初中数学变式案例及艺术

例谈初中数学教学中变式题的应用技巧初中数学教学中，变式题是非常重要的一部分。

变式题能够帮助学生理解数学知识，并且提高他们的解决问题的能力。

本文将介绍一些关于初中数学教学中变式题的应用技巧，希望能够对教师和学生有所帮助。

一、培养学生的逻辑思维能力在教学过程中，教师应该注重培养学生的逻辑思维能力。

变式题往往需要学生进行逻辑推理，找出其中的规律。

教师可以通过分析变式题的解题思路，向学生展示逻辑推理的过程，引导学生学会从已知条件中推断出结果。

在课堂上，教师还可以设计一些有趣的逻辑推理游戏，帮助学生提高逻辑思维能力，从而更好地理解变式题的求解方法。

二、注重培养学生的解决问题能力变式题的求解过程往往需要学生进行灵活的思维和分析，教师在教学中应该注重培养学生的解决问题能力。

可以通过设计一些实际生活中的问题，让学生运用所学的知识去解决，帮助学生理解抽象的数学知识，并且提高他们的解决问题能力。

在课堂上，教师可以组织学生进行小组讨论，让学生通过交流和讨论，学会倾听他人的观点，发现问题的不同解决方法。

三、设计丰富多样的练习题目为了帮助学生更好地掌握变式题的求解方法，教师应该设计丰富多样的练习题目。

变式题的种类很多，包括代数式的变式、几何图形的变式等等，教师可以根据学生的实际情况，设计不同类型的练习题目。

教师还可以根据教材内容，设计一些拓展性的练习题目，帮助学生更加深入地理解变式题的求解方法。

四、注意引导学生发现问题的变化规律在变式题的教学中，教师应该注重引导学生发现问题的变化规律。

变式题的求解过程往往涉及到问题的变化规律，教师在引导学生解题的过程中，应该注重启发学生思维，帮助学生通过观察和分析，找出其中的规律。

在课堂上，教师可以通过举一反三的方式，设计一些相关的问题，让学生通过比较和分析，发现问题的变化规律。

五、关注学生的学习习惯和方法在变式题的教学过程中，教师还应该关注学生的学习习惯和方法。

变式题的学习需要学生有很好的思维习惯和解题方法，教师可以通过课堂讲解、作业布置等方式，引导学生建立正确的学习习惯和解题方法。

变式教学的课堂案例常州市花园中学数学组曹瑜变式教学是对数学中的问题用不同的观点进行不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的探究，以暴露问题的本质特征，揭示不同知识点间的内在联系的一种教学。

通过变式教学,使一题多用,多题重组,不仅能给学生以新鲜感,提高解题的积极性，而且加强了学生对问题的认识，提高学生的解题能力。

以下就08年常州市中考题第28题做一些演变。

原考题如图,抛物线24=+与x轴分别相y x x交于点B、O,它的顶点为A,连接AB,把AB所的直线沿y轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P是直线l上一动点.（１）求点A的坐标;（２）以点A、B、O、P为顶点的四边形中,有菱形等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标。

分析：第一小题，可以用配方法或顶点坐标公式求出点A的坐标，本题较简单。

第二小题是四边形与抛物线的结合，难点是能找到点P的位置。

这就要求学生对几类四边形的性质相当熟悉，并能在该题中灵活运用。

师：需要什么条件就可以确定菱形ABOP?生：四条边相等或对角线互相平分。

师：目前本题中给出了哪些条件？生：三个确定的点A、B、O和一个动点P师：由三个定点你可以知道哪些是边哪些是对角线吗？生：可以是AB、AO为边，BO为对角线或AO、BO为边，AB为对角线或者是BO、AB为边，AO为对角线。

师：从分析来看，一共有三种情况，下面就一个一个来分析。

当AB、AO为边，BO为对角线时，点P可以确定了吗？生：点P在BO的中垂线上。

师：点P是BO的中垂线上的哪个点呢？生：与直线l的交点。

师：非常好！那么点P的坐标该怎么求呢？生：利用对称性，点A与点P关于X轴对称。

题（2）中，A、B、O三点固定不变，四边形要为菱形，显然BO 、ＡＰ分别为菱形的对角线，由菱形对角线的性质可知点Ｐ在ＢＯ的中垂线上，且点Ｐ在直线Ｌ上，则 ＢＯ的中垂线与直线Ｌ的交点即为点Ｐ。

四边形要为等腰梯形，则ＡＢ、ＯＰ作为梯形的底，只需满足ＡＯ＝ＢＰ即可。

变式教学在初中数学中的应用举例摘要：变式教学作为一种有效的教学模式，在中学数学教学中十分常见。

本文以初中数学教学为载体，以举例研究为主要方式，从数学概念教学中的变式、一题多解性变式、多题一解性变式及一题多变性变式进行了举例研究。

以期为优化初中数学教学起到一定的参考借鉴意义。

关键词：变式教学；初中数学；应用所谓变式教学是指在教学中从一道母题出发，通过改变母题的条件、问题或改变母题设计的数学情境，重新进行探讨的一种教学方法。

教师在进行课堂教学的时候，必须抓住核心,不断进行变式，多方面、多角度地引导学生理解相关知识。

建构主义的数学学习观认为：数学学习是学习者主动的构建活动，而并非是被动地接受过程，因此我们就不能期望单纯通过“传授”而使学生获得真正的数学知识，与此相反，我们必须肯定学习过程的创造(再创造)性质以及学生的创造性才能。

而此时，变式教学显得尤为重要。

在变式教学中，把学习数学的主动权交给学生，教师成为学生学习活动的促进者，在肯定学生主体地位的前提下，教师又在教学活动中发挥着主导作用。

前苏联教育家苏霍姆林斯基说过：“兴趣的源泉藏在深处”。

灵活运用变式教学，引导学生多角度去审视、探索问题，可激发学生学习数学和思考问题的兴趣，增强数学课堂教学的有效性。

变式是多样的，本文主要针对初中数学教学，从数学概念教学中的变式、一题多解性变式、多题一解性变式及一题多变性变式进行了举例研究：一、数学概念教学中的变式数学概念很多时候都是非常抽象的，怎样使学生对数学概念理解起来通俗易懂呢？不妨尝试对数学概念进行适当的变式，使抽象的概念通俗化，更容易让学生接受。

反思：通过这样的变式训练，可以使学生在理解定义的时候，不仅仅是从定义本身的角度去理解，而是结合具体的问题有针对性的进行理解，学生学习起来不会觉得那么枯燥，而且对定义的理解会更加的透彻。

另一方面，学生以后学习二次函数，反比例函数等函数定义的时候可以以一次函数定义的理解为基础进行类比学习，达到深化知识的效果！二、一题多解性变式一题多解变式训练，即引导学生对同一题目从不同角度、不同方位快速联想及思考问题，探求不同的解答方案，从而拓宽思路，培养思维的敏捷性。

初中数学课堂变式教学案例的实践与思考作者：谢禹来源：《中学生数理化·教与学》2019年第01期所谓变式教学是指在教学过程中，通过对数学对象或数学问题的变换，从而促使学生透过现象抓住本质的一种教学方法.初中数学课堂变式教学是教学中的一个十分重要的环节.对此，笔者结合平时的课堂教学实践，有意识地充分利用变式，尽可能引发和展示学生的思维过程，变教学过程为学生数学思维活动的过程，让学生积极主动地参与教学的全过程，培养学生独立分析和解决问题的能力以及大胆创新、勇于探索的精神，从而真正使学生成为学习的主人，把数学素养的培养落实到实处.一、数学概念变式，基本技能提升数学概念变式是指在数学概念教学过程中，通过对数学概念的变换，引导学生积极观察、分析、比较、归纳，从而抓住变式规律，把握概念本质属性，深化概念理解.数学概念具有很强的抽象性，学生在学习过程中往往感到枯燥乏味，这在很大程度上会降低学生的学习热情.因此，在平时的课堂教学中，对于概念教学，我经常借助变式开展课堂活动.在形成概念的过程中，利用变式引导学生积极参与形成概念的全过程，在复习概念时，通过变式，使学生牢固掌握概念.只有牢固掌握概念，运用概念的技能才能提升.在多样化的变式中，逐步培养学生观察、分析以及概括的能力.案例一学习一次函数概念时，笔者通过变式教学法来实现对“一般地，形如y=kx+b（k≠0，k、b为常数），那么y叫做x的一次函数”这一定义的深刻理解.变式1：若k=0，其他条件保持不变，则该函数是否是一次函数？若不是，你认为它是什么函数？变式2：若b=0，其他条件保持不变，则该函数是否是一次函数？若不是，你认为它是什么函数？变式3：若k=0，b=0，其他条件仍保持不变，则该函数是否是一次函数？若不是，则说明理由？通过这样巧妙地对数学概念进行变式，可以调动学生学习的积极性，保持学习的热情，促使学生对数学概念有更深层次的理解. 由此可见，数学概念、定理等基本概念的变式教学，有利于培养学生思维的深刻性和创造性.二、常见结论变式，增强解题能力常见的数学结论较多，它们的应用又很广.若能注重其变式应用，有利于加深学生对数学结论的掌握，有利于学生深入领悟数学结论中隐含的数学方法.因此，在数学教学过程中，教师要注意适时适当进行结论变式训练，拓展学生的思维空间，引导学生多角度、多方位、多层次地思考问题，探究出不同的解题方法，增强学生的解题能力.案例二已知直线a和a同侧两点A、B，求作点C，使C在直线a上，且AC+BC最短.变式1：在正方形ABCD中，E在BC上，BE=2，CE=1，动点P在对角线BD上，求PE+PC的最小值.变式2：已知M（3，2），N（1，-1），点P在y轴上，且PM+PN最短，则点P的坐标是.变式3：半径为a的半圆的圆心为O，直径为AB，C、D是半圆上的两点，若弧AC的度数为93度，弧BD的度数为33度，动点P在直径AB上，则PC+PD的最小值为.通过以上结论的变式训练，引发学生大胆猜测联想，积极动手作图，严密推理计算，增强学生解决实际问题的能力，同时培养了学生举一反三，化归复杂问题的思维品质.三、解题思维变式，多项变通思维在解题教学中，变式仍不失为一种有利的工具，这时变式常表现为两类：一类是解题的变式，即“一题多解”；一类是解型的变式，即“一题多变”或“多题一解”.观察角度的灵活多变，各种不同思路、不同方法的分析比较，是形成创新能力、创新意识的源泉.精选习题时应有意识地偏重于那些可用多种思路来完成的典型题目，并鼓励学生不拘泥于常规方法，寻求变异，勇于创新.案例三解关于x的方程：x2+mx+2=mx2+3x（m≠1）.变式1：分解因式：（1-m）x2+（m-3）x+2.变式2：m为什么整数时，方程x2+mx+2=mx2+3x（m≠1）的两根均为整数.变式3：m为何值时，方程x2+mx+2=mx2+3x（m≠1）有一个正根，一个负根.这样，通过变换习题的条件和结论，巩固了学生的知识基础，训练了学生的思维，提高了学生解题的应变能力.数学教学实践证明，变式教学是一种有效的教学模式，可以切实提高教学效果.因此，在平时的课堂教学中，有的放矢地进行变式教学与训练，学生能在千变万化中得到不断提高.。

教学篇教学反思•高效课堂以“变”促教，引领高效教学———例析初中数学变式训练的实施策略王福平（甘肃省白银市靖远县第五中学，甘肃白银）摘要：数学作为基础性学科之一在学生的学习生活中占有重要地位，对学生未来的发展起到极其重要的作用。

然而，在实际学习中，许多学生都对数学头疼不已，因此需要教师转变教学的方式方法，激发学生学习的动力。

“变式训练”是数学教学的重要形式，举一反三，“变”的是表象，“不变”的是本质，教师在变式训练中引导学生发现不变的本质，从而能够真正掌握学习的规律，达到触类旁通的效果，教学事半功倍。

因此，如何在教学中开展变式训练，达到以“变”促教的目的是教师需要重点研究的问题。

关键词：初中数学；变式训练；实施策略数学本就千变万化，这也成为部分学生畏惧数学的原因之一。

在实际学习中部分学生进行数学题目的解答时只是简单地套用公式，常常题目一变学生便束手无策，缺乏变通的能力，长此以往数学学习动机必然下降，导致成绩的不理想。

因此，需要教师在平时教学中就注意引导学生进行变式训练，利用好经典的例题加以变动，既能加深学生对知识的掌握又能增强课堂趣味、提高学生的学习兴趣，教师要在“变”中激发学生学习数学的动力，培养学生的数学思维。

一、数值变换数值变换是变式训练中最基本的形式，即在不改变题目形式的情况下进行数值的变换。

但是数值的变换绝不仅仅是改变数字的大小，需要考虑变了之后的教学效果，以数字的改变加深学生对知识的理解，达到巩固提升的效果。

例1：计算12+（-9）×（-2）÷2变式：计算12+（-9）×2÷（-2）例2：已知一个等腰三角形的两条边长分别为3和6，求第三边的长度。

变式：已知一个等腰三角形的两条边长分别为3和5，求第三边的长度。

以上两个变式训练都是通过简单的数值变换达到知识巩固的目的。

其中例1是有理数的混合运算，其中重点在于负数的运算，通过改变符号改变了数的正负，让学生深入掌握负数的运算法则。

初中变式教学案例
变式教学案例：
题目：求证：顺次连接四边形各边的中点，所得的四边形是平行四边形。

【分析】
此题考查的是有关四边形的中点四边形的知识。

解决此题的关键是根据三角形的中位线定理和一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得出所得到的四边形是平行四边形。

【解答】
证明：
第一步，连接四边形各边的中点。

第二步，连接AC，BD。

第三步，因为E、F、G、H分别是各边的中点，根据三角形的中位线定理，我们可以得到EF是三角形ACD的中位线，GH是三角形BCD的中位线，EH是三角形ABD的中位线，FG是三角形ABC的中位线。

第四步，根据三角形的中位线定理，我们有EF=1/2AC，EF平行于AC；GH=1/2BD，GH平行于BD；EH=1/2AC，EH平行于AC；FG=1/2BD，FG平行于BD。

第五步，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，我们可以得出四边形EFGH是平行四边形。

此题通过连接四边形各边的中点来证明得到的四边形是平行四边形。

这种解题思路也适用于其他一些多边形的中点四边形的证明题。

例说初中几何问题的变式途径及方法培养学生的创新能力是初中数学教学的重要目标。

在初中数学几何问题的教学中，解题之后，渗透问题变式，展示新问题的形成过程，可以激发学生的主动探究数学问题的兴趣，增强学生解决问题的自信心和创新能力。

下面举例说明几何问题的变式途径及方法：原题：如图.已知：△ABC 分别以AB 、AC 为边长作等边三角形△ABD 、△ACE ，连接BE 、CD.求证：CD=BE. 一.拓展结论解决原题之后，认真观察、思考，会发现很多有价值的信息，将发现的信息进行整合会得出很多有价值的结论。

因此，教师要鼓励学生题后反思，立足问题本质，不断追问，拓展结论。

学生的发现将会百花齐放，精彩纷呈。

变式1.（1）△ABE 是△ADC 经过怎样的变换得到的？（2）∠BFC 等于多少度？（3）图中有哪些相似三角形？有哪些成比例线段？……。

二.变换条件对于很多几何问题，结论不变，适当变换条件，可以设计出很多新颖的问题。

变换途径通常有：弱化条件，类比替换，条件开放等. 1、 弱化条件.去掉某一条件或者将性质较强的图形变为性质较弱的图形。

如：变式2.将原题条件中的等边三角形△ABD 、△ACE 弱化为顶角相等的等腰三角形，且∠BAD=∠CAE ，求证：BE=CD.2、 类比替换.立足结论，根据条件中某些图形的特性，联想与之性质相近的图形，进行图形替换，可以设计出新的问题.变式3.如图 将原题中的等边三角形替换为等腰直角三角. 变式4.如图.将原题中的等边三角形替换为正方形或者正五边形等.3、条件DEE开放给出结论，替换或者添加某个条件。

如：变式3.原题中的△ABC 满足什么条件时CD ⊥AB ？添加什么条件时线段CD 、AB 互相垂直平分？三.条件结论互换对于很多几何题，将一个结论与其中一个条件互换后得到的新问题是真命题。

如将变式2中的条件∠BAD=∠CAE ，与结论BE=CD 互换.变式4.如图 已知：△ABD 、△ACE 是等腰三角形，BE=CD ，求证：两等腰三角形的顶角∠BAD=∠CAE. 四.化静为动旋转、平移、对称是常用的几何变换，用几何变换方法观察图形、构造图形，可以迅速找的解决问题的途径.而运用几何变换将图形化静为动，又可以创造出新的问题.变式5.把原题中的△ADC 绕点A 逆时针旋转，旋转到△AGE 的位置，AG 、CD 相交于于点O ，CD 、GE 相交于于点F ，其它条件不变.（1）求证：OA ·OG=OD ·OF（2）如果△ABD 边长为2，探究：线段CD 与AG 具有怎样关系时OD ·OF 有最大值，并求最大值。