·a 7＝－12，a 4＋a 6＝－4，则S 20为（ ）A ．180B ．－180C ．90D ．－90 7．函数13)(23+-=x x x f 是减函数的区间为( )A ．),2(+∞B ．)2,(-∞C ．)0,(-∞D ．（0，2）8．由公差为d 的等差数列a 1、a 2、a 3…重新组成的数列a 1＋a 4， a 2＋a 5， a 3＋a 6…是（ ）A ．公差为d 的等差数列B ．公差为2d 的等差数列C ．公差为3d 的等差数列D ．非等差数列 9. 曲线3231y x x =-+在点（1，－1）处的切线方程为（A ．34y x =- B.32y x =-+ C.43y x =-+ 10．设函数f(x)在定义域内可导，y ＝f(x)的图象如图1可能为（ ）11．函数,93)(23-++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值，则a ＝ ( )A ．2B ．3C ．4D ．5A B C D12. 要得到)42sin(3π+=x y 的图象只需将y ＝3sin2x 的图象（ ）A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4π个单位C ．向左平移8π个单位D ．向右平移8π个单位二、填空题（每小题4分，共16分）：13．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为________. 14．首项是125，从第10项开始比1大，则该等差数列的公差d 的取值范围是__________. 15．若函数y ＝x 3＋ax 2＋bx ＋27在x ＝－1时有极大值，在x ＝3时有极小值，则a ＝____，b ＝____． 16．等差数列{}n a 中，30216131074=++++a a a a a ,则其前19项和19S ＝_________. 三、解答题（共74分）： 17．（本小题共12分）（1）在等差数列}{n a 中，已知94=a ，69-=a ，求满足63=n S 的所有的n 的值。

三角函数与数列学考试卷一选择题 1.=-)320cos(π（ ） A ．21 B ．23 C ．-21D ．-232.已知△ABC 中，a =2,b =3,B =60°,那么角A 等于 （ ）A.135°B.90°C.45°D.30°3已知△ABC 中，125tan -=A ，则cos A = ( ) A ．1213 B.513 C. 513- D. 1213-4角α的终边过点(1,2)-，则cos α的值为 （ ）C. ]D.5. 等差数列{a n }中如果a 6=6，a 9=9，那么a 3= ( ) A.3 B.32 C.916 D.46.{a n }是首项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 005，则序号n 等于( )． A ．667B ．668C ．669D ．6707等差数列{a n }中，a 3+ a 4+ a 5+ a 6+ a 7=450，求a 2+a 8= ( ) A.45 B.75 C.180 D.300 8.在等比数列中，首项89，末项31，公比32，求项数 ( ) A.3 B.4 C.5 D.69.等比数列{a n }中，公比为2，前四项和等于1，则前8项和等于 ( ) A.15 B.17 C.19 D.2110.等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为 ( ). A ．81 B ．120 C ．168 D ．19211.已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列, 则a 2＝ ( )． A ．－4B ．－6C ．－8D ． －1012.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若35a a ＝95，则59S S ＝ ( )． A ．1B ．－1C ．2D ．2113.在等差数列{n a }中，72=a ,154=a ,则10S = （ ）.A ．100B ．210C ．380D ．40014.若,lg x ),23lg(-x )23lg(+x 成等差数列，则2log x= （ ）A ．2B ．21C ．4D ．不存在15.在数列{n a }中，21=a ，1231+-=+n a a n n ，*N n ∈，则4a = （ ）A ．25B ．29C ．31D ．3316. 在等差数列{n a }中，12642=++a a a ，那么=++++7321a a a a （ ）A ．28B ．29C ．31D ．32二填空题17.在ABC ∆中，若sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则B ∠的大小是___ __.18.在ABC ∆中。

十四、三角函数大题和数列大题：
在全国Ⅰ卷中每年只考一个，不考的那一个一般用两道或三道小题代替．三角函数大题侧重于考解三角形，重点考查正、余弦定理，小题中侧重于考查三角函数的图象和性质．数列一般考求通项、求和．数列应用题已经多年不考了，总体来说数列的地位已经降低，题目难度小．
∠，AB
90，45
A
如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB= 3 ，BC=1，P 为△ABC 内一点，
∠BPC ＝90°
(1)若PB=12，求PA ；
(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠P BA
2012年 （17）（12分）
已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，
cos 3sin 0a C a C b c +--=
（1）求A （2）若2a =，ABC ∆的面积为3；求,b c ．
2011年 （17）（12分）
等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== 求数列{}n a 的通项公式.
设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前项和.。

三角函数与数列测试题1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷为选择题，共48 分；第Ⅱ卷非选择题，共72 分．考试时间120 分钟．2．答第一卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学号、座号填写在相应的位置.第Ⅰ卷（选择题共50分）一．选择题：本大题共10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在△ ABC中，角A、B、C成等差数列，则角 B 为（）A 、 30 °B、 60 °C、 90 °D、120°2. △ ABC中，∠ A、∠ B 的对边分别为a、 b，a5,b 4 ，且∠A=60°，那么满足条件的△ ABC（）A．有一个解B．有两个解C．无解D．不能确定3．在△ ABC中，若 3 a = 2bsinA , 则 B 为（）A. B. C. 或5D. 或23 6 6 6 3 34. 与，两数的等比中项是（）A． 1B．C．D．5. 在等比数列a ， a 2，a 32 ，则q=（）n 3 7A、 2 B 、－2 C 、± 2D 、 46. 在△ ABC中，若c2 a2 b2 ab ，则∠C=（）A 、 60 °B 、 90 °C、 150 °D、 120 °7.等差数列a n中，若 a 2a 4a 5 a 6 a 8450 ，则 aa ＝（）28A 、 180B 、 75C 、 45D 、 308. 在各项均为正数的等比数列b中，若 b b3 ，则 log 3 blog 3b⋯⋯n7812log 3 b 14 等于（）A 、 5B、 6C 、 7D 、 89.数列 { a n },{ b n }满足 a n b n 1,a n (n 1)(n2) ，则 { b n } 的前 10 项之和为（）A ．1B ．7C ．3D．541241210. 数列 {a n } 满足 a 1 =1, a 2 = 2 ，且112 (n ≥2) ，则 a n 等于（）3a n 1a n 1a nA ．2B ．( 2 )n-1C ． ( 2) n D ．2n 133n 2第Ⅱ卷 （非选择题共 100 分）注意事项：1． 请用黑色签字笔将每题的答案填写在第Ⅱ卷答题纸的指定位置．书写的答案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案．2． 不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效．在试题卷上答题无效．二．填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．11. 设 S n 是等差数列 a的前 n项和，且 a 1 1,a 4 7 ，则 S 9 =.n12. 等差数列 {a n } 中， a 3 a 7 a 10 8, a 11 a 4 4则 S 13=__________.13. 等比数列 a n 中， a 11,a 5 16 ，则 a 3 _________.14. 在ABC 中，已知 2sin A cosB sin C ，那么 ABC 一定是 ___________.15. 已知等比数列1 a9 a10{ a m } 中，各项都是正数，且a1，a3 ,2a2成等差数列，则a8 _______.2 a7三．解答题：本大题共６小题，共 75 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分 12 分）已知{ a n}为等差数列，且a3 6 ， a6 0 。

三角函数、解三角形、平面向量、数列专题测试题班级： 姓名： 学号：一、选择题 1. 若，且为第四象限角，则的值等于（ ） A ． B ． C ． D ．2. sin20°cos10°-con160°sin10°= （A ）（B（C ） （D ） 3. 函数f(x)=的部分图像如图所示，则f （x ）的单调递减区间为 (A)（）,k (b)（）,k(C)（）,k(D)（）,k4. 设a ，b 是非零向量，“a b a b ⋅=”是“//a b ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5sin 13α=-αtan α125125-512512-12-125. 已知 ，若 点是 所在平面内一点，且，则 的最大值等于（ ）A ．13B ．15C ．19D ．21 6.已知M （x 0，y 0）是双曲线C ：上的一点，F1、F 2是C 上的两个焦点，若＜0，则y 0的取值范围是 （A ）（-，） （B ）（-，） （C ）（）（D ）（）7. 等比数列｛a n ｝满足a 1=3， =21，则 ( )（A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）84 8. 设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则2a >D ．若10a <，则()()21230a a a a -->9. 设为等比数列的前项和，若，且成等差数列，则 .A, . B.2n-3 C. -3n-2 D. 3n-210 已知数列中，，（），则数列的前9项和等于 。

A. 17B. 27C. 37D. 471,,AB AC AB AC t t⊥==P ABC ∆4AB AC AP ABAC=+PB PC ⋅2212x y -=1MF •2MF 3366n S {}n a n 11a =1233,2,S S S n a =32+n -}{n a 11=a 211+=-n n a a 2≥n }{n a11. 在等差数列中，若，则= A. 5 B.6 C. 8 D ．12.（15年福建理科）若 是函数 的两个不同的零点，且 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值等于（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．10 二、填空题13.（15年江苏）已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______. 14.（15北京理科）在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin A C=．15.（15北京理科）在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC =，BN NC =．若MN x AB y AC =+，则x =；y = ．16.（15年江苏）数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{na 的前10项和为 三、解答题17. 的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行． （I ）求；（II ）若求的面积．18. 在ABC ∆中，已知 60,3,2===A AC AB .（1）求BC 的长； （2）求C 2sin 的值.{}n a 2576543=++++a a a a a 82a a +10,a b ()()20,0f x x px q p q =-+>>,,2a b -p q +C ∆AB A B C a b c (),3m a b =()cos ,sin n =A B A a =2b =C ∆AB19.已知函数2()cos 222x x x f x =．(Ⅰ) 求()f x 的最小正周期；(Ⅱ) 求()f x 在区间[π0]-，上的最小值．20. 已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？21. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知23 3.n n S =+ （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 22. 已知数列是递增的等比数列，且 （1）求数列的通项公式； （2）设为数列的前n 项和，，求数列的前n 项和{}n a 14239,8.a a a a +=={}n a n S {}n a 11n n n n a b S S ++={}n b n T。

一、选择题1. 【答案】A【解析】根据三角函数的定义，cos45° = √2/2，故选A。

2. 【答案】B【解析】由二次函数的图像可知，开口向上，顶点坐标为(-1, 2)，故选B。

3. 【答案】C【解析】由等差数列的性质，a1 + a3 = 2a2，代入已知条件得3 + a3 = 2 × 2，解得a3 = 1，故选C。

4. 【答案】D【解析】根据向量的加法和减法，|AB| = |AC| + |CB|，故选D。

5. 【答案】A【解析】由不等式的性质，两边同时乘以负数时，不等号方向改变，故选A。

二、填空题6. 【答案】x^2 - 2x - 3【解析】根据因式分解，将x^2 - 2x - 3分解为(x - 3)(x + 1)。

7. 【答案】2π【解析】由圆的周长公式C = 2πr，代入r = 2，得C = 2π × 2 = 4π。

8. 【答案】5【解析】由等比数列的性质，a1 × a5 = a2 × a4，代入a1 = 2，a2 = 4，得2 × 4 = a2 × a4，解得a4 = 4。

9. 【答案】2【解析】由向量的数量积公式，|AB| × |AC| × cosA = |BC|^2，代入|AB| = 3，|AC| = 4，得3 × 4 × cosA = |BC|^2，解得cosA = 2/3。

10. 【答案】x^2 + 2x + 1【解析】由完全平方公式，(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1。

三、解答题11. 【答案】（1）函数的解析式为y = -2x + 4；（2）当x = 2时，y = 0；（3）函数的图像为一条斜率为-2的直线，经过点(2, 0)。

12. 【答案】（1）函数的解析式为y = x^2 - 4x + 3；（2）对称轴为x = 2；（3）顶点坐标为(2, -1)。

三角函数--高考真题汇编第一节三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式1.（2023全国甲卷理科7）“22sin sin 1αβ+=”是“sin cos 0αβ+=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件、必要条件概念及同角三角函数的基本关系得解.【解析】当2απ=，0β=时，有22sin sin 1αβ+=，但sin cos 0αβ+≠，即22sin sin 1αβ+=推不出sin cos 0αβ+=；当sin cos 0αβ+=时，()2222sin sin cos sin 1αβββ+=-+=，即sin cos 0αβ+=能推出22sin sin 1αβ+=.综上可知，22sin sin 1αβ+=是sin cos 0αβ+=成立的必要不充分条件.故选B.2.（2023北京卷13）已知命题:p 若,αβ为第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>.能说明p 为假命题的一组,αβ的值为α=；β=.【分析】根据正切函数单调性以及任意角的定义分析求解.【解析】因为()tan f x x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，若00π02αβ<<<，则00tan tan αβ<，取1020122π,2π,,k k k k ααββ=+=+∈Z ，则()()100200tan tan 2πtan ,tan tan 2πtan k k αααβββ=+==+=，即tan tan αβ<，令12k k >，则()()()()102012002π2π2πk k k k αβαβαβ-=+-+=-+-，因为()1200π2π2π,02k k αβ-≥-<-<，则()()12003π2π02k k αβαβ-=-+->>，即12k k >，则αβ>.不妨取1200ππ1,0,,43k k αβ====，即9ππ,43αβ==满足题意.故答案为：9ππ;43.第二节三角恒等变换1.（2023新高考I 卷6）过点()0,2-与圆22410x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则sin α=（）A.1B.154C.104D.64【解析】()222241025x y x x y +--=⇒-+=，所以圆心为()2,0B ，记()0,2A -，设切点为,M N ，如图所示.因为AB =，BM =，故AM =cos cos2AM MAB AB α=∠==，sin 2α=，15sin 2sincos 2224ααα==⨯.故选B.2.（2023新高考I 卷8）已知()1sin 3αβ-=，1cos sin 6αβ=，则()cos 22αβ+=（）A.79B.19 C.19-D.79-【解析】()1sin sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=，1cos sin 6αβ=，所以1sin cos 2αβ=，所以()112sin sin cos cos sin 263αβαβαβ+=+=+=，()()()2221cos 22cos 212sin 1239αβαβαβ⎛⎫+=+=-+=-⨯= ⎪⎝⎭.故选B.3.（2023新高考II 卷7）已知α为锐角，1cos 4α+=，则sin 2α=（）A.38- B.18-+ C.34- D.14-+【解析】21cos 12sin 24αα+=-=，所以2231sin 284α⎫-==⎪⎪⎝⎭，则1sin24α-=或1sin 24α=.因为α为锐角，所以sin02α>，15sin24α-=舍去，得51sin 24α-=.故选D.第三节三角函数的图像与性质1.（2023新高考II 卷16）已知函数()()sin f x x ωϕ=+，如图所示，A ，B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，若π=6AB ，则()πf =_______.【解析】sin y x =的图象与直线12y =两个相邻交点的最近距离为2π3，占周期2π的13，所以12ππ36ω⋅=，解得4ω=，所以()()sin 4f x x ϕ=+.再将2π,03⎛⎫⎪⎝⎭代入()()sin 4f x x ϕ=+得ϕ的一个值为2π3-，即()2πsin 43f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.所以()2π3πsin 4π32f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.2.（2023全国甲卷理科10，文科12）已知()f x 为函数cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移6π个单位所得函数，则()y f x =与1122y x =-交点个数为（）A.1B.2C.3D.4【解析】因为函数πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移π6个单位可得()sin 2.f x x =-而1122y x =-过10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭与()1,0两点，分别作出()f x 与1122y x =-的图像如图所示，考虑3π3π7π2,2,2222x x x =-==，即3π3π7π,,444x x x =-==处()f x 与1122y x =-的大小关系，结合图像可知有3个交点.故选C.3.（2023全国乙卷理科6，文科10）已知函数()()sin f x x ωϕ=+在区间2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，直线6x π=和23x π=为函数()y f x =的图像的两条对称轴，则512f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A. B.12-C.12【解析】2222362T T ωωππππ=-=⇒=π=⇒=，所以()()sin 2.f x x ϕ=+又222,32k k ϕππ⋅+=+π∈Z ，则52,6k k ϕπ=-+π∈Z .所以5555sin 22sin 121263f k π⎡ππ⎤π⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⋅--+π=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选D.【评注】本题考查了三角函数图像与性质，当然此题也可以通过画图快速来做，读者可以自行体会.4.（2023全国乙卷理科10）已知等差数列{}n a 的公差为23π，集合{}*cos n S a n =∈N ，若{},S a b =，则ab =（）A.1- B.12-C.0D.12【解析】解法一（利用三角函数图像与性质）因为公差为23π，所以只考虑123,,a a a ，即一个周期内的情形即可.依题意，{}{}cos ,n S a a b ==，即S 中只有2个元素，则123cos ,cos ,cos a a a 中必有且仅有2个相等.如图所示，设横坐标为123,,a a a 的点对应图像中123,,A A A 点.①当12cos cos a a =时，且2123a a π-=，所以图像上点的位置必为如图1所示，12,A A 关于x =π对称，且1223A A π=，则1233a ππ=π-=，2433a ππ=π+=，32a =π.所以11122ab ⎛⎫=-⨯=- ⎪⎝⎭.②当13cos cos a a =时，3143a a π-=，所以图像上点的位置必为如图2所示，13,A A 关于x =π对称，且1343A A π=，则133a 2ππ=π-=，3533a 2ππ=π+=，2a =π.所以()11122ab =⨯-=-.综上所述，12ab =-.故选B.解法二（代数法）()()11113n a a n d a n 2π=+-=+-，21cos cos 3a a 2π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，31cos cos 3a a 4π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由于{}{}*cos ,n S a n a b =∈=N ，故123cos ,cos ,cos a a a 中必有2个相等.①若121111cos cos cos cos 322a a a a a 2π⎛⎫==+=-- ⎪⎝⎭，即113cos 22a a =-，解得11cos 2a =或11cos 2a =-.若11cos 2a =，则1sin a =，3111113cos cos cos 132244a a a a 4π⎛⎫=+=-+=--=- ⎪⎝⎭，若11cos 2a =-，则1sin a =，3111113cos cos cos 13244a a a a 4π⎛⎫=+=-=+= ⎪⎝⎭，故131cos cos 2a a ab ==-.②若131111cos cos cos cos sin 322a a a a a 4π⎛⎫==+=-+ ⎪⎝⎭，得113cos 2a a =，解得11cos 2a =或11cos 2a =-.当11cos 2a =时，1sin a =，21111313cos cos cos 132244a a a a 2π⎛⎫=+=--=--=- ⎪⎝⎭，当11cos 2a =-时，1sin a =213cos 144a =+=，故121cos cos 2a a ab ==-.③若23cos cos a a =，与①类似有121cos cos 2a a ab ==-.综上，故选B.5.（2023北京卷17）已知函数()sin cos cos sin ,0,2f x x x ωϕωϕωϕπ=+><.（1）若()0f =，求ϕ的值；（2）若()f x 在区间2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且213f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()f x 存在，求,ωϕ的值.条件①：3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；条件②：13f π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；条件③：()f x 在,23ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【分析】（1）把0x =代入()f x 的解析式求出sin ϕ，再由π||2ϕ<即可求出ϕ的值；（2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把()f x 的解析式化简，根据() f x 在π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦-上的单调性及函数的最值可求出T ，从而求出ω的值；把ω的值代入()f x 的解析式，由π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭和π||2ϕ<即可求出ϕ的值；若选条件③：由() f x 的单调性可知() f x 在π3x =-处取得最小值1-，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同．【解析】（1）因为π()sin cos cos sin ,0,||2f x x x ωϕωϕωϕ=+><所以()()3(0)sin 0cos cos 0sin sin 2f ωϕωϕϕ=⋅+⋅==-，因为π||2ϕ<，所以π3ϕ=-.（2）因为π()sin cos cos sin ,0,||2f x x x ωϕωϕωϕ=+><，所以()π()sin ,0,||2f x x ωϕωϕ=+><，所以() f x 的最大值为1，最小值为1-.若选条件①：因为()()sin f x x ωϕ=+的最大值为1，最小值为1-，所以π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭无解，故条件①不能使函数()f x 存在；若选条件②：因为() f x 在π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦-上单调递增，且2π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以2πππ233T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭,所以2πT =,2π1Tω==,所以()()sin f x x ϕ=+，又因为π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以πsin 13ϕ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，所以ππ2π,32k k ϕ-+=-+∈Z ，所以π2π,6k k ϕ=-+∈Z ，因为||2ϕπ<，所以π6ϕ=-.所以1ω=，π6ϕ=-；若选条件③：因为() f x 在π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦-上单调递增，在ππ,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以() f x 在π3x =-处取得最小值1-，即π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.以下与条件②相同．第四节解三角形1.（2023全国甲卷理科16）在ABC △中，2AB =，60BAC ∠=︒，BC =D 为BC 上一点，AD 平分BAC ∠，则AD =.【解析】如图所示，记,,,AB c AC b BC a ===由余弦定理可得22222cos606b b +-⨯⨯⨯︒=，解得1b =（负值舍去）.由ABC ABD ACD S S S =+△△△可得，1112sin602sin30sin30222b AD AD b ⨯⨯⨯︒=⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒，解得1212bAD b +===+.2.（2023全国甲卷文科17）记ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2222cos b c a A+-=.（1）求bc .（2）若cos cos 1cos cos a B b A ba Bb A c--=，求ABC △面积.3.（2023全国乙卷理科18）在ABC △中，120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =.（1）求sin ABC ∠；（2）若D 为BC 上一点，且90BAD ∠=︒，求ADC △的面积.【解析】（1）利用余弦定理可得2222cos 14212cos120527BC AC AB AC AB BAC =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯︒=+=.故BC =.又由正弦定理可知sin sin BC ACBAC ABC=∠∠.故sin sin14AC BAC ABC BC ⋅∠∠====.（2）由（1）可知tan ABC ∠=在Rt BAD △中，tan 2AD AB ABC =⋅∠=⨯=故1122255ABD S AB AD =⨯⨯=⨯⨯=△，又11sin 21sin120222ABC S AB AC BAC =⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯︒=△，所以2510ADC ABC ABD S S S =-=-=△△△.5.（2023新高考I 卷17）已知在ABC △中，3A B C +=，()2sin sin A C B -=.（1）求sin A ；（2）设=5AB ，求AB 边上的高.【解析】（1）解法一因为3A B C +=，所以4A B C C ++==π，所以4C π=，2sin()sin()A C A C -=+2sin cos 2cos sin sin cos cos sin A C A C A C A C⇒-=+sin cos 3cos sin A C A C ⇒=tan 3tan 3sin A C A ⇒==⇒=解法二因为3A B C +=，所以4A B C C ++==π，所以4C π=，所以4A B 3π+=，所以4B A 3π=-，故2sin()sin()4AC A 3π-=-，即2sin cos 2cos sin sin cos cos sin 4444A A A A ππ3π3π-=-，得sin 3cos A A =.又22sin cos 1A A +=，()0,A ∈π，得310sin 10A =.（2）若||5AB =.如图所示，设AC 边上的高为BG ，AB 边上的高为CH ，||CH h =，由（1）可得10cos 10A =，||||cos ||102AG AB A AB =⋅==，||||2BG CG ===，所以||AC =，||||2||6||5AC BG CH AB ===.6.（2023新高考II 卷17）记ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知ABC △的面，D 为BC 的中点，且1AD =.（1）若π3ADC ∠=，求tan B ；（2）若228b c +=，求,b c .【解析】（1）依题意，122ADC ABC S S ==△△，133sin 242ADC S AD DC ADC =⋅⋅∠==△，解得2DC =，2BD =.如图所示，过点A 作AE BC ⊥于点E .因为60ADC ∠= ，所以12DE =,32AE =,则15222BE =+=，所以3tan 5AE B BE ==.（2）设AB = c ，AC = b ，由极化恒等式得2214AB AC AD BC ⋅- =，即2114⋅--b c =b c ，化简得()22244⋅-+=-b c =b c ，即cos cos 2BAC bc BAC ⋅⋅∠=∠=-b c =b c ①，又1sin 2ABC S bc BAC =∠=△，即sin bc BAC ∠=.②①得tan BAC ∠=0πBAC <∠<得2π3BAC ∠=，代入①得4bc =，与228b c +=联立可得2b c ==.7.（2023北京卷7）在ABC △中，()()()sin sin sin sin a c A C b A B +-=-，则C ∠=（）A.6π B.3π C.32π D.65π【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.【解析】因为()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-，所以由正弦定理得()()()a c a c b a b +-=-，即222a c ab b -=-，则222a b c ab +-=，故2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，又0πC <<，所以π3C =.故选B.。

三角函数典型例题1 ．设锐角ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，,2sin a b A =. (Ⅰ)求B 的大小;(Ⅱ)求cos sin A C +的取值范围.3 ．在ABC ∆中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ，，,22sin 2sin =++C B A . I.试判断△ABC 的形状;II.若△ABC 的周长为16,求面积的最大值.5 ．已知在ABC ∆中,A B >,且A tan 与B tan 是方程0652=+-x x 的两个根. (Ⅰ)求)tan(B A +的值;(Ⅱ)若AB 5=,求BC 的长.6 ．在ABC ∆中,已知内角A ． B ．C 所对的边分别为a 、b 、c ,向量()2s i n ,3m B =- ,2cos 2,2cos 12B n B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,且//m n ｡ (I)求锐角B 的大小;(II)如果2b =,求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值｡11．已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23,23a ,)4cos ,4(sin x x b ππ=,b a x f ⋅=)(｡ (1)求)(x f 的单调递减区间｡(2)若函数)(x g y =与)(x f y =关于直线1=x 对称,求当]34,0[∈x 时,)(x g y =的最大值｡25．在锐角△ABC 中,角A ． B ．C 的对边分别为a 、b 、c,已知.3tan )(222bc A a c b =-+(I)求角A;(II)若a=2,求△ABC 面积S 的最大值｡高考数学数列大题1. 已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且1,641≠=q a 公比（Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设n n a b 2log =，求数列.|}{|n n T n b 项和的前2.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中.154=a （Ⅰ）求321,,a a a ；（Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且有12a =，11353n n n n S a a S --=-+(2)n ≥（1）求数列n a 的通项公式；（2）若(21)n n b n a =-，求数列n a 的前n 项的和n T 。

全国2（3）等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，已知S 3 = a 2 +10a 1 ，a 5 = 9，则a 1=（ ）（A ）13 （B ）13- （C ）19 （D ）19-C（15）设θ为第二象限角，若1tan 42πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ，则sin cos θθ+=____-根号10/5_____. （16）等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10=0，S 15 =25，则nS n 的最小值为___-49_____.全国1.7、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝ ( C )A 、3B 、4C 、5D 、612、设△A n B n C n 的三边长分别为a n ,b n ,c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n =1,2,3,…若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝c n ＋a n 2，c n ＋1＝b n ＋a n2，则(B )A 、{S n }为递减数列B 、{S n }为递增数列C 、{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D 、{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列 13、已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t)b ，若b ·c =0，则t =___2__.14、若数列{a n }的前n 项和为S n ＝23a n ＋13，则数列{a n }的通项公式是a n =____(-2)n-1次方__.安徽（12）设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 。

若2b c a +=，则3s i n 5s i n ,A B=则角C =_____120____. （14）如图，互不相同的点12,,,n A A X 和12,,,n B B B 分别在角O 的两条边上，所有n n A B 相互平行，且所有梯形11n n n n A B B A ++的面积均相等。

题型三：导数与三角函数综合【例1】 设函数223()cos 4sin 3()2x f x x t t t x =++-∈R ，其中||1t ≤，将()f x 的最小值记为()g t ，则函数()g t 在下面哪个区间上单调递增（ ）A ．1(,)(1,)3-∞-+∞ B ．1[1,]3-- C ．1(,)3+∞ D ．1[,1]3【例2】 将函数2y []()06x ∈，的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角θ()0θα≤≤，得到曲线C ．若对于每一个旋转角θ，曲线C 都是一个函数的图像，则α的最大值为 ．【例3】 已知函数2cos ()3sin a x f x x -=在π02⎛⎫⎪⎝⎭，内是增函数，求a 的取值范围．【例4】 求证：方程1sin 02x x -=只有一个根0x =．【例5】 设函数()sin(2)(π0)f x x ϕϕ=+-<<，()y f x =图象的一条对称轴是直线π8x =． ⑴求ϕ；⑵求函数()y f x =的单调增区间；⑶证明直线520x y c -+=与函数()y f x =的图象不相切．【例6】 已知向量πππ2cos tan tan 2242424x x x x a b ⎛⎫⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭ ，，，，令()f x a b =⋅ ，是否存在实数[0π]x ∈，，使()()0f x f x '+=（其中()f x '是()f x 的导函数）．若存在，则求出x 的值；若不存在，则证明之．【例7】 设()()21=++x f x e ax x ，且曲线()=y f x 在1=x 处的切线与x 轴平行．⑴ 求a 的值，并讨论()f x 的单调性；⑵ 证明：当π02θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()()cos sin 2θθ-<f f ． 【例8】 已知：在函数3()f x mx x =-的图象上，以(1,)N n 为切点的切线的倾斜角为π4． ⑴求m ，n 的值；⑵是否存在最小的正整数k ，使得不等式()1994f x k -≤对于[1,3]x ∈-恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k ；如果不存在，请说明理由． ⑶求证：1|(sin )(cos )|22f x f x f t t ⎛⎫++⎪⎝⎭≤（x ∈R ，0t >）．【例9】 已知函数2()e (22)x f x ax x =⋅--，a ∈R 且0a ≠．⑴若曲线()y f x =在点(1(1))P f ，处的切线垂直于y 轴，求实数a 的值； ⑵当02a <≤时，求函数(|cos |)f x 的最大值和最小值． ⑶当2a >时，求函数(|cos |)f x 的最大值和最小值．【例10】 设函数()sin ()f x x x x =∈R ．⑴证明(2π)()2πsin f x k f x k x +-=，其中为k 为整数；⑵设0x 为()f x 的一个极值点，证明420020[()]1x f x x =+；⑶设()f x 在(0)+∞，内的全部极值点按从小到大的顺序排列12n a a a ，，，，， 证明：1ππ (12)2n n a a n +<-<= ，，【例11】 已知函数()32343cos cos 16f x x x θθ=-+，其中x ∈R ，θ为参数，且02πθ≤≤． ⑴当cos 0θ=时，判断函数()f x 是否有极值；⑵要使函数()f x 的极小值大于零，求参数θ的取值范围；⑶若对⑵中所求的取值范围内的任意参数θ，函数()f x 在区间()21a a -，内都是增函数，求实数a 的取值范围．【例12】 已知函数321()43cos 32f x x x θ=-+，其中x ∈R ，θ为参数，且π02θ≤≤． ⑴当cos 0θ=时，判断函数()f x 是否有极值；⑵要使函数()f x 的极小值大于零，求参数θ的取值范围；⑶若对⑵中所求的取值范围内的任意参数θ，函数()f x 在区间(21)a a -，内都是增函数，求实数a 的取值范围．题型四：导数与数列综合【例13】 已知函数()sin f x x x =-，数列{}n a 满足：101a <<，1()n n a f a +=，123n = ，，，． 证明：⑴101n n a a +<<<； ⑵3116n n a a +<．【例14】 已知数列{}n a 的通项238n a n n =-，n +∈N ，求数列{}n a 的最大项．【例15】 共有50项的数列{}n a 的通项n a =【例16】 设数列{}n a 的通项公式为2()n a n n n λ+=+∈N ，且{}n a 满足121n n a a a a +<<<<< ，求实数λ的取值范围．【例17】 已知数列{}n a 满足：3123n n n a a a +=-+，n +∈N ，且1(01)a ∈，，求证：01n a <<．【例18】 各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，函数21()()ln 2f x px p q x q x =-++， （其中p 、q 均为常数，且0p q >>），当1x a =时，函数()f x 取得极小值，点(2)()n n a S n *∈N ，均在函数22()qy px f x q x'=-++的图象上，（其中()f x '是函数()f x 的导函数）⑴求1a 的值；⑵求数列{}n a 的通项公式； ⑶记43n nn S b q n =⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【例19】 已知数列{}n a 的首项15a =，前n 项和为n S ，且*125()n n S S n n +=++∈N⑴证明数列{}1n a +是等比数列；⑵令212()n n f x a x a x a x =+++ ，求函数()f x 在点1x =处的导数(1)f '，并比较2(1)f '与22313n n -的大小．【例20】 已知a 是给定的实常数，设函数2()()()x f x x a x b e =-+，b ∈R ，x a =是()f x 的一个极大值点．⑴求b 的取值范围；⑵设1x ，2x ，3x 是()f x 的3个极值点，问是否存在实数b ，可找到4x ∈R ，使得1x ，2x ，3x ，4x 的某种排列1i x ，2i x ，3i x ，4i x （其中1234{}{1234}i i i i =，，，，，，）依次成等差数列？若存在，求所有的b 及相应的4x ；若不存在，说明理由．。